（基础数学专业论文）无限维lie代数和leibniz代数.pdf

摘要 摘要 自从1 9 9 3 年以来，作为l i e 代数和结合代数的推广，l e i b n i z 代数和结合对代数已经被广泛研究 它们与同调、趣论以及l i e 代数等有密切联系在这篇文章里，我们主要讨论l i e 代数和l e i b n i z 代数之间的联系，通过一些l i e 理论的方法去研究某些无限维l e i b n i z 代数的结构和表示理论 1 ，中心扩张问题在l i e 代数的研究中起着非常重要的作用，因此有许多文章研究各种各样l i e 代 数的中心扩张问题最近同样有许多文章研究l e i b n i z 代数的中心扩张问题 在第2 章，我们首先给出了l e i b n i z 代数的中心扩张问题的一些一般理论对于单位结合对代数 d 和有限维单l i e 代数j ，我们决定了j 回d 的普遍中心扩张同时研究了微分算子代数，量子2 - t o r u s ， v i r a s o r o - l i k e 代数和它的q - a n a l o g 的所有一维l e i b n i z 中心扩张，决定了这些无限维代数的所有非平 凡的l e i b n i z2 一上循环 2 对于单位结合代数a ，s t e i n b e r gl i e 代数s t ( n ，a ) ，s t ( n ，a ) 和s t e i n b e r gu n i t a r y 代数s t u ( n ，a ) ， 5 讥t ( ，a ) 已经被很多文章研究在第3 章给定单位结合对代数口，( n 兰3 ) ，我们构造g t e i n b e r g l e i b n i z 代数和s t e i n b e r gu n i t a r yl e i b n i z 代数，证明它们分别是特殊线性矩阵l e i b n i z 代数5 l ( n ，d ) 和初等矩阵l e i b n i z 代数e u ( n ，d ，一，1 ) 的普遍中心扩张这些结果在l e i b n i z 代数的研究中起着重要 作用，特别地，对有限根系阶化的l e i b n i z 代数和l e i b n i zk 堪论的研究其着重要作用， 3 有限根系阶化的l i e 代数首先是由b e r m a n 和m o o d y b m 定义和研究的，主要是为了研究更 多种重要类型的l i e 代数，如s l o d o w y 的i n t e r s e e t i o n 矩阵l i e 代数f i s ) ，高维仿射l i e 代数 a a b g p j 等自1 9 9 0 年以来有许多文章研究各种类型的有限根系阶化的l i e 代数 在第4 章，我们给出了有限根系阶化的l e i b n i z 代数的定义，获得了a ，d 和e 型的有限根系阶 化的l e i b n i z 代数的结构这个研究提供了获得更多类型l e i b n i z 代数的一条路径 4 在第5 章，我们研究了l e i b n i z 超代数的一般理论，给出了一些l e i b n i z 超代数普遍中心扩张 5 最近有限根系阶化l i e 超代数也被广泛研究在第6 章我们研究了有限根系阶化的l e i b n i z 超 代数给出了a ( m ，n ) ，g ( n ) ，d ( m ，n ) ，d ( 2 ，1 ；d ) ，f ( 4 ) ，a ( 2 ) 型有限根系阶化的l e i b n i z 超代数的一般 结构 6 仿射l i e 代数的顶点算子表示在模形式、组合论等方口i 百很优美的应用t o r o i d a ll i e 代数是 仿射k n c m o o d yl i e 代数的自然推广在【m r y 】和【r m 】里，单边t o r o i d a ll i e 代数的齐次顶点表示 被构造出来这个构造是仿射k a c m o o d yl i e 代数的f t e n k e l k a c ，s e g a l 的l e v e r o n e 构造的推广 在第7 章，我们构造出g 2 型的t o r o i d a ll i e 代数以及放射l e i b z f i z 代数的这种顶点算子表示 i v 旦q 蟹垡型 英文摘要 l e i b n i za l g e b r a sa n da s s o c i a t i v ed i a l g e b r a sa sg e n e r a l i z a t i o n so fl i ea l g e b r a sa n da s s o c i a t i v ea l g e b r a sh a v eb e e ns t u d i e di nm a n y p a p e r ss i n c e1 9 9 3 t h e ya r em o r ec o n n e c t e d w i t hh o m o l o g y ，k t h e o r ya n dl i ea l g e b r a si nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e rt h er e l a t i o n s b e t w e e nl i ea l g e b r a sa n dl e i b n i za l g e b r a sa n ds t u d yt h es t r u c t u r ea n dr e p r e s e n t a t i o n so f s o m ei n f i n i t e d i m e n s i o n a ll e i b n i za l g e b r a sb ys o m em e t h o d si nt h el i et h e o r y 1 c e n t r a le x t e n s i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s ，a n di ti s t h e r e f o r en o ts u r p r i s i n gt h a tt h e r ea r em a n yr e s e a r c h e so nc e n t r a le x t e n s i o n so fv a r i o u s c l a s s e so f l i e a l g e b r a s r e c e n t l yt h m e a r em a n yr e s e a r c h e so nc e n t r a le x t e n s i o n so f l e i b n i z a l g e b r a s i nt h ec h a p t e r2 ，s o m eg e n e r a lt h e o r yo fc e n t r a le x t e n s i o n so fl e i b n i za l g e b r a sa r e i n v e s t i g a t e d t h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no fj d f o rau n i t a la s s o c i a t i v ed i a l g e b r a a n daf i n i t e d i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r a6i so b t a i n e d a l lo n e d i m e n s i o n a ll e i b n i z c e n t r a le x t e n s i o n so nt h ea l g e b r a so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so v e r c t ，t _ 1 】a n dc ( ( t ) ) ，3 , 8 w e l ta so nt h eq u a n t u m2 - t o r u s ，t h ev i r a s o r o - l i k ea l g e b r aa n di t s q - a n a l o ga r es t u d i e d w ed e t e r m i n ea l ln o n t r i v i a ll e i b n i z2 - c o c y c l e so nt h e s ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s 2 r e c e n t l yt h e r ea r es e v e r a lr e s e a r c h e so nt h es t e i n b e r ga l g e b r a ss t ( n ，a ) ，s t ( n ，a ) a n dt h es t e i n b e r gu n i t a r ya l g e b r a ss t u ( n ，a ) ，s t u ( n ，a ) o v e rau n i t a la s s o c i a t i v ea l g e b r a ai nt h ec h a p t e r3 w ec o n s t r u c tt h es t e i n b e r gl e i b n i za l g e b r aa n ds t e i n b e r gu n i t a r y l e i b n i za l g e b r aa n dp r o v et h a tt h e ya r eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n so ft h es p e c i a ll i n e a r m a t r i xl e i b n i za l g e b r a s f ( 札，d ) a n dt h ee l e m e n t a r y m a t r i xl e i b n i z a l g e b r ae u l ( n ，d ，一，y ) o v e ra na s s o c i a t i v ed i a l g e b r ad r e s p e c t i v e l y 3 ) t h e s ei n v e s t i g a t i o n sp l a yi m p o r t a n t r o l e si nt h es t u d yo fl e i b n i za l g e b r a sg r a d e db yf i n i t er o o ts y s t e m sa n dl e i b n i z k t h e o r y 3 t h ec o n c e p to fal i ea l g e b r ag r a d e db yaf i n i t er o o ts y s t e mw a sd e f i n e da n d i n v e s t i g a t e db yb e r m a na n dm o o d y 【b m a sa na p p r o a c hf o rs t u d y i n gv a r i o u si m p o r t a n t c l a s s e so fl i ea l g e b r a ss u c ha st h ei n t e r s e c t i o nm a t r i xl i ea l g e b r a so fs l o d o w y s 】，w h i c h a r i s ei nt h es t u d yo fs i n g u l a r i t i e s ，o rt h ee x t e n d e da f f i n el i ea l g e b r a so f 【a a b g p t h e u n i f y i n gt h e m e i st h a tt h e s el i ea l g e b r a se x h i b i tag r a d i n g b yf i n i t e ( p o s s i b l yn o n r e d u e e d ) r o o ts y s t e ma l i ea l g e b r a sg r a d e db yf i n i t er o o ts y s t e m sh a v eb e e n i n v e s t i g a t e di nm a n y p a p e r s i nt h ec h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fl e i b n i za l g e b r a sg r a d e db yf i n i t er o o t s y s t e m sa n dg i v et h es t r u c t u r eo fl e i b n i za l g e b r a sg r a d e db yf i n i t er o o ts y s t e mo ft y p e a da n de t h i si n v e s t i g a t i o ng i v e sa na p p r o a c hf o r s t u d y i n gm o r ev a r i o u sc l a s s e so f l e i b n i za l g e b r a s ，w h i c ha r en o tl i ea l g e b r a si ng e n e r a l 英文摘要 4a s s o c i a t i v ed i a l g e b r a sa r eg e n e r a l i z a t i o n so fa s s o c i a t i v ea l g e b r a sw h i c hg i v er i s e t ol e i b n i za l g e b r a si n s t e a do fl i ea l g e b r a s s u p e rd i a l g e b r a sa n dl e i b n i zs u p e r a l g e b r a s s oi ti sa l s oi n t e r e s t i n gt os t u d ya s s o c i a t i v e i nt h ec h a p t e r5 ，w es t u d yt h eg e n e r a lt h e - o r yo fl e i b n i zs u p e r a l g e b r a sa n dg i v es o m eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n so fs o m el e i b n i z s u p e r a t g e b r a s 5 。r e c e n t l y ，l i es u p e r a l g e b r a sg r a d e db y f i n i t er o o t s y s t e m s a r ea l s os t u d i e di ns e v e r a l p a p e r s ，i nt h ec h a p t e r6 ，w em a i n l ys t u d yl e i b n i zs u p e r a l g e b r a sg r a d e db yf i n i t er o o t s y s t e m s t h es t r u c t u r eo fl e i b n i zs u p e r a l g e b r a sg r a d e db yf i n i t er o o ts y s t e m so ft y p e a ( m ，n ) a n dg ( n ) ，d ( m ，n ) ，d ( 2 ，1 ；o ) ，f ( 4 ) ，g ( 2 ) 6 v e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n sf o ra 隘n el i ea l g e b r a sh a v ean u m b e ro fb e a u t i f u l a p p l i c a t i o n st ot h et h e o r i e so fm o d u l a rf o r m s ，s o l i t o n s ，c o m b i n a t o r a li d e n t i t i e sa n d o t h e r s t h et o r o i d a ll i ea l g e b r a sa r en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o n so fa f f i n ek a c m o o d yl i ea l g e b r a s w h i c hw e r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e di n 【m r y a n df r m i n 【m r y a n d r m ，t h ev e r t e x r e p r e s e n t a t i o n si nt h eh o m o g e n e o u sp i c t u r ew e r ec o n s t r u c t e df o rt o r o i d a ll i ea l g e b r a so f s i m p l yl a c e dt y p eo nf o e ks p a c et h r o u g ht h ec a s eo fv e r t e xo p e r a t o r s ，t h i sc o n s t r u c t i o n i sa g e n e r a l i z a t i o no ft h ef r e n k e l - k a ca n ds e g a ll e v e r - o n ec o n s t r u c t i o no ft h ea r l e n ek a c m o o d y l i ea l g e b r a s 。 i nt h ec h a p t e r7 ，t h ev e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o nf o rt h et o r o i d a ll i ea l g e b r a so f t y p eg 2 i sc o n s t r u c t e d t h ev e r t e xo p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o nf o rt h ea f f i n el e i b n i z a l g e b r a s i sa j s oc o n s t r u c t e d 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本沦文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意 作者签名啉巡 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于菲 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定。 学龇文作者酪旦玺日期 导师签名：始金圣日期 沙以卜p o 够乙 记号 在这篇论文中，总是自由地使用下列符号，如果没有特殊说明 z i | 寰数环 z + 一非负整数集 c 一复数域 酶一固定的域 c h a r ( 一域吒的特征 扩特征零域上的有限维单l i e 代数 g特征零域上的基本的典型单l i e 超代数 b ( d ) 一目0a 对于某单位结合代数a g ( d ) god ，对于某单位结合对代数上) m 一1 岬代散g o e ，t - 1 】 s l t - - t o r o i d a ll e i b n i z 代数 g t l r全t o r o i d a e i b n i z 代数一 w c p ，t _ 1 1 上的导子构成的w i t t 代数 w c ( ( f ) ) 上的导子构成的w i t t 代数 v i r - - v j r a s o r o 代数 d c mt _ 1 l 上微分算子构成的l i e 代数 口c ( ( ) ) l 微分算子构成的l i e 代数 u - + 。o 的普遍中心扩张 c 口 量子2 - t o r u sc 口睁“，y “】 q 的所有内导子构成的l i e 代数 元素z 的次数 f t 2 ( l ) - - l i e 代数l 的二阶同调群 月厶( a ) - - l e i b n i z 代数的二阶同调群 日凰( a ) - 一一阶h o c h s c h i l d 同诃群 h c i ( a ) 一阶循环丽调群 h h s z ( d ) 一阶f r a b e t t l s 同调群 h d s l ( d ) 一阶d i h e d r a l 同调群 h h l l ( d ) 修改的- 阶l n r a b e t t l s 同调群 n b ( - 4 ) 一可换的单位结合对代数d 上 的k f i h l e r 微分 a 一数域蓝上的古单位元的结合代数 d k 上的古b a r 单位元的结合对代数 5 【( n ，且) 一特殊线性矩阵l i e 代数 5 t ( n ，a ) s t e i n b e r gl i e 代数 5 t 【( n ，a ) 一与5 t ( n ，a ) 有相同生成元， 生成关系的l e i b n i z 代数 e u ( n ，i ，一，叫)初等u n i t a r yl i e 代数 5 ( ( n ，d )特殊线性矩阵l e i b i z 代数 5 u ( n ，d ) - - s t e i n b e gl e i b n i z 代数 5 伽l n ，a ，一，7 ) - - s t e i n b e gu m t yl i e 代数 a t a ( ( t l ， ) 一与s “( ，h a ，一，7 ) 有相同 生成元，生成关系的l e i b n i z 代数 5 t u f ( n id ) - - s t e i u b e gu n i t a r yl e i b n i z 代数 l i ek 上的l i e 代数范畴 l e i b k 上的l e i b n i z 代数范畴 s l j e 一上的l i e 超代数范畴 s i a i b - - m 上的l e i b n i z 超代数范畴 a s s 一聪上的结台代数范畴 d i a s - - kl + 的结合对代数范畴 s a s sk 上的结台超代数范畴 s d i a 8 _ e 上的结合超对代数范畴 u c e普遍叶1 心扩张 毋，在位置为1 ，其余位置为0 的 n n 一矩阵 一一c 。中的内导子a d o 讯圹 第零章引言 0 1 在【l 0 1 中，j 一l l o d a y 给出了一种非对称的l i e 代数，它的括号运算满足l e i b n i z 关系 k 【y ，z 】= 噼，】，z 卜盼，z 】，g 】， 因此被称为l e i b n i z 代数l e i b n i z 关系式加上反对称性正是j a c o b i 的变形因此l i e 代数是反对称的 l e i b n i z 代数在【l 0 4 l 中，l o d a y 还引入了一种结合意义下l e i b n i z 代数，称为结台对代数它 有一对运算 和_ ，满足下列5 个关系式： fn _ ( b j c ) = ( o _ 6 ) 1c = o _ ( b h c ) ， ( a s s ) ( 口rb ) _ c = nr ( b dc ) ， l ( o b ) pc = o p ( b t - c ) = ( 0 1b ) p c 这些等式都是结合律的变形，因此结合代数是特殊的结合对代数，它的两个积一致特别指出的是结 合对代数及其括号运算陋，b 】= ：o - tb b ra 定义了l e i b n i z 代数，它不是反对称的，除非对代数的两 个运算一致从而结合对代数给出下列的范畴与函子可换图： d i a s - - ) l e i b 士 a s s _ l i e 0 2 设l 是l e i b n i z 代数，l 称为完全的，如果陋，纠= ll e i b n i z 代数l 存在普遍中心扩张当 且仅当三是完全的如果( 丘 ) 是l 的普遍中心扩张，则 。 h l 2 ( l 1g k e r ” 如l i e 代数一样，l e i b n i z 中心扩张在l e i b n i z 代数的研究中也起着重要作用l o d a y ，p i r a s h v i l i ( l p 】 证明了不论在l l e 代数范畴还是l e i b n i z 代数范畴，v i r a s o r o 代数v i r 都是w i t t 代数d e r ( c t ，t - 1 ) 的普遍中一5 - 扩张 在l i e 代数情况下2 一上循环被称为l i e2 _ 上循环在第2 章，我们研究了l e i b n i z 代数的中心扩 张的一些一般理论对于可换单位结合对代数d 和有限维单l i e 代数6 ( 特征零域上的) ，我们得到： h l 2 ( g o d ) = n j ) 设c p ，t 。j 是c 上l a , u r e n t 多项式代数。d = d i f f c t ，t - 1 j 是c t _ 11 上的微分算子构成的l i e 代数作为c 上的向量空间，o = s p a n c “扩i m z ，n z + ) ，其括号由 t m o “，t “1 0 ”】= f ”a “( ”1a ”) t “1 0 ”( t a ”) 2 娄( 扣讯”，o n + h i - i , _ 薹( 抄州扩一j 给出其中a = d d t d i j | l i 在 l i 中证明l h 2 ( d ，c ) = 1 ( 另见【kp 】，【k a s 】，f kr 和【w 】) 设c 口i x ，x - - iy ，y _ 1 】是量子2 - t o r u s ，它是由z ，z ，y ，y 一1 生成且满足下列关系的结合代数 。一l 5 = 1 ，y x 。q x y 1 2 旦q 蟹墨班 作为c 上的向量空间，它有一组基 x l y j z ) 为方便起见，用c q 表示c 口【z ，z 一，y ，”- 1 的l i e 代数其l i e 括号为： x m y “，z ”2 y “1 】= ( g ”m 1 一q m “1 ) x m + m l ”“+ ”1 ， v m ，n z 设k 是c 口的所有内导子构成的l i e 代数，称为v i r a s o r o - t i k e 代数的q - a n a l o g 记岛m ：= a dx m y “， 对于任何m ，n z k 上的非平凡的2 t 循环在【k p s 以及【m j 】等文章中给出 命题o 1 k p s 】当q 不是单位根时，l i e 代数上的平凡系数摸c 的二阶上同调群是二维向量空 间每一个非平凡u 的2 上循环都等价于妒，其中 妒( 晶；，。，k 。，n ：) = 6 。一m ，d m 一。q f m n ( t n 妒( l ，0 ，一1 o ) + 札妒( e o ，l ，晶1 ) ) ， 对于任何m ，n ，m 1 ，他1 z 在这一章的第6 ，7 两节，我们主要决定了0 ，u 上的所有非平凡的l e i b u i z2 - 上循环事实上， 我们证明了h l 2 ( 9 ，c ) = h 2 ( 刁，c ) 和h 驴( ，c ) = h 2 ( u ，c ) 0 3 对于结合代数a ，5 【( n ，a ) 在l i e 代数范畴和l e i b n i z 代数范畴的普遍中心扩张已经在【b | ， 【g a r ，【l p ，【g a 0 2 1 中被给出而且，s b e r m a n 和r v m o o d y ( 【b m 】) 证明了任何a l ( 1 2 ) 型的有 限根系盼化的l i e 代数都中心同源予s t e i n b e r gl i e 代数s t ( t + 1 ，a ) ，对于某个单位结合代数a 如果 2 3 ，某个单位交错代数4 如果f = 2 ( c h a r k = o ) 我们知道在l i e 代数范畴内单位结合代数a 上的矩阵l i e 代数$ i ( n ，a ) ( n 3 ) 的普遍中心扩张 是s t e i n b e r gl i e 代数5 t ( n ，a ) ( 【k l l ) 但是在l e i b n i z 代数范畴内5 【( n ，a ) 加23 ) 的普遍中心扩张是 l e i b n i z 代数5 “( n ，a ) ，它与$ t ( n ，a ) 有相同的生成元和生成关系式( 【lp 】，【g a 0 2 ) 受f kl j 和f l p 】的启发，对于单位结合对代数d ，考虑代数s i ( n ，_ d ) ，其运算为， ( e q ( n ) ，b f ( 6 ) 】= e a ( 口b ) 一“e a j ( blo ) ， 对于所有n ，b d 和1 i j ，l ，l ，其中e q ( n ) 表示系数在( i ，j ) 一t h 位置是a ，其它位置是 0 的n n 矩阵显然关于这个运算e l ( n ，d ) 一般不是l i e 代数而是l e i b n i z 代数因此有必要考虑 巅( 托d ) 的普遍中心扩张基于这样的考虑，给定单位对代数d ( 不一定结合) ，我们在第3 章构造了 s t e i n b e r gl e i b n i z 代数$ t 【( n ，d ) 它是一个l e i b n i z 代数，由”o ( o ) ，1 曼i jsn ，a d 生成且满 足关系式( s 1 ) 一( s 4 ) ( 见5 3 3 ，3 ) 类似于【f 训，我们获得一个充分必要条件使得映射q ：o _ + ”玎( 。) 是 一一的从而引进交错对代数的概念，它正是交错代数的推广而且当d 结合时，我们证明了 e t l ( n ，d ) ( n 3 ) 正是5 【( n ，d ) 的普遍中心扩张，其核为h h s l ( d ) ，它是结合对代数d 的一阶f r a b e t t i 同调群( 见122 ) 0 4 设 为醚上的单位结合代数，它有一个( 反) 对合一，1 = ( 1 l ，) ，其中m 0 k ， 所谓s t e i n b e r gu n i t a r y 代数5 t u ( n ，a ，一，7 ) ( r e s p ，s t u ( n a ，一，7 ) ) 是指l i e 代数( r e s p l e i b n i z 代数) ，它 由“i j ( n ) ，1 曼i j n ，a a 生成且满足关系式： “u ( n ) = 嘶i ( 一h 百1 a ) “蚶( 七l n + k 2 b ) = 七l ”玎( n ) + k 2 u j ( b ) ，x 于于n ，b a ，惫1 ，南2 k ； 【u a a ) ， f ( 6 ) 】= 0 ，如果i f 且j ： 阻。( 8 ) ，u k d b ) = “( 境如果i ? 且j = i 【u “( o ) ，u “( 6 ) 】= 一u j ( b a ) ，如果i = z 且j k 第零章引言 根据定义， r j l 等t w l z c 代数e u ( n ，a ，一，1 ) 是指g 啊，) 的一个子代数，它由e i j ( n ) 一办e j 。( a ) ， 对于所有1si ? t 兰剀中心同源于l e i b n i z 超代数5 f ( m + l ，n + l 、a ) 对于某个单位结合超对代数a 定理o 4 设g 是分裂的基本的典型单的l i e 超代数，它是c ( n ) ( 3 ) ，d ( m ，n ) ( m 三2 ，n 1 j d ( 2 ，1 ；“) ，r 砖，( e 0 、1 ，f ( 4 ) 或者g ( 2 ) 型的设l 是g 型的一阶化l e i b n i z 超代数，则存在超t 换的单位结合超对代数a 使得l 是l e i b n i z 超代数o o a 的一个中。覆盖 1 1 8 t o t ( f i d a ll i e 代数是f 方射k a c m o o d yl i e 代数的自然推广，它首先在 m r y 】和f r m l 里i 提t 1 1 1 i 研究的它们是迭代圈代数国c p i l ，t ；1 的普遍中心扩张在 m r y 和 r m 里，单t t o t o i d a ll i e 代数的齐次顶点表示被构造出来这个构造是仿射k a c m o o d y 代数的f r e n k e l k a c ，s e g a , 的l m o i l e r 构造的推广。在 t 】： m 】、 i 】， y j 】，b ，a ，f 4 型的这种表示也被构造出来， 设g 是有限维单“c 代数，4 = = c 时，t ； ( 1 ) 是l a u r e n t 多项式环对于堕= ( 1 7 , h ，n ，) z “，记t ? 1t 为仁则9 ( a 卜g a 是l i e 代数，其括号： 而且“= a ( 4 ) ( ! - ( f2 n d 4 ) 足g ( 4 ) 的普遍h b 扩张( k a s 】) 在第7 章，我们构造出g ：型的t 0 1 0 i d a li 。i c 代数的这种顶点算于表示 而且l i e 代数o ( a ) = g 还是一个l e i b n i z 代数，因此很有必要去考虑它的l e i b n i z 中一5 - 扩张 g ( 圳的普遍l e i b n i z 中心扩张巾陋f j ( g a 0 2 】等文章给出m = 1 见 g a o l 】和一般情形见 g m ，2 】) ， 具体地， g l t = 6 0 一4 d n _ 关j 二l e i b n i z 括号 陋婚，叫= 【f ，y 】f y + 扛y ) s d g ，v ，9 a ，。，e6 ， 、【s h ，or , r n0 是j a 的普遍l e i b n i z 中心扩张这个代数一般不足l i e 代数，但是它是l e i b n i z 代数称之为t o r o i r h * l l e i b n i z 代数( 仿射l c i b n i z 代数，如果= 1 ) 在这一章，我们还构造了仿射l e i b n i z 代数的顶点算子表示 第一章对代数和l e i b n i z 代数 这一章我们主要回忆结合对代数和l e i b n i z 代数的一些基本概念和及其( 上) 同调( 见 l 0 1 卜一 l 0 4 l p ， f ， g a 0 1 ， g a 0 2 ，e t c ) 1 1 1 对代数 1 1对代数及其同调 定义1 1 1 l 0 4 1 所谓域k 上的对代数，是指一k 一向量空问d 及其上的一对线性映射_ ，f ：d o d _ d ，分别称为左积和右积 对代数d 称为单位的如果它有一个b a r u n i t ：元素1 d ( 不一定唯一) ，对于左积和右积，它是 一个b a r 一侧单位元，即1ra = 。= a _ 1 ，y a d 对代数的态射是指k 一线性映射，：d _ d ，它保 持左，右积，即s ( a b ) = ，( n ) + ，( 6 ) ，其中* 表示_ 或r 定义1 1 2 l 0 4 域k 上的对代数d 称为结合的，如果两运算_ 和h 同时满足下列结合律： f nd ( b _ c ) = ( n _ b ) - i c = a _ ( b fc ) ， ( a s s ) ( 。pb ) dc = o ( b _ c ) ， l ( b ) rc = a ( b r c ) = ( o b ) c 显然结合对代数是结合代数，如果a _ b = rb = n 6 例微分结合对代数设( a ，d ) 是微分结合代数因此根据假设，d ( a b ) = ( d a ) b + o 蕊和d 2 = 0 在4 上定义左积和右积如下； z _ y = x d y 、$ py = f d x ) y 则a 及这两个积是结合对代数 分别记d i a s ，a s s 为域聪上的结合对代数和结合代数范畴则范畴a s s 是d i a s 的满子范畴 结合对代数d 的左模是指腥一模m 及两个k 一线性映射 叫d m 一m ，卜：d 回m - m 满足结合律( a s s ) 当它们有意义时类似的有右模的定义 结合对代数d 的双模是指聪一模m 及两个聪一线性映射 卜，一：d 肼叶m ，卜，一：m o d _ ， 满足结合律( a s s ) 当它们有意义时 显然d 上的双模既是左模又是右模同时d 本身就是一个d 双模 设d 是一个域k 上的结合对代数，肘是一d 模d 上值在村的导子是指聪一线性映射 “：d _ m 使得 p ( d b ) = p ( 。) b + n + p ( 6 ) ，o ，b d ，( 1 1 1 ) 其中t = _ ，r 记d e r ( d ，m ) 为所有d 上的值在m 的导子构成的k 一模d 的在m 中的内导于是 指伴随映射a d m ：d _ m ，m m ，a d m ( z ) = 一z 十m + ，n 卜z = 一陋，竹2 j ，v z d 它们的集合记为 h m ( d ，m ) = ( a d n d e r ( d ，m ) im 肼j 5 6 给定域k 上的向量空间y ，根据其张量模 t t v l = k o v o v 0 2 0 可以构造p 上的自由结合对代数： 定理1 1 3 肛o g 向量空间y 上的自由结合对代数是k 一模 其上积运算由下列诱导而得 d i a s ( v ) = t ( v ) v 固t ( y ) u 一1 圆 o 固 iu m ) o ( w p 叫一1 0 叫。固删l t u 0 u l + m 一p一1 w o w l + 叫q ， 一1 i j 0 0 1 2 1 t n ) i - ( w 一口 叫一l o w o o w l 一l v o v l 1v m w p w 一1 w ooy i ) 1 。， ( 1 12 ) 其中 ；，w j v l 对于任何结合对代数d ，设d a 。是d 关于由。1y zhy ，v x ，y d 生成的理想的商显然 d 。是结合代数而且在所有从d 到结合代数的映射中典范投射d _ d a 。是普遍的换一个说 法，结合化函子( - ) a ，：d i a s _ a s s 是i n c ：a s s - d i a s 的左伴随函子 1 1 2 结合对代数的同调 1 h o c h s c h i l d 同调 h o c h s c h i l d 边界映射是指k 一线性映射dd o ( 1 ) _ d ”由下列公式给出 n l d ( a o a l 固- 。) = ( 一1 ) 1 。o n 1 - ( 啦一。斗1 ) 。 。o 。十( 一1 ) “( o 。卜n o ) 圆。1 。- 。n 一1 2 = u 显然do d = 0 ( 见 f 】) 因此我们可以考虑其第n 个同调群h h + ( d ) = k e r d i m d 有时我们还要用到下列修改的h o c h s c h i l d 同调群：d ：d 。( n + 1 _ d 蜘由下列公式给出 n1 d ，( o 圆a l 固a n ) = ( 一】) i a 0 ( b 1 。