（基础数学专业论文）涉及二项式系数倒数和与几个整数序列的组合恒等式的研究.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 组合恒等式的研究是组合数学研究的重要内容，本文主要讨论些和二项式系 数倒数有关的组合恒等式二项式系数倒数的求和是组合求和中比较困难的课题， 然而它却引起了许多组合专家更多的注意，并且对这个课题已进行过充分的研究 本文主要对一些形如纂m 篙，r m 蒂蠡的组合求和作了进一步的研究，得到了 一些新的有趣的结果 在第二章第一部分，本文利用二项式系数倒数的积分表达式 1，1 击= ( n + 1 ) 矿( 1 一t ) 胪r 出 r ， ，0 推广了b s 嘲t 。啪和f 。z z h 的文章王如n t i t i e si 融r o l v i n gr 耐p r 。e 如o f 毡n o 戚越 c o e 伍c i e n t s ( j o l l r n a l0 fi n t e g e rs e q u e n c e 8 ，2 0 0 6 4 2 ) 中的定理2 1 中的求和警m 篙， 第二部分则是利用生成函数的思想来考虑一些关于二项式系数倒数有关的组合和， 特别是对上面b s u 强t w 矗璎和f z z h 基。的文章同中的定理3 6 的级数求和 r m 蒂南，我们得到了更好的结果如( t ) ，并且还得到了一系列与调和数有关的恒 、r， 等式 第三章我们先介绍墩钟矗觚阵的概念，嚣后利用它给出了与几个经典序列有关 的组合恒等式 第四章则利用三角函数的展开式获得了一系列已有的或新的结果 关键词：二项式系数；组合恒等式；生成函数；r 论r d 蠲阵 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e 撇c ho fe 润幽i n 曲嘲越i d e n t i t 主婚i so 眭ei m p o r t a 躐p 8 戍o fc o m b 主n 撇赫m 8 t h - e m a t i c 8 i nt 量垃sp a p e r ，w em a i n l yd 奴嬲s o m ec o m b i n a 七o r 斌i d e n t i t 漱；w 越c h 酬v et h e r e c i p r o c a l0 fb i n o m 谳c o e 伍c i e n t 8 i ti sw e l ll 【1 1 0 w nt h a tc o m p u t i n gt h e 、试u 鹪o fc o m b i n a t o r i 越s m n si i r v r 0 1 v i i l gt h er e c i p r o c a l0 fb i n o 觚a lc o e m c i e n t si 8a 击m c i l l ts u b j e c t b u ti t a t t r a c t sm o r ea t t e n 乇i o na i l d 七h es u 巧e c th a s 出e a d yb e e nf l l l l yr e s e 戤c h 甜王n 乇h 主sp a p e r ， 粥m 如胁h 黜o r e 溉材c h 戤。c o m b i 础撕蠢s 娜l i k e m 茜趿d 伽尚， 溯1 dw eo b t 越ns o m en e wi i l t e r 船t i n gr e s l d t s i n 竹i e 最r s tp a no ft h es e c o n dc h a p t e r ，t h ea u t h o r sn 】越1 塔eo ft h ei n t e g r a li d e n t i 锣 五d rt h er e c i p r o c 舡o fb i n o m i 缸c o e m c i e n t s 击却删办1 叫蹴 t o 泐dt h es 删药，w h i e ha p p e a r e d 洫t h 渊2 10 ft h ep a p e r ( b s u 吼t w 抽ga 田df z z h a 0 ，i d e n t i t i e 8i 刑议访n gr e c i p r o c 越s0 fb o n o m i a lc o e m c i e n t s ，j o u r n a lo f i n t e g e rs e q u e n c e ，7 ( 2 0 0 4 ) ，a r t i c l e0 4 2 8 ) i nt h es e c o n dp a r t ，t h ea u t h o rw mu s et h e t l l e d 搿o fg e 黼r a t i i 塔f u n e t i o n st oc o 璐i d e rs o m ee o 丑幽i n a t o r i 8 ls u l ：n si 刖r o l 、r 主n gt h er e c i p r o c 啦 0 fb i 踯m 迸e o e 岔c i e n t s ，e s p ee i a ，觋f o rt h et h e o r i 趣3 6o ft h e 曲o v ep a p e r ，骶o b t a i l la b e t t e rr e 础厶( 亡) f o rt h ei 蛳t e s l l m s ，- m 尚，a n dw e 灿o b t 洳s 。m e i n t e r e s t i n g r e s d l t sa b o u th a r n 幻i l i cn u n l b e r s 。 i l lt h et 1 1 i r dc h a p t e r w e6 r s ti 雠d u c et h ed e 矗n i t i o no fr j o r d 翘引a y s ，a n dt h e n u s i n g 主tw eo b t 咖s o m ec o m b i n a t o r i 缸i d e n t i t i e si 矾吱v i n g8 e v 斟越c l a s s 童c 越i n t e g e rs e q 聃n c e s a t1 8 s t ，m a l c i n g 瑚eo ft h ee x p a 璐i o n 8o ft r 蜒蛩强o m e t r i c 受n c t i o n s ，t h e 驰t h o ro b t a 三l l s s o m er e s i l l t sa b o u tb i n o 瑚【i a lc o e m c i e n 七s ，s o m eo fw mc ! ha | et h ek n o i w nr e 烈t s ，b u to t h e r s a r en e w k 叼删d s ：b i n o m i 舔c o e 墨c i e n t s ；c 曲诅a t o r i a li d e n t i t i e 8 ；g e n e r a t i n gf l l n c t i o n 8 ； 碰o r d 8 n 阵 i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学住论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注乖致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。_ 殳；：交幺。j 。浮：i 学位申毒太+ e 学位喜菇羔j ”三二磊2 豳番一 学位申请人e 学位论文作者釜名二缝1 翘崖邑一 ；。r o ，、，一：。7 ：i 、o 一。一t t _ 。7 ，、7 、恕 j 0 、：毫一：誓曩名1 ) 维! ，白n 。，o 、 p二警! ：”7 、d v oi rl ：7w 0 “ ：，o l 乎j ，；! ，二孳ii 。，。：_ - 秀、， 1 j， 、 0，j ，：，；0 7 、：，；0 ：糍参 i i 囊- 爱“3 ”! ，i ! i ：。4 。：3 、o ? ；，矿”! ，；i 。j 琴 j ? ， ；： ；，w 7 j 。 “ 一： 一”r i ：；+ ：关于学位论文著作权使用授权书辇 - ，一j j ? ? j 、：蟛毒：t ：强0 o ，：箩 ：jj ，j ，j ：、：幺j j i i j 气：j ：，毫锄 j ：0 本人经河南大学审核批准授手硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、傻用攀位论文酌要求，启i 】河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阅。氧人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目。的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学住论文在解密后适周本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 鍪名： 维逝海 2od 矛卑月) 、目 学住论文指导救师签名： 1 2 盘生堕二 ，- ，1 2 0 暗年6 月j 、目 第一章引言 组合数学是当代数学中非常重要的一个分支，它发源于有趣的数学游戏，由于 娱乐和其美学上的魅力而被研究的许多组合问题，现在无论在纯粹或应用科学上都 有很重要的价值。组合数学的真正开端是在十七世纪，大约在两个世纪内，它作为 独立的学科却销声匿迹了但是，统计学的发展，随之而来的对构形从未有过的不 断增长的需求以及计算机科学的出现和发展，都使这个学科获得了广阔的发展空间 目前，它不仅成为现代科学中十分重要的一门独立学科，而且它自身业发展出不少 独立的分支 计数问题是组合数学中最基本，最重要的问题之一，而组合恒等式作为计数问 题的结果，在许多学科中都有着广泛的应用，故它是组合数学中主要的研究课题之 一，目前已有一些较为成熟的组合计数方法，例如： ( 1 ) 组合和式的万金油方法 ( 2 ) w z 方法，该方法实现了组合恒等式的机械化证明 ( 3 ) 生成函数法 ( 4 ) 利用超几何方法作为推导组合恒等式的统一方法 我们还可以利用递归关系，反演关系以及矩阵理论等进行组合恒等式的推导证 明，对于涉及二项式系数倒数的组合和我们还可以利用二项式系数倒数的积分表达 式进行计算。总之，研究组合恒等式的方法多种多样，结果也丰富多彩，这些方法 各有千秋，但都不能解决所有问题。多数问题的解决还都需要灵活的技巧，经验和 观察分析能力，也即对于某个恒等式的证明有些方法可能不能处理或则比较麻烦， 但利用另外的方法可能很容易就能解决，如 ( n 竺惫) = r 圮2 u ( r 为第几个f i b o n a u c c i 数) w z 方法处理不了，但用生成函数理论中的万金油方法 方法可以很容易的证明。 本文主要研究一些和二项式系数倒数有关的恒等式，在第二章第一部分是利用 二项式系数倒数的积分表达式推广了【3 】中的两个恒等式以及 6 】中定理2 1 中的 】 河南大学硕士学位论文 求和塾m 蒂f ，第二部分则是利用生成函数的思想来考虑一些与二项式系数倒数 有关的组合和，得到了生成函数厶( t ) 及最( t ) ，从而可给出一系列组合和的封闭形 式4 第三章我们先介绍瞰卯d o 礼阵的概念，然后利用它给出了与几个经典序列有关 的组合恒等式，最后则利用三角函数的展开式获得了一系列已知或新的结果。 本文所采用的符号有的尚未成为标准符号，这里约定 符号名称 凰调和数：1 + 丢+ + 去 踏)广义调和数：1 + 击+ + 去 妒 ，( 名)，( z ) 中z 几的系数 l z i小于或等于z 的最大整数 2 第二章涉及二项式系数倒数的组合求和的若干结果 二项式系数在很多学科中起着非常重要的作用，例如组合数学，数论和概率等。 关于二项式系数的恒等式的研究是一个传统的课题，目前已经得到了大量的优美的 组合恒等式，例如，在c o m t e t 的a d v a n c e dc o 1 b i i 僦o r i c s ( 1 9 7 2 ) 这本书中关于二项式 系数倒数的求和就有下面漂亮的结果： 一 薹防1 = 三+ 雩， 薹搬) - 1 ；蒜 但是，关于二项式系数的倒数的求和是比较困难的课题，近年来都引起了许多专家 的关注，例如 2 ，【3 ，【4 】， 5 ， 6 ，【7 】， 9 】， 1 0 】等，特别是文献【3 中b s u v 在1 9 9 3 年 利用二项式系数倒数的积分表达式得到下面两个组合恒等式： 砉南= 等耋鬲= 字毛一1 待 协1 ， 事实上，上面第一个恒等式就是g o m d 所收集的恒等式的专著c o r n b i n 0 面a l li d e n t i - t i e s 中的( 2 2 5 ) ，最早出现在1 9 4 7 年s t a v e r 的文章 1 3 】里 本章第一部分利用二项式系数倒数的积分表达式推广了( 2 1 ) 中两个恒等式以及 【6 中定理2 1 中的求和：m 篙，第二部分则是利用生成函数的思想来考虑一些 关于二项式系数倒数有关的组合和，得到了生成函数( ) 及风( ) ，从而可给出一 系列组合和的封闭形式，另外我们还得到了一系列与调和数有关的有趣的恒等式。 3 笪9 兰 丌一 ： i 。= 、夕 b 为 一 一2 k 三舻 汹 汹 河南大学硕士学位论文 2 1二项式系数倒数的积分表达式与组合和 b s u 珂在1 9 9 3 年利用关系式 触q ) = 渊 观察到 去= 坐掣= 迎制掣= ( 叶1 ) f 1 矿( 1 一t ) 出 ( 2 2 ) _ = 一= 一= - n 十_ - -【ll lln e 1z z - ( ? ) 他! r ( ( 礼+ 1 )v 。7 几。、 、7 利用上面的二项式系数倒数的积分表达式，可以得到许多有限和无限的关于二项式 系数倒数的求和，s 峨w 抽g 和z h a 0 6 】证明了下面的结果： 定理2 1 1 在有理数多项式环q 闭中，恒等式 塞鼍产却州兰箐 帕删善一 仁3 ， 对于所有的m n 都成立它的一个等价形式是如果入一1 ，那么 塞茜= c 1 ，善品孔蔷r ( 一? “) 击熹三裔= 仰“，赫三( 礼一：卜z ) 鼎 帕+ 1 ) 群蔷壹紫 协4 ， 本部分在此基础上，利用二项式系数倒数的积分表达式对上述结果做了一些推 广，得到了下面的结果： 定理2 1 2 如果n ，七，和r 为非负整数，那么在有理数多项式环驯卅中，恒 等式 熹警卸1 蓬希犏仇= 七 m ， i = 0 、。l ”l ，七 ， 帕1 ，孔) ( - 1 ) 雹帮仁5 ， 4 查南却1 ，喜蒜苫r 产舯p 击 帕1 ，赫骞，善错 6 ， 另外 塞南却1 ，争粼批垆d 杀。7 ， 篙= ( n + r + 1 ) 扩r ) ( 一1 ) p 忑未鬲。 ( 2 7 ) m = 七仇， t = 0口= o r t 一1 上 证明对一个固定的实数a ，令厶 ，- ( 入) = ：知煮岛，由( 2 2 ) ，我们有 “a ) = ( 时r + 1 ) ：1 ( 1 叫计，妻( 嵩) 仇蹴 厶，蠡，r ( a ) = ( 佗+ 7 + 1 ) ( 1 一) 拓+ r ( 了竺，- ) 仇蹴 ，0 _ 一l 一艺+ = ( + 1 ) 小堋太丝杀掣出 设s = t 入一( 1 一亡) ，有 = 踹( 柚九川户鲨等筹斋掣衅8 ) 则我们有厶，忌，= + r + 1 ) ( 五+ 尼) ，此处 五= 南( h ) r 掣小知邯- s ) 州一凼， 厶= 茄( ) r 盟掣缸 利用下面式子 盟竖业：妻( s + 1 ) p s一 7 交换积分和求和的顺序， p = 七 忍= 器妻( 柚雹蜡 同样的有 = 喜斋禺数抄垆志 型重j 堕堡主兰垡笙銮 上面的操作当a 一1 时有效，故对入一1 ， 如卸1 萑赫扎善r ) ( 1 ) p 南 坼1 ，揣砉妒耋辩 这就证明了( 2 6 ) 对于( 2 6 ) ，以南代替a ，此处p 1 ( 因为秒1 能取遍一1 之外所 有的实数) ，并且左右两边都乘以( 1 一口) n ，我们有 妻箐却1 ，争锕叫m + 1 数垆志 怕1 胪1 乳) c 叫耋糈 9 ， 比较( 2 9 ) 左右两边萨的系数，我们得到 南却打“) 薹c ) ( 。广p 南 ( 2 1 0 ) 令竹+ 7 = s + 七，我们有 妄c 。，p 击= 南 仁 要证明( 2 9 ) 是一个有理数多项式恒等式，就必须证明( 2 9 ) 的左右两端在有理多项式 环中恰好相等，对于( 2 9 ) ，利用( 2 1 1 ) ，即可得出( 2 5 ) 从( 2 8 ) 也可得( 2 7 ) 证毕 推论2 1 3 对于任意的非负整数死，而和r ，有 熹糈咄1 ，争y 醪蒜 m = m ， 捂ol蠡。八彪十r 十。十上j 证明比较( 2 9 ) 左右两端伊的系数，即得所要的结果 定理2 1 47 1 l 和r 是非负罄豹那么 o1 三南=，名( 喘r ) 一 6 ( 譬 偿 ( 2 1 4 ) ，- 、 玎 竺竹一f 蔫南墨一 等一 铊一 、 ，以n ，一 患 熹冀f南 n 筹可 河南大学硕士学位论文 址明凋丁( 2 6 ) ，惫= 0 ，a = l 网1 霄况射出j ( 2 1 3 ) 现仕米看弟一l 、，寺虱，从 ( 2 2 ) ，有 嘉南= 嘉南= 嘉南= c n + r 州熹z 1 m 叫沪m 班 = ( 死+ h 1 ) 矿( 1 一t ) n 俨( 1 一圹m 出 _ ，o 磊； = ( + 1 ) 竺篙竽砒 竹+ r + 1 2 n + r + 1 2 竹+ ，+ 2 死+ r + 1 = 而雨 2 n + r + 2 孔+ r + 1 2 竹+ r + 2 c 半厂堂掣d s 仁( 1 + s ) r 业鲨竽型d s ，一l o 薹c 斯+ 妒) 叶s 如 薹( 佗亨1 ) ( 1 一c 叫j ) 砉s l q s = 鬻薹( h 叫歹) ) 耋( ：) 等学 = 帮毛( n 岁1 ) 鄯) 掣 = 等三；羡) ( ：) 南 j o d 垃 蕾e u e 几、 ，、。一 = 警三( n 岁1 凇南 这就证明了( 2 1 4 ) 证毕 则在上面的定理中当r = o ，我们即可直接得到( 2 1 ) 当7 = l ，r = 2 或r = 他， 我们有下面的推论 推论2 1 5对于任意的非负整数死，有 塞南= 等塞磊= 并乏羚冉 河南大学硕士学位论文 n + 3 仇篇收敛于 死喜( 竹了1 ) 茅茅一见薹( 搿 + 佗( t 一1 ) 铲1 妄+ n ( 一1 ) 舻1l n ( 高) 必须指出的是n 为正整数，注意级数r m 幂高等价于级数r m + n 焉 本节的目的就是利用生成函数的理论重新考虑级数r m 蔫蕞，从而我们给出 了级数墨。高甫和墨。希可矿的封闭形式，并且我们得到了级数r m 篇 的另一个封闭形式我们得到了一些有趣的结果，一些相关的求和也被考虑到 定理2 2 2 对于任意的正整数佗，令如( t ) 为爿南l的生成函数，则对 r ，r 于实数o 1 ，有 舢) = 警( 蓦昙( 罕) n _ 一( 字广1 l n ”t ) ) ( 2 3 1 ) 证明令卧。南，那么我们可以用卧来表示劬+ 1 ： 1 ( 7 + 1 ) 礼! r !r + 1 劬“2 丽2 而意商而可2 丽郇 1 1 河南大学硕士学位论文 此关系可以写为： p + 1 ) n ，+ l + 钆口r + 1 = 7 口+ 口f 转化为形式幂级数厶( t ) 并对上面的结果重新安排，我们得到下面的微分方程： t ( 1 一亡) 如( 芒) + ( 见一芒) a 佗( 孟) 一纪= 0 ( 2 3 2 ) 其解为： 础两譬2 禹蹴 对于正整数亿，我们利用下面对于正整数礼有效的递归公式( 参考文献 8 第5 8 页) 来 解上面式子中的积分， r 品巩= 一而南+ 丢品出 仁3 3 ， 面车面f 巩= 一石i 可方褊+ 丢南出 ( 2 3 3 ) 利用( 2 3 3 ) ，可得到 ，+ t l 一1 n 1 n t j 南拈；( - 1 广1 f 南+ ( _ 矿h l ( 1 _ 卅d 从而有 剐归礼静m 群* 矿学岬叫协竿 另外观察到，当佗= 1 ，有下面著名的结果： 掣肚l n ( 1 + z ) ，z ( - 1 ，1 】 ( 2 3 4 ) 我们有 a 1 c 一1 ，= 霎铩= 霎错= 霎上学= - n 2 r = o ， ，= 0 r = 1 由此可得到c = o ，所以我们可以得到希望的结果( 2 3 1 ) 显然墨。爿甫矿的收敛 半径为1 ，但t = o 不满足( 2 3 1 ) ，这样我们就完成了定理的证明 证毕 通过下面的推论我们来看一下当t 为某些具体的值时厶( t ) 的情况： 河南大学硕士学位论文 推论2 2 3对于任意的正整数n ，有 ( 2 3 5 ) 薹锩= 趔。1 ( h2 一喜莩) c 2 娜， 薹南茜= 2 艚_ ( c - n 3 一h2 ，一喜莩) c 2 ， 薹高地广1 ( 薹掣叫 仁3 8 ， 证明对于任意的正整数佗，当= 1 ，一1 ，一三，墨时( t ) 的值分别给出了( 2 3 5 ) ， 借助于a 竹( t ) ，我们也可以给出级数r m 号南的另一个封闭形式，事实上， 它等价于级数r 仇+ 佗南 定理2 2 4如果扎，m 为非负整数，且n 1 ，则对于实数1 ，有 证明 = 佗批t 一1 ) 俨扣1 一死( 亡一1 ) 俨1 l i l ( 1 一亡) t = l 一篆扣，( ? ) 糟矿r 仁3 9 ， 在文献【7 中，作者得到了下面的恒等式： 击 i | 上 脚 竺 咖 竺 一咖 一 旦 。i = 旦 咖 旦一咖 一 na n 赤 b 一 后p 3g 埒 老础 + f i 南 河南大学硕士学位论文 利用上面的结果，我们有 南= 砉，筹 泣4 。， 则由( 2 4 0 ) 和如( t ) ，当o 1 时可得到( 2 3 9 ) 另外，注意到亡= o 也满足( 2 3 9 ) ， 则由此我们完成了定理的证明 证毕 定理2 2 5 对任意正整数凡，令既( 亡) 为序列( 高击) 的生成函数，则 、， 当o 1 趔( 喜莩一h 2 ) _ 2 m ( 等- h2 ) t = 1 o o m ! f o l = 1 o o 仇! f j ：一 住= 0( 扎+ 1 ) ( 礼+ 2 ) ( 礼+ l + 仇) = 熹薹南 = = = 一 - - - i _ - _ _ 。! 一 m + 1 厶 o o o t ( 他，南) 扩 知= 0佗 七 o o z 知9 ( z ) ，( z ) 知 j c = 0 9 ) 1 一z ，( z ) 。 2 1 河南大学硕士学位论文 即 3 2r i o r d a n 阵和几个组合序列 我们先给出几个组合序列的定义： f i b o n a c c i 数r 为下面递推关系的解： 口n = a 一1 + a 一2 ，知= o ，8 1 = 1 ， r = 击( ( 学卜( 学) n ) 、6 z z j a c o b s t h a l 数j ( 仃) 为递推关系 的解，且 a = a 一l + 2 口n 一2 ， 0 0 = 0 ，0 1 = 1 p e l l 数p e f z ( 几) 为递推关系 t 2 n ( 一1 ) 佗 厶= 音一半 a = 2 a 一l + 口n 一2 ，0 0 = 0 ，n 1 = 1 的解，且 p e 2 炳) = 去( ( 1 + 以) n - ( 1 一以) n ) f 曲帆。以数厶有一般生成函数g ( z ) = 南，那么( 1 ，g ( z ) ) 是一个r i o r d a n 阵 ( 1 ，g ( z ) ) = 10oo0 0o 0100000 011o000 02 21 000 035 3 1 0o 051 09410 082 02 2 1 451 河南大学硕士学位论文 础o r d a n 阵( 1 ，g ( z ) ) 的一般项t ( 几，七) 由下面的定理给出： 定理3 2 1 晰，= 。喜。) ( 几：竺f1 )t = 0 、7、 。 ， = 。萋。( 亿一多一毫) ( ni 三j1 ) 证明 我们试图寻找妒 ( g ( z ) ) 忌为此，我们首先来看一下( g ( z ) ) 知： 所以有 ( g ( z ) ) 七= z 七i 南= z 南( 1 一z z 2 ) 一知 = z 嘎( c 2 ，暑 8 = 0 、 一 7 = z 七薹( 惫+ 三一1 ) z 5 c 1 + z ，暑 = z 七薹( 七+ 三一1 ) z 8 妄( ；) z t8 = 0、 t = 0、。， = z 南薹( 七+ 三一1 ) 妄( ；) z s “，s = 0、 一 ， 主= o 、， 郴卜嚣+ 妄妒“ = 薹封+ 妒“s = 0i = 0 、 。 ，、 = 嚣二“) 1 ， 材矗1 ) “) = 。萎1 ( 佗i 三j1 ) ( 佗一一) 另一方面，从( 3 1 ) ，应用下面二项式系数的十字交叉乘积： ( ：) c ) = ( ；) ( ：二多) ， 河南大学硕士学位论文 我们有 这就结束了证明 所以 妒 ( g ( z ) ) 七 种一：) ( n 一：一1 ) ( 佗i 竺f1 ) ：。萎。( n 一：一1 ) ( 佗：竺f1 ) 推论3 2 2对于任意正整数扎，奄且7 1 l 2 ，则 t ( 死，七) = t ( n 一1 ，七一1 ) + t ( n 一1 ，七) + t ( n 一2 ，七) 证明因为 g ( z ) = z + z g ( z ) + z 2 g ( z ) ， g ( z ) 知= z g ( z ) 忌一1 + z g ( z ) 忌+ z 2 g ( z ) 七， 七1 观察到胁r d a n 阵( 1 ，g ( z ) ) 的第忍列有生成函数 那么 t ( 儿，克) 护 n 2 七 g ( z ) 七= 丁( 几，七) z n n 知 t ( n ，七) 矿+ z 2 t ( n ，七) z n n 七n 知 t ( 死，七一1 ) z n + 1 + t ( 几，尼) z 住+ 1 + t ( n ，后) z n + 2 佗 七一1n 七竹 膏 r ( 礼一1 ，七一1 ) 矿+ 佗 七 竹 艮 佗 l c n 知+ 1 证毕 z ( 佗一1 ，老) z n + t ( 7 1 l 一2 ，忌) z n 扎南+ 2 t 一1 ，七一1 ) 矿+ t ( 几一1 ，后) z 住+ t 一2 ，七) 护 竹詹礼詹 ( t ( 死一1 ，奄一1 ) + r ( n 一1 ，后) + t ( 几一2 ，奄) ) z 行 河南大学硕士学位论文 综上所述我们得到所要证明的结果 证毕 考虑碰o r d a n 阵t = ( 1 ，g ( z ) ) ，p = ( 南，g ( z ) ) ，和f i b o n a u c c i 阵f = ( 南，z ) 系： p = f= 10o0o00 l10000o 2210000 3531 0o0 51 094 100 82 02 21 4510 1 33 85 14 0 2 061 l000000 1100o oo 21 lo o00 32110 0o 53 2 1 1 0o 8 5 321 lo 1 3853211 应用r i o r d a n 群的运算法则我们发现f ot = p ，从而我们可得到下面的递推关 并且观察到 所以 竹一七+ 1 p ( 死，后) = 只t ( n + l 一寡，后) t = 1 p ( n ，知) = t ( n + 1 ，忌+ 1 ) ，7 1 l ，o n 一+ 1 t ( 礼，忌) = 晟t ( n 一蕾，后一1 ) ， 死，七1 讧：1 2 5 ( 3 2 ) 皇l 堕一查兰塑主堂垡鲨銮 当死，七1 时，从上面的递推关系有 t ( n ，七) = ， q h 薯菇n 知跏，j = 1n i d 由( 3 2 ) 和定理3 2 1 ，我们得到下面的结果： p c n ，克，= 。萎。( 礼7i ) ( 死乏2 7 p ( 啪) = ( 礼_ 2 ) r ：如) i = 0 “ p ( 铊，七) = p ( 死一1 ，七一1 ) + 尸( 死一1 ，七) + p ( 仡一2 ，七) ，n 2 ，忌1 - 这就证实了文献 17 】中的结果p ( 礼，庇) 必须指出的是在文献f 17 】中的结果 硒+ ；。+ 善七：竹一七壹j 。= 。喜。( n7 暮) ( 礼：2 t )t 0 + t 1 + + 如= t l 一七j = 0 t = 0 。 是不正确的事实上，考虑( 3 2 ) ，( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，我们有 ( 3 3 ) ( 3 ，4 ) 咐咐暑一扎壹= 。薹。( n 77 ( n ：2 ) c 3 脚 = ( n7 。) ( n ：现) ( 3 5 ) n o + n 1 十：2 七；n + 1 ，j = o = o p n 定理3 2 3 对于实数q ，卢，非负整数竹，那么 骞。1 冲棚卜硝= 筠( 南一一) 证明 在文献 2 】中，具有生成函数再知的序列所具有的一般项为 。萎。( n 一；一1 ) c q ，n 一2 t c p ，t ( 孔一；叫) ( 一q ) 铲2 ( 一p ) 1 = u 、 7 另一方面，经过部分分式展开，有 则由上结果我们可得到所要的结果 河南大学硕士学位论文 推论3 2 4 r = 去( c 学卜c 学静一斗 厶= 詈一半= 孰一踏t 削，= 撕椭n 却嘲扎) = 孰一玲棚t 证毕 证明在定理3 2 3 中当a ，矽为下面的具体值口= p = 一1 ；口= 一1 ，= 一2 ；a = 一2 ，p = 一1 时，相应的给出了上面三个恒等式 定理3 2 5 七 ”l + 他；吉”知一歹- 1 n t u = p e j 洳) = 去( ( 1 + 伺n _ ( 1 一讵) n ) 【詈j 忌 尸( 佗一后，七) = = j ( n + 1 ) 枉o 0 + 1 扣芎筘”1 触 证明 由硒o r d a n 阵的性质1 ，则m o r d a n 阵t = ( 1 ，g ( z ) ) 的行和的生成函数为 ( 1 ，) ) 圭= 鬟= 1 + 南 1 + 薹去( e 1 椭住邙一万，) 扩 1 + f p e z z ( n ) 扩 z 一 7 n = 1 2 7 + 礼 以 p= 兄 七间 l n = 营 + q + 叼膏 = 老他p n 脚 河南大学硕士学位论文 所以当死1 时， 吲( 1 ，g ( z ) ) 击= 砌 也就是 ? ( n ，七) = p e 2 z ( 礼) 那么考虑到( 3 3 ) ，我们有第一个结果同样的，考虑碰o r d 觚阵p 的行和是p e u 数 p “2 ( n + 1 ) ，o r d a n 阵p 的对角和是j a u c o b s t h a 数j ( n + 1 ) 证毕 另外我们还有下面的结果： 七 = 厶4 惫 0 扎1 + n 2 + + n 缸= n k ，j = 1 n t 1 小蝌囊。垂：。喜1 “圹等1 ) = r 一乏一。) r 一：二：叫) n 1 + f 屹+ + 竹知= 竹一七，歹= 1 蕾= 0 、 。 ， 一 一 l 1 p c 啪卜讲针毛蒯+ 。囊= 。赛1 ( 几7 主) c 二2 2 ) p ( 啪) = = r7z ”) o + t 1 + + = 竹+ 1 歹= 0 i = 0 、 。 一 7 第四章三角函数展开式与组合恒等式 二项式系数是经典的组合数，他在许多学科中扮演看重要的角色，例如概翠论， 统计学以及数论等。有许多恒等式都和二项式系数有关，另外三角函数展式在许多 方面都有重要的应用，在这部分内容中，我们利用三角函数展开式( 参见【8 ) 得到了 许多关于二项式系数的有限和，其中一些和式为已知道的结果，但另外一些却是新 的结果。 定理4 1对任意非负整数n ，那么 砉辫= 薹孵= 禹， 他1 ， 乏磊2 几一2 七+ 1 乏； 2 后+ 1 ( 2 n + 1 ) ( 翟) r 砉骠= 一 2 ， 乏；( 2 南+ 1 ) ( 2 礼一2 忌+ 1 )( 2 死+ 1 ) ( 佗+ 1 ) ( 翟) r 。 证明幂级数a u r c s i n 2z ( 一1 z 1 ) 的展开式( 见 8 ，第5 2 页) 为： 删 = 三两翻p + 2 ， ( 4 3 ) 怠( 2 礼+ 1 ) m + 1 ) ( 嚣) 。、 另一方面， 砌也= 2 z 霉志a u r 枷出 =2 z 霉( 薹黔赡鼎p “卜 = 2 睡耋舻“如 = 薹薹蒜+ 4 ， 在( 4 3 ) 和( 4 4 ) 的右边提取z 2 n + 2 的系数，我们可得到所要的结果( 4 1 ) 另外， 盯c s i n 2z=( a r c s i nz ) ( 盯c s i nz ) = ( 薹嘉p “) ( 薹菇扣+ 1 ) 河南大学硕士学位论文 = 薹篆研制2 ， ( 4 5 ) o 。 n，2 惫、，2 佗一2 免、 在( 4 3 ) 和( 4 5 ) 的右边提取z 2 时2 的系数，我们可到结果( 4 2 ) 证毕 事实上，( 4 1 ) 就是c o u l d 所收集到的组合恒等式的小册子【1 中的( 3 9 6 ) ，而( 4 2 ) 则是文献 9 】中的定理4 8 下面的结果是有趣的： 定理4 2对任意的正整数他，那么 证明因为 所以有 注意到 我们有 薹耻。 薹r1 净= 掣 8 e czc 0 8 z = 1 ， 芝c 叫心( 渤驯扎 ( 一1 ) 俨) f 易七i = o 知：0 “。 易詹= ( 一1 ) 凫l 易_ i ；。| ( 4 6 ) ( 4 7 ) 坐叫厂 生协 h掣脚出 嚯型 、夕 知一d 凯 俨孬 习幽 陬一 十一、。 脚 夏有鲽瑟脯 m ， i | 邑 ， 二厂 ； n 七 n 脚 河南大学硕士学位论文 这就是( 4 6 ) 1 n e o s z = z 善( 1 n c 0 8 亡) ，斑= 一z z s e c 掘泌斑 一z 2 ( 薹劂) ( 争，扎晶) 蹴 = 子 l 垦墨l ( 二1 2 二二竺： z 2 阱1 )。= ff l 丝坐二坚：= z 2 ( 衅1 ) 囊；售( 2 忌) ! ( 2 扎一2 后+ 1 ) 1 2 ( 佗+ 1 ) “ = 耋藿蒯 他8 ， = rr! 垒型型：!掌2 ，；，dr 、 囊三乏：( 2 奄) ! ( 2 托一2 老一1 ) 1 2 铭“ 氛u 7 另外，在文献【8 】第4 6 页，有 l n c o s z = 主烈铲眦孰， 杖9 ) 厶死z 霸；! 、7 所以，提取( 4 8 ) 和( 4 9 ) 右端z 凯的系数，并考虑岛詹篇( 一1 ) 南i e 2 知i ，就可得到结果( 4 7 ) 证毕 定理4 3对任意非负整数祀，有 薹( 猫户n 删 塞黑= 熹 台2 奄+ l 2 死+ l 砉( 2 2 州，喇 知( 2 7 12 ) = 孕 妄p ( 裂) = 掣 ( 4 n ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 争惫叫( 2 之1 ) = 掣，喇 棒埘 河南大学硕士学位论文 扯明 仕又腻1 8 j 弟3 5 贝甜出j 幂缴致s j n z 2 ，s i n z ，c o s z z ，c o s j z 的展开式 ! 旦0 2 n 一1 s i n 2 2 = ( 一1 ) 计1 萧， ，l = l 、7 c o s 2 一卜争广1 斋，n = l 、 8 i n 3z ：三虽f _ 】、州圣：二：二璺z 2 n + l 8 i n 3 一砉( _ 1 ) 叶1 蔷希护l ， c o s 3z = 三妻( _ 1 ) n 哿 n = 0 、，。 从s i n 2 z = 2 s i n z c o s z ，在左右两端提取z 2 时1 的系数后，可得到( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 是( 4 1 0 ) 的 一个简单的变形，由c o s 2 z = 2 c 0 8 2 z 一1 ，可得( 4 1 2 ) ，利用c o s 3 z = c o s z c o s 2 z ， 有( 4 1 3 ) ，从s i n 3 z = 8 i n