（基础数学专业论文）离散dirac方程在周期和反周期边界条件下的特征值.pdf

中文摘要 本论文主要研究离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质本文研究 了离散d i r a c 方程在d i r i c h l e t 边界条件下特征值的个数、在周期和反周期边界条 件下特征值的重数等问题并且给出了a 是否为离散d i r a c 方程在周期和反周期 边界条件下特征值的判别方法 全文共分为四部分来详细论述上述问题首先是前言，主要介绍所研究问题 的相关背景，及本文所要研究的问题其次论文介绍了关于离散d i r a c 方程的概念 以及一些相关的引理给出了证明主要定理所需要的基础知识再次是本论文的 核心部分，给出了在不同边界条件下离散d i r a c 方程特征值的性质，并给出主要定 理的证明最后总括全文的工作，同时介绍了关于离散d i r a c 方程的一些有待进一 步研究的问题 关键词：d i r a c 方程；差分算子；特征值 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ee i g e n v a l u e so fd i s c r e t ed i r a ce q u a t i o n sw i t hd i f - f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s i ts t u d i e st h en u m b e r so fe i g e n v a l u e so fd i s c r e t ed i r a c e q u a t i o n sw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dm u l t i p l i c i t yw i t hp e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ep a p e ra l s of i n d sam e t h o dt oj u d g ew h e t h e ra i st h ee i g e n v a l u eo fd i s c r e t ed i r a ce q u a t i o n sw i t hp e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n s t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of o u rp a r t s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o n o ft h ew h o l ep a p e r i ti n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do fd i s c r e t ed i r a ce q u a t i o n sa n dt h e m a i nc o n t e n tt h a tt h ep a p e rs t u d i e s t h es e c o n ds e c t i o np r o v i d e ss o m eb a s i cc o n c e p t s a b o u td i s c r e t ed i r a ce q u a t i o n sa n ds o l l l el e m m a st h a ta r en e c e s s a r yf o rt h ep r o o fo ft h e m a i nt h e o r e m s t h et h i r ds e c t i o ni st h em a i np a r to ft h ep a p e r i ti n t r o d u c e s t h em a i n r e s u l t so fe i g e n v a l u e so fd i s c r e t ed i r a ce q u a t i o n sw i t hd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ， a n dc o m p l e t e st h ep r o o fo ft h em a i nt h e o r e m s a tl a s t ，i ts u m m a r i z e st h ew h o l ep a p e r a n dd i s c u s s e ss o m ep r o b l e m st h a tp e o p l ec a ns t u d yd e e p l yi nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：d i r a ce q u a t i o n s ；d i f f e r e n c eo p e r a t o r s ；e i g e n v a l u e s ； 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 学位论文作者豁阎蒙夜 签字日期：1 年月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：1 罚黎黎 签字日期凶呻年6 月芝日 导师签名 签字日期：幽7 年6 月2 日， 第一章前言 第一章前言 动态系统中变量间的关系往往可以表作一个微分方程或差分方程( 组) ， 但它们却是两类不同类型的方程，前者处理的是连续变量，而后者处理的则 是依次取非负整数的离散变量，这两类方程在许多现实问题的研究里都有着 重要的应用因为在物理、经济等实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周 期来统计的例如，银行中的定期存款就是按所设定的时间等间隔计息、外 贸出口额按月统计、国民收入按年统计、产品的产量按月统计、贷款模型、 消费模型、供需模型等问题这些模型中的变量均为离散型变量，描述离散 型变量之间的关系的数学模型称为离散型模型对取值是离散化的变量，差 分方程是研究他们之间变化规律的有力工具 根据现实问题抽象出来的差分方程有很多类型按阶数不同可分为1 阶、2 阶、礼阶差分方程：按系数不同可分为常系数、变系数差分方程；另 外还有齐次和非齐次、有限和无限差分方程之分在所研究的差分方程中具 有代表性的是h a m i l t i o n 差分方程、s t u r m l i o u v i l l e 差分方程等众多学者对此 类方程进行了深入的研究，并对自伴、非自伴问题、以及不同的边界问题都 得到了许多关于特征值和特征函数的结果受这些已有理论的启发，本论文 着重围绕离散d i r a c 型方程 f a y ( 2 ) + p n 毋) = a 坍) i 艘1 + q n 轷) = a 鲆) ， 在不同边界条件下的特征值及特征函数进行研究 d i r a c 特征值问题起源于量子力学【1 】1 9 2 1 年w h u r w i t z 证明了一个一 阶微分方程系的特征函数系的完备性1 9 7 5 年b m l e v i t a n 和i s s a r g s j a n 将 其应用于积分方程，并于1 9 9 6 年整理成书 2 】从而使得对d i r a c 方程的研究 得到进一步的发展h t a m u r a 3 对原点附近离散特征值的渐近分布进行了 研究1 9 9 4 年m s b i r m a n 和a l a p t e v 【4 】对带有扰动的d i r a c 算子的离散谱 进行研究，并得到了特征值个数的渐近结果，进一步促进了d i r a c 算子特征值 性质的发展另外s z l e v e n d o r s k i i 5 在讨论具有递减势的d i r a c 算子的时 候，得到了离散谱的渐近性。在2 0 0 3 年g a k e m a n n 和p h d a m g a a r d 【6 】合作 第一章前言 对d i r a c 算子的特征值分布进行了详细描述，并绘制出了分布图像，使人们在 直观上更容易了解其特征值之间的关系类似于对s t u r m - l i o u v i l l e 方程特征 值下界的研究，o h i j a z i 7 1 同样得到了d i r a c 算子特征值的下界估计除此之 外，国内外还有很多学者对d i r a c 方程的特征值及特征函数都进行了不同角 度的研究 通过对连续d i r a c 方程以及连续s t u r m - l i o u v i u e 方程的研究我们不难 发现这两种不同类型的方程有着许多类似的性质，例如在一般的边界条件 下特征值，特征函数的渐近性【2 】，在周期和反周期条件下特征值的重数及 大小关系f 8 1 等，但是在离散系统中这两种不同类型的方程是否还有着相 类似的结果呢? 这就是本论文所要研究的问题一些学者，如s c l a r k 与f g e s z t e s y 【9 1 、y a k r i k s i n1 1 0 等对h a m i l t i o n 差分方程，f v a t k i n s o n 1 1 】、y w a n g 与y s h i 1 2 、y s h i 与s c h e n 1 3 、a j i r a r i 1 4 】、j c h e n 与y s h i 1 5 】等 对s t u r m - l i o u v i l l e 差分方程等二阶差分方程都有不同角度的研尧但是关于 离散d i r a c 方程还有许多值得深入讨论的地方，如离散d i r a c 方程在d i r i c h l e t 边界条件、周期和反周期边界条件下的特征值的个数、重数、大小关系以及 特征函数的性质等本论文将对其中的部分问题进行研究，并相应的得到一 些结果 另外离散d i r a c 方程边界条件自伴与否对研究特征值的性质有着重大影 响m a d i v a r 1 6 对非自伴差分程的谱性质进行了研究而a d e v i n a t z 1 7 、s l c l a r k 1 8 】对自伴情形有了详细的讨论离散d i r a c 方程在自伴边界条件下 的特征值均为实数，因此本论文主要研究了在自伴边界条件下特征值的性 质相对的非自伴情形的研究是复杂且困难的，但这也是有待进一步研究的 问题下面给出本论文所需要的基本定义与相关引理 2 第二章离散d i r a c 方程的基础知识 第二章离散d i r a c 方程的基础知识 2 1 基本定义 本节主要介绍本论文中涉及到的一些与差分方程有关的基本定义，给出 研究主要定理所需要的预备知识 定义2 1 设函数y t = f ( t ) 在t = ，一2 ，一1 ，0 ，1 2 ，处有定义，对应的函 数值为实数，y - 2 ，y - 1 j y o y l ，y 2 ，则函数y = f ( t ) 在t 的一阶差分定义为 d y , = y t + l y t = f ( t + 1 ) 一，( t ) 依此定义类推，有 d y t + l = y t + 2 一y t + l = ，( t + 2 ) 一f ( t + 1 ) ， 一阶差分的主要性质： ( 1 ) 若y 产c ( c 为常数) ，则d y t = 0 ( 2 ) 对于任意常数k , d ( k y ) = k d y t ( 3 ) d ( y t + 忽) = d y t + d z t 定义2 2 函数y t - f ( t ) 在t 的二阶差分定义为一阶差分的差分，即 d 2 y = d ( d y ) = d y + 1 一d y 依此类推，有 d 2 y t + l = d y t + 2 一d y t + l = y t + 3 2 轨+ 2 + y t + 1 ， 类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分 d 3 y 2d 2 y t + l d 2 y 2y + 3 3 y + 2 + 3 y + 1 一玑 3 第二章离散d i r a c 方程的基础知识 一般的，k 阶差分( 南为正整数) 定义为 a y = a ( a 一1 y t ) = a 七y + 1 一a 一1 y t = 善k ( - 1 ) c ：y t + k “( 忍1 ，2 3 ，腆中碟= 志 = ( 一1 ) “( 忍= 1 ，2 3 ，) ，其中碟= 志 t = o 、7 定义2 3含有未知函数y t = f ( t ) 以及y t 的差分d y d 2 y ，的函数方 程，称为常差分方程( 简称差分方程) ；出现在差分方程中的差分的最高阶数， 称为差分方程的阶 扎阶差分方程的一般形式为f ( t ，y t d y 1 一，d ”y t ) = 0 ，其中f 是t ，y t ，d y ， d n 玑的已知函数，且d “y t 一定要在方程中出现含有两个或两个以 上函数值y t y t + 1 ，的函数方程，称为( 常) 差分方程，出现在差分方程中 未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶n 阶差分方程的一般形式为 f ( t ，y t ，y t + l ，y t 蜘) = 0 ，其中f 为t ，肌，y t + 1 ，y t 枷的已知函数，且y 和y 棚 一定要在差分方程中出现 定义2 4 如果将已知函数y t = j ( t ) 代入方程f ( t ，y t ，y t + ，轨+ 。) = 0 ，使 其对t = ，一2 一1 ，0 1 ，2 ，成为恒等式，则称y t = j ( t ) 为方程的解含有几个 任意( 独立) 常数a ，q ，g 的解y t = j ( t ，c 1 ，q ，瓯) 称为n 阶差分方程 的通解在通解中给任意常数a j q ，g 以确定的值所得的解称为n 阶 差分方程的特解 定义2 5形如 纨+ 九+ a l ( t ) y t + 。一1 + 0 2 ( t ) 玑+ 。一2 + + a n - - 1 ( t ) 玑+ 1 + a n ( t ) 玑= f ( t ) 的差分方程，称为n 阶非齐次线性差分方程其中a l ( t ) ，a 2 ( t ) ，a n - l ( ) ，a n ( ) 和f ( t ) 都是t 的已知函数，且a n ( t ) o ，f ( t ) 0 而形如 y t + n + a l ( t ) y t + n - - 1 + a 2 ( t ) y t + n 一2 + + a n - - ( t ) y t + l + a n ( t ) 玑= 0 的差分方程，称为扎阶齐次线性差分方程其中a i ( t ) ( i = 1 2 ，n ) 为t 的已知 函数，且a n ( t ) 0 如果吼( t ) = a i ( i = 1 ，2 ，n ) 均为常数( a n o ) ，则有 挑+ n + a x y t + n 一1 + a 2 y t + n 一2 + + n n l y t + x + a n y t2 ，( t ) ， 4 第二章离散d i r a c 方程的基础知识 y t + n + a l y t + n 一1 + a 2 y t + n 一2 + + a n 一1 y t + l + a n y t = 0 分别称为礼阶常系数非齐次线性差分方程和n 阶常系数齐次线性差分方程 定义2 6将方程y t + l + a y = 0 改写为：玑+ 1 = 一a y t ，t = 0 ，1 27 假定 在初始时刻( 即t = 0 ) 时，函数y t 取任意值a ，那么由上式逐次迭代，算得 y l = 一a y o = 一a a ，y 2 = 一a y l = ( 一a ) 2 a ，方程的通解为 y t = a ( 一a ) t ，t = 0 ，1 ，2 ， 如果给定初始条件t = 0 时y ：y o ，则a = y o ，此时特解为 y t = y o ( 一a ) t ，t = 0 ，1 ，2 ， 通过如上的一些基本知识介绍，本论文以已经清楚的阐述了扎阶齐次差 分方程的定义和一些基本性质在以上内容的基础上，本论文将重点研究一 阶齐次差分方程组，即离散d i r a c 型方程在不同边界条件下特征值的性质 方程 f 一船) + p n 皤) = 入毋) t ：可罂。+ 轷艘 2 j 为离散d i r a c 型方程其中( 行= 0 1 ，) 为实数点列，系数，q n ( 扎= 0 1 ，) 为实数点列，a 是参数本论文主要研究此离散d i r a c 型方程在 d i r i c h l e t 边界条件，周期和反周期边界条件下特征值及特征函数的性质 定义2 7 若对于特定的入、p n 、q n ，向量弧( 入) = 【嘏( 入) 捋( 入) 】t ( n = 0 1 ，) 满足式( 2 1 ) ，则称( 入) ( 佗= 0 ，1 ，) 是离散d i r a c 方程的一个 解特别地，若( 入) = 【毋( 入) 管乎( 入) 】t = o ( 礼= 0 ，1 ，) ，则称( 入) ( n = 0 1 ，) 为平凡解，否则称为非平凡解 为了研究问题的方便，本论文将离散d i r a c 方程的一个解( 入) ( 扎= 0 1 ，) 记作y 定义2 8对于某一特定的a o ，若离散d i r a c 方程( 2 1 ) 在某边界条件下存 在非平凡解鲰( 入o ) = 毋( 入o ) 格( 入o ) 】t ( n = 0 1 ，) ，则知称为离散d i r a c 方 程方程的特征值，相应的这个解抓( a o ) ( n = 0 1 ，) 称为其向量值特征函 数 注：在本论文中出现的必( a ) 均是指鼽( a ) 关于a 求导，也就是鲰( a ) 的每 一个分量赭( a ) 、拶( a ) 关于a 求导 5 第二章离散d i r a c 方程的基础知识 2 2 离散d i r a c 方程的相关引理 有了如上的预备知识，下面就可以进一步讨论离散d i r a c 方程特征值、 特征函数的一些性质但是在进行深入研究之前，本论文先给出一些关于离 散d i r a c 方程w r o n s k i a n 行列式的性质以及相关引理这部分内容对主要定理 的证明起着铺垫作用 若) 、p 是( 2 1 ) 不同的特征值，且协= m 1 逆2 to = 一1 ，o ，1 ，n + 毒2 j u = 一1 ，o ，1 ，n + 1 ) 分别是入、p 所对应的特征函数，则 ( a 一) ( 西”z ；u + 西2 弓2 ) f 赭)搿fj 剪身 z 翌 i 妲。z 罢。ii 轷z 5 2 证明：由玢： y 0 ( 1 剜t ( 竹= - 1 叭，n + 1 ) 、勺= 纠t ( 扎= 一1 ，0 1 ，扎+ 1 ) 分别是a 、p 所对应的特征函数根据( 2 1 ) ，得到 f 一弓罕。+ 2 + p j 弓”= p 2 ；1 ) ， l 弓一弓! 。+ 劬弓2 = p 扪 上面四个等式分别乘以弓、弓，一彰1 和一西，有 f 一蝌。2 ；”+ 彩2 弓”+ 功西”弓”= a 功d i 西”弓扪一彩2 ，弓2 + g j 彰2 弓2 = a 彰2 弓扪 ，功d 弓犁。一西”弓引一乃彩1 z ”= 一p 功”“ i 一西2 ：2 ：；u + 彰2 2 ；竺，一劬西2 弓2 ) - 一肛易2 1 四式相加，整理得到 ( 入一肛) ( 彰”巧d + 西2 弓2 ) = 一西犁，弓”+ 彰1 弓笔+ 西2 弓芏。一圮! 。弓 6 叭哩叫 弓 乃叭 勺疗 。! 豆 脚 一n 缪， “衅 炉k 坳钟 妒 吠 水，一 一谬ii-，、l 第二章离散d i r a c 方程的基础知识 所以 ( a 一肛) ( 彰”弓”+ 西2 2 j 2 ) 3 = 0 n = ( 入一p ) ( 一y j ( 2 + ) ，弓”+ 西”弓犁。+ z 2 弓2 。一西型，弓2 ) = ( 9 2 罂。一班。毋) 一( 剪翌z 孑一掣孑z 墨) j 赭毋fj 可翌。四i 2 9 黑。z 罂。轷z 引。 证毕 离散d i r a c 方程的解y 、z 的线性相关性可由其w r o n s k i a n 行列式性质得 到，若w y ，z 】( 扎) o ( n = - 1 ，0 ，n ) ，则可知y 、z 线性无关，否则线性相关所 以下面给出与离散d i r a c 方程解的w r o n s k i a n 行列式相关的引理 引理2 2 若y ，z 是( 2 1 ) 的任意解，在初值y 翌、轷、z 骘、2 孑给定的条件 下，离散d i r a c 方程的w r o n s k i a n 行列式 w 陌，z 】。，= l 落：耄墓。f = 西”弓犁。一彩犁。弓”歹 o ，：叫 是常数 证明：由引理2 1 ，令入= 肛可得： 可9 ) z 罂，一箩瓣。z 9 ) = 可翌z 乎一秒孑z 翌， 显然，当初值翌、轷、z 翌、z 0 2 给定时，w r o n s k i a n 行列式为常数证毕 引理2 3 设a 是( 2 1 ) 的实特征值，( 入) 是其特征函数，则 谚( a ) 全疗( a ) 协( a ) l 潞”( a ) 赭( a ) if 可鳅a ) 可! 凇) | 一l 竣笔( a ) 妲，( a ) fj 格2 ( a ) 轷( a ) l 证明：设p 是( 2 1 ) 的另一个实特征值，2 是其特征函数，由引理2 1 可知 ( 毋) ：罂1 一般1 帮) 一( 四z ( 2 一y 5 2 - ：翌) ， 7 i l 疗 。：豆 p 一 入 两边同除以a 一肛，得到 妻扣挈一学， 再由l h o p i t a l 法则，关于a 求导得 l i m “+ a = 器 ( 胡”z a 。2 + ) ，一瑙3 毋，) 一( s ，一r ( 1 。毋一格2 z 婴) 1 = ( y 理- 一裾毡鳄) 一( f t 一( 1 。轷一格2 ) y 1 2 ) ：f 秘1 ( a ) 赭( a ) f j ( a ) ! 沁) f l 繇碧( a ) v n ( 2 十) 。( a ) l 一| 掣9 2 ( a ) 轷( a ) i 证毕 引理2 4 若a 是( 2 1 ) 的复特征值，耖( a ) 为其特征函数，则 塞谚c a ，= c 2 胁矿1 jy 篓( 2 ) 急t a 窭黑，j j 拳窝黎寓| 证明：设p 是( 2 ，1 ) 的另一个特征值，根据引理2 1 ，令：天即得到 c 2 讧m 入，妻以入，= f 蕞总豢黑茹高裂寓 ， 两边同时除以2 i l m ) , 即可得到此定理证毕 特别地，若彰1 ( 歹= 一1 ，0 ，1 ，n + 1 ) 满足竺2 ：0 ，有 y 骂( 入) = 可螂( 天) ：0 ， 则定理变为； 薹拈似m 矿1 憾y n + l 驾勰f j = ol l “， + l l j 引理2 5 ( 1 3 引理2 1 ) 若r 、s 是2 d 2 d ( d 为正整数) 的矩阵，且 r a n k ( r s ) = 2 d ，则边界条件 r旧j叫翰co蝓axoxn = 0 吲l 叽强 【j 【c ：z j 。1 一 是自伴的当且i f , 当 8 勺疗 。：豆 = 谚 n 触 第二章离散d i r a c 方程的基础知识 根据已有的理论知识可知当离散d i r a c 方程的边界条件是自伴的情况 下，则其特征值为实的，否则其特征值是复的所以在论文的后半部分将会用 到此引理来验证边界条件是否自伴 9 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 前两章介绍了离散d i r a c 方程的一些基本理论知识，包括差分方程的定 义、离散d i r a c 方程的定义、以及一些重要引理，其中w r o n s k i a n 行列式的理 论知识对研究离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质起到了至关重 要的作用在下面的内容中，本论文主要研究离散d i r a c 方程在不同边界条件 下与特征值相关的一些基本定理和性质，并得到了在周期和反周期条件下a 是否为特征值的判定方法另外不同的边界条件下，离散d i r a c 方程的特征值 之间存在着一定的关系，这也是本论文讨论的重点 下面本论文分别针对d i l i c h l e t 边界条件、周期和反周期边界条件，来讨 论离散d i r a c 方程特征值的一些基本性质 3 1 离散d i r a c 方程在d i r i c h l e t 边界条件下的基本性质 离散d i r a c 方程的d i l i c h l e t 边界条件是指 ! ，翌= 0 ，l l = 0 ( 3 1 ) 为了讨论方程在此边界条件下的一些性质，首先介绍下面的定理 定理3 1 设= 毋) 格】t ( n = 一1 ，0 1 ，一，) 是( 2 1 ) 的非平凡解且 满足边界条件y 生= 0 ，则对于实数h ，考虑多项式 可g ( a ) + 罂1 ( a ) ，( 3 2 ) 有 ( i ) h 0 时，( 3 2 ) 有2 ( 扎+ 1 ) 个实的单重零点 ( i i ) h = 0 时，( 3 2 ) 有2 n + 1 个实的单重零点 证明：根据( 2 1 ) 艘1 = 轷) + 一入) 鳄) = 可乎) + ( p 。一x ) i ( x q n ) 乎) + y 坦l 】 = 1 + 一入) ( a 一口。) 培) + 一a ) 以2 1 1 n 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 = 【1 + ( p 。一a ) ( a g n ) 】鲆) + ( 鳓一a ) ( a q n - 1 ) 彰2 1 + 彰2 2 = 1 + ( p 。一a ) ( a 一) j 辫) + ( p n a ) ( a g n 一1 ) 弘罂1 + ( p n a ) 彭2 2 n l = 【1 + ( 一a ) ( a g n ) 轷+ 。一入) ( a 一吼) 玉2 + ( 舰一a ) 翌 i = o n = 轷+ 一入) ( a 一吼) 彰2 + ( m 一入) y 跺 i - - - - 0 由已知条件y 婴= 0 ，可得 所以 可罂1 = 可乎) + 一入) ( 入一q | ) 黪 i = 0 可p = 轷+ ( p o 一入) ( a q o ) 轷 = 一a 2 轷+ + 9 0 ) 入轷一如口0 轷+ 轷 = 【_ 入2 + ( 如+ 9 0 ) a p o q o + 1 1 疥0 2 ( 3 3 ) 毋= i 2 + ( p 1 一a ) 【( a q o ) 轷+ ( a 9 1 ) y i 2 ) 】 = ( p l a ) ( a 9 1 ) 秒 2 ) + 3 ， 2 ) + ( p 1 一a ) ( a q o ) 轷 = ( 一妒) 2 轷+ ( p 1 + q 1 ) a p l q l + 1 】i 2 + ( p 1 一a ) ( a q o ) 轷 依次可以得到y n ( 2 + ) l 是关于a 的2 ( n + 1 ) 次多项式再根据( 2 1 ) 可得剪9 是关 于a 的2 n + 1 次多项式 当h 0 时，( 3 2 ) 作为a 的2 ( n + 1 ) 次多项式，必存在2 ( n + 1 ) 个零点 当h = 0 时，( 3 2 ) 作为a 的2 n + 1 次多项式，必存在2 n + 1 个零点 下面证明所有的零点均为实零点 假设入是( 3 2 ) 的复零点，则 取复共轭有 格( a ) + 可罂l ( a ) = 0 ， 鳄( 天) + 可罂l ( 天) = 0 1 1 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 根据引理2 4 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) 有 壹咖卜(2ilm)、)-1。2)窝xj=og n + l 勰g n1 、，、， + 、，i = ( 2 i i m a ) 一1 ( 鳄( a ) 妲l ( 天) 一脚h jn + 1 ( 入) ) 另一方面，显然y 2 ( 入) 是非负的，因为y 。= 【毋彭乎】t 仰= 一1 ，0 1 ，j 一，) j = o 是( 2 1 ) 的非平凡解，故必有 = 弦) 2 + ( 2 o ， j = o 得到矛盾故入是买的 最后证明a 是单的 假设a 是( 3 2 ) 的多重零点，则当h 0 时， ，坍( 入) + 妲1 ( a ) = 0 ， 【嘏1 ( a ) + 锻3 ( a ) = 0 即 f 鳄( 入) = 一 妲l ( a ) ， 【危以毡( a ) = 一锻1 ( a ) 两边分别对应相乘有 毋( a ) 黠( 入) = h 剪9 1 ( 入) 妲1 ( 入) ， 口u 毋( 入) y 鼎( 入) 一“1 ( a ) 艘1 ( a ) = 0 由a 是实的，再由引理2 3 可得到矛盾( 由引理2 3 ，y 2 = 甜( a ) 锻毡( a ) 一 懿1 ( a ) 可慰1 ( a ) = o ) 当h ：0 时，据( 入) = 嘏1 ( 入) ：0 ，同样可由引理2 3 得到矛盾证毕 定理3 2 设y n = 毋y ( 2 ) l t ( r t = 一1 ，0 ，1 一，) 是( 2 1 ) 的非平凡解且 满足边界条件婴= 0 ，则赭( a ) 和锻，( a ) 无相同的零点入，且任意一个关于 a 的多项式相邻的两个零点之间必存在另一个多项式的零点 1 2 似 谚 。舢 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 证明：设a 1 、a 2 是赭( a ) 的任意两个相邻零点由定理3 1 可知毋( a ) 的 零点是单重的，故“1 ( a 1 ) 、貂1 ( a 2 ) 异号根据引理2 3 ， 舔1 ( 入1 ) 妲1 ( a 1 ) 一毋( a 1 ) 夕鼎( a 1 ) 0 又知毋( a 1 ) = 0 ，可得 鲋1 ( a 1 ) 艘1 ( 入1 ) 0 同理司以得到 格1 ( a 2 ) 艘1 ( 入2 ) 0 所以艘1 ( a 1 ) 与艘1 ( a 2 ) 异号故必存在a 3 ( a 1 入2 ) ，使得嘏1 ( a 3 ) = 0 另一方面，设a 1 、a 2 是妲1 ( a ) 的任意两个相邻零点则 可n - t - 1 ( a 1 ) = 0 ，艘1 ( a 2 ) = 0 且由定理3 1 知秘碧( a 1 ) 、y ：碧( a 2 ) 异号，同样根据引理3 1 可以得到 毋( a 1 ) 可貂( a 1 ) 0 ，毋( 入2 ) 爨笔( a 2 ) 0 故毋( a 1 ) 、爹g ( a 2 ) 符号相反则必存在a 3 ( 入1 a 2 ) ，使得毋( 入3 ) = 0 证毕 定理3 3离散d i r a c 方程( 2 1 ) 在d i r i c h l e t 条件( 3 1 ) 下的非平凡解= 【赭拶 t ( 门= 一1 0 ，1 ，一) 满足掣乎0 ，且不失一般性可令轷= 1 证明：假若y o ( 2 = 0 ，根据( 2 1 ) 慧豢吲】【钯1 + 轷) = a 轷) 。 当竹= 1 时由轷= 0 以及( 2 1 ) 第一式可得毋= 0 ，再代入( 2 1 ) 的第二 式，又可得到i 2 ) = 0 假如当九：j 一1 时，仍有可= 0 ，y ；2 ) = 0 成立下面考虑当饥= j 时的情 况根据( 2 1 ) 第一式可得y 5 1 = 0 ，再代入( 2 1 ) 的第二式，又可得到可异l = 0 所以当竹= n 一1 时，便可以得到妙1 1 = 0 、瑶= 0 又由剪翌= 轷+ p l a ) 可四= 0 ，可得 y = 簖) 谮】- 0 ( n = 一1 ，0 ，1 ，) 显然这是一个平凡解，故轷0 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 由定理3 1 的证明过程可知 可辨1 = 鲆) + ( 一a ) ( a g t ) 彰2 i = 0 易知织。关于拶是线性的假若当! ，乎= 1 时，其非平凡解为= 【毋拶】 当轷= c 时，其非平凡解为鲒= 菇1 编2 】根据( 2 1 ) 的二式可知等= 可孑= c = c 矽翌假设y n 。2 = c 可乎成立则 秽帮= 鲒( 2 ) + 一a ) ( a 一日i ) 谚2 i = 0 = c y ( 2 + ( 骱一久) ( a 一吼) c 羹2 i = 0 = c 剪罂1 故有2 = c 据，( = 一1 0 ，1 ，) 再由( 2 1 ) 中的一式可知毋= 钯1 + ( a 一) y 乎) ，同样根据归纳假设可以得到疵1 ) ：毋，( 扎：一1 j 0 ，1 ，、r ) 综上 就有鲩= c y n 在此后的证明过程中为了简化计算，不失一般性可假设! ，乎) = 1 证毕。 定理3 4离散d i r a c 方程( 2 1 ) 在d i r i c h l e t 条件下存在2 n 一1 个特征值 证明：考虑点列y o ，y 1 ，y n 当n = 1 时( 2 1 ) 为 当九= 2 时( 2 1 ) 为 依此类推 当n = n 一1 时( 2 1 ) 为 f 一i 2 + 轷+ ( p o a ) 观1 ) = 0 l 晶一可翌+ ( q o 一入) 轷= 0 f 一轷+ 可i 2 + p 1 一a ) 可i ”= 0 ， iy 一沿+ ( 口1 一a ) i 2 ) = 0 0 r 划 肛，q删媚 一 入 ， 一 一 1 一 一“ ，一 2毋肛 飞 但 y ，一一娲，-，、一 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 现将踮，y 一( 2 ，i l ) 可纪，! ，1 2 ，鼹1 2 ，耖。，! ，譬作为未知变量则有 a y = 0 ( 3 6 ) 其中y = 晶，轷箩”剪 2 ) ，! 。，船! ：，! ，舔) t ， a = 伽一a 口。一a p n 一2 一a q n 一2 一a 1 1 q n l a 0 从而有川是关于a 的2 n 一1 次方程离散d i r a c 方程( 2 1 ) 在d i r i c h l e t 条件下 有解等价于( 3 6 ) 有非零解，也就是等价于| aj = 0 ，故离散d i r a c 方程( 2 1 ) 在 d i r i c h l e t 条件下存在2 n 一1 个特征值证毕 3 2 离散d i r a c 方程在周期和反周期边界条件下特征值的重数 在上面一部分的讨论中，已经研究了离散d i r a c 方程在d i r i c h l e t 条件下的 一些基本性质，包括关于入的多项式的零点个数、特征值个数等问题这些 理论对于研究离散d i r a c 方程的其它一些性质也起着重要的作用在本部分 中，论文重点讨论离散d i r a c 方程在周期和反周期边界条件下特征值的性质 而这一部分理论与前一部分内容有着紧密联系 对于离散d i r a c 方程( 2 1 ) ，其周期边界条件是指 可譬= 妙l 。，轷= 舅 反周期边界条件是指 可婴= 一嘏，轷= 一端 1 5 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 离散d i r a c 方程的自伴性直接影响到特征值的性质，对于自伴的离散 d i r a c 方程，其特征值均是实的，而对于非自伴的离散d i r a c 方程，其特征值为 复的显然，验证离散d i r a c 方程的自伴性对研究特征值的性质有重要意义 定理3 5 离散d i r a c 方程( 2 1 ) 的边界条件( 3 7 ) 、( 3 8 ) 是自伴的 证明：由自伴的定义有 冗恿卜 篆， = 0 即 根据周期边界条件可知， 而 所以有 r = 一可! ? 一翌 嘏! 。 蟛三。 其中 10 00 00 01 r s + = s r = + s 10 00 0o o1 10 00 00 0 1 00 00 o0 0 1 故周期边界条件是自伴的且 10 00 0 0 01 00 o 0 o 0 01 晶1 1 一骘 轷一翌 端一! 。 譬一y 等1 1 s = = 0 0000 000 0 o000 01o1 00o0 0 o 01 0000 000l l0 00 10 00 r s = s r r a n k ( r ，s ) = 2 同理可验证反周期边界条件也是自伴的 0 0 o1 00 01 = 0 = 0 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 定理3 6若( 扎= 一1 ，0 ，1 ， 解，且满足边界条件妒孑= 妒毋= 0 ， 则有： ，) ，( 礼= 一1 ，0 1 ，) 是( 2 1 ) 的两个 妒曼= 妒5 2 = 1 令，( 入) ：= 妒l 1 ( a ) + 妒譬( a ) ， ( i ) 入是( 2 1 ) 、( 3 7 ) 的特征值当且仅当f ( a ) = 2 ( i i ) a 是( 2 1 ) 、( 3 8 ) 的特征值当且仅当，( a ) = 一2 证明：( i ) 由( n = 一1 ，0 ，1 ，) ，( 竹= 一1 0 ，1 ，) 是( 2 1 ) 满足边界 条件妒孑= 妒翌= 0 的解根据引理2 2 得 【妒叫( n 一1 ) = 博铹旧，牡螋。 妒竺2 话一妒3 2 妒婴= 1 由盼t f l ( n ) = 1 o ( n = 0 ，1 ，n 一1 ) ，知：线性无关所以入是( 2 1 ) 、( 3 7 ) 的特征值当且仅当存在不全为零的常数c 1 、q ，使得a + q 满足( 3 7 ) ， 由此可知 + q 一= 磁糍矧= 潞鬻剁 一f a + 0 1 一【a 够1 1 + q 妒盟，j c 垆+ q 妒= 三：薹嚣：芝臻； a + q 砂 0 + 岛 fa 妒舄l 。+ q 妒1 1 = c l ， ic t 妒毙+ q 甥= q 整理得 fc i ( 姑l l 一1 ) + u c 2 v a t ) 一l = 0 ， 【q 妒舅+ q ( 砂譬一1 ) = 0 若c 1 、q 不全为零，则显然有 懒厂1 涔讣。 0但o v v q q + + 0但0 妒妒 a 口 r。l = ， 第三章离散d i r a c 方程在不同边界条件下特征值的性质 即 ( ，妒品l l 1 ) ( 砂舅一1 ) 一妒毙1 三- 。= 又因为 所以 妒嚣l 1 t f 7 譬一妒品l 1 一咖等+ 1 一妒好砂! 。 妒品l l + 砂黑一1 + 妒毙妒三1 一妒l 1 “n 2 =0 呤，叫( 一1 ) = 妒l l 砂一妒舅妒儿= 1 ， 妒1 1 + 妒舅一2 = 0 即，( a ) ：= 妒l l + 妒等= 2 也就是入是( 2 1 ) 、( 3 7 ) 的特征值当且仅当上式成 立证毕 ( i i ) 类似以上的讨论可以得到入是( 2 1 ) 、( 3 8 ) 的特征值当且仅当a 满足 ，( a ) = - 2 定理3 7 若。( f 1 = 一1 ，0 1 ，) ( n = 一1 o ，1