（基础数学专业论文）任意阶laplace算子的特征值估计.pdf

摘要 设q 是n 维欧氏空间舻的一个有界区域，且 0 互 ( 入m 一九) 嘉( 九) i t + 2 t f - t 入) a ? i = lk 一，j 该不等式不依赖于区域q 我们的结果改进了陈祖墀和钱春林在文献【1 4 】中的结论 关键词z 不等式估计；d i r i c h l e t 问题；试验函数；l a p l a c e 算子；特征值估计 a b s t r a c t l e tqb eac o n n e c t e db o u n d e dd o m a i ni na nn d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c er 住a n d 0 a 1 a 2s s 入k 仁雾：丽a 1 - - 1 u ：。，纛lu = 嘉= 嘉一= 萨= o 伽舰 p ( a ) = a o ( 一) 。+ + 啦( 一) o 一+ + 0 4 1 ( 一) ， a n da 0 = 1 ，0 4 0 ， i = 1 ，l 一1i saa r b i t r a r yf i x e dp o s i t i v ei n t e g e r i nt h i sp a p e rw eg i v es o m ee x p r e s s i o n sf o ru p p e rb o u n do ft h e ( k + 1 ) 一t he i g e n v a l u ea 知+ l i nt e r m so ft h ef i r s tke i g e n v a l u e s ： 虮一郴4 厶k t 一训州) 0 l 订t - 1 ) 专侉k + l - - 1 t - 1 删1i=l i = 1 t = lr ( a 七+ l 一) l 竹2 厶( 入州一九) j t + 2 t 一2 ) 。l - t 矿 妻( 入凡) a ? l ” jl 吾j w h i c hi si n d e p e n d e n to nd o m a i nq k e yw o r d s ：e s t i m a t e so fi n e q u a l i t i e s ；d i r i c h l e tp r o b l o m s ；t r i a lf u n c t i o n s ；l a p l a c eo p e r a t o r s ； e s t i m a t e so fe i g e n v a l u e s 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反 学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果，特此郑重声明 学位论文作者：铋旧号年吏旺p 口 ，2 砌孑年占月z 日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学根据郑 州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部 或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编 本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果 时，第一署名单位仍然为郑州大学保密论文在解密后应遵守此规定 学位论文作者：吏旺p t i 们多年6 月乙日 第一章预备知识 设m 是n 维紧致r i e m a n n 流形，边界为o m 则在局部坐标系( x l ，x , 2 ，z n ) 下其 度量可以表示为g = 鳓如 奶，其中g i i = 9 ( 蠢，老) l a p l a c e 算子a 可表示为 = 嘉丢c 墒玎南) 这里g = d e t ( 助) ，( ) = ( 奶) - 1 为( 纫) 的逆矩阵显然是作用在光滑函数上的二阶 线性微分算子 我们将在以下的章节中研究l a p l a c e 算子的谱分布问题首先引入以下若干事实，设 妒c o o ( m ) ，令 1 j i = 厶泸+ 厶阮1 2 关于度量i i l l l 的完备化h i l b e r t 空间记作日 ( m ) ，则它是s o b o l e v 空问同理，若妒 c 铲( m ) ，记其完备化h i l b e r t 空间为b 2 1 ( m ) 由s o b o l e v 空间理论可知：若m 是完备的 的r i e m a n n 流形时，则h 2 1 ( m ) = 研( m ) ，且 妒h 2 ( m ) 营妒具有一阶二2 广义导数 如果m 的边界是空的，即当o m = 时，利用g r e e n 公式 l m | 醵+ j f | ，v h ) = | 8 m l 慧 可知，是作用在研( m ) 上的二阶椭圆型自共轭算子根据自共轭算子的谱理论，它具 有离散的特征值 0 a ls 入2 ks 一， ( k _ o o ) ， 相应的特征值函数记为 仇) ，即 忱= 一入t 忱，红0 ，蛾c ( m ) 。 且 仍) 组成h i l b e r t 空间研( m ) 的一组正交基 为确保的自共轭性，当o m 时，需加一定的边界条件这些条件通常可分为如 下两类： ( a ) n e u m a n n 边界条件；此时d o r a = 研( m ) ，相应的特征值和特征函数为0 a l 入2 sk 一0 0 和 啦) 这里t c 。o ( m ) 则 f 啦= 一九啦， 啦m ， l 籍；o ， 地在a m 上 其中育表示o m 的单位外法向量，u 组成研( m ) 的一组正交基 ( b ) d i r i c h l e t 边界条件；此时d o m a = b ( m ) ，相应的特征值和特征函数为0 a 1 沁k _ o o ，和 乱 ) 这里地卵( m ) 则 心：嚣上 其中u i 组成b 2 ( m ) 的一组正交基在l a p l a c e 算子特征值问题的探讨中，下面的极大极 小值原理有着基本的作用 为了叙述简便，我们记空间h 为 ( 1 ) o m = 咖， 日= ，研( m ) f 厶，= o ， ( 2 ) o m 咖，d i r i c h l e t 边界条件 日= j 5 f ( m ) ， ( 2 ) o m ，n e u m a n n 边界条件 日= ，h ( m ) f mf = o 这样就可以找到一组可数正交基五， c 。( m ) ， = 一a i ，0 0 ，则a 1 袅，其中g 可取2 n ( n + 4 ) ，这里d 表示m 的直径； ( 2 ) 如果r i c c i ( m ) n 一1 ，则a l 簪； ( 3 ) 如果r i c c i ( m ) 一1 ) ( 一七) ，k 0 ，则a l 0 则第一特征值满足 a 1 n k 3 o b a t a 证明，上式等号成立当且仅当m 等距于常曲率为k 的球面铲 f a b e r - k r a h n 利用c o - a r e a 公式和等周不等式证明了著名的r a y l e i g h 猜想，即 定理1 4 设q 是n 维欧氏空间舻的一个有界区域。b ( r ) 是r n 中以原点为中心、 r 为半径的球体，w ( n ) = v o l ( b ( r ) ) ，则对d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值而言， a l ( q ) 入1 ( b ( r ) ) 1 9 7 0 年，c h e e g e r 利用等周常数给出a 1 的下界估计，而丘成桐【2 】则利用直径和体 积以及r i c c i 曲率下界来估计a 1 的下界，还发展了对第一特征值函数进行梯度估计从而求 得下界的有效方法，并于1 9 8 0 年获得如下结果 ( 1 ) 设m 是紧致r i e m a n n 流形，o m = 妒，r i c c i ( m ) 0 ，则 入l 孬n ? r 2 ， 其中d 为m 的直径 ( 2 ) 设m 是紧致r i e m a n n 流形，o m = 咖，r i c c i ( m ) 之一一1 ) k ( k 0 ) 则 a l e x p - 1 + _ ( 1 万+ 2 c 2 一d 2 k ) ； ， 其中d 为m 的直径，c 为仅依赖于n 的常数 ( 3 ) o m = ，r i c c i ( m ) 0 ，o m 是凸的，则对n e u m a n n 边界条件而言，其第一特 征值a 1 满足 入l 孬n z r 2 ， 其中d 为m 的直径 1 9 8 4 年，钟家庆和杨洪苍【3 】改进了这一结果，并证明了如下定理 定理1 5 设m 是紧致无边的r i e m a n n 流形，r i c c i ( m ) 0 ，则 艟簪 针对曲面的情形，我们已经明白，特征值问题的总目标是通过尽可能明确的几何量， 例如流形的体积v o l ( m ) ，直径d i a m ( m ) ，以及有关的曲率量来给出特征值的上下界的估 计这方面同样有许多重要结论，其中h e r s c h 于1 9 7 4 年证明了下面的重要定理 定理1 6 对s 2 的任何度量，其第一特征值有如f 估计 耶笺挈， 其中a ( s 2 ) 表示s 2 在给定度量下的面积 1 9 8 0 年，丘成桐和p a u l c y a n g 4 根据上述结果，利用共形体积的概念，得出下面的 结论 定理1 7 设g 代表亏格为g 的紧致m e m a n n 曲面，则对9 的任何度量而言，都有 耶哿 i7 j 1 9 8 4 年，c h o i w a n 。d s 获得了下述结果 定理1 8 设m 是s 3 中紧致极小的嵌入曲面，则 a 1 ( m ) 1 l a p l a c e 算子高阶特征值问题的研究同样值得关注，对此不妨从舻中有界域的d i r i c h l e t 问题开始 设q 是舻中的有界域，考虑d i r i c h l e t 边界条件的特征值问题 忙三纛上 h w e y l 于1 9 1 2 年首先证明了渐进公式 k g ( 軎) 吾( k - - - , c o ) ， 其中g = 蒜，一= a r ( s ) 铲1 p o l y a 于1 9 6 0 年提出了著名的猜想，即对于任意的后 k g ( 軎) 鲁，y = y d f ( q ) 并证明了，当n = 2 时，该猜想对于一些特殊平面区域成立e l i e b 于1 9 8 0 年得出的结论 证明了s k 诺( 軎) 鲁，y = v o z ( n ) 其中碟为比g 小的常数在文献【6 】中，丘成桐 和l i 证明了，对任意的七，有 妻凡鬻c 够 由于0 入l a 2 k ，所以 艟墨( 争n+zy 高阶特征值估计的一个重要结果是给出相邻两个特征值之间空隙的尽可能精确的估 计本章最后介绍丘成桐和b w o n g 所得到的关于相邻两个特征值之间空隙下界的估计 定理1 9 设q 是r n 中的一个有界光滑凸区域，a l 和沁为d i r i c h l e t 边值问题的第一 和第二特征值，则 骨2 a 20 1 意， 其中d 为q 的直径 我们将在第二章重点介绍和研究任意阶l a p l a c e 算子的高阶特征值的上界估计问题， 并得到了一些改进的结果 6 第二章主要定理及其推论的证明 1 引言 我们将在本章重点讨论相邻两个特征值之问空隙的上界估计，许多数学家在这方面做 出了卓越的贡献对于f i x e dm e m b e r a n c ep r o b l e m ，即1 阶l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 问题 罡：纛上 l ， 这里q 是扎维欧氏空间j p 的个有界区域则该特征值问题的谱是离散的，且 0 入1 a 2 a 七- - 4 ， 1 9 5 6 年，p a y n e ，p o l y a 和w e i n b e r g e r 7 首先证明了 址- s 刍静 即第詹+ 1 个特征值可以由前k 个特征值进行估计 h i l e 和p r o t t e r s 改进了这个结果，得出 壹x熹百kni=i熹了 。厍十-。- 杨洪苍【9 】于1 9 9 1 年得到该问题的最佳不等式 入知+ - c 罢+ ，丢妻凡+ c 熹砉九，2 一c 1 + 丢丢，妻c 一l 声i - - - - 1a ；， 二阶l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 问题 ，a 2 u = 地 u q ， 1 = 嘉- 0 u 在舰上 称做c l a m p e dp l a t ep r o b l e m ，这里育为舰的单位外法向量 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 机。也掣丢参 ( 1 6 ) h i l e 和y e h 1 0 推广了这个结果，他们得到 砉熹焉2c 酗专 ( 1 7 ) 鲁入m 一沁一8 ( 礼+ ) 、鲁“ 。 p “7 h o o k 1 1 】随后进一步改进了这一结果，得出 丽n 2 k 2 孰一静， ( 1 8 ) 2 0 0 5 年，成庆明和杨洪苍【1 2 】进一步得到结果 黔k 一 学瞧( a k + l - a i 湃 ( 1 9 ) 对于任意阶l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 问题 l ( 一) 2 u = a u ， u q ， tu ：嘉：丽0 2 u ：萨a - 1 u ：0 ，u 在触上 o j 【u2 丽2 丽一一2 石矛2 ，u 征州上 这里霄为a q 的单位外法向量，2 0 0 7 年，吴发恩和曹林芬【1 3 】得出了该问题用前k 个特 征值来估计第k + 1 个特征值的不等式 妻( 入七+ - 一入t ) 兰丛竺一= 告；l 望 5 妻 1 1|-1 k ；c a 知+ 一a t ) a ) j ( 1 1 ) 陈祖墀和钱春林【1 4 】进一步研究了下面关于多项式类型l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 问题 fp f 1 t ：a u札q, tu ：嘉：骞：o 宵 t x i - 0 u 在锄上 o j 2 【u2 丽2 丽毛一2 刮，u 征州上 这里- f f 为舰的单位外法向量，户( ) = 知( 一) + 0 1 ( 一z x ) h + 啦( 一) 一+ + m l ( 一) ， a o = 1 ，啦0 ，i = 1 ，z 一1 为正整数得出如下结论 砉熹丝4k f t = o 妣i = 1 州2 2 h a - t - 1 - l m 8 我们采研冤这一i 司题，并改进7 - 此结果在本苹的的第二节，我们通过选取恰当的实 验函数，得到相应的积分式与特征值之间的不等式关系，最终由定理2 1 得到如下估计 k ( a 一t 万4l k t ( a m 一训1n + 2 t 一2 h t 入丁t - 1 i = li - - - - 1t = 1) 5 圭i = l ( 入m 一 a ? ) 5 ( a 一凡) 1 万l ( a m 一) i + 2 t 一2 ) n l _ t 入丁 ( 入m 一九) a l jlj ( 1 1 4 ) 通过定理2 2 ，得到估计如下 蚤k c a 七+ 一a t ，2 4 k l：ca七+-)q)2tl+-2)at_tat-12ti=lt = l互 圭i = lc a 七+ - 一a t ，；a ? ) 喜 ( a m 一九) 2 ：( a m ( a 一九) a ” i = l lj ( 1 1 5 ) 由此得到个显式不等式 址s i 1p k + 丽2 备k 蚤lt ( n + 2 t - 2 ) a t _ t a ；+ ( 丢娄毫学a ；) 2 一丢妻( 一丢委a t ) ( 一丢委九一砉生丛兰j 二挚c 对一丢砉a ，) ) 壹c - 1 6 ， 在特定条件下，定理2 2 所得结论( 1 1 6 ) 比定理2 1 的结论( 1 1 4 ) 还要强 最后，我们证明了( 1 1 4 ) 式优于( 1 1 3 ) 式通过选取适当的系数，还证明了我们在定 理2 1 中得到的结论( 1 1 4 ) 蕴含了成庆明和杨洪苍 1 2 】及吴发恩和曹林芬【1 3 j 分别在问题 ( 1 5 ) 和( 1 1 0 ) 所得的结论因而我们的结果可以看做是他i f 结果的自然推广 9 2 主要定理及其证明 定理2 1 设凡是d i r i c h l e t 问题 ip ( ) t t = a u ， t 在q 上， ， tu ：嘉：孺0 2 u ：筹一o ，u 在独上， j 【u2 丽2 孺一一2 石矛2 u u 仕洲工 的第i 个特征值，这里霄为a q 的单位外法向量其中p ( a ) = a o ( 一) 。4 - a l ( 一) ( h ) + 啦( 一) ( h ) + + a l 一1 ( 一) ，a o = 1 ，a 4 之0 ，i = 1 ，l 一1 为正整数 则 蚤k ( 入m 一糊t 万4l k t ( a m 一糊叫1n + 2 t 一2 ) a h a 尹) 考 圭( h + t 一；1 i = lt = l i = la ) 互 ( 入m 一九) 石l ( a m 一凡) t + 2 t l - t a 芦 ( h + 1 一九) a 忙1 l ”jlj 证明：设z 。，q = 1 ，扎是n 维欧氏空间舻的坐标函数设u i ( i = 1 ，k ) 是 对应于特征值九的正规特征值函数即。 t t 满足 定义 其中 则有 0 a l a 2 a 七_ 0 0 ， p ( a ) u i = a u i ， u i 在q 上， 啦：等：名：! 石o - l 酉u i ：o ，地在勰中， ( 2 2 ) 啦2 丽2 万萨2 ! 万矛= t 。u ， 地仕伪2 甲，i 乙z 厶啦吻= 如， 七 = z 口啦一n 嚣嘶， j = l 、t ，5 唱= 上z 。啦哟，枷= 1 ，q = 1 ，n 上嘶= o ，谢= 1 七，q = 1 n 址- 皆 为了使证明过程更简洁，我们先给出三个命题 1 0 ( 2 3 ) 命题2 1 设t 1 为任意整数，记p t ( a ) = a o ( 一z x ) 。+ a l ( 一) 一1 + + 口t 一1 ( 一i x ) ，则有 t p ( ) ( u i z 口) = z a p t ( a ) u i 一2 8 a t 一。( 一) 8 1 地，口， ( 2 4 ) s = l 这里u i 。口= v u i ，v z 。) 证明：t = 1 时，由于 ( 一) ( t l z n ) = 陋。a u i + u i a x 口+ 2 ( v 讹，v z n ) 】 = z n ( 一) 啦一她 口， 这里用到在欧氏空间里a x a = 0 ，故结论成立 t = m 时，假定该结论仍成立 令t = m + 1 ，则 p m + 1 ( z x ) ( u i x 。) = ( 一) ( p m ( ) + 口。) ( u i z 。) = ( 一) p 。( + p ”( ) ) 地一2 8 a l l l - - $ ( - z x ) 8 1 蛳，。】 m s = l = 一2 s 0 ，l 一。( 一) 5 讹 口+ ( 一) p ”( ) ) 撕+ 一。( 一) 饥】 s = 1 - 2 v ( p m ( a ) + a m ) u i ，v z 。) = p m + 1 ( ) 地一2 0 + 1 ) 一。c - a ) 8 地，a 一2 a m u i ，口 命题2 1 得证 命题2 2 在已知条件下，下列等式恒成立 ( 1 ) fu j z 口( 一) 2 饥，n = 互啦，。( 一) 。( 嘶) ， ( 2 5 ) ( 2 ) 二啦( 一) 卜1 ，。= 丘嘶一一) 卜l 啦， ( 2 6 ) 这里，口= 如o u 。i = ( v 撕，v ) 证明：引入r e i l l y 定理，设m ，n 是维数分别为n 和n 1 的r i e m a n 流形f ：n - - - - - - 4m 为等距映射，：m - - - - - * rf f c j f f = 一光滑函数， z = ，i j 、r ：n - - - - - * r ， u = ( v f ，万) = 嘉， z 严f t n ， i n = u i + z j h j i 1 1 口 u 一 广 一 一+m 口s 鼎 2 一啦 + p = 运里z ，t 分别为z ，征n ，m 上日可协爻导奴，为f 的弟二基卒彤式 由该定理，不妨设e 1 ，e n 是m 上的正规标架场，且e l ，e n 一1 与n 相切，e n 为n 的 单位法向量场不妨设，是问题( 2 2 ) 的特征值函数，则 z = f l o 三o ，u = 嘉三o ， 故磊三。， 五i 铀三。且v ，i 舰= 。，这意味着瓦o f = 。利用边值条件 u = 嘉= 嘉一= 一o d - ：u o w z - 1 乩也在勰上 u2 丽2 稃毛2 2u 也仕伪。工 由归纳法可知，在o f f 上 若- o ，惦k 卜l 对于满足该条件的任意光滑函数f 和h ，即如果在a q 上 ，= 最= 。且 = 去= 。，= ，z 1 结合g r e e n 公式 五，h 一五九，= ，抛o f l ( f 口o 元h 一 筹) ， 则必有 上卅) t h = 五卅) t ， 分别取f = 嘶z 。，h = 啦肆和f = u i ，h = ，。命题2 2 得证 命题2 3 若记 v 七：v 色 七是偶数， 【v 孚， k 是奇数 我们有 五m 1 2 ( 上i v ) 譬a ? ， 上i v f 讹1 2 口。上i v l 地1 2 + n 上i v l - l 缸铲+ + 啦一f i v , 1 2 = k ( 2 7 ) 证明：首先证明不等式 ( 上i v k 啦j 2 ) ( 上i v 1 1 2 ) 南， 七= 1 ，2 ，z 一1 ( 2 8 ) 1 2 七= 1 ，则 y 札t 1 2 = 上一地t t t ( 正u ；) ( 上( 乱) = ( f ni v 2 u d 2 ) 结论显然成立，假定 ( ni v k - l u d 2 ) 由( f n i v i 1 2 ) 毒， 则 五i v 七讹1 2 = 上一v 扣l 啦v 1 啦( 上l v b l 讹1 2 ) ( 上i v l 啦1 2 ) - ( ni v i 1 2 ) 等( l i v k + a u i l 2 ) ； 故 ( 上i v 2 ) 毒s ( 上伊“砰) 南， 由此即知 ( 厶i v 七砰) 量( t a v k + l u i 2 ) 南。 0 为任意正数故 七 。 ( a l - - ) q ) ( 1 + 2 o 嚣嚼) i = 1 上( 一2 + p 上最+ 丢丘( 2 嚼) 1 = 1 七 一撕，。+ 嚼哳) 2 i = t = p 上最+ 丢上( 刊2 一石1 吾k ( 嚼) 2 p ( a k + l - a i ) f # 妒乙+ 垒学脂2 。一 将式( 2 1 1 ) 代入( 2 1 0 ) 并整理得 l七 t = 1 1 = 1 a k + l 一凡 入七+ - 一九p 妾玩t t 上i v 卜1 1 2 一印妄心一l h t 正地c 一，扣2 地，口口+ l七 一2 吩嘭( 入m 一九) 一舡 由命题( 2 1 ) 知 i = 1 九n 嚣= 上丸啦z 。 t = l i = 1吲a h ”a t 一号 上吻z n 尸( ) t 厶u i p ( ) ( 口l 一口嚣嘭， ( 2 1 0 ) 七 ( 嘭) 2 i = 1 a 七+ l 一入i二嵯n ( 2 1 1 ) 七 ( c 嚣) 2 ( 2 1 2 ) i = i 蛔一t ) ( 一) 哳 t = l o 嚣一2 细一t 蟛， t = l 1 4 ( 九一) 屹= 一2 n l - t 嘭 t = l 待定p 1 ，使p = ( a 七+ l 一九) p 1 ，并对( 2 1 2 ) 式两边对i 求和，利用( 2 1 3 ) 式知 则 t ( 入一九) p 1 ( 入m 一九) ； i = it = 1t = l细一。厂 - ，ni v 一1 札t 1 2 仰- 委( 址，。疹妻m - 1 ) 丘乱t c - i x ) 触铀+ + 2 p l ( a k + l 一九) t 一1 ) 田一厶乱t 卜2 ，。+ t = l= l 七七七七 坠1 ( a k + l a t ) 弘l 一2e o 嚣嚼( a m 一九) j r - t 1 ( a 知+ l 一九) ( 凡一) ( n 嚣) 2 命题2 4 取 i - - - - ij = l 七七 1 “i 七七 i = 1 j = 1 i = l j = 1 ( a 1 一九) ( 唱) 2 七七 上嵋n t = 一2 n 嚣c 嚣( a m 一九) + p 1 ( a 川一k ) i 1 ( 丸一) ( 口弓) 2 t 0 证明：由 奄南 = ( 丸 i - - i j = 1 七七 ：ff j 二一，：一 i - - - - ij = l 易知 故 c 丸 i - - - - ij = 1 n 嚣= 啄， i = i j = 1 kl p 1 - - 。e e ：。( 一舻( 喏) 2 喝+ 喙= o 知 ) 口i c i 一等k k 。i - - - 1 f = 1 1 2 p l 七七 i - - - - ij = l ( a m 一九) + ( 入m b ) 铂 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 刊稍一降丽与+ 盟掣掣c 叫) 丝2 瓦= l 妥素掣+ 坠生l 尘塑杀掣( 唱) 2 l ( 丸一) 。舀嚼i ， ( 入七+ l a i ) 壶+ ( a 七+ l b ) 壶 2 p l 、v7 一i 、 川。叼| j l 七七 t ff z jz i - - i j = 1 ( 九一) n 嚣喝一i ( 凡一) n 嚣锡1 ) 0 1 5 即命题2 4 得证 于是 。一ke，(ak+i-ai)p-圭(a缸十一一at)5薹；talt。livhuil2+至：叁掣 p l ( a m 一九) ；一2 + 生业掣 扛= 1i = l t = l r - + 2 p 1 苔t ( 一1 ) a l - t ( a 一九) 吾厶缸i ( 一) 扣2 缸咖口，(215)t l = l - - - - l 对( 2 1 5 ) 式关于q 求和得 n 甄一糊妯甄一糊圭t a l t = l t a 壹= l 驴 铲+ 崮鲁型五熹略 n ( a m 一九) p l ( a 州一九) 丢一t 厶i v 卜1 让i 1 2 + 鱼型等二坐厶i n = l = 1 。 厂- 。q = 1 + 2 p 1 ( k + l 一) 三 一1 ) n f c 厶啦( 一) 卜2 ( 蚴，) ， ( 2 1 6 ) i l lt = l。“tx=l 又由于 上小鲥_ 2 ( 耋扣上计) t - - l u i f oi v h u , | 2 n t - 1 五塾2 口= f l v 蚓2 a 氮 将( 2 1 7 ) 与( 2 1 8 ) 代入( 2 1 6 ) 式知 n 圭( a m 一p 。圭( a 知+ 。一卜圭细一。a - t - i + 2 圭珩一) 卿一。入芦1n ( a m 一九) p l ( a 知+ l 一九) 壶i n t n l t a + 2 t 一1 ) 口l t 入广l i = 1i = 1lt = lt = lj + 三：耋c a 七+ 一a t ，；a ， ( 2 1 ，) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 小西蠹鲨舞， ：l 叁l ( 入七+ l a i ) 主( n + 2 t 一2 ) t 口l t a i o 一 即得 n 砉c 入t + - - ，一2 2 茎：壹c a 知+ - 一a t ，互1 t = li = lc n + 2 t 一2 ，t 口z t a ，量) 主 i 圭= 1 c a 七+ - 一a t ，；入 ) 互 n ( 入) 一 ( a m 一) 互( n + 2 t 一2 ) t 口l - a ( a m 一九) 入 = lljlj ( 2 2 0 ) 定理2 1 证明完毕 定理2 2 对于问题( 2 1 ) 我们还可以得到如下的结论 娄( 入奄+ - 一入t ) 2 t 磊4 i2&。2t：(入七+-一九)2t(n+2t一2)伽一ta)壹 互 ( 入m 一九) 2 1 万l ( 入一九) 22 ) 伽一t a ， ( a 一) j 入? t = ll jlj 1 6 事实上，由于 二亿n p ( ) 仍。= 上妒t 。【p ( ) ( z 。u t ) 一 于是由( 2 3 ) 式知 又由于 故 ( a 七十1 f f l ，o i a z n p ( a ) u i 一2 上妒瑟 t = l l t = l + 2 七 a 弓p ( a ) u j j = l f 姻一t ( - z x ) t = l 细一t 正仇小) t 。1 t 。卜t 上z a 地( 一) 卜l 地，口 t = l j = l 一2f z j t = l ( 凡一) 口嚣= 一2 t 口一t 唠二嘶( 一) 卜1 p 姗一t 点( 一鲥。 蛔一t 上蚧( 一鲥1 蚴， 口嚣嘶】 ( a k + i - a i ) f 吒2 一 - 2 圭锄一t 上州删， 一2 静一t 陆小矿心一知“c 钟1 叫 一2 渊zt a l - t 小a ( 一) 扣1 ( ) + 薹( 卜冰扩 利用嚼= 如呦t 4 且伤+ 咏= 0 知 一2 五= 一2 上( 训t 一 口嚣坳) 地，n 一厶仳帆洲kn 嚣五撕 一2 正刚陬口 1 7 + 2 j = l 唱喝 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 知础 入一 q u l一 2 2 一 一 最 磕 厂如厂如 入 入 = i i 。 触 c a 七+ 一入t ，2 ( 一2 丘。u t u t ，。斗2 j 圭= xn 嚣喝) = 一2 c a 缸h a t ，2 丘忱。( 毗芦一j 圭= i 伤) p c a 七+ 一a t ) 3 ：妒基+ ：吉c a 七+ - 一a t ) ( ( 啦，n ) 2 一j 圭= lc 喏) 2 ) 纠址t “) 2 ( 一2 壶绯t 小小硝。1 ( 廿列t 一训吲2 ) + l ( x k + 1 - - a t ) 一j 洳= z2 ) 关于i 从1 到k 对上式求和，得到 一2 甄一钟小郴细一2 壹( a k + l - a t ) c 九州n 搦 一2 p 委砉妞一a k + l - - a i ，2 上啦一一) t - 1 c u 溉，+ 去圭c a m 一正c 乱砸，2 一l 。i f j = l ( a 一九) 一肛暑( a k + l - x i ) ( 一蝴口轳 1片露 这就得到 一2 妻( 入m 一。五z a 让姚q 一2 p 妻妻细“a k + 1 - a ；) 。上啦，n ( 一) t - ，( 牡；z 口) 由于 + 三i 参= 1 一九) 如 五( 一鲥。1 ( u = 上( 引一硝q 地- 2 ( t _ 1 ) ( - ) 扣2 ) = 一上啦( ( 一硝4 + “一) t - l 乱i , a ) + 2 ( t _ 1 ) 二讹( 一科。2 n 口 一u i ，口( 一硝。1 ( 一二讹( - ) 卜l 饥+ 2 ( t _ 1 ) 上t ( - ) 卜2 u 1 8 ( 2 2 5 ) 利用式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 可得到 一2 t a l t ( a k + l 一凡) 2 厶( 一z x ) 卜1 ( 舭) n = l t = l 。“ = 耋磐一a k + l - - a i ，2 ( 知- a ，t - l t q - - 2 ”l ，上毪c - a ，t - 2 锃i , a a ) z ( n + 2 t 一2 ) t a t t 入 结合( 2 2 5 ) 式，可以得到 n 壹( a m 一2 p 圭圭t a l - t ( a k + l 一2 一 一ta尹+三壹(ak+1xi)tat(n+2t 2 ) t a t ) - a一a ( 2 2 6 ) n ( a m 一2 p a k + l 一九) 2 一 一t a + 去( 一九) a ( 2 2 6 ) i = 1i = 1 t = l7 。= 1 取 矿：_ 璧坐业苎遴一 ：l 名1 ( a k + l a t ) 2n + 2 t 一2 ) t a t t a i 即得 三kc 入七+ - 一a t ，2 暑；妻砉c 入t + - a i ，2 t t ( n + 2 t 一2 ) a t t a ； ) 5 5 ( 入七+ l 一九) 熹( 入m ) 一 一t a 广 ( a m 一九) a t = 1l ”扛：1t = ljlj ( 2 2 7 ) 易证 命题2 5 行征值a i 满足如f 条件 ( 入七+ 1 一九) ( 入七+ l 一) f a 尹一a 尹) f 一凡) a 一 一)a：、)0(ak+l(ak+l 0 ( 入七+ 1 一九) ( 入七+ l 一) ( a 广一丐r ) ( 一凡) a j 一 一) a ；) 则由该命题知 t 一1 1 一 t 一1 l ( 入知+ l 一入 ) 2 ( 入七+ l 一) a f r 入；+ ( a k + l 一) 2 ( a 七+ l 一九) a 厂a ( a 七+ l 一九) 2 ( a 知+ l b ) 碍t + ( a 七+ l 一九) 2 ( a 七+ l 一) 霉 ( 2 2 8 ) 由式( 2 2 8 ) 知 圭( a 七+ l 一九) 2 ( a 七+ l b ) 入_ t - i kq k + l - - k ) ( 入七+ l 一) a ? 圭( 久k + l - - 3 久；+ 壹( 久k + l - - 九) 2 ( 久一b ) 久丁t - 1 碍1 i = 1 i 向 七七 s ( 入七+ l a ) 3 a ；+ ( a 七十l 一九) 2 ( a 七+ l b ) 碍 = ( 砉c 入七+ ，一a t ，2 ) ( 委c a 七+ 一k ，a ；) 1 9 根据定理2 2 知 z ( a k + l 一九) 2 i - - - - 1 解该不等式，可得到 a k + l 1 七 一三r 七白 3 = 1 由此还可以得到 k 一奄丢参 ，+ 丽2 一丢j 圭= l0 壹丸、1f ， i - - - - 1 i t ( 佗+ 2 t t = l 2 ) a t tl t a l 一a ；+ 丸一 t = 1t = l 4 t ( n + 2 t 一2 ) a t 一 刁_ 一 圭t(n+2t-2)t=l吼叫( 丢圭i = 1 n h a i + ( 圭 i w 九一 i = 1t = l ( 2 2 9 ) 一2t(n+2t-2)at_ta；)2 n 2”。j 训3 ( 2 3 0 ) 竽a i ) 2 n 2 ，l 。j 4 t ( n + 2 t - 2 ) a t - t ( a j 1 n 2k 入；，) ) - 亿3 l ， 即第k + 1 个特征值与第k 个特征值之问的空隙可以有前k 个特征值来估计 入 、l ， 入一 l+詹 入 ，l 汹 4 ，li、 。七甜 1 一后 ，il、 、j 2一t2十n ，、 。斟 1 一七 一 。碍 ， 1 一詹 。瑚 广 七汹二r 汹谢 僦 1 一七1 一七 3 各不等式的比较 推论3 1 定理2 1 蕴含了- 吴发恩和曹林芬1 1 3 j 及成庆明和杨洪苍【l2 】的结论 事实上，若取a l = a 2 = = n l 一1 = 0 代入不等式( 2 2 0 ) ，即得到 妻c 入七+ 一a t ，。 4 l ( + n 2 。t - 至 5 圭1 1 l - 1 k ；c a 七+ 一a t ，；a ) 5 此l l l j 吴发恩和曹林芬在研究d i r i c h l e t 问题( 1 1 0 ) 时所得的结论同理取z = 2 ，o l = 0 ， 可得到成庆明和杨洪苍的结论 推论3 2 若取a l = a 2 = = 口f l = 0 ，且知= 1 ，由定理2 2 得 坯( - + 等) 札 ( 3 1 ) 当n 4 1 时，则有 k ( t + 等) 丢厶1 = 1 ， 2 ， 而由定理2 1 ，可得 坯( + 掣) h ( 3 3 ) 显然当l 2 时，( 3 1 ) 式强于( 3 3 ) 式 命题3 3 定理2 1 所得不等式( 2 2 0 ) 优于陈祖墀和钱春林【1 4 】结论中的不等式( 1 1 3 ) 证明：不等式( 2 2 0 ) 等价于 ( k ( a m 一九) ) 2 磊4 乙t k ( a m 一九) i 伽+ 一 口l _ a - t - 1 k 1 2 t 2 ) t( a m 一九) 入 ， ( 3 4 ) ( ( a