（基础数学专业论文）逻辑公式的语构真度和构造性三i算法.pdf

逻辑公式的语构真度和构造性三i 算法 张东晓 摘要模糊命题逻辑系统和模糊推理是多值逻辑研究的热点课题本文就命题逻 辑系统中最基本的概念的程度化以及模糊推理的全蕴涵三i 算法做了深入研究， 得到一些有意义的结果本文核心内容包括四个部分，前三部分归入一章( 第二 章) ，第四部分单成一章( 第三章) ，第一章是预备知识，主要介绍二值命题逻辑系 统l 和模糊命题逻辑系统l u k 的语义和语构理论以及这两个系统中的计量逻辑 学 如果说文献【2 4 】中计量逻辑学是从语义理论入手定义公式的真度的话，那 么本文将从语构的角度给出公式真度的形式化定义第一部分针对二值命题逻辑 系统l ，给出公式的语构真度的概念和两个等价刻画定理以及三个语构真度的实 例，并指出由语构真度诱导的相似度和伪距离具有文献【2 4 】给出的相似度和伪距 离的基本性质此外讨论了语构真度在推理中的应用 第二部分针对模糊命题逻辑系统l u k ，类似于第一部分给出公式的语构真 度的概念和两个具体的例子，然后给出语构真度的三个等价刻画，并通过反例指 出，尽管l 和l u k 中的语构真度的定义在形式上非常相似，但l 中关于语构真 度的刻画难以在l u k 中实现，而且第一部分中语构真度的某些基本性质在l u k 中也不成立此外，通过实例指出关于l u k 的讨论不能简单地平移到模糊逻辑系 统e 中 本文第三部分在第二部分的基础上，将l u k 中公式的真度值推广到了一般 的m v 代数上，相对于第二部分的数值真度，给出公式的格值真度，并通过格值真 度的性质说明格值真度是数值真度的合理推广最后指出由于格蕴涵代数和m v 代数是等价的代数系统，从而可以进一步实现格值命题逻辑公式的程度化 本文第四部分主要深入研究了模糊推理的全蕴涵三i 算法，改进了文献【2 】 给出的z a d e h - 三im p 解，并给出风一三im p 解、l u k a s i e w i c z - 三im p 解、z a d e h - 三i m p 解、g s d e l - 三i m p 解具有还原性的充要条件，最后指出可以类似考虑 f m t 问题及其还原性 关键词：命题逻辑系统语构真度格值真度三i m p 解还原性 s y n t a c t i ct r u t hd e g r e eo ff o r m u l a sa n d c o n s t r u c t i v et r i p l e - ia l g o r i t h m z h a n gd o n g x i a o a b s t r a c t f u z z yr e a s o n i n ga n df u z z yp r o p o s i t i o n a ll o g i ca r et o p i c so fg e n e r a l i n t e r e s ti nm a n y - v a l u e dl o g i c t h ep r e s e n tp a p e rg o e sd e e pi n t ot h eg r a d a t i o no f t h eb a s i cc o n c e p t si np r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m sa n dt h ef u l li m p l i c a t i o nt r i p l e i a l g o r i t h mi nf u z z yr e a s o n i n g a n ds o m ef r u i t f u lr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h e r ea r e f o u rm a i np a r t si nt h i sp a p e rw h i c ha r ed i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef i r s t t h r e ep a r t sa r ei n c l u d e di nt h es e c o n dc h a p t e rw h i l et h el a s tm a k e si t s e l fc h a p t e r 3a l o n e s y n t a x ，s e m a n t i c sa n dq u a n t i t a t i v el o g i ct h e o r yi nt w ol o g i cs y s t e m s ，i e ， t o w - v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e mla n df u z z yp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e ml u k a r ei n t r o d u c e di nc h a p t e r1f o rp r e l i m i n a r i e s t h i sp a p e rd e f i n e st h es y n t a c t i ct r u t hd e g r e e so ff o r m u l a sf r o mt h es y n t a c t i c a l p o i n to fv i e w ，w h i l e 【2 4 】p r o p o s e st h et r u t hd e g r e e so ff o r m u l a sf r o mt h ep o i n to f v i e wo fs e m a n t i c s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ec o n c e p to ft h es y n t a c t i ct r u t hd e g r e e so f f o r m u l a s ，i t st w oe q u i v a l e n td e p i c t i o nt h e o r e m sa n dt h r e ee x a m p l e sa r ep r o p o s e di n t o w - v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e ml i ti sp o i n t e do u tt h a tt h es i m i l a r i t yd e g r e e a n dp s e u d o - m e t r i ci n d u c e db ys y n t a c t i ct r u t hd e g r e ep o s s e s sr e s p e c t i v e l yt h eb a s i c p r o p e r t i e so fs i m i l a r i t yd e g r e ea n dp s e u d o - m e t r i ci n t r o d u c e di n 【2 4 f i n a l l y , t h e a p p l i c a t i o n so fs y n t a c t i ct r u t hd e g r e e si nr e a s o n i n ga r ea l s od i s c u s s e d t h e n ，i np a r tt w o ，t h ec o n c e p to ft h es y n t a c t i ct r u t hd e g r e e so ff o r m u l a si n f u z z yp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e ml u ki sp r o p o s e ds i m i l a r l y s i m u l t a n e o u s l yt w o e x a m p l e sa n dt h r e ee q u i v a l e n td e p i c t i o n so ft h es y n t a c t i ct r u t hd e g r e e sa r eg i v e n i nl u k i ti si l l u s t r a t e db ys o m ee x a m p l e st h a tt h ed e p i c t i o n so fs y n t a c t i ct r u t h d e g r e e si nl c a n tb ea c h i e v e di nl u k a n ds o m em a i np r o p e r t i e so ft h es y n t a c t i c t r u t hd e g r e e si nla r en ol o n g e ra v a i l a b l ei nl u k ，a l t h o u g ht h ed e f i n i t i o no ft h e s y n t a c t i ct r u t hd e g r e e si nl u k i ss i m i l a rt ot h a ti nl f i n a l l y , i ti sp o i n t e do u tb y t h r e ee x a m p l e st h a tt h ed i s c u s s i o n sa b o u tt h es y n t a c t i ct r u t hd e g r e e si nl u ke a r l t b ed e v e l o p e dp l a i n l yt oc + t h et h i r dp a r tp r o p o s e si nl u kt h ec o n c e p to fl a t t i c e v a l u e dt r u t hd e g r e e s b a s e do nt h es e c o n dp a r tb yg e n e r a l i z i n gt r u t hv a l u e sf r o mt h em v u n i ti n t e r v a l ( a s p e c i a lm v a l g e b r a ) t oag e n e r a lm v a l g e b r a a n dt h ep r o p e r t i e so fl a t t i c e - v a l u e d i i t r u t hd e g r e e ss u g g e s tt h a tt h i sg e n e r a l i z a t i o ni sn a t u r a la n dr e a s o n a b l e b e c a u s eo f t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h et w oa l g e b r as y s t e m s ie m v a l g e b r aa n dl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，i t sn a t u r a la n de a s yt og r a d et h et r u t ho ff o r m u l a si nl a t t i c e - v a l u e d p r o p o s i t i o n a ll o g i cw h o s eb a s i ca l g e b r as y s t e mi st h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a f u ui m p l i c a t i o nt r i p l e - ia l g o r i t h mo ff u z z yr e a s o n i n gi ss t u d i e df u r t h e ri nt h e f h l a lp a r tw h e r e i nz a d e ht r i p l e - im ps o l u t i o np r o p o s e di n 【2 i si m p r o v e d a d d i - t i o n a l u yt h i sp a r tp r o p o s e ss o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t r i p l e - i s o l u t i o n ，l u k a s i e w i c zt r i p l e is o l u t i o n ，z a d e ht r i p l e - im ps o l u t i o na n dg s d e lt r i p l e i s o l u t i o np o s s e s s i n gr e d u c t i v i t y a n df m t ( f u z z ym o d u st o l l e n s ) p r o b l e ma n di t s r e d u c t i v i t yc a nb ec o n s i d e r e ds i m i l a r l y k e y w o r d s ：p r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m ；s y n t a c t i ct r u t hd e g r e e ；l a t t i c e v a l u e dt r u t hd e g r e e ；t r i p l e im ps o l u t i o n ；r e d u c t i v i t y i i i 学位论文独创性声明 y9 00 7 2 1 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：塑疆。隰鎏翌( r 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名： 翌皇噬日期：扣。j 前言 在一个逻辑系统中，赋值的引入大大改善了语构理论古板、生硬的模式，因 为赋值并不涉及严格推理，而仅仅通过给公式赋值就能判断公式的好坏确切地 说，如果所有赋值在公式a 上的值都为1 ，则称a 为重言式，通常认为这样的公 式是好公式；反之，若所有赋值在公式a 上的值都为0 ，则称a 为矛盾式，通常 认为这样的公式是坏公式也就是说赋值集就像是一个裁判团，它通过给公式打 分的方式就能判别出好公式和坏公式特别是在完备的逻辑系统中，这样的“裁 判团”的作用更是发挥得淋漓尽致，不通过推理，它就能将定理和可驳公式( 定 理的否定形式) 从众多纷繁复杂的公式堆r ( s ) 中区分出来但这样的从单个赋 值出发衡量公式的做法有很大的局限性，它只能区分出来顶级好的和顶级坏的公 式，即重言式和矛盾式，而对于在数量上占据优势的普通的公式来说，却不能加 以区分，更谈不上给它们以合理的程度化，这似乎成为多值逻辑和模糊逻辑的一 个瑕疵，颇有美中不足之感 针对模糊命题逻辑系统l u k 和【“，王国俊教授在文献【2 4 】中将裁判团中 每个成员对公式a 的评价按其所占份额给出积分，并将其做为对公式a 的一种 总体评价，称为公式a 的积分真度，简称为真度( 在文献【4 】中称其为重言度) 这种对公式的总体评价不仅大大发挥了赋值的作用，弥补了过去只从单个赋值出 发衡量公式的局限性，也为衡量理论fcr ( s ) 的相容程度 5 - 8 】以及为在公式集 f ( s ) 上引入伪距离和建立f ( s ) 的几何框架提供了可能1 2 - 4 , 9 - n 1 在模糊逻辑系统l u k 和c + 中完成了对一般公式的总体评价之后，王国俊 教授又子文献 1 2 j 中提出二值命题逻辑系统中公式的真度理论，给出相似度的概 念，并引入了伪距离，从而在二值命题逻辑系统中实现了公式集f ( s ) 的度量，为 在二值命题逻辑系统中实现近似推理提供了一种理论框架如今已有许多后续研 究，如， 1 3 1 6 】在多值逻辑系统中用不尽相同的方法给出公式的真实程度的评 价。 1 7 1 8 】讨论了相似度和伪距离，【1 9 2 0 】则针对谓词逻辑给出公式的评价， 【2 1 ，2 2 】改进了文献 1 2 中的相似度，而【1 6 】在多值逻辑系统l 。和模糊逻辑系统 l u k 之间建立起了桥梁，实现了多值逻辑和模糊逻辑的沟通 最近王国俊教授将这一理论的研究成果系统地编著成计量逻辑学纳入文献 【2 3 ，2 4 ，将数值计算有机地结合到数理逻辑中，不仅改变了数理逻辑给人刻板的、 一丝不苟的形象，而且为数理逻辑的发展开辟了新的道路 王国俊教授在文献 2 4 1 的第九章开篇中指出，鉴于语构理论具有更明显的 形式化的特点，也就不易于进行程度化从而以上介绍的计量逻辑学都是从语义 理论入手，给予公式真实程度以定量描述本文第二章则试图从语构理论入手， 在经典二值命题逻辑系统l 和模糊命题逻辑系统l u k 中给出公式的语构真度的 概念，以及语构真度的等价刻画并且通过范例指出l u k 中关于语构真度的考 虑不能简单地平移到模糊命题逻辑系统c 中在第二章第三节中针对逻辑系统 l u k 将真度的取值从【o ，l 】进一步推广到一般的m v 代数，得到格值真度，并通 过格值真度的性质说明格值真度是数值真度的合理推广王国俊教授在文献1 2 5 1 中证明了m v 代数和格蕴涵代数【2 6 】是等价的代数系统那么，格值真度的理论 完全可以平移到基于格蕴涵代数的格值逻辑系统【2 7 2 8 】中，从而可以在格值逻辑 系统中实现公式的程度化 模糊集理论【2 9 】的提出，以及它与逻辑的结合，不仅促进了非经典数理逻辑 的发展，而且也丰富了数理逻辑本身将模糊思想融于逻辑和推理中产生的模糊 逻辑 3 0 - 3 5 l 和模糊推理 3 6 - - 4 4 l 已成为形式逻辑研究的热点之一在模糊推理理论 中，c r i ( c o m p o s i t i o n a lr u l eo fi n f e r e n c e ) 方法【3 6 j 在理论和应用两个方面都产生 了很大影响但是这种方法缺乏逻辑推理的支持1 2 】为了将模糊推理纳入逻辑框 架，王国俊教授提出全蕴涵三i 算法【4 5 】，由于三i 算法较c r i 方法有许多优点， 目前它已受到广泛关注【4 6 5 7 】 模糊推理通常要解决多重多维模糊推理的问题但通过不同的方法1 2 , 5 8 - 6 0 总可将其转化为以下两种最基本的问题： 已知：a b 输入：小和 已知：a b 输入：驴 输出： 日+ 输出： a + 称前者为f m p ( f u z z ym o d u sp o n e n s ) 问题，后者为f m t ( f u z z ym o d u st o l l e n s ) 问题本文第三章着重研究f m p 问题，给出求解f m p 问题的构造性方法，改 进了文献【2 l 中基于z a d e h 一蕴涵算子的三im p 算法考虑了三i m p 算法的还原 性，得到几种算法具有还原性的充要条件最后指出可以类似考虑f m t 问题及 其还原性 2 第一章预备知识 本章主要介绍二值命题逻辑系统l 和模糊命题逻辑系统l u k 的语构和语义 理论，以及这两个逻辑系统中的计量逻辑理论此外，本章对l u k 对应的代数系 统，即m v 代数做了简单地介绍 1 1 二值命题逻辑系统l 1 1 1 语构理论 一个形式系统由字符表，公式集，公理集，推理规则集四个部分组成逻辑 系统l 是一个特殊的形式系统，其字符表为：_ 7 ，一，( ，) ，p 1 ，p z ，p 3 ，其公式集 f ( s ) 是由s = 扫，p 2 ，p 3 ，) 生成的( - 7 ，一) 型自由代数 l 的公理集包含以下三种形式的公式： ( l 1 ) a ，( b 一a ) ( l 2 ) ( a 一( b ，e ) ) ，( ( a + b ) ，( a ，c ) ) ( l 3 ) ( 一a 一一b ) 一( b a ) l 的推理规则只有一条，即m p ：从a b 与a 推得b l 的证明是一个有限的公式序列a 1 ，a 2 ，a 。，这里对每个i n ，a t 是公理 或者存在j i ，k i ，使a 是由a j 与a 运用m p 推得的结果这时a 。叫做l 中的定理，上述过程叫a 。的证明a 。是定理可记为卜a 。其中，n 叫证明的 长度称定理的否定形式为可驳公式，下文以t 表示定理，以百表示可驳公式 三段论规则( h y p o t h e t i c a ls y l l o g i s m ) 即 a b ，b e ) 卜a c 在l 中 成立 若卜a 日且卜日一a ，则称a 与且可证等价，记作a 一目在l 中引入 记号v ，a ，规定avb = _ 7a b ，aab = 一( - 7a v b ) ，则有如下形式的定 理和等价公式： 命题1 1 1 设a ，b ，a i f ( s ) ，i = l ，2 ，n 则有如下事实； ( i ) 卜_ a avb ，卜aab a ，卜( a 一日) 一( 旧一c ) 一( a c ) ) ， 卜a b avb ，卜a v _ 7a ，卜一( a a _ 7j 4 ) ，目j a a a 为可驳公式 ( i i ) a 一_ 7a ，a ab 一_ 7 一一b ) ，a vb 一一( _ 7a a b ) ， a 1 一( a 2 一( 一( a 。一a ) - ) ) 一a iaa 2a 一aa 。一a ， a v ( bac ) 一( a vb ) a ( avc ) ，aa ( bvc ) ( aab ) v ( a ae ) 3 设r f ( s ) ，通常称r 为系统l 中的理论从r 到a 的一个推演是一个公 式序列a 1 ，a 2 ，a 。，这里a 。= a ，且对每个i 佗，a ，或者是l 中的公理或者 a i f ，或者有j i ，k i ，使a 是由a j 与m 运用m p 而得到的公式a 叫 做r 一结论，或r 推出a ，记作r 卜a m 叫推演长度当r 是空集时，r 卜a 表示 a 是l 中的定理记d ( f ) 为r - 结论之集从r 的定义容易得到如下结果 命题1 1 2 设r 为理论，则f 卜a 当且仅当存在a l ，a 2 ，a 。f ，使得 f a l ，a 2 ，一，a 。 卜a 定理1 1 3 ( 演绎定理) 【1 】设r 为理论，a ，b f ( s ) ，如果r u a ) t - b ，则 r 卜- a b 演绎定理的逆定理也成立多次运用演绎定理和其逆定理可得如下 命题1 1 4 设a ，a 1 ，a 2 ，a 。f ( s ) ，则 a 1 ，a 2 ，a 。) 卜a 当且仅当 卜a 1aa 2a aa 。_ a 由命题1 1 4 知，若a 1 ，a 2 ，a 。r 则a 1aa 2a aa 。d ( r ) 综合命题1 1 2 和命题1 1 4 便有 命题1 f 1 5 设r 为理论，a f ( s ) ，则r 卜a 当且仅当存在a l ，a 2 ，a 。 r ，使得卜a la4 2a a 。一a 此外，若r 能推出可驳公式则称r 是不相容的，否则称r 是相容的由以 上命题可得 命题1 1 6 设r 为一理论，则 ( i ) r 不相容当且仅当存在a l ，也，a 。f ，使得卜a l a a 2 a a a 。一石 ( i i ) r = b 1 ，b 2 ，口。) 不相容当且仅当b 1ab 2a a 曰。是可驳公式 1 1 2 语义理论 设( o ，1 ，一，一) 是一个b o o l e 代数，其中 、0 = 1 ，1 = 0 ，0 1 = 1 ，1 0 = 0 设u ：f ( s ) 一 o ，1 ) 是映射，若u 满足：u ( 一a ) = ，u ( a ) ，v ( a b ) = v ( a ) 一 u ( b ) ，a ，b f ( s ) ，则称u 为f ( s ) 的赋值，v ( a ) 称作公式a 的赋值可以验证 对任意的公式a ，b ，v ( a vb ) = v ( a ) vu ( b ) ，v ( aab ) = v ( a ) u ( b ) 对于公式a 来说，若任意的赋值作用在a 上的值都为1 ，则称a 为重言式( t a u - t o l o g y ) ，反之若任意赋值作用在a 上的值都为0 ，则称a 为矛盾式( c o n t r a d i c t i o n ) a 为重言式通常记作 a 对于公式a ，口来说，若任意的赋值作用在它们上的值 都相等，则称a 与b 是逻辑等价的，记作az b 4 命题1 1 7 ( 语义m p 规则) 【1 l 设a ，b f ( s ) 若a 与a b 都是重言式， 则b 也是重言式 此外，设1 1 是一个理论，若赋值u 将r 中的每个公式都赋值为1 ，我们就将 其记为u ( r ) = 1 若对任意的赋值 ，当u ( r ) = l 时，v ( a ) = 1 ，则称r 语义蕴涵 a ，记作r a 定理1 1 8 ( 完备性定理) 【1 l 在系统l 中a 为定理的充要条件是a 为重言式 由完备性定理可得a 与b 可证等价的充要条件是a 与b 逻辑等价，而r 能推出a 的充要条件是r 语义蕴涵a 由完备性定理还可得到r 的相容性在语 义角度下的解释 命题1 1 9 设r 为理论，则f 是相容的当且仅当存在赋值v o ，使得撕口) = l ， 即对任意的公式a f ，v o ( a ) = 1 5 1 2 模糊命题逻辑系统l u k 和m v 代数 i 2 i 语构理论 逻辑系统l u k 的字符表与公式集分别和二值命题逻辑系统l 的字符表与公 式集相同，推理规则也相同，即m p 规则，但公理集却不尽相同l u k 中公理 集由以下形式的公式组成： ( l u l ) a 一( b a ) ( l u 2 ) ( a b ) 一( ( b e ) 一似一d ) ) ( l u 3 ) ( ( a b ) 一b ) 一( ( b a ) 一a ) ( l u 4 ) ( 一a 一一b ) 一( b a ) l u k 中的证明、定理、可证等价、以及从r 出发的推演、相容理论的定义和 l 中的相应定义一样，在不致 昆淆的情况下，同样将a 为定理记作卜a ，将a 是 r 一结论记作r 卜a ，将a 与b 可证等价记作a b 三段论规则在l u k 中仍然成立在l u k 中引入记号v ，a ，o ，o ，规定a v b = ( a b ) 一b ，a a b = 一( 一a v b ) ，a g b = 一a b ，a o b = _ 7 ( 一a o _ 7 b ) l u k 中的定理都是l 中的定理，在l u k 中可证等价的公式在l 中仍然是可证等 价的，反过来却不一定成立但是命题1 1 1 中的部分结论在l u k 中仍然成立 命题1 2 1 设a ，b ，a 。f ( s ) ，i = 1 ，2 ，- 一，礼则有如下事实： ( i ) 卜_ a ob _ a ab ，卜- a vb _ a ob ，卜a b _ a o b ，卜_ a b _ a ， 卜a a v b ，卜a 0 _ 7 a ，卜一( a o a ) ，即a 一4 为可驳公式 5 ( i i ) a ob boa ( a ，1b ) ，aob boa r ( 7a o ，b ) ， avb bva 一一( _ 7a a b ) ，aab baa ，a b 一日_ 一a ， av ( bac ) ( avb ) a ( ave ) ，aa ( bvc ) 一( aab ) v ( aag ) ， a 1 一( a 2 ，( 一( 4 。一a ) ) ) 一a 1oa 2o oa 。- a ( i i i ) a 1 ，a 2 ，a 。) 卜a ：1o a ；2 0 圆a 争其中，1 ，k 2 ，- 一，k n ，a ? = 墨! 望垒1 2 ：璺垒! ， h 个 在l u k 中有如下形式的弱演绎定理( 可参阅文献【3 2 ，6 1 】) ： 定理1 2 2 ( 弱演绎定理) 设r 为理论，a ，b f ( s ) ，如果r u a 卜b ，则 存在k n 使得r 卜小一日其中，a = a o a 4 。v _ 。一 k 个 以上弱演绎定理的逆定理也成立由r 一结论的定义和以上弱演绎定理及其 逆定理可以得到如下 命题1 2 3 设r 为理论，a f ( s ) ，则r 卜a 当且仅当存在a 1 ，a 2 ，a 。f ， 存在七1 ，如，k n ，使得卜_ a ：1o a ；2o o a 争一a 命题1 2 4 设r 为理论，则 ( i ) f 不相容当且仅当存在a 1 ，a 2 ，a 。f ，存在1 ，后2 ，k 。n ，使得 a ：1 a ；2 o a 争为可驳公式 ( i i ) 特别地，若f = a ，a 2 ，厶) ，则f 不相容当且仅当存在，乜，k 。n 使得a ：1o a 字o o a 廿为可驳公式 1 2 2m v 代数 m v 代数理论【6 2 i 是与l u k a s i e w i c z 逻辑系统相配套的代数理论其原始定义 比较复杂，这里给出其简化定义 定义1 2 5 1 1 , 2 4 lm v 代数是一个( 2 ，l ，0 ) 型代数( x ，o ，o ) ，满足条件： ( i ) ( x ，o ，0 ) 是以0 为单位的交换半群 ( i i ) z o0 ，= 0 ( i i i ) ( 。，) ，= z ( i v ) ( z 7 0 9 ) 7 0y = ( y oz ) 7 0 z 在m v 代数中引入二元关系，定义zsy 当且仅当一o y = 0 7 ，则( x ，) 构 成偏序集再规定0 7 = 1 ，则( x ，) 还是一个以。为最小元，以1 为最大元的有界分 配格，而且上、下确界可由7 和。表示：x v y = ( 。o 可) o ，x a y = ( z 7 v y ，) ，z ，y x 此外在m v 代数中引入二元运算。和一规定zo y = ( 茁o o ，) ，z y = z 0 暑f 则( x ， ，1 ) 是以1 为单位的交换半群，而且( ，一) 构成伴随对，即对任意的 6 z ，y x ，zo g = 当且仅当z 掣。2 特别当x = 【0 ，1 时，在x 上规定zoy = ( z + y ) a1 ，x 7 = 1 一z ，容易验 证( x ，o ，0 ) 是m v 代数，通常称其为m v 单位区间容易验证在m v 单位区 间中由“z 7oy = 1 当且仅当z y ”定义的偏序墨就是 0 ，1 】中的自然序，从 而由zvy = ( z o 可) 7 0y 确定的v 就是 o ，1 中的取大运算此外，容易得到 z o ! ，= 扛+ y 一1 ) v 0 ，z y = ( 1 一。+ y ) 1 此时称 和一分别为l u k a s i e w i c z 三角模( 列奠) 和l u k a s i e w i c z 一蕴涵算子这里给出m v 代数的一些性质，其详细 证明可参阅文献f 12 4 命题1 2 6 1 1 l 在m v 代数中以下各性质成立： ( i ) 1 _ z = z ，。一0 = z 7 ，0 z = 0 ( i i ) z y = 1 当且仅当z 兰y ( i i i ) z 一= 可 z ( i v ) z 一 一2 ) = y 一如一：) ( v ) 。0 0 v z ) = p o y ) v 扛o z ) ( 讥) ( z + y ) + g = z v 可 ( v i i ) o ay = z o ( z 。可) ( v i i i ) ( z y ) v ( y z ) = 1 ( i x ) z 一( a2 ) = ( z y ) ( z z ) ( x ) z 一( 可vz ) = ( o ，y ) v ( z o ) ( x i ) 扛 y ) 一2 = ( z 一= ) v ( y z ) ( x i i ) ( zv y ) 一= = 扛一。) ( y 一。) 这里给出下一章用到的一个结论，其证明比较简单，这里省略， 命题1 2 7 设x 为一个m v 代数则z o = z 当且仅当x v y 7 = 1 x ，y x 1 2 3 语义理论 设【o ，1 是m v 单位区间，如上节所述，【o ，1 】中有二元运算o ， ，一和一元 运算7 ，这里为了叙述方便记一z = z 设u 是从r ( s ) 到m v 单位区间【o ，1 的映 射，若u 满足；u ( 一a ) = 、u ( a ) ，v ( a b ) = v ( a ) 一”( b ) ，a ，b f ( s ) ，则称 为f ( s ) 在m v 单位区间【o ，1 】中的赋值，简称u 为赋值，v ( a ) 称作公式a 的赋 值可以验证对任意公式a ，b ，v ( a vb ) = v ( a ) v ( b ) ，u ( a ab ) = u ( a ) a u ( b ) ， u ( a o b ) = ( a ) o u ( b ) ，u ( a o 日) = v ( a ) o u ( b ) 在l u k 中重言式、矛盾式，逻辑等价、r 语义蕴涵a 的定义和l 中的相应 定义一样，其相应的记号在不致混淆的情况下也做相应的保留，只是注意在l u k 中赋值 的取值已不局限于0 和l 两个数字，其内容丰富的多 7 此外，在l u k 中语义m p 规则依然成立而且完备性定理也成立特别地， 在l u k 中理论r 的相容性从赋值的角度也有如下刻画： 命题1 2 8 设r 为理论，则r 是相容的当且仅当存在赋值 o ，使得v 0 ( r ) = 1 即对任意的公式a r ，v o ) = 1 1 3 计量逻辑理论初步 正如引言中所述，文献【2 4 】从逻辑系统的基本概念的程度化入手，从语义理 论的角度将数值计算引入数理逻辑中，使刻板的、一丝不苟的数理逻辑具有很大 的灵活性，这一理论不仅丰富了数理逻辑，而且为其指明了新的研究方向限于 篇幅关系，本节主要介绍二值命题逻辑系统l 和模糊命题逻辑系统l u k 中的计 量逻辑理论，平行地对模糊命题逻辑系统c + 中的计量逻辑理论稍做说明 1 3 1 l 中的计量逻辑理论 设a = a ( p l ，p 2 ，m ) 是l 中含有n 个原子命题的公式，即4 是由原子 命题p 1 ，p 2 ，m 通过逻辑连接词_ 7 和一连接而成的合式公式对于任意的 ( 茁1 ，z 2 ，茁。) o ，1 ”，令a ( x l ，z 2 ，茁。) 为分别以z ，代替a ( p l ，p 2 ，p 。) 中 的p i 之后所得的式子( i = 1 ，2 ，礼) ，如果将保留下来的逻辑连接符一，一分 别理解为b o o l e 运算符一，一，则a ( z l ，z 2 ，z 。) o ，1 ) 这样就得到了一个从 o ，1 ”到 0 ，1 的函数五，我们称其为由公式a ( p 。，p 2 ，p 。) 导出的b o o l e 函 数 此外设 是赋值，则u 在a = a ( p 1 ，p 2 ，p 。) 上的赋值完全由u 在原子命题 p 。，p 2 ，p 。上的赋值所决定，即v ( a ) = a ( v ( p 1 ) ， ( p 2 ) ，u ( p 。) ) 从这一角度来 说，公式a 的全体赋值的个数就是有限集( o ，1 ) ”中元素的个数，即为2 ”个，而 能使公式a 等于1 的赋值的个数就是l 万“( 1 ) | _ 其中万一1 ( 1 ) = ( z ，z 2 ，z 。) ( o ，l ”i 五( z 1 ，x 2 ，z 。) = 1 ) ，i 万一1 ( 1 ) l 为集合万“( 1 ) 的元素个数所以从计算概 率的观点可以给出公式a ( p l ，p 2 ，) 的真实程度( 或重言度) 的如下评价： 定义1 3 1 1 1 2 2 4 1 设a = a ( p l ，p 2 ，) 是系统l 中含有n 个原子公式的合 式公式，则a 的真度t ，* f a ) 定义如下： 州) = 掣 为了和第二章定义的语构真度区别这里的真度加上+ ，但本节将省略上下 标，简记为7 _ 以下给出真度- r 的部分性质，其证明过程省略，有兴趣的读者可 参阅原始文献【1 2 ，2 4 _ 8 首先给出重言式( 定理) 和矛盾式( 可驳公式) 在r 下的等价刻画： 命题1 3 2 设a = a ( m ，p 2 ，p 。) f ( s ) 则 ( i ) a 是重言式当且仅当r ( a ) = 1 ( i i ) a 是矛盾式当且仅当r ( a ) = 0 在l 中r ( avb ) ，下( aa 日) ，r ( a ) 和7 _ ( b ) 有如下关系： 命题1 3 3 设a ，b f ( s ) ，则 ( i ) r ( a v b ) + t ( a a b ) = 7 _ ( a ) + r ( b ) ( i i ) 若a ，b 不相容，即 a ，b ) 可推出可驳公式，则t ( a v b ) = 7 - ( a ) + r ( b ) 由命题1 1 6 知，若a ，b 不相容，则a a b 为可驳公式，故以上命题中的( i i ) 是( i ) 的推论此外，由a 与一a 不相容知： 推论1 3 4 设a f ( s ) ，则r ( a ) + t ( _ 7a ) = 1 在推理过程中7 - 有一定的和谐性 命题1 3 5 设a ，b f ( s ) ，q ，p 0 ，1 1 ，则 ( i ) 若t ( a ) o ，r ( a b ) 三口，则t ( s ) o + p 1 ( i i ) 若r ( a b ) 口，r ( b c ) p ，则r ( a c ) o + 芦一1 t 做为推论有如下： 推论1 3 6 设a ，b f ( s ) ，则 ( i ) 若r ( a ) = 1 ，r 一b ) = l ，则r ( b ) = 1 ( i i ) 若r ( a b ) = 1 ，7 - ( b c ) = 1 ，则7 - ( 4 一c ) = 1 推论1 3 7 设4 ，b f ( s ) ，贝4 ( i ) 若卜a ，b ，贝r ( a ) r ( b ) ( i i ) 若a b ，则7 _ ( a ) = r ( b ) 以下引入公式间相似度的概念： 定义1 3 8 设a ，b f ( s ) ，令 ( a ，b ) = r ( ( a ，b ) a ( b ，a ) ) 称f ( a ，b ) 为公式a 与b 之间的相似度 2 1 , 2 4 i 公式之间的相似度有如下性质，其中( i i ) 和( i i i ) 都是充要的，这里为了下一 章叙述方便，省略了充分性 命题1 3 9 1 2 4 】设a ，bef ( s ) ，则 ( i ) ( a ，b ) = ( b ，a ) ( i i ) 若a b 则 ( a ，b ) = 1 ( i i i ) 若a 一，b 则f ( a ，b ) = 0 9 ( i v ) f ( a ，b ) + ( j 4 ，b ) = 1 ( v ) ( a ，b ) + ( 曰，c ) f ( a ，c ) + 1 有了相似度的概念，便可在f ( s ) 中引入伪距离对任意a ，b f ( s ) ，令 p ( a ，b ) = 1 一( a ，