（基础数学专业论文）涉及亚纯函数微分多项式和分担值的正规函数.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究2 i 作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：立鲎i 簦日期：丝幺：! ：曰 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：寺弱教 导师签名：织伤 日期：! 望：1 2 摘要 本文主要研究亚纯函数的微分多项式与分担值的关系，得到了一族新 的正规函数，即：设，是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，零点重 级至少为七并且存在正数a21 ，使得当，( o ) = 0 时有l ，t ) ( z ) lsa 设0 , 1 ( z ) ，啦( z ) ，a k ( z ) 在d 解析且不恒为零，记，的微分多项式为 f ( z ) = ，( ( z ) + n 1 ( 。) ，【k - 1 ) ( z ) + + a k ( z ) f c z ) ，如果对于任意的，兀 我们有，( o ) 8 ，吣 = 寺f ( z ) 忙，6 ) ，这里口，b 是两个互异的非零有穷复 常数，则存在正数m = m ( 口，6 ) ，使得对于每个，y r , 我们有 这里m 仅与n ，b 相关 关键词：亚纯函数，微分多项式，分担值，正规函数 4 a b s t r a c t o u rp a p e rm a i n l ys t u d yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ed i f f e r e n t i a lp o l y n o - m i a li nfa n ds h a r e dv a l u e s ，a n dt h e nw eo b t a i nan e wn o r m a lf u n c t i o n ： l e ty - b eaf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so ht h eu n i td i e e a ，a l lo fw h o s e z e r o sh a v em u l t i p l i c i t ya tl e a s tka n dt h e r ee x i s t sap o s i t i v en u m b e ra 21 ， s u c ht h a t i ，( ) ( 2 ) l aw h e n e v e rf ( z ) = 0 ，fe tl e t 3 1 ( z ) ，口2 ( z ) ， ，o ( z ) b ea n a l y t i ci nda n dt h e ya r en o ti d e n t i c a lt oz e r o w ew r i t e f ( 。) = ，( ) ) ( z ) + 0 1 ( 2 ) ，( 。一1 ) ( 2 ) + + o 0 ) ，( 。) 8 s a d i f f e r e n t i a l p o l y n o m i a l i n ，( z ) ，a n dt h e ni ff o ra n y ，只l ( z ) n ，6 ) = = = f ( z ) n ，6 ) ，w h e r e a ，ba r et w od i s t i n c tf i n i t en o n z e r oc o m p l e xn u m b e r s ，t h e nt h e r ee x i s t sa p o s i t i v en u m b e rm = m ( a ，砩，s u c ht h a tf o re v e r yf ， ( 1 - - i 带) 擀器尬 w h e r em o n l yd e p e n d so naa n db k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ，s h a r e dv a l u e s ， n o r m a lf n n c t i o n 5 1基本概念与主要结果 十九世纪末期，数学家e p i c a r d 和e b o r e l 对于整函数和亚纯函数的根进 行了研究，并且取得了一系列突出的结果，他们的工作以及后来的一系列数 学家的贡献，构成了整函数与亚纯函数值分布论的基础在值分布论的发展 中，r n e v a n l i n n a 敞出了巨大的贡献他在1 9 2 5 年引入了亚纯函数的特征函 数，并且建立t n e v a n l i n n a 第一和第二基本定理，特征函数的概念和这两个 定理在很长时闻内成为了值分布理论的基础后来，人们提出了结合导数的 值分布的问题，并取得了相关的成果，例如m i l l o u x 不等式，h a y m a n 不等式 等等 在二十世纪初，p m o n t e l = j 入了正规族的概念，正规族本质上是一族全纯 函数或者亚纯函数的列紧性m o n t e l 将函数族的正规性与函数族的取值联 系了起来建立了著名的m o n t e l 正规定则在函数族正规性的判断上，很长 一段时间以来，都是采用直接计算的方法，通过判断函数族的球面导数是否 内闭一致有界来实现的直到以色列数学家z a l c m a n 提出了z a l c m a n g i 理， 提出如果函数族芦不正规，那么可以在原函数族的基础上构造一列函数内 闭一致收敛到c 上的某个非常值亚纯函数，这样就可以用反证法来研究一 些正规族的问题庞学诚教授对该定理做了重要的也是实质性的推广，使之 可以运用到导函数上，从而可以用来研究涉及导数的正规族的判定问题 首先，我们给出本文所需要的概念和记号的定义： 设，是c 上的亚纯函数，定义 m ( r i ，) = 11 0 一l 。g + i f ( r ) i 如 州) = z 半出堋川唱r 其中n ( r ，f ) 为亚纯函数，在 。： r 内极点的个数( 重级极点计算重 数) ，n ( o ，) 为0 作为，的极点的重数( 如果0 不是，的极点，那么n ( o ，) = 0 ) 丙( ，) ：型生盟掣d t + 瓦( o ，f ) l o g ， j 0 o 6 其中瓦( r ，) 为亚纯函数，在 z ：h 0 ，使得对于任意的z c ，有( 1 一i z l 2 ) 一( 。) m 2 0 世纪2 0 年代芬兰数学家n e v a n l i n n a 首先证明了他的两个著名的基本定 理，极大的推动了值分布理论从整函数到亚纯函数的发展，并且使得原先技 巧性很强的定理得到了统一的证明 定理a ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设f ( z ) 为 r ( 0 r o 。) 内的一个非常数亚纯函数如果n 为任一有穷复数，那么当0 r r 时有 1、 t ( 7 ，寿) 钉( r i ，) ) + ( 。，7 ) ， 其中 f ( ，r ) f i l o g l 岛i j + l o g + j aj + l 0 9 2 ， ，( z ) 一口= c ，- - 岛+ 1 z ”1 + ( c s o ) 定理b ( n e v a n l i n n a 第二基本定理的一般形式) 设，( z ) 为 r ( 0 r o o ) 内的非常值亚纯函数又设a jd = 1 ，2 ，g ) 为g ( 3 ) 个 互相判别的复数( 有穷或者无穷) 如果f ( o ) 0 ，o o ，qu = 1 ，2 ，q ) 及 ，( o ) 0 ，那么 其中 ( q - z ) t ( r 胚宴1 ( r ，击) 一l ( r ) 删r ，) 2 ) t ( 枷s ( r ，去) 一l ( r ) + s ( r ，) j = 、 。 j 7 l ( r ) = 2 ( r ，) 一( r ，) + ( r ，专) ， s 胁+ m ( r 喜去) + q l o g + 警仙s 南 8 这里j 2 。裂是。k 一 n e v a n l i n n a 也研究了关于两个亚纯函数分担值的问题，并且得到了著名 的“五值定理” 定理c 设，9 是定义在复平面c 上的两个亚纯函数，如果存在五个互 相判别的( 有穷或者无穷) 复数值，j = 1 ，2 ，5 ，使得，g 在c 上分担 n j ，那么，三g 或者，9 均为常数 n e v a n l i n n a 第二基本定理研究特征函数被函数取值的幂指量所界囿，而 在亚纯函数结合其导数的值分布方面，首先由h m i l l o u x 获得下面的结果 定理d ( m i l l o u x t ；等式) 设，( z ) 为1 7 - i r ( 0 r o o ) 内非多项式 的亚纯函数如果，( o ) 0 ，o o ，( ( o ) 1 ，i + 1 ( 0 ) 0 ，那么当0 r r 时有 t 机小研+ ( r ，；) + ( r ，志) 一( r ，南) 删棚， 其中 洲胁( r ，孚) + m ( n 竿) + m ( r ，篙) 啦i 臀卜 1 9 5 9 年w k h a y m a n 得到了一个十分深刻的结果，他指出对于亚纯函数 ，( z ) ，只需，( 2 ) 取值的一个幂指量与，( ) 取值的一个幂指量便可以界囿特 征函数t ( r ，) ，从而大大的推进了上述不等式 定理e ( h a y m a n ：不等式) 设，( 。) 为 r ( 0 r o o ) 内非多项式 的亚纯函数，七为一个正整数如果，( 0 ) 0 ，0 0 ，( ) ( o ) 1 ，( 1 ) ( o ) 0 及 + 1 ) ，( + 2 ( o ) ( ，( ( 0 ) 一1 ) 一 + 2 ) ，( 。+ 1 ( o ) 2 0 ，那么当0 r 冗 时有 t 肚( 。+ ：) ( r ；) + 2 + ；) 丙( r ，志) 慨n 9 其中 跗= ( z + ；) m ( r ，篇) + ( 。+ i 1 ) m 竽) + m ( r ，等) + ；m ( r ，篇) ( 。+ ；) 崦i 臀i + 驯殍而焉裟臀罨1 于是，由上述结果可得：设，( z ) 是定义在复平面c 上的超越亚纯函数， 则要么，( 2 ) 有无限多个零点，要么，( ) 一l 有无限多个零点 b e r g w e i l e r 和e r e m e n k o 进- - 步推广上述结果，证明了 定理f 设( z ) 是定义在复平面c 上的有穷级超越亚纯函数，并且有无 限多个重级零点，那么对于任意的有限非零复数d ，一a 有无限多个零点 1 9 9 4 年- ，s c h w i c h 【6 】最早研究与分担值相关的亚纯函数族的正规性问题， 他证明了 定理g 设，是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，a l ，a a ，a 3 是三 个互相判别的有穷复数若对于任意的，z 有f ( z ) 与，( z ) 在内分 担a 1 ，0 2 ，铂，则，在上正规 在【4 1 中，庞学诚教授和以色列数学家z 札跚a n 改进了s c h 酞的结果，证 明了如下的结果 定理h 设，是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，o ，6 c ，d 是四 个有穷复数且满足a c ，b d 若对于任意的，有，( 2 ) = = 专 厂( z ) = b 及y ( z ) = c = 争，( z ) = d 则，在上正规 刘晓俊和庞学诚【2 】从另一个方面改进上述结果，他们考虑分担一个由三 个互相判别的有穷复数组成的集合的情况并且证明了 定理i 设，为定义在区域d 内的一族亚纯函数，n 1 ，眈和口j 分别 为三个互异的有限复数，如果对于任意的有，和，分担集合 s = ( 8 l ，0 2 ，a 3 - ，那么，在d 内正规 1 0 针对上述结果，本文进一步考虑分担由两个互相判别的非零有穷复数组 成的集合的情况，并且研究和，与，的微分多项式f 分担该集合的情况， 得到了如下的结果 定理1 设，是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，零点重级 至少为k 并且存在正数a 1 ，使得当，( z ) = 0 时有i f c ( z ) lsa 设0 1 ( z ) ，0 2 ( o ) ，a k ( z ) 在d 解析且不恒为零，记，的微分多项式为 f c z ) = ，( 2 ) + 0 1 ( z ) ，( k - 1 ) ( z ) + + ( o ) ，( z ) ，如果对于任意的f j l 我们有，( 2 ) 口，6 ) = 亭f ( z ) 吼6 ) ，这里口，b 是两个互异的非零有穷复 常数，则存在正数m = m ( o ，6 ) ，使得对于每个f ，我们有 这里m 仅与o ，b 相关 1 1 2基本公式与引理 引理1 设，是定义在单位圆盘上的一族亚纯函数，零点重级至少 为k ，并且存在正数a21 ，使得当，( 。) = 0 时有i ，( ( 2 ) i a ，则对于任意 的口，0s 女，如果，不正规，那么存在 ( 1 ) 实数r ，0 r l ， ( 2 ) 复数列磊，l z n i r ( 3 ) 函数列厶e 只 ( 4 ) 正数列 ，风一o + ， 使得鲰( ( ) = 废。厶( 钰+ 肌( ) 在c 上按照球面距离内闭一致收敛于一个 非常值亚纯函数g ( ( ) 更进一步，若记矿( ) = i f f ( ( ) l ( z + 1 9 ( ) 2 i ) ，则有 一( ( ) 曼( o ) = k a + 1 引理2 设，是定义在复平面c 上的亚纯函数，如果，的球面导数在c 上一致有界，则，的级至多为2 ，如果，是整函数，那么，的级至多为1 引理3 设，是一族定义在d 上的亚纯函数，零点重级至少为k + 1 且 极点重级至少为2 如果对于任意的，有，( 砷( 2 ) ；，2 d ，那么， 在_ d 上正规 引理4 设，( z ) 是定义在复平面c 上有穷级超越亚纯函数，零点重级 至少为3 ，那么对于任意的非零复数a ，( 。) 一a 有无限多个零点 引理5 设，是c 上非常值有穷级亚纯函数，所有的零点的重级至少为 k + 1 如果，( ( z ) 1z c ，那么 m ) = 击与学， 这里a 和b a 是c 上的两个常数 3定理的证明 倘若不然，那么存在点列z n ，i z n i 1 和函数列厶，使得函数 肌( 。) = 厶( 钿+ ( 1 一i z 1 1 2 ) z ) o i z i 2 ) 满足 。l i m 。晓( o ) 。l i r a 。( 1 一i z 1 2 ) 1 ( 1 一i z 1 2 ) 爿( 钿) = o o 因此 肌( z ) 在a 内的点z = 0 处不正规则由引理l 得，存在 ( 1 ) 复数列磊，一0 ， ( 2 ) 函数列 鲰 的某个子列( 不妨仍旧记为 鲰，) ， ( 3 ) 正数列砌， 一o + ， 使得k ( ( ) = 陈鲰( 2 ：l + 肌( ) 在c 上按照球面距离内闭一致收敛于一个非 常值有穷级亚纯函数 ( e ) 更进一步地有彬( ( ) 彬( o ) = k a + 1 我们断 言： ( a ) h 的所有的零点的重级至少为k ， ( b ) 危( ) 吐，b ， ( c ) h 的极点重级至少为2 假设存在白c ，使得 ( ( 0 ) = 0 ，则因为，l ( ) 0 ，所以由h u r w i t z 定理 得，存在( n 一白，使得k ( 厶) = 0 ，即厶( 磊+ ( 1 一j z i 2 ) ( 磊+ 砌厶) ) = 0 于是，由假设条件得，u ) ( + ( 1 一i z 1 2 ) ( 靠+ 白) ) = 0 ，j = 1 ，2 ，七一1 所以 妒( ( n ) = 衍( 1 一f z i t 2 f 。，u ( + ( 1 一i z 1 1 2 ) ( z ：+ m 厶) ) = 0 ，即 o ) ( ( 0 ) = 0 ，j = 1 ，2 ，k 一1 于是，这就表明h 的零点重级至少为k ，也 就证明了断言( a ) 而对于( b ) ，如果存在c o c ，使得| i l ( 。( 白) = a ，则 ( ( ( ) n ，否则的话， 存在( 1 c ，使得 ( ( ) = n ( ( 一( 1 ) 削，此时， 7 ( ( ) = n ( ( 一( 1 ) k - i ( k 一1 ) ! ， 彬( o ) = i h ( o ) l ( 1 + | h ( o ) 1 2 ) = f d l l 6 1 k - - 1 i ( k 一1 ) ! ( 1 + j a l 2 i ( 1 i 驰削2 ) k 2 ， 如果i a i l ；si i ，如果i ( 1 1 ，总之，h t ( o ) k ( 1 a l + 1 ) + 1 ，这与 彬( o ) = k a + 1 矛盾( 只要取a ；i a i + 1 即可) 于是，由于7 l ( ( 白) = o ，故 存在a 的领域u = u ( n ) ，使得，i a ) 和磷在u 内解析且7 澎在u 内内闭 一致收敛于h o ) ，= 0 ，1 ，2 ，k 于是，r ( + ( 1 一i z 1 2 ) ( 砭+ 加( ) ) = ( ( ) + n 1 ( 如+ ( 1 一i z 1 2 ) ( + 加) ) m ( 1 一i z 1 1 2 ) 磷- 1 ) k ) + + n k ( + ( 1 一i z 1 2 ) ( 4 + m ( ) ) 露( 1 一i 知i 2 ) 。k ( ( ) 在u 内内闭一致收敛于 忙) ( ( ) ， 所以存在靠，厶一白，使得r ( + ( 1 一i i 2 ) ( 矗+ m 厶) ) = 口，而由条件 假设得，厶( 磊+ ( 1 一l l 2 ) ( 靠+ 加厶) ) 口，6 ) ，从而 媳，= 丛嗥剞掣= 南， 或者 诋) = 丛嗥剞铲= 翮b 所以h ( ( 0 ) = l i r ak ( 厶) = ，这与 ( 如) = d 矛盾所以，硝) ( 白) 0 同理可得， ( o ) 愉) h 这样就有( b ) 成立 下面证明( c ) 假设存在( o c ，使得_ i ( ( 0 ) = o o 由于h o o ，则 存在闭圆盘k = 五，6 ) = e ：i e 一( 0 i 6 ) ，使得当，l 充分大时，1 h 和1 k 在( c o ，2 6 ) 上解析，并且1 k 在k 上一致收敛于1 h ，于是 1 k ( ( ) 一破( 1 一l z 1 1 2 ) 。n 和l k ( ( ) 一戚( 1 一l 1 2 ) b 也在k 上一致 收敛于1 ( ( ) 又由于1 h 不是常数，所以存在厶，厶一岛，使得当n 充分大时有 而1 一幽巡：o ， k ( ( ) a u 和 赤h 一必b _ 0 。( ( ) v 于是有厶( + ( 1 一i i 2 ) ( 兹+ p n 矗) ) a ，6 从而有最( + ( 1 一 i z 1 2 ) ( + m 厶) ) n ，6 ) 不妨假设f n ( + ( 1 一i z 1 1 2 ) ( - i - p n 厶) ) = a ， 否则的话可以取 r ) 的某个子列，使得其具有上述性质 若七= 1 ，则由( ( n ) + n l ( + ( 1 一i i 2 ) ( 磊+ m 厶) ) 砌( 1 一l l 2 ) k ) = o 可知 ( 志) l = 热 - 裂】 = 恕 _ 些盟坠出镰笋丛盥 ：0 ， n _ 。i凡= l l 。i 1 4 因此，( o 是h ( ( ) 的重级极点所以，h 没有简单极点 若k 2 ，通过简单计算可知 ( 志) = 一等 ( 丽1 v 舻h + z 譬 h ( e ) n j 一丝h 2 + 2 ( ) h ( t c 胪- 1 ) h + “! 筹 ( 南) 忙= 一警州籍+ 。互。砒 这里a 是( 1 ) 7 ，( 1 h ) ”，( 1 h ) ( b 1 ) 的多项式 对于詹= 2 ，我们有 ( 志) 。= 一鬻+ 。豁， 女l j l l ，对于所有的3 j ，我们已经证明了 ( 吣1 ) 、o ) h 万o ) 删等+ 。训， 这里a j 是( x h ) 7 ，( 1 h ) ”，( 1 h ) u 一1 ) 的多项式 那么，对于詹+ 1 ，经过计算我们可得 ( 志) 忙“= 一警伸刊r 静( h q k + l + 。蒹。， 这里a ， + l 是( 1 h ) 7 ，o h ) ”，o a ) ( ) 的多项式然而，腊( ( ) = r ( + ( 1 - i i 2 ) ( + 砌( ) ) 一d l ( z - i - ( 1 一i l 2 ) ( + m ( ) ) m ( 1 一f 钿i 2 ) 磷- 1 ( ( ) 一 一口k ( + ( 1 一i i 2 ) ( 磊- 1 - 肌( ) ) 砖( 1 一i z 1 2 ) 。k ( ( ) ，于是可得， ( 志) l = 熙( 南) l = 撬 觜州器错+ 。 ik - - 。一 fi i 三吩( + ( 1 i z 1 z ) ( 2 ：l - i - 肌( n ) ) ( 陬( 1 一i 磊i 2 ) ) 磷一( 厶) 一b = ，熙l 生可丽 n_l，2ifl + l i r a 。 k t 糕+ 鬈绷厶) = l i r a 匡a j ( z n - i - ( 1 - - i z , , l 2 ) ( + p n e , , ) ) ( p n ( 1 - - i z , , l 2 ) ) j 锗1l ，= l ”7 i + 恕p 糌+ 董i - - - - o 饿c 厶) ；墨恐壹( + ( 1 一i i 2 ) ( + m 厶) ) ( ( 1 一i i 2 ) ) 卜，! 筹一( 扩+ 静叫叫l + 熙卜t 糕+ 善k - 2 = 热k 糕) c 矾篓蜊c 厶，卜钳蚴 兰导鼠也是( 1 h ) 7 ，( 1 h ) ”，( i h ) 忙- 1 的多项式f h t = 。l i m 。k ( 厶) = o 。， 所以由上式可得 拽卜黜卜 于是即得( 1 肛( ( ) ) l ，= 0 ，从而白是7 l ( ) 的重级极点因此，h 没有简单 极点，所以( 。) 成立：_ 。 由引理4 得，当k 3 时h ( ) 是有理函数，但是由断言( b ) 得h f f , ) o ，b 矛盾当k = 2 时，由于a ，b ，则有( ) = o + 唧( p ( ( ) ) ( 唧( p ( ( ) ) 一 1 1 f 6 一扪这里p 是整函数这与h 的极占都旱萤细的矛盾常理证毕 1 6 参考文献 【1 】j o e ll s c h i f f , n o r m a lf a m i l i e s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，( 1 9 9 3 ) 【2 1 刘晓俊，庞学诚，分担值与正规族，数学学报5 0 ：2 ( 2 0 0 7 ) ，4 0 9 - 4 1 2 f 3 】p a n gx u e c h e n g ，s h a r e dv a l u e sa n dn o r m a lf a m