（基础数学专业论文）有限群的弱c正规子群及推广.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 有限群的弱g 正规子群及推广 摘要 群g 的一个子群日称为在g 中弱c - 正规，若存在g 的一个次正规子群 k 使得g = 丑k 且日n k ，其中日g = n 昨g 日9 是包含在日中g 的最大 的正规子群弱c - 正规子群是近年来群论研究的热点在这篇文章里我们利用 子群的弱c 一正规性对群的一些重要性质进行了研究，得到了关于有限群的一 些新的结果 根据内容本文分为以下四章： 第一章主要对c - 正规子群与弱c - 正规子群之间的关系进行了探讨群g 的一个子群冒称为在g 中c 一正规，若存在g 的一个正规子群使得g = 日k 且日n k 兰日g ，其中凰= g 日9 是包含在日中g 的最大的正规子群从 定义上来看，我们很容易看出：一个群的c 一正规子群一定是弱c 一正规子群 但反过来，弱c - 正规子群并不一定是c 一正规子群在本章中我们给出了弱c - 正规子群与c - 正规子群可逆的一些重要条件，应用这些结论推广了关于c 一正 规子群的的一些性质和定理 在第二章中，结合s y l o w 子群，”一h 以l 子群与子群的弱c - 正规性，我们得 出了有限群可解的若干充分条件另外，我们还探讨了极大子群正规指数与弱 c 一正规子群之间的关系d e s k i n 1 9 5 9 年引进了极大子群正规指数的概念 有限群g 的极大子群的正规指数是指g 的主因子日k 的阶，其中日为该极大 子群在g 中极小正规补，我们通常用q ( g ：m ) 来表示极大子群的正规指数 d e s k i n 还证明了群g 可解的一个重要的充要条件是对g 的任意的极大子群m 均有q ( g ：m ) = l g ：m | 关于极大子群正规指数的研究已取得了丰富的结果 w a 醒证明了群g 的极大子群m 在g 中c 一正规等价于q ( g ：m ) = i g ：m | 在 本章中我们证明了群g 的一个可解的极大m 在g 中弱c - 正规的充要条件是 m 满足q ( g ：m ) = i g ：m i 另外，由此我们推广了群可解的一个重要定理：设 m 是群g 的可解的极大子群，则g 可解的充要条件是m 在g 中弱c - 正规 蘸率筛蔻大学硬士学位论文 第三掌裁鼷子群豹弱。正囊瞧给塞了有限繇怒可煞熬若予充分条箨极 小子群的性质对有限群结构的影响一直是人们关注的课题在本篇中我们利用 极，l 子群的弱。正鬣经对群酶超可解洼遗行了劐藏主要结聚是：袈群0 瓣 极小子群与2 2 阶循环予群在g 中弱c - 正规，则g 是越可解的 第因章介锸了一种眈弱。正藏健弱静子群概念，s 正规子群群g 的一 个子群爿称为谯g 中s 一正规，若存在g 的一个次正规子群k 使得g = 日符 且筒n k 茎王b g ，其中凰g 麓包含猩日中g 的最大的次正规子群在本章中 我# 】绘出了s 一燕觐子群的性蔟并应薅这些性质的撼了蠢限群珂鼹静筹于充分 条件 美涎词：正规；弱。正规；次破规子群；可麟群；越可解群 瞳阜师范大学硬士学位论文 w b a k l yg n o r m a ls u b g r o u po ff i n i t eg r o u p a n di t sg e n e r a l i z a t i o n a b s t r a c t as u b g r o u p 日o fa 矗n i t eg r o u pgi ss a i dt ob ew e a k l yc n o r m a li ngi f t h e r ee x i s t sas u b n o r m a ls u b g r o u pko fgs u c ht h a tg = 日ka n d 日n k 兰日g ， w h e r e 上珐i st h em a x i m a ln o r m a 】s u b g m u p0 fg t h a ti sc o n t a i n e di n 日t h e 8 t u d ya b o u tw e a k l yc _ n o r m a ls u b g r o u p sh a si n t e r e s t e ds c h o l a r sf o ral o n gt i m e ， a n dt h er e s e a r c hi nt h i sf i e l di ss t i uv e r ya c t i v e i nt h i sp a p e r ，t h es t r u c t l l r p o fg r o u p sa r ei n v e s t i g a t e db ym e a n so fc - n o r m a ls u b g r o u p s ，a n ds o m en e w c h a r a c t e n z a t i o n s8 b o u tt h es t r u c t u r ef o rag r o u p 盯ep r o v e d w ea l s oi m p 】y a n dg e e r a l i z es o m ek n o w nt h e o r e mb yu s eo ft h ec o n c e p to fw e a k l yc - n o r m a j s u b g r o u p t h et h e s i si sd i v i d e di t of o u r8 e c t i o n sa c c o r d i gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec n o r m a ls u b g r o u pa dt h e w e a k l yc n o r m 缸s u b g r o u pw a 8s t u d i e d ， as u b g r o u p 日o faf l n i t eg r o u pg i ss a i dt ob ec - n o 1 a li ngi ft h e r ee x i s t san o r m a ls u b g r o u p 耳o fgs u c h t h a tg = 日a n d 日n ks 上如，w h e r e 上如i st h em a 村m a ln o r m a ls u b g r o u p o f gt h a ti sc o n t a i n e di n 日i ti se a s yt os e ef r o mt h ed e 矗n i t i o nt h a tac _ n o r m a is u b g r o u po fgm u s tb ew e a k l yc _ n o r m “s u b g r o u p ，b u tt h ec o n v e r s e i sn o tt u r ei n g e n e r a l i nt h i sc h a p t e r ，w eg a v es o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o r aw e a k l yc n o r m a ls u b g r o u pt o 七ec _ n o r m a l _u s i n gt h e s ec o n d i t i o n s ，s o m e k n o w nt h e o r e m 8a n dp r o p e r t i e sa b o u tc _ n o r m a ls u b g r o u pw e r eg e n e r a l i z e db y u s eo fw e a k l yc n o r m a ls 王l b g r o u p i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h ew e a k l yc _ n o r m a l i t yo fs y l o ws u b g r o u p sa n d 丌一 h a i ls u b g r o u p ，s o m es u m c i e n tc o n d i t i o n so fs o l v a b l eg r o u p sw e r eo b t a i n e d i n a d d i t i o n ，、wc o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en o r m a li n d e xo fm a x i m a l s u b g r o u pa n dw e a k i yc 。n o r m a is u b g r o u p d e s k i ni n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f n o r m a l i n d e xo fam a x i m a ls u b g r o u p t h en o r m a li n d e xo fam a x i m a ls u b g r o u p 曲阜师范大学硕士学位论文 m o f g ，d e n o t e db y 口( g ：m ) ，i sd 曲n e da 8t h eo r d e ro fac h i e f f a c t o r 驯k o fg ，w h e r e 日拓am i n i m a ls u p p l e m e l l t 酶嬲妇g 。t h ei n v e s t i 鬈a t i o n so nt h e 巍o f f 魏蠢i 珏d e x 囊b e e nd e v e l 。p e d 酝s 。r 鞋es c 囊o a 嚣s 。叠8 k i ns 魏。w e dt 矗a 志g i 8s o l v a b l ei fa n do n l yi fi ：7 ( g ：m ) = l g ：m lf o re v e r ym a x i m a ls u b g u p 掰 o fg y a n m i n g 、a n gp r o v e dam a x i m a l8 u b g r 。u pm o fgi 8d n o r m a li ng i fa n do n l yi f 町( g ：且= 1 g ：且彳| s i m i l a r l nt h e r ee x i s t8 0 m er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nw e a k l yc _ n o r m 赶i t ya n dt h en o r m a li n d e x i ti ss h o w e di nt h i sc h a p 把r t 歉穗鑫l n a 。i i 珏蠢s h b f 诤娃转磊fo fgs 鑫t 主s 静零( g ：磊f ) = 驭；：袁f | i fa 珏do 芏l l y 至f 掰i ss o l v a b l ea n d 膨i sw e a l 【l y 争n o 蹦献溆g 。i na d d i t 主o n ，w eg e n e r a l i ! e d 勰 i i n p o r t a n tt h e o r e mf b rs o l v a b l eg r o u p ：ag r o u pg i 8s o l b l ei fa n do n l yi f ( h a sas o l v a b l em a x i m a ls u b g r o u pm8 u c ht h 龇mi sw e a k l y 小n o r m a li ng i n 出印t e r3 ，t h e8 u p e 璐0 l v a b i l i ：t yo fg r o u p sw e r ep r o v e d + t h em i n h n 拟 8 曲g r o 珏秘p l a y s 褥i 撒p o 赡a 珏专r o l ei nt 量l es 泌y 氯王l i t e 琴o u 秘i n 馥担e h a p _ t e r ，w eu s e 妇ew e 蝣【l y n o r 礤越i 镑m i 娃i m 越s u b g r o 珏p st oe 歉瓤a e t e r i z et h e 8 t r u c t u r eo ft h eg r o u p 8 ，o b t a i ns o m es u 抒i c i e r l te o n d j t i o n su n d e rw h i c hag r o u p b e l o n g st os u p e r s o l v 魏b l eg r o u p 1 v p r a 、懈dt h a ti ft h em i n i h l a ls u b g r o u pa n d c h ec y d i cs u b g r o u po fo r d e r2 2o fgi sw e a k l yc - n o r m a li ng ，t h e ngi ss u p e r s o l v a b i e 1 n 镪el a s t 瘟麓) t 黯，争拄o r m a 王s 珏b g r o 挂p ，ac 。箍e e p tw 纛i 旗弧w e a k e rt h 勰 w e a k l yc n o r m a is u b g r o u p 、瑚i n t r o d u c e da n di n v e s t i g a t e d a8 t l b g r o u p 嚣o f a 矗n i t eg r o u pgi s8 a i dt ob es n o r m a l 协gi ft h e r ee x i s tas u b n o r m a ls u b g r o u p o fgs u c ht h a tg 燃日ka n d 日n 蔓口掰，w h e r e 凰gi st h em a x i m a l s u b h o f m 越鼢b g r o 醢p 嘏g 攮融i s e o n 屯a i n e di n 日。s o m e 掣o p 秣屯i e so fs _ n o r m 趣 s 畦b 黟。珏p sw e r e 誊v e n n8 d d i t i 。珏，醪u s 鞋gt h e 争n o r 摊盛i 锣o fs 毪b 擎。疆p s ，w e o b t a i nn e ws u 最c i e n tc o n d i t i o n sf o rs o l v a b i l i t yo fg r o u p s k e y w d r d s ： 小n o r m a l ；w e a k l yc n o r m a l ；s u b n o r m a l8 u b g r o u p s ；s o l v a b l e g r o u p s ；s u p e r s o l v a b l eg r o u p s 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 下面对本文中所用到的符号作如下说明 日q g 日日q g 西( g ) hg 日 g 0 p ( g ) 7 r ( g ) h g h s c m g s o c ( g ) 1 g ：m | 只 2 g ( 日) 口是g 的正规子群 日是g 次的正规子群 群g 的f r a t t i i l i 子群 日是g 的子群 日是g 的真子群 g 的极大正规p - 子群 l g i 的全体素因子组成的集合 包含在日中g 的最大的正规子群 包含在日中g 的最大的次正规子群 m 是g 的极大子群 群g 的所有极小正规子群的积 g 的子群m 在g 中的指数 群g 的有合数指数的极大子群的集合 群g 的子群日关于g 的合成长度 曲阜师范大学硕士学位论文 绪论 群足抽象代数中最早而且是最基本的一个代数系统它不仅是数学本身的 一个有力的工具，而且在许多现代科学技术诸如结晶学，理论物理，量子力学 以及密码学，系统科学，数理经济等领域都有着广泛的应用 在群论中，有限群无论从理论本身还是从实际应用来随都占居着更为突出 的地位同时，它也是近年来研究最多，最活跃的一个数学分支近年来，随 着有限群理论的迅速发展及其应用的日益增多，有限群理论已成为现代科技的 数学基础之一，是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具 在群论中，子群的性质和群的结构之f 葡有着非常密切的关系，因此我们常 常通过分析某些特殊子群的性质来研究群的结构众所周知，正规子群是群沦 中一个重要的概念，它在群的研究中起着关键的作用而且，随着群论的发展一 些比正规性弱的子群概念也被相继提出1 9 3 9 年，o r e 【2 1 j 引进了拟正规子群 的概念，群g 的一个子群日称为拟正规的，如果对任意的耳墨g ，h k k 成立1 9 6 2 年，k e g e l 俐引进了比拟正规性弱的子群概念，s 一拟正规子群 群g 的一个子群日称为p 拟正规的，若日与g 的所以s y l o w 子群可交换 1 9 8 7 年，陈重穆将拟正规，s 一拟正规子群的概念进行了推广，引进了半正 规，s 一半正规子群的概念群g 的一个子群h 称为半正规的，如果对任意的 茎g ，只要“l ，l 驯) = 1 ，就有日k = k 日成立日称为s 一半正规的， 若对任意的p il g h 只要瓯1 日i ) = 1 ，就有p 日= 日p ，其中p s g l ，( 6 f ) 1 9 8 8 年，苏向盈引进丁与陈重穆不同的半正规子群的概念群g 的一个子群日 称为半正规的，若存在墨g 使g = 日且对的任意真子群k i k ，有 日t g 王品超应用子群的半正规性获得了一系列关于群的可解性，超可解 性，幂零性的文章f 2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，29 1 1 9 9 6 年，王燕呜川定义了c - 正规子群的概 念群g 的一个子群日称为在g 中d 正规，若存在g 的一个正规子群 使得g = 口巧且口n 口g ，其中日g 是包含在h 中g 的最大的正规子 群利用子群的正规性来研究群的性质已取得了丰富的结果1 ，2 ，3 ，4 ，5 12 0 0 2 群利用于群的c _ 正规性来研究群的性质已取得了丰富的结果1 ，2 ，3 ，4 ，5 1 2 0 0 2 年，朱路进等【6 】又引进了比c 一正规性弱的子群概念，弱c - 正规子群群g 的 一个子群日称为在g 中弱c 一正规的，若存在g 的一个次正规子群k 使得 g = h k 且日n k 日g 弱c 一正规子群是近年来群论研究的热点从定义 上我们很容易看出c - 正规子群一定是弱c - 正规子群但反过来，弱c - 正规 子群并不一定是c _ 正规子群那么在什么条件下二者是可逆的呢? 在本篇文 章中，我们讨论的第一个问题就是关于d 正规子群与弱d 正规子群的等价条 件在这些等价条件的基础上，关于c - 正规的某些性质及结果对弱c 一正规子 群就会不攻自证这对以后我们对弱d 正规子群的研究工作起到了事半功倍 的功效 本文的主要目的，就是继续上述提到的一些作者们的工作，利用c _ 正规， 弱c _ 正规，s 一正规来研究群的结构，主要结果是： 1 讨论了弱。- 正规子群与c _ 正规子群之间的关系，得到了两者等价的一 些条件 2 利用s y l o w 予群，7 r h a l l 子群与极大子群的弱c - 正规性讨论了有限 群的可解性 3 结合极小子群与子群的弱c 一正规性，得到了有限群超可解的若干充分 条件 4 引进了一个比弱c 一正规子群弱的子群概念，5 一正规子群讨论了s 一 正规子群的一些性质及其对有限群可解性的影响 注：如无特殊说明，本文所指群皆为有限群，未提及的符号见文献7 1 2 第一章弱c 一正规子群与c 一正规子群之间的关系 群g 的一个子群日称为在g 中c - 正规，若存在g 的一个正规子群k 使得g = h k 且日nk 曼，其中日g = n 。g 日9 是包含在日中g 的最 大的正规子群群g 的一个子群日称为在g 中弱c 一正规，若存在g 的一 个次正规子群k 使得g = 日且日nk 如利用子群的c - 正规性来研 究群的结构已取得了许多丰富的结果f 1 ，2 ，3 ，4 ，5 1 弱d 正规子群是朱路进等于 2 0 0 2 年提出的，目前对弱c 一正规子群的研究也是群论研究的热点在一定 程度上，弱c - 正规子群与c - 正规子群有着相似的性质从定义来看，我们很 容易看出c _ 正规子群一定是弱c _ 正规子群而弱d 正规子群不一定是c - 正规 子群那么在什么条件下二者是可逆的呢? 如果我们能找出这些可逆条件，那 么在这些条件下c - 正规的某些性质对弱c - 正规自然也就成立了，这样对我们 研究群的性质就能起到事半功倍的功效在这篇文章中我们给出了弱c - 正规 子群与c - 正规子群的一些等价条件 1 2 基本的概念和性质 定义2 1 6 】设g 是有限群，称群g 的一个子群日在g 中弱c 一正规，若存 在g 的一个次正规子群耳，使g = 日且日n 日g ，其中日g = n g 日9 是包含在日中g 的最大的正规子群 性质2 2 设日为g 的弱乒正规子群 1 ) 若曼m g ，则日在m 中弱c 一正规； 2 ) 若旦g 且茎h ，则h 在g 中弱。_ 正规当且仅当日在g 中 3 第一章弱e 一歪栽予群与c - 正瘦子群之阉静关系 弱c - 正规 证明1 ) 由于日弱c - 正规予g ，那么存在qq g 使得g = 尉甩 日n k 墨岸g 圜此艏= mn 8 一膳n 置k = 露( 槲n 嚣) 困为矗，g ， 瑟戮掰n 彭膨显露n 艇门髹) ：露n 踅) n 掰魄n 掰墨置嚣，羧露 弱c - 正规予槲 2 ) 若日弱c 一正规于g ，那么存在k q q g 使得g 一盯彤且日n 曼 又g n = h k l n = h n k n9 n 阻姚k n f n4 娟 n 豆h nnk n f ns t h | n 、蹿f n ；。啜h | n 强e - 鼍为戮誓g | n 反之，蓉鞲溺弱e - 蹴g 溺，璐蒋在x 圆娟溺鱼珏泌n 鬏溺s ( 日) ( g ) 搦证g = 日且槲n s 王k ，即日弱c _ 正规于g 性质2 3 设g 为群，p 7 r ( g ) 1 ) 如果p 是g 的极小正规沙子群且任意茹p 在g 中弱d 正规，则 p = 2 ) 若p 怒g 酶正援静p 予群且贯p 圣( p ) ，如聚彤圣( p ) 是g 零( p ) 的极小正规子群且z 在g 中弱。溉规，那么p = 注：设茹怒群g 的任一元索，如果由z 生成的循环群 在g 中弱 c 一正规，我口) 说嚣在g 中弱。正规的。 证明1 ) 耄予 在g 申弱正燕，予是存在彭g 爱褥g = 影 且 n 彭 g 取g 的包含k 的任一次正规群列( s ) ： 1 一硒硒玛- 曼k - “曼风= g 令最= pn 掣，劂最壁g 又霞为p 是g 的极小正瓣予群，所l 美最= l 或 最= p 若最= l ，虽# 尹n 并p n 西= l ，予楚p p n 彭一 ( pn 耳) = ，得证若毋= 尸，贝f jpn 尉= p ，所以p 曼i 于是g = p 7 = k ? 由( s ) 的任意性必有璺g 再令b - = 尸n ，劁 4 曲阜师范大学硕士学位论文 b 望g 同样，由p 的极小性得尸2 = 1 或p 2 = p 若i p 2 = pnk = 1 ，则 p = p n k = ( pn ) = ，即得证若p 2 = p nk = p 时，p ，因此 = n s g ，于是 旦g 再由p 的极 小性得p = 2 ) 由于 p 西( p ) 在g 中弱c _ 正规，因此存在k 司q g 使得 g = 且 n ks g 任取g 的包含的一次正规群列( s ) ： 1 ；甄兰k 1 墨娲t 冬k - s 甄= g 令p l = pn 刀，显然p l 旦g ，因此p l 西( p ) 西( p ) 旦g 西( p ) 由p 垂( p ) 的 极小性我们有p l 西( p ) 或p l = p 若尸l 垂( p ) ，则_ ：p = p n k = ( p n k ) = 圣( 尸) = ，因此p = ，得证 若p 1 = p ，那么p k 7 于是g = k = k 因此由( s ) 的 任意性得k ! g 再令b = pnk ，同样恳旦g 且马西( p ) 西( p ) 旦g 圣( p ) 由尸西( p ) 的极小性我们有p 2 西( p ) 或p 2 = p 若p 2s 圣( p ) ，则 p = p n k = ( 尸nk ) = 圣( p ) = ， p 为循环群，得 证若马= p ，则 = n k g ，因此 翼g 再由p 的极 小性得p = 1 3 主要定理 1 我们先给出本节所用到的的主要的定义及引理 定义3 1 【1 】设g 是有限群，称群g 的一个子群日在g 中c - 正规，若存 在g 的一个正规子群k ，使g = 日k 且日nk 日g ，其中日g = n 口g 日9 是包含在h 中g 的最大的正规子群 5 第一覃弱c - 正规子群与c 一正规子群之间的关系 引理3 2 1 】设日为g 的c _ 正规子群 1 ) 若日k 冬g ，则日在中c 一正规； 2 ) 若旦g 且盯冬日，则日在g 中d 正规当且仅当日k 在g k 中 c 正规 引理3 3 设圩为群g 的h a l l 子群且日q q g ，那么日旦g 证明日= g 时当然成立下设日 g ，依题设条件存在g 的合成列，使 日= 日日。一l ，凰= g ， l g ( h ) = m 对m 进行归纳m = 1 时，日旦g 设f g ( 日) m 时成立， 来证明b ( h ) = m 时成立事实上，若日不正规于g ，则有合成列日= 日。s 日。一1 s 凰= g ，其中日 王h ，f h 。( 日) = m 一1 且日是h l 的 日“子群由归纳假设日塑日l ，这时日旦玩璺g 由于h 不正规于g ，那么存 在g g ，嵌h g h 又h g 曼h = h lah 9 垒h l ，辑以h h g 鱼h 1 ，h h 9 成群1 日王p i = | 日1 1 日，| l hn 日9 i = 1 日| 2 1 日nh 9 i = 1 日l 1 日i 1 日n 日，1 若1 日i 1 日n 日9 l 1 ，所以( | 日日，1 1 日i ，1 日1 ) = 1 日l 1 日n 日9j 1 又 1 日i 1 日n 日。| ji g 日i 且( i g f i h | ，1 日i ) = 1 ，所以( i h i i h n 日，l ，i h l ) = 1 ，矛 盾因此1 日l 1 日n 日9 l = l ，即日= 日n 日9 = h 9 ，所以日= 日9 ，与假设矛 盾故h ! g 一引理3 4 8 】设h 为群g 的次正规子群，那么s o c ( g ) 小，g ( 日) 2 主要结果 定理3 1 设p 是群g 的s y l o wp 子群若p 在g 中弱c 正规，则j d 在g 中d 正规特别地，当p = 2 时g 可解 证明( i ) 当p g 1 时，p p g s 可( g p g ) 且p p g 在g p g 中弱c _ 正 规由归纳知f 场在g p g 中c i 正规，从而由引理3 2 知p 在g 中c - 正 规 6 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i i ) 当尸0 = 1 时，依题设存在q 司g 使g = p 且p nk p g = 1 因此k 是g 的h a l l 子群又日司g ，由引理3 3 知k 旦g ，这即说明尸在g 中c 正规 下证当p = 2 时g 可解事实上，当p g 1 ，可由归纳证明g 昂可解， 又p 为g 的s y l o w2 一子群也可解，因此g 可解当p g = l 时，由上证明存 在k 旦g ，使g 耳竺p 可解，又为奇数阶h a l l 子群亦可解，因此g 可解 定理3 2 设日是群g 的h a l l 子群若日在g 中弱c - 正规，则h 在 g 中d 正规 证明当日g 1 时，打日g 是g 日。的h a l l 子群且h 日g 在g 日g 中 弱c _ 正规，由归纳知日日g 在g 日g 中c - 正规，从而日在g 中c - 正规 当= 1 时，依题设存在k 司蚶g 使g = 日k 且h nk 如= l ，因此耳 是g 的h a l l 子群又k 司q g ，由引理3 3 我们可知日宴g ，这即说明h 在g 中是c _ 正规的。 定理3 3 设是群g 的极小正规子群若的任一子群日在g 中弱 c - 正规，则日在g 中c _ 正规 证明任取日 ，依题设存在k q 日g 使g = h k 且日nk 三f g 由 的极小性知王k = 1 任取g 的包含k 的次正规群列( s ) ： 1 = 凰墨k l 垃曼ks 茎茎甄= g ， 因此g = 日k = k ，令r = n ，于是l 鼍g 由的极小性有 nr r = 1 或n = 当nk = l 时，hn = 1 又g = 日k 因此h 在g 中c 一正规若nk = 则7 ，于是g = j v ，= 由( s ) 的任意性必有k 鱼g ，故h 在g 中c _ 正规 定理3 4 若群g 的每个有合数指数的极大子群m 在g 中弱c 正规，则 m 在g 中c _ 正规 7 第一章弱c 一正规子群与c 一正规子群之间的关系 证明令f c = m l m g 且i g ：m l = 合数) 假设结论不成立。那么存 在m f c 使m 不c - 正规于g i ) = 1 否则，m a 幻是g 铂的有合数指数的极大子群且m 在g 且玷中弱c - 正规由归纳知m 4 g 在g 蜘中c _ 正规，从而m 在g 中c - 正规，矛盾 i i ) g 有唯一的极小正规子群依题设条件m 在g 中弱c - 正规，即存在 k 日q g ，使g = m k 且m n k 曼n 如= 1 由此我们知道g 非单假若g 至少 有两个不同的极小正规子群- l ，2 显然1n 2 = 1 ，这样婀c 台( 2 ) 旦g 再由2 的极小性我们有c 台( 2 ) = 2 ，于是l 2 ，矛盾 i i i ) 不可解首先，由于 结= 1 我们有g = m 又因为m 不c _ 正 规于g 所以m n 1 令为的换位子群若可解，则 又 因为c o r 旦g ，所以7 璺g 由的极小性7 = 1 ，所以为交换群，这 样mn 旦g 再由的极小性我们有mn = ，因此sm 与m g = 1 矛盾， i v ) 推出矛盾令p 是( ) 的最大素因子，p 1 为的s y l o wp 子群， 则p l 旦或( 只) 包含在的某个有合数指数的极大子群中若p 1 旦， 则p l c n r 旦g ，从而尸1 鱼g 与的极小性矛盾，因此第二种情况成立再由 f r a t t i n i 论断我们有g = g ( p 1 ) ，因此存在l g 使g ( p 1 ) 茎l ，于是 g = l 且l g = 1 若j g ：l | = 素数，由于i gj f l i = i i l nl | ，那么 n 三 而( p 1 ) = n k ( p 1 ) 茎nl ，这与a ( p 1 ) 包含在的 某个有合数指数的极大子群中相矛盾，因此i g ：l l = 合数那么由题设条件 存在q q g 使得g = l k 且l n 曼l g = 1 ，于是l k | = l g ：l ，从而p 不 整除i k | 设4 为g 的包含在k 中的极小次正规子群，显然4 为单群如果 a ，那么_ v n4 = 1 ，由引理3 4 我们知s g ( a ) ，从而a = j vx4 且a 墨c 台( ) 旦g 由n 的极小非可解性有c 台( ) = 1 ，于是a = 1 ，矛盾 8 啮阜师范大学硕士学位论文 因此as 另外，由于为特征单群，那么= 1 2 肌，其 中1 兰2 兰一兰批为g 的非交换单群且a 1 ，2 ，一，肌) 不妨设 a = 1 ，从而pil kj ，这是最后一个矛盾因此假设不成立，故得证 推论3 5 若群g 的任意极大子群在g 中弱c - 正规，则它们也在g 中p 正规 定理3 6 设m 为群g 的极大幂零子群若屿曲f ，( m ) 在g 中弱c _ 正规，则 磊在g 中c - 正规 证明( i ) 若( 屿) g 1 ，作召= g ( 屿) g ，则m ( 如) g 为g ( ) g 的极 大幂零子群且屿( n 靠) g 在g ( a 如) g 中弱c - 正规由归纳知屿( 知) g 在 g ( 每) g 中c - 正规，从而屿在g 中c - 正规 ( i i ) 当( 屿) g = 1 时易知 砧s g 如( g ) 事实上，由于m 幂零，则 m g ( m ；) g 由m 的极大性m = g ( 埘；) 若n 知彰s f 知( g ) ，则存在 岛s g k ( g ) 使肘p g p 于是， 屿 g pn g ( 嗨) = q n m = 屿， 矛盾所以n 磊s 可知( g ) ，再由定理3 1 知 知在g 中c - 正规 定理3 7 设m 是群g 的可解的极大子群且m 在g 中弱d 正规，则州 在g 中c _ 正规 证明当拖1 时，m 且幻是g 玷的可解的极大子群且m 玷在 g m g 中弱c - 正规由归纳知m 幻在g m g 中c - 正规，从而m 在g 中 c - 正规 当m g = 1 时，依题设存在kq 司g 使g = m k 且m n k i l = 1 显然g 非单，设为g 的极小正规子群，于是g = m 下证m n = l 事实上，若mn 1 ，令上为含在mn 中m 的极小正规子群，则l 为 初等交换p 一群，其中p ”( m ) 令q ( ，v ) = = fi = n ，任意礼j v ) ，显 9 第一章弱c 正规子群与c 一正规子群之间的关系 然c 2 ( ) 旦g 由的极小性c t ( ) = 或c t ( ) = 1 若c 乙( ) = ，那 么l = ，此时= mn 与= 1 矛盾，所以必有优( ) = 1 因此 l = 1 ，即mn = 1 故m 在g 中c - 正规 1 0 第二章弱c 一正规子群对群的可解性的影响 2 1引言 可解性是有限群的一个重要的性质关于极大子群的性质与群的可解性之 间的关系目前已有许多作者进行了研究正规指数是关于极大子群的一个重要 概念有限群g 的极大子群的正规指数( 通常用町( g ：m ) 表示) 是指g 的主 因子驯k 的阶数，其中日为该极大子群在g 中的极小正规补d e s k i n 9 】得 出了一个群g 可解的充要条件是对群g 的任意极大子群m 均有7 7 ( g ：m ) ：二 | g ：m | 郭秀云 1 0 】利用极大子群的正规指数获得了有限群为p 一可解，可解， 超可解的一些充分必要条件另一方面，极大子群的正规指数与子群的c 一正 规性也存在着一定的关系w 抽g 在 1 中证明了群g 的一个极大子群m 在 g 中c - 正规的充要条件是”( g ：m ) = l g ：m 那么，如果群g 的一个极大 子群m 在g 中弱c - 正规能不能得出类似的性质呢? 我们知道，子群的弱c _ 正规性要比c _ 正规性弱在这篇文章中，利用 s y l o w ，”一h a l l 子群的弱c _ 正规性我们获得了关于群可解的一些充分条件另 外，通过研究我们得出当群g 的一个极大子群m 可解时，m 在g 中弱c - 正规的一个等价条件是叩( g ：m ) = l g ：m i 作为这一定理的推广我们还证明 了群可解的一个重要条件：设m 是群g 的一个可解的极大子群，如果m 在 g 中弱c - 正规，那么g 是可解的 2 2基本引理 引理2 1 1 7 】设l g = 2 n ，其中扎为奇数，那么g 可解 引理2 2 设h 为群g 的可解的丌一h a l l 子群且2 7 r ，若h 在g 中弱c 一 筹二掌弱。正援子群对群憋可疑戆豹影晚 正规，则g 可懈 试明分两种情撬涟行证麓 当日g l 时如果2 不熬除 口i ，那么g 如为奇数阶群，可解， 及丽g 可解，如果2 整除| 臀 蟊0 k 邪么置静g 是g 口g 的可解的7 r h a l l 子群且剧日g 在g 如中弱。正规由归纳知g 上玛可解，从而g 可鼹 当日g = l 时，由第一章定理3 2 知日在g 中是弘正规豹，即存在g 的 一个正规子群艮使褥g = h 且髫n k 辫g = l + 这样我们舂g 掩竺置 可解，又蜀为奇数阶祥可解，从而g 可解 孽l 理2 。3 9 l 设怒群g 戆正觐予群，涮是嚣g 鼹极大予群壁曼掰， 那么叩( g ：m ) = 叩( g ：圳胁) 亨l 疆2 。4 设魁是嚣g 懿霹簿懿缎大子懿，郡么膨在g 申弱争歪毅翳 充分必要条件魑町( g ：m ) = 1 g ：m | 瓷壤戋逡盛委程蓉麓g l ，懿麓 礁g g 黻g 登! 睚 麓g 程g 麓g 中弱d 正规由归纳知”( g 蛄：m 肘g ) = g m g ：m 地i = l g ：m | 又 蹿g ：掰) = 蹿( g 磊酝：掰鳓) ，所班叩( g ：掰) = | g ：掰| 若晚= l ，因为 m 在g 中弱争正规，所以存谯k q q g ，使得g = m 掰且m n k m g = 1 由踅熟g 菲擎，设为g 的掇西正瓶子群，猁g = 掰下证甜n = l 事实上，由予m n 旦m ，若m n 1 ，令为含在m n 中m 的 极，j 、正规子群由膳可解知五为初等交换p 群，其中p 竹( m ) 令 e 鼍( ) 一器互| = 羁，魄 ， 陵于( 瓯( ) ) ”= c l m ( “) 一c 毫( ) ，任意m 槲，最对任意的站， 有礼f ”= n n “1 f = ( n 。) 2 n = n “= n 于是我们有g t ( ) 旦g ，这样 魄( ) = l ，否粼，鸯予瓯( ) 冬艇与蟓= l 螺矛蘑叉霞为三墨膨门 为初等交换群我们知道c 2 ( j v ) 是不能为1 的，得出矛爝故必有m 门= 1 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 于是叩( g ：m ) = l f = i g ：m ；，必要性得证 充分性若g 为单群，则q ( g ：m ) = i g l = i g ：m | ，因此m = l ，当然在 g 中弱c 正规下证g 非单时若朋g l ，显然由归纳知m 螈在g n 幻 中弱c _ 正规，从而m 在g 中弱c - 正规当蛳= 1 时，取为g 的极小 正规子群，则g = m 由于口( g ：m ) = i l = g ：m | ，所以mn = 1 ， 即证得m 在g 中弱c 正规 2 3 有限群可解的若于充分条件 定理3 1 设m 是群g 的极大幂零子群，若m 的2 r s y l o w 子群在g 中 弱c 正规，则g 可解 证明设 如s g f 2 ( m ) 若( 如) ( g ) 1 ，显然g ( n 如) ( g ) 满足定理条件， 由归纳知g ( 且如) ( g ) 可解，从而g 可解下证( a 如) ( g ) = 1 时定理成立 事实上，( 如) ( g 】= 1 时飓勖f 2 ( g ) 若不然，存在g 2 s f f 2 ( g ) 使 m 2 g 2 由m 幂零知m 墨g ( 如) g 由于m 为g 的极大子群，所以 m = g ( 如) ，这样 尬 g 2 n g ( 尬) = g 2 n m = 地， 矛盾，因此 如s f 2 ( g ) 因为 如在g 中弱c _ 正规，由第一章定理37 知 尬在g 中c - 正规，即存在k ! g ，使得g = 如k 且m 2n k ( 如) ( g 1 = 1 于是g k 型尬可解且k 为奇数阶群亦可解，从而g 可解 定理3 2 设日为群g 的幂零的”一日。f f 子群且2 7 r ，若h 的某个极 大子群在g 中弱c _ 正