（基础数学专业论文）严格三角导子李代数的结构与表示.pdf

中文摘要 中文摘要 近年来，李代数特别是无限维李代数的z d 一阶化有界模的表示理论发展迅速 典型的例子是当他= 1 时，包括k a c - m o o d y 代数和v i r a s o r o 代数设a = c 醋1 ，t 孝1 】是复数域c 上的d 2 个交换未定元的l a u r e n t 多项式环， d = d e r ( a ) 是d 维环面上a 的全体导子构成的李代数最常见的z 2 一阶化的 李代数是d = d e r c t 1 ，砖1 】也被称为2 维环面上的向量场李代数令v = c d 为复数域c 上的d 维列向量空间，它的标准基为 e l ，e 2 ，e d ) 令( ，) 是y 上的双线性型，且( e t ，勺) = 令f = z e l 十z e 2 + + z e n 是y 上的格对 i r t = n 1 + 他2 + + n d f 且t = ( t lt 2 ，：幻) t z d ，记护= t ? 1 t t 2 瑶4 令 。觑( t ) = 扩屯( 纠跳) ，扛1 ，d 对u = 仳1 + 让2 十+ u de v 且7 = r l + 仡+ + r de f 记d ( 让，r ) = 坌1 蛳眈( r ) 那么d ( u ，r ) e d e r a 令 d e r a = o ( d e r a ) n n e f 其中( d e r a ) n = 0 ：1 c t n 取= d ( u ，r ) ：乱y ) 并且d e r a 有如下的李结构。 【d ( u ，r ) ，d ( v ；s ) 】= d ( w ，7 + s ) ，牡，t ，vr ，s f 其中伽= ( u ，s ) t ，一( t ，r ) t 本文在第二章研究严格三角导子李代数 d = d ( u ，r ) ：u c a ，r z d 满足当i 歹咖t 巧= 0 ， 、 ， 及它的某些性质容易验证d 是李代数，其生成元的参变量札，r 的下标呈严格三 角状因而称之为严格三角导子李代数 第三章以c i t t l ，亡妻1 ，：亡孝1 】为表示空间构造了严格三角导子李代数的一类表 示，利用l a r s s o n 函子f q 研究线性李代数的象模的结构，并对其不可约模进行分 类 关键词；严格三角导子李代数；表示；斜导子李代数；权空间；导子；l a r s s o n 函 子 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，an e wa r e ai nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yh a se m e r g e d t h et h e o r y o fb o u n d e dm o d u l e sf o ri n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a sw i t had e n s ez d - g r a d i n g t h ec l a s s i c a lc s a 8 en=1i n c l u d e st h ek a c - m o d d ya l g e b r aa n dv i r a s o r oa l g e b r a l e ta = c 阽1 ，t 孝1 b et h er i n go fl a u r e n tp o l y n o m i a l si nd 2c o m m u t i n g v a r i a b l e so nt h ef i e l do fc o m p l e xn u m b e rc ，l e t 口= d e r ( a ) b et h el i ea l g e b r ao f t h ed e r i v a t i o n so fao na & d i m e n s i o n a lt o m s m o r e o v e r ，o n eo ft h em o s tn a t u r a l l i ea l g e b r a sw i t had e n s ez 2 - g r a d i n gi st h el i ea l g e b r ad = d e r c t 1 ，t 手1 】o ft h e d e r i v a t i o n so n2 - d i m e n s i o n a lt o r u s ，w h i c hi sa l s oc a l l e dt h el i ea l g e b r ao fv e c t o r f i e l d so na2 - d i m e n s i o n a lt o m s f i xt h ec o l u m nv e c t o rs p a c ev = c do v e rt h ef i e l do f c o m p l e xn u m b e r scw i t has t a n d a r db a s i s e l ，e 2 ，e d l e t ( ，) b et h eb i l i n e a r f o r mo nvs u c ht h a t ( & ，e j ) = 民j l e t f = z e l + z e 2 + + z e db eal a t t i c e i nv f o rn = n 1 + 住2 + + n d fa n dt = ( t l ，t 2 ，t d ) 1 z d ，d e n o t et n = 贯1 亡2 瑶8 l e td i ( n ) = t n 如( a 现t ) ，i = 1 ，d f o rt 正= 让l + 锄+ + u d6 v a n d r = r l + 7 2 + + 6 r w e d e n o t ed ( u ，r ) = e 垒1 d p ) f o r 牡c d t h e nd ( 钍，r ) d e r a l e td e r a = 0 n r ( d e r a ) ，i ，w h e r e ( d e r a ) n = o 忙21 c t n d , - - - d ( u ，r ) ：让y ) a n dd e r ah a st h el i es t r u c t u r e 【d ，7 ) ，d ( v ，s ) 】= d ( ，r + s ) f o ru ， va n d r s f ，w h e r et l ，= ( u ，s ) v 一( t ，r ) u i nc h a p t e r2w es t u d y8 0 m ec h a r a c t e r so ft h es t r i c tt r i a n g u l a rd e r i v a t i o nl i e a l g e b r a ： d = d ( 乱：7 ) ：t c d 77 z ds u c ht h a t 吩= 0w h e ni 歹) i ti se a s yt oc h e c kt h a t di sal i ea l g e b r a w ec a l l di sas t r i c tt r i a n g u l a rd e r i v a t i o n l i ea l g e b r a i nc h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c tac l a s so fr e p r e s e n t a t i o n so ft h es t r i c tt r i a n g u l a r d e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ，w h i c hh a st h er e p r e s e n t a t i o ns p a c eo ft h ef o r mc 时1 ，亡孝1 】 w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h ei m a g em o d u l e so fc o r r e s p o n d i n gl i n e a rl i ea l g e b r a m o d u l e s ，u n d e rt h el a r s s o nf u n c t o rf a t h e nw ec l a s s i f yt h ei r r e d u c i b l em o d u l e s k e y w o r d s ：s t r i c tt r i a n g u l a rd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ；r e p r e s e n t a t i o n ；s k e wd e r i v a - t i o nl i ea l g e b r a ；w e i g h ts p a c e ；d e r i v a t i o n ；l a r s s o nf u n c t o r i l 黑龙江大学硕士学位论文 本文要使用的符号及其意义： 符号说明 意义 复数域 整数环 一维模 个映射 最j 张成的空间 l a r s s o n 函子 空间与y 的直和 空间w 与嘴直积 z e lo oz e d c e l0 oc e d c d n z d d 阶单位阵厶的第i 列 d 阶单位阵厶的第歹列 c d 上的通常内积 由【) 生成的集合 权空间 u c d ：( 铭，7 ) = o ) 代数a 的导子全体 y y ，一舢 错c z矿p级p啪n白吩一阶酬吼 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料 论文作者签名。 素裼 签字日期；纠d 年6 月砂日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构交送论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本 人授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 学位论文作者签名；茵偈 导师签名： 签字日期函f 1 7 年乡月刀徂签字日期：纠年歹, q 2 0 日 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 通讯地址， 电话： 邮编： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 李代数的研究背景和意义 李代数起源于由线性变换构成的向量空间，在这个向量空间里，引入个满足 j a c o b i 等式的既不交换又不结合的双线性运算，那么这个向量空间连同这个双线性 运算一起构成个数学结构，我们称之为李代数 李代数起初被称为无穷小群，是挪威数学家s o p h u sl i e 在1 9 世纪后期研究微 分方程的积分曲线族在什么变换下不变时发现并且建立起来的，最初的想法是对于 微分方程建立起个与g l a o i s 理论类似的理论当时是受g a l o i s 理论的启发，数 学家们将变换群的思想推广到几何与分析领域，进步发现几何或分析领域的自同 构变换群通常也具有自然的几何或分析的结构，同时它也有群和可微的结构，而且 群的运算保持其可微性微分的基本想法就是在无穷小的层面上的线性化，因此可 以自然地想到李群的结构应该具有它的线性化所得的一种无穷小群的结构，这就是 l i e 在可微分的群的结构理论上取得的重大成就他认识到有关于可微群的很多信 息都被包含在群的无穷小代数中，而这种代数作为线性对象研究更为简单些当时 人们把这种数理模型称之为群的无穷变换或无穷小群，大约在1 9 3 4 年w e y l 把这 种数理模型称为李代数 早期人们主要研究李群的局部性质，随着拓扑学的发展，数学家们开始从整体 上对李群的结构系统进行研究，而且很快就转化为纯代数的问题，即研究李代数的 结构与表示人们在研究有限维复半单李代数的结构和表示的过程中获得了丰富的 研究成果，k i l l i n g 最早对有限维复半单李代数进行了分类然后c a r t a n 进一步研 究了复半单李代数的结构，并且他还对有限维复半单李代数的有限维不可约表示进 行了分类，还证明了有限维复半单李代数的个不可约表示是有限维的当且仅当它 以支配整权为其最高权的最高权表示接下来w e y l 完善了k i l l i n g c a r t a n 理论， 得到了复半单李代数的有限维不可约表示的特征公式和有限维表示的完全可约性定 理，他还进一步地研究了紧的半单李群的一类特殊的无穷维表示，这些表示包括了 c a f t a n 分类中的所有表示因为c a r t a n ，w e y l 等人的研究工作，复数域上有限维 半单纯李代数的结构和表示已经有几近完美的理论随着时间的推移，李代数在数 学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升，其理论与方法已经渗透到数学和理 论物理学的众多领域它不仅作为研究李群的代数工具，而且成为近世代数学中一 个蓬勃发展的独立的个分支 黑龙江大学硕士学位论文 二十世纪以来，李代数与几乎所有的数学学科都发生着联系随着其在现代物 理学，量子化中的广泛应用，李代数理论的基础性和重要性日益显露，一些重要问 题相继得到了解决，量子群理论的建立与发展，顶点算子代数理论的兴起，使得李 代数理论得到了飞速发展以李群、李代数为主要研究对象的李理论已成为当代数 学研究的主流方向它能解决线性代数中许多困难的问题，而作为半单纯李代数的 自然推广，在1 9 6 8 年左右v g k a c 2 1 和r v m o o d y 3 各自独立的引入了一类被 称为k a c m o o d y 代数的李代数，这类代数不仅包括经典的有限维半单纯李代数， 还包含诸如仿射李代数、量子仿射李代数、广义仿射李代数、李超代数等各类新型 无穷维李代数，见文献陪4 7 】它们的结构与表示理论在共形场理论、可积和无序 系统中有着非常重要的应用自从k a c - m o o d y 代数被广泛研究以来，研究结果不 断涌现，李代数及其表示理论的研究进入到个新的阶段由于它在组合数学、数 论、可积系统、算子理论、随机过程等数学分支以及物理学的量子场理论中都有相 应的应用，k a c - m o o d y 代数成了众多数学家和物理学家关注和研究的焦点，使得 李代数理论的走向成熟 1 2 仿射李代数 仿射李代数是k a c - m o o d y 代数中最重要也是研究得最清晰的一类无限维李代 数与时俱进，在仿射李代数的推广方面也取得了很多突破性进展数学家们受到 量子规范场理论研究工作的启发，引进了扩张仿射李代数( e a l a ) 的概念，该代数 也被称为拟单李代数如果把仿射李代数的坐标代数换成多变量的环面，那么会得 到了大量扩张仿射李代数的例子随后b e r m a n ，郜云等人给出了扩张仿射李代数的 分类并研究了它们的结构，他们发现扩张仿射李代数不但可以用多变量的l a u r e n t 多项式为其坐标代数，还可以用特殊的交错代数，j o r d a n 及量子环面为其坐标代 数近年来，扩张仿射李代数不仅在理论上和物理上都有着重要的应用，也逐渐成 为李理论研究的热点课题之一，由此产生了很多丰富的结果 以多变量的l a u r e n t 多项式为坐标代数的扩张仿射李代数有时也被称为t o r o i d a l 李代数，它与仿射李代数的最主要差别之一就是在于它的泛中心扩张是无穷维的 人们通过把经典的仿射李代数顶点算子表示构造的方法推广到t o r o i d a l 李代数上， 得到了大类t o r o i d a l 李代数的顶点算子表示而b i l l i n g 等人还把t o r o i d a l 李代数 的顶点表示应用到可积系统的构造等方面b e r m a u 、郜云等人构造了以量子环面 为坐标代数的扩张仿射李代数的顶点表示，谭绍滨构造了以j o r d a n 环面为坐标代 一2 一 第1 章绪论 数的扩张仿射李代数的顶点表示近几年，r a o 和孟道骥、姜翠波等人对t o r o i d a l 李代数的可积模进行了分类，并发现这种分类问题可转化为对其坐标代数的导子李 代数模的分类，对以量子环面为坐标代数的仿射李代数，r a o 也发现了类似的结 果由上述事实可见，对扩张仿射李代数的坐标代数的导子李代数及其子代数模的 研究具有重要的理论意义，而量子环面的导子李代数包含了多变量的l a u r a n t 多项 式环的导子李代数为特例，这就是我们要选择这一代数作为主要研究对象的原因之 一 设d e r ( a ) 为多变量的l a u r e n t 多项式环面a 的全导子李代数我们对d e r ( a ) 一 模的构造及其不可约模的分类的研究不仅有独立的理论价值，而且在扩张仿射李代 数的模的研究中也扮演着重要的角色实际上，d e r ( a ) 一模的构造和研究与模李代 数的表示关系密切众所周知，人们对多变量环面上导子李代数的结构和表示已经 较为深入的研究，并且成功的构造出很多有价值的显式表示早在上个世纪八十年 代末，沈光宇就已经刻画出交换结合代数的导子李代数上的大类模，他将这种构 造方法称之为模的混合积，他还成功地把模的? 昆合积运用到构造除幂代数的导子李 代数的模的之中，从而解决了经典的摸李代数( 即c a f t a n 型李代数) 的一大类模的 分类问题，这种构造模的方法在模的李超代数中也有重要的应用，成功的刻画出经 典c a r t a n 型李代数的分次模结构( 【1 3 ，1 4 ，1 5 】) 1 3 w i t t 代数和v i r a s o r o 代数 f n 函子的像是沈光宇所构造的模的一种特例，l a r s s o n 5 0 】利用般线性李代 数g l d 的表示通过l a r s s o n 函子f a 在其上作用从而构造了d e r ( a ) 的一类表示， r a o 4 8 】研究了l a r s s o n 函子所构造的d e r ( a ) 的模的结构，这种像模在函子f a 的 作用下有有限维不可约的g l d - 模 l i n 和t a n 5 1 】将f 4 8 】的结果推广到a 为非交换的量子环面上当d = 2 时， l i n 和t a n 6 4 1 研究了量子环面上斜导子李代数的表示 t a n g 在【5 3 】中构造一个映射【：c 2 2 一 9 ：幻为d e r ( a ) 的子代数 ，并且研 究了【( c 2 2 ) 中所有子代数的结构和表示，其中包含了全导子李代数和斜导子李代 数 d e r ( a ) = d ( 让，r ) ：牡c d ，r z d ) 当d = 1 时，d e r ( a ) 就是单变量的l a u r a n t 多项式环上的导子代数，通常被 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 称为w i t t 代数，此时如果我们记l n = d ( e l ：礼e 1 ) ，礼z ，那么w i t t 代数是由向 量空间 w i l t ：- m - s p a n c l n ：礼z ) 连同交换关系 【三仇，l 竹】= ( 他一m ) l m + n ，v m ，住z 构成的李代数 w i t t 代数的泛中心扩张后形成的新的李代数记为v i r ：= w i l to c c + a c , l n + 州：( n m ) l 帅+ 靠帆。里c ，v m ，竹z 称为v i r a s o r o 代数 v i r a s o r o 代数是类非常重要的无穷维李代数，其表示不仅在构造仿射李代数 的表示中起着重要的作用，而且在顶点算子代数理论的研究中也扮演着极其重要的 角色所以人们对v i r a s o r o 代数的研究也不断深入，其表示理论已经得到了非常详 细的研究，见文献5 4 - 6 1 容易看出v i r a s o r o 代数其实就是1 维环面导子代数的泛 中心扩张 由于v i r a s o r o 代数在数学和物理中有着极其广泛的应用，人们自然试图对它进 行推广，d 维环面是1 维环面最为自然的推广但是在d 2 时，令人遗憾的是在 d 维环面上由全体导子构成的李代数不存在非平凡的中心扩张，这使得人们自然地 转变为研究它的a b e l 扩张和它的某些子代数的中心扩张，当然我们最希望看到的 情况是研究的子代数的中心扩张在某种意2 t 也是v i r a s o r o 代数的推广 1 4 本文的主要内容 受文献【4 9 ，5 2 ，6 2 ，6 3 ，6 5 - 7 0 1 的启发，对一个固定的d 2 ，本文主要研究了 d e r ( a ) 的一类子代数 d = d ( u , r ) ：u ec g , r z d 满足当i 歹咖 r j = 0 ) 的结构和表示因为其生成元的参变量u ，r 下标呈严格三角状所以称之为严格三角 导子李代数本文之所以要研究严格三角导子李代数，不仅因为对其结构和表示的 研究具有重要的理论和现实意义，而且还是对环面导子李代数研究的补充和发展 第二章我们将给出严格三角导子李代数的定义及李代数表示的定义 一4 一 第1 章绪论 第三章我们将多变量l a u r e n t 多项式环面a 作为表示空间，并且对严格三角 导子李代数的不可约模进行分类 第四章我们将对本文研究的主要内容进行归纳总结 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章出维交换环面严格三角导子李代数 2 1严格三角导子李代数的定义 鉴于d e r ) 一模的重要性及意义我们给出： 定义2 1 称d e r ( a ) 的子空间 d = d ( 让，r ) ：钍c d , r ez d 满足当i j 日扎竹= o ) 为d 维交换环面的严格三角导子李代数 命题2 2d e r ( a ) 是z d 分次李代数，且有 d e r ( a ) = o ( d e r a ) n 忭r 其中( d e r a ) n = o 冬l c 矿d i = d ( 让，r ) ：仳y ) 并且d e r a 有这样的李结构； f d ( 牡，r ) ，d ( v ，s ) 】= d ( w ，r + s ) ，u ， g , r ，s r 其中t ，= ( 牡，8 ) u 一( t ，r ) 让 因为p ( 仳，7 ) ，d ( v ，s ) 】_ d ，r + s ) ，让，t ，v 且r ，s r ，其中t t ，= ( u ，s ) u 一 ( u ，r ) u ，易证是李代数 2 2 李代数的表示 定理2 3 ( 李定理) 设l 是g t ( v ) 的可解李代数，y 为有限维的若v 0 ， 则y 含有个关于l 内所有自同态的公共特征向量 那么由李定理可知： 引理2 4 有限维可解李代数的不可约模是一维的 定义2 5 对每个a v = c a ，和夕k 模u ，令f 口( u ) = uoa ，并且定义 d e r c t 1 ，t 事1 ，培1 】在f a ( u ) 上的作用如下： d ( u ，r ) ( n ) = ( 让：n + q ) t ，( 佗+ 7 ) + ( 巧马，t ) u ( 住+ r ) 幻 其中佗，r r ，让v ，且v ( n ) = uo t n 一6 一 第2 章出维交换环面严格三角导子李代数 容易验证f 口( v ) 是个d 一模，其中p 被称为l a r s s o n 函子容易看出f 口( v ) 是与c a r t a n 子代数 d ( 让，o ) l 牡y ) 相关的个权模，并且权空间的维数和y 的 维数相等 令是p ( 矿) 的仔模，那么也是个权模，记w = o n r ( n ) ，其 中( 佗) 是权空间 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章严格三角导子李代数的表示 3 1 2 维严格三角导子李代数的不可约模的分类 定义3 1 称d e r ( a ) 的子空间 岛= d ( u ，7 ) ：u c 2 , r z 2 满足当 j 毗q = 0 为参维交换环面上的严格三角导子李代数 引理3 2 令级= s p a n e 1 2 ) ，那么疆是9 f 2 的子代数对任意的a v 和任 意的缮一模u ，令f q ( u ) = uoc n ：1 ，t 1 】，那么f a ( u ) 是个2 一模，并且2 在 f 口( u ) 上的作用如下， d ( u ，r ) ( 佗) = ( 钍，竹+ q ) u ( 佗+ 7 ) + ( u 2 r l e l 2 ) v ( n + r ) d ( u ，o ) ( n ) = ( t ，n + a ) t ，( n + r ) 其中u = u l e l + u 2 e 2 v ，r = r l e l + r 2 e 2 i 、，满足他吩= 0 ，t 歹 定理3 3 假设o t = a l e l + 0 2 e 2 v ，并且矿是任意的不可约的级一模令 f 口( 矿) = u o c 时1 ，砖1 j ，那么j ( 矿) 是2 一模( 如上述引理所定义) ，则 ( ) u = c v 是一维模，并且存在一个线性映射p ：疆_ + c ，使得a v = 弘( a ) 口，a 疆，并且2 在f q ( u ) 上的作用如下s d ( u ，r ) 钞( 礼) = ( u 2 r l z ( e 1 2 ) + ( u ，他+ q ) ) ( 佗+ r ) d ( u ，o ) u ( n ) = ( 让：住+ q ) t ，( 礼+ r ) 其中让= 牡1 e 1 + u 2 e 2 v ，r = r l e l + r 2 e 2 r 并且地巧= 0 ，i j ( i ) 如果o r 2 z 并且p ( e 1 2 ) = 0 ，那么f 口( u ) 的所有非零子模都是孵之= o 七kc vot k , t 2 口，其中k 是z 的任意的非空子集，并且豸是是极大子模，它包含 f a ( u ) 的任何非零子模 ( 谢) 除( i i ) 的情况外，f d ( u ) 都是不可约的 证明令b = d ( e 2 ，t e l ) ，d ( 牡，o ) ) 容易看出b 是2 的子代数，通过研究b 一 模的分类得到2 一模的分类因为, c 2 = s p a n d ( e 2 ：t e l ) ) ，那么我们只需考虑集合 d ( e 2 ，亡e 1 ) ) 在p ( 厂) 上的作用即可 d ( e 2 ，t e l ) u ( 佗) = ( t u ( 毋2 ) + ( e 2 ，n + q ) ) u ( 扎+ t e l ) = ( t u ( e a 2 ) + n 2 + 劬) ”( 竹+ t e l ) 一r 一 第3 章严格三角导子李代数的表示 易证魏是9 ：2 的个可解李代数由引理2 4 可知有限维可解李代数的不可约 模是一维的 所以u = 印帆【口) ，其中t ，是y 的任意一非零向量那么是u = s p a n i v 是 一维的辨摸 因此存在个线性映射p ：组_ c ，使得v a 组，a v = p ( a ) u 令彬是p ( 沙) 的任意个非零子模，w = o n r ( n ) ，其中( 佗) 是u ( 住) 的子空间，所以( n ) = 0 或者w ( n ) = s p a n v o t n ) ，如果0 那么存在n f 使得( 住) 0 定理3 3 的证明将分成以下两种情况： c a s e1 p ( e 1 2 ) = o ，p = 0 ( i ) 当o r 2 隹z 时，那么钆( 毋2 ) + n 2 + o r 2 = ? 1 2 + o r 2 0 ，因此v ( n + t e l ) + t e l ) ，对所有的r f ，也就意味着w = f q ( u ) ，所以f 口( u ) 是不可约的 ( i i ) 当o r 2 z ，如果n 2 + o r 2 0 ，那么v ( n - f t e l ) ( n + t e l ) ，对所有的r f ， 也就意味着w = f q ( u ) 令彤是f q ( 矿) 的任一非零子模，对任意的- - o t 2 ，都有( 七l e l + 如e 2 ) = 0 因此存在z 的个子集k ，使得w = 孵乏= o 七kc vot e 口 易证结丧是个子模，当k = z 时，孵乏是极大子模，也就是它包含了f q ( u ) 的所有子模 c a s e2 肛( e 1 2 ) 0 ( i ) 当p ( 历2 ) 0 ，要证明w = f 口( u ) ，那么f n ( u ) 是不可约的 假设存在k z ，使得k l a ( e l ，) + n 2 + o r 2 = 0 ，那么对于v s z ，s 忌，那么有 s p ( e 1 2 ) + n 2 + 0 1 2 0 用d ( e 2 ，s e l ) u ( n ) = ( s 肛( e 1 2 ) + 佗2 + a 2 ) m + s e l ) 那么v ( n + s e l ) 渺( 竹+ s e l ) ， 也就是形+ s e l ) 0 ，因此( 他+ $ e 1 ) = u ( n + s e l ) 如果能证明上述等式在s = 七时也成立，那么就能得到w = f q ( 取 y z ，y k 并且y 0 ，那么 d ( e 2 ；( k 一可) e 1 ) u ( 礼+ y e l ) = z v ( n + k e l ) w ( n + k e l ) 其中z = ( 七一秒) p ( e 1 2 ) + 锄+ q 2 ，我们要证明名0 ，事实上由缸( 蜀2 ) + 耽+ q 2 = 0 ， 可知z = - p ( e 1 2 ) y 0 那么w = f 口( u ) ，所有f q ( u ) 是不可约的 ( i i ) p ( 局2 ) = o ，q 2 萑z ，同c a s e1 ( i ) ( i i i ) # ( e 1 2 ) = o ，q 2 z ，同c a s e1 ( i i ) 口 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 3 2 3 维严格三角导子李代数的不可约模的分类 定义3 4 称d e r ( a ) 的子空间 2 s = d ( t 正，r ) ：u c s , r z 3 满足当i j n u i r j = 0 为乒维交换环面上的严格三角导子李代数 引理3 5 令疆= s p a n e 1 2 ，且3 ，易3 ) ，那么级是9 2 3 的子代数，对给定的a v 和任意的组一模u ，令p ( u ) = 矿o c 时1 ，t 1 ，亡孛1 】，那么f 口( u ) 是个3 一模，并 且3 在f 口( u ) 上的作用如下t d ( u ，r ) , 4 n ) = ( u ，n + q ) u ( 住+ 7 ) + ( u 2 r l e l 2 + u 3 r l e l 3 + u 3 r 2 易3 ) u ( 竹+ r ) d ( u ，o ) 口( 礼) = ( 钍，n + q ) u ( 竹+ r ) 其中让= u l e l + u 2 e 2 + u 3 e 3 v ，r = r l e l + r 2 e 2 + r 3 e 3 f ，满足啦r j = 0 ，i 歹 为了将3 维的严格三角导子李代数的不可约模完全分类，我们先研究3 维的严 格三角导子李代数的个子代数的模的分类，进而得到3 维的严格三角导子李代数 的模的分类 定理3 6 假设q = q l e l + o f 2 e 2 + a 3 e 3 v ，且v 是任意的不可约的组一模 令f 口( u ) = uoc 时1 ，t 手1 ，孛1 】，那么f n ( u ) 是3 一模( 如上述引理所定义) ，则 令g = d ( e s ，t e l + s e 2 ) ，d ( u ，o ) 1 ，容易看出g 是3 的子集，考虑集合 d ( e s ，t e l + s e 2 ) ) 在p ( 矿) 上的作用 ( i ) u c v 是一维模，并且存在一个线性映射p ：掰一c ，使得a v = t t ( a ) v ，a 巍，并且筋在f d ( u ) 上的作用如下； d ( e s ，t e l + s e 2 ) t ，( 几) = ( s 芦( e 2 s ) + ( e 3 ，住+ q ) ) u ( 几+ t e l + s e 2 ) = ( s u ( e 2 s ) + n s + q 3 ) 口( n + t e l + s e 2 ) d ( u ，o ) ( n ) = ( u ，竹+ 0 1 ) v ( n ) ( i i ) 如果a 3 z 并且p ( 易3 ) = 谚那么f a ( u ) 的所有非零子模都是毋丧= o 七。b k c v o t ；1t ； t e 口，其中k 是z 的任意的非空子集，并且孵丧是极大子模，它包含p ( 矿) 的任何非零子模 ( 谢) 除( i i ) 的情况外，f a ( u ) 都是不可约的 证明易证疆是g l s 的个可解李代数由引理2 4 可知有限维可解李代数的 不可约模是一维的所以u = s p a n v ，其中t ，是y 的任意一非零向量那么是 第3 章严格三角导子李代数的表示 u = s p a n v 是一维的疆一摸，所以存在一个线性映射p ：疆一c ，使得v a 疆 ，a v = p ( a ) 口因为p ( 【日2 ：易3 】) = 0 ，那么我们有0 = 【晶2 ，e 2 3 】口= 日3 t ，也就 是p ( e 1 3 ) = 0 令w 是f 口( u ) 的任意个非零子模，w = 0 n rw ( 竹) ，其中w ( n ) 是u ( n ) 的子空间，所以w ( n ) = 0 或者w ( n ) = s p a n v o t n ，如果彬0 那么存在竹r 使得w ( n ) 0 定理3 6 的证明将分成以下两种情况： c a s e1 卢( 易3 ) = o ，p = 0 ( j ) 如果0 1 3 芒z ，那么竹3 + o r 3 0 ，因为v ( n + t e l + 8 e 2 ) w ( n + t e l + s e 2 ) ， 也就意味着w = f o ( u ) ，所以f d ( 矿) 是不可约的 ( j ) 当0 1 3 z ，如果n 3 + o t 3 0 ，那么v ( n + t e l + s e 2 ) w ( n + t e l + s e 2 ) ，也 就意味着w = f q ( u ) 令w 是p ( u ) 的任一非零子模，对任意的一劬，都有w ( k l e l + k 2 e 2 + k 3 e 3 ) = 0 因此存在z 的个子集k ，使得w = 豸丧= 0 七。，七。k c vo 古i l t l 2 亡；a 易证孵丧是个子模，当k = z 时，孵轰是极大子模，也就是它包含了f 口( u ) 的所有子模 c a s e2 p ( e = a ) 0 ( j ) 当z ( e 2 3 ) 0 ，要证明w = f 口( u ) ，那么f a ( u ) 是不可约的 假设存在k z ，使得缸( e 2 3 ) + n 3 + q 3 = 0 ，那么对于v a z ，a k ，那么有 a p ( e 2 3 ) + n 3 + q 3 0 用d ( e 3 ，t e l + s e 2 ) v ( n ) = ( s # ( e 2 3 ) + ( e 3 ，n + q ) ) t ，( 礼+ t e l + s e 2 ) = ( s p ( e 2 a ) + n 3 + o ! a ) v ( n4 - t e l + s e 2 ) 那么口( n + x e l + a e 2 ) w ( n + x e l + a e 2 ) ，v x z 世僦是w ( n + x e l + a e 2 ) 0 ，因此w ( n + x e l + a e 2 ) = v ( n + x e l + a e 2 ) 如 果能证明上述等式在a = k 时也成立，那么就能得到w = f 口( u ) 取y z o ，尼) ，那么 d ( e 3 ，e l + ( k 一可) e 2 ) ( 佗+ ( 觏：1 + 可e 2 ) ) = z u ( n + ( z + 1 ) e l + 尼e 2 ) 仉7 ( n + ( z + 1 ) e l + 七e 2 ) 其中2 = ( 七一y ) # ( e 2 3 ) - l t - n 3 - - o l 3 ，我们要证明z 0 ，事实上由缸( e 2 3 ) - n 3 - 1 - q a = 0 ， 可知z = - y p ( e = 3 ) 0 ，即p ( e = a ) 0 那么w = f q ( v ) ，f a ( u ) 是不可约的 ( i i ) p ( e 2 3 ) = o ，0 9 3 茌z ，同c a s ej ( j ) ( i i i ) p ( e 2 3 ) = o ，q 3 z ，同c a s ej ( ，) 口 一1 1 一 黑龙江大学硕士学位论文 定理3 7 假设q = o t l e l + 乜2 e 2 + 口3 e 3 v ，并且u 是任意的不可约的2 【一模 令f q ( u ) = uoc 【t 手1 ，t 手1 ，t 1 】，那么f 口( u ) 是3 一模( 如引理3 5 所定义) ，则 ( f ) u = c v 是一维模，并且存在一个线性映射p ：疆_ c ，使得a v = p ( a ) ，a 2 【，并且3 在f a ( 矿) 上的作用如下； d ( u ，r ) t ，( 他) = ( u 2 r l p ( e 1 2 ) + u s r 2 p ( e 2 s ) + ( 乱，佗+ a ) ) v ( 竹+ r ) d ( u ，o ) 口( n ) = ( t ，n + q ) u ( n ) 其中钍= u l e l + u 2 e 2 + 7 2 3 e 3 v ，r = r l e l + r 2 e 2 + r 3 e 3 r 并且u i r j = 0 ，i 歹 ( 证) 如果p = 0 ，锄z ，a 2 聋z ，那么f a ( u ) 有唯一的极大非零子模孵丧= o 七1 ，七2 kc vo 聋t 争石q ，并且它是不可约的 ( 饿) 如果p = 0 ，a 3 z ，嘞z ，那么f q ( u ) 所以非零子模都是结丧或 笏 咱厂c vo 墙1 巧0 2 坛觚 ( 向) 如果p ( 岛3 ) = 0 , # ( e 1 2 ) 0 ，0 1 3 z ，那么p ( u ) 唯一的极大非零子模 孵矗，并且它是不可约的 ( u ) 除( i i ) 一( i v ) 的情况外，f a ( u ) 都是不可约的 证明易证盟是9 1 3 的个可解李代数由引理2 4 可知有限维可解李代数的 不可约模是一维的 所以u = 印。他 t ，) ，其中t ，是y 的任意一非零向量那么是u = 印口佗 是 一维的辨摸 因此存在一个线性映射p ：2 【_ c ，使得v a 2 i ，a v = p ( a ) v 因为 弘( 【日2 ，易3 】) = 0 ，0 = 【e 1 2 ，易3 】u = e 1 3 ，所以p ( e 1 3 ) = 0 令w 是f q ( u ) 的任意个非零子模，w = o n r ( n ) ，其中w ( n ) 是v ( n ) 的子空间，所以w ( n ) = 0 或者( n ) = s p a n vq t n ) ，如果w 0 那么存在礼r 使得w ( n ) 0 因为g = s p a n d ( e 3 ，t e l + s e 2 ) ) 是3 的子代数，定理3 6 考虑了g 在f q ( u ) 上的作用，当口3 z ，p ( 岛3 ) = 0 时，我们知道f 口( u ) 是不可约的g _ 模，那么它 也是不可约的3 一模 作为g - 模，p ( 矿) 的所有子模都是定理3 6 ( i i ) 中讨论的情况，所以我们 要验证它们是3 一模由于3 = s p a n d ( e s ，t e l + s e 2 ) ) 0s p a n d ( e 2 ，e 1 ) = g o s p a n d ( e z ，t e l ) ) ，我们只需考虑d ( e 2 ，t e l ) 在这些g - 模上的作用 当o r 3 z 并且p ( e 2 s ) = 0 ，那么d ( 札，r ) ( 几) = ( u 2 r l # ( e 1 2 ) + ( 让，n + q ) ) t ，m + r ) ( i ) 当# ( e 1 2 ) = 0