（基础数学专业论文）关于一类ginzburglandau型泛函的量子化效应的某些结果.pdf

m a s t e r 。d e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 中文摘要 g i n z b u r g l a n d a u 方程是在工程和物理一l - 的箨类模式构成系统的个简化的数 学模型它b j 用来描述许多在连续相变理论中出现的各种统计物理变量典型的例 如在研究超导，超流，x y 。磁等相变过程中的涡漩刻画问题 不同于对传统的g i n z b u r g - l a n d a u 泛函忍( 仳) = j 1 如i v u l 2 + 孕1 ，n ( 1 一m 2 ) 2 的 分析，我们考虑的是另一种能量泛函最( “) = j 1 厶1 w 1 2 + 壶厶川2 ( 1 一2 ) 2 它在 某个函数类中的极小元u 。所满足的e u l e r 方程是： - a u = 刍“( 1 一 ) 一去u ( 1 一”) 2 ，i n n ， 其中f 2 是光滑有界的单连通区域利用伸缩变换，我们小难得到，存全平面上上述方 程可化为： 一u = ( 1 一l u l 2 ) 一妻札( 1 一l u l 2 ) 2 在第一章中我们考虑n = 2 ，并且札是全平面上方程的一般解的情形在第二章 中我们在是径向解时做n = 2 的情况在第三章中我们考虑n 3 ，且u 是径向解的 情形在这兰种情形下，我们分别给出了关于一类型泛函的量子化效应的某些结 论。 关键词：渐近性质；g i n z b u r g - l a n d a u 方程；量子化效应 m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y a b s tr a c t t h eg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o ni sam a t h e m a t i c a lm o d e lo fs i m p l i f i c a t i o nw h i c h c o n s t i t u t e ss y s t e mi ne n g i n e e r i n g ，a n de a c hk i n do fm o d ei nt h ep h y s i c s ，i ti su s e d t od e s c r i b es o m ev a r i a b l e so fs t a t i s t i c sp h y s i c s ，w h i c ha p p e a ri nt h ec o n t i n u o u sp h a s e t r a n s f o r m a t i o n t h et y p i c a ls i t u a t i o ni sr e s e a r c h i n gt h ev o r t i c e s p r o p e r t i e si nt h e s t u d yo fs u p e r c o n d u c t i v i t y , s u p e r 丑u i d i t yo rx y - m a g n e t i s m d i f f e r e n t f r o m t h e g i n z b u r g - l a n d a u e n e r g y e ( “) = j 1 厶1 w 1 2 + 1 如( 1 1 u 阡， w es h a l lc o n s i d e rav a r i a n tf o r me n e r g yf u n c t i o n ：f 。( u ) = i 1 厶i w l 2 + 击厶i ul 2 ( 1 一 m 2 ) 2 1 如m i n i m i z e r i ns o n l ef l m c t i o nc l a s ss a t i s f i e st h ee q u a t i o n ： 一“一1 ( 1 一l n 一孬1 ( 1 一2 w h e r eqb eas m o o t h b o u n d e ds i m p l yc o n n e c t e dd o m a i ni nr 2 a f t e rs c a l i n gw e h a v e 一u = u ( 1 一m 一；“( 1 一i “1 2 ) 2 饥r 2 i nc h a p t e r1w ec o n s i d e rt h ec o n d i t i o no fn = 2 w h i c hui sac o m m o ns o l u t i o n i nc h a p t e r2w ea l s oc o n s i d e rt h ec o n d i t i o no fn = 2w h i l e “i sar a d i a ls o l u t i o n i n c h a p t e r3w ec o a s i d e rt h ec o n d i t i o no fn23 ，w h i c h , j sar a d i a ls o l u t i o n i nt h e s e t h r e ec o n d i t i o n s ，w eh a v eg i v e ns o m er e s u l t so nq u a n t i z a t i o ne f f e c tf o rag i n z b u r g - l a n d a u t y p ef i m c t i o n a l k e yw o r d s ：a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；g i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n ；q u a n t i z a t i o ne l - f e c t s m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y p r e f a c e f r o m 【2 jt h ea u t h o ra c c o r d i n gt ot h eg i n z b u r g - l a n d a ue n e r g y e d u ! = ；上l v 砰+ 去上( - w ) 2 g e ta na p o c a l y p s e ，c o n s i d e r i n ga n o t h e rf o r me n e r g yf u n c t i o n ： f d u ) i l f g i v u l 2 + 虿1 上l “r l 讪门2 i te a s yt os e et h a t “es a t i s f yt h ee q u a t i o n ： 一她= u 。( 1 一1 1 2 ) 一；( 1 一衅) 2 ， i ng ，w h e r egb eas m o o t h ，b o u n d e ds i m p l yc o n n e c t e dd o m a i ni nr 2 t h ea u t h o rg i v e saf e wp r o p e r t i e so f ： f “。i 1 ， l u 。( o ) i = 1 a 8z o g ， i v 啦! ：c ， f d ) 7 r d l n ( ；) + a i nt h ea r t i c l e t h ea u t h o r sh a v es t u d i e dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h em i n i m i z e r s u o ft h eg i n z b u r g - l a n d a ue n e r g y 最( 垆互1 上i v ”n 趸il ( 1 卟n 2 m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y c l e a r ，“es a t i s f i e st h ee q u a t i o n ： 一：三( 1 一1 1 2 ) ， w h e r eq c r 2a n d 札：q _ c a c c o r d i n gt o 1 】w a yo fd o i n g sw i t hh o m o l o g i e s ，t h ea u t h o r ss t u d yt h el i m i t i n g s i t u a t i o na f t e rs c a l i n g ，n o w ，us a t i s f i e s a u = ( 1 一j 1 2 ) ，i n r 2 t h e ya s s u m e 厶( i u l 2 _ 1 ) 2 o 。 t h e i rm a i nr e $ u l t sa r e ： t h e o r e m1 a s s u m eu ：r 2 _ ci sas m o o t hf u n c t i o ns a t i s f y i n g a u = “( 1 一h 2 ) t h e n ( 1 一i u l 2 ) 2 = 2 7 r d 2 j r 2 f o rs o m e i n t e g e rd = 0 ，1 ，2 ，o o i na d d i t i o n ，t h e ya l s oc o n s i d e r e ds o l u t i o n st o a u = “( 1 一j 1 2 ) w h i c hs a t i s f i e s 岛j v u l 2 o oi n s t e a do f 岛( 1 u 1 2 一1 ) 2 o o n o w ，m u s tb ea c o n s t a n tf u n c t i o n s ot h e yh a v e t h e o r e m2 a s s u m e “s a t i s f i e s a u = u ( 1 1 u i 2 ) a n d 上。i v 砰 o 。， t h e ne i t h e r “兰0o r “；cw i t h1 c i = 1 a si nt w op a p e r sa b o v e ，ia mc o n c e r n e dw i t ht h ef u n c t i o n a l 足( u ) ；y u 卜击肌2 ( ， m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y i te a s yt os e et h a t “s a t i s f yt h ee q u a t i o n ： = 1 “。( 1 一1 一一刍也( 1 一i 钍铲) 2 w h e r eqc 群 t h er e s u l t so b t a i n e di n 3 】，【5 】a l eq u i t es u r p r i s i n gb e c a u s ew h e ns t u d y i n gt h eb e h a v - i o ro fm i n i m i z e r so ft h eg i n z b u r g - l a n d a ue n e r g yw i t haw e i g h tw c 1 ( g ) ，w ( x o ) = o 掣( u ) = 互1 上i v “卜虿1z ( 1 小n 2 ”， i n t h ec l a s s 硪= 珥( g ，r 2 ) = u h 1 ( g ，c ) ；u = g o no a d e g = d 0 ，c l e f t e ra n dv r a d u l e s c u 【18 】h a v eo b t a i n e dad i f f e r e n tr e s u l t i n t h i se a s et h el i m i t i n gc o n f i g u r a t i o no fs i n g u l a r i t i e sm a yc o n t a i nl e s st h a ndp o i n t s ， a l w a y so fp o s i t i v ed e g r e e t h ez e r oo fwi sn e c e s s a r i l yi nt h ec o n f i g u r a t i o na n di t s d e g r e ed e p e n d sc l o s e l yo ft h eb e h a v i o ro fwn e a r2 7 0 i no u r c a s e1 u 1 2r e p l a c e swa n d i f d 0 t h e nn e c e s s a r i l y 川2h a sa tl e a s taz e r oi ng a c c o r d i n gt ot h ea r g u m e n ti n 【1 】 w ee x p e c tt og e n e r a l i z et h o s er e s u l t st ot h ee n e r g y 脚1 上1 v 砰+ - 4 e - - i 。：i 砰( 1 刊i 2 ) 2 c o m p a r i n gw i t ht h et h eg i n z b u r g - l a n d a ue n e r g y ，w ec a n s e et h a tt h es e c o n dt e r m o ft h ef u n c t i o n a le ( ) w i t hl u l 2w h i c hg i v e sr i s et om a n yd i f f i c u l t i e s w eh a v et o c o n s i d e rn e ww a y st oo v e r c o m et h e m n o ww eh a v ed o n eaf l e x i b l et r a n s f o r m a t i o nq e = q ，t h e nus a t i s f i e s 一u = u ( 1 一i 札1 2 ) l u l 2 一；u ( 1 - f u l 2 ) 2 ，i nr 2 ( o 1 ) a n duh a v et h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： u i 1 f “( z ) i 一1 a s h 一。， v u l ”( r 2 ) ， f ( u ) c l n r 十c ，w h e r e ri st h er a d i u so ft h ea r e a m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y w eh a v eg o taf e wf o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m1 a s s u m eu ：r 2 _ ci sas m o o t hf u n c t i o ns a t i s f y i n g ( 0 1 ) i f h o l d ，t h e n 川1 ，( 0 2 ) ( z ) l + 1 ，a 8i z i + o o( 0 3 ) v u l ”( b 产) ，( o 4 ) f ( u ) c i n r + c ，( 0 5 ) ri st h er a d i u s o f t h ea r e a 丘：1 “1 2 ( 1 一川2 ) 2 = 2 7 r d 2 ， f o rs 0 7 t t ei n t e g e rd = 0 ，1 ，2 ， w ea l s oc o n s i d e rt h es o l u t i o n so f ( o 1 ) s a t i s f y i n g ，i v 。i 。 。， j r 2 ( 0 6 ) ( o 7 ) i n s t e a do f ( o 2 ) 一( 0 5 ) ，t h e n m u s tb eac o n s t a n tf u n c t i o nm o r ep r e c i s e l y n a m e l y , w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e m2 a s s u m e s a t i s f i e s ( 0 1 ) a n d ( 0 7 ) ，t h e ne i t h e r “i0o r “三c w i t hl c l = 1 f o rt h eg e n e r a ls o l u t i o no fn = 2 ，w e g o tt h e o r e ml ，t h e o r e m2 n e x t w e s h a l lc o n s i d e rt h er a d i a ls o l u t i o nt o ( 0 1 ) t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t st h e o r e m3 a n dt h e o r e m4w i l lb eg i v e na sf o l l o w s ：w h e nn = 2 w ea s s u m et h a tt h er a d i a l s o h i t i o i l “s a t i s f i e s a u = u ( 1 一i “1 2 ) 1 u 1 2 一；u ( 1 一l 札1 2 ) 2 ( o8 ) “= f ( r ) e x p ( i d o ) ，f ( o ) = 0 ，( 。o ) = 1 m a s t e r 8d e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y t h e o r e m3 a s s u m eu ：r 2 _ ci sas m o o t hf u n c t i o ns a t i s f y i n g ( o 2 ) 一( o 5 ) a n d ( 0 8 ) ，t h e n ，r 2 i f ( 1 一f 2 ) 2 = 2 u d 2 f o r 8 0 i t t e i n t e g e rd = 0 ，1 ，2 ， w es h a l lu s et w om e t h o d st op r o v et h e o r e m3 m e t h o do n e w ea d o p tt h ec o n c l u s i o n si n 啡 ，( r ) = 1 - 要+ o ( 去h s r o 。 ，( r ) = d 2 + 。( 嘉) 。s r o o h o w e v e r ，t h ep r o o fo ft h e s ec o n c h m i o n sa r ev e r yc o m p l i c a t e d w ec a nt a k ea d v a n - t a g eo ft h e s ec o n c l u s i o n sd i r e c t l y m e t h o dt w o w es h a l la d o p tt h ei d e a si n 1 】t oc o m p l e t et h ep r o o fo ft h e o r e m3 i fw ec o n s i d e rs o l u t i o n so f ( 0 8 ) s a t i s f y i n g 厶i v 撤i 。， t h e n “m u s tb eac o n s t a n tf u n c t i o n n a m e l y , t h e o r e m4 a s s u m eus a t i s f i e s ( 0 8 ) a n d ( o 7 ) ，t h e n “e0 c o m p a r i n gt h e o r e m2w i t ht h e o r e m4 ，w ec a ns e et h a tal i t t l ed i f f e r e n c e b e t w e e nt h er a d i a ls o l u t i o na n dt h ec o m m o ns o l u t i o ni st h a t m u s tb e0i f i sa r a d i a ls o l u t i o n a tl a s t ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee a s eo fn23 n o w ，w eo n l yt a k et h er a d i a l s o l u t i o ni n t oc o n s i d e r a t i o n s e t f d u ) = ；互i w l ”+ 去上1 “r 1 一i u l 2 ) 2 ， ( 0 9 ) w h e r eqcr na n d 乱：q _ l e a d si nan a t u r ew a y ( a f t e rs c a l i n g ) t ot h ee q u a t i o n d i v ( v u “一2 v u ) = u ( 1 一l “1 2 ) i “1 2 一去扎( 1 1 “2 ) 2 n ei nr ” ( o 1 0 ) m m s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 0 l i ti n a i nr e s u l ti 8 t h e o r e m5 a s s u m eus a t i s f i e s ， _ 黔 札( z ) i 一1 ， a 8 一o 。， v u 上”( b ，) ， “1 2 ( 1 一m 2 ) 2 o 。 i sar a d i a lf u n c t i o ns a t i s f y i n g ( o 1 0 ) i nw e a ks e n s e ，t h e n r “ ， ( o 1 1 ) m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名 口期 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使朋学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版：有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y a c k n o w l e d g e m e n t s i ti sm yh o n o rt oh a v et h eo p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm ys i n c e r eg r a t i t u d et om y s u p e r v i s o ra s s o c i a t ep r o f e s s o ry u t i a nl e i i ti sh i mw h ot a u g h tm eh o wt ok e e p p a t i e n ta n dd or e s e a r c hi nm a t h e m a t i c ss t e pb ys t e p i nt h ep a s tt h r e ey e a r s ，e v e r y p r o g r e s so fm i n ei ns t u d ya n dr e s e a r c ho w n e dal o tt oh i m ia l s oe x p r e s sm yh e a r tt h a n k st op r o f e s s o rj i n x u a nf a n g ，p r o f e s s o rh o n g j u n g a o ，p r o f e s s o rj i h u iz h a n ga n dp r o f e s s o rz u o d o n gy a n gf o rt h e i rw o n d e r f i dl e c t u r e si na n a l y s i sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n df o rt h e i re x c e l l e n tm o d e sa s s c h o l a r s ia c k n o w l e d g eo u rd e p a r t m e n tf o rm a k i n ga v a i l a b l eo fv a r i o u sg o o df a c i l i t i e s ，a n d i dl i k et ot h a n kt h eg r a d u a t ed i r e c t o r sz h i r e ns u n ，y iy a o ，m a o h u as u n ，c h u n r o n g b i a n ，c h e n gz h ua n da n o n y m o u st e a c h e r s ia l s ot h a n k a s s o c i a t ep r o f e s s o ry o u p e n g c h e n ，a s s o c i a t ep r o f e s s o rq i l i nl i u ，y u j u a nc h e r t ，l i n l i n ，h u iz h a n gw h os y u d i e d w i t hu si nt h ed i s c u s s i n gc l a s s a n dl a s tit h a n km yc l a s s m a t e sw e ip i n gl i ，l il i ， l a nt a ca n ds t u d e n t sw h oo n c eg a v em eah a n d ，w i t h o u tt h e i rh e l p ，1w o u l dn o t h a v ef i n i s h e dm ys t u d ys os m o o t h l y o fc o u r s e ，ia mg r a t e f u lt om yp a r e n t sf o rt h e i rp a t i e n c e ，l o v ea n df i n a n c i n g s u p p o r t w i t h o u tt h e mt h i sw o r kw o u l dn e v e rh a v ec o m ei n t oe x i s t e n c e t h i sd i s s e r t a t i o ni sw r o t ew i t h c t e xs o f t w a r e ia c k n o w l e d g eh t t p ： w c t e x o r go f f e rt h i ss o f t w a r e n a n j i n gj i a n g s u ，p e o p l e sr e p u b l i co fc h i n a m a r c h1 ，2 0 0 7 1 l l l im a m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y c h a p t e r1 c o m m o ns o l u t i o no ft h ee n e r g y e q u a t i o nw h e n 仡= 2 1 1p r o o fo ft h e o r e m1 w ec o n s i d e rt h es o l u t i o no nc o n d i t i o no fn = 2 s e t 脚) = j 1 上j v “阻硒1 上1 斗n 2 w h e r eqcr 2a n du ：q c i nan a t u r ew a y t h ee q u a t i o ne u l e r l a g r a n g ei s 如= ( 1 一1 n 一；( 1 一l u ；1 2 ) 2 ，饥 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sd e g r e ed i a s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y h e n c e 筹1 2 - 邬l v 印+ 与掣2 ，d l v 妒i 叩卯 ( 1 2 0 ) f r o m ( 1 ，1 7 ) a n d ( 1 ，1 1 ) w ed e d u c et h a t a n ds i m i