（基础数学专业论文）一类全纯函数的正规性.pdf

一 m a s t e rd e g r e e 2 0 11 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 1 8 0 nn o r m a lc r i t e r i o no fh o l o m o 印h i cf u n c t i o n u n i v e r s i t y ： e a s tc h i n an o 衄a l u i l i v e r s i t y d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m 旬o r i t y ： p u r em a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ： c o m p l e xa n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r x u e c h e n gp a n g c a j l d i d a t e ： w e i y i n gg u o m a y ，2 0 lls h a n g h a i 忸i一 6舢0309iiily 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文一类全纯函数的正规性是在华东师范大学攻读硬 博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中已经 注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：却l 彰莫 日期：为i1 年乡月刁日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 类全纯函数的正规性系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师的指导下完成 的砾博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师 范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信 所和”知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数 据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行 检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其他方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的”内部”或”涉密”学位论文：t ：，于年月 日解密，解密后适用上述授权 ? 氏娩不保密，适用上述授权 导师签名： 勰硷 本人签名：茚f 药英 f 1 年多月) 7 日 ”涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申 请学位论文”涉密”审批表) 方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适 用上述授权于年月日解密，解密后适用上述授权 郭伟英硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 李文侠教授华东师范大学数学系主席 梁金荣。 教授华东师范大学数学系 程涛副教授华东师范大学数学系 l i j a tl e a s t 七+ 1 s u p p o s et 1 1 a tf o re a c h 厂厂，幻( z ) = z 与，( z ) = l ，t l l e n 厂i sn o m a l0 nd l e t 厂b eaf 缸i l i l yo fm e r o m o 印l l i cf u n c t i o n so nad o m a i ndcc ，a _ uo f w h o s ez e r o sh a v e m u l t i p h c 毋a tl e a l s t 七+ 1 ，w h e r e 忌1b eap o s i t i v ei n t e g e r i f f b ra n yf u n c t i o n ，厂， ( 1 ) ，= j 广肘，w h e r em o b eac o n s t a i l t ； ( 2 ) ，。1 ， t 1 1 e n 厂i sn o m a lo nd k e yw o r d s ：n o 胁a j i 吼 h o l o m o 印i l i cf h n c 吐o n ，z e r 0p o i n t ，m u l t i p h c i 吼 s h a r e dv a l u e 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究的背景和意义 十九世纪末期，著名数学家e p i c a r d 和e b o r e l 对于整函数和亚纯函数的根进行了研 究，并且取得了一系列突出的结果，他们的工作以及后来的一系列数学家的贡献，构成了整函 数与亚纯函数值分布论的基础在值分布论的发展中，r n e v a n h n n a 做出了巨大的贡献他 在1 9 2 5 年引入了亚纯函数的特征函数，并且建立了n e 砌【l l i n n a 第一基本定理和i v a i l l i i l n a 第二基本定理，被称为n e v a n h i l i l a 理论特征函数的概念和这两个定理在很长时间内成为了 值分布理论的基础后来，人们提出了结合导数的值分布的问题，并取得了相关的成果，例如 m i l l o u x 不等式，h a y m a l l 不等式等等 二十世纪初，pm o n t e l 引入了正规族的概念，他把具有某种列紧性的函数族称为正规族 正规族理论的研究既有重要的理论意义，又有重要的应用价值例如，近年来十分活跃的复解 析动力系统中的基本概念j u l i a 集与f a t o u 集就是由正规性引出的自pm o n t e l 引入正规族 的概念到现在，正规族理论有了长足的发展，特别是在我国，从熊庆来、庄圻泰到杨乐、张广 厚等，他们所作的奠基性工作使我国在正规族理论的研究方面处于国际前沿地位 正规族理论的核心是正规定则的研究pm o n t e l 首先把函数的正规性与函数的取值问题 联系起来，得到了经典的m o n t e l 正规定则n 咖l l i i l i l a 理论使正规族理论的研究达到了高峰， 它不仅使函数族的正规性与函数导数的取值问题联系起来成为可能，也使上述m o n t e l 正规 定则的证明变得初等和简单涉及亚纯函数族情形出现了著名的m a 啊正规定则，涉及全纯 函数族情形相继出现了m i r a n d a ，v 甜的n 以及庄圻泰正规定则此时，人们对正规定则的研究 主要集中在全纯函数族情形，而对亚纯函数族情形，除m a 啊定则外实质性的成果并不多 1 9 5 9 年，w k h a y m a i l 建立的著名不等式启示人们提出如下问题：一个亚纯函数在 m 曲n d a 定则的条件保持不变的情形下是否仍保持正规性? 不久，w k h a y m a i l 把它作为猜 想正式提出1 9 7 9 年，顾永兴教授证实了这个猜想顾永兴的工作是以杨乐，张广厚于2 0 世 纪6 0 年代在亚纯函数正规族理论研究方面所得到的开放性成果为基础的以w k h a y m a n 所提出的几个猜想为主线获得了一系列新的正规定则，其中大部分是我国数学工作者完成 1 第一章绪论 的到2 0 世纪8 0 年代中期，w k h a y m a j l 所提出的关于正规族的猜想全部被证实，这标志 着正规族理论的研究达到了一个新的阶段 在函数族正规性的判断上，很长一段时间以来，都是采用直接计算的方法，通过判断函数 族的球面导数是否内闭一致有界来实现的1 9 7 5 年，以色列数学家z a l c m a i l 发表了一篇短小 论文，提出了z a l c m 狮引理：如果函数族厂不正规，那么可以在原函数族的基础上构造一列 函数内闭一致收敛到c 上的某个非常值亚纯函数这样就可以用反证法来研究一些正规族 的问题庞学诚教授对该引理做了重要的也是实质性的推广，使之可以运用到导函数上，从而 可以用来研究涉及导数的正规族的判定问题这种方法使得正规族理论的研究进入了一个新 的天地，它被称为z a l c m a j l p a n g 方法本文就是应用z a l c m a l l p a j l g 方法建立新的正规定则 1 2 本文的研究内容和论文框架 本论文介绍了方明亮和l z a l c m a n 获得的涉及零点重级且考虑分担一个值的亚纯函数 族的正规定则，在此基础上，本文将分担值推广到分担函数的情形，证明了一类涉及分担函数 的全纯函数族的正规定则另外，对于亚纯函数的情形，也得到了一个正规定则在庞学诚， s n e v o ，l z a l c m a i l 证明的一个拟正规定则的基础上，添加了一个条件，使拟正规族成为正规 族 本论文主要做了以下工作： ( 1 ) 通过引入一些重要的定理和引理以及和本论文相关的结果，在此基础上总结归纳出 本论文所要证明的定理 ( 2 ) 把亚纯函数族的正规性和分担值或分担函数结合起来，是亚纯函数正规族理论研究 的重要课题，在研究分担的基础上，本论文把分担值改为分担函数，并证明了全纯函数族的情 形在一个拟正规定则中，添加一个条件，使拟正规族成为正规族 ( 3 ) 在证明本文定理a 过程中，提出了附录中的引理，并给出了证明 本论文的框架如下：第二章介绍相关的引理和定理，第三章和第四章介绍定理的证明，附 录介绍引理及其证明，另外还给出了z a l c m a n 引理的证明 2 第一章绪论 1 3 几个重要的定义 k ”伊基萎 厂( z 0 ) = 娥笮掣， z _ + z 0 iz z ni 胸= 笺等掣= 并黩， ： z 一加 iz z oil + l 广( z 0 ) r 广= ( 第一章绪论 内有相同的零点并且所有的零点重级也相同，则称，和g 在区域d 上c m 分担口我们用 ，= 4jg = 口来表示：若厂( z ) = 口，则g ( z ) = 口；用厂= 口_ g = 口来表示：若z 0 是他) 一日的 m 级零点，则z 0 是g ( z ) 一口的至少m 级零点 定义8 设厂为区域d 内的一个亚纯函数族如果对于厂的任一序列帆l ，都存在协 的子 序列 厶。l ，以及d 中的点集e ( 在d 内无聚点) ，使得 厶l 在d e 上按球距内闭一致收敛，则 称尹为区域d 内的一个拟正规族，简称尸在d 内拟正规 4 第二章相关引理和定理 第二章相关引理和定理 2 1 相关引理 引理1 ( 【1 0 】【2 6 】) 要使全纯函数族厂在区域d 内是正规的必要且充分条件是尹在区域d 内每点是正规的 引理2 ( 【4 】) 设厂为区域d 内的一亚纯函数族，则厂在d 内正规的充要条件是尹在d 内 每一点正规 引理3 ( m o n t e l 定则) ( 1 l 】 2 l 】【2 7 】) 设厂是区域d 内一族一致有界的解析函数，则尹在 区域d 内是正规的 引理4 ( m a 啊定理) ( 【1 2 】) 设厂为区域d 上的一族解析函数，那么厂在区域d 上正规的 充要条件是：对区域d 内的任意一个闭子集e ，都存在一个正数m ，使得尸( z ) 尬对于任 意的z e 和，尹都成立 引理5 ( 【5 】) 设惦( z ) l 为区域d 内的亚纯函数序列，则 五( z ) l 在该区域d 上按球面距离内 闭一致收敛的充分必要条件是对d 内每一点z ，总存在( z ) cd ，使得坼( z ) l 或 j 沃l 在区 j n 、一， 城( z ) 上按通常意义一致收敛 引理6 设协 是单位圆上的全纯函数列，7 = o ) 如果 五) 在上正规，在上不正 规，则在上，厶j 证明：假设在上，厶j ，为“上的全纯函数，则在l z i = 去上，对于给定的1 ，存在， 对任意的咒 ，i 五( z ) 一厂( z ) l 1 ，即在i z l = 昙上，i ( z ) l i 厂( z ) i + l ，而l ，( z ) i 在j z i = 吾上有界， 设为肘，则i 厶( z ) l 肘+ l ，又五解析，由最大模原理，在i z i 去内，唬( z ) i 肘+ l ，即溉) 一致 有界，从而 五 在上正规，矛盾! 因此，在上，厶jo o 5 第二章相关引理和定理 引理7 ( p a i l g z a l c m a i l 引理) ( 1 3 ) 设厂是单位圆盘上的亚( 全) 纯函数族，尼是一正整数厂 中每个函数的零点重级至少为足，且存在m 1 ，使得对任意厂厂，在厂的零点处都有 i 严( z ) i 胍 如果在z 0 处不正规，则对任意o 口足，必存在 ( 1 ) 点列乙，厶_ z 0 ， ( 2 ) 一列函数五冗 ( 3 ) 一列正数办一o 使得 五掣= 踟 一g 售) 一竺口，i 一口一i 群 ”“ 一“ 关于球面距离内闭一致收敛，其中g 为c 上的亚( 全) 纯函数且满足 矿瞎) g 舟( o ) = 忌m + 1 注：以色列数学家l z a l c m a n ( 8 】) 证明了口= o 的情形( 证明详见附录) ；庞学诚( 1 4 】) 证明了一1 口 1 的情形这两种情形对零点不做任何要求陈怀惠，顾永兴( 【1 】) 在零点重 级七的情况下，证明了一1 口 七的情形这里指出条件肘1 不是本质的，只是为了叙述 上的方便 引理8 ( 【7 】) 设，( z ) 为c 上的亚纯函数，若厂( z ) 的球面导数广( z ) 在c 有界，则他) 的级至 多为2 若八z ) 是整函数，则八z ) 的级至多为1 引理9 ( h u 刑池定理) ( 【2 4 】 3 0 】) 设溉( z ) ) 是区域d 上的一个解析函数列，胍( z ) 在d 上内 闭一致收敛于一个非常数的解析函数厂( z ) ，若方程北) = 口在d 内有解，则当，l 充分大时，方 程二( z ) = 口在d 内也有解 引理1 0 ( 6 】) 设，是一个有穷级超越亚纯函数，七是正整数，p ( z ) 偿o ) 是多项式若厂的零 点重级均大于等于七+ 1 ，则，d ( z ) 一p ( z ) 有无穷多个零点 引理1 l( 2 5 】) 设心) = z ，l + 口。一l z ，l - 1 + + 知+ 鬻，咖，n l ，锄是常数，。，q ( z ) ，p ( z ) 是两个互素的多项式，且d e gq o 是常数； ( 2 ) ，l ， 则厂在d 内正规 8 第三章定理a 的证明 第三章定理a 的证明 证明：不失一般性，我们设d = = zii z l o ，以及的一个子列 ( z ) ) ( 对应的五记为z ) ，使得 瓦( z ) 在( o ，石) 内按球距内闭一致收敛于一个亚纯函数 f ( z ) ，且f ( o ) = 故存在o 6 l 6 ，对任意的z ( o ，6 1 ) ，有l f ( z ) i 1 由于z ( o ) o ，所以 9 第三章定理a 的证明 1 z 在( o ，6 1 ) 上解析而在i z l = 6 l 2 上，有 i 志| 一i 南三i 丢 于是由最大模原理，( 木) 式在( o ，6 l 2 ) 上也成立，因此胍) 在动= 0 正规，与假设矛盾从而 厂在z o = o 正规，因此定理得证 下面我们只需证明钟在z o = o 正规假设吖在动= o 不正规，由引理7 知，存在 乙_ z o ，r 纠，m _ o + ，使得 二= 等产 在c 上按球距内闭一致收敛到一个非常数的亚纯函数g ( f ) ，且g ( f ) 的零点重级尼+ 1 ，其级 至多为2 情形2 1 存在 薏 的一个子列趋于，不妨仍记为毒_ 眠此时的极限函数g 是整 函数事实上，对于任意的f ，吲 足除去有限个，l 之外，有磊+ p 。f o ，否则 垒= 一f ，一= 一， p 疗 即垒有界，这与垒一矛盾! 因此兄+ m d 为吲 尺上的整函数，从而踟g ) 为吲 r 上的整函数，所以极限函数g 是整函数 我f f 断言：g 他( d 1 由于 ( z ) = 群( z ) z + 七群_ 1 ( z ) ， 因此 又因为 z d ( 乙+ p n df 譬+ p 。f ) ( 磊+ j d 。d + 忌f 警一1 ( z 疗+ p 厅d 磊+ p n f磊+ n f 瑙+ 譬挚 历“ 上m m 第三章定理a 的证明 所以函数列 亿+ 风f ) z ，l + p h f 在复平面上内闭一致收敛到g 他g ) g ) 兰l 是不成立的，否则g 为七次多项式，这与g ( d 的零点重级七+ l 矛盾设 g 驻缅) = 1 ，则g 响) o o ，又g ( ( d 善1 ，故由h u 刑沱定理知，存在磊，磊一面，当，l 充分大时， 盟掣= 。， 磊+ p 疗甩 即 矗( 磊+ 伟磊) = 磊+ p 。磊， 于是厶+ p 。磊) = l ，从而 踟皤) ：丝掣趔 p 嚣 这与g 缅) ，矛盾所以，g 僻g ) 1 ：丢_ o o = g ( 知) ， 2 磊_ 0 0 = 啪) 由引理1 2 知，这样的整函数g g ) 是不存在的，因此竺书 情形2 2 ：存在 竺) 的一个子列，不妨仍记为竺_ 口，口为有限复数则有 p np n b dr + 风( f 一薏) ) 群 成 在c 上按球距内闭一致收敛于亚纯函数g g 一口) ，且g g 一口) 的零点重级七+ 1 ，f = o 为 g g 一口) 的极点 令 g 桕= 警= 警筹， 则g 在c 上按球距内闭一致收敛于整函数f g ( f 一口) = g ，且g ( f ) 的零点重级忌+ 1 由于f = 0 为g ( f 一口) 的单重极点，故g ( o ) o 我们断言：g ( 2 f 第三章定理a 的证明 事买上，看g 忱( d 三6g ( d 的零点重级尼+ 1 ，所以( ；( o ) = o ，矛盾看存在知， g ( 。) = 知，则g ( 知) o o ，由h u 刑i t z 定理，存在磊_ 知，对于充分大的，l ， g 譬，( 磊) 一磊= 学= 。， 于是有， 五p n 磊) = l ， g n 心) = 嘉_ 一g 矛盾! 因此，g ( 七( d f 由引理l o 知，g ( d 是多项式于是解得， g = 错，c o ， 即 吣) = 铲jg ( d = 错，c o 尸n ”i1 ，； 由h 盯w 沱定理，存在磊叶一c ，当，l 充分大时， 瓴磊) = 0 ，m 磊是五的七十l 阶零点由假设 条件，惦) 在z = o 不正规，又 l 在上正规，于是在上，厶j 1 假设存在o 6 1 ，对任意的n ，厶在岛上只有唯一的零点翕= n 磊，令 = 器， 则 峨 为铷上的不为。的全纯函数，且在上，风( z ) 局部一致收敛到o o ，从而在上，壶 局部一致收敛到o 由最大模原理，在如上，壶局部一致收敛到o 特别地，风( 印n 磊) - 而 脚劫= 裂= 掣_ 篱= 赤， 矛盾1 2 假设对任意的点o j l ，当刀充分大后，五在如内至少有2 个不同的零点，取 靠，且厶( ) ：o ， 在 z ：o l z 一靠i o ，使得风在铷内只有一个忌+ 1 重零点尾= 与，风在： ，b n 正规，于是在上，风j 令 踟) = 器， 则s 。( z ) 为如上o 的全纯函数，且在上，s n ( z ) j 从而在上，1 s 万jo ，由最大模 原理，在锄上，l s 刀jo 特别地，s 丹( 辘) - 而 蹦驯= 铲= 器。南 五( 2 靠)厶( p n ) 成+ 1 一可一矿。驴 = = 一一一= ： 鳍+ 1 ( 一c ) 川( 七+ 1 ) ! 矛盾! 因此f 凰 在c 上正规 ( a ) 若风jo ，则群“jo 又 g 乎+ 1 ( f ) jg ( 七+ 1 ( f ) 兰1 ，磊一c 磁+ 1 云兰i ) = 斧“( p n 磊) = g 1 ( 磊) _ g m l ( 一c ) = 1 ， o ，n，n ( b ) 若风( z ) js ( z ) ，s ( z ) 是整函数，零点重级忌+ 1 我们断言s ( z ) z 峨的两个零 上_ o ，l _ 1 ， q n 一专n：q n 一考n 1 5 第四章定理b 的证明 第四章定理b 的证明 证明：若不然，存在动d ，使得厂在z 0 不正规则由p a i l g z a l c m 吼引理得，存在点列 磊- z o ，正数列p 万一0 + ，函数列厶只使得 踟( d ：掣刍毗) 尸“ 在c 上成立这里g ( f ) 为c 上非常值有穷级亚纯函数，零点重级至少为七+ l 且矿g ) 矿( o ) = 七+ 1 由于g 譬g ) l ，所以由h u 刑i t z 定理得，g ( ( f ) 三l 或者g ( 七( d 1 若七( f ) 兰1 ，则g 是次数恰好为七的多项式，其与g 的零点重数至少为七十l 矛盾 因此，g 很( f ) l ，由已知结果得， 醐= 锱， 这里面白是两个常数令= 圭，j l = 三因为白是g 的简单极点，所以是| l 的简单零点， 即 ( 磊) = o ， ( n ) = a o 由h u 刑沱定理得，存在磊_ 磊，使得忍n ( 磊) = o ，即舶簖) = ，厶( 磊+ 办磊) = 由定 理条件( 1 ) 得， 舒+ p n 磊) 坛 瞒c 驯钟1 黜卅胸【+ 志k 慨磊 坳1 _ o 所以| f 1 7 ( f 1 ) = o ，矛盾因此，厂在d 上正规 1 6 附录 附录 引理：设协( z ) 是区域d 上的一列亚纯函数，z 0 d 对于任意的，l ，五( z ) 的零点重级至 少是忌+ l ，且严( z ) = zj 厂( z ) = 1 如果存在实数列磊- z 0 ，j d 甩_ o + ，使得 矾= 等糕 在c 上按球距内闭一致收敛到一个非常数的亚纯函数g ，则g 没有单重极点 证明：设g 缅) = o o 由于g o o ，则存在闭圆_ ( 知，6 ) ，使得当，z 充分大时，1 g 和1 舶g ) 在圆上全纯，且 所以在_ ( 面，6 ) 上， l1 丽j 历。 磊b 一成+ n dj 志 由于1 g ) 不是常数，所以存在磊，磊_ 知，当，l 充分大时，有 志叫( 乙+ 办磊) = 。， 即厶+ 胁磊) = 1 ，从而 z ，( 乙+ j d 磊) = 磊+ p 挖磊 当七= 1 时，z + “磊) = 磊+ m 磊，五亿+ “磊) = 1 ( 击) 7i f 确 = 腮 l f 七一3。十拄 o 、，仃， l f 七一2 ， = 熙抄( 志) 协1 c 舭。互，缸批，】 壶州( 豁) c 讲。乏2 岛甜皤，卜甜 由于l i m 翻繇) = o o ，于是得 类似可得 舰小( 志) 忙1 阱。乏，缸础磊，】壶 p n 捌( 船) 七跏，量2 虮黝) = o 熙仆- 1 ) ! ( 莉1 讹) + ：p 湘 壶+ 肌( 船) 阱：篆：玩皤，) = 0 如此进行下去，我们归纳可得： 所以， 牌 勰卜o ， b 。 1 9 附录 因此面为g g ) 的重级极点，故g 没有单重极点 z a l c m a i l 引理：设厂为单位圆盘d 上的一族解析函数，则厂在d 上不正规的充要条件是： 存在 ( 1 ) 正数r o ， l ； ( 2 ) 复数列 ，k i ，； ( 3 ) 函数列) c 厂； ( 4 ) 正数列j d 雄_ o + ， 使得 厶( 乙+ p 。手) 哼g ( f ) 在复平面上内闭一致的成立，其中g g ) 是一个非常数的整函数，并且矿 ) 矿( o ) = 1 证明：必要性：设厂在d 上不正规，由m 哪定理，存在正数r 0 ，o 厂o 1 ，以及点列 z 二，i 磊i r 0 ，函数列厶厂，疗= 1 ，2 ，使得 群) _ 取定正数r r 0 ， 1 ，并且设 = 髂( 一譬胁= ( 一譬胁， 其中磊l z | r 很明显， 厶一+ 设 我们得到 由此，函数 附录 定义在区域蚓 r 上，其中 心：型_ + p n 对于任意正数尺，当厅充分大时，尺 如当吲尺，有 2 办z + 岛9 _ 了筐蓊 赫端 又因为 端，+ l 磊l + p 厅尺、” 并且 ，一l 磊i r i 磊l p 弗r 在蝌尺上一致趋向于1 ，所以 薪售) l 在吲尺一致有界由m 卿定理以及醇( o ) = 胁露亿) = 1 ，我们可设协售) ) 在复平面上内闭一致收敛于一个解析函数g 根据 矿( o ) = l i mg ：( o ) = l ， n + 所以g 售) 不是常数 充分性：利用m a n y 定则，如果厂在d 上正规，则在对任意的“o r o ，使得拜( z ) 肘由必要性的证明可知， 醇 = n 露亿+ “手) g 静= 1 i m 藓鳝) = l i m “拜+ 伟f ) = o ， n _ 弹_ 从而g 是常数，与条件矛盾! 所以厂在d 上不正规 2 1 参考文献 参考文献 【1 】c h e nh h ，g uyx 。i i i 】p r 0 、，e m e n to fm 哪sc r i t 嘶o na i l di t sa p p l i c a t i o n ，s c i c l l i n a ，s e l a 3 6 ( 1 9 9 3 ) ，6 7 4 6 8 1 2 】融l gm l ，l z a l c m 锄n o m 谢细 i l i l i e sa i l ds h a r e dv a l u e so fm e r o m o 印i l i cf u n c d o n s ， c o m p u t m e m o d sf u n c t r n l e 0 2 0 0 1 ，1 ( 1 ) ：2 8 9 2 9 9 3 】f 缸gm l ，l z a l c m 觚n o n n a lf a m i l i e s 觚ds h a r e dv a l u e so fm e r o m o 印l l i c 如n c t i o n si ， c o m p u t m e t l l o d sf u n c t t i l e 哪2 0 0 2 ，2 ( 2 ) ：3 8 5 3 9 5 【4 】顾永兴，庞学诚，方明亮正规族理论及其应用北京：科学出版社，2 0 0 7 ，2 6 5 】顾永兴，庞学诚，方明亮正规族理论及其应用北京：科学出版社，2 0 0 7 ，2 3 6 】顾永兴，庞学诚，方明亮正规族理论及其应用北京：科学出版社，2 0 0 7 ，5 7 【7 】j c 1 u n i e ，w k h a y m a l l t h es p h e r i c a ld e r i v a t i v eo fi n t i 略r a la i l dm e r o m o i p l l i cf u n c t i o n s ， c o i i l 】【n e n tm a 1 h e l v e t 4 0 ( 1 9 9 6 ) ，1 1 7 一1 4 8 【8 】l 2 射c m 锄ah e u r i s t i c 砸n c i p l ei nc o m p l e xf u n c t i o nt h e o 吼a m e r m a t h m o n 伽y 8 2 ( 19 7 5 ) ， 8 1 3 8 1 7 9 】n e v os h a h 甄p a i l gx c 。q u a s i n o m a l i t yo fo r d e rlf o r 觑【i l i l i e s0 fi n e r o m o 印l l i cf u n c t i o n ， k o d a lm a t l l j ，2 7 ( 2 0 0 4 ) ，1 5 2 1 6 3 【l o 】庞学诚 梁金荣，柴俊复变函数北京：科学出版社，2 0 0 3 ，1 1 1 1 1 】庞学诚，梁金荣，柴俊复变函数北京：科学出版社，2 0 0 3 ，1 l o 1 2 】庞学诚，梁金荣，柴俊复变函数北京：科学出版社，2 0 0 3 ，1 1 2 1 1 4 【13 】p a i l gx c ，l z a l c m 锄n o n n a lf m i l i e sa n ds h a i e dv m u e s ， j 】b u n l o n d o nm a t l l s o c ， 3 2 ( 2 0 0 1 0 ) ，3 2 5 3 3 1 参考文献 【1 4 】p a i l gx c 。b 1 0 c h sp r i n c i p l ea i l dn o n n a lc r i t e r i o n ，s c i c l l i n a ，s e la ，3 2 ( 1 9 8 9 ) ，7 8 2 7 9 1 【1 5 】p a n gx c ，l z a l c m a l l n o 肌a l i t ya i l ds h 狁dv a l u 醅，加司b vf o rm a t l l e m a t i k ，3 8 ( 2 0 0 0 ) ，1 7 1 1 8 2 1 6 p a n gx c 。o nn o m a lc r i t e r i o no fi n e r o i i l 0 1 p l l i cf u n c t i o n s ，s c i c t l i n a ，s e r a ，3 3 ( 1 9 9 0 ) ，5 2 1 5 2 7 【1 7 p a n gx c s h 娥通v a l u e sa i l dn o 衄a l 伽i l i h e s ，a n 由s i s ，2 2 ( 2 0 0 2 ) ，1 7 5 1 8 2 【18 】p a n gx c n 0 m l a lf 砌l i e sa i l dn o n l l a lf u n c t i o n s0 fm e r o i n 0 叩l l i cf u n c t i o i i s ，c l l i n a n n m a m ，s e r a ，2 1 ( 5 ) ( 2 0 0 0 ) ，6 0 1 6 0 4 1 9 】f a i l gx c ，l gd g ，l z a l c m a n n o 姗a lf 缸i l i n e sa n do m i t t e d m c t i o n s i n d i a n au i l i v m a 1 j ，5 4 ( 1 ) ( 2 0 0 5 ) ，2 2 3 2 3 5 2 0 】p 觚gx c ，l z a l c m 觚m a l 胁l i l i e so fm e r o m o 印l l i cm c t i o n sw i m 舢1 廿p l ez e r o s 锄d p o l e s ，i s r a e lj m a m ，1 3 6 ( 2 0 0 3 ) ，1 - 9 2 l 】p a u lm o n t e l n i l a l 鼬i l i l i e s s 砸n g e r v e r l a g 1 9 9 3 ，3 5 3 6 【2 2 】w b e 唱w e i l e r ，p a n gx c o nm ed e r i v a t i v eo fm e r o m o 印l l i c 胁c t i o n sw i t l l 姗l t i p l ez e r o s ， j m a t l l a n a l a p p l ，2 7 8 ( 2 ) ( 2 0 0 3 ) ，2 8 5 2 9 2 【2 3 】ws c h w i c k s h 耐n gv a l u e sa i l dn o 彻a h t y a r c h m a t l l ，