（基础数学专业论文）整环上的kaplansky变换.pdf

整环上的k a p l a n s k y 变换 基础数学专业 研究生毕公平指导教师王芳贵教授 本文主要刻画了整环上的k a p l a n s k y 变换首先，我们讨论了一 阶k a p l a n s k y 变换，证明了若和j 均为p r i i f e r 整环兄上的有限生成理想， 则q u j ) = f t ( i ) f t ( j ) = q ( ，) + q ( j ) 同时给出了p r i i f e r 整环且上的个有限 生成真理想j 的k 8 p l a n s k y 变换q ( j ) 与冗在某个素理想p 处的局部化冗p 的关系，即 有q ( ，) r p 当且仅当，垡p 并且通过一个例子说明了一阶k a p l a n s k y 变换 与n a g a t a 变换之间的差别此外，刻画了 一凝聚整环上的一阶k a p l a n s k y 变换证 明了若r 是 一凝聚整环( m o r i 整环，s m 整环) ，则q ( ，) 也是u 一凝聚整环( m o r i 整环， s m 整环) 其次，讨论了高阶k a p l a n s k y 变换及o o - k a p l a n s k y 变换并且证明了 若尼黾一个咖凝聚整环，且兄有可数多个极大t 一理想，譬如说为蜀，b ，只， 则t - d i m q 。= t - d i m r 一1 最后，我们讨论了k a p l a n s k y 变换的应用刻画 了n 口一理想并且证明了若，是整环同拘一个理想，则存在唯一一个q b 理想j ， 使得q ( ，b ) 一f l ( z , b ) 同时，还刻画了拟n 一整环及 一整闭的拟n 一整环并且 证明了若r 是一个p v m d 的拟他整环，则对冗的每个非零的素伽一理想p 来说，或 者一9 ( 伽一夕( p ) ) = w p l ，或者 一9 ( 叫一夕( p ) ) = t o p l p ) 且p 是未分支的 关键词 k a p l a n s k y 变换 一凝聚整环 维数q 口一理想 一算子拟q 一整 环p v m d 未分支的 第i 页，共5 2 页 t h ek a p l a n s k yt r a n s f o r m so v e rd o m a i n s m a j o rp u r em a t h e m a t i c s w r i t e rb ig o n g p i n g s u p e r v i s o rw a n gf a n g g u i i nt h i sp a p e r ，w ec h a r a c t e r i z et h ek a p l a n s k yt r a n s f o r m so v e rd o r a a i n s f i r s t l y , w es t u d yt h ef i r s to r d e rk a p l a n s k yt r a n s f o r m w ep r o v et h a ti fj a n dja r ef i n i t e l yg e n e r a t e di d e a l so frw i t hrb e i n gap r i i f e rd o m a i n ，t h e n f 2 ( i j ) = q ( j ) q ( l ，) = q ( ，) + q ( j ) w ja l s os h o wt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n q ( ，) a n dr ew i t hrb e i n gap r i i f e rd o m a i na n dib e i n gaf i n i t e l yg e n e r a t e d p r o p e ri d e a lo fr ，n a m e l y , q ( ) r pi fa n do n l yi fi 垡p a n d w ed e s c r i b e t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ef l r s to r d e rk a p l a n s k yt r a n s f o r ma n dt h en a g a t a t r a n s f o r mb ya l le x a m p l e b e s i d e s ，w ea l s oc h u r n c t e r i z et h ef i r s to r d e rk a p l a n s k y t r a i l s f o r mo v e rv - c o h e r e n td o m a i n s w ep r o v et h a ti f 冗i sau c o h e r e n t d o m a i n ( m o r id o m a i n ，s md o m a i n ) ，t h e nn ( ，) i sa l s oav c o h e r e n td o m a i n ( m o r id o m a i n ，s md o m a i n ) s e c o n d l y , w es t u d yt h eh i g h e ro r d e rk a p l a n s k y t r a n s f o r ma n do 。一k a p l a n s k yt r a n s f o r m a n dw eo b t a i nt h a ti fri sav - c o h e r e n t d o m a i n 谢t hc o t m t a b l ym a n ym a x i m a lt - i d e a l s ，s a y 只，易，只， t h e nt - d i mq 。= t - d i mr 一1 f i n a l l y , w ed e s c r i b et h ea p p l i c a t i o n so ft h e k a p l a n s k yt r a n s f o r m s ，ec h a r a c t e r i z et h en b - i d e a l s a n dw ei n d i c a t et h a t t h e r ei st h eo n l yq b - i d e a ljs u c ht h a tn ( ，b ) = n f zb ) f o re a c hn o n z e r oi d e a l ，o fr b e s i d e s w ea l s od e s c r i b et h eq u a s iq d o m a i n sa n dt h e 一i n t e g r a l l y c l o s e dq u a s i 亿d o m a i n s m o r e o v e r w ep r o v et h a ti f 兄i sap v m da n d i f 只i saq u a s iq d o m a i n t h e nf o re a c hn o n z e r op r i m ew - i d e a lpo fr e i - t h e r 伽一9 ( 一夕( p ) ) = w p lo rw - 9 ( w 一夕( p ) ) = 训一p 1 p ) w i t hp u n b r a n c h e d k e yw o r d sk a p l a n s k yt r a n s f o r m ； q 日一i d e a l ；w - o p e r a t i o n ；q u a s iq d o m a i n ； v - c o h e r e n t d o m a i n ；t - d i m e n s i o n p v m d ；u n b r a n c h e d 部分符号说明 咒整环 兄0r 减去0 ( 岳)属于( 不属于) 三( )包含( 包含于) c ( s )真包含于 至( 垡)不包含( 不包含于) n ( u )交( 并) 圆张量积 和 v对每一个 1 时，霹5 = q ( 矗”，磷5 1 ) 由归纳假设，且f 5 1 硝8 一”仍由弓 理1 2 1 ( 1 ) 知，硝5 一q ( 蠢”，硝”1 ) n ( 砖一) ，威“) 一磷“ ( 2 ) 当s 一2 时，毛q ( 五，岛) 一五” 当s = 3 时，厶q ( ，1 3 ) = 矗1 q ( 砖”，1 ) = 矗孙 依此类推，有l 1 矗2 垦一”1 1 ，v s 2 ， ( 3 ) 对任何s 芝1 由( 1 ) ，( b ln j 劫) ( 5 b n 毯；反之，设z b 司n 琏“。 则对任何o 砖”1 1 ，存在合适的正整数n ，使得x a n 日 ”1 n b 乒_ 1 ) 由归纳假 设，“( b 1 n b # “) 于是z ( b 1 n 易) “，即b p n 占岁( b 1 nb 2 ) ( “ ( 4 ) 设z ( u b ) ( 8 ) = q ( 以3 - 1 j ，( 让曰) ( ”1 ) 则对任何a 矗5 _ 1 ) ，存在正整 数扎，使得z 矿( 让功( 5 - 1 ) 由归纳假设，x a “u b ( 3 一”，则z u b s ；反之， 设茁u b ( “则扎一1 z b ( 5 ) = q ( 矗”，b ( s 一1 ) 从而对任何矗5 - 1 ) ，存在正整 b g p 9 6 1 6 3 t o m第2 5 页拱5 2 页毕业论文 第二章高阶k a p l a n s k y 变换及。- k a p l a l l s k y 变换 数n ，使得钍一1 x a “b c 3 一”故。矿u b ( 5 一”由归纳假设，x a n ( 钍b ) ( s - 1 ) 于 是z ( u b ) ( “ ( 5 ) 取k ，u 0 ，使得u b r 则由( 1 ) 与( 4 ) 有u b ( 5 ) = ( b ) 5 f t ( “ 从而b ( 。) 是q ( s ) 的分式理想 ( 6 ) 设a 是q ( 5 ) 的个理想，且_ b = a n r 贝t j a n q ( 8 - 1 ) 是q ( 8 1 ) 的一个理 想，且b = a n q ( 8 - 1 ) n r 由归纳假设，a n n ( 8 1 b ( ”n 设z a q ( s ) = q ( 5 1 ) ，则对任何8 一”，存在正整数n ，使得z n n ( 一1 1 又z o n z n ( 。一1 z q ( 5 a n ( = a ，故z o ”a n q 扛一1 b ( s - i ) ，则z 日( 所 以a b ( “ ( 7 ) 设b 是兄的有限生成分式理想，且b q 扣) 一q ( 一”1 ) 则对任何b 矗”，存在合适的正整数n ，使得扩b q ( s - 1 ) 从而由归纳假设，有扩风= ( 0 8 b ) 。冬n f s - 1 ) ，所以b 。至q ( “， ( 8 ) 设b 是q ( 5 ) 的有限生成品子模由( 7 ) ，b 0 玩q ( “故q ( 5 ) 是r 的叫、 扩环 定理2 1 1 设尼黾一个整环 ( 1 )设q 是刷拘一个素理想，且五垡q ，其中i = 1 ，s 且s 1 则q ( 3 ) 是q ( 8 ) 的一个素理想，且q ( 8 nr = q ( 2 ) 设q 1 与q 2 是r 的素理想，且五垡q 1 ，q 2 ，其中i = 1 ，s k s 1 则q = q 妒q 。= q 。 ( 3 ) 设q 是r 的一个素理想则q = q ( 3 ) 甘存在正整数m k l 茎m s ，使 得k q ( 4 ) 设a 是q ( 3 ) 的一个素理想，且五垡q a n r ，其中i = 1 ，s 则a = q ( ” ( 5 ) 设q 是冗的一个素理想，且五垡q ，其中i = l ，5 则h t q ( 。) = h t q 证明 ( 1 ) 当s 一1 时，由定理1 2 4 ( 1 ) 即得下面我们只须i y s = 2 时命题成 立即可 首先，我们说q ( 2 q ( “事实上，若q ( 2 ) = q ( 引，则由引理1 2 2 ( 1 ) 知， ( 如) 1 曼q ( ，因为厶，厶垡q ，则存在o 五o ，b 如q ，从而存在正整 b g p 9 6 1 6 3 c o r n第2 6 页，共5 2 页毕业论文 第二章商阶k a p l a n s k y 变换及o 。一k a p l a n s k y 变换 数礼，使得b a n q 由于矿0 ，故b q ，矛盾所以q ( 2 ) q 2 ) 设z ，可q ( 2 ) = q ( 1 ) ，z y q ( 2 ) = q ( 砖”，q ( 1 ) 则对任何n 1 ) = q ( ，厶) ，存在合适的正整数n ，使得z o ”q ( 1 ) = q ) ，d “q ( 1 ) = q ( 厶) ， l l x y a 2 n q ( 1 ) = q m ，q ) 则由定理1 2 4 ( 1 ) ，q ( 1 ) 是n ( 1 ) 的一个素理想， 且q ( 1 n r = q 故z n “q ( 1 ) 或y a n q ( 从而z q ( 2 ) 或q ( “，所 以0 ( 2 ) 是q ( 2 ) 的一个素理想 显然有q q ( 2 n 冗；另一方面，设。q c 2 n 兄则对任何旺砖”，存在正 整数礼，使得z 铲q ( ”由于扩gq ( 1 ( 否则，若扩q ( “，则l q ( 2 ) 与q ( 2 ) 是素 理想矛盾) ，又q ( 1 ) 是素理想，则z q ( “从而z q ( 1 ) n r = q ，所以q ( 2 ) n r = q ( 2 ) 由( 1 ) 即得 ( 3 ) ( )设k q 则职q c ”，五磐- 1 q ( 4 一从而由引 理1 2 2 ( 1 ) ，n ( m ) = q ( m ) 因此q ( s ) = 0 ( “ ( 兮) 由条件，不妨设q ( 1 ) q ( ，q ( m - 1 ) q ( m - 1 ) ，但q ( “) = q ，其 中m s 则由引理1 2 2 0 ) 及定理1 2 4 ( 1 ) ，1 1 鐾q 且q ( 1 ) 在q ( 1 ) 中是素理想一 般地，e 卜1 垡q c ( 从而五垡q ) 且q c ) 在q ( ) 中是素理想，其中i = 1 ，m 一1 。 则由( 1 ) ，有q ( m - 1 ) n r = q 因为q ( ”) = q ( “) ，仍由引理1 2 2 ( 1 ) ，矗? 一u q ( m - 1 ) 从而，k 砖“。n r q ( m - 1 n r = q ( 4 ) 由条件，a n q ( 5 _ 1 ) 是q ( 5 。) 的一个素理想，且五gq = a n q ( ”1 ) n 兄， 其中i = 1 ，s 则由归纳假设，a n q ( 8 _ 1 ) = q ( ”，设茁q 则对任 何n 一”，存在正整数n ，使得z ”q ( s - 1 ) a 由( 1 ) ，q ( 5 ) 是q ( 3 ) 的一个 素理想，即0 ( s q ( “则由引理1 2 2 ( 1 ) ，矗”1 垡q c 5 - 1 ) ，从而“岳q ( 5 。) ， 故o n 隹a ( 否则，若n n a ，由于扩”1 q ( 。一，则n “a n n ( 5 1 ) = q ( 8 。) ， 矛盾) 又因为a 是q ( s ) 的一个素理想，且z q ( 8 ) q ( “，所以有z a 于 是q ( 8 a ；反之，由引理2 1 1 ( 6 ) ，a q ( “故a = q ( “ ( 5 ) 设q 。c 如一1c cq 1c0 是r 的一个素理想链则由( 1 ) 与( 2 ) ， o 妒cq 曼1c cq p cq ( 3 ) 是q ( 5 ) 的一个素理想链，故h t q ( 5 h t q ；反 之，由条件及( 1 ) ，q ( 5 ) 是q ( 8 ) 的一个素理想，且q ( 5 nr = q 设a 。c ca 1c q ( 5 ) 是q ( 5 ) 的一个素理想链则由( 4 ) 与( 2 ) ，a 。n rc ca 1 n r cq ( n r = b g p 9 6 1 6 3 ，c o m 第2 7 页，# 5 2 n 毕业论文 第二章高阶k a p l a n s k y 变换及o 。一k a p l a n s k y 交换 q 是兄的一个素理想链故h tq ( 3 ) h tq ，从 i 百h tq 扣) = h tq 定理2 1 2 设b 是r 的分式理想则 ( 1 ) ( b _ 1 ) ( 5 ( b ( 5 ) 。( b q ( 5 ) ) ( 2 ) 若b 是，r 的俨有限型的分式理想，则( b 一1 ) 5 ) = ( 口( 5 ) 一= ( b f i ( 5 ) ( 3 ) 若b 与b 一1 均为r 的两个 一有限型的分式理想，则( 鼠) ( 5 ) = ( b ( 5 ) 。= ( b q ( 5 ) 。 证明 ( 1 ) 设z ( b 一1 ) “，y b ( ”则对任何8 砖5 - 1 ，存在合适的正整 数n ，使得z n n ( b 一1 ) ( s - - 1 ) ，y a “b ( 5 1 1 故z y n 2 “( b 一1 ) ( 8 1 ) 日( 8 一”由归纳假 设，( b 一1 ) ( 8 1 ( b ( 5 1 ) 一1 贝j j x y a 2 ”( b ( 5 1 ) 一1 b ( 5 1 q o 一，) a i 融y q ( 引， 即z ( b ( 5 ) 一1 于是( b 1 ) 8 ) ( b ( 5 ) 一1 另一方面，由于b q ( s b ( “，则( b ( 8 ) 一1 ( 日q ( 5 ) 所以( b 一1 ) ( 。) ( b ( 5 ) - 1 ( b 1 2 ( 3 ) ( 2 )由( 1 ) ，只须证( b q ( 5 ) 一1c ( b 一1 ) ( 设z ( b q ( 8 ) ，贝l j x b n ( “ 由于b 是 一有限型的，则存在b 的有限生成子分式理想玩，使得b - 1 = ( b o ) 故x b o x b n ( “则对任何1 5 。) ，存在合适的正整数n ，使得x a n b o q ( s 一”，从而z n “( 岛q ( 3 1 ) 由归纳假设，x a n ( 上百1 ) ( 8 _ 1 ) = ( b _ 1 ) ( 5 - 1 ) 因 此茁( b _ 1 ) “ ( 3 ) 由( 2 ) 即得 命题2 1 1 设 最ji r ) 是k 的一簇尼子模，且b = u 最也是k 的r 子模 则b ( 8 ) = u 尉“ i 证明当s = 1 时，由命题i 2 2 即得 当s 1 时，显然u 碰5 b ( s ) ；另一方面，设z b ( “则对任何n 砖”， 存在正整数凡，使得z a “b ( s - z ) 由归纳假设，z 0 8 u 趔5 - 1 从而存在某个i ， 使得z n n 碰一) ，于是z 霹5 u 趔”，即b ( a ) = u 磷 2 2 u 凝聚整环上的高阶k a p l a n s k y 变换 定理2 2 1 若r 是”凝聚整环，则q ( 8 ) 也是一凝聚整环 b g p 9 6 1 6 3 c o m ! 喜2 s y i ，共5 2 页毕业论文 第= 章高阶k a p l a n s k y 变换及。一k a p l a n s k y 变 证明设a = ( o t 。，o t 。) 是q ( 5 ) 的有限生成非零理想，b = r a i + + r 由定理2 1 2 ( 2 ) ，a 一1 一( b q ( 5 ) 1 = ( b 一1 ) “因为r 是 壤 聚整环，则b _ 1 = 山， 其中j 是尉掏有限生成分式理想从而由定理2 1 2 ( 3 ) ，a - 1 = ( b _ 1 ) 5 ) = ( 工) 3 ) = ( t ，q ( 5 ) 。故n ( 。) 也是口一凝聚整环 定理2 2 。2 若r 是m o r i 整环，则q 扣) 也是m o r i 整环 证明设a 是q ( 5 ) 的乒理想，b = 4 n r 由引理2 1 1 ( 6 ) ，ac b ( “ 因 为冠是m o r i 整环，则b 是 有限型的因此，b t = 五，从而有且，= 工，其中j 是吲拘 有限生成子理想由定理2 1 2 ( 3 ) ，( b ( 8 ) 。= ( 鼠) 8 ) 一( 工) 。) = ( j q ( 8 ) 。于是 有b ( s ( 8 k = ( 朐( 5 ) 。= ( 加( 对) t a t = a ，从而，a = b ( 对= ( 施( 5 ) 。所 以q ( s ) 是m o r i 整环 定理2 2 3 设r 是俨凝聚整环，口是r 的分式理想则( 鼠) ( 。) = ( b ( 8 ) t = ( b f l ( 5 ) ：从而若且是r 的t 一理想，贝j j b ( 8 ) 是q ( 3 ) 的亡理想 证明当s = 1 时，由定理1 3 ，2 即得 当s l 时，( 最) ( 5 ) 一q ( 矗”，( 最) 5 1 ) ，旧5 ) 。= ( q ( 砖”，b ( s - 1 ) 强 由归纳假设，( 风) ( s - 1 ) = ( b ( s - 1 ) ) 。从而由定理1 3 2 ，我们有( 鼠) ( 5 ) = q ( ”，( 马) ( s 一1 ) = q ( 砖8 _ 1 ) ，( b ( s 一1 ) 。) 一( q ( 砖”1 1 ，b ( ”1 ) ) t = ( b ( 5 ) 。 另一方面，记b t = u ，其中，取遍b 的有限生成子分式理想则由命 题2 1 。1 及定理2 1 ，2 ( 3 ) ，( b f l ( 8 1 ) 。旧8 1 x = ( b ) ( 8 ) = u ( 工) ( 5 ) = u ( j q ( 8 ) 。 ( b n ( 3 ) ) 。故( b t ) ( 5 ) = ( b ( 5 ) ) t = ( b 1 2 ( 5 ) ) t 定理2 2 4 设r 是u 一凝聚整环，4 是q ( 5 ) 的非零理想，b = anr 则 ( 1 ) a t = ( 鼠) “ ( 2 ) 若a 是q ( 8 ) 的t 一理想，则b 是r 的扛理想，且a = b ( 5 ) = ( b n ( 5 ) t 证明 ( 1 ) 由引理2 ，1 ，】( 6 ) ，b q ( “c ac b 从而我们有( b n ( 5 ) a c ( b ( 5 ) 则由定理2 2 3 ，a t = ( b ) “ ( 2 ) 由( 1 ) ，a = ( b ) ( 5 ) = ( b q ( 5 ) ) t ，则马( 且) 5 n r = a n r = b ，从 而b = b t 于是a = b ( 5 ) = ( b f l ( 5 ) t b g p 9 6 1 6 3t o m 第2 9 页，共5 2 页 毕业论文 第二章高阶k a p i a n s k y 变换及。k a p l a n s k y 变换 定理2 2 5 设兄是n 凝聚整环，只是兄的极大t 一理想，其中i = 1 ，s 设a 是 g t ( s ) 的极大扛理想，且b = a n r 则 ( 1 ) 若b 垡只，则b 是兄的极大t 一理想 ( 2 ) 若b 只。，其中1 m ss ，则_ b 是包含在p m 中的极大素t 一子理想 证明f 1 ) 由定理2 ，2 4 ( 2 ) ，b 是r 的t 一理想且a = b ( “若有尉；勺极大 理 想m ，使得bcm 则m 只，故只垡m 由定理2 1 1 ( 2 ) ，( 3 ) ，a = b ( 5 c m ( s ) q 又由定理2 ，2 ，3 ，m ( s ) 是f l ( 5 ) 的t 一理想，这与a 的极大性矛盾 ( 2 ) 由定理2 2 4 ( 2 ) ，a = b ( 5 ) n ( “则由定理2 1 1 ( 3 ) ，只垡b ，其 中i = l ，s 故b 足；若有一个素t 理想q ，使得bcqc 只；( 由于只是励拘 极大 理想，从而只垡q ，其中i = 1 ，s ) ，则由定理2 1 1 ( 2 ) ，( 3 ) 及定理2 2 3 ， 有a = b ( s ) cq ( s ) q ( s ) 且q ( 8 ) 是f l ( 3 ) 的乒理想这又与a 的极大性矛盾 2 3 。一k a p l a n s k y 变换的基本性质 在文【1 6 中，w a n gf a n g g u i 定义了环胪( d o n a g a t a 变换) 及其分式理想即 设r 是一个整环，厶，五，五，是冗的理想令 胪= u r “ 5 兰1 设b 是r i 拘一个分式理想令 b 。= u 砂 $ 1 受此启发，本文相应地定义t o o - k a p l a n s k y 变换n 。及其分式理想即设冗是 一个整环， ，毛，五，是r 的理想令 q 。= u q “ s 兰1 设_ 日是励 勺一个分式理想令 b 。= u b “ 引理2 3 1 设b ，b 1 ，岛是k 的且子模，k 则 ( i ) 若b 1 b 2 ，则b 产b 尹 b g p 9 6 1 6 3 c o i l l 第3 0 页，共5 2 页毕业论文 第二章高阶k a p i m l s k y 变换及。k a p j a n 8 k y 变换 ( 2 ) ( b ，nb 2 ) 。= 层产n b 尹 ( 3 ) ( 让b ) ”= u b o o ( 4 ) 若b 是同拘分式理想，则b o 。是q 。的分式理想 ( 5 ) 设a 黾q 。的一个理想，且b = a n r 则a b o 。 ( 6 ) 若b 是引均有限生成分式理想，且b q o o ，则鼠q o 。 ( 7 ) q ”是r 的 3 一扩环于是若j c v ( r ) ，则必有j q o 。g v ( q m ) 证明 ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 分别由引理2 1 1 中的( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 即得 ( 4 ) 取u k ，u 0 ，使得u b r 则由( 3 ) 与( 1 ) ，有u b 。= ( u b ) * q m 所以b ”是q o 。的分式理想 ( 5 ) 设z a 则存在8 1 ，使得z q ( “又a n n ( s ) 是q ( s ) 的一个理 想，且b = a n q ( 8 ) n r ，则由引理2 11 ( 6 ) 知，a n q ( s b ( “从而有。 a n q ( 8 ) 日( 订b 。故a 日m ( 6 ) 因为b q 。，且b 是有限生成的，则存在某个正整数s ，使得b q ( “ 从而由引理2 1 ，1 ( 7 ) 知，鼠q ( 8 ) q ” ( 7 ) 由( 6 ) 即得 定理2 3 1 设尼黾一个整环， ( 1 ) 设q 是嗣搀一个素理想则q 。= q 。营存在一个正整数s ，使得0 ( 2 ) 设q 是尉拘一个素理想，且对任意正整数s ，l 垡q 则q o 。是q * 的一个 素理想，且q 。o n r q ( 3 ) 设q 1 与q z 是吲 勺素理想，且对任意正整数s ，l 垡q l ，q 则q p = q 尹营q 1 = q 2 ( 4 ) 设a 是q o o 的一个素理想，且对任意正整数s ，l 垡0 = a f i r 则a = q 。， ( 5 ) 设q 是尉拘一个素理想，且对任意正整数s ，l 垡q 则h tq o 。= h tq 证明( 1 ) q o 。= q 。铮存在一个正整数m ，使得1 q ( “铮q ( m ) = q ( 一 则由定理2 1 1 ( 3 ) ，n o 。= q 。甘存在一个正整数s ，使得l q ( 2 ) 由( 1 ) ，q o 。q 。设z ，y n o 。，x y q o 。选取一个合适的正整数m ，使 b g p 9 6 1 6 3 c o f i 】 t 第3 1 页，共5 2 页毕业论文 第二章高阶k a p l a n s k y 变换及o o k a p l a k y 交换 得z ，可q ( m ) e l z y q ( ) 则由定理21 1 ( 1 ) ，z q ( m ) cq o 。或y q ( ”q o o 因此，q ”是q ”的一个素理想 显然q q o o n 兄；反之，设z q o 。n r 则存在一个正整数m ，使得z q ( “) n r 仍由定n 2 1 1 ( 1 ) ，q ( ) n r = q 故茹q ，从而q 。n r q ( 3 ) 由( 2 ) 即得 ( 4 ) 由引理2 3 1 ( 5 ) ，a q 。设。q ”则存在一个正整数s ，使得z q ( “因为a n q ( 3 ) 是q ( 8 ) 的一个素理想，且q = 且n q ( “r l r 则由定理2 1 1 ( 4 ) ， z q ( 5 ) = a i 1 q ( 5 ) a ，于是a q 。 ( 5 ) 设q 。cq 。一1c cq 1cq 是引拘一个素理想链则由( 3 ) 与( 2 ) ，q 挈c q 。n - - 1c cq pcq 。是n 。的一个素理想链故h t q 。h t q ；反之，由条件 及( 2 ) ，q m 是q o 。的一个素理想，且q 。n r = 0 设a 。c ca 1cq ”是n 。的 一个素理想链则由( 4 ) 与( 3 ) ，a 。n rc ca 1n rcq ”n 冗= q 是尉 勺一 个素理想链故h t q 。h t q ，从而h t q ”= h t q 定理2 3 2 设b 是兄的分式理想则 ( 1 ) ( b 一1 ) 。0 ( b ”) 一1 ( b n 。) 一1 ( 2 ) 若b 是r 的 一有限型的分式理想，则( b 1 ) 。= ( b 。) _ 1 = ( b f t ”) _ 。 ( 3 ) 若b 与b _ 1 都是刷 勺俨有限型的分式理想，则( 鼠) 0 0 = ( b 。0 ) 。= ( b n 。) 。 证明( 1 ) 设z ( b 。) 。，且可b ”选取一个合适的正整数s ，使得z ( b 一1 ) ( ，且夕b ( “则由定理2 1 2 ( 1 ) ，z y ( b 一1 ) 5 ) b ( 5 5 ) 一1 b ( 8 q ( 8 ) q o 。故z ( b 。) 一1 ，从而( b 一1 ) 0 0 ( b 。) 一1 另一方面，由于b f t ”b o 。，则( b ”) - 1 ( b q 。) 所以_ 1 ) 。 ( b o 。) 一1 ( b q o 。) 一1 ( 2 ) 由( 1 ) ，只须证( b q 。) 一1 ( b 一1 ) 。设z ( b q o 。) 一1 贝u x b z b q o o q 。因为b 是俨有限型的，则存在b 的有限生成子分式理想玩，使得( 风) 一= b 一由于b 0 是有限生成的，且z b o z b 泸则存在s l ，使得z b o f t ( “，从而z b o q ( 3 f t ( “于是由定理2 1 2 ( 2 ) ，茹( b o f 2 ( 8 ) - 1 = ( ( b 0 ) - 1 ) ( 5 ) = ( b 一1 ) 。) ( b 一1 ) 。故( b 一1 ) o o = ( b ”) 一1 = ( b q 。) 一1 ( 3 ) 由( 2 ) 即得 b g p 9 6 1 6 3 c o i i i 第3 2 页，共5 2 页毕业论文 第二章i 蔷阶k a p l a n s k y 变换及o 。- k a p l a n s k y 交换 命题2 3 1 设 晟ii r ) 是的一簇戽子模，且b = u b i 也是耳的b 子模 e j b “= u b 手 t 证明显然uj e 泸j e p ；反之，设z b o o = u b f s ) 则存在s 21 ，使得z b ( “由命题2 1 1 ，z u 磷“从而存在i f ，使得z 磅3 嚣。u 研。于 是b 。= u 印 2 4 关于u 一凝聚整环上的扛维数 定理2 4 1 ( 1 ) 若冗是* 凝聚整环，则q 。0 也是w 一凝聚整环 ( 2 ) 若r 是m o r i 整环，则q 。也是m o r i 整环 证明完全类似于定理2 2 1 与定理2 2 2 的证明 定理2 4 2 设尼黾俨凝聚整环，b 是尉拘分式理想则( 最) o 。= ( b ”) ( b q 。) t 从而若b 是r 的 理想，则b ”是q ”的t 一理想 证明设z ( b t ) 。= u ( 且) ( “则存在s 1 ，使得z ( b t ) ( “由命 题2 1 1 知，( 毋) ( 5 ) = ( u 五) ( 8 ) = u ( 五) ( “，其中j 取遍b 的有限生成子分式理想 则存在引拘某个有限生成子分式理想l ，使得z ( 厶) ( 。) ( 工) o 。从而由定 理2 3 2 ( 3 ) 知，z ( 山) ”= ( j n o 。) 。= ( j l t 。) t ( b l o 。) c 故( 鼠) o 。( b q o 。) t ；另 方面，由于b n o 。b o o ，贝| j ( b n o 。) t ( b 。) t 从而( 鼠) o 。( b d 。) t ( b 。) 。 下证( b 。) t ( 夙) 。o ，设z ( b 。) t = u a 。，其中a 取遍b 。o 的有限生成 子分式理想则存在日。的某个有限生成子分式理想a ，使得z a 。设a = ( 0 1 ，o 。) 则对i = 1 ，n ，有o i b 。= ( u j ) 。，其中j 取遍b 的有限生成 子分式理想由命题2 3 1 ，( u o 。= uj 。从而存在b 的某个有限生成子分式 理想j ，对i = 1 ，扎，有啦j 。故a = ( a l ，n 。) q ”尸，则 。( j ”) 。 由定理2 3 2 ( 3 ) ，( j 。) 。一( 山) 。( 鼠) 。故z a 。( b d 。，即( b 。) t ( 玩) 。 于是( b ) o 。= ( b 。) 。= ( b n 。) 。 定理2 4 3 设r 是口一凝聚整环，a 是q 。的非零理想，且日= an r 则 b g p 9 6 1 6 3 c o m 第3 3 页，共5 2 页毕业论文 第= 章高k a p l a n s k y 交换及o 。一k a p | a n s k y 变换 ( 1 ) a t = ( b t ) 0 。 ( 2 ) 若a 是q 。的扛理想，则b 是r 的t 一理想，且a = b 。一( b f l o 。) t 证明( 1 ) 由引理2 3 i ( 5 ) ，曰q 。a b o 。，从而有( b n ”k 4 t ( b ”) 。 于是由定理2 4 2 ，我们有a t 一( b t ) 。 ( 2 ) r e ( 1 ) ，a = ( b ) 0 0 = ( 8 q ”) t ，则段( b ) 。n r = a n r = b ，从 而b = b t 于是a = 曰0 0 = ( b 1 2 。) t 定理2 4 4 设r 是u 一凝聚整环，只是尉拘极大扛理想，其中s = 1 ，2 ， 设a 是q 。的极大扛理想，h b = a n r 则 ( 1 ) 若对任何s 1 ，b 垡只，则b 是刷 勺极大亡_ 理想 ( 2 ) 若存在某个正整数s o ，b 只。，则b 是包含在只。中的极大素 子理想 证明( 1 ) 由定理2 4 3 ( 2 ) ，b 是冗i 拘扛理想且a = b o o 若有刷拘极大扛理 想m ，使碍bcm 则m 只，其中5 = 1 ，2 ，故只垡m 从而由定 理2 3 1 ( 3 ) ，( 1 ) ，a = b 。0cm o o q ”又由定理2 4 2 ，m 。是q m 的乒理想这 与a 的极大性矛盾 ( 2 ) 由定理2 4 3 ( 2 ) ，a = b o o q ”则由定理2 3 1 ( 1 ) 知，p s 垡b ，其中s 一 1 ，2 ，故b f k 若有一个素t - 理想q ，使得bcqcp s 。( 由于只是r 的 极大亡- 理想，从而只垡q ，其中s = 1 ，2 ，) ，则由定理2 3 1 ( 3 ) ，( 1 ) 及定理2 4 2 ， 有a = b o 。cq d 。q o 。且q 。o 是q 。的亡- 理想这又与a 的极大性矛盾 设s 是r 上的一个秒整环，且“s 我们说u 在兄上w 一整，是指存在一个非 零有限生成b 子模且5 ，使得u 玩玩s 中在兄上 一整的元素集合磁称 为r 在s 中的”一整闭包我们还记蟋为5 中在r 上整的元素集合显然磁皑 当s = k 时，记抒u = 域；同时我们用r c 与兄“分别表示月在中的整闭包及完 全整闭包在文f 2 9 1 中，若r 是一个s m 整环，则j 一= 俨；且若r 是一个拟凝聚 整环，则r 。= 俨，在文1 3 0 1 中d a v i da n d e r s o n ，e v a ng h o u s t o n 及m u h a m m a d z a f r u l l a h 定义并讨论了伪整称元素u k 在冗上伪整，是指存在月的某个非零有 限生成理想，使得“厶至l ( 等价而言，乱f - 1 i - 1 ) 中所有在冠上伪整的元素 b g p 9 6 1 6 3 c o i n第3 4 页，其5 2 页 毕业论文 第= 章高阶k a p l a n s k y 变换及o 。一k a p l a n s k y 变换 集合称为r 在k 中的伪整闭包，记为兄显然，舒”r 从而，若兄是一个m o r i 整 环，则兄= r “；且若兄是一个s m 整环，则f 严= r = r c c 众所周知，在环的整扩张下k r u l l 维数是不变的此外，还有其他重要的 扩环例如，完全整闭包俨，伪整闭包兄受 整闭包r t m 当尼黾n o e t h e r 环时， 兄。，舻，r 及兄”是一致的在文【3 1 中，e h o u s t o n 定义一个整环r 的t 维数为 在r 中素扣理想链长度的上确界不难看出，在伪整扩张下t 一维数是不变的 在文 1 6 】中，w a n gf a n g g u i 讨论了_ r 的w 一扩环冗o 。在m o r i 整环上的亡_ 维数 并且证明了若r 是一个m o r i 整环，且冗有可数多个极大u 理想，譬如说 为只，p 2 ，只，则t d i m r o o = t - d i m r 一1 本文在一类更广的环类即”一凝聚整环上推广了这一结果 定理2 4 5 设尼黾一个十凝聚整环，且r 有可数多个极大。理想，譬如说 为p 1 ，p 2 ，只，贝j j t - d i m f t ”= t - d i m r 一1 证明设a 是q ”的极大舌_ 理想，且b = anr 则由定理2 4 3 ( 2 ) ，b 是尉搀扣 理想，且a = b 。设只是同拘极大t 一理想，其中5 = 1 ，2 ，则存在某个正 整数翮，使得b 垦只。由定理2 4 4 ( 2 ) ，b 是包含在只。中的极大素乒子理想， 即bc 只。由于只是同均极大t 一理想，则