（基础数学专业论文）有理数域上特征标环的同构.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 摘要 令g 是有限交换群，r g 是有理数域q 上添加i g i 次本原单位根得到的域扩张 在q 上的g a l o i s 群我们定义了r g 在群代数z g 上的作用，这里z 是有理整数环； 如果g 在有理数域上的特征标环同构于另一个有限交换群日在有理数域上的特征 标环，且c a = a c ，其中a ，c ，的定义见正文第7 页和第1 7 页，那么我们证明了 ( z g ) r g 与( z h ) r h 是代数同构的 关键词：群；特征标环 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t ea b e l i a ng r o u pa n df ab et h eg a l o i sg r o u po v e rqo ft h e e x t e n s i o no fq b ya d d i n gap r i m i t i v ei g 卜t hu n i t yr o o t w ed e f i n ea na c t i o no fr g o nt h eg r o u pa l g e b r az g ，w h e r ezi st h er 试go fr a t i o n a li n t e g r a ln u m b e r s i ft h e c h a r a c t e rr i n go fgo v e rt h eqi si s o m o r p h i ct ot h ec h a r a c t e rr i n go fa n o t h c rf i n i t e a b e l i a ng r o u pho v e rt h eq ，a n dc a = a c ，i nw h i c ht h ed c f i n i t i o no fa ，c ，c 7c a n b ef o u n do np a g es e v e na n dp a g es e v e n t e e n ，t h e nw ep r o v e ( z c ) r g 皇( z h ) r k e yw o r d s ：g r o u p ；c h a r a c t e rr i n g i i 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：日期：砂了年! 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 储张化畸锄戥罔撕 日期：卅年多月 日 日期：w i 仟j 月日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童论塞握童卮进卮! 旦主生；旦二玺；旦三生筮查! 储糨能诗 导师张闷，蛳 日期：沙7 年芏月 日 日期：叫年r 月日 硕士学位论文 m a s t e r st t l e s i s 1 引言 1 1 研究背景和现状 众所周知，群代数的中心和相应的特征标环有着很强的联系二我们也注意到从 代数的角度来看，群代数的中心和特征标环亦有一定的联系，我们对这种联系的关 注起源于特征标环同构的研究以及b r o u 6 的p e r f e c ti s o m e t r y 1 9 6 5 年，w e i d m a n 在文献f 1 7 1 中证明了对于任意的两个有限群g 和，如果g 在域赶上的特征标环毗( g ) 同构于日在域疋上的特征标环r i c ( h ) ，其中瓦是特 征为零的域且包含所有l g 卜次单位根，那么g 和有相同的特征标表且这个同构 将g 的一个不可约特征标映射为打的一个不可约特征标与l 或者1 的乘积1 9 6 6 年s a k s o n o v 在文献 1 5 】中改善了w e i d m a n 的这个结果，他证明了如果夏o zr 咒( g ) 作为压代数同构于夏0 z 瞅( h ) ，那么g 和h 就有相同的特征标表且这个同构将 g 的一个不可约特征标映射为日的一个不可约特征标和一个单位根的乘积。 在文献f 8 1 中，海进科研究了特征标环的代数同构，他通过对s c h u r 指标的研究， 给出了在任意特征为零的域上两个代数同构的特征标环的关系，所得结果推广了 s a k s o n o v 在文献f 1 5 】中关于特征标环代数同构的结果需要指出的是海进科这篇文 章不局限于c 或者包含所有i g 卜次单位根的域，而是适用于任意特征为零的域，从 而使域的适用范围大大地得到扩展 在文献 2 1 】中，周远扬证明了对于两个有限群g 和日，如果& ( g ) 同构于 r ( 日) ，其中尼是特征为零的域且包含所有l g 卜次单位根，那么这个同构可以诱导 出它们之间的一个p e r f e c ti s o m e t r y , 它仍然是一个环同构；特别地，g 和h 的整群代 数的中心是同构的即z ( z a ) 同构于z ( z h ) 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 2 本文的主要内容 由文献【8 】8 和 2 j 】所激发，本文将研究有理数域上特征标环同构和群代数同构 的关系。 本文共分三部分，第一部分为引言，主要介绍特征标环的研究背景和现状以及 本文的写作思路与内容第二部分主要是准备知识，列出了本文要用到的定义，定理， 引理等第三部分是主要定理的证明，在这部分首先给出了一些重要结论及其推导 过程，然后证明了本文的主要定理( 定理3 2 7 ) ，即如果两个有限交换群g 和h 在 有理数域q 上的特征标环同构，且c a = a c ，其中a ，c ，的定义见第7 页和第 1 7 页，那么( z g ) r g 与( z 玎) r 日是代数同构的 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2基本引理 2 1 q 特征标与r g - 共轭类 以下始终假设g 是有限交换群，七表示特征为零的任意域，x i r r ( g ) ，首先给 出域k 上的一些基本概念和引理 由于域七上的特征标与s c h u r 指标有着密切的关系：所以先介绍s c h u r 指标的 定义和相关知识 定义2 1 1 克的扩张k ( x ) = k ( ( x ( g ) l g g ) ) 是指由( x ( g ) l g g ) 在七上生 成的域，称为x 的域 定义2 1 2 令r k ( x ) = g a l ( k ( x ) k ) ，仃r k ( x ) 定义一个函数盯x ：g c 为 仃x ( 夕) = 盯( x ( 夕) ) ( g g ) 仃x 【夕) = 盯( x ( 夕) 八“) 弓i 理2 1 3 如果x i r r ( c ) 且仃r 七( ) ( ) ，那么盯x i r r ( c ) 且k ( a x ) = 七( ) ( ) 引理2 1 4映射盯h 盯x ，口n ( x ) = r ，x i r r ( c ) 是r 到i r r ( c ) 的一个 单射 定义2 1 5 自然数m k ( x ) = m i n m n | m x c h a r k ( 妨( g ) 称为特征标 x i r r ( g ) 关- - e g t 尼的s c h u r 指标其中c h a r k ( x ) ( g ) 表示域k ( x ) 上群g 的特征标 由上面的引理以及s c h u r 指标的定义，我们可以得到不可约忌一特征标的具体表 达式 弓l 理2 1 6 令x i r r ( g ) 那么 0 = m 七( ) ( ) 盯x i r r k ( g ) ， o e r k ( x ) 其中r k ( x ) = g a l ( 七( x ) 七) 下面给出不可约七特征标的一个非常重要的性质： 性质2 1 7 令x i r r ( g ) ，那么存在唯一一个特征标氏i r r k ( g ) ，使得 ( 民，x ) 0 也就是说，特征标o x = m 七( x ) 口r 。( x ) a x 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 那么 ( 氏，氏) = ( m 七( x ) a x ，m ( x ) o x ) a e f k ( x )a e f k ( x ) = m 七( x ) 2 ( 盯x ) # e r k ( x )口r ( x ) ；m 七( x ) 2 i n ( ) ( ) i = m 七( x ) 2 g a l ( k ( x ) k ) j = m k ( ) ( ) 2 l 七( x ) ： 若民，i r r k ( g ) 且o x 岛，则 ( 氏，) 所以氏，如是正交的不可约k 特征标，但不一定是标准的 由引理2 1 4 知，特征标a x ( a r k ( x ) ) 是互不相同的，他们构成了x 的一个吼一 类其中吼= g a l ( 尼) 七) ，u 为l g 卜次本原单位根如果盯吼，那么盯( u ) = u 。 其中t z 且( t ，l g i ) = 1 令1 1 七表示所有的满足上述条件的t 构成的集合，则n 可 以看作是g a l ( 七) 七) 在z b f 内的像更确切地说，如果盯吼，那么存在唯一的元 素t n ，使得盯( u ) = u 。如果n ，则令吼表示吼中与t 对应的元素 有了n 的定义之后，我们来定义n 共轭类： 定义2 1 8 群g 的两个元素s 和s 7 称为r 七一共轭的，若存在亡n ，使得5 。 和s 在g 里共轭；显然，1 1 k 一共轭是一种等价关系，它的共轭类称为g 的n 共轭 类 注2 1 9 七一特征标在r 七共轭类中的每个元素上取值相等 事实上，如果口c h a r k ( g ) c h a r ( g ) ，那么对比g ，o ( x ) k 所以对 仃吼，有a o = 0 令s 和5 是r 七共轭的，即存在t n ，使得s 。和s 7 共轭从而 存在口g a l ( k ( w ) k ) 使得a ( w ) = 因而o ( s ) = o ( s 2 ) = o o ( s 7 ) = o o ) 下面给出著名的b e r m a n w i t t 定理： 定理2 1 1 0 ( b e r m a n w i t t ) 一个群g 的不可约七特征标的个数等于g 的 n 共轭类的个数 4 盯 们叫 x 盯 毗 n k x 玎 o = i | 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 显然地：r 七共轭类的个数不大于g 的共轭类的个数，从而g 的不可约七特征 标的个数不大于g 的不可约c - 特征标的个数特别地，当k 是代数闭域时，群g 的n 共轭类就是g 的共轭类，且g 的不可约七一特征标的个数等于g 的共轭类的 个数 以下我们可以从群作用的角度来看r 七共轭类 定义n 作用在g 上，对任意r 七，z g ，在z 上的一个作用也用来表示： ：g _ g 茁h 因为( t ，i a l ) = l ，这个作用是确切定义的，t n 对应于置换zh 是i 、七到g 上 的一个置换群同态容易看出n 与u 的选择无关 这样就得到n g 在g 上的一个作用：即对任意( z ，y ) n g 和z g ：有 z ( ，| ，) = ( x t ) = 可- 1 y 那么g 的r 七一共轭类也即r kxg 在g 上作用的轨道 像通常一样，令z g ，称研。( z ) 为z 在r 七里的巾心化子 现将r g 在n 上和在g 上的投影分别记为p r o j r 。和p r o j g ：这样对z g ， 中心化子g 。g ( z ) 在n 上和在g 上的像分别记为r 。( z ) = p r o j r 。( 侪。x g ( z ) ) 和 n a ( z ) = p r o j g ( c r k g ( z ) ) 即 且 c r g ( z ) = ( ，y ) r 七g i ! 一1 z y = z ) ， c f r 。( z ) = r k i z 。= z ) ，c g ( z ) = y c l x v = z ) ， a 0 k ( z ) = r k l y 一1 z 。y = z ，j 爹g ) ，a b ( 茁) = y g l 笞一1 z y = z ，3 t r k ， c r 。( 。) n r 。( z ) ，( z ) g ( z ) 引理2 1 1 1 包含z 的r 七一共轭类c l r 。g ( z ) 的长度为 l e l r , a ( 硎= 酾i r , c l 厕l a l = 揣龋 特别地，取上述的k = q 时，以上结论都是成立的 为了区别，我们用r g 一共轭类表示与群g 有关的r q 一共轭类 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 2 r g 一类函数 为了方便起见，下面我们先给出一些记号： 夏表示代数整数；砭表示在有理数域上的代数闭包 d = 矽1 = 1 ) ，) 2 ，- ，d 七) ：g 中所有不同的r g 一共轭类集； d l ，d 2 ，也 ：分别是d 1 ，d 2 ，d k 代表元集； i r r q ( g ) = x 1 ，x 2 ，尬) ：g 中所有不同的不可约q 特征标集； 凰( g ) = 江k1a i x i in i z ( i = 1 ，2 ，七) ) ：g 的广义特征标环； 为了给出q 域上不可约q 特征标的正交关系，定义g 上的r q 一类函数 五( i = 1 ，k ) 如下： 五( 盔) = l ，五( d j ) = o ( i 歹) 称 是g 上的特征r q 一类函数，且称 对应于r q 一共轭类砚或d i 对应于 五( t = 1 ，七) 为了区别，我们用r g 类函数表示与群g 有关的r q 一类函数 c f ( a ，q ) ：g 在数域q 中的定义在r g 一共轭类上的1 1 g 一类函数集合 由引理2 1 6 知x f = m i ( 叉i ，+ + 蕊i ) ，其中又，叉h ，叉七l ，一，叉。是 g 的所有不同的不可约q ( u ) 一特征标令g 的共轭类数为h ，这样t l + t 2 + + 如= h ， 且( x l ，x 七) = ( 叉1 。，又1 。，一，j i i 七，叉。) d ，其中 d = = d 9 1 。；0 m 1 0 7 n 2 ： m 2 6 m 七 ： m 七 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 令c l = d t d 则 c 1 ： m ；2 m；。七=()(1)(1)(x2，x2) 。x七，)(七，) 性质2 2 1 设p ：( 尬( 呜) ) 七炖- f t = ( 尥( 订- ) ) 七七，m 是一个对角矩阵，其i 行i 列上的元素为i n o ( & 可) t 可l c r c ( d i ) l ，则矿c p = m 我们将这个关系称为g 的q 。特征标在q 上的正交关系 注2 2 2 当域七是代数闭域时， f 1 ，l 1 g 一= l l 肚r 。i 例d 2 ) fp ： 1 i c o ( d k ) l 其中c ( d i l 为d i 所在的共轭类的长度这就是我们熟知的不可约特征标的第- - i f 交 关系 引理2 2 3 设 ， 是群g 上的全部特征f c - 类函数，则 ( 1 ) 五qo zr q ( g ) ( i = 1 ，七) ； ( 2 ) ( ， 是qo z 凰( g ) 的全部本原幂等元，因此也是qq z 凰( g ) 的一 组q 基 7 i l 2 l lr ，。一 蛆 、，凰陋 一c ，ft。i。一 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 而 证明：( 1 ) 因为五是g 的r g 一类函数，令五= 名。骼故 从而推出 七 ( ，尥) = i z , a ，骼，x j ) 入j ( x j ，b ) = 嵋巧， r = 1 ( 五，均) 2 丽1 五( s ) 勋( s 一1 ) 。网1 l 玩l 尥( 酊1 ) ， 去t j 南畏c r 舄a ( d i ) 矧矿)仇；l g i g i a j 一川 去南n a ( d i ) 尚触1 ) ，m 弛lli 研g ( 酬柚p 川 因此 = 妻去志踹以矿如 又因为勋( 宵1 ) q ，所以五qo z 痂( g ) ( 2 ) 显然五( i = 1 ，2 ，七) 是一个幂等元，因为( qo z 凰( g ) ) 五= qo 五筌q ， 则( qo z 兄q ( g ) ) 五是q o zr q ( g ) 的极小理想，因此六( i = 1 ，2 ，七) 是本原幂等 元显然， ，a 也是qo zr q ( g ) 的一组q 一基 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 1 重要结论及推导 3 主要定理的证明 设h 是另一个有限交换群，r 毛与r q 的定义相同，但注意与r q 可能是不 同的f n 一共轭类表示与群日有关的r 乞一共轭类，r 珂一类函数表示与群有关的 一类函数 令p 是凰( g ) 和风( 日) 之间的环同构，则( g ) 的秩等于凰( 日) 的秩，且g 的r g 一共轭类的个数和的r h 一共轭类的个数相等那么为了区别有限交换群g 的记号，我们给出下列记号： 口7 = d i ，码，巩) ：h 中所有不同的r 日一共轭类集； 磁，呓：，) ：分别是刀j ：嘭，d ：代表元集； 是日卜的特征r 何一类函数，其中对应于r 日一共轭类d ， 是日的不可约q 一特征标，等等 下面定义r g 在z g 上的作用，首先我们来定义仇：z g - - - - 9 z g ：。g a 8 s 一 。ga s s 显然，执是一个确切的映射 引理3 1 1 蛾是一个环自同构 证明：对任意的s e g 仉s ，a g b a a z g ， 则仇满足加法 慨( n 。s + b 。s ) s 6 ga g = 仇( ( o 。+ k ) s ) s 6 g = ( + k ) 5 。 s g = 仇( o 。s ) + 慨( b 。s ) ， s e g5 g 忱( ( 口。s ) ( b q ) ) = 仇( ( a , b a ) s a ) = 。，b a ( s q ) 2 a 6 ga e g 3 ，a e g a 6 g = n 。b a s t ， s ，a e g 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 而 帆( a s s ) 妒t ( k q ) = ( n 。s ) ( k q 。) = n 。b a s t q 。， s e ga 6 gs e ggs ，口g 所以我们能得到 慨( ( a s s ) ( k q ) ) = 忱( o 。s ) 忱( k q ) ， s e ga e gs 6 ga e g 则慨满足乘法因而纯是一个环同态 若 ass2=1s6ga s s 1 ，则右l2 ，! i ! u 0 ， 1 ， 所以。ga s s = 1 ，即o p t 是单同态 对任意的。ga s s z g ，令o t = s ，则n ga s a z g ，那i x , 令仇： 。h 。a s = 。则对任意的。asszg6gasol 6 g6 g ( t s s ，6 g a s s ：都有原像 l 口 h l q q 。2l 5 火u 刈仕恩削l 3 ：丽p 伺三与之琢 。g a s o t 与其相对应所以纯是满的 综上可知够是z c 到z g 的一个环自同构， 通过上面的环自同构蛾可以得到一个群列态 妒：f c 叫a u t ( z g ) ：th 妒t ， 通过可以定义r g 在z g 上的作用： 则显然 r g z g 叫z g ，( t ，a ) ha 全妒t ( o ) ， ( z g ) r g = a z g 8 2 = a ，姚t o = a z g l 妒a ) = 8 ，觇t o ， 且是z g 的一个子环 同理f z h ) r h 是z h 的一个子环 注3 1 2 本文假设g 和日都是有限交换群，那么必须保证对于任意的有限 交换群并不都有( z c ) r g = z g ，否则我们的研究将没有意义下面可以举一例来说 明举例前先给出要利用的两个引理 引理3 1 3 设a 是f 上的代数元，设m ( x ) 是o t 在f 上的极小多项式，则 f ( q ) 筌f 】( m ( x ) ) ；特别是i f ( q ) ：f i = d e g m ( x ) ，而且f ( q ) = f ( a ) l f ( x ) f i x ，d e g f ( x ) ， 函 且l a 3 i = 3 令u 是三次本原单位根：则q ( w ) q 是g a l o i s 扩域，g a l ( q ( u ) q ) 是 z ；= 1 ，2 ) 的一个子群，而由上面两个引理知l g a l ( q ( u ) q ) | = l q ) ：q i = 2 ，它 的两个元素为仃l ：uhu ：u 2hu 2 和o x ：uhu 2 ，2hu ，那么对于0 1 ，存在 唯一的l 殇= 1 ，2 ，使得盯) = u 1 = 。；对于啦，存在唯一的2 z ；= 1 ，2 ， 使得盯) = u 2 所以f c = 1 ，2 ) 特别地，对于( 1 ) + 2 ( 1 2 3 ) + 3 ( 1 3 2 ) z g ，我们有( 1 ) 1 + 2 ( 1 2 3 ) 1 + 3 ( 1 3 2 ) 1 = ( 1 ) + 2 ( 1 2 3 ) + 3 ( 1 3 2 ) ，但是( 1 ) 2 + 2 ( 1 2 3 ) 2 + 3 ( 1 3 2 ) 2 = ( 1 ) + 2 ( 1 3 2 ) + 3 ( 1 2 3 ) ( 1 ) + 2 ( 1 2 3 ) + 3 ( 1 3 2 ) ，即对于2 f a ，有( 1 ) + 2 ( 1 2 3 ) + 3 ( 1 3 2 ) ( 1 ) 2 + 2 ( 1 2 3 ) 2 + 3 ( 1 3 2 ) 2 所以 ( 1 ) + 2 ( 1 2 3 ) + 3 ( 1 3 2 ) 譬( z g ) r g = a s s z gj 。s = 口。s 2 ，耽r e s 6 gs e gs e g 因此( z a ) r g z g 定理3 1 5 ( z c ) r g 以g 的r g 一共轭类的类和h i = 。功s ( i = 1 ，2 ，老) 作为一组压基 证明：对于h i = 。砚s ，有。功s 。= 。窃s ，所以h i ( z g ) h 对于任意的让= s e g a 。s ( z g ) r g 垦z g ，有。g a s s = e 。g a s s ，且对于 任意的g g 有g - z ( 。g a s s ) g = e 。e g a s s 又 9 4 ( a s s ) g = 8 。( 夕q 鲴) = 啊一s ， s e gs 6 g s 6 g 夕。( a s s ) g = a s s = 口。s ， s e gs 6 gs 6 g 所以 ea g s t g - 1 s 2 = a 。s 2 s 6 gs e g 1 1 凼而 七 札= e 凡h t t = l 那么( z v ) r g 中元素可以表示为h i ( i = 1 ，2 ，k ) 的线性组合即h i ( i = 1 ，2 ，k ) 是( z g ) r g 的一组压基 同理( z h ) r h 以日的r 日一共轭类的类和作为一组压基 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 2 代数同构的证明 为了使主要定理的证明更直观和易懂，首先我们从最简单的交换群( 循环群) 为 例来研究 例l ：三阶循环群g = ( z ) = 1 ，z ，x 2 ) c 域上的特征标表为： 其中u 为3 次本缘单位根，即u 2 + o + 1 = 0 由c 域上的本原幂等元公式e x = 哿9 g 虱而9 知c 域上的本原幂等元为： e o = 妻( 1 + z + z 2 ) ， e 1i 击( 1 + 现+ 孑z 2 ) = 妻( 1 + u 2 x - 3 + u z 2 ) ， j e ：= 圭( 1 + 瓦+ 孤2 ) = 三( 1 + u z + o ) 2 x 2 ) 由前面r g 的定义知此时r g = l ，2 】- ，则： q 域上的特征标表为： q 域上的本原幂等元为： 矗一e o 2 如2 ) = 3 1 一x ( x ) x = 主薹北1 z ， 咱+ e 2 5 2 了1 了12 1 础z x ( x ) x2 亏i 三小_ 1 ) z 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 此时i c t = i ( x ) l = 1 + 2 = 3 ，( q g ) r g = 0 x i 盯q ( g ) q 氏，这里a 为q 域上的本 原幂等元 例2 ：五阶循环群g = ( z ) = 1 ，z ，z 2 ，z 3 ，x 4 ) 1zx 2x 3x 4 其中u 为5 次本原单位根，即u 4 + u 3 + u 2 + u + 1 = 0 c 域一卜的本原幂等元为： e 。= 吾( 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) ， e 1 = 言( 1 - - i - 巧z + 五2 + z 3 + 五k 4 ) = e 2 = 言( 1 + 石k + 五k 2 + 面z 3 + 五4 ) = e 3 = 言( 1 + 巩+ 沈2 + 巩3 + 瓦4 ) = e 4 。圭( 1 + 瓦+ 巩2 + j x 3 + 洳4 ) = 此时f a = l ，2 ，3 ，4 ) ，则： u 4 z + u 3 2 2 + u 2 2 3 + z 4 ) ， u 3 z + u z 2 + u 4 2 3 + u 2 2 4 ) ， 言( 1 + w 2 x + u 4 2 2 + z 3 + 0 3 3 x 4 ) ， 丢( 1 + w x + w ：x 2 + j x s + w 4 x 4 ) q 域上的特征标垂放； 1 z ，z 2 ，z 3 ，z 4 q 域上的本原幂等元为： f o = e o = 1 ， 1 7 3 材) 2 百1 薹瓣。亏1 薹心_ 1 ) z ， 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 硇+ e 2 + e 3 + e 4 = 亏4 5 1 z 一尹1 一尹1 一尹1 ：吾x e g 蕊2 亏i 薹加- 1 ) 。 此时l g i = i ( z ) l = 1 + 4 = 5 ，( q g ) r g = 0 x e i r r qc o ) q 氏：这里氏为q 域上的本 原幂等元 例3 ：四阶循环群g = ( z ) = 1 ，z ，z 2 ，z 3 ) c 域上的特征标壶兹： lz2 7 27 3 3 具t ju 刀4 伏今j 泉单位恨，即u 悬虚致早位z c 域上的本原幂等元为： e 。= 丢( 1 + x + x 2 + x 3 ) ， e l = 1 - i x - x = + i x a ) ， e 2 = 1 - z + z 2 - z a ) ， e s = 丢( 1 + i x - - x 2 - - 研 此时r g = 1 ，3 ，则： q 域上的特征标塞兹； 1z z 3z 2 q 域上的本原幂等元为： f o = e o = l ( 1 + x + x 2 + x 3 ) 一1 倒x ( x ) x = 丢圣地_ 1 ) z ， 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s f l = e 1 j t - 9 3 - - 互27 22 = 三( 2 - 2 x 2 ) = 丢三瓣2 五1 薹始1 z ， 厶一2 2 三( 1 + i x - x 2 - i x a ) 2 石1 薹而一去三加。k 此时i c l = l l = l 十2 + 1 = 4 ，( q g ) r g = 0 x i r r q ( g ) q 厶，这里 为q 域上 的本原幂等元 从上面的例子我们可以看出，对于这几个循环群，通过它们在q 域上的特征标 表我们可以得到群的阶，本原幂等元的表达式以及( q c ) r g 的信息 事实上，对于任意的有限交换群g ：我们都可以通过它在q 域上的特征标表得 到群的阶，本原幂等元的表达式以及( q g ) r g 的信息 下面我们给出具体的证明 引理3 2 1 对于有限交换群g ，有l g i 等于它的q 一特征标表的第一列各数的 和 证明：结论显然成立 引理3 2 2 e x = 南夕gx ( g _ 1 ) 9 ，其中e x 为q 上对应于不可约q - 特征标 x 的本原幂等元 证明：设x 7 i r r ( g ) ，x i r r q ( g ) c h a r ( g ) ，那么若( x 7 ，x ) 0 ，贝0 ) ( = ) ( 7 + 掰+ + 弼，其中x ，硝，是与) ( 7 在同一个吼一类的所有不可约特征标 所以 2 高薹x ，( 9 1 ) 夕十高薹矧g - 1 ) 夕+ + 而1 荟娥g - 1 ) 9 5 雨1 e 。g ) ( + 妊+ + x ：) ( 夕一1 ) 夕 2 丽1 薹x ( g - 1 ) g 引理3 2 3 ( q g ) r g = o x i 咖( g ) q e x ( e x 同上) 。 证明：因为e x ( q g ) n ，所以结论显然成立： 由于主要定理证明的需要，下面再给出几个引理 设矩阵c 和c 7 分别是有限群g 和h 对应的矩阵( 见第2 节定义) ，p 是r q ( g ) 到r o ( 日1 的环同构，则p 可以诱导g - 代数同构a ：艺圆z 凡( g ) 一宠0 z ( 口) ， 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a = ( a o ) k 七是口在夏o z 心( g ) 的一组基x 1 ，x 2 ，欺到夏 z & ( h ) 的一组基 x l ，也，娥下所确定的矩阵，即q ( 憋) = 笔1a t j x ；( i = 1 ，2 ，七) 设万= ( 砀) ，其中砀是a i j 的复共轭p = ( ( d ，) ) 七m - ，1 = ( x ；，( - 1 ) ) k 埔m 7 是对角矩阵，其i 行i 列上的元素为坐唑掣，则由性质2 2 1 知，r c ，p ，：m ， 引理3 2 4 记号如上，设o z 是由p 诱导的夏o z ( g ) 到夏o z 凰( 阿) 上的 代数同构，若c a = a c ，则 ( 1 ) 塑掣= 必铲； ( 2 ) a 是一个酉矩阵 引理3 2 5 记号如上，设o t 是由p 诱导的夏o z 凰( g ) 到夏o z 粕( h ) 上的 代数同构，若c a = a c ，则 ( 1 ) q ( 憋) = i x ：，其中c i 是单位根，i i 俅= 1 ，2 ，k ) 是一个置换； ( 2 ) c 和日的q 一特征标表是相同的 从而由引理3 2 5 知，q 将始映射为i ) ( ：，而在q 域上，岛只能为1 或者一1 ，那 么通过调整指标我们可以定义一个新的同态万：岛( g ) 一凰( 日) ，它将池一妊， 由特征标的线性无关性，我 f f n 道万也是一个环同构 事实上，设p ：x ih i x i ，骼h 勺x ；且憋地= a k ：p k ，碰x ；= 七6 饭，由 p 是环同构知p ( x i x i ) = e t j 碰嘭又p ( x t x j ) = j 9 ( 七n 七愀) = 七鲰鼠以，所以 女妣e 七妒：= 乞勺x ，) ( ；= 勺凫6 七哌那么a k g k = s i j b k ，即得a k = k 因此 巧= 七a k 怯所以及x f 均) = 及七o k 帆) = a k p ( t k ) = 七n 七统= 磁瑶= 及始) 及晒) 从而歹确实是一个环l _ j 构 因为c f ( g ，q ) 型q z 凰( g ) 和c f ( h ，q ) 岂qp z 凰( 日) ，则上述定义的 万可以诱导一个q 一代数同构万：qo z ( g ) 一qo z ( 日) ，由引理2 2 3 知 及 ) qo zr q ( h ) 特别地，我们有个双射f ：d 哼口7 将甄啼职 引理3 2 6 记号如上，则及 ) ( i = 1 ，七) 是日上的特征r 日一类函数 证明：因为及 ) qo z ( 日) ， 爿，以) 也是qo z ( ) 的一组q 基 于是 七 及五) = 形， q ， 1 7 硕士学位论丈 m a s t e r st t t e s i s 因为妒= 爿且髟= 0 0 歹) ，这样 七 氟 ) = 氟斤) = 氟 ) 氟五) = 弓形， j = l 故可推出n 2 f = a j ( j = 1 ，七) ，因此a j = 0 或= l ( j = l ，克) 因为 ( 五) ，爿 是本原幂等元，所以存在某个j 1 ，2 ，老) ，使得及五) = ，即结论成立 由引理3 2 6 知万可以将五映射为某个髟，通过调整指标歹将五映射为爿 最后给出本文的主要定理： 定理3 2 7 如果c a = a c 7 ( a ，c ，c 7 定义同上) ，那么p 可以诱导一个压代 数同构( z a ) r g 一( z h ) h 证明：对于任意的g ( q a ) k ，它可以确定一个r g 一类函数扩c f ( c ，q ) ，使 得y = g gy 。( 夕) 9 ，那么及圹) 确定一个元素y 7 = 日及扩) ( 危- 1 ) ( q h ) h ， 其中万同上所以我们得到一个同态 p o ：( q c ) r 。一( q h ) h ，y y 事实上，若y 1 ，y 2 ( q c ) n ，七q ，y 1 和y 2 分别确定类函数坊和缱，使得 y l = g g 圻( 夕) g 一，y 2 = g g 缠( 9 ) g ，则y l + y 2 = g e g ( 绽( 夕) + 墟( 9 ) ) 9 _ 1 = 。g ( 钟+ 坊) ( 夕) 9 ，那么圻+ 孵是可1 + y 2 所确定的类函数，从而p 。( y l + y 2 ) = ( y l + 沈) 7 = 7 l 抒及鳄+ 然) ( 龙- 1 ) = h e h 及坊) ( 九- 1 ) + 日及缛) ( 九- 1 ) = i + 必= p o ( 可1 ) + j 口。( 沈) ；p o ( k y l ) = ( 尼y 1 ) 7 = h h 及七可；) ( 九1 ) 危= h 日七及y ；) ( 九_ ) h = 七 日及坊) ( 九- 1 ) = k y i = k p 。( 可1 ) ，所以p 。是q n ! i ! 空nn n 令y = h i = 。窃s ( q g ) h ，则y 确定一个r g 一类函数y 。，使得y = ，g 磐。( 9 ) 9 1 ，贝q 箩。( 9 ) = 三：三二：主篡即y 。是特征r g 一类函数，另i j 么由弓i 理 3 2 6 知及可。) 是特征f 日一类函数p , i f i ：jy = 日及可。) ( 危_ 1 ) = 。供s ，故p 。将 g 的r g 一共轭类的类和映射为日的r 日共轭类的类和 因而p 。是( q a ) r g 到( q 日) 肠的q - 向量空间同构 而且p 。将段映射为叼，其中e x 和e 分别为对应于x 和x 7 的本原幂等元 事实上，由引理3 2 2 知e x = 南蚱g x ( 9 _ 1 ) 9 = 9 g ( 商) ( 夕) 夕一，e x , = 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 南e 是野x 1 ) 危，而且及尚) = 蒿所以 p o ( e x ) 。三氖高_ ) 2h e h 高( 一) 。丽1 h e h eh 三e x ，( 7 l 。) = e 拉 1 o 又因为( q g ) r g = 0 x i r r q ( c ) q e x ，( q 日) r h = 0 x ，i r r q ( h ) q e ，从而p o 保持 ( q c ) r g 到( q h ) r h 的乘法。即p 。是一个q 代数同构 又显然p 。将( z c ) r g 映射到( z h ) r 事实上：若y ( z c ) h ，则y = 坠la i h i ，a i z ，其中h i 为g 的f c 一共轭类的 类和，那么p o ( 可) = p o ( 墨la i h i ) = 名1 嘭，a j z ，其中嘭为h 的r 何一共轭类 的类并口所以，) 。( ) ( z h ) r h 因此( z g ) r c 与( z h ) r x 是压代数同构的 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 ( 1 jf r a n kw a n d e r s o n ：k e n tr f u l l e r r i n g sa n dc a t e g o r i e so fm o d u l e s m n e w y o r k ：s p r i n g e r v e r l a g ，g t m l 3 ，1 9 9 2 【2 】y a g b e r k o v i c h ，e m z h m u d c h a r a c t e r so ff i n i t eg r o u p s ，p a r t2 m 】a m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e ，r h o d ei s l a n d ，l o n d o n ，1 9 9 8 f 3 b r o u 6m i s o m d t r i e sp a r f a i t e s ，t y p e sd eb l o c s ，c a t d g o r i e sd d r i v 6 s j a s t & i s q u e ， 19 9 0 ，1 8 1 1 8 2 ：6 1 9 2 f 4 】y f a n ，q h u a n g d e c o m p o s i t i o no ft e n s o rs p a c e sa n db l o c ki d e m p o t e n t so fg r o u p r i n g s j l i n e a ra n dm u l t i l i n e a ra l g e b r a ，1 9 9 0 ，2 6 ：2 9 9 3 0 5 f 5 樊恽，孙大英。关于整表代数的同构【j 】中国科学，a 辑，2 0 0 2 ，3 2 ( 5 ) ：4 2 7 4 3 3 6 】樊恽