（基础数学专业论文）平均曲率平方的变分问题.pdf

中文摘要 摘要：设为e 3 的有界紧曲面，考虑关于平均曲率平方的w i l l r n o r e 泛函 f ( f ) = p 2 幽= p 2 0 l ( t ) 0 2 ( t ) ，其中为曲面簇x ：( - 1 ，1 ) - - r 3 的平均曲率， 烈= o z ( t ) a 8 2 ( t ) 为曲面的体积元运用曲面变分学的基本理论知识，我们可以计算 出w i l l m o r e 泛函f ( f ) = p 2 0 ( t ) a0 2 ( t ) 在扛0 时的一阶变分公式如下， ，( 。) = 。，a ( t a + 2 日3 2 昭- o a , 睦，其中口为变分向量场警l f 。的法向分量在 ，。( o ) = 0 的条件下，进一步可以推导，( f ) 在t = 0 时的二阶变分公式， ，。( 。) 2 ，圭( 口) 2 + 口血( 2 2 k ) + 2 口2 ( 6 日2 一k ) ( 日t k ) + 2 胁) q 岛，其中 | l f 为曲面x ( ，o ) 的第二基本形式的分量特别地，若取为r 3 中的环面，即为 r ( o ，伊) = ( ( a + rc o s o ) c o s 0 ，( 口+ r c o s 呼o ) s i n 0 ，r s i na p ) ，其中0 r a ，0 0 2 万， o 缈2 万最后可以得出r 3 中环面满足泛函f = p 2 0 。( t ) ao z ( t ) 的 e u l e r l a g r a n g e 方程胡+ 2 日3 2 k h ：0 的充要条件是兰：i ， 关键词：平均曲率；变分公式；e u l e r - l a g r a n g e 方程；环面 分类号：0 1 8 6 6 i e 塞交逼盔堂亟堂焦途塞旦墨! b i a b s t r a c t a b s t r a c t ：l e t b ea c o m p a c t p o s s i b l y w i t h b o u n d a r y , c u r v e d s u r f a c ei n 3 - d i m e n s i o n a ls p a c ef o r me 3 c o n s i d ew i l l m o r ef u n c t i o n a la st om e a nc u r v a t u r e s s q u a r ef ( f ) = p 2 姒= 卢2 q ( f ) 岛( f ) ，w h e r ehi st h em e a r lc u r v a t u r e 。fc u r v e d z s u r f a c ec l u s t e rx ：y x ( - 1 ，1 ) 专r 3 ，a n d 以= 8 1 ( t ) 0 2 ( t ) i st h ev o l u m ee l e m e n to f i t t h e nu s i n gt h eb a s i ct h e o r ya st ov a r i a t i o no fc u r v e ds u r f a c e ，w ec a nc a l c u l a t et h ef i r s t v a r i a t i 。n a lf o r m u l ao ff ( f ) w h e nt = 0 ，f ( o ) = f a ( a h + 2 h 3 - 2 k a y ) o , 人幺，w h e r ea i sn 锄a l p o n 铋t s 。f 喇a t i o n a lv e c t o r 删d 等b 溉锄砍o ) = 。，w ec 柚 f i g u r eo u tt h es e c o n dv a r i a t i o n a lf o r m u l ao ff ( t ) ，f o rt = 0 ，。( 。) 2 哇池) 2 + 口衄( 日2 2 k ) + 2 砍6 h 2 一k ) ( 日2 一k ) + 2 胁) 幺 岛 w h e r ed e n o t et h ec o m p o n e n t so ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fc u r v e ds u u f a c e x ( ，o ) s p e c i a l l y , i f w ec h o o s et h a tb et o r u si n r 3 ，t h a t i s r ( o ，缈) = ( ( 口+ r c o s 缈) c o s o ，( 口+ r c o sr p ) s i n0 ，r s i nr p ) ，0 ， a ，0 0 2 z ， 0 缈2 z ，w eo b t a i nt h a tt h et o r u si n r 3 s a t i s i f yt h ee u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n 崩+ 2 日3 2 k h = 0 i f a n d o n l y i f 旦：压 ，- k e y w o r d s ：m e a nc u r v a t u r e ；v a r i a t i o n a lf o r m u l a ；e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n ；t o m s c l a s s n o ：o l8 6 6 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名：冕岔粤 签字日期：年月日签字日期： 口罗年台j c , 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 致谢 本论文的工作是在我的导师吴发恩副教授的悉心指导下完成的，吴发恩教授 严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢二年 来吴发恩老师对我的关心和指导。 吴发恩副教授悉心指导我完成了论文的准备工作，在学习上和生活上都给予 了我很大的关心和帮助，在此向吴发恩老师表示衷心的谢意。 吴发恩副教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示 衷心的感谢。 在论文准备及撰写期间，赵新暖、张宏等同学对我论文中的研究工作给予了 热情帮助，在此向她们表达我的感激之情。 另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 序 微分几何学的产生和发展是与数学分析密切相连的，在这方面做出贡献的有 瑞士数学家欧拉，法国数学家蒙日，德国数学家、天文学家和物理学家高斯，德 国数学家克莱因等等经过近3 0 0 年的发展，微分几何逐渐成为数学中独具特色、 应用广泛的独立学科 变分学作为微分几何中的一个重要分支，在实际生活中有着非常广泛的应用。 变分法是处理函数的函数的数学领域，它是求解边界值问题的强力工具。微分几 何中的测地线、极小子流形、极小曲面、调和映射等都是某类变分问题的临界点 曲面的面积泛函h 的变分问题已经有了很系统的结论，进一步可以研究泛函 z f ( t ) = l h 2 姐的变分问题。 主 本论文运用变分学的基本理论，推导出w i l l m o r e 泛函，( f ) = l 胃2 以在f = 0 时 的一阶、二阶变分公式。另一方面， 从f ( f ) = ，h 2 杈在仁。时的一阶变分公式， z 归纳出e u l e r l a g r a n g 方程在环面成立的充要条件。 1 引言 微分几何是数学的一个重要分支，它起源于微积分在几何上的应用，并与微 分方程、复分析、代数、拓扑学以及理论物理等相互渗透并成为推动这些理论发 展的一项重要工具。具体地说，微分几何是运用数学分析的理论，研究曲线或曲 面在它一点邻域的性质。换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范 围 的性质的数学学科。 约翰伯努利( j o h a n nb e r n o u l l i ，1 6 6 7 - 1 7 4 8 ) 1 6 9 6 年向全欧洲数学家挑战， 提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较 高点下滑至较低点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，时间最短? 这就是历 史上最著名的“最速降线 问题( t h eb r a c h i s t o c h r o n ep r o b l e m ) 它的难处在 于和普通的极大( 极小) 值求法不同，它是要求出一个未知函数( 曲线) ，来满足 所给的条件欧拉( e u l e rl o n h a r d ，1 7 0 1 1 7 8 3 ) 和拉格朗同( l a g r a n g e ，j o s e p h l o u i s ，1 7 3 6 1 8 1 3 ) 发明了这一问题的普遍解法，从而确立了数学中的一个新分支 一变分学 变分学是微分几何中的一个重要分支，变分法( c a l c u l u so fv a r i a t i o n s ) 是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。这样的泛函 可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。 为了说明变分问题的特点，可以最小旋转面问题为例。它可表述为：”通过两 个固定点( x 1 ，y 1 ) 和( x 2 ，y 2 ) ，可作一系列曲线y = y ( x ) ，其中每条曲线绕x 轴旋转 一周都可得到一个旋转面，其面积为s ；试求出使面积s 为最小值的那条曲线 y = y ( x ) 。”显然，面积s 取决于曲线的形式y = y ( x ) ，即 s ：f 2 x y 1 + ( 譬) 2 】i 出 。 x i 由此可见，面积s 是一个因变量，而函数y ( x ) 是一个自变函数，因此，s 是自 变函数y ( x ) 的函数：s = s y ( x ) 。这种”函数的函数”在数学上叫做泛函。所以，最 小旋转面问题是一个泛函极值问题，这类问题就是变分学研究的内容。 变分法最终寻求的是极值函数，它们使得泛函取得极大或极小值。许多曲线 上的经典问题都采用这种形式表达1 7 世纪末提出来的最速降线问题、短程线问 题和等周问题是历史上著名的三大变分问题。 在微分几何中许多重要的几何对象，例如测地线、极小曲面、极小子流形、 调和映照，y a n g - m i l l s 场，指数调和映照等都与变分学有关。除此之外，还有很 多其他问题都与变分问题有关，它们也在理论物理以及材料学中研究材料平衡问 题大量使用。 变分法提供了有限元方法的数学基础，变分理论在微分几何中占有重要的位 置，是求解边界值问题的非常有用的工具。微分几何中的测地线、极小子流形、 极小曲面、调和映射等都是某类变分问题的临界点例如： 测地线是所有联结曲面上两点的曲线的长度的临界值，也就是长度最短的那 条曲线，测地线的研究是很显然的变分性质的领域； 极小曲面是曲面面积泛函的临界点极小曲面( 肥皂泡) 也是借助于变分这个 工具进行系统研究，称为p l a t e a u 问题； 极小子流形是黎曼流形上任意紧致区域的体积，在保持区域边界固定的形变 下取得的临界值( 见文献 1 0 ) ； 调和映照是几何和分析中的重要现象，它们作为某些函数空间上的能量泛函 的临界点的自然出现，反映了流形的几何性质( 见文献 4 ) 。 变分一词用于所有极值的泛函问题。在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数 中使用狄利克雷原理。在其他某些著名的数学理论中，例如希尔伯特空间技术， 莫尔斯理论，或者辛几何等等这些理论都与变分有一定的联系另外，最优控制的 理论也是变分法的一个推广。 面积泛函彳( f ) = l 幽的变分问题已经有了很完整的结论( 见文献 1 ) ，从这个 兰 问题的研究出发，运用关于变分学的基本理论知识，如何推导出w i l l m o r e 泛函 f ( t ) = i h 2 以的变分问题，这就是本篇论文所要解决的问题。 ， z 美国数学家j t w il1 m o r e 曾提出一个关于环面平均曲率的猜想：设为e 3 中 的任意环面，则i h 2 d a 2 z ( 见文献 7 ) ，其中h 为环面的平均曲率。此定理 j 对于圆环面成立的证明已由j t w i l l m o r e 于1 9 7 1 年得到( 见文献 1 s ) ，但是对 于一般的环面至今仍没有得到证明这是微分几何中一个著名的未解问题 2 笔者以微分几何中的变分法为出发点，运用曲面变分学的一些基本理论知识 和公式，在曲面的面积泛函彳( f ) = 肌的理论基础上，逐步推导w i l l m 。r e 泛函 ，( f ) = p 2 以在f = 0 时的一阶、二阶变分公式，以及泛函，( f ) = p 2 以的 z e u l e r l a g r a n g e 方程在r 3 中环面成立的充要条件，希望这些工作能为w i l l m o r e 猜想的解决提供一些帮助。 3 2 变分的定义及相关结论 一般地说，曲面的一个变分是指连续可微地依赖于参数f 的一簇曲面， 一占 t 0 f ：肘x i 寸r 肿p ( c ) 为一可微映射，使得对 v t i ，限制在m t ) 上是一个浸入，并且f ( p ，0 ) = 厂( p ) ，v p m z ( p ) = f ( p ，t ) ， 而且五= ， z ) 称为f 的一个变分( 见文献 3 ) 设巳，c o a ，( 0 a 口，彳，b = l ，n + p 分别是尺斛p ( c ) 的幺正标架场、对偶基、 及联络形式令 f 线= q a d t ，f q = 只+ a f l t ，嘞= 岛+ a # d t ， f = 铭+ a f a d t ，f ( 口) = 吼占+ 口一占d t 其中 口，g i g ，乜筇) 为m x l 上局部定义的函数且 n 口= 一a j i o 口p 2 一n 8 口- 2 2变分中几个重要的结论 从变分的定义出发，进一步可以推导出变分中几个很重要的结论，从而对变 分学有更系统的了解和认识，也对后面的工作做一些理论准备。 首先证明变分中几个重要的基本结论。 4 2 2 1 相关结论 若用九表示m 上的微分算子，则d = d u + 虎昙表示m j 上的微分算子 o t 在m j 上考虑结构方程得 引理1 ( 见文献 8 ，1 1 ，1 2 ) 其中 ( 1 ) o 西o , = 手( + 一饥蟛 ( 2 ) = j + 修口_ ， ， c 3 ) 等2 莩( ，+ ；吆一莓口肛够+ 鸭烤 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 1 f ，j n ，n + l r 3 的平均曲 e 率，以= q ( f ) 岛( f ) 为曲面体积元a 是z x t ) 上的函数，且a = ( 口。，a ：，a 3 ) ， q ( ，o ) ：o ，f = l ，2 ，吩i 蓖= 罢 k = o 则 o n ，( o ) = f a ( a h + 2 h 3 - 2 k h ) 0 i 砬 ( 3 1 ) 其中口为变分向量场警l f _ 。的法向分量 证：令引理2 中的r l = 2 ，p = 1 ，c = 0 ，由于口只取一个值3 ，故a a 省去它的 下标，记为a ，则( 2 1 2 ) 式化简为 鲁鸹+ 莩( 嗨+ 懈+ k ( 3 2 ) 令i = j 盟 西 = 口珂+ k + a i k h n + 吼+ h a h a a ) ( 3 3 ) 豇+ ( 2 + ) + 2 口 所以 1 0 盟：血+巳+口巧at 厶i , j q j 钉 注意到已知条件纬( ，0 ) = 0 ，i = l ，2 ，所以 口，= o ， 所以我们可以得到 ；缸。= 血+ 口巧 由于 ，( f ) = h 2 8 1 ( t ) a 9 2 ( t ) z = 丢( 军耵啪) 0 2 ( r ) 所以 f ( f ) = 抄莩莩挚喇+ ( 矽( 鲁蛳b 人争) 且日( 幽+ 即+ 磅口) + 日2 ( 疣v a - e h , ，口) o l ( t ) a 0 2 ( t ) z i j = j h a a + ( 2 h 2 - 2 k ) 口】+ 日 z 另一方面 p 2 扒函 岛 z = p 2 口“幺 岛 = 且( 日2 q ) ，一( 何2 ) ，q ) q 幺 z = - s ( h 2 ) ，a i o , 岛 z = 一2 月珥q 岛 岛 z 综合以上得到 j f 口，+ 日2 西y ；) q ( f ) 幺( f ) 1 l ( 3 4 ) ( 3 5 ) f 。( f ) = ，h a a + 2 h 2 a - 2 k a t 9 i ( t ) a 9 2 ( t ) 由格林公式( 见文献 2 ) 及已知条件口，k = _ o a 3k = o 得 t 7 n - i d a - h 姚 2 c 丽a a 争凼 = 0 即 ，a a h d a = l h 厶耐a 所以 f ( f ) = ，a ( a h + 2 h 3 - 2 k h ) o l ( t ) 8 2 ( t ) z 当t = 0 时 f ( o ) = i a ( a h + 2 h 3 2 肼) 岛 岛 z 证毕 3 2 f ( f ) = p 2 幽的二阶变分 z ( 3 6 ) ( 3 7 ) 因为我们最后要考虑的是w i1 l m o r e 泛函f ( f ) = p 2 以= 卢2 q ( f ) 色( f ) 的极 ez 值问题，因此令，( 0 ) - - 0 ，在此条件下进一步计算f ( f ) = 卢2 q ( f ) 见( f ) 在f = o 时 z 的二阶变分，即有下面的命题： 命题3 2 若f ( f ) = p 2 犯= p 2 q ( f ) 色( f ) ，其他已知条件同上一命题，且 z z ，( 0 ) = 0 ，则 ，。( o ) = ， l ( a a ) 2 + a a a ( h 2 - 2 k ) + 2 a 2 ( 6 h 2k ) ( h 2 - k ) + 2 h a a oj i l f ) q 岛 z 其中为曲面x ( ，0 ) 的第二基本形式的分量 证：若，( 0 ) = 0 ，则由( 3 7 ) 式得 1 2 a h + 2 h 3 - 2 k h ) 0 j 0 2 = o e 由a 的任蒽性口j 知 删+ 2 h 3 2 k h = 0 ( 3 8 ) 由命题1 的证明可知 ，( f ) = s a ( a h + 2 h 3 - 2 k h ) o l ( t ) a o z ( t ) 所以 ，。( f ) = 弘( 警+ 6 日2 鲁一2 日筹一2 k 詈胤f ) ) + ，a ( a n + 2 胃3 2 肼) ( 鲁 幺+ 研 鲁) 仔细观察f 。( f ) 等号右边的每一项，可以看出，当t = 0 时，等号右边的第二个 积分式子恒为零，即 。j a ( a h + 2 h 3 2 删) ( 鲁 幺+ q 鲁) i f = o = 。 所以 ，- ( o ) = p ( 警+ 6 h 2 署一2 日筹一2 k 詈) l r “ 岛 c 3 为了求得最后命题的证明，我们需要运用已知条件逐步计算上式( 3 9 ) 式中 等号右边的每一项。 首先运用已知条件计算警k 。，o 优ki 间，p 百o a hi f - 。幽的表达形式，最后完 成命题的证明。 由( 3 5 ) 式我们可以得到 o h o t i t = 0 = 吾净一 = 去( 衄+ 口劈) - - - 吉t 血+ ( 4 h 2 2 k ) a 由于 q = 2 h ，呸= k 所以 ：f 堕堕 智魂 ， ( 3 1 1 ) = 善( 孵) 鲁 一j = 军q 鲁一i , jl 堕- 磊 ；q 缸。 = 2 仃_ 年, , - , 百o h i ib ( 3 1 2 ) 等z h ，a 西, 。 = 姒口 + + 口且+ + h i k h 村a ) ( 3 1 3 ) = 口扩乃+ ( 口擅+ ) + h i k h k j h y , a 令 a = ( 口 ) ，b = ( ) 由于 a u = 一a j ih i i = h f i 即 a = - a b = b 所以 t r a c e ( a b 2 ) = 0 1 4 t r a c e ( h 3 ) = 彳+ 名 = ( 丑+ 五) 3 3 a a 2 一一3 t r i o 2 = 8 h 3 6 k h 因此( 3 1 1 ) 式可化为 否乳 = 口。驴j i l f ，+ 2 t r a c e ( a b 2 ) + t r a c e ( h 3 ) 口 i j = 口+ ( 8 h 3 - 6 k h ) a i j 把( 3 1 2 ) 式和( 3 1 4 ) 式代入( 3 1 1 ) 式得 张 a f i f = o = 莩q 乳一蔷乳 = 2 h a a + ( 4 h 2 - 2 k ) a - ( 8 h 3 6 删) 口一e a , f 嘞 = 2 h a a + 2 k h a 一口 ，j j l f f 一v 又因为 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) p 警i f - 。刎 2 p 鼽一 = 詹i f - 。删 = a a + ( 4 h 2 2 k ) 口】血枷 最后把( 3 1 0 ) 式，( 3 1 5 ) 式和( 3 1 6 ) 式代入( 3 9 ) 式得 ，。( o ) = 昙【口+ ( 4 日2 - 2 k ) 口】口+ 3 h 2 口 口+ ( 4 h 2 - 2 k ) 口 一k a a a + ( 4 h 2 2 k ) 口卜2 h a 2 h a a + 2 砌一f ，a o h i j l 0 , 岛 1 5 = 1 a a + 3 h 2 a _ ) 口+ ( 4 日2 2 k 如】一4 日2 口口一4 k h 2 6 2q - 2 胁) q 岛 + a a a ( h 2 - 2 k ) + 2 a 2 ( 6 h 2 - k ) ( h 2 一k ) + 2 胁口，驴) q 岛 1 6 r 口 蛙譬 = 证 4 环面的特征 由上面得到的w i l l m 。r e 泛函f ( f ) = p 2 以= i h 2 q ( f ) 岛( f ) 在f = o 的一阶变 e 分公式f ( o ) = i a ( a - + 2 h 3 - 2 k h ) 0 。 岛，我们可以归纳出环面的一个非常重要的 z 结论，即e u l e r l a g r a n g e 方程在月3 中环面丁2 成立的必要条件 4 1 协变微分和e u l e r - l a g r a n g e 方程 首先介绍一下曲面上的函数关于标架的导数及其协变微分的定义，为后面的 命题证明做一些理论准备 4 1 1 协变微分 定义4 1 设为中的曲面，q ，吃是的正交标架，q ，哆是曲面的第一基本 形式，q ：是相应的联络形式对定义在上的函数而言，厂的微分矽可以表示 为q ，哆的线性组合，设 矽= 石q + 厶哆 其中彳和正是曲面上的函数，称为厂关于标架q 和乞的导数 从上面的定义可以看出，曲面函数关于标架的导数只与方向有关，它是平面 函数中方向导数的推广( 见文献 1 ) 定义4 2 设曲面函数厂关于正交标架e a 和乞的导数为石，正，令 磁= 哳+ 正哆。 以= 识+ 石q ： 磁和称为石，五的协变微分 同样可知磁和以也只与方向有关 4 1 2 e u l e r l a g r a n g e 方程 1 7 定义4 3 方程 日+ 2 h 3 2 k h = 0 称为w ill m 。r e 泛函i h 2 d a 的e u l e r l a g r a n g e 方程 z 令 q = 五+ 五 = 2 h 吒= 五 = k 其中，足分别是曲面的平均曲率和高斯曲率 则上述e u l e r l a g r a n g e 方程还可以化为 a h + 2 h 3 2 k h = i 1 q + 丢q 3 一q 吒 = 0 即 2 a c t , + q 3 4 q 吒= o 4 2 e u l e r - l a g r a n g e 方程在环面中的应用 对于舻中的环面r 2 ，它的参数表示为 r ( o ，缈) = ( ( 口+ r c o s p ) c o s 0 ，( 口+ ，c o s c p ) s i n t 9 ，r s i n 缈) 其中0 ， 口，0 秒2 万，0 缈2 z 进一步可以得出 ，i2 屹 = r ( - s i n 9 c o s 0 ，- s i ns i n 0 ，c o s f a ) 吒2 白 = ( 一( 口+ r c o s ( a ) s i n o ，( 口+ r c o s c p ) c o s o ，o ) 因此我们可以选取正交标架为 ( 4 1 ) e j = ( 一s i n 缈c o s 0 ，- s i n t p s i n 0 ，c o s 缈) e 2 = ( 一s i n o ，c o s o ，o ) e 3 = ( 一c o s6 p c o s 0 ，- c o s o s i n 0 ，一s i n 华, ) 相应的微分形式为 q = ( 办，q ) = ( ，i ，e 1 ) d 妒+ ( r 2 ，e , ) d o = r d p 哆 = ( 办，吃) = ( ，；，乞) d 妒+ ( 吃，e 2 ) d o = ( a4 - r c o s t , o ) d o q 3 = 一( 如，e 1 ) = d r , 1 = 一q r = 哆 鸱3 = 一( 如，吃) = e o sg o d o c o s 缈 a + r c o s 够 = 五哆 其中五，五分别是环面的两个主曲率 由于 d 呸3 = 哆l q 3 所以可以求出 q 2 = - s i n p d 9 s l n 矽 ；一二一丘k 口+ 厂c o s 矽 另一方面 1 9 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) o i = + 五 l = 一+ c o s 够 ，a + r c o s 口 o r 2 = a 五 c o s 够 一。_ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ 。一 r ( a + r c o s e p ) 设 d c r i = q 1 q + q 2 哆 其中q i ，q 。：分别是q 关于正交标架q 和e 2 的导数 则 d c r i = q 1 耐伊+ q 2 ( a + r c o s q 伊) d o 所以 as l n 口 q j = 一7 面高 q 2 = 0 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 设q 1 ，o i 。2 的协变微分分别为d q j 和d q ，：，因为它们都是一阶微分形式，所 以可以设 d q 1 = d q 1 + 盯1 2 哆i 2 o i 1 l q + c r i 1 2 哆 d q 2 = d q 2 - i - o i 1 q 2 2 q 2 l q + q ，2 2 呸 把( 4 2 ) 式，( 4 3 ) 式，( 4 6 ) 式和( 4 8 ) 式代如上式得 a a c o s + r o + s i n 2 缈) q - - 一7 百鬲矿 一 a s i n 缈 一 q 盈27 面高 因此可以得到 a q 2 = z o i 爿 i = 1 口ac o s 妒+ r ( 1 + s i n 2 缈) 口 s i n 2 伊 ，2 ( a + r c o s r p ) 3厂( 口+ r c o s o ) 3 a ( 口c o s 6 p + ，- ) 厂2 ( a + r c o s 力3 另一方面 q ( 2 呸一互lr r 。2 ) = 2 q 呸一圭q 3 aa + 2 r c o s = ： 2 r 3 ( 口+ r c o s o ) 3 所以 q + q ( j 1q 2 2 c r 2 ) ：= ，2 ( 口+ r c o s a 3 2 a r 2 2 r 3 ( a + r c o s o ) 3 c ，哆高 若环面满足泛函i h 2 c l a 自约e u l e r l a g r a n g e 方程，即 z 2 a r t , + q 3 4 q 吼= 0 也即 q + q ( 圭q 2 2 0 r 2 ) = 。 进一步由( 4 9 ) 式可得 口3 2 口，2 2 r 3 ( 口+ r c o s r p ) 3 整理可得 a 3 2 a r 2 = o 即 兰：压 ， = 0 ( 4 9 ) 综上所述，我们可以得到环面关于变分的一个非常重要的命题如下： 命题4 ：由变分学性质的基本理论，尺3 中的环面丁2 r ( o ，1 , o ) = ( ( 口+ r c o s 缈) c o s 0 ，( a + r c o s 缈) s i n 0 ，r s i n 缈) 其中o ， n ，o 矽2 万，0 o 2 z 满足泛函i h 2 d a 的e u l e r - l a g r a n g e 方程 2 a o i + q 3 4 0 1 0 2 = o 一a = 压 ， 5 结论 从曲面变分的定义出发，运用曲面变分学中几个基本的公式，通过一系列的 推导和计算，一方面，我们得到了w i l l m 。r e 泛函f ( f ) = p 2 q ( f ) 岛( f ) 在f = o 时 的一阶变分公式 f ( o ) = i a ( a h + 2 h 3 - 2 k h ) 0 i 岛 以及二阶变分公式 ，。( o ) = 聘( 口) 2 + 口衄( h 2 2 k ) 他2 ( 6 h 2 一鳅日2 一k ) + 2 砌a ) q 岛 另一方面，我们得到了关于环面变分的一个重要性质，即环面丁2 ： ，( 秒，缈) = ( ( 以+ ，c o s 伊) c o s p ，( 口+ ，c o s 缈) s i n o , r s i n 妒) 满足w i l l m 。r e 泛函i h 2 么的 e u l e r - l a g r a n g e 方程2 a o t + q 3 4 c r t c r 2 = o 营一a = 压 ， 综上所述，关于平均曲率平方的w i l l m 。r e 泛函f ( f ) = p 2 q ( f ) 包( f ) 的变分 问题，已经得到了比较系统的研究，也使我们对变分学有了更深刻的认识，相信 这些工作对w ill m o r e 猜想的解决会提供一些帮助。 参考文献 1 彭家贵，陈卿微分几何北京高等教育出版社2 0 0 2 7 2 陈省身陈维桓微分几何讲义( 第二版) 北京北京大学出版社2 0 0 1 1 0 9 1 9 9 3 白正国，沈一兵，水乃翔等黎曼几何初步( 修订版) 北京高等教育出版社2 0 0 4 1 2 2 4 3 2 5 1 4 丘成桐孙理察微分几何讲义北京高等教育出版社2 0 0 4 1 2 ( 2 0 0 6 重印) 2 4 5 2 6 0 5 陈维桓微分流形初步( 第二版) 北京：高等教育出版社2 0 0 1 8 ( 2 0 0 4 重印) 6 梅向明黄敬之微分几何( 第三版) 北京：高等教育出版社2 0 0 3 1 2 ( 2 0 0 4 重印) 7 沈一兵整体微分几何初步杭州：杭州大学出版社1 9 9 8 8 l i n f e nc a o h a i z h o n gl i ：r - m i n i m a ls u b m a i n f o l d si ns p a c ef o r m s a n ng l o ba n a l ( 2 0 0 7 ) 9 b a r b o s 乱j l m ，d oc a r m o ，m ： o ns t a b i l i t yo fc o n e si n r + jw i t hz e r os c a l a r c u r v a t u r e a n n g l o b a la n a l g e o m 2 8 ，1 0 7 1 2 7 ( 2 0 0 5 ) 1 0 c h e r n ，s s ：m i n i m a ls u b m a n i f o l d si nar i e m a n n i a nm a n i f o l d ( m i m e o g r a p h e d ) u n i v e r s i t yo f k a n s a s ，l a w r e n c e ，( 1 9 6 8 ) 11 g u o ，z ，l i ，h ：av a r i a t i o n a lp r o b l e mf o rs u b m a n i f o l d si nas p h e r e t oa p p e a r i nm o n a t s h m a t ( 2 0 0 7 ) 1 2 g u o ，z ，l i ，h ，w a n g ，c p ：t h es e c o n dv a r i a t i o n a lf o r m u l af o r w i1i m o r e s u b m a n i f o l d si ns n r e s u l t si nm a t h 4 0 ，2 0 5 2 2 5 ( 2 0 0 1 ) 1 3 a u ，z j ，l i ，h ：w i l l m o r es u b m a n i f o l d si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s i n ： p r o c e e d i n g so ft h ew o r k s h o p ，c o n t e m g e o m a n dr e l a t e dt o p i c s ，p p 2 5 1 2 7 5 w o r l ds c i e n t i f i c ，m a y2 0 0 2 1 4 l i ，a m ：ac l a s so fv a r i a t i o n a lp r o b l e m sa n di n t e g r a lf o r m u l ai nr i e m a n n i a n m a n i f o l d c h i n e s ea c t am a t h s i n i c a2 8 ( 2 ) ，1 4 5 1 5 3 ( 1 9 8 5 ) 1 5 l i ，h ：h y p e r s u r f a c