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扬州大学硕士论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 3 0 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：戳舅 签字日期：们年月卢日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 学位做作者虢铋考 签字日期：砂秒碑j 1 肜日 导师签名： 训舛 签字日期1 利年j 。月尹日 施冬芳由n 0 0 r 积分算子定义的解析函数 中文摘要 在s r u s c h e w e y h 定义了解析函数的r u s c h e w e y h 导数 1 】后，许多学者相继研究 了与r u s c h e 、e y h 导数有关的单叶或多叶解析函数类，并且不断改进和推广 r u s c h e w e y h 导数，将分数次算子、积分算子和微分算子等应用到单叶函数论的研究 领域中来，使得单叶函数理论得到了极大的丰富和发展如r u s c h e 、e y h 导数算子 【l ，2 ，1 9 】，n o o r 积分算子【3 ，4 】，c 碰s o n s h a 船r 算子 5 ，6 】，j u n g 硒m s r i v a s t a v a 积分算 子 7 ，8 】，d z i o k s r i v a s t a v a 算子 9 ，1 0 等等基于这些不同的算予，某些解析函数类或 亚纯函数类的性质和特征( 如函数类的包含关系、偏差覆盖定理、卷积性质、部分 和性质等) 被广泛的研究，如s r i v a s t a v a 、x u 和y r 锄g 【2 ，l i u 和s r i v a s t a v a 1 2 等 本文用h a d 锄a r d 积( 卷积) 定义线性算子厶，称之为n o o r 积分算子即令a 表示 单位圆盘u = z ：h 1 内形为厂( z ) = z + 吼少的解析函数类对于厂( z ) a ， ，z n ，线性算子厶：a 专a 定义为 厶厂o ) = z 1 ( z ) 木厂( z ) ，其中z ( z ) 2 百扫，- 1 ( z ) 水z ( z ) 2 百身幸表示 ij 一么，i l 一么， h a d 锄莉积( 卷积) 首先利用n o o r 积分算子厶引进了一个新的解析函数类q ，刀；彳，b ) ，作为文献 【2 ，2 l ，2 2 】中函数类的推广，我们给出了函数类q ，咒；彳，b ) 的三个包含关 系：q ( 口，挖；彳，b ) cq ( 口，行+ 1 ；彳，b ) ；q ( ，行；么，b ) cq ( q ，行；彳，b ) ； q ，甩；么，b ) cq ( 0 ，聆；1 2 p ，一1 ) ，其推论验证了s i l v e m a n 【1 8 】中的结果 其次考虑了函数类q ，忍；4 b ) 的几个卷积性质，并由此得到了在积分算子 只( 厂) ( z ) 作用下，函数类的包含关系保持不变 扬州人学硕+ 论文 2 一 最后研究了函数类q ，疗；彳，b ) 中系数为负实数的函数类q + ，刀；彳，b ) ，给出 厂( z ) q ，刀；么，b ) 的充要条件，进而得到了函数类精确的系数估计，极值点问题和 凸性，以及近于凸函数，星象函数和凸函数的半径 关键词：解析函数；n o o r 积分算子；h a d 舭1 a r d 卷积；近于凸函数；星象函 数；凸函数；极值点 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 a bs t r a c t 3 s i n c ed e f i n e dr u s c h e w e y hd e r i v a t i v eo fa 1 1 a l ”i c 劬c t i o n sb ys r u s c h e w e y h 1 】， m a i l ys c h o l a r sh a v es t u d i e dc l a s s e so fu n i v a l e mo rm u l t i v a l e n ta i l a l y t i c f h n c t i o n s a s s o c i a t e dw i t hr u s c h e w e y hd e r i v a t i v e s e v e r a lf 锄i l i e so ff r a c t i o n a lo p e r a t o r ，i m e g r a l o p e r a t o ra n dd e r i v a t i v eo p e r a t o rw h i c ha r ec l o s e l yr e l a t e dw i t ht h eh a d 锄a r dp r o d u c t ( o rc o n v o l u t i o n ) 、) ，e r ei n t r o d u c e da n di n v e s t i g a t e di nt h ec o n t e x to fu 1 1 i v a l e mf u n c t i o n t 1 1 e o uf o ri n s t a l l c e ，w ec h o o s et om e n t i o nt h er u s c h e w e y hd e r i v a t i v eo p e r a t o r 【1 ，2 ，19 】， t h en o o r i n t e g r a lo p e r a t o r 3 ，4 】，t h e c a r l s o n - s h a f r e r o p e m t o r 5 ，6 】，t 1 1 e j u l l g 一瞄m s r i v a s t a v ai n t e g r a lo p e r a t o r 【7 ，8 ，t h ed z i o k - s r i v a s t a v ao p e r a t o r 9 ，1 0 】，锄ds o o n b a s e do nt h e s ed i f r e r e mo p e r a t o r s ，s o m ep r o p e r t i e sa r l dc h a r a c t e r so fa 1 1 a l y t i c m c t i o n sa i l dm e r o m o 印l l i cf u n c t i o n sh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y ，f o re x a m p l e ，t h e i n c l u s i o nr e l a t i o n s ， d i s t o r t i o na n d c o v e r i n g m e o r e m s 、 p a r t i a l s u m s 、c o n v 0 1 u t i o n p r o p e r t i e sa n ds oo n ( 2 ， 1 2 ) i nt h i sp 印e r ，l e ta b em ec l a s so f 劬c t i o n so f t h ef o n l l 厂( z ) = z + 吼z 。州c ha r e 七= 2 a n a l 如c i nt h eu i l i td i s ku = z ：z c 且i z i 1 f o r 厂( z ) a ，行n ，ac e n a i n o p e r a t o r 厶：a 专a ( c a l l e dn o o ri n t e g r a lo p e r a t o r ) i sd e f i n e da u s 厶厂( z ) = - 1 ( z ) 幸厂( z ) s u c h t h a t _ 1 0 ) 水z ( z ) = ( 1 一z ) 2 h a d a m a r dp r o d u c t 、h e r e z ( z ) = z ( 1 一z ) 肿1 a n d 幸 d e n o t e sc o n v o l u t i o no r f i r s t l y ，m a 虹n gu s eo fn o o ri m e g r a lo p e r a t o rl ，an e ws u b c l a l s s o fa n a l ”i c m c t i o n s q ( 口，z ；么，b ) i si n t r o d u c e di nt h eo p e nu n i td i s k a sag e n e r a l i z e dc l a s so f 【2 ，2 1 ，2 2 ，t 1 1 r e ei n c l u s i o nr e l a t i o n so fi ta r eo b t a i n e d ：q ( 口，z ；彳，召) cq ( 口，刀+ l ；彳，b ) ； q ( 口2 ，么，b ) cq ( 口1 ，玎；彳，b ) ；q ( 口，刀；彳，b ) cq ( 0 ，船；1 2 p ，一1 ) 1 1 1 ec o n s e q u e n c eo f t h e i n c l u s i o nr e l a t i o n si sa c c o r d 晰t ht h ec o n c l u s i o no f 【1 8 s e c o n d l y ，t l l ec o n v o l u t i o np r o p e n i e so f9 ( 口，门；彳，b ) 御ei n v e s t i g a t e d ，a 1 1 ds o m e i n c l u s i o nr e l a t i o n sa r ep r e s e r v e du 1 1 d e rt h ei n t e g r a l 易( 厂) ( z ) f i n a l l y ，c l a s sq + ( 口，刀；么，b ) o fa n a l y t i c 缸1 c t i o n s b e l o n g i n g t 0 q ( 口，z ；4 ，b ) 谢t ht 1 1 en e g a t i v ec o e 衔c i e n t si ss t u d i e d ，n l en e c e s s a r ya i l ds u 街c i e n tc o n d i t i o no f 厂( z ) f a l l i n g i n t o q ，z ；彳，b ) i sc o n s i d e r e d t h e r e f o r et h ec o e 伍c i e n te s t i m a t e s ，e x t r e m e p o i n t sp r o b l e m s 、t h ec o i e x i t ) ，a n dt h er a d i u so fc l o s e - t o c o n v e x 缸1 c t i o n s ，鼬a r l i k e f m l c t i o n s ，c o n v e xf 诅1 c t i o n so fc l a s sq ( 口，z ；么，b ) a r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：a n a l y t i cf u n c t i o n s ； n o o ri n t e g r a lo p e r a t o r ；h a d a m a r dp r o d u c t ； c l o s e - t o - c o n v e xf 吼c t i o n s ； s t a r l i k en m c t i o n s ； c o n v e x 缸l c t i o n s ； e x t r e m ep o i n t s 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 由n o o r 积分算子定义的解析函数 1 引言 设a 表示形如 厂( z ) = z + 嚷 ( 1 1 ) 七= 2 且在单位圆盘u = z ：h 1 ) 内解析的函数厂( z ) 全体所成的函数类 设厂( z ) 和g ( z ) 都在u 内解析，若存在u 内满足1 w ( z ) l h 的解析函数w ( z ) 使 得厂( z ) = g ( w ( z ) ) ，则称厂( z ) 从属于g ( z ) ，记作厂( z ) g ( z ) 特别地，若g ( z ) 在u 内 是单叶的，则厂( z ) g ( z ) 等价于( o ) = g ( o ) 且厂( u ) cg ( u ) 若日( p ( z ) ，孕( z ) ) _ 而( z ) 为一阶微分从属，若g ( z ) 单叶，且对所有满足此微分 从属的解析函数p ( z ) 都有p ( z ) 一 9 0 ) ，则称g ( z ) 为微分从属的控制函数若g o ( z ) 是 微分从属的控制函数且对所有控制函数g ( z ) 有9 0 ( z ) 雕枷， 则称( z ) 为单位圆盘u 内( 雕唧， 则称厂( z ) 为单位圆盘u 内( 雕咖， 4 ， 则称厂( z ) 为单位圆盘u 内( 1 ) 阶近于凸函数，记为k ( ) 若函数厂( z ) a ，如果满足 南坝加f ( 既 则称厂( z ) 为u 内( 一1 ) 算子d 称为i h s c h e w e y h 导数，它是由i n s c h e w e y 1 】首先引进的类似于算子 d 2 ，n o o r 3 】引入了算子厶：a 专a 如下：令 肫) 2 矗朋n ，k ) 堋加高， ( 1 6 ) 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 训力= ) ( 妒八力2 l 南j 呗力，化) a ( 1 7 ) 、( 一1 ) 称厶为n o o r 积分算子 若厂( z ) 形如( 1 1 ) 式给出，则由( 1 6 ) 式和( 1 7 ) 式可得 7 一 砉高 少 8 ， 我们注意到：厶厂( z ) = 矿( z ) ，厂( z ) = ( z ) 讦多学者 3 ，4 ，1 3 ，2 0 】相继引进和研冗了与n o o r 积分算子有关的各种解析函数 类和亚纯函数类本文将利用n o o r 积分算子厶定义两个新的解析函数类，并讨论其 一些有趣的性质 对于满足一1 b 1 ，b 彳的实数么，b ，定义函数办( 么，b ；z ) = 暑老，z u 我们 知道办( 彳，b ；z ) 将单位圆u 共形映照为以 等为圆心，罟等为半径的圆，并且此圆 与实轴交于* 善，若善两点其中b 1 定义1 对于，z n ，口0 ，若( z ) a 且在u 内满足 ( 厶( z ) ) + 口z ( l 厂( z ) ) ”一 办( 4 ，b ；z ) ，( 1 9 ) 则称厂( z ) 在函数类q ，刀；么，b ) 中( 1 9 ) 式也等价于 l 者羰踹i “ l 彳一b ( l 厂( z ) ) + 口z ( 厶厂( z ) ) ” i 、7 定义2 若7 r ( z ) 9 位，胛；彳，b ) 且 厂( z ) = z 一i 吼p ， ( 1 1 1 ) 七= 2 则称厂( z ) 在函数类q + ，z ；么，b ) 中 扬州大学硕士论文 2 相关弓l 理 8 一 引理1 【1 4 】设 l ，厂( z ) r ( ) ，g ( z ) s ( ) ，则对于单位圆盘u 内任意函 数f ( z ) 有 2 盟c 历( f ( u ) ) ， j 肆g 其中c d ( f ( u ) ) 为f ( u ) 的闭凸包 引理2 【1 5 】设乃( z ) 在单位圆盘u 内单叶解析且为凸函数，矗( 0 ) = 1 ， p ( 三) = 1 + z ”+ 在u 内解析若 其中c o ，r - e c o ，贝i j p ( z ) + ! 孕( z ) _ 厅( z ) ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) p ( z ) 。) ， 2 互( 口，6 ；c ；z ) = ( 卜z ) 2 鼻( 口，c 一6 ；c ；) ， z l ( 6 + 1 ) 2 e ( 口，6 ；6 + 1 ；z ) = ( 6 + 1 ) + 6 z2 e ( 口，6 + 1 ；6 + 2 ；z ) ， 2 e ( 口，6 ；c ；z ) = 2 正( 6 ，口；c ；z ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 引理4 【1 6 】设o 名1 ，厂( z ) 么，g ( z ) 彳，( z ) 为u 内的解析凸象函 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 数，厂( z ) 一 f ( z ) ，g ( z ) _ f ( z ) ，则 旯厂( z ) + ( 1 一兄) 厂( z ) o ，则有 & 溆瑚崭叭 ( 2 8 ) 扬州人学硕士论文 3 函数类q ( 口，甩；彳，b ) 的包含关系 定理1 设甩n ，则q ( 口，力；彳，b ) cq ( 口，z + 1 ；彳，召) 证明锁z ) - z + 薹等( z 刚则北m ，且 1 0 _ 一 f 务啾加若( 雎叭 ( 3 1 ) 自( 3 1 廊口南坝z ) 趴字脚( _ 争 由此可得 矽( z ) 尺( 一昙) ( 3 2 ) 又由n o o r 积分算子l 的定义知 爿卅( z ) 木( z ) = 硝( z ) ( 3 3 ) 由( 3 3 ) 式可得 z ( 厶+ 。厂( z ) ) = 矽( z ) 木( z ( 厶厂( z ) ) ) ( 厂a ) ， z 2 ( 厶+ 。厂( z ) ) ”= 矽( z ) 木( z 2 ( 厶厂( z ) ) ”) ( 厂a ) 因此，若厂( z ) q ( 口，z ；彳，b ) ，则有 ( m 砌f + 地t m ) ) i = 锗， ( 3 4 ) f ( z ) = ( 厶厂( z ) ) + 口z ( 厶厂( z ) ) ”_ 而( 4 ，b ；z ) ( 3 5 ) 又g ( z ) = z s + ( 一三) ，办( 彳，b ；z ) = 暑老在u 内解析且为凸函数，故由( 3 2 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) 式和引理1 知( 厶+ ，厂( z ) ) + 口z ( 厶+ l 厂( z ) ) ” j l z ( 彳，b ；z ) ， 于是厂( z ) 以口，胛+ 1 ；彳，召) 从而定理得证 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 定理2 设o q 口2 ，则q ( 口2 ，行；4 ，b ) cq ( a l ，z ；4 ，b ) 证明设厂( z ) q ( 口：，玎；么，b ) ，则 ( 厶厂0 ) ) + 口：z ( 厶厂( z ) ) ”一 办( 么，b ；z ) ( 3 6 ) 令p ( z ) = ( 厶厂( z ) ) ，贝0 由弓i 理2 矢口， p ( z ) = ( 厶厂( z ) ) i z ( 彳，b ；z ) 又o 旦 1 ，办( 么，b ；z ) 在u 内单叶凸，由( 3 6 ) ，( 3 7 ) 式和引理4 知 口2 ( 厶厂( z ) ) + z ( l 厂( z ) ) ” 。毒 ( 坝z + 喇坝砌” + ( 1 一毒) ( 坝砌( 郇渤 因此厂( z ) q ( q ，z ；彳，b ) 从而定理得证 定理3 设厂( z ) 形如( 1 1 ) 式，则q ，刀；彳，曰) cq ( 0 ，船；1 2 p ，一1 ) ，其中 p = ( 3 7 ) 竹争计1 鼎u ；扣鲁删， 8 ， 1 一二生b ：o 1 + 口 且结论精确 证明 设厂( z ) q ( 口，z ；彳，b ) 则( 厶厂( z ) ) + 口z ( 厶厂( z ) ) ” 0 一0 。6 3 ( z u ) ， 一1 l旦叭 、， + 口 瑟 一口 一 k + k一1 口撰 一口矿 ”。瑟 + n ：， 、，、， 彳一b彳一召 2 一动堕崦 2一一 上砸 n 巧 足 k 满 矿 且 卜 a 0 厂 z ，_ 他 & 设 l 沦推 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 4 函数类q ( 口，刀；彳，b ) 的卷积性质 定理4 设厂( z ) q ，z ；么，b ) ，g ( z ) 么且满足如下条件之一： ( 1 ) g ( z ) 尺( ) ( 三眯既 则有( 厂木g ) ( z ) q ( 口，z ；4 ，b ) 证明( 1 ) 设厂( z ) = z + 吼z 。，g ( z ) = z + 玩矿，则可知 z ( 厶( 厂木g ) ( z ) ) = g ( z ) 水( z ( 厶厂( z ) ) ) ， z 2 ( 厶( 厂木g ) ( z ) ) ”= g ( z ) 宰( z 2 ( 厶厂( z ) ) ”) 由( 4 1 ) ，( 4 2 ) 式和厂( z ) q ( 口，玎；彳，b ) 知 ( 厶( 厂水g ) ( z ) ) + 口z ( 厶( 厂宰g ) ( z ) ) ”= 墨紫 f ( z ) = ( 厶厂( z ) ) + 口z ( l 厂( z ) ) ”_ 扣，) c 郴m x 8 ， 证明设( z ) q ( 口，甩；么，b ) ，岛( z ) = 少则( z ) = ( 宰) ( z ) ，从而有 扫纠刊宰( 半 l 又呐廊口k ( 掣 圭眯蜘训他m 枷定酬2 肿c 伽，在 u 内单叶凸可知上s 。( z ) q ，刀；么，b ) ( 聊n o ，1 ) ) 从而定理得证 定理5 设厂( z ) = z + + 1 z 胁1 q ( o ，刀；彳，b ) ( 聊n ) 贝。对于口 o ， 土厂( z ) q ( 口， ；彳，b ) ，其中：( f 丽一聊口) 去( 肌n ) ( 4 9 ) 当b = 一1 ，彳= 1 2 ( 1 ) 时结论精确 证明设( z ) = z + + l z 拥“q ( o ，甩；彳，b ) ，则 ( i 。厂( z ) ) = 1 + k z 砌_ o ) ，i z l = ， 丢( z 叭 ( 4 “) l z 2 、 ” 、 其中如( 4 9 ) 式所示于是由著名的h e 唱l o t z 定理可知 巫丝：f 掣( z u ) ， ( 4 1 5 ) z k 占1 l 一滋 其中( x ) 是在h = 1 上的概率测度从而由( 4 1 1 ) ，( 4 1 2 ) ，( 4 1 5 ) 式知 f ( z ) ：( 厶厂( z ) ) k 螋_ o 令c ( z ) = ( 厶乃( z ) ) + 口z ( 厶乃( z ) ) ”( = 1 ，2 ) ，其中乃( z ) 如( 4 1 6 ) 式 所给出贝0 乞( z ) = 1 + 以，z _ 岛= 等( 川，2 ) 测 r e 背) 岫协黼) 2 3 ， 于是由( 4 2 3 ) 式和著名的h e r g l o t z 定理知 ( 等心+ 觜 ) 0 叭 即得r e ( e 事e ) ( z ) 屁= 1 2 ( 1 一届) ( 1 一岛) = 1 2 量号 糟 锄加警小薹鲁( 删 1 ) ，舭在u 内解析且 r e g ( z ) ) o 故由引理5 知 r e ( 粥) ( z ) ) 驯卜屈) 崭叭 ( 4 2 4 ) 利用( 4 2 1 ) ，( 4 2 2 ) ，( 4 2 4 ) 式和引理3 得 r e ( 厶厂( z ) ) + 口z ( l 厂( z ) ) ”) = r e f ( z ) l 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 2 舻r e ( e 蚓( 酬咖 垆1 圳器卜 屁+ 半f 并幽 + 斗糍黼旧雇叫 斗警嚣弩h ：e ( u ；去扎三) ( 1 一且) ( 1 一岛)l 2 1l7 。聊口 7 2 j 当蜀= 垦= 一1 时，考虑函数乃( z ) 彳满足 c 州卜九等 衍忙墟徘叭 。 口 jl 卜，j c ( z ) = ( 厶乃( z ) ) + 口z ( 厶乃( z ) ) ”2 1 专- ( ，= 1 ，2 ) ， 1 + 么z ” ( 曩掌e ) ( z ) = 1 + ( 1 + 4 ) ( 1 + 4 ) 南 一坍 于是有( l 厂0 ) ) + 口z ( 厶厂( z ) ) ” = 吉h 州t 堋圳器卜 2 丢卜去。1 ( 一c t + 4 ，c + 4 ，+ ! 帮 幽 1 9 扬州人学硕士论文 斗叶似”半岛咖 口：l i 比j 斗似聃半播” 口，行 ：l iz 亿) j = 1 一( 1 + 4 ) ( 1 + 4 ) + ( 1 + 4 ) ( 1 + 4 ) ( 1 一z ”) ：矾1 ；赤+ 1 ；南) 1 一所 一1 一( 1 + 4 ) ( 1 + 4 ) + 丢( 1 + 4 ) ( 1 + 4 ) ：互( 1 ，1 ；去+ 1 ；圭) z j e 予 从而精确性得证 若口_ o 自( 4 1 6 ) 式确( 厶驰) ) f 岛= 吕( 纠，2 ) 由上面的证明易知 r e ( l 。) ) ) = r e ( 厶石( z ) ) k ( l 左( z ) ) ) 属= 1 2 量秀 糟 从而窄理得i 币 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 函数类q ( 口，刀；么，b ) 定理7 设一l b o ，厂( z ) 彳形如( 1 1 1 ) 式，则厂0 ) q ( 口，z ；么，b ) 当且仅当 薹措幽 ， 且结论精确 证明若厂( z ) q ( 口，行；么，b ) ，则 i 沁 主纠冬妄竽。1 悱“ 急( 刀+ 1 ) 。 c m 七= 2 拿筹7 t 1 ，七一1 主警掣悱 台( 刀+ 1 ) 。 ( 彳一b ) + b 砉鱼堕帮i q i z 扣l 七= 2、7 t1 ，七一1 1 1 ， 考虑z 取实值，令z = ，o ， 1 ，当z = 0 时，分母为正，则对任意的厂( 0 ， 1 ) 分母都 为正，令z 专1 一，可得 薹警m 薹等i 咏| ， 即耄等措幽怠( ，2 + 1 ) t l ( 4 一b ) 川 反之若( 5 1 ) 式成立，令h = 1 ，有 羔训冬妄警。1 ) 1 一， 盘 ( ，z + 1 ) l c m 铲气差篙。1 h w 。1 七= 2 7 t 1 ，七一l 扬州大学硕+ 论文 轧 墨! ! ! b= ! 】 ( 么一b ) + b 型芒警型川 七；2“t1 ，七一1 则由最大模原理知l 百多爵篙菁等粉l d ，于是厂。斥纱 川_ 卜 厂( z ) = z i 了i ：写；三：喜揣z 女，z u ，尼= 2 ，3 ， ( 5 2 ) 。、7 尼! 七+ 口七( 七一1 ) ( 1 一b ) 77、7 i 吼l 面茬旱三宅，结论对( 5 2 ) 式是精确的 定理8 设一- b 。，石( z ) = z ，五( z ) = z 一乏了i 宇辜专三美揣z ， ( z ) = 五以( z ) ，其中五o ，五= 1 ( 5 3 ) 厂( z ) = 以六( z ) 七= 1 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 2 c 一薹以，z + 薹以 z 一乏可妄号三吾揣i = 2 女= 2 【“：l tl “ 一1 ，八- 一u ， 一薹高揣尚矿，瓮j i ! 【七+ 口七( 七一1 ) ( 1 一b ) 8 7 贝u 薹墨号；三芋考篙乏可妄号三吾揣以= 差以= ，一a t 。篾 ( ，2 + 1 ) 一1 ( 彳一b ) 后! 七+ 口尼( 后一1 ) ( 1 一b ) 8篾“ 1 故由定理7 知厂( z ) q ，疗；彳，b ) 反之，设厂( z ) q + ( 口，玎；4 ，功，则由推论5 知，i l 面茬竿三揣 令以= 器 由此可知厂( z ) = 五六( z ) 从而定理得证 注5 由定理8 可矢口彳( z ) = z ，五( z ) = z i i i 乏：；i 三揣 后= 2 ，3 ，为函数类q + ( 口，刀；彳，b ) 的极值点 定理9 函数类q ，珂；彳，b ) 为凸集 证明设乃( z ) = z 一i 吼，i z ( _ ，= 1 ，2 ) q + ( 口，z ；彳，b ) ，令 七= 2 g ( z ) = 彳( z ) + ( 1 一) 以( z ) ( 0 1 ) ， 则g ( z ) = z 一 f 嚷，l | + ( 1 一) i 鲰，：陋于是由定理7 知 艺等羔辫帆柙刊叫 1 复( 刀+ 1 ) 一1 ( 彳一b ) “lb u 、 。，| k 纠。 故g ( z ) q 。 ，刀；彳，b ) 从而定理得证 扬州大学硕士论文 2 4 _ 一 注6 对于定理9 ，我们不仅可以利用厂( z ) q 位，甩；么，b ) 的充要条件证明，还可 以运用引理4 直接证得证明略 定理1 0 设厂( z ) q + ，z ；彳，b ) ，则 ( 1 ) 厂在| z i _ 内是阶( o 1 ) 近于凸的这里 吒缎 半蒿擀r 4 ，1 女2 i ，e | v ( 咒+ 1 1 。，( 4 一b ) 、7 ( 2 ) 厂在h 吒内是阶( o l ，e v 【( ，2 + 1 ) 女一l ( 么一b ) ( 七一) ( 3 ) 厂在h 巧内是阶( o 1 ) 凸的这里 吒躲 惫嵩辫 盟严 j 、 丘一1 ji 弋 证明( 1 ) 只要证i 厂( z ) 一1j 1 一( o 1 ，h 吒) ，即证 ( 5 5 ) ( 5 6 ) 薹南悱卜1 ，( 。川，| z i _ ) ( 5 7 ) 由定理7 艄( 南渺_ 1 等措喊5 刀式眦即 r 3 8 ， 从而由式( 5 8 ) 式易知结论成立 只要证l 鬻十一州辄1 ，| 水协靴 下面证明同( 1 ) 薹篝悱卜1 ，( 脚 l 林眨) ( 5 9 ) 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 只要证l 箸卜邶私1 ，| 水协靴 2 5 薹等悱卜1 ，( 脚 1 ，i z | 巧) ( 5 1 0 ) 下面证明同( 1 ) 且结论对( 5 2 ) 式都是精确的 扬州大学硕士论文 参考文献 1 】r u s c h e w e y hs n e wc r i t e r i af o ru 1 1 i v a l e n t 劬c t i o n s j p r o ca m e rm a ms o c ，1 9 7 5 ， 4 9 ：1 0 9 1 1 5 2 】s r i v a s t a v ahm ，x | un e n g ，y - a n gd i n g - g o n g i n c l u s i o nr e l a t i o n sa i l dc o i l v o l u t i o n p r o p e n i e so fa c e r t a i nc l a s so fa n a l ) 啊c 如n c t i o n sa s s o c i a t e d 晰t ht h er u s c h e w e y h d e r i v a t i v e s 【j 】jm l t ha n a la p p l ，2 0 0 7 ，3 31 ：6 8 6 7 0 0 3 n o o rk i o nn e wc l a s so f i m e 黟a lo p e r a t o r s 【j 】jn a t u rg e o m ，1 9 9 9 ，1 6 ：7 1 - 8 0 【4 】l i uj i n l i n ，n o o rki o ns u b o r d i n a t i o n sf o rc e i r t a i na n a l y t i ca m c t i o n sa s s o c i a t e d w i t l ln o o ri n t e g r a lo p e r a t o r 叨a p p lm a m c o m p u t ，2 0 0 7 ，1 8 7 ：1 4 5 3 - 1 4 6 0 【5 】c 础s o nbc ，s h a 虢rdb s t a r l i k ea 1 1 dp r e s t a r l i k eh y p e r g e o m e t r i c 缸l c t i o n s 叽 s 队mjm a t ha n a l ，1 9 8 4 ，1 5 ：7 3 7 7 4 5 6 c h one ，k w o nos ，s r i v a s t a v ahm i n c l u s i o nr e l a t i o n s h i p sa i 】l da r 目】m e n t p r o p e r t i e sf o rc e m d ns u b c l a s s e so fm u l t i v a l e m 如n c t i o n sa s s o c i a t e d 晰t 1 1af 锄i l yo f l i n e a ro p e r a t o r s 【j 】jm a t ha n a l la p p l ，2 0 0 4 ，2 9 2 ：4 7 0 - 4 8 3 7 】j u l l gib ，k i myc ，s r i v a s t a v ahm 1 1 l eh a r d ys p a c eo fa 1 1 a 1 如c 劬c t i o n s a s s o c i a t e d 晰t hc e 慨no n e p a r 锄e t e r 缸1 i l i e so fi m e 铲a lo p e r a t o r s j jm a t ha n a l a p p l ，1 9 9 3 ，1 7 6 ：1 3 8 - 1 4 7 8 l i uj i n - l i n n o t eo nj u n g k i m - s r i v a s t a v ai n t e g r a lo p e r a t o r 【j 】jm a ma n a la p p l ， 2 0 0 4 ，2 9 4 ：9 6 1 0 3 【9 】d z i o kj ，s r i v a l s t a v ahm c 1 a s s e so fa 1 1 a 1 ) ，t i c 缸1 c t i o l l sa s s o c i a t e dw i t l l 吐i e g e n e r a l i z e dh y p e 玛e o m e t r i c 缸1 c t i o n 阴jm a m a n a la p p l ，1 9 9 9 ，1 0 3 ：l - 1 3 10 】l i uj i n - l i n ，s r i v a s t a v ahm c e r t a i np r o p e r t i e so ft h ed z i o k s r i v a s t a v ao p e r a t o r 【j 】a p p lm a t h & c o m p u t ，2 0 0 4 ，1 5 9 ：4 8 5 4 9 3 11 s r i v a s t a 、，ahm ，p a t e lj s o m es u b c l a s s e so fm u l t i v a l e n tf u n c t i o n si n v o l v i n ga c e r t a i nl i n e a ro p e r a t o r j 】jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 5 ，31o ：2 0 9 2 2 8 施冬芳由n o o r 积分算子定义的解析函数 12 l i uj i n l i n ，s r i v a s t a v ahm c l a l s s e so fm e r o m o 印1 1 i c a l l ym u l t i v a l e n t 自m c t i o n s a l s s o c i a t e d 谢也t 1 1 eg e n e r a l i z e dh y p e 玛e o m e t r i c 劬c t i o n 【j 】m a c l lc o i n p u t m o d e l l i n g ，2 0 0 4 ，3 9 ：21 - 3 4 13 c h on e t l l en o o ri n t e g r a lo p e r a t