（基础数学专业论文）关于增（减）序变换半群的若干研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 知熊 导师签字： 学位论文版权使用授权书 许堪 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：色娟 导师签字砟弘事 签字日期：2 0 0g 年6 月2 日签字日期：2 0 0 莎年月2 日 山东师范大学硕士学位论文 使 关于增( 减) 序变换半群的若干研究 摘要 本文研究了几类变换半群的若干性质，全文分为四节，具体内容如下： 第一节主要刻画了保e 增序部分变换半群上的格林关系主要结论如下： 定理1 6 设，9 硭( x ) 则以下结论等价： i ) ( ，夕) c 。； i ) 7 r ( ，) = 7 r ( 夕) e ( ，) = e ( 1 9 ) ： 训存在一个保e 的双射西：i m ，一i m 9 使9 = 妒， 定理1 7 设，9 呓( x ) ，则以下结论等价： i )( ，9 ) 冗。： i f ) 对v a x e 则存在b c x 使 ，( a n d o m 厂) 夕( b n d o m 9 ) ，9 ( a n d o m g ) ，( c n d o m 厂) 存在一个容许p 的双射西：丌( ，) 一丌( 夕) 使 = 9 。西 定理1 8 设，夕呓( x ) 则以下结论等价： i ) ( ，夕) h ： i i ) 丌( ，) = 7 r ( f ) ，e ( ，) = e ) 而且对v 4 x 都存在b ，c x e 使 ，( a n d o m 厂) 9 ( 日n d o m 9 ) 9 ( a n d o m 夕) ，( c n d o m ，) ； i ) 存在一个容许e 的双射d ：丌( ，) 一万( 9 ) ，而且存在一个保e + 的双射 t f ：i m ，一i m 9 ， 。= 9 。牵19 = 巾f 定理1 1 1 设( ，夕) 硭) 则以下结论是等价的： i ) ( ，9 ) 矿； l i ) 存在一个容许p 的双射妒：丌( ，) 一丌( g ) ，其中9 可写为两个双射的乘积， 并且还存在一个保e 的双射移：i m ，一i 嘲，使1 f ，厶= 乳d 推论1 1 3 在硭( x ) 中，有矿= 歹+ 第二节主要研究了保等价增序完全变换的变量半群上的格林+ 关系的刻画主 要结论如下： 定理2 1 设，夕磋( x ；p ) ，夕，则以下结论等价： 山东师范大学硕士学位论文 t ) ( j ：9 ) c 。； i i ) 7 r ( p ，) = 丌( ，) = 7 r ( 9 ) = 7 r ( 口9 ) 。e ( p 厂) = e ( ，) = e ( g ) = e ( 口9 ) ： 渊存在一个保f 的双射妒：，( z ) 一夕( z ) 使9 = 咖，而且p i m ) 和( 引为保e 的单射 定理2 3 设，9 呓( 叉：p ) ，则以下结论等价： i ) ( 厂9 ) 冗； )对任意的e 类a 都存在b c x e 使，( a ) 卵( b ) ? 9 ( a ) ，口( c ) ； 渊存在一个容许目的双射，：丌( ，) 一丌( 9 ) 使 = 玑妒 定理2 4 设，9 呓( x ：p ) ，则以下结论等价： i ) ( ，夕) h ； t z )7 r ( 臼，) = 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) = 丌( 的) e ( 口，) = e ( ，) = e ( 夕) = e ( 的) ，同时对任意的e 类a 都存在b ，e x e 使厂( a ) 卵( b ) ，9 ( a ) ，口( c ) 定理2 5 设工夕呓( x ：一) 则以下结论等价： t ) ( ，夕) 矿； t )存在一个容许睇的映射9 ：丌( ，) 一万( 9 ) 和一个保e 。双射西：，( z ) 一夕( z ) ， 且9 可表示为两个双射的乘积，使口 = 玑9 ，而且口i m ) 和都是保护单射 推论2 7 在巧( x ：目) 中， 有口= 了。 第三节讨论了有关减序部分变换半群的同构问题主要结论如下： 定理3 7 设p 一( x ) ，p 一( y ) 分别为x y 上的所有减序部分变换组成的半群， 则以下结论是等价的： i ) x 和y 是序同构的； i i ) p 一( x ) 皇p 一( y ) 推论3 8 设尸一( x ) ，p 一( y ) 为前面所定义的，则以下结论是等价的： i ) x 和y 是反序同构的； 钇) p 一( x ) 皇p + ( y ) 第四节主要给出了t 为半群s 的任意左( 右) 理想以及左右理想的交时满足 r 叼( r ) = r 叼( 丁) 这类半群的刻画主要结论如下： 定理4 4 设a 为半群s 的全体左理想的集合，则以下条件在半群s 上是等价 的： ( i )( b t 五) r e 9 ( t ) = g r ( 丁) ； ( i i )( v 丁j ) r e 9 ( t ) = r e 9 ( 丁) ； ( i i i )( v 丁a ) r e 9 ( t ) l r e 夕( t ) ： ( i v )r e 9 ( s ) l r e 夕( s ) ； ( v )r e 9 ( s ) = g r ( s ) 2 山东师范大学硕士学位论文 定理4 5 设房为半群s 的全体右理想的集合，则以下条件在半群s 上是等价 的： ( i ) ( v 丁b ) r e 夕( r ) = g r ( t ) ； ( 订)( v 丁b ) 7 e 夕( t ) = r e 9 ( t ) ： ( i i i )( 峙t b ) r e 夕( 丁) 三r r e 9 ( 丁) ； ( 如)r e 9 ( s ) 兄冗e 9 ( s ) ： ( v )兄e 夕( s ) = g r ( s ) 定理4 6 设a 为半群s 的全体左理想的集合，豆为半群s 的全体右理想的集 合，则以下条件在半群s 上是等价的： ( i )( v j 五，v 。，宫) r e 夕( j n ，) = g r ( ，n j ) ； ( i i ) ( v ，a v j b ) r e 9 ( n j ) = r e g ( ，n ，) ； ( i i i j( v j r a ，v j 雷) r e 9 ( ，n ，) r r e 9 ( j ) n l r e 9 ( ，) ； ( i v )r e 9 ( s ) r r 叼( s ) nl r 叼( s ) ： ( v ) r 叼( s ) = g r ( s ) 关键词：增( 减) 序部分变换半群，保e 增序部分变换半群， 保增序完全 变换的变量半群，同构， 格林+ 关系 中图分类号： 0 1 5 2 7 3 山东师范大学硕士学位论文 s t u d i e so no r d e r i n c r e a s i n g ( d e c r e a s i n g ) 7 工r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u p s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so fs e 、r e r a ls p e c i a lt r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h es e c t i o n1m a i n l yc h a r a c t e r i z e st h es t a r r e dg r e e n sr e l a t i o n sf o rt h eb p r e s e r v i n ga n do r d e ri n c r e a s i n gp a r i t a lt r a n s f o r m a t i o ns e m 远r o u p t h em a i nr e s u l t s a r e 百v e na sf 0 1 1 a 而n g t h e o r e m1 6 l e t ，：9 硭( x ) ，t h ef o l l a 丽n gs t a t e m e n t sa r ee q u i 、r a l e n t ： z ) ( ，9 ) c 4 ； t i ) 7 r ( 厂) = 7 r ( 9 ) ，e ( 厂) = e ( 9 ) 衍z )t h e r ee x i s t sa ne + 一p r e s e n r i n gb i j e c t i o n9 ：i m 厂 i m 9 ，s u c ht h a t 夕= 9 ， t h e o r e m l 7 l e t 厂，夕露( x ) ，t h ef o l l a 丽n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a j e n t ： i ) ( ，9 ) 彤 “) f b re a c ha x e ，t h e r ee ) ( i s tb ，c x es u c ht h a t 厂( a n d o m 厂) 9 ( b n d o m 9 ) ，9 ( a n d o m 9 ) 厂( c n d o m - 厂) ； 捌) t h e r e 耐s ta n 驴一n d m i s s 曲2 eb i j e c t i o n 西：7 r ( 厂) 一7 r ( 9 ) s u c ht h a t l 。= g 。o t h e o r e m1 8 l e t 厂，9 硭( x ) ，t h ef o u a w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t i ) ( ，9 ) 彤 z i ) 7 r ( ，) = 7 r ( 夕) ，e ( 厂) = e ( 9 ) ，a n df o re a d la x e ，t h e r ee ) ( i s tb ，c x es u c ht h a t 厂( a n d o m 厂) 夕( b n d o m 夕) ，9 ( a n d o m 夕) ，( e n d o m 厂) 钇i ) t h e r ee ) 【i s ta ne + 一o d m s s 铀f eb i j e c t i o n ：7 r ( ，) 一7 r ( 9 ) ，a n dae - p r e s e r 、，i n gb i j e c t i o n s u c ht h a t 4 妒：i m 厂_ i i n 9 ， | 。= 9 。西9 = 咕f t h e o r e m1 1 1 l e t ( 厂，9 ) 硭( x ) ：t h ef 0 1 1 0 w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： i ) ( ，9 ) z i ) t h e r ee ) 【i s ta ne + 一n d ，n i s s i 扰eb i j e c t i o n 咖：7 r ( ，) 一7 r ( 9 ) 妒i sh m l t i c a t i o n o ft w ob i j e c t i o n s ，a n dt h e r ee ) 【i s te 4 一p r e s e r v i n gb i j e c t i o n 吐：i m 厂i m 夕，s u c ht h a t 吣1 。= g 。由 c o r o l l a r y l 1 3i n 尸i ( x ) ，d + = 歹+ t h es e c t i o n2m a i n l ys t u d i e st h ps t a r r e dg r e e n sr e l a t i o n sf o rt h ev a r i a n to fb p r e s e r 、，i n ga n do r d e 卜i n c r e a s i n gf u l lt r a 璐f o r m a t i o ns e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t s a r eg i v e na l sf 0 1 l n n g ： t h e o r e m2 1 l e t 厂，夕磋( x ：1 5 i ) ，9 t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r e e a u i v a l e n t ： i ) ( 厂，夕) c 4 ； 既) 丌( p 厂) = 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) = 7 r ( p 9 ) ，e ( 曰，) = e ( 厂) = e ( 9 ) = e ( 目9 ) i i i ) t h e r ee x i s ta ne + 一p r e s e i n gb i j e c t i o n 西：厂( z ) + 9 ( z ) s u c ht h a t 夕= 西i 厂，b o t h 目i ，( 引a n d 口1 9 ( 引a r e e + - p r e s e r v i n gi n j e c t i o n s t h e o r e m 2 3 l e t ，：9 硭f x ：口) t h ef o l l a w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i 、，a l e n t ： i ) ( 厂：9 ) 冗。； 娩) f b re a c hec l a s sa ，t h e r ee ) c i s tj e i c x ejs u c ht h a t 厂( a ) g l ；i ( b ) ，9 ( 4 ) 厂p ( c ) 拖) t h e r e 嘲s ta nb n d 仇i s s 似eb i j e c t i o n 妒：7 ( 门_ 丌( 9 ) s u c ht h a t 1 ：g 。幛 t h e o r e m2 4 l e t ，9 呓( x ；p ) ，t h ef o l l o w i i l gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： i )( ，夕) “+ ； i i ) 7 r ( 口，) = 丌( ，) = 丌( 9 ) = 7 r ( 口9 ) ，e ( 目，) = e ( 厂) = e ( 9 ) = e ( 臼9 ) ，w h i l e f o r e a c hec l a s sa ，t h e r ee ) 【i s tb ，c x e ，s u c ht h a t ，( a ) 9 目( 口) ，9 ( a ) ，目( c ) t h e o r e m2 5 1 e t ，9 呓( x ；疗) ，t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： i ) ( ，9 ) 刃+ ； 5 山东师范大学硕士学位论文 i i ) t h e r ee x i s ta ne ；一n d z i s s i 6 f em a p p i n g 妒：7 r ( 厂) - 7 r ( 9 ) a n da ne 。 一p r e s e r v i n gb i j e c t i o n9 ：厂( z ) 9 ( z ) a n d 咖c a nb ew r i t t e na sap r o d u c to ft w o b i j e c t i o n s s u c ht h a t9 = 9 。妒，a n db o t hp l ，忙) a n dp 1 9 ( 列a r pe + 一p r e s e 州n g i n j e c t i o n s c o r o l l a r y2 7i n 硭( x ：口) ，t h e r ee ) c i s td 。= 歹4 t h es e c t i o n3d i s c u s s e st h ei s o m o r p h i s mt h e o r o mo ft h eo r d e r d e c r e a s i n gp a 卜 t i a lt r a n s f o r m a t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf 0 1 1 l r i n g ： t h e o r e m3 7 l e tp 一( x ) ，尸一( y ) i sd e f i n e da sb e f o r e ，t h ef 0 1 1 0 w i n gs t a t e - m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： t )xa n dy a r eo r d e r i s o m o r p h i c ； i i ) p 一( x ) 兰p 一( y ) c o r o u a r y 3 8 l e tp 一( x ) ，p + ( y ) a r ed e f i n e da sb e f o r e ，t h ef o u o w i n gs t a t e - m e n t sa r ee q u i 、甩l e n t ： i ) 叉a n dya r eo r d e r a n t i - i s o m o r p h i c ： i i ) p 一( x ) 兰p + ( y ) t h es e c t i o n4i n a i n l yc h a r a c t e r i e st l l es e i l l i g r o u p s r e 9 ( 丁) ( 丁i st h el e f ti d e a l ，r i g i l ti d e a l ：a n dt h ei n s e c t i o n i d e a lo fs ) t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf 6 l l ( h | l r i n g ： t h e o r e m4 4l e tas t a n d sf o rt h es e to fa l l1 e f t s t a t e m e n t s 锻ee q u i v a l e n t ： ( i )( v 丁a ) r 叼( 丁) = g r ( 丁) ； ( i i )( v t a ) r e 9 ( 丁) = r e 9 ( 丁) ； ( i i i )( v 丁a ) r e 9 ( t ) l r e 9 ( 丁) ； ( 沁)r e 9 ( s ) l r e 9 ( s ) ； w h i c hs a t i s i e sr e g ( 丁) = o ft h e1 e f ti d e a la n dr i g l l t i d e a l so fs ，t h ef o l l o 丽n g ( v )r e 9 ( s ) = g 7 ( s ) t h e o r e m4 5l e t 宫s t a n d sf o rt h es e to fa ur i g h ti d e a l so fs ，t h ef o l l o w i n g s t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i )( 、口t b ) r e 9 ( 丁) = g 7 ( 丁) ； ( i i )( v t b ) r e 9 ( t ) = r e 夕( t ) ； ( i i i )( b t b ) r e 9 ( 丁) r 冗e 9 ( 丁) ； 6 山东师范大学硕士学位论文 ( i 、)r e 9 ( s ) 冬r r e 9 ( s ) ； ( v ) r e 9 ( s ) = 西( s ) t h e o r e m 4 61 e t4s t a n d sf o rt h es e to fa 1 1l e f fi d e a l so fs ，bs t a n d sf o rt h e s e to fa l lr i g h ti d e a l so fs ，t h ef 0 1 1 0 w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i )( v ，a v j b ) 7 e 夕( ，n ，) = g 7 ( ，n ，) ： ( i i ) ( v ，a v j 且) 7 e 9 ( ，n ，) = r e 9 ( ，nj ) ； ( i i i ) ( v j r a v j b ) 7 e 夕( ，n 了) gr r e 9 ( j ) nl 兄e 9 ( ，) ： ( i 、)r e 9 ( s ) 兄r e 夕( s ) nl r e 9 ( s ) ； ( v ) r e 9 ( s ) = 西( s ) k e y w o r d s ：o r d e 卜i n c r e a l s i n g ( d e c r e a s i n g ) p a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s b p r e s e r v i n ga n do r d e r - i n c r e a s i n gp a i t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s ，v 町i a n ts e m i g r o u p so fb p r e s e n ，i n ga n do r d e r - i n c r e a s i n gf u l lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s i s 伊 m o r p h i s m ! s t a r r e dg r e e n sr e l a t i o n c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f l c a t i o n ：0 1 5 2 7 7 山东师范大学硕士学位论文 引言 由于变换半群在理论计算机科学和半群的代数理论研究中的极重要作用，多年 来变换半群一直是研究热点之一裴惠生，a n a r 等国内外许多代表人士对许多种 变换半群类作了大量的研究，而且取得了丰富的成果本文的前两节就是在参考裴 惠生的关于保e 的部分变换半群和保e 完全变换半群的变量半群的若干研究成果 基础上，对保e 增序部分变换半群以及保e 增序完全变换的变量半群上的格林4 关 系进行了刻画a m a r 研究了两个不同的全序集上的减序完全变换半群同构时，这 两个集合需要具备什么条件在此基础上本文的第三节讨论了两个全序集具备什么 条件时，其上对应的减序部分变换半群同构在本文的最后一部分是在m e l a t i j a 的 与幂等元有关的正则集合的研究成果基础上，将与幂等元有关的正则集合推广到与 理想有关的正则集合并来刻画有关的半群 8 山东师范大学硕士学位论文 第一节保e 增序部分变换半群上的格林t 关系 本节中x 表示全序集合设取为x 上的部分变换半群，既若对任意 的z d o m ，都有厂( z ) z ( ，( z ) z ) 则，称为增( 减) 序部分变换集合x 上的 所有的增( 减) 序部分变换的关于部分变换复合构成的半群记为p + ( x ) ( p 一( x ) ) 设 e 为x 上的等价关系， 厂为x 上的部分变换，z 可d o m ，若( z 可) e 那么有 ( 厂( z ) 厂( ) ) e 则厂称为保的部分变换x 上的所有保的部分变换记为您( x ) ， x 上的所有保e 部分增序变换记为碟( x ) 即 f 苫( y ) = ，p + ( x ) ：z ，可d o l ，( z ，可) e = 亭( | 厂( z ) ，( 可) e ) ， 尸e ( x ) = ，p ( x ) ：z ，曼，d o m 厂： ，y ) e 号( ， ) ，( ) ) e 显然巧( x ) 您( x ) 关于部分变换的复合为半群 在文献f 2 6 】中，其作者已讨论过( x ) 上的格林关系及其刻画半群曜( x ) 上 的格林关系均为平凡的，下面将讨论其上的格林，关系及其刻画显然尸苫( x ) 为 您( x ) 的子半群下面介绍各节中将会用到的一些概念及引理 设s 为半群，口6 s 若在s 的扩半群中口c6 则称n 6 在s 中有c 。关系， 记为ac 6 类似可定义彤和歹关系如下定义s 上的h 和矿： h + = c n 亿口= c v 冗 显然c 。冗h ，矿，歹。均为等价关系，统称为格林+ 关系 引理1 1 【2 6 】设s 为半群，n 6 s 则以下结论等价： t )( n 6 ) c ； i ) 对vz ：暑，s 1 ，口z = o 苫， ，6 z = 6 引理1 2 【2 6 l 设s 为半群，n ，6 s 则以下结论等价： i )( n 6 ) 冗+ ； t t ) 叉寸vz y s 1 ，工口= n 营z 6 = y 6 我们用l + 。表示含元素n 的c 4 类设，为半群s 的一个左理想，若对任意的 n ，都有己。，则称左理想，为半群s 的左+ 理想类似地，定义右+ 理想 若半群s 的理想，既为半群s 的左* 理想又为s 的右+ 理想，则称，为s 的 ，理想 我们用，( 口) 表示所有包含n 的+ 理想的交，即为。生成的主+ 理想由主t 理想定义易得以下结论： 口了6 号，( 口) = j ( 6 ) 9 山东师范大学硕士学位论文 设e 为x 上的等价关系，x e 为x 上的所有b 类的集合对任意的，硭( x ) ， 且z i m ，令 ，一1 ( z ) = 可d o m ，：，( 可) = z ) 用丌( ，) 表示d o m ，在，下诱导的分化，即 丌( ，) = ，一1 ( z ) ：z i m ) 对任意的a x ，记 ，一1 ( a ) = 可d o m 厂：，( 耖) a ) ； 丌a ( ，) = p 7 r ( ，) ：pn4 0 ) 显然有以下结论 引理1 3设，磁( x ) ，对v a x e 存在b x e 使，( a n d o m ，) b n i m ， 进而有v b x e 若b n i m ，o 则厂1 ( b ) 为一些a n d o m ，的并，其中a x e 记 e ( ，) = 厂一1 ( a ) ：a x e ，a n i m ，仍) 显然e ( ，) 为d o m ，的另一种分化，且由引理1 3 知，对任意的m e ( ，) m 为一 些b n d o m ，的并，其中b x e 另外，对任意的m e ( ，) 都存在a x e 使 ，( m ) = a n i i i l ， 定义1 4 1 2 6 】设x 为全序集合，i ：z x ，而且e 为x 上的等价关系，妒：y z 为一映射若对任意的可，可7 l ，有( j i ，剪) ej ( 西( 剪) ，d ( 秒) ) e ，则西称为保e 的 若对任意的鲈，耖y 有( y ) e 甘( 妒( ) 多( 可) ) e ，则砂称为保p 的 定义1 5 设，9 硭( x ) ，而且西：丌( ，) 一丌( 9 ) 为一映射若对v a x e 其中 a n d o m ，d ，则存在b x e ，使毋( 张( 川丌b ( 9 ) ，则妒称为容许e 的若西为双 射，西和西一均为容许e 的，则西称为容许e + 的 由以上定义显然有：西为容许e 的当且仅当对满足a n d o m ，d 的每个a x e 和每个p “( ，) ，都存在b x e 使bn 咖( p ) 0 设 呓( x ) ：定义k ：7 r ( 危) 一i m 如下； 对p 7 r ( ) ，k ( p ) = ( p ) 显然 。 为双射 定理1 6 设，夕硭( x ) ，则以下结论等价： 1 0 山东师范大学硕士学位论文 t ) ( ，9 ) c 。； t f ) 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) ，e ( ，) = e ( g ) ； 渊存在一个保e 4 的双射9 ：i m ，一i m 夕：使9 = 9 ， 证明i ) 净托) 设( ，9 ) c 则存在巧( x ) 的扩半群中的元 七使得 = b 、g = k 由此及厂和夕都为保e 的知 ，膏如( x ) 于是 d o m 厂= 9 1 ( i n - 夕n d o n l h ) d o m g = ，一1 ( i l ，n d o m 七) 至d 0 1 n ， 从而d o m ，= d o w 若z ，d o m ，使得，( z ) = 厂( y ) 则有 9 ( z ) = 七，( z ) = 南，( y ) = 9 ( 可) 从而丌( ，) 加细丌( 9 ) ，类似地，丌( 9 ) 加细丌( n 从而丌( ，) = 丌( 夕) 又 ，一1 ( i m ，n d o m 七) = d o m 七，= d o m 夕= d o m 厂= 厂一1 ( i m ，) 因此 i m ，n d o m 七= i m ， 从而有i m ，d o m 忌类似地有i m 9 d o m 设c e ( ，) 贝0 存在a b x e 使得，( u ) = an i m ，尼( a n i m _ 厂) b 贝4 夕( u ) = 七，( l r ) = 后( a n i m ，) b n i m 9 从而有 u 冬9 1 ( b ) e ( 9 ) 故e ( ，) 加细e ( 夕) 类似地，有e ( 9 ) 加细e ( ，) ，从而e ( 9 ) = e ( n i ) j 洌) 由已知丌( ，) = 丌( 9 ) ，则易得d o m ，= d o n w 定义咖：i m ，一i 哪如下：妒( z ) = 夕( ，一1 ( z ) ) ，。i m ，显然毋为双射，而且 i m ，= i m 夕， d o m 砂，= ，一1 ( i m ，n d o m 毋) = ，一1 ( i m ，) = d o m ，= d o m 9 又对任意的z d o m ，= d o 哪有 ，( z ) = 夕( ，一1 ( ，( z ) ) ) = 9 ( z ) 从而 1 1 山东师范大学硕士学位论文 夕= 口， 又对任意的z ，掣i m ， ( z ，) e 兮广1 ( z ) ，厂1 ( 可) 包含在e ( 9 ) = e ( 厂) 中同一个u 内 争( 砂( z ) ，妒( 兰，) ) = ( 9 ( ，一1 ( z ) ) ，9 ( ，一1 ( 可) ) ) e 故9 为保e 的双射 辛 ) 假设是成立的，显然咖一- ：i m 夕一i m ，也是保e 的双射显然西西一1 属于孝( x ) 的某个扩半群，又 9 = 9 ，d o m d = i m ， d o m 9 = d o m 西，= ，一1 ( d o m 毋n i m ，) = ，一1 ( i m ，) = d o m ， d o m 西一1 9 = 9 1 ( d o m 西一1 n i w ) = d o m 9 = d o m ， 又对任意的z d o m ，有 即 从而 妒一1 9 ( z ) = d 一1 西，( z ) = ，( z ) ， ，= 砂一1 夕， ( ，夕) 定理1 7 设，9 硭( x ) ，则以下结论等价： ) ( ，9 ) 冗； t t ) 对x e 则存在b c x e 使 ，( a n d o m ，) 9 ( b n d o n 够) ，9 ( a n d o m g ) 至，( c n d o m 厂) 存在一个容许的双射西：丌( ，) 一丌( 9 ) ，使 = 9 。砂 证明i ) 号i i ) 设( 9 ) 彤，则在聪( x ) 的扩半群中存在九南，使厂= 站夕= ，忌， 从而有i m ，= i m 夕又对v a x e ，存在b x e 使得h ( a n d o m ，) b ，则 ，( a n d o m ，) = g ( a n d o m ，) 9 ( b n d o 瑚呵) 类似地，存在c 驯e 使 9 ( a n d o m 9 ) ，( g n d o m ，) 号嘲由“) 知i m ，= i 哪，定义 1 2 山东师范大学硕士学位论文 西：7 r ( 厂) 7 r ( 9 ) 其中西( p ) = 9 1 ( ，i ) ，p 7 r ( ，) 显然驴是双射，而且 = 玑d 取a x e 则存在b x e 使得，( a n d o m ，) 至 夕( b n d o m 9 ) 记 对i j ，我们有 所以 丌 ( ，) = 只：i ，) ；z 。= ( p i ) ，( ，) z 。，( a n d o m ，) 冬9 ( b n d o i n g ) b n ( 只) = b n 夕一1 ( 丘( 户：f ) ) = b n g 一1 ( 而) d ， 因此西为容许e 的 类似地，西_ 为容许e 的 从而西为容许e 4 的 删号 ) 我们要证明硭( x ) 的扩半群中存在 七使得，= 9 夕= ，膏成立下面 我们定义 设d o h l = d o m ，由定义1 5 知对v _ x e ，4 nd o i n ，o 则存在b x e 使 对z a n d o m ，令 又 d ( 百a ( ，) ) 7 r 口( g ) b = ，一1 ( ，( z ) ) 7 r a ( ，) ， 砂( r ) nb n d o m 9 o ， 从而我们可选西( r ) nb n d o m 9 使得 这样便定义了x 上的部分变换 显然 九) = 可， 忍( x ) ， i m d o m 9 ， d o 加呵 = 一1 ( i m nd o m 9 ) = 一1 ( i m ) = d o m 危= d o m ， 山东师范大学硕士学位论文 而且对z a n d o m ，有 ，( z ) = ( r ) = 9 。西( r ) = 9 。( 9 1 ( 9 ( ? ) ) ) = 9 ( 。) ， 所以 厂= 9 类似地，存在七如( x ) 使9 = ，七从而( ，夕) 冗。 由定理1 6 和定理1 7 易得以下定理 定理1 8 设厂，夕硭( x ) ，则以下结论等价： t ) ( ，g ) 钾： i i ) 7 r ( ，) = 7 r ( 9 ) ，e ( ，) = e ( 办而且对v a x e 都存在b ，c x e 使 ，( a n d o m ，) 夕( b n d o 够) ，9 ( a n d o m 夕) ，( c n d o m 厂) ； 矧存在一个容许e + 的双射d ：丌( ，) 一丌( 9 ) ，和一个保护的双射 砂：i m ，_ i m 夕， 使得 = “咖，夕= 妒厂 下面我们将讨论硭( x ) 上的矿关系很显然户；( x ) 上的d 关系不再是简单 的矿= c o 形的关系了，可通过举反例证明如下： 对比，可x ，其中z ，设q ( z ) = z ，p ( 可) = 耖显然( o ，p ) 矿若( q ，口) 彤o c 。， 则存在7 黠( x ) 使a 彤c 。p 又由前面引理1 1 和1 2 知： ，y 冗营1 m 7 = i m ， q c 。7 净l 【e r l = l ( e rq ， 从而可得7 ( z ) = 耖，显然7 不属于硭( x ) ，且7 不属于呓( x ) ，从而 d 。冗oc 类似地，矿o 彤 从而可易得以下引理； 引理1 9 在硭( x ) 中， d = 冗。oc 。o 冗。= c + o 冗+ oc 推论1 1 0 ，p 黠( x ) ，则( q ，口) 矿兮陋q l = i i m p l 甘i k e r q l = i k e r 口 1 4 进一步可得以下定理： 定理1 1 l 设( 工夕) 巧( x ) 则以下结论是等价的： i )( ，夕) d ； l i ) 存在一个容许e 的双射西：丌( ，) 一丌( 夕) ，并且还存在一个保p 的双射 妒：i 1 厂一i m 夕其中世可写为两个双射的乘积，使曲 ：夕。 证明i ) 号刎设( ，夕) 矿则在呓( x ) 的扩半群中存在九，七使得 ( ， ) c ( 七) 7 已。( 后9 ) + 则由定理1 6 知 7 r ( ，) = 丌( ) ， 而且存在保p 的双射掣l ：i n - ，一i m 7 。其中 = 咖1 ，进一步可得h ：讪1 厶 类似地，存在保p 的双射妒2 ：i m 矗一i m g 其中g ：妒2 后进一步可得吼：砂2 由定理1 7 知 从而存在容许p 的双射西：丌( ) 一丌( 膏) 使得 从而易得 。= 七。口 v - = 9 。d ， 缈2 p 1 ：i m ，_ i m 9 d ：丌( 厂) 一丌( 9 ) 则，= 曲2 妒l ，d 即为所求 瓿) 辛t ) 由条件知世可写为您( x ) 中的两个双射的乘积，设移：砂2 妒1 下面我 们定义 ，七使得 ( ， ) c 。，( 九七) 7 已。， ( 七g ) c + 先定义 ，使丌( ，) = 丌( h ) 设 妒l ：i m ，_ i m ， 即 = 砂1 ， 1 5 山东师范大学硕士学位论文 从而 i m = i m ( 妒1 ，) 这样 被确定再定义后，使丌( 七) = 丌( 9 ) 设 砂2 ：i m 七_ i m g 即 从而 9 = 移2 七 i w = i m ( 妒2 七) 这样七被确定下面证明h ，七有冗关系因为 从而有 又l f l = 妒。，从而有 因 为双射，从而 又g = 砂2 七，从而有 因为双射，从而 从而 由条件砂 = 办曲，代入得 1 6 7 r ( 七) = 丌( 夕) ，7 r ( ，) = 7 r ( ) ， 西：7 r ( ，) + 丌( 夕) ， 西：7 r ( ) - + 7 r ( 七) 肌= 砂1 k f l = 妒l 9 。= t 1 2 m 七_ 1 = 妒2 妒= 妒2 妒1 = 夕。知_ 1 h ，f 1 山东师范大学硕士学位论文 即 从而有 又 由定理1 8 得 9 k ：1 h f ：1 。= g 。毋 。= 后。西 ( ，危) c 。，( 七夕) c 。 由引理1 1 知o c 。3 时k e r a = k e r 口显然有i i m q = i i m 口| ：由引理1 2 知q 冗。p 时 i m 口= i m 口，显然有i i m q i = l i m 口i 从而可易的以下引理： 引理1 1 2 ( n ，口) 硭( x ) 、若o 了+ ( 口) 则j i m o lsl i m 乱 进而可得以下推论： 推论1 1 3 在硭( x ) 中， 有d 。= 了。 1 7 山东师范大学硕士学位论文 第二节保e 增序完全变换的变量半群上的格林+ 关系 本节中x 表示全序集设取为x 上的完全变换半群，