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摘要 本文主要研究了三维竞争系统的分类，周期解，非自治竞争 l o t k a - v o l t e r r a 系统的几乎自守解以及具有平移不变性的严格单调 映射的全局收敛性问题，共分五章，其中第一章是引言部分 第二章中，我们考虑的是f i e l d - n o y e s 模型该模型在我们感 兴趣的区域里面存在个双曲平衡点；并且这个平衡点要么是渐近 稳定的，要么其稳定流形是一维的从而存在周期解m u r r a y 给出 了它渐近稳定时的判别公式对大家感兴趣的周期解问题，我们用 单调动力系统的方法，结合型序和耳型竞争的概念给出了周期 解存在的判别方法和公式 第三章中。我们考虑的是2 维非自治l o t k a ，v o l t e r r a 系统指 出在相同的假设条件下，如果系统的系数函数是连续几乎自守的， 则该系统存在一个几乎自守解从而推广了a h m a d 的结果第四 章中，我们考虑的是由三个相互竞争的物种组成的l o t k a - v o e e r r a 系统，用几何分析的方法验证了z e e m a n 给出的3 3 种不同动力学 分类 第五章中，我n 】考虑的是单调映射轨道的一致收敛同题对强 单调系统，其不收敛到平衡点的有界解的初始点包含在个零测集 里，而加上合适的条件这种收敛可以达到全局收敛对于我们考虑 的严格单调映射加上平移不变性的条件后其轨道经过适当的投影 以后全局收敛到平衡点如果非自治合作的周期系统满足一定的条 件，则该系统的p o i n c a r g 映射满足平移不变性，从而可以应用全 局收敛的结果 a b s t r a c t t h es o l u t i o n so ft h r e ec o m p e t i t i o ns y s t e m s ，t h ea u t o m o r p h i cs o l u t i o n s o fn o n a u t o n o m o n sl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i o ne q u a t i o n sa n dag l o b a le o n v e r o g e n g c er e s u l tf o rs t r o n g l ym o n o t o n em a pw i t hp o s i t i v et r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e a r es t u d i e di nt h i st h e s i sw h i c hc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s ，a n dt h ef i r s tc h a p t e r i 8i n t r o d u c t i o n i nc h a p t e r2 t h ef i e i d n o y e sr o o d e la r ec o n s i d e r e d t h e r ea r et w o p o s s i b i l i t i e si fw ec o n s i d e ro n l yt h ec a s et h a tt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h e s y s t e mpi sh y p e r b o l i c e i t h e rpi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo ri ti su n s t a b l e w i t hao n ed i m e n s i o n a ls t a b l em a n i f o l d b o t hc a s e sc a no c c u r ，d e p e n d i n g o nt h ev a l u e so ft h ep a r a m e t e r s c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v i a l p e r i o d i do r b i ta r eg i v e ni nt h es e c o n dc a s eb yt h ek n o w l e d g eo ft y p e - ko r d e r a n dc o m p e t i t i v es y s t e m s i nc h a p t e r3 t h et w o - d i m e n s i o n a ln o n a u t o n o m o u sv o i t e l t a - l o t k ac o m - p e t i t i o ne q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e dw h i c ha r ec o n t i n u o u sa l m o s ta u t o m o r p h i c i nt i m e c o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo fa na s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea l m o s t a u t o m o r p h i cs o l u t i o nw i t hp o s i t i v ec o m p o n e n t sa r eg i v e n a c c o r d i n g l y , t h e r e s u l to fa h m a da r eg e n e r a l i z e d i nc h a p t e r4 w jc o n s i d e rac o m m u n i t y o ft h r e em u t u a l l yc o m p e t i n gs p e c i e sm o d e l e d 虹t h el o t k a - v o l t e r r as y s t e m ， t h eg e o m e t r i ca n a l y s i si sg e n e r a l i s e dt oh i g h e rd i m e n s i o n st od e t e r m i n et h e d y n a m i c a lb e h a v i o u ro nan e i g h b o u r h o o do ft h ec o o r d i n a t et w o - s k e l e t o n ，a n d t h eg e o m e t r i ca n a l y s i sl e a d st o3 3p a r t i a lc l a s s i c a t i o no ft h ed y n a m i c s i nc h a p t e r5 ，w es h o wt h a ts t r i c t l ym o n o t o n em a pw h i c hh a v eac e r t a i n t r a n s l a t i o n - i n v a r i a n e ep r o p e r t ya r es ot h a ta l lo r b i t sc o n v e r g et oau n i q u e e q u i l i b r i u m t h er e s u l tm a yb es e e na 8ad u a lo faw e l l - k n o w nt h e o r e mo f m i e r c z y n s k if o rs y s t e m st h a ts a t i f yac o n s e r v a t i o nl a w i nt h el a s ts e c t i o n ，w e c o n s i d e rp e r i o d i cc o o p e r a t i v es y s t e m s ，g i v et h ec o n d i t i o nt h a tt h ep o i n c a r d h a v et r a n s l a t i o n - i n v a r i a n e ep r o p e r t y , 8 0a l lt h es o l u t i o n sa r ea s y m p t o t i cp e - r i o d i cs o l u t i o n s v 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：筵垂壹 0 7 年月易日 致谢 首先我要特别感谢我的导师蒋继发教授，宫2 0 0 1 年进入研究 生学习阶段以来，作者在蒋老师的指导下，进行了单调动力系统理 论等方向的研究在平时的学习、工作中，蒋老师渊博的知识，严 谨的治学态度，为人的谦逊都深深地影响着我；他不仅传授给我大 量最新的专业知识，也教给我进行学术研究的方法，本文正是在蒋 老师悉心指导下完成的，作者谨向蒋老师致以崇高的敬意和衷心的 感谢l 其次，我还要感谢我的诸位师兄，他们的帮助使我受益匪浅； 另外，我的同学们也给了我很多的支持和帮助，在此一并致谢 同时，作者在数学系的学习和生活中得到了系领导和各位老师 的诸多关照。在此向他( 她) 们表示深深的谢意 最后，我要特别感谢我的父母和家人，在我情绪低落的时候， 能给我充分的理解，支持和鼓励，使我能够安心学习 第一章引言 在生态学中，一项长期努力的工作是研究生态系统中不同生物种群数量 ( 或密度，或其它生物量) 的变化规律对这种研究工作的产生和发展起重 要作用的科学家，首先就是v v o l t e r r a 早在1 9 0 0 年v o l t e r r a 对数学在生物 和社会中的应用就发生了兴趣( 见【1 1 】) 虽然在1 9 2 5 年以前它在这个领域 中的研究工作还没有多大进展，但是在研究了关于阿里阿海( t h ea d r i a t i c ， 在意大利东边) 捕鱼数量波动的情况之后，对这个问题的研究工作就有了迅 速的发展v o l t e r r a 【9 6 】引进了如下系统 面d 2 1 i 叫圾+ 喜酬，砣岍= 1 ，2 ，( 1 毗) 来研究生物种群闻的相互演化关系；与此同时，a l o t k af 5 1 1 也独立的引出 了系统( 1 0 1 ) 来研究化学反应和生物因此后人称( 1 0 1 ) 为l o t k a ，v o l t e r r a 系统另外一位对l o t k a - v o l t e r r a 系统做出突出贡献的科学家是g f g a r i s e g a u s e 更加注重验证一些生态学的理论问题，如v o l t e r r a 的理论，此外，他 对两种群相互竞争，总有一方占上风理论( 即竞争排斥理论，也称g a u s e 理 论) 的建立也作出了突出贡献在g a u s e 的专著1 2 6 】出版以后，竞争排斥原 理就成了生态学中的一个基本原理因此，有时也称l o t k a - v o l t e r r a 系统为 g a u s e - l o t k a - v o | t e r r a 系统( 觅5 6 1 ) 随着科学的发展，l o t k a - v o l t e r r a 系统在自然科学和社会科学的很多 学科中的重要作用越来越突出，并频繁出现于各类重要问题的研究中在 物理学中，利用l o t k a - v o l t e r r a 系统研究激光物理【4 7 】和等离子物理【4 8 】 等等的耦合波；在流体力学中，利用l o t k a - v o l t e r r a 系统证明通向湍流新途 径的存在【1 3 j - 【1 6 1 和气体的混沌【5 3 】；在中性网络中，l o t k a - v o l t e r r a 系 统也有应用f 6 0 l ；在经济学和对策论中，l o t k a - v o l t e r r a 系统具有广泛的应 用【4 2 l ，f 4 3 ，【6 1 】，【6 8 l ，f 1 0 1 ；它们与1 9 9 4 年诺贝尔经济奖得主j c h a r s a n y i ， j f n a s h 和r s e k e n 的非合作对策理论有着密切关系f 4 2 】；同时，l o t k a , - v o l t e r r a 系统是著名的k d v 方程的离散化【9 】，【1 0 1 并且物理，生物，生 态，化学，经济等学科中大量的o d e 系统都可以变换成l o t k a - v o l t e r r a 系 统【1 2 】， 4 2 】k s i g m u n d 的研究小组对这方面的研究工作尤为突出， 他在1 9 9 8 年的柏林国际数学家大会上的一小时报告中围绕这一主题作了综 l 2 0 0 7 年中目科学技术大学博士学位论文 第一幸引言 第2 页 引言 述【6 8 】 对般的微分方程系统 一一 芝；= f ( z ) ，z x c r “ ( 1 0 2 ) 如果 匀l 筹0 ，( 1 j ) ( 1 0 3 ) 。一j 对任意z x 成立，则系统( 1 0 2 ) 被称为竞争系统，而如果( 1 0 3 ) 反向 的不等式成立，则称为合作系统由于在一般情况下得不到( 1 0 2 ) 解的显 示表达，所以我们面对的任务是从向量场f ( x ) 出发去获得轨线的几何特 征，或者更进一步，去弄清楚轨线族的拓扑结构图( 称为象图) 对三维竞争 l o t k a - v o l t e r r a 系统e c z e e m a n 和m l z e e m a n 等用指标的方法对其给 出了比较粗的拓扑分类( 2 2 】，【1 0 1 ，f 1 0 3 ) ，共把这种系统分成了3 3 种等价 类，并且证瞬了1 - 2 5 ，3 2 ，3 3 的情形其不变集只含有平衡点从而我们能 清楚的知道它们的动力学性态；2 6 - 3 1 的情形都是有些含有周期轨道而有些 则不含周期轨道， 【4 2 】指出第2 7 类至少有2 个周期轨道，紧接着【9 9 】进 一步讨论了此类周期解的个数 h i r s c h 在研究竞争系统的过程中，一个基本的作法是研究其时间反转系 统一一合作系统的极限性态，其原因之一当然是竞争系统的u 一极限集就是 对应时间反转系统的口一极限集在此过程中，h i r s c h 创造了强有力的工 具研究了强单调流的大范围动力学性态空间xcr ”上的流帆称为( 强) 单调的，如果对任意z ，! ，x ， z y = = 妒t ( z ) 0 ，( 1 0 4 ) 这里zs 扛y ) 表示 玑( 鼢 玑) ，t = 1 ，2 ，n ，而o 表示 z y 且z y 由k a m k e 定理 1 8 】，如果( 1 0 2 ) 是合作的，则由它生 成的流是单调的，从而我们又把合作系统称为单调系统；如果系统还是不可 约的，则它生成的流是强单调的对强单调系统个基本的结果是h i r s c h s g e n e r i cc o n v e r g e n c et h o r e m ( 【3 5 】，【7 s ， 3 3 】，【3 6 】，【3 8 】) 也就是说该系统不 收敛到乎衡点集的有界解的初始点包含在一个零测集里特别的，加上合适 的条件这种收敛可以达到全局收敛【2 1 指出如果强单调系统的流还满足 平移不变性，则该系统的解经过适当的投影后是全局收敛到平衡点的 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第一幸引吉 第3 页 引言 在实际的生物学和生态学研究中。我们知道生物种群生活的外部条件如 温度，湿度，食物，水及其它资源通常会随时间的变化而变化，从而种群的 增长率也会随时间的不同而不同因此，我们用非自治的l o t k a - v o l t e r r a 系 统 fd 个 署2 戤( + 跺1 ( t ) 巧) ，( 1 删 【甄0 ，江1 ，2 ，n ， 来研究这种情况下种群的演化规律我们知道，在自然界中有许多现象呈现 出某种周期性，最显然的例子是季节的周期性变化这种周期性使得生物的 生存环境，如气候，食物供应等也呈周期性。从而导致生物的一些习性，如体 温，交配等。也表现为周期性这时，我们很自然的想到。这种周期性可能导致 种群演化的周期性关于周期l o t k a - v o l t e r r a 系统的工作k g o p a l s a m y 【2 7 】 利用b r o u w e r 不动点原理，给出了2 维周期竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统存在 周期解的充分条件；后来，他在 2 8 】中又把这一结果推广到n 维周期竞争 l o t k a - v o l t e r r a 系统这方面的工作还有p k o r m a n 【4 6 】，x q z h a o 【1 0 4 等j c e i l b e c k 和j l 6 p e z - g 6 m e z 2 3 】以及j l 6 p e z - g 6 m e z 【s o 不仅讨 论了2 维周期竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统周期解的存在性，稳定性，还研究了 周期解的重数；z t e n g 和lc h e ni s 5 1 研究了2 维周期竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统中种群的灭绝性( 即对某个i 如果有l i r a “。黾( t ) = 0 ，则第 个种群 将最终灭绝) 但是，实际情况下，生物种群受太多偶然因素的干扰，严格意义上的周 期性是不存在的，所以我们很自然的要考虑几乎周期系统( 在( 1 0 5 ) 中。如 果 ( t ，。1 ，勋，) 是关于t 的几乎周期函数，则系统( 1 0 5 ) 称为几乎周期 k o l m o g o r o v 系统) 和一般的非自治系统t e n gi s 2 】利用s c h a u d e r 不动点定 理给出了几乎周期竞争k o l m o g o r o v 系统存在正的几乎周期解的充分条件 关于几乎周期竞争l o t k a - v o l t e r r a 系统渐近性分析的工作有s a h m a d ( 2 】 g o p a l s a m y 【2 9 】等 对个非自治的合作和竞争的系统 = 只( 。，t ) ，1 s n ， ( 1 0 6 ) 这里z = ( z l ，勋) ，由f 3 6 】称系统( 1 2 6 ) 为竞争的，如果 筹 o ，嗍， 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章引言 第4 页 引吉 如果上面的不等式反号则称( 1 0 6 ) 为合作的当只关于时间变量t 为周期 的时候( 不妨设为撕) ，这对可以把系统看成定义在高一维空间s 1xr “上 的自治系统 【5 8 】首先在2 维周期的l o t l m - v o l t e r r a 系统中引进p o i n c a r g 映射t ：t ( z ( 0 ) ) = z ( 2 7 r ) 并且指出t 在衅上是保序的，从而通过考虑离 散系统o 。+ l = 知道该离散系统的所有轨道 p z 。，。收敛到t 的平衡 点，即2 维l v 系统的所有解渐近收敛到周期为2 7 r 的解f 7 6 】给出了系 统( 1 0 6 ) 的p o i n c a r 映射及相应离散系统解的性质我们的文章【5 】指出 如果系统( 1 0 6 ) 还满足_ 定的不变性条件，则其所有解全局收敛到一个周 期解 本文共分三个部分在第二章中我们主要考虑是b e l o u s o v - z h a b o t i n s l d i 化学反应f i e l d - n o y e s 模型【5 9 】，用单调动力系统的方法给出了该系统周期 解存在的条件该模型用下面的微分方程表述 ；：=一；”fy一-zy+z(1zy 2 i z g z 刀 。， 1 芏，= 一”一 + ( 1 o 7 ) 【= 6 ( x z ) 这里参数e ，q ，j 是正的，并且0 g 1 结合实际背景我们只考虑系统在 下面有界区域d 中的解。这里 。= 卜舭m z 石1 ，而2 f q ；， 材( 吩肘呦l ) ，l = 1 ，2 ，n ， 条件( 2 ) = 州2 1 一舟 8 “l 2 一t _ l f ， = ，一，珏 j f f i l j - i 当，l = 2 时，系统可改写为 三搿二e m ( t ) u “( t 昌二嬲： ， it ，= ”( d ( f ) 一) 一，( 力口( 力) ， 、“7 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第一幸引言 第6 页 引言 这里n ( t ) ，6 ( t ) ，c ( t ) ，d ( t ) ，e ( t ) 和f ( t ) 关于t 连续且有正的上下界，并且在t r 是连续几乎周期函数对一个函数g ( t ) ，令乳和g m 分别表示i i l f 一。c t 一9 ( t ) 和s u p o 。o 。g ( t ) 则条件( 1 ) 可改写为 q l c m d m f l ，d l e m q 。 b l s a h m a d 【2 】指出当n = 2 时仅条件( 1 ) 就能保证同样的结果就此情形， 我们做了进步的推广证明了如果系数函数a ( t ) - f ( t ) 是连续几乎自守的， 则同样的条件下系统( 1 0 1 0 ) 存在个几乎自守解 第四章我们考虑的是由三个相互竞争的物种组成的l o t k a - v o l t e r r a 系统 三 = x i l i ( z ) = x i ( b 一：巧) ，t = 1 ，2 ，3 ( 1 0 1 0 ) j = l 柙 这里q ( t ) 表示t 时刻第i 个物种的种群大小，而z ：表示：善由于各物 种是相互竞争的故对v i j 都有 0 此外，我们还假设，6 0 ， i = 1 ，2 ，3 我们知道在两维竞争l o t k v o l t e r r a 系统中不存在周期解，其全 局动力学性态可由两维几何分析决定( 见 1 0 2 ) 在本章中我们用这种几何 分析的方法验证了z e e m a n 给出的该系统的3 3 种动力学分类 第五章中我们考虑的是一个b a n a c h 空间x 上的( 严格) 单调连续映射 t ：x x 满足 z l ( ) $ 2 = 亭t x , ( ) t z 2 ，z l ，z 2 x ( 1 0 1 1 ) 如果这样的映射r 还满足下面的平移不变性，即对某个口i n t ( k ) 和v a 皿 有 t ( x + 加) = t x + a 口( 1 0 1 2 ) 对任何t r ，z x 成立则该映射的轨道经过适当的投影以后一致收敛到 一个平衡点最后考虑周期为2 的合作的微分方程 z = f ( t ，z ) = f ( t + 2 7 r ，$ ) ，z p ( 1 0 1 3 ) ( t ，。) 雠u ，这里u 是r ；= z ：魏0 ，1 i n 的开邻域我们假设 f 在其定义域上对v t r 关于z 是c 口连续的对。1 ，z 2 x ，若 。l 一。2 s p a n = = f ( t ，2 2 1 ) = f ( t ，z 2 ) ，t 酞 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第一幸引言 第7 页 引言 则该方程的p o i n c a r d 映射t 满足平移不变性，从而该周期系统的所有解经 过适当的投影以后收敛到周期为打的解 第二章三维竞争系统的周期解 本章我们考虑的主要分两个部分；第一部分主要是被称为f i e l d - n o y e s 的模型，给出了该系统存在周期解时应满足的条件第二部分方法上和第一 部分类似，给出了循环竞争模型存在周期解的条件这部分的内容主要见我 们的文章【1 1 2 1基本定义 在这一节中，我门将引进些记号和假设，并描述一些在本章将要用到 的基本结果首先，让我们引入乘积b a n a c h 空间中的一般正锥序和k 型正 锥序的概念 设t l 为自然数，指标集n = 1 ，2 ，n 如果l 为的子集，我们 用= n l 记为l 在中的补集特别的，给定一个0 和n 之间的自然 数k ，我们定义指标集i = 1 ，2 ，- 一， ，j = i = + 1 ，k + 2 ，n ) 当 然。这里j ，可以是空集 对i = l ，2 ，n ，设置为一个有序的b a n a c h 空间，矸是该空间 的一个闭凸正锥且具有非空的内部i n t x 五中由正锥玉+ 生成的偏序 可以描述如下，设蛳，地咒，如果地一地置则我们记m q ；如果 仇一矸且蛳地则我们记弛 地；如果砘一撕i n t x ：则我们记 u 仇另外，对i = l ，2 ，- 一，m 我们总把空间中的范数记为l lu 下面我们考虑乘积空间x ；x 1 局k 如果对z = ( z l ，z 2 ， ，z 。) x ，我们定义忙i | = ；l i $ , 1 1 ，则x 在范数i 下形成个b a n a c h 空间而且集合x + = x 产。耐群和k = l - i , 。f j 譬r l j ( 一臀) 都为x 中的正锥，并且x + 和k 分别具有非空的内部i n t x + = i n t x 产 ，疵砑i n t x 毒和i n t k = n 倒i n t x + 1 - 1 j e j ( 一j n t 砖) 在这里，我们注意到，如果对i = 1 ，2 ，一，t l ，取托= r ，对= r + = 1 0 ，+ o 。) ，则x 可视为n 维欧氏空间r ” 在x 中，由x + 和生成的序我们分别叫做般序和型序具体 8 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文第9 页 第二幸三维竞争系统的周期解2 1 基本定义 地，设z ，y x ，当y 一$ x + ( 耖一z k ) 时，我们记z u ( z - ky ) y z 括膏茁) ；当卫 扛y ) 并且。y 时，我们记$ 善) ；当y - x i n t x + ( 一z i n t k ) 时，我们记z ( z 耳y ) f x ( y 耳) ， 如果击，y x 并且霉弘0 耳f ) ，则定义( 闭) 序区间陋，y j = 二x ：z 彳sy ( 陋，剪】耳= 名x ：z 0 ，i l ) ；i n t h z = 。月2 ：戤i n t x t * ，i l 特别的，当l = n 时，我们有日毒= x + ，日品= z x + ：戤 0 ，i 和i n t i t 三= i n t x + 另外，当l = 0 时。我们定义日二= 醒= i n t i - i = 0 任给8 置，定义童= ( o ，0 ，戤，0 ，0 ) 风m 即其是第 个分量 为矗，而其它分量都为0 的向量 设p = 白l ，沈，陬) x = n * 咒对任意lcn ，如果向量p l l 五由p 的所有分量p l r i 坨l 五，存在唯一的向量p 王屯c x 使得 m 为p 关于l 的限制所以在本章中，当我们直接用p l 1 1 t 。l x 时，我 们总是把它当作向量p 王乙x 关于l 的限制对兀 ；l 托中的两个向 量船，钆，如果在x 中有p - kq ，则我们记ms 品豇，即对任意i l n j 有( p l ) i ( l ) ，而对任意i l n j 有( 乳k ( 轧) t 下面我们介绍单调矩阵，k 型单调矩阵，竞争矩阵，k 型竞争矩阵的 概念 如果一个矩阵的所有所有非对角元都是非负的。则称这个矩阵为单调 的 如果一个矩阵具有形式 ( 二苫) ， 这里a 为kxk 单调矩阵( 0 ksn ) ，b 为kx 一k ) 非负矩阵，c 为 m k ) xk 非负矩阵，d 为m k ) xm k ) 的单调矩阵；则称这个矩阵 2 0 0 7 年中圈科学技术大学博士学位论文 第1 0 页 第二幸三维竞争系统的周期解2i 基本定义 为k 型单调的 一个矩阵a 称为( 型) 竞争的当且仅当一a 为( 型) 单调的 由p e r r o n - f r o b e n i u s 定理，不可约单调矩阵有唯一的一个特征值，称之 为主特征值，它是实的且其它特征值的实部严格小于这个主特征值；主特征 值对应i n t r ；中唯一的单位特征向量，称之为主特征向量同样的，不可约 k 型单调矩阵也存在主特征值和i n t k 中唯一的主特征向量 下面我们给出( 型) 单调映射和( 半) 流的定义 定义2 1 1 映射s ：x + 一x + 被称为似型，单调的，若对任意z ，y x + ， 。 y ( x 并爹) ，恶有s ( x ) s ( 暑，) ( s ( 盘) t os ( 鲈) ) 在本章中，k r e i n - r u t m a n 定理是非常重要的基本工具这里我们给它 一个描述 定理2 1 2 设e 是有序b a n a e h 空间e + 是e 中正锥并且有非空内部 i n t e + 二：e e 是线性强正紧算子，即l ( e + o ) cj 疵e + 那么l 的普半径r ( l ) 是l 的一个简单特征值，相应的单位特征向量口h e + ， e + 中没有其它与口线性无关的特征向量，其它特征值的模严格小于r ( l ) 我们称r ( l ) 为l 的主特征值，口为主特征向量 定义2 1 3 伴，流：x + r ( r + ) 一x + 被称为k 型，单调的，若对任 意t ( 0 ，+ o 。) ，映射也为僻型，单调的 流：x + r x + 被称为( k 型) 竞争的当且仅当其逆向流为( k 型) 单调的，即对任意t ( 0 ，+ o 。) ，映射庐一i 为( k 型) 单调的 我们用u ( $ ) 表示一个动力系统的护极限集，用a c x ) 表示其甜极限 集我们称个动力系统为耗散的，如果存在个紧不变集r 一致吸引了全 空间中的任意有界集 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文第1 l 页 第；章三维竞争系统的周期解 2 2f i e l d - n o y e s 模型的周期解 2 2f i e l d - n o y e s 模型的周期解 我1 】考虑f 回的设称为f i e l d - n o y e s 模型的微分方程 l 矿i ；= 一l y 一- 霉z 可y + + 。x ，( ；1 一g z ) 】 。2 ， 【一= 6 扣一z ) 这里参数e ，q ， 6 是正的，并且0 q 1 结合实际背景我们只考虑系统在 下面有界区域d 中的解，这里 。= 卜舭) 1 。 i 1 ，两2 f q ， ；，z o b = 孚+ 譬+ 蛙坐掣， c ：( q + x ) e - - 2 f ( q ：- - x ) + y ( q - - x 一* ) ；幽：霉1 2 o ， 则我们有a 0 ，e 0 ，c 0 ；而且可能为正也可能为负由r o u t h - h u r w i t z 准则知，当 a 0 ，g 0 ，a b g 0 时，所有特征值具有负实部，从而p 点渐近稳定 因为系统( 2 2 1 ) 在点( 而玑z ) 处的j a c o b i a n 矩阵为 1 一y 一2 q $ 1 一z j = i 与 j e 一1 一z 0纠 由此很容易看出在一般的偏序下面( 2 2 1 ) 并不是竞争系统为此。我们考 虑k 型序 令m = ( m l ，m 2 ，仇。) 这里碱 o ，1 ) 并且 k 0 = z r ”：( 一1 ) 呐20 ，l t s n ) 则匠。是舻中的锥，由它诱导出的偏序s 。定义为，$ 。y 当且仅当 y z 尬。，即对于使得佻= 0 的i 有s 玑而对于使得m i = 1 时的i 有 挑；当z 。y 且z 暑，时我们记为z 。y ；当一z i n t 时，记 为z 。y ，或者等价的，对于使得帆= 0 的i 有戤 觚而对于使得盹= 1 时的i 有铂 执令p 为定义成p = d i a g ( - 1 ) “，( 一1 ) ”，( 一1 ) “】的 对角阵易见p 是一个满足p = p - 1 的序同构，也就是说，$ s 。y 当且 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文第1 3 页 第二章三维竞争系统的周期解 2 2f i e l d - n o y e s 模型的周期解 仅当p zsp y 区域d 称为是p m - 凸的，如果对$ ，y d ，0 t l 和 z 。都有霉+ ( 1 一t ) y d 成立 对定义在区域d 上的微分方程 = ，( z ) ( 2 2 2 ) 称( 2 2 2 ) 在锥k 。下是合作的，如果d 是鳓一凸的且对i l ，d ，有 ( - 1 ) m + 哪堕o x j r 善) o ，( 2 删 称之为竞争的如果下面的反向不等式成立 ( 叫“蚋差( z ) 0 i 乱z d ( 2 2 4 ) 如果仇= 0 我们就得到了通常意义下锥，偏序，合作和竞争的概念 下面的定理( 见t 3 ) 指出，这样的合作和竞争系统是保序的 定理2 2 i 韫设d 是p 。- 凸的且满足( 2 2 3 ) 。，是d 上的连续可微向 量场，用 ，代表所有的序关系s 。， 0 有霉 ，则 也( 霉) ，也( ) 如果( 2 2 4 ) 成立，则结果对t o ， 2 0 0 7 年 中田科学技术大学饵士学位论文 第1 4 页 第二幸三维竞争系统的周期解 2 2f i e l d - n o y e s 模型的周期解 差+ o j ( 咖o ， 成立，则记= 0 ；如果对某个d ，不等式 磬+ 差 0 ，a z = p ( a ) z 而且a 的任一非负特征向量一定是z 的正数倍 对系统( 2 2 1 ) ，向量场在点p = ( 毛y ，。) 处的j a c o b i a n 矩阵为 j = 1 一y 一2 q z 1 一z 一 6纠 则在d 里l ，的非对角元是符号稳定的。并且j 在d 里符号对称的矩阵 ，相应的以$ ，y ，；为顶点的图如下( 图1 ) ，易见该图只有一个闭环，且只有 连接顶点g ，y 的边标有一号从而系统( 2 2 1 ) 在d 里是竞争的则其反 向系统为合作的，对应