（基础数学专业论文）von+neumann代数中套子代数上的保持映射.pdf

v o nn e u m a n n 代数中套子代数的保持映射 刘磊 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，它在数学和其他学科中都有 着出人意料的应用，它与量子力学，非交换几何，线性系统，控制理论，数论以 及其他一些重要数学分支都有着广泛的联系和相互渗透伴随着它在其他学科中 的应用，这一理论有了很大发展，已经成为现代数学中一个令人关注的分支非 自伴算子代数是算子代数中一个重要的研究领域，而套代数是一类最重要的非自 伴算子代数，近年来国内外很多学者专家都对该代数上的线性映射进行了深入研 究，给出了许多方法和技巧，并不断提出新的思路，线性保持问题就是这样一个 被许多学者研究的课题本文主要对因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上的保 j o r d a n 三重零积的线性映射，保幂等映射，零点j o r d a n 三重可导映射分别进行 了研究文章分为四部分，具体内容如下： 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义以及后面三章要用到的一 些定理等内容具体介绍了y o nn e u m a n n 代数，因子y o nn e u m a n n 代数，套代 数等概念，给出了本文所必需的几个已知结论 第二章首先对因子y o nn e u m a n n 代数中套子代数上保j o r d a n 三重零积的线 性映射进行了研究，证明了从因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数到任一有单位 元的b a n a c h 代数的保j o r d a n 三重零积的单位线性双射是j o r d a n 同构接着我 们对至少有一个非平凡可比较元的c s l 代数上的双向保零积线性映射进行了研 究，得到此映射为同构 第三章主要针对因子y o nn e u m a n n 代数中套子代数上零点j o r d a n 三重可导 映射进行了研究证明了因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上零点j o r d a n 三重 可导映射是导子与恒等映射之和 第四章主要针对因子y o nn e u m a n n 代数中套子代数上保幂等映射进行了研 究证明了因子y o nn e u m a n n 代数中套子代数上保持幂等映射是同构或反同构 关键词：v o nn e u m a n n 代数；c s l 代数；保j o r d a n 三重零积的映射；保幂 等元的线性映射；零点j o r d a n 三重可导映射；j o r d a n 映射 p r e s e r v i n gm a p so nn e s ts u b a l g e b r a so fv o n n e u m a n na l g e b r a s a b s t r a c t i 飞es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r ab a g a ni n3 0 t i m e so f2 0 t hc e n t u r y t h o u g hc e m p a r yw i t hs o m eo t h e rt h e o r yi t i sr e l a t i v e l yn e w ，b u ti th a su n e x p e c t e d a p p l i c a t i o ni ns o m em a t h e m a t i ct h e o r ya n do t h e rs u b j e c t ，s u c ha sq u a n t u mm e - c h a n i c s ，n o n e o m m u t a t i v eg e o m e t r y , l i n e a rs y s t e m ，c o n t r a lt h e o r y , n u m b e rt h e o r y a n ds o m eo t h e ri m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s a c c o m p a n yw i t hi t su s i n gi n o t h e rs u b j e c t s t h i st h e o r yd e v e l o p e dal o t n o wi th a sb e c o m eah o tb r a n c hi nm o r - d a nm a t h e m a t i c s t h ec l a s so fn o n - s e l f a d j i o n to p e r a t o ra l g e b r a si sa ni m p o r t a n t d o m a i ni no p e r a t o ra l g e b r ar e a s e r c h i n g a n dn e s ta l g e b r a sa r et h em o s ti m p o r t a n t k i n di nn o n - s e l f a d j i o n to p e r a t o ra l g e b r a s i nr e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a rb o t hh e r e a n da b r o a dh a v ef o c u s e do i lt h e mal o t t h e yh a v ed o n em a n yw o r k s ，n o to n l y r a i s i n gm a n yn e wt h i n k i n g s ，b u ta l s oi n t r o d u c i n gm a n ya d v a n c e dm e t h o d s i nt h i s p a p e rw ep a y o u ra t t e n t i o no ns o m em a p so nn e s ta l g e b r a sa n dn e s ts u b a l g e b r a so f f a c t o rv o nn e u m a n na g l e b r a ，s u c ha sl i n e a rm a p st h a tp r e s e r v i n gz e r oj o r d a nt r i p l e p r o d u c t s ，l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n t ，a n dj o r d a nt r i p l ed e r i v a t i o n sa tz e r o p o i n t t h ed a t a i l sa sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m en o t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m ew e l l - k n o w n t h e o r e m s w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t s ，s u c h3 8y o nn e u m a n na l g e b r a s ，f a c t o rv o n n e u m a n na l g e b r a s ，n e s ta l g e b r a sa n ds oo n ，a n dg i v es o m ew e l l k n o w nt h e o r e m s t h a tw ew i l lu s ei nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ep u to u ra t t e n t i o no nl i n e a rm a p st h a tp r e s e r v i n gz e r oj o r d a n t r i p i ep r o d u c to nn e s ts u b a l g e b r a s o ff a c t o ry o nn e u m a n na l g e b r a s w ep r o v et h a t e v e r yl i n e a rm a pp r e s e r v i n gz e r oj o r d a nt r i p l ep r o d u c ta n du n i tf r o mn e s ts u b a l - g e b r a so ff a c t o ry o nn e u m a n na l g e b r a st ob a n a c ha l g e b r aw i t hu n i ti saj o r d a n i s o m o r p h i s m s w ea l s od i s c u s sl i n e a rm a p sp r e s e r v i n gz e r op r o d u c to nc e r t a i nr e - f l e x i v eo p e r a t o ra l g e b r a sw h o s el a t t i c e sc o i n t a i nan o n - t r i v i a lc o m p a r a b l ee l e m e n t a n ds h o wt h a ts u c hp r e s e r v i n gm a p sa r ei s o m o r p h i s m s i nc h a p t e r3 ，w ep a yo u ra t t e n t i o no nj o r d a nt r i p l ed e r i v a b l em a p sa tz e r o p o i n to fn e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o ry o nn e u n m n na l g e b r a s i ti sp r o v e dt h a ts u c ha m a pi st h es a mo fad e r i v a t i o na n dt h ei d e n t i t ym a p 。 i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h el i n e a rm a pt h a tp r e s e r v i n gi d e m p o t e n tb e t w e e n t w on e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o rv o nn e u m a n na l g e b r a s ，a n dp r o v et h a te v e r yl i n e a r i i s u r j e c t i v em a pp r e s e r v i n gi d e m p o t e n tb e t w e e nt w on e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o ry o n n e u m a n na l g e b r a si sa ni s o m o r p h i s mo ra na n t i - i s o m o r p h i s m k e y w o r d s ：y o nn e u m a n na l g e b r a ；c s la l g e b r a ；l i n e a rm a pp r e s e r v i n gz e r o j o r d a nt r i p l ep r o d u c t ；l i n e a rm a pp r e s e r v i n gi d e m p o t e n t ；j o r d a nt r i p l ed e r i v a b l e m a pa tz e r op o i n t ；j o r d a nm a p i i i c ： r ： 7 - ： b ( 爿) ： 疋： 石+ ： b ( x ) ： m ： 口： c ( 卢) ： 冗m ( p ) 口m ( p ) 主要符号表 复数域 实数域 h i l b e r t 空间 何上的全体有界线性算子 b a n a c h 空间 疋的共轭空间 疋上的全体有界线性算子 因子v o nn e u m a n n 代数 因子v o n n e u m a n n 代数m 中的套 套子代数a l g m ( f 1 ) 的核 套子代数a l g m ( p ) 的根 套子代数a l g m ( 卢) 的对角 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 割磊 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：塾壹 前言 算子代数是泛函分析中的一个极其重要的研究领域，自2 0 世纪3 0 年代，f j m u r r a y 和j v o nn e u m a n n 创立算子代数理论以来，已经得到迅速发展它们 不仅有十分重要的理论价值，同时具有广泛的应用前景现在这一理论已成为现 代数学中的一个热门分支，它与量子力学，非交换几何，线性系统和控制理论， 甚至数论都有着相互的联系和渗透其中非自办算子代数是算子代数的一个重要 分支，其目的是研究自伴算子代数( y o nn e u m a n n 代数和c + 一代数) 中的非自伴 子代数的结构和性质套代数就是一类最为重要的非自伴代数，它的有限维模型 就是上三角矩阵代数，而无限维则要复杂的多 最近，许多学者如b r e g a r ，h a k e d a ，s a l t 5 ，m o l n a r ，j i n - c h u a nh o u ，j i a n h h a z h a n g 等先后对套代数上的保零积映射，j o r d a n 映射，导子，j o r d a n 导子等几 类问题进行了深入研究，并提出了新的研究思路和方法，这些问题现在都已成为 套代数的重要研究领域 近来j i n - c h u a nh o u 等人采用保一秩算子的方法研究了套代数上的许多线性 保持问题 1 ，2 ，3 ，4 ，5 1 我们知道，一般因子y o nn e u m a n n 代数中的套子代数上的保 持映射的研究却无法使用这一方法，主要是因为套代数和因子y o nn e u m a n n 代数 中的套子代数有着本质的区别，如套代数中有着丰富的一秩算子，而一般因子v o r l n e u m a n n 代数上的套子代数就没有这一特性在本文中我们主要采用j i a n - h u a z h a n g 的一些证明方法成功的证明了一些问题在文f 6 1 中j i a n h u az h a n g 教授 研究了因子v o nn e u m a n n 代数的套子代数上的双向保零积映射，得到此映射为 同构或反同构，受此启发我们研究了从因子”y o nn e u m a n n 代数中的套子代数到 b a n a c h 代数上保j o r d a n 三重零积的线性映射，并得到此映射是j o r d a n 同构， 这丰富了因子y o nn e u m a n n 代数套子代数上的保持问题类型之后我们还研究了 至少有一个非平凡的可比较元的c s l 代数保零积映射，并得到此映射为同构 导子是算子代数上的一类重要变换，近几十年来，关于寻找一个映射成为 导子的条件的研究引起了许多数学家的注意，大量深刻的结论不断涌现，如文 7 ，8 ，9 ，1 0 1 ，其中许多有趣的基本问题还没有解决，新的研究课题又不断提出在文 【1 1 】中，朱军和熊昌萍证明了有限套代数上的零点可导的范数连续的线性映射是 广义导子，在文【1 2 】和【1 3 】中他又证明了在v o nn e u m a n n 代数和c s l 代数上也 有相同的结论成立受此启发我们研究了因子y o nn e u m a n n 代数的套子代数上 的零点j o r d a n 三重可导映射，证明了此映射是一导子与恒等映射之和的结论 因为幂等性在算子代数领域是很重要的性质，很多问题最终都与幂等性有着 深刻的联系，如文f 1 4 1 j i n c h u a nh o u 等人研究了套代数上的保持幂等映射【1 】， 而正如之前我们说过套代数与因子v o nn e u m a n n 代数的套子代数上有着本质的 区别，因此之后我们又研究了两个因子y o nn e u m a n n 代数中套子代数之间的保 持幂等映射，并得到了此映射其实也是同构或者反同构映射的结论 本文中有关v o nn e u m a n n 代数的理论知识可参阅【1 5 ，1 6 】，有关套代数及因子 v o nn e u m a n n 代数上套子代数的的理论知识可参阅【1 7 ，1 8 ，1 9 1 2 第一章预备知识 1 1 引言 本章主要介绍了文章中用到的一些符号，定义以及证明过程中要用到的一些 重要定理第二节主要介绍了y o nn e u m a n n 代数，因子v o nn e u m a n n 代数，套 代数等概念；第三节给出几个重要定理下面介绍文章中用到的主要符号 设h 是复可分的h i l b e r t 空间，b ( h ) 表示爿上的全体有界线性算子设 m 8 ( 爿) 是“上的v o nn e u m a n n 代数，m 中的套卢是指m 中包含0 ，1 且在强算子拓扑下连续的全序正交投影簇m 中对应于套p 的套子代数记为 a l g m f l ，其中a l g m p = 丁m ：p t p = tp ，v p 彤由a l g m p 中投影生成的v o i i n e u m a n n 代数称为a l g m f l 的核，记为c ( 舀) v o r ln e u m a n n 代数( a l g m p ) n ( a l g m p ) 4 称为a l g m 的对角，记为口m ( p ) 冗m ( 卢) 表示由 p t p l ，p p ，t m ) 生成的 范数闭的子代数如果m 是因子y o nn e u m a n n 代数，由 1 9 】知d m 卢+ 冗m p 在 a l g m 卢中弱稠密当m = u ( n ) 时a l g m ，称为套代数，并记为a l g f l 是h i l b e r t 空间咒上的子空间格，则c 的每个元素都对应唯一的正交投 影如果这些正交投影两两可交换，则称为交换子空间格，简称为c s l ，并称 a l g c 为交换子空间格代数，简称c s l 代数 1 2 基本概念 定义1 2 1 【15 】设m 是作用在复可分的h i l b e r t 空间h 上的y o nn e u m a n n 代 数，称m 7 = s ：t s = s t ，v t m ) 为m 的一次换位子；类似称( m ，) ，= m ” 为m 的二次换位子 定义1 2 2 i 1 5 】b ( n ) 中的y o nn e u m a n n 代数m 是满足m = m ”的+ 一子代 数 定义1 2 3 | 1 5 l 设m 是v o nn e u m a n n 代数，称肘nm 7 为m 的中心，记为 z ( 肘) 定义1 2 4 f 1 5 | 设m 是v o nn e u m a n n 代数，若m 的中心z ( u ) = c i ，则称m 是因子的，其中c 表示复数域 定义1 2 5 f 1 7 j 设c 是h i l b e r t 空间上的子空间格，称p 是c 的可比较元，即 如果对任意q c ，都有p q 或者p q ，其中p q 表示p q = q p = p 3 注显然 0 1 和h 都是子空间格c 的两个非平凡的可比较元，而本文中所说 的可比较元均是非平凡的，则套中每一个非平凡元都是可比较的经简单证明可 知，p 是子空间格c 中的可比较元的充要条件是p b ( h ) ( i 一尸) a l g c 定义1 2 6 【1 0 j 4 是一个代数，e 是a 的双边模，6 是从4 到上的线性映 射 ( 1 ) 若对任意的a ，b a 有6 ( a b ) = 5 ( a ) b + a s ( b ) ，则称j 是代数4 上的 一个导子 ( 2 ) 若存在t 使得对任意a a 有t i ( a ) = a t t a ，则称6 是代数a 的 一个内导子 ( 3 ) 若对任意的a ，b a 有g ( a b + b a ) = g ( a ) b + a s ( b ) + 6 ( b ) a + b s ( a ) ， 则称6 是代数4 上的一个j o r d a n 导子 1 3 预备定理 命题1 3 1 【1 】设m 是y o nn e u m a n n 代数，p ( m ) 表示m 中的所有投影构成 的集合则m 是由p ( m ) 生成的v o nn e u m a n n 代数 命题1 3 2 【1 8 1 套代数的换位是平凡的，即套代数的换位是由恒等算子的常数 倍组成 命题1 3 3 1 7 1 设m 是v o nn e u m a n n 代数且是m 的双边模，如果6 ：m _ 是范数连续的线性映射，且对所有幂等算子e m 有6 ( e ) = d ( e ) e + f 6 ( e ) ，则 6 是m 上的导子 4 第二章保j o r d a n 三重零积线性映射 2 1 引言 设4 ，肟是两个代数，圣：a b 是一个线性映射如果a b a = 0 则 西( a ) 圣( b ) 圣( a ) = 0 ( a ，b a ) ，即称西是保j o r d a n 三重零积的矩阵代数和算子 代数上的线性保持问题的讨论是近几十年来很活跃的研究课题之一例如，保谱 2 0 ，2 1 ，保秩 2 2 ，保相似性 2 3 ，2 4 及保数值域( 半径) 【2 3 】等这些研究成果加深了 人们对于线性结构与代数结构之间关系的理解，同时也为算子代数的进一步研究 提供了许多新的技巧和方法( 见f 2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 1 ) 本章主要研究因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上保j o r d a n 三重零积的线性映射，并得到因子v o nn e u m a n n 代 数中非平凡套子代数上的每一个保j o r d a n 三重零积及单位的线性满射均是同构 或反同构本章第二部分我们研究了至少含有一个非平凡可比较元的c s l 代数 上的双向保零积映射，并证明了此映射为同构的结论 设m 是作用在复可分h i l b e r t 空间爿上的一个y o nn e u m a n n 代数，m 中 的套p 就是m 中的一个正交投影簇，它包含0 ，i 且在强算子拓扑下是闭的 m 中关于套卢的套子代数定义为a g m p = 丁m ：p t p = tp ，v p 所当 m = b ( ? - ) 时，a l g m 就称为套代数，并记为a l g f l 文中未加说明的概念和符号 请参阅【1 5 ，1 8 ，19 】 2 2 套子代数上的保j o r d a n 三重零积线性映射 在这节中我们主要得到以下结果： 定理22 ，1 设p 是因子y o nn e u m a n n 代数m 中的一个非平凡套，8 是含有 单位元的b a n a c h 代数圣：a l g m 卢一8 是一个弱联系的线性双射并满足圣( ，) = i ， 以及垂( a ) 西( 日) 圣( a ) = 0 当a b a = 0 ( a ，b a l g m f l ) ，则西是j o r d a n 同构的，即 对任意的x ，y a l g m g 都有垂( x y + y x ) = 垂( x ) 垂( y ) + 圣( y ) 圣( x ) 为了证明定理2 2 1 ，我们需要一些引理首先，由定理2 2 1 中的条件，容易 得到以下的引理 引理2 2 1 ( a ) 对任意幂等元g a l g m p ，有垂( g ) = 圣( g ) 2 ； ( b ) 对任意元a a l g m f l 且a 2 = 0 ，则圣( a ) 2 = 0 证明因为a ( i a ) a = 0 且( i g ) g ( i g ) 一0 ，从而 圣( ，一g ) 圣( g ) 圣( ，一g ) 一0 且圣( g ) 圣( ，一g ) 圣( g ) = 0 5 又由于圣( ，) = i 即 垂( g ) 2 = 圣( g ) 3a n d 西( g ) 一2 垂( g ) 2 + 圣( g ) 3 = 0 则，对所有幂等元g a l g m 卢有垂( g ) = 垂( g ) 2 ( b ) 由a 2 = a i a = 0 且垂( j ) = i ，即得西( a ) 2 = 垂( a ) 西( j ) 西( a ) = 0 证毕 引理2 2 2 对任意的p 卢及d d f ( p ) ，有 垂( d p ) = 圣( d ) 垂( p ) = 圣( 尸) 蛋( d ) 证明由于口m ( 卢) 中投影的有限线性组合在其中范数稠密，则我们只需证明 西( e p ) = 西( e ) 西( p ) = 圣( p ) 圣( e ) 其中投影e v m ( z ) ，p 卢显然e p ，e e p 是m g m p 中的幂等元，则由引 理2 2 1 ( a ) 得西( e e p ) 2 = 西( e e p ) 这说明圣( e p ) = 圣( e ) 西( e p ) 同理可 得圣( e 1 p ) = 圣( e 上) 圣( e 上p ) 即西( f ) 圣( e 上p ) = 0 ，因此 圣( e 尸) = 垂( e ) 睁( e 尸) + 圣( e 上p ) 】= 西( e ) 圣( p ) 用同样的方法我们可以得到垂( p 司一垂( p ) 垂( e ) 则 圣( e 尸) = 圣( e ) 西( p ) = 圣( p ) m ( e ) 证毕 引理2 2 3 对任意的a r c m ( z ) 及d 口m ( 卢) ，有 垂( 月d + d a ) = 中( a ) 西( d ) + 圣( d ) 币( a ) 证明令a = 西( q t q 上e + e q t q ) ，其中q p ，t m 并且任意投影 e 口_ i l ，( 卢) 由于d ( 卢) 中投影的有限线性组合在其中范数稠密，并且 q t q 上： q p ，t m ) 的线性张在冗m ( ) 中范数稠密，则我们只需证明 a = 西( q t q l ) 圣( e ) + 圣( e ) 币( q t q 上) 因为在a l g m 卢中e q + e q t q 上和q t q 上e + q 上e 均为幂等元，则由引理l ( a ) 得 圣( e q t q 上) = 西( e q ) 圣( e q t q 上) + t i , ( e q t q 上) 圣( e q ) 及 西( q t q 上e ) = 圣( q t q l e ) 西( q 上e ) + o ( q 上e ) 圣( q t q 上e ) 6 在等式( 1 ) ，( 2 ) 中用e 上替换e ，则得 圣( e 上q t q 上) = 西( e 上q ) 圣( e 上q t q 上) + 西( e 上q t q 上) 西( e 上q )( 3 ) 及 圣( q t q 上e 上) = 西( q t q j 。e 上) 垂( q 上e 上) + 圣( q 1 e j 。) 圣( q 2 上e 上) ( 4 ) 由等式( 3 ) ，( 4 ) 和引理2 2 2 我们得到 圣( e ) 圣( q ) m ( e 上q t q 上) + 圣( e 上q t q 上) 西( f ) 垂( q ) = 0( 5 ) 及 垂( q t q 上e 上) 圣( q 上) 垂( e ) 十西( e ) 中( q 上) 圣( q 丁q 上e 上) = 0 ( 6 ) 再由等式( 1 ) ，( 2 ) ，( 5 ) ，( 6 ) 和引理2 22 我们可得到 a = 西( e q ) 中( e q t q 上) + 圣( e q t q l ) 圣( e q ) + 圣( q 丁q 上e ) 西( q 1 e ) + 西( q 上e ) 圣( q t q 上e ) = 2 【西( e ) 西( q t q 上) + 圣( q t q 上) 中( e ) 】一p ( e q ) 由( e 上q t q 上) + 西( e q 上) 中( q t q 上) + 垂( e l q t q 上) 西( e q ) + 圣( q t q l ) 圣( e q 上) + 西( q t q 上e 1 ) 圣( q 上e ) + 西( q t q 上) 圣( e q ) + 西( q 上e ) 圣( q t q l e 上) + 圣( e q ) 圣( q 丁q 上) 】 = 【圣( e ) 西( q r q l ) + 西( q t q l ) 西( e ) 】 一【中( e ) 圣( q ) 垂( e 上q t q 上) + 西( e 上q t q 上) 西( e ) 圣( q ) 】 一【西( q t q 上e 上) 圣( q 上) 西( e ) + 圣( e ) 中( q 上) 西( q 丁q 上上产) 】 = 西( q t q j 。) 中( e ) + 圣( e ) 西( q t q l ) 证毕 引理2 2 4 对任意x a l g 肘卢及p p ，有 西( p x p ) = 西( p ) 垂( x ) 西( p ) 且由( p 上x p 上) = 西( p 上) 圣( x ) 垂( p 上) 证明对任意的d d f ( p ) 及a 冗m ( p ) ，由引理2 2 2 ，引理2 2 3 可得 垂( 尸( d + a ) + ( d + a ) p ) = 垂( p ) 西( d + a ) + 垂( | d + 以) 西( p ) 因为圣是弱连续的且口 f ( p ) + 冗m ( 卢) 是弱稠密的在a l g m p 中，则对任意的 x a l g m 8 ，奄 垂( 尸x + y p ) = 西( 尸) 西( x ) + 垂( x ) 圣( p ) ( 7 ) 7 在( 7 ) 中用x p 替换x ，并且由p x p = x p 我们得到 这即说明 及 2 圣( 尸x p ) = 圣( 尸) 圣( 尸x p ) + 圣( p x p ) 垂( p ) 圣( p ) 圣( 尸x p ) = 圣( p ) 圣( p x p ) 西( 尸) 西( p x p ) 西( p ) = 中( p ) 由( p x p ) 圣( p ) 因此有圣( p x p ) = 圣( p ) 圣( p x p ) 圣( p ) 又因为 垂( p ) 垂( 尸x p 上) 中( p ) =西( p ) 西( p 上x p ) 西( p ) 圣( p ) 中( p 上x p 上) 西( 尸) = 0 则我们得到蛋( p x p ) = 圣( p ) 圣( x ) 圣( p ) 类似的可得 西( p 上y p 上) = 圣( p 1 ) 西( y ) 圣( p 上) 证毕 引理2 2 5 对任意的a ，b 冗肼( p ) ，有 币( a b + b a ) = 西( a ) 垂( b ) + 圣( b ) 圣( a ) 证明任意p q p 及z s m ，我们记 a = 垂( p t p l q s q 上+ q s q 上p 丁p 上) 因为 q t q 上：q 卢，t m ) 的线性张在冗m ( 卢) 中范数稠密，则我们只需证明 a = 圣( p t p 上) 圣( q s q j 。) + 垂( q s q l ) 圣( p t p 上) 由引理2 2 2 ，引理2 2 4 可得 垂( p 上q ) 西( p 上q s q 上) =西( p l q ) 垂( p 上q s q 上p 上) = 西( q ) 中( p 上) 圣( 尸上) 圣( q s q 上) 圣( 尸上) = 西( q ) 中( p 上q s q 上p 上) = 蛋( q ) 西( p 1 q s q 上) 类似的可得 西( p 上q s q 上) 垂( p 上q ) = 币( p 上q s q 上) 西( q ) 8 因此 圣( p 上q ) 西( p 上q s q 上) 十o ( p 上q s q 上) 垂( p 上q ) = o ( p 上q s q 上) ( 8 ) 又由引理2 2 3 可得 o ( p 上q ) o ( p t p 上q ) + 西( p t p 上q ) o ( p 上q ) = 垂( p r p 上q ) 及 ( 9 ) 壬( 尸上q ) o ( p t p 上q s q l ) + 垂( p t p 上q s q 上) 西沪上q ) = 0 ( 1 0 ) 因为( p t p 上q + p t p 上q s q 上) 2 = ( p 上q s q 上+ p t p l q s q 上) 2 = 0 ，则由引理 2 2 1 ( b ) 可得 及 垂( p t p 上q ) o ( p t p l q s q l ) + 垂( p t p 上q s q 上) 西( p r p l q ) = 0 ( 1 1 ) o ( p 上q s q 上) 中( p t p 上q s q 上) + 西( p t 尸上q s q 上) 西( p 上q s q 上) 一0 ( 1 2 ) 则当p q ，时，类似的我们可以得到 因此 圣( p s q 上) 中( p t q 上) + o ( p t q 上) 垂( p s q 上) = 0 ， o ( p s q 上) 西( p 丁尸上q ) + 圣( p t 尸上q ) 垂( p s q j 。) = 0 ， 圣( p 上q s q 上) 中( p t q 上) 十西( p t q 上) 母( p 上q s q 上) = 0 西( p q s q 上) m ( p 丁p 上q ) + 圣( q s q l ) 垂( 尸丁p 1 q 1 ) + 圣( p t p 上q 上) 圣( 尸上q s q 上) 十圣( p t p l ) v ( p q s q j 。) = 西( p s q 上) 圣( p t p 上q ) + 圣( p 上q s q l ) 圣( p 丁q j 。) + 巾( p s q 上) 壬( p 丁q 上) + 圣( p t q l ) 西( 尸1 q s q l ) 十圣( 尸丁p 上q ) 西( p s q 上) + 圣( p t q l ) 中( p s q l ) = 垂( p s q 上) 垂( p t p 上q ) + 西( p t p 上q ) 圣( p s q 。上) + 圣( 尸1 q s q j 。) 圣( p 丁q 上) + 圣( p t q l ) 圣( p 1 q s q l ) + 垂( 尸s q 上) 垂( p 丁q 上) + 圣( p t q l ) m ( 尸s q j ) = 0 9 如果p q ，我们可类似的得到 a = 圣( p 丁尸上) 西( q s q 上) + o ( q s q 上) 西( p 丁p 上) 证毕 引理2 2 6 对任意cd d m ( 卢) ，有o ( c d + d c ) = 圣( c ) 西( d ) + 垂( d ) 西( c ) 证明取投影只z k ( p ) 则当i j 时，有只b = 0 由引理2 2 1 ( a ) 得 圣( 只+ p a 2 = 圣( 只+ 弓) 这表明 壬( 只) 圣( b ) + 垂( p j ) 圣( 只) = 0 因此m ( ( ：1 九只) 2 ) = 圣( ：1 九只) 2 因为集合 翌。a 。只：只b = 0 i f i j 在 口m ( p ) 中范数稠密，则对任意t z ) m ( z ) 有圣( 铲) = 西( t ) 2 用c + d 替换e 可得垂( c d + d c ) = 西( c ) 圣( d ) + 中( d ) 西( c ) ，其中c ，d 口m ( 卢) 证毕 定理2 2 1 的证明：令t s 口m ( 卢) + 冗_ l l ，( p ) ，则t = c + a 且s = d + b 其中c ，d z k ( 卢) 且a ，b 冗m ( p ) 则由引理2 2 3 ，2 2 5 ，2 2 6 可得 西( 丁s + s t ) = 圣( ( c + a ) ( d + b ) + ( d + b ) ( c + a ) ) = o ( c + a ) 圣( d + b ) + 圣( d + b ) 垂( g + a ) = o ( t ) o ( s ) + 西( s ) 西( t ) 因为中是弱连续的并且d m ( p ) + 冗m ( p ) 在a l g m p ，中弱稠密，则对任意x ，y a l g m f l 可得 西( y y + y x ) = 垂( y ) m ( y ) + 圣( y ) 圣( x ) 因此西是j o r d a n 同构证毕 由定理2 2 1 及f 6 ，定理3 1 可得以下推论： 推论2 2 1 设p 和1 是因子v o nn e u m a n n 代数m 中的两个非平凡套， 垂：a l g m p a l g m 7 是一个保单位的满的弱连续线性映射，并且对任意的4 ，b a l g i l f p ，有b a b = 0 当且仅当西( b ) 西( a ) 垂( b ) = 0 则对任意的x ，y a l g m ，要 么圣( x y ) = 圣( x ) 垂( y ) 要么圣( x y ) = 圣( y ) 圣( x ) 1 1 2 3 一类c s l 代数中的保零积的线性映射 本节讨论了至少含有一个非平凡可比较元的c s l 代数上的双向保零积线性 映射，我们主要得到以下结果： 定理2 3 1 设c 是复可分h i l b e r t 空间h 的交换子空间格且至少包含一个 非平凡的可比较元设圣：a l g ：一a l g f 是满的保单位元的线性映射，且对任 意正s 如c 有t s = 0 当且仅当圣( t ) 西( s ) = 0 ，则对任意a ，b a l g 有 圣( a b ) = 圣( a ) m ( b ) 为了证明这个定理，我们需要下面的引理 引理2 3 1 对任意a a l g c 及幂等元e ，f a l g c 有 ( a ) 垂是双射 ( b ) 圣( e ) = 垂( e ) 2 ( c ) 西( e a f ) = 西( e ) 圣( a ) 圣( f ) 证明对任意a a l g c ，若圣( a ) = 0 ，即圣( a ) 圣( j ) = 0 ，则由圣的双向保零积 性可知a = 0 ( b ) 由e 幂等，则e ( i e ) ；0 ，即垂( e ) 西( ，一e ) = 0 ，则圣( e ) = 圣( e ) 2 ( c ) 由西( e l ) 中( e a ) = 0 得垂( e a ) = 垂( e ) 西( e a ) ，又由中( e ) 西( e 上a ) = 0 得圣( e ) 圣( e a ) = 圣( e ) 垂( a ) ，即有圣( e a ) = 圣( e ) 币( a ) 同理可得垂( a f ) = 垂( a ) 圣( f ) 则 西( e a f ) = 西( e ) 西( a ) 圣( f ) 证毕 引理2 3 ，2 对可比较元户及任意t a l g 有西( p 上) 圣( 丁) 西( p ) = 0 证明由t = p t p + p r p 上+ p z t p 上，贝9 由( 尸上) 垂( 丁) 垂( p ) = 垂( p 上) o ( p t p4 - p t p 上4 - p 上t 尸) 西( p ) 而 西( p 1 ) 圣( p 丁p ) = 币( p t p l ) 圣( 尸) = 圣( p 1 丁p 1 ) 圣( p ) = 0 ， 即得壬( 尸上) 中( t ) 圣( p ) = 0 证毕 引理2 3 3 对任意可比较元p 有中( p b ( 日) p 上) = 垂( p ) b ( 日) 面( p 上) 证明由引理2 3 1 ( c ) 对任意t b ( h ) 有圣( p t p 上) = 圣( 尸) 中( p 丁p 上) 西( p 1 ) ， 则圣( p 丁p 上) 垂( 尸) b ( 日) 垂( p 上) 又由引理2 3 2 及圣为满射可得圣( j p 上)