（基础数学专业论文）实射影平面上映射的nielsen型数.pdf

摘要 拓扑不动点类理论主要是讨论不动点的个数的估计，紧多面体的自 映射，的本质不动点类的个数叫做，的n i e l s e n 数，记为( ，) 它是，的 不动点个数的下界因此，人们自然想知道一个具体映射的n i e l s e n 数的 表达式，但是n i e l s e n 数的计算涉及基本群，它没有一个一般的公式 本文中，我们根据基本群诱导的同态，给出了不可定向流形上自映 射与其在定向复迭上提升的n i e l s e n 数之间的关系对于实射影平面， 我们利用已知自映射的同伦分类，计算出了所有自映射的n i e l s e n 数更 进一步，我们讨论了实射影平面自映射周期类的可约性与不可约性，由 此，我们具体算出了各自映射的另外两个n i e l s e n 型数r ( ，) 和n ( ，) ， 它们是映射迭代的周期点与不动点的估计量 关键词：实射影平面，n i e l s e n 数，不动点，周期点 1 a b s t r a c t t o p o l o g i c a lf i x e dp o i n tt h e o r yd e a l sw i t ht h ee s t i m a t i o no ft h en u m b e ro f f i x e dp o i n t so fm a p s t h en u m b e ro fe s s e n t i a lf i ) 【e dp o i n tc l a s s e so fs e l f - m a pf o fac o m p a c tp o l y h e d r o ni sc a l l e dt h en i e l s e nn u m b e ro f ，d e n o t e d ( ，) i t i sal o w e rb o u n df o rt h en u m b e ro ff i ( e dp o i n t so f ，o n en a t u r a l l yw o n d e r t h ee x p r e s s i o no fa n yg i v e ns e l fm a p b u t ，t h ec o m p u t a t i o no fn ( f ) h a sad e e p r e l a t i o n s h i pw i t ht h ef u n d a m e n t a lg r o u p ，t h e r ei sn og e n e r a lf o r m u l a i nt h i st h e s i s ，w eo b t a i nt h er e l a t i o nf o rn i e l s e nn u m b e r sa m o n g s tg i v e n s e l fm a po nan o n - o r i e n t a b l em a n i f o l da n di t sl i f t i n g so nt h eo r i e n t a t i o nc o v e r i n g m a pa c c o r d i n gt ot h ei n d u c e de n d o m o r p h i s mo nf u n d a m e n t a lg r o u p f o rt h er e a l p r o j e c t i o np l a n e ，w ec o m p u t eo u tt h ea l ln i e l s e nn u m b e r sc o n c r e t e l yb yu s i n g t h eh o m o t o p yc l a s s i f i c a t i o no fs e l f - m a p so fr e a lp r o j e c t i o np l a n e m o r e o v e r ，w e d i s c u s st h er e d u c i b l i t ya n di r r e d u c i b u t yo fp e r i o d i cp o i n tc l a s s e s t h e r e f o r ew e c o m p u t et h eo t h e rt w on i e l s e nt y p en u m b e r s r ( ，) a n dn 九( ，) ，w h i c he s t i m a t e t h en u m b e ro fp e r i o d i cp o i n t sa n dl b c e dp o i n t so ft h ei t e r a t e so fm a p ， k e y w o r d s ：r e a lp r o j e c t i o np l a n e ，n i e l s e nn u m b e r ，f i x e dp o i n t ，p e r i o d i c p o i n t 2 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明的内容 外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果：对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确的方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：- 王砟受五 首都师范大学学位论文授权使用声明i 日姗惦生印k 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名t 孑编 2 嗍涝砷 第一章引言 1 9 2 7 年，j a c o b n i e l s e n 提出了映射的n i e l s e n 数的概念，即对连通的 多面体x 的自映射，的本质不动点类的个数叫做，的n i e l s e n 数，记 作( ，) 并指出n i e l s e n 数n ( f ) 是与自映射，同伦的所有映射的不动点 个数的下界这就奠定了n i e l s e n 数在不动点类理论中十分重要的地位 但是n i e l s e n 数涉及基本群( 一般情况下为非交换的群) ，其计算是非常困 难的，它没有一个一般的公式 1 9 6 7 年，r f b r o w n 在文【5 】中给出了纤维映射的n i e l s e n 数的乘积 公式设p ：e b 是一个局部平凡丛，：e _ e 是纤维映射，且假 定对所有的b f i x ( y ) ，( ) 相同，其中7 为厂诱导的底空间b 之间的 映射， 为，在b f i x ( f ) 的纤维的限制他提出：n ( f ) = ( 7 ) ( ) 对于乘积公式的推广，在1 9 8 0 年被c y y o u 解决，文【6 】中他给出： n ( f ) = n ( a 。) + ( 允) + + ( 允) ，其中b l ，以代表了7 的所有n i e l s e n 类 2 0 0 6 年，j e r z yj e z i e r s k i 在文【1 】中利用有限正则复迭p 日：x h _ x 证 出，和其某些提升的n i e l s e n 数之问的线性关系，n ( f ) = 巴( 如，z ) ( 五) ， 其中提升 分别为，的每个h r e i d e m e i s t e r 类的一个代表元如，z ( 参 见 1 】) 是一个正常数 不可定向流形m 上的定向复迭p h ：m m 是有限正则复迭的一个 特例，设，：m _ m 是自映射，本文的内容之一是通过由基本群丌l ( m ，x o ) 的自同态，霄所诱导的自同态厶h ：n l ( m ，x o ) h _ 7 r l ( m ，x o ) h 分情况讨 论，在某些条件下，计算出常数如b 的值，从而根据【】的结论得到定, 1 向复迭的n i e l s e n 数与两个提升的n i e l s e n 数之间的具体线性关系本文 只针对两种较为特殊的情形作了分析，对于其它情形下，二者的关系还 有待进一步研究 实射影平面r p 2 是我们常见的曲面之一，对冗尸2 的同伦分类及 n i e l s e n 数在文【3 】中都已给出作为定向复迭的一个具体例子，即实射 影平面r p 2 上的二重复迭p ：s 2 一r p 2 ，设，是r p 2 的自映射，我们利 用万有复迭和基本群的同态厶具体算出了r p 2 的自映射，的n i e l s e n 数 ( ，) 我们知道n i e l s e n 型数r ( ，) 是最小周期为n 的周期点的个数的 1 下界，九( ，) 是周期为n 的周期点( 即n 次迭代的不动点) 的个数的下 界，这两个数的计算一般比较困难本文中，我们不仅对r p 2 的自映射 ，的周期类的可约性与不可约性给出具体分析，而且对r p 2 自映射，的 两个n i e l s e n 型数r ( ，) 和机( ，) 也作了具体讨论 2 第二章预备知识 2 1 模正规子群日的不动点类 设x 是一个紧多面体，p h ：x 是有限正则复迭，即鼽( 7 r 1 ( 蜘) ) = 日是正规子群，7 r i ( x ) i h 是有限的映射，：x - x 且满足厶( 日) ch 记，的不动点集为f i x ( f ) ，即 f i x ( f ) = z xi ，( z ) = z ) 定义2 1 伶见口不动点集f i x ( f ) 上的模h - n i e l s e n 关系t 对于映射，的 两个不动点z 和y ，我们记z hy ，如果存在一条道路u ：【0 ，1 】一x 使得 , 4 0 ) = z ，w ( 1 ) = y ，且满足u = f ( w ) m o d h ，即u 加- 1 h 上述关系将f i x ( f ) 划分为互不相交的子集，每个子集称为映射，的模日 不动点类 定义2 2 伶见劲一个模日不动点类称为是本质的，若它的指数非零 模日本质类的个数称为，的模日一n i e l s e n 数，记为( ，) 根据在万有复迭下，自映射的提升定义，我们定义在有限正则复迭下， 自映射的提升如下- 定义2 3 ( i - 见删f ，自映射的提州设映射，：x - x ，：x h x h ，如果 ，满足p x0f = ，o 阳，即有交换图表， 7 x h ：，x n 彻ij 加 x 广x 那么我们称映射厂是映射f 的一个提升如果映射7 ：弱叶满足 p h 。，y = p h ，那么我们称映射，y 是荔的一个复迭变换( 即恒同映射的一 个提升) 。亦有 x h 一x 阳lj 阳 x 弋广xt 3 4 首都师范大学硕士学位论文 记o x h = 7 ：x h x hi p h 7 = p 日 为阳的复迭变换群1 i f t h ( f ) = ，：面_ 焉ip 日，= 如日) 为，的所有提升构成的集合我们有如下性 质。 命题2 a ( 参丸1 2 1 ) 以jp h 是正则复迭，对任意而，童1 p 彳( z o ) ，存在唯一的，y o x j f ! r ，使 得7 ( 童o ) = i 1 俐设，和尸是映射f 的两个提升，则存在唯一的，y 0 x 日使得 了= f 于是取定，的一个提升，有对应o x hhl i f t t t ( f ) ih1 l 对，y o x h ，f f i f t h ( f ) ，定义，y o f = 7 f 7 ，可验证这样的定义是复迭变 换群o x h 对l i f t h ( f ) 的作用作用的轨道称为，的模日一r e i d e m e i s t e r 类记为 f 】= ，y n - 1 i ，y d x 日) 所有轨道的集合记为。驼h ( ，) 我们易 得。 命题2 5 ( 参兕f 1 1 ) ( 1 ) f i x ( f ) = u t p h ( f i x ( f ) ) ，其中f 跑遍l i f t h ( f ) 中的所有提升 俐若p h ( f i x ( f ) ) n p h ( f i x ( y ) ) o ，则，厂代表睨1 4 ( f ) 中相同的 r e i d e m e i s t e r 类 俐若，7 代表相同的r e i d e m e i s t e r 类，则p h ( f i x ( f ) ) = 舶( f 谊( ，7 ) ) 这里，p h ( f i x ( f ) ) cf i x ( f ) 称为，的一个由【月决定的模日不动点类 证明( 1 ) 任意x o f i x ( f ) ，则f ( x o ) = x o ，取而p i l ( x o ) ，对，的一个 提升，有p t t f ( x o ) = 如日( 弼) = f ( x o ) = x o 所以f ( x o ) p 斧( z o ) 由命题2 4 得，存在唯一的7 o x n ，7 f ( x o ) = 而又由2 4 ，7 ，也是，的一个提升， 所以x o p h ( f i x ( t f ) ) 即f i x ( f ) u f p u ( f i x ( f ) ) 反之，对于任意x o u t p h ( f i x ( f ) ) ，即存在而，f ( x o ) = 而，有p h f ( x o ) = p h ( 孑o ) = x o 所以p h f ( x o ) = f v 日( 而) = f ( x o ) = x o ，即x o f i x ( f ) 所以 f i x ( f ) 2u - f p h ( f i x ( f ) ) 于是f i x ( f ) = u f 舶( 死z ( ，) ) 第二章预备知识 5 ( 2 ) 若p h ( f i x ( f ) ) n 芦憎( f 沱( ，7 ) ) o ，令x o p h ( f i x ( f ) ) n p f ；，( f 缸( ，7 ) ) ， 则有孑o ，磊p 手( z o ) ，使得，( 而) = 而，f ( x o ) = x o 由命题2 4 ，存在唯一 7 o k 日，有，y ( 量o ) = 磊从而尸( 磊) = 尸7 ( 奎o ) = ，y ( 奎o ) 即，y 一1 ，7 ( 而) = 而= ，( 而) 由提升的唯一性得t - i ，7 7 = ，所以，与，7 代表同一r e i d e m e i s t e r 类 ( 3 ) 对任意x o p 日( f 谊( ，) ) ，存在而，使得f ( x o ) = 而，p h ( x o ) = x o 下证x o p h ( f i x ( f ) ) 因为，7 = ，y ，7 ，所以i = 9 , - 1 ，7 7 ，于是而= ，( 童o ) = 7 - 1 ，y ( i o ) 所以，y ( 童o ) = 1 ( 奎o ) ，即，y ( z o ) f i z ( ，7 ) 于是p h t ( x o ) = p n ( z o ) = x o ，又x o p h f i x ( f ) ，即有p t i f i x ( 尸) p n f i x ( f ) 同理可证 p h ( f i x ( f ) ) p n ( f i x ( f ) ) 所以p t l ( f i x ( f ) ) = p h ( f i x ( f ) ) 口 注1 对非空模日不动点类，上述模日不动点类的定义等价于t f 的两个不动点为y 在同一类兮存在f 的提升f 与孟p t v l ( x ) ，多 耐( 矽) ，满足氕奎) = i ，氕勐= 妒 推论2 6 ，的不动点集可分解为不动点类的不交并，即f i x ( f ) = j ，p h ( f i x ( f ) ) 其中每一个，代表一个日一r e i d e m e i s t e r 类 记所有模日一n i e l s e n 类构成的集合为舶( ，) ，于是，我们得到。 命题2 7 舶( ，) 到蹰日( ，) 的一个自然的对应； i ：舶( ，) _ 跄j ! ，( ，) a h 【，】 且i 是单射 证明：对任意z a ，存在童p t t l ( x ) ，使得，( 童) = ( 孑) 我们把a 对应 到，所在的类【，】 ( 1 ) 上述对应与4 中元素的选取无关 对任意z ，y a ，由注1 可知存在日一r e i d e m e i s t e r 类【刀与之对应 ( 2 ) 与p ( z ) 中元素的选取无关 取7 ( 奎) p 寻( z ) ，我们有7 ，( 童) = ，y ( 叠) ，于是7 ，y 。1 ( ，y ( 窑) ) = ，y ( 舅) ，即7 ( 奎) 是7 1 的不动点，但7 艿1 与，均在h r e i d e m e i s t e r 类闭中 6首都师范大学硕士学位论文 ( 3 ) 若 ，】= 【f j ，且i ( a ) = ni ( a ) = 【，】，于是对任意x a ，存 在童p ( z ) ，满足氕z ) = ( z ) 对任意z a ，存在多p t t l ( x ，) ，满足 氕多) = ( z ，) 又因为尸= ，y h ，所以7 艿一1 ( z ) = 多，即穴7 一t ( 窑，) ) = 7 - 1 ( 奎，) 由注1 得z ，z 在同一类，即a = a 所以i 是单射 口 这说明从舶( 厂) 到蹰日( ，) 是一个自然的嵌入 当日平凡时，我们有： 定义2 8 伶见黝f i x ( f ) 上的n i e s e l 关系。z n ey ，如果存在一条道路 u ： 0 ，l 】一x 使得u ( o ) = z ，w ( 1 ) = y ，且u ，) 定端同伦，即u = ，) n i e l s e n 关系把f i x ( f ) 划分为互不相交的不动点类，即f i x ( f ) = a lua 2 ua 。 定义2 9 伶见剐不动点类acf i x ( f ) 称为是本质的，如果它的不动点 指数i n d ( f ；a ) 0 本质类的个数称为n i e l s e n 数，记为( ，) 命题2 1 0 伶见剐对任意两个自映射，g ，若，与g 同伦，则l e f s c h e z 数l ( f ) = 三( 夕) ，n ( f ) = ( 夕) 注2 由上面定义2 1 和2 8 可以得到模h n i e l s e n 类是一些普通n i e l s e n 类( 即日平凡时所得的类) 的并集 2 2f n 的不动点类 在本节中考虑存在万有复迭p ：x x 的拓扑空间x ，设，是x 的 任意自映射，d ( x ) 表示p 的复迭变换群，则d ( x ) = 丌1 ( x ) 定义2 1 1 伶见俐取定f 的一个提升，则，的每一个提升可唯一记为 o to 五其中q d ( 蜀对每一个q d ( 蜀，y oa 也是f 的一个提升，由命 题2 4 得，存在唯一的a 使得q o ，= ，oa 即，决定自同态 厶：d ( x ) - d ( x ) 口h 厶( a ) = q 满足，o 口= 厶( a ) o ， 第二章预备知识 对不同拓扑空间之间的映射同样可以定义其提升 7 定义2 1 2 停见砂h ：x _ y 是一个映射，称h ：x 一矿是h 的一个提 升，若7 ；= 硫，即下列图表可交换。 又l 矿 p 0卜 x 1 y 由此可知，自映射的提升是上述定义的一个特例 定义2 1 3 伶见俐令，：x x ，9 ：y _ + y 是两个自映射，从f 到g 的 一个态射是指t 存在映射h ：x y ，使得h 0y = 9 0h 即下列! t l 表可交 换# x o x -，lll - - i y 1 r y 命题2 1 4 伶见俐令 x 上x y 1 产y 是自映射f 的一个态射，给定s 的一个提升lh 的一个提升无，则存在 唯一的g 的提升歹，满足下列图表可交换t 又j 一丈 i l扛 矿寸矿 注3 由上述命题可知，h 的一个提升h 决定了对应h i q t ：_ 季满足 h 0 ，= h s t ( s ) oh 特别地，考虑态射 x ox -1ll l ，1 广y坩 0 8 首都师范大学硬士学位论文 则h 决定了从7 r x ( x ) 到7 n ( y ) 的一个对应记为h 。：7 r l ( x ) _ 7 r 1 ( y ) ， 即满足hoq = k ( q ) oh 其中q 丌l ( x ) 特别的，当y 取为拓扑空间x 时，有h 霄：7 r 1 ( x ) _ 7 r 1 ( x ) 且有 无。口= k ( 0 1 ) 。无，与定义2 1 1 相一致并且上述对应无l 。 有下列重要性 质t 命题2 1 5 ( 参丸f 2 j ) 俐无l i 把，的提升类映到g 的提升类即h u s t ( 阴) c 【无f t ，。( 歹) 】 一1 l j 上述对应与提升t , o 选择无关，记无l ，t 为h r p c ：【刀一同 ( i i i ) h 把f 的不动点类映到g 的不动点类，即危帆f 谊( 乃) c 力( f 缸( 蚕) ) 对自映射f ：x x 记f p c ( f ) 表示，的所有不动点类所构成的集 合考虑态射 x 上x ，l l ， x 1 产x 则向阳= i d ：f p c ( f ) _ f p c ( f ) 考虑尸，取定，的一个提升，显然有p f i x ( f ) cp f i x ( f b ) ，所以对， 的一个非空不动点类p f 妇( 乃，我们有p 的不动点类p f i x ( ) 包含它于 是有t 定义2 1 6 伶见别f 是拓扑空间x 的自映射，令阴表示，的提升类， 则【，”】表示广的提升类且与，的选择无关有以下对应 所以若有r a i n ，有对应 ：f p c ( f ) _ f p c ( f n ) 【卅一 尸】 6 ：f p c ( f ) _ f p c ( f ) 第二章预备知识 命题2 1 7 侉见俐令 ， x 上x ll ，l y 1 广y 是自映射，的一个态射，则对任意n ， 也是自映射，的态射，且当m l n 时，有交换图表： f p c ( f m ) j 。f p c ( f ”) 所以对态射 咖。l f p c ( g m ) 1 一f p c ( g ”) 由上述命题，可诱导对应；f p p c ：f p c ( f ”) _ f p c ( p ) 同时下面的两个命题给出f , ，p c 是f p c ( f n ) 之间的一个内自同构， 更有助于我们研究广不动点类之间的关系及其性质 9 命题2 1 8 侉见劬 令 ，厶，厶是，的提升，则f f p c ：【厶0 0 丘0 ，l 】hmo a o f 2 】 ( i i ) f ( p f i x ( 厶0 0 ，2o ) = p f i x ( f lo 厶o ) ，即广的不动点类的 ，像仍是广的不动点类 ( i i i ) i n d e x ( i , p f i x ( f , , o o 厶o ) ) = i n d e x ( i n , p f i x ( f , o 厶0 厶) ) 即， 诱导了广的不动点类之间的保指数的置换 o , o ( f f p c ) n = i d ：f p c ( f n ) 一f p c ( f n ) x 卜r y 三 7 x l y x l r x 上 了 x j o x 命题2 1 9 伶见俐取定自映射f ：x _ x 的任一提升f ：x + x ， 其它提升均可表为q 。五其中口7 f 1 ( x ) ，则【qo 力= 【q ( n ) o 产】，其中 q ( n ) = q 厶( q ) 靠一1 ( q ) ，且办p g 陋。产】= 嘛( a ) o 户】 证明t 由定义t “口。力= 【( qo 乃“】- 又因为( qo 乃”= a o o oqo 。qo ，= q 。0 o ( q 厶( o ) ) o0 ，= ( a 厶( a ) 露一1 ( q ) ) o 厂o o ，= 口( n ) o 产 由命题2 1 8 有向p c 【qo 尹】= 【( o 口) 。0 o 刃= 嘛( q ) o 产】 口 最后我们给出有关广不动点类的另外两个重要定义 定义2 2 0 停见，功设x 是一个拓扑空间，是x 的一个自映射，记 r ( ，) 表示，的以n 为周期的周期点集 任意z ，y p n ( f ) ，z ，y 是周期n i e l s e n 等价，若( z ，f n ) 姆( 秒，广) 记 为( z ，) 臀( ，) 于是易知，自映射f ：x x 的n 周期点类就是广的不动点类 定义2 2 1 伶见剀一个n 周期点类可约至7 n 周期点类，若它包含周期 为m 的周期点类，即若口产= ( 扣) 署，其中i f , f d ( 蜀否则称为不可 约在，f p c ：f p c ( i n ) _ f p c ( f n ) 作用下的周期点类称为，的轨道，记 为o r b ( f “1 由命题2 1 9 可得。有这样一个对应办p g ：捌_ 嘛( p ) 】，于是 推论2 2 2 矧所表示的不动点类可约营【厶( 卢) 】所表示的不动点类可约 证明： 例所表示的不动点类可约营p 乒= ( 产) 景= 立竺! 之三：! 圭2 于是厶( p ) of ”= fo ( 广) = fo f 厂”o 尸no o ，_ _ _ _ _ l _ _ _ _ _ _ _ o 、，_ _ l _ l o l - l _ - 一 = 厶( f ) 尸“0 厶( ) ，mo 0 厶( f ) ，” 所以嘛( p ) 】所表示的不动点类可约 1 0 口 第三章定向复迭的n i e l s e n 数 3 1 一般的结论 我们首先考虑紧连通的多面体x ，设，是x 的一个自映射，有限正 则复迭p 日：珏_ x ，取定f 的一个提升，：而- ：珏，z o f i x ( f ) 定义子群；l x h ( f ) = 7 d x 日；，7 = 7 ，) ； c ( 厂霄，x o ) = a r l ( x ，z o ) ；q = 厶( q ) ) ； c ( 厶，x 0 ) = 【q 】日7 r l ( x ，z o ) 日；o t = ，霄( q ) m o d 日) 我们注意到由典范投射j ：7 r 1 ( x ，z o ) _ 7 r 1 ( x ，x o ) h ，可诱导出同态 歹：c ( 厶，z d ) _ ( 厶，z o ) 我们把已有的一般结论列为如下几个引理可参考文献【1 1 引理3 1 令acf i x ( f ) 是，的一个n i e l s e n 类记a = p h ( a ) 例对任意黝a ，则歹( c ( 厶，知) ) 和p h l ( x o ) na 之间有双射我们记 矗= 社p 五1 ( 黝) na ) ，有母与x o 和a 的选取无关 俐若7 r 1 ( x ，x o ) 的子群日，c ( 厶，x o ) 可交换，即对任意h h ，q c ( 厶，z o ) ，有h q = o t h ，则如不依赖于p h ( f i x ( f ) ) 中普通n i e l s e n 类的 选取 引理3 2 复迭映射阳的限制p x ：f i x ( f ) _ p h ( f i x ( f ) ) 是一个复迭， 且对跏p h ( f i z ( 乃) ，p t t l ( x 。) nf i x ( f ) 与工x 日( 乃之间有双射记= 移( p h i ( x 。) nf i x ( f ) ) = 带l x 日( 力约定也不依赖于p h ( f i x ( f ) ) 中普通 n i e l s e n 类的选取 下面的引理我们将进一步具体给出这两个常数与如上定义的子群 的关系，从而利用这一关系计算这两个常数的值 引理3 3 集合l x h ( f ) 与( 厶，x 0 ) 之间有双射，从而 = 社l x 日( ，) 扔( c ( 厶，跏) ) = 袢( 厶，x o ) # j ( c ( f ，r ，x o ) ) = 桦( 铅( ，霄，x o ) j ( c ( h ，) ) ) 1 1 1 2 首都师范大学硕士学位论文 取定一个自映射，的提升f ，我们定义了和两个量，于是，我 们分别在，的每一个h n i e l s e n 类中取一个代表元，记为。五，五，五， 即f i x ( f ) 2 p h ( f i x ( f 1 ) ) u u p ( f i x ( a ) ) ，对每个五，我们定义坛和坛同 上，而且约定如，七与代表同一个模h n i e l s e n 类的任何普通n i e l s e n 类都无关，在这些假设前提下，我们可得如下一般结论t 引理3 4 设，是紧连通多面体x 的自映射，阳：霜_ x 是有限正则 复迭，则( ，) = ：1 如龟( 五) 其中五代表，的所有h - r e i d e m e i s t e r 类 引理3 5 条件同上引理，当7 r l ( x ) 日是交换群时，则如是个 常数，记为吲，即( ，) = 叫名。( 五) 其中五代表，的所有 h r e i d e m e i s t e r 类 3 2 定向复迭的n i e l s e n 数 设m 是一个不可定向流形，考虑m 的定向复迭p h ：m m 记 p h 。( t r l ( m ) ) = 日，我们知道，定向复迭是正则复迭，又由于x ( m ) h 竺磊， 所以阳是有限正则复迭下面我们根据有限正则复迭的一般结论得出 定向复迭的n i e l s e n 数 设，是m 的任意自映射，且满足i ( h ) c 日，则，一定有提升，即有 p h f = f p t t 记l i f t 厨h ( ，) = ，：m _ m ；p h f = 如日) 为，的所有提升所 成的集合令d 厨h = ，y ：m _ m ，细7 = 阳) 是定向复迭p h 的复迭变换 群于是d 西日兰7 r i ( m ) h 掣磊由命题2 4 ，对取定的某个提升，有一一 对应： o 磁hhl i f t 届h ( n 弋h 弋1 于是对，：m _ m ，的提升有两个，分别为，7 ，其中，y 为d 西日中 的非平凡元由引理3 5 我们得到t n ( f ) = 吲j 文( ，) + ( 7 ，) ) ，当f 与7 ，代表，的不同的h r e i d e m e i s t e r 类； 第三章定向复迭的n i e l s e n 效 1 3 n ( f ) = 吲联( ，) ) ，当，与7 ，代表，的同一个日一r e i d e m e i s t e r 类 其中7 7 r l ( m ) 日 由此可见，如果能求出叫b 就可得到n ( f ) 与其提升，的n i e l s e n 数之间的具体的线性关系 同样我们定义子群：l m h ( f ) = ，y d 厨日；，7 = 7 ，) ； c k ( 厶，知) = q 7 r l ( 彳，z o ) ；a = ，霄( q ) 】- ； c k 日( 厶，x o ) = “a 】日7 r l ( m ，x o ) mq = 厶( q ) m o d 日) 取x o f i x ( f ) ，我们设，所诱导的基本群的自同态为 厶：7 r l ( m ，x o ) _ 7 r 1 ( m ，x o ) qhf0a 又由于f ( h ) c 日，所以由，诱导的基本群之间的同态，霄，又可诱导 出商群7 r 1 ( m ，x o ) h 的一个自同态，记为 厶h ：l h ( m ，x o ) i h _ 7 r 1 ( m ，x o ) h 【o 】日- 呻【，霄( a ) 】日 所以厶h 为易的一个自同态我们易得易的自同态有两种：恒同同 态和常值同态我们分以下情况讨论t ( 1 ) 当，霄日是恒同同态时，有厶日( 【0 】日) = 【o 】日，厶h ( 【1 】日) = 【1 】日，即恒同 同态厶h 分别对7 h ( m ，x o ) 中的保向道路类日和反向道路类o h 保持不 变其中口gh 而c o h ( 厶，x o ) = 【q 】7 h ( m ，x o ) h ；q = 厂霄( a ) m o d h = 卅日7 r l ( f ，x o ) l h ；f 卅日= f 厶( q ) 】日) = 【口】h 7 r 1 ( 朋，x o ) h ；【o t h = 厂霄h ( 【q 】日) ) 于是日( ，霄，x o ) = 丌1 ( 尬x o ) h = z 2 ， 即# o m h ( l ，x o ) = 夸= 2 又由引理3 3 有栌l m 日( 西= 移j j r ( 厶，z o ) = 2 ， 雨o 话h = z 2 ，l m h 】l a = h o 蕊画h = 1 i 1 = h o 珏玉 f i l 1 = 尹) 呈。西日所以工m 日( 力竺。厨j ：r 1 4首都师范大学硬士学位论文 这表明，y ，在不同的h - r e i d e m e i s t e r 类，进而有n ( f ) = 吲j 又( ，) + ( 7 ，) ) 下面考虑j 7 = 扔( ( ，霄，z o ) ) ( 1 1 ) 若m 单连通，则n ( f ) = n ( f ) + n ( t f ) 证明t 因为p h ：m _ m 是定向复迭m 单连通，所以p h 。( 丌l ( m ) ) = h 平凡于是歹( ( 厶，) ) = 日( 厶，如) ， 所以矗= 翱( ( ，丌，z o ) ) = 2 ，从而彤1 7 = l ， 于是n ( f ) = n ( f ) + n ( t f ) 口 ( 1 2 ) 若任意q f i x ( f , ，) 均为保向道路类，其中厶：7 r l ( m ，x o ) 一 7 h ( m ，x o ) ，则n ( f ) = 1 2 ( n ( f ) + ( ，y ，) ) 证明：由于c m ( f ，x o ) = a n l ( m ，知) ；a = ，霄( q ) = f i x ( f 丌) ，所以 ( 厶，知) 中的元素所表示的道路类均为保向道路类于是在典范投射j 下，j ( ( 厶，x o ) ) 为日( 厶，x 0 ) 的保向道路类，即歹( ( 厶，z o ) ) = 【o 】日 c m z ( ，霄，x o ) 所以出= 带j ( ( 厶，跏) ) = 1 ，从而吲矗= 1 2 于是n ( f ) = 1 2 ( n ( f ) + ( ，y ，) ) 口 ( 2 ) 当厶日是常值同态时，有厶片( 【0 】日) = 【o 】日，厶日( 【1 】j = r ) = 【o 】日，即常 值同态厶日把7 r 1 ( m ，z o ) 中的保向道路类与反向道路类均映到保向道路 类 而c k 日( ，霄，x 0 ) = “q 】日7 r 1 ( m ，x o ) h ；q = 厶( a ) m o d h = “q 】h n l ( m ，z o ) 日；【a h = 【厶( q ) 1 日 = “o 】丌l ( f ，x o ) i h 所以带h ( 厶，x o ) = 1 ，即i t = 1 而由同态j ：c m ( 厶，x o ) 一日( 厶，铷) 知，对【o 】日( 厶，x o ) 存在 【o 】日( ：k ( ，丌，x o ) c7 r 1 ( m ，x o ) ，使得歹( 【o 】) = 【0 】日 即j ：( 厶，z o ) - c m ( a ，x o ) 是满射所以矗= # j ( c m ( a ，知) ) = 1 ， 从而吲墨= 1 ，又由引理3 3 ，则有舞l m h ( f ) = 群日( ，霄，x 0 ) = 1 又对，y = i d d 詹h ，有，y ，y 一1 = f ，所以l m h ( f ) = ，y = i d l ，y ，= ，7 ， 即表明，1 ，代表，的相同的日一r e i d e m e i s t e r 类进而n ( f ) = ( ，) 于是由上述内容有如下定理： 定理3 6 设m 是一个不可定向流形，阳：m m 是定向复迭，是m 的 一个自映射，且取定，的提升f ：m _ m ，有7 ，是，的另一个提升，其中，y 是 7 r 1 ( m ，x o ) l h 中的非平凡元取x o f i x ( f ) ，霄h ：7 r l ( m ，x o ) h _ 7 r 1 ( m ，x o ) - 日 是自同态 俐当厶h 是恒同同态时， n j j 若m 单连通，则n ( f ) = n ( f ) + n ( t f ) ； n 剀若任意a f 缸( 厶) 均为保向道路类，则n ( f ) = 1 2 ( n ( f ) + n ( t f ) ) 俐当，霄日是常值同态时，则n ( f ) = ( ，) 注4 关于定向复迭的n i e l s e n 数与两个提升的n i e l s e n 数之间的关系，本 文只针对两种较为特殊的情形作了分析。对于其它情形下，二者的关系 还有待进一步研究 1 5 第四章实射影平面自映射的n i e l s e n 数 考虑实射影平面r p 2 的定向复迭p h ：铲一r p 2 设，是冗p 2 _ r p 2 的任意一个自映射，则，必有提升，：铲- s 2 ，即有下列交换图表t 铲- 铲 p 日ii p 圩 r p 2 7 一r p 2 取定y 的提升五则，的另一个提升是r f 以下记为尸，其中7 为7 r l ( r p 。) 的非平凡元另外，以下我们为讨论方便，约定提升，的映射度为正， 提升丁，的映射度为负 为下面计算说明方便给出如下定义： 定义4 1 设，：r p 2 _ r p 2 是任意自映射，：铲- 铲是y 的提升，厂 的映射度的绝对值记为d 【e g ( f ) ，称为，的提升映射度 显然，这个定义与提升的选取无关与通常映射度一样，同伦的映 射有相同的提升映射度由于7 r l ( r p 2 ) = z 2 ，此时日为平凡群，同态，丌h 就是由，诱导的在基本群上的自同态，以下简记为厶，复迭阳记为p 同 态厶有两种可能：或是恒同，或是常值( 平凡) 当厶是常值时，映射，可 以提升到映射，7 ：r p 2 _ s 2 ，这时，的模2 映射度有定义记为d e g ( ，) 实射影平面r p 2 上自映射的同伦分类如下 命题4 2 侈见剐实射影平面即2 上两个自映射，夕：r p 2 _ 即2 是同 伦的当且仅当下面两种情形之一成立 以j 同态厶= 鳜是恒同，并且d e g ( f ) = a e g ( g ) ， 一1 一| 例同态厶= 夕霄是常值，并且d e g ( y ) = d e g ( 9 ) 注意后一种情形映射的提升映射度都是0 ，这时有两个同伦类t 一， d e g ( ，) = 0 或1 而前一种，提升映射度非0 的映射，其同伦类完全由提 升映射度决定又因为厶是恒同，映射，的每个提升，都与s 2 的对径 映射可交换，所以面( ，) 一定是奇数 本文利用定向复迭的n i e l s e n 数给出如下具体的计算 1 7 1 8首都师范大学硕士学位论文 1 当厶是恒同同态时， 由于s 2 单连通，且7 f 1 ( r p 2 ) = 历所以由定理3 6 得，n ( f ) = ( 乃+ ( 尸) ，其中厂，尸代表，的所有h r e i d e m e i s t e r 类 下面计算n ( f ) ，( ，) 又对任意多：s 2 s 2 ，因为s 2 单连通，所以季的提升类只有一类， 就是它本身 我们知道，对连通的多面体x 的任意自映射，则，的所有非空不 动点类( 或所有本质不动点类) 的指数之和等于l ( ，) 这里l ( f ) 表示， 的l e f s c h e t z 数，定义为l ( f ) = 。( 一1 ) a t r ( f , q ) 其中厶：凰( x ) 一凰( x ) 是，在x 的g 维同调群上诱导的自同态，打( 。) 表示这自同态的迹 这样我们易得。 推论4 3 于是对，的任一提升蚕：铲一铲有 砌= 。1 端嵩 心1 ， 记o x = 一y ：s 2 _ s 2 ip h 7 = ，y l i f t ( y ) = ，：铲_ 铲i7 ，= 艿) 又0 x 呈7 r 1 ( r p 2 ) = 易，由命题2 4 ，d x