（基础数学专业论文）亚纯函数值分布中的几个不等式.pdf

摘要 本文研究了亚纯函数的值分布理论中的几个重要不等式的推广与改进，包括 拟b o r e l 例外函数和拟亏函数的不等式，杨乐不等式的推广和角域上h a y m a n 不 等式的某些改进，全文共分四章 第一章，作为全文的预备知识，着重介绍了复平面内的n e v a n l i n n a 特征、 拟b o r e l 例外函数与拟亏函数、角域内的n e v a n l i n n a 特征等预备知识和相关的定 义，在此基础上，叙述了n e v a n l i r m a 第一、二基本定理及相关引理 第二章，研究了亚纯函数的，级精简拟b o r e l 例外值不等式的一种改进，同 时，还将几个关于拟b o r e l 例外值和拟亏量的重要不等式推广到了拟b o r e l 例外 函数和拟亏函数的情形，得到若干个相关结果 第三章，讨论了全平面上用密指量界囿特征函数丁( ，厂) 的几个不等式，将杨 乐的某些精密不等式推广到厂( z ) 取解析小函数的情形，并且得到了相应的亏量 和的精确估计 第四章，研究了角域上的亚纯函数，通过减少角域上h a y m a n 不等式的系数， 得到角域上的杨乐不等式，进一步，还讨论了其它一些类型的精密不等式，并得 到了相应的亏量和估计 关键词：亚纯函数； n e v a r d i n n a 理论；值分布；不等式 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t e de x t e n s i o na n di m p r o v e m e n to fs e v e r a li m p o r t a n t i n e q u a l i t i e so fv a l u ed i s t r i b u t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i ti n c l u d e si n e q u a l i t i e so f q u a s i - b o r e le x c e p t i o n a lf i m c t i o n sa n dq u a s i d e f i c i e n t ，e x t e n s i o no fy a n g l e sp r e c i s e i n e q u a l i t i e s ，a n di m p r o v e m e n to fh a y m a ni n e q u a l i t yo na n g u l a rd o m a i n i ti n c l u d e s f o l l o w i n gf o u rc h a p t e r s c h a p t e rl ：p r e f a c e w bi n t r o d u c e dt h er e l a t e dk n o w l e d g ea n dd e f i n i t i o n so f n e v a n l i n n a sc h a r a c t e r i s t i ci nc o m p l e xp l a n e ，q u a s i b o r e le x c e p t i o n a lf u n c t i o n s q u a s i d e f i c i e n tf u n c t i o n s ，a n dn e v a n l i n n a sc h a r a c t e r i s t i co na n g u l a rd o m a i na st h e p r i o rk n o w l e d g eo ft h ef u l lt e x t m e a n w h i l ew ea l s oi n t r o d u c e dn e v a n l i n n a sf i r s ta n d s e c o n df u n d a m e n t a lt h e o r e m sa n dr e l a t e dl e m m a s c h a p t e r2 ：t h ei m p r o v e m e n to fa ni n e q u a l i t yo fq u a s i b o r e le x c e p t i o n a lv a l u e s o fo r d e rzo f m e r o m o r p h i cf u n c t i o ni sd i s c u s s e d ，a tt h es a m et i m e ，s o m ei m p o r t a n t i n e q u a l i t i e so fq u a s i b o r e le x c e p t i o n a lv a l u e sa n dq u a s i d e f i c i e n tv a l u e sa r ei m p r o v e d t ot h a to fq u a s i b o r e le x c e p t i o n a lf u n c t i o n sa n dq u a s i d e f i c i e n tf u n c t i o n s ，a n ds o m e r e l e v a n tr e s u l t sa r eo b t a i n e d c h a p t e r3 ：w 色d i s c u s s e ds o m ei n e q u a l i t i e si nw h i c ho n l yt w oc o u n t i n gf u n c t i o n s c a l lc e n t r e lt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o ni nc o m p l e xp l a n e ，a n de x t e n ds o m ey a n g l e s p r e c i s ei n e q u a l i t i e sw h e n 坟z ) t a k e sa n a l y t i cs m a l lf u n c t i o n s ，m o r e o v e rw eg o tp r e c i s e e s t i m a t i o no f t o t a ld e f i c i e n c yo f m e r o m o r p h i cd e r i v a t i v e s c h a p t e r4 ：w er e s e a r c h e dt h em e r o m o r p h i cf u n c t i o n so fa n g u l a rd o m a i n a n d o b t a i n e dt h ef o r mo fy a n g l e s i n e q u a l i t yo na n g u l a rd o m a i nb yr e d u c i n gt h e c o e f f i c i e n t so fh a y m a ni n e q u a l i t yo na n g u l a rd o m a i n m o r e o v e r , w em a d ef u l 恤e r d i s c u s s i o na b o u to t h e r k i n d so fp r e c i s ei n e q u a l i t i e s ，a n do b t a i n e da c c u r a t ee s t i m a t i o n s o fs u m so fd e f i c i e n c i e s k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；n e v a n l i n n at h e o r y ；v a l u ed i s t r i b u t i o n ；i n e q u a l i t y 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 亚纯函数值分布中的几个不等式 1 1引言 第一章引言与预备知识 对于一个整函数或亚纯函数f ( z ) 与任意复数a ，方程厂( z ) = a 是否有根以及 其根的多少与分布情况等问题，常常是一些理论与实际中需要研究的对象十九 世纪末，著名数学家e p i e a r d 和e b o r e l 对此获得了突出的成果，以后有许多学 者从事这方面的研究，因而形成了整函数与亚纯函数值分布理论 在值分布研究的发展过程中，r n e v a n l i n n a 作出了巨大的贡献1 9 2 5 年， r n e v a n l i r m a ( 见 1 ) 引入了亚纯函数的解析特征和特征函数，建立了两个基 本定理，开创了亚纯函数值分布理论的近代研究几十年来，国内外许多专家学 者以n e v a n l i n n a 理论为基础，对亚纯函数值分布理论进行了大量卓有成效的研 究，得到了非常丰富的研究成果 亚纯函数值分布的研究可分为两个方面，一个是模分布，另一个是幅角分布， 当然还有一个重要的方面就是这两个分布之间的关系在模分布的研究中，重级 值点的影响如何是一个重要的课题，曾为c c a r a t h e d o r y ，p m o n t e l ，g v a l i r o n ， a b l o e h 等所注意，并获得一些有趣的结果后来，杨乐( 见 2 ) 定义并研究了 亚纯函数的，级精简拟b o r e l 例外值和，级精简拟亏量，但是对于小函数在这方面 的相应结果，并不被人们所注意，我们尝试在此基础上引进小函数，定义并研究 亚纯函数的，级精简拟b o r e l 例外函数和，级精简拟亏函数 在亚纯函数值分布论中，引入所论函数的导数是一个重要的研究课题，这方 面非常突出与有趣的结果是h a y m a n 不等式( 见 3 ) 值得注意的是，在h a y m a n 不等式中，仅用了两项密指量便可界囿特征函数，这在没有引入导数时是不可能 做到的然而，这两项密指量的系数较大，不像通常n e v a n l i n n a 第二基本定理中 密指量的系数等于1 针对这种情况，杨乐( 见 4 ) 对这一问题进行了深入的研 究，将其系数大大的减小，得到了著名的杨乐不等式和一系列精密的不等式对 于有关小函数的此类不等式，姜云波( 见 5 ，6 ) 等人进行了研究，但只得到了 江西师范大学硕士学位论文 关于多项式的情形，本文对此也进行了进一步的研究，在不增加右边密指量的系 数的条件下，将其中的常数替换为解析小函数 随着对亚纯函数认识的深入，人们又提出了角域上的特征函数的概念，角域 上的n e v a n l i n n a 特征( 见 7 ) ，j u l i a 特征，a h l f o r s s h i m i z u 特征等这些新概念 的引入，促进了对亚纯函数的研究人们自然提出一些问题：在复平面上成立的 一些结论，在角域上是否依然成立呢? 为解决这些问题，前辈们进行了深入的研 究，并且取得了非常多很好的结果例如：角域上的m i l l o u x 不等式，h a y m a n 不等式( 见 8 ) 等等其中，h a y m a n 不等式用了两项密指量来控制特征函数， 但这两项密指量的系数比较大，对此，我们尝试将f r a n k 与w e i s s e n b o r n 的一个 不等式( 见 9 ) 推广到角域上，从而将角域上的h a y m a n 不等式中这两项密指量 的系数给予减少，得到了相对应的角域上的杨乐不等式 亚纯函数的值分布理论经过近百年来的研究与发展，不仅其自身成为了一个 内容丰富、体系完整的复分析分支，而且在其他分支与学科，如：亚纯函数的唯 一性理论、微分方程的复振荡理论、正规族理论、d i r i c h l e t 级数研究等方面有着 非常广泛的应用，还在流体力学、天文学等领域有着很深的渗透 1 2 预备知识及相关定义 1 2 1 复平面内的n e v a n l i n n a 特征与增长级 下面对复平面内的n e v a n l i n n a 理论所用到的相关记号做简要介绍，具体请参 阅文献 2 ，3 ，1 0 ，1 1 ，1 2 首先，定义非负实数的正对数如下： f l o g + x = l o g x ， x 1 ； 【1 0 9 + x = 0 ， o 石 o 时，有1 0 9 工：1 0 9 + x - l 。旷三 工 设厂( z ) 为定义在圆h 尺( o r ) 上的亚纯函数，a 为任一有穷复数用 n ( r ，厂) ( 有时也记为n ( r ，厂= ) 或，z ( ，o o ) ) 表示( z ) 在l z i ，( o ，i r ) 上的极 点个数，重级极点按其重数计算；用刀( 厂，_ l ) ( 有时也记为，z ( r ，f = 口) 或刀( ，口) ) 2 亚纯函数值分布中的几个不等式 表示厂( z ) 一口在l z i ，- ( o ， r ) 上的零点的个数，重级零点按其重数计算 n e v a n l i n n a 引入了以下几个函数( 见 2 ) ： 朋仉门= 去卜g + l 厂( 鹕旧 聊仉南= 去n + 阿旨 ( ，s o = 【! 鱼生半+ 以( o ，f ) l 。g ， ( ，剖：r 生牡州。，南崦 m ( r ，厂) 有时也记为m ( r ，f = ) 或聊( ，o o ) ，表示l 厂( z ) l 的正对数在l z i = ri - 1 懒 值相应的呱 方a 有时也记舳o 剐) 或以r 口) ，表示东南a 的正对 ，一l ，izl i 数在h = ，上的平均值；n ( r ，厂) 有时记为u ( r ，f = o o ) 或n ( r ，o o ) ，表示厂( z ) 极点 的密指量，相应的，( ，了l ) 有时也记为( ，f = 口) n ( r ，口，表示厂( z ) 的a ，一a 值点的密指量 定义1 纠设厂( z ) 为定义在圆h r ( o r ) 上的亚纯函数，定义 r ( r ，门= m ( r ，厂) + n ( r ，厂) 为厂( z ) 的n e v a n l i n n a 特征函数，简称为f ( z ) 的特征函数 定义2 【2 1 厂( z ) 为定义在圆i z l 尺( o r o 时，则称g ( z ) 为( z ) 的j 级精简拟亏函数 此外，定义口对厂c 。，。z ，的相对亏量：4 ( q 。：。一匦二乌剖 1 2 3 角域内的n e v a n l i n n a 特征 下面，我柄介绍角域内的n e v a l l l i 衄a 特征( 见 8 ) 设夕( z ) 在角域 孬( 口，) = 口 _ a r g z _ f l 内亚纯，其中o 0 ，且 姥一l o g r 叫恻幺劫仁， 推论2 1 1 设厂( z ) 为开平面上具有有限正规增长级兄( 五 o ) 的超越亚纯函 数，则其，级精简拟b 。理，例外函数的数目不超过型竽旦个特别地，厂( z ) 的单 8 亚纯函数值分布中的几个不等式 级精简拟b o r e l 例外函数不超过4 个，二级精简拟b o r e l 例外函数不超过3 个，三 级或三级以上精简拟b o r e l 例外函数不超过2 个 当f ( z ) 为超越整函数时，进一步还有以下更为精确的结果 定理2 1 2 设f ( z ) 为开平面上具有有限正规增长级名( 五 o ) 的超越整函 数，g v ( z ) ( v = l ，2 ，q ) y bf ( z ) 的g 个互相判别的小函数，2 ( v = l ，2 ，q ) 为 一组整数，若( z ) 以函( z ) ( y = 1 ，2 ，g ) 为l 一1 级精简拟肋纠例外函数，则 配舻 推论2 1 2 设厂( z ) 为开平面上具有有限正规增长级旯( 兄 o ) 的超越整函 数，则其z 级精简拟肋陀，例外函数的数目不超过立盟1 个特别地，厂( z ) 的单级 精简拟b o r e l 例外函数不超过2 个，二级或二级以上精简拟b o r e l 例外函数不超过 1 个 注：如果厂( z ) 不具有正规级，但下级 o ，且( 2 1 3 ) 式成立，则以上定理 及系的结论也正确 关于涉及重值的亏量，。杨乐【2 】中证得如下定理 定理2 c 2 1 设厂( z ) 为_ 超越亚纯函数，为一正整数，则a ，厂) 具有下述 性质： ( 1 ) 对于所有的复数口有o 4 1a ，厂) l ； ( 2 ) 使磊a ，f ) 为正数的复数口至多为一可数集，并且 剐吖) 掣 本文将此结论推广到小函数，证得如下定理 定理2 1 3 设厂( z ) 为一超越哑纯函数，为一正整数，则巧) ( g ( z ) ，f ) 具有 下述性质： ( 1 ) x , j ：j e f ( z ) 的所有小函数g ( z ) 有o ( g ( z ) ，厂) 1 ； 9 江西师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 使( g ( z ) ，f ) 为正数的小函数g ( z ) 至多有可数个，并且 4 ) ( g ( z ) ，班掣 g 2 2引理 在上述定理2 1 1 2 1 3 的证明中需要用剑f 列引理 引理2 2 1 1 2 1 ( n e v 趾l i i l a 第一基本定理) 设厂( z ) 在开平面h 尺( o 尺 o o ) 上 亚纯，a 为任一有穷复数，则对于0 ， r 有 肌( ，击) + l 击h ) + 1 0 9 | c f i + 小，) 其中，c 为了l 在原点的t a y l o r 展式的第一个非零系数，r s ( a ，r ) _ l o g + | 口| + ，一a l 0 9 2 引理2 2 2 【2 1 ( n e v 锄l i n m 第二基本定理) 设( z ) 为开平面 尺( o 足 ) 上 非常数亚纯函数，乃( = 1 ，2 ，q ) 为q ( q 3 ) 个互相判别的复数，则对于o r r ( q - 2 ) 嘶嘉卜者 - l 州m 其中，i ( ，) = 2 ( r _ ( 们+ ( 厂，办具有通常余项性质：其中，i ( ，) = 2 ( ) 一( 吖) + l 厂，升s ( ) 具有通常余项性质： ( 1 ) 当厂( z ) 为有穷级时，s ( ，f ) = o ( 1 。g ，) ( ，一) ： ( 2 ) 当厂似( z ) 为无穷级时，s ( 厂，厂( 女) = o 1 。g ( ，丁( ，厂”) ) ) 驴专) ，可能需 除去一个线性测度为有穷的集合 注：以下用s ( ，- ，厂) 表示角域内具有通常余项性质的式子 引理2 2 3 1 4 i i 受f ( z ) 为开平面超越亚纯，k 为一正整数，若占为任意的整数， l o 亚纯函数值分布中的几个不等式 r ( ，”) ( - + 去) ( ，了南) + ( - + 去) ( ，了南 一( ，南 + 占r ( 厂，厂) + s ( ，广，) 引理2 2 4 设厂( z ) 为超越亚纯函数，g v ( z ) ( p = l ，2 ，g ) 为厂( z ) 的g 个互 相判别的小函数，则对于任意正实数占有 ( q - 2 - e ) 砷s 羔v = i 丙( ， 忐h 嘶辨伽，一5 y 其中e 为具有有限测度的集合 引理2 2 5 【1 6 j 设厂( z ) 为超越亚纯函数，g v ( z ) ( 1 ，= 1 ，2 ，g ) 为厂( z ) 的g 个互 相判别的小函数，则对于任意正实数有 ( q - l - g ) 砷飒吖) + 喜丙( ，去) + o ( 1 ) ，伽 e 为具有有限测度的集合 引理2 2 6 m 设亚纯函数厂( z ) 的级兄为有穷正数，g ( z ) 为厂( z ) 的小函数， 贝, l jg ( z ) 为厂( z ) 的，级精简拟肋耐例外函数的充要条件是 面竺( 二：壶 。) s 1 4 圭间 l “一， 、，、， 、l ， ， yg ，i、4 羔嘣 亚纯函数值分布中的几个不等式 q e g ：( g 厂) 专) 因此，使锄( 舀厂) 。的小函数g ( z ) 至多有可数个，在其 中任取有限个g v ( z ) ( y = 1 ，2 ，g ) 都有喜( g v ，厂) 塑半从而 到姒班掣 1 5 江西师范大学硕士学位论文 第三章杨乐不等式的推广 3 1引言与结果 亚纯函数的特征函数反映了亚纯函数的增长性质，它在亚纯函数值分布理论 的研究及应用中都扮演着非常重要的角色，对特征函数进行适当的放缩，是特征 函数运用的重要手法之一，从而对特征函数进行各种估计，也是很有意义的工作 杨乐在文 1 8 和文 4 中，曾经建立了关于特征函数的重要精密的不等式，也称 为杨乐不等式，并由此还得到了亚纯函数亏量和的精密估计 定理3 彳【1 8 1 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，qcn ，且g 2 ，a j ( j - - 1 ，2 ，g ) 为 互相判别的有穷复数，k 为正整数，则 卜一瓦q - 11 丁( ) 嘉( ，走卜( 州) ， 这里g 是任意给定的正数，s ( ，f 七) 具有通常余项的性质 定理3 召【4 1 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，七为正整数，占为任意给定的正数， 口，6 均为有穷复数，且b 不为0 ，则 哪p ( ， 南心( ，爿+ ( ，+ 去) ( ，赤) 一l 南 埘( ，咖即， m + 去4 ( 。) + ( t + 去) 4 ( ”) 外昙 在定理3 曰中，右端正项密指量的系数和为2 + i 1 ，在文 4 中杨乐还证明了 n - v 的f g n 3 c , 使右端正项密指量的系数和减少至2 + 习亡可。 定理3 c 【4 1 设厂( z ) 于歹f ：平面超越亚纯，七为非负整数，占为任意给定的正数， 亚纯函数值分布中的几个不等式 a ，b ，c 均为硐刃夏教，且b ，c 冒个为0 ，则 嘶 ( ， 击) + ( 厂，赤) + 赤( ，赤 一( 一赤 ( ，南卜咖即， 万( 岛咖m 广) + 丽im ) 外丽1 姜云波在文 5 和文 6 中将定理3 a 、定理3 b 中的不等式推广到多项式的 情形，得到如下结论 定理3 d 【5 1 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，q e n ，且g 2 ，a d ( z ) ( ，= 1 ，2 ，g ) 为互相判别的多项式，p 为 乃( z ) ( j = 1 ，2 ，g ) ) 的最大线性无关组中多项式个 数( p g ) ，k 为正整数，占为任意给定的正数，则 卜蒜尝m ) 喜( ，南卜( r 小啦) 定理3 e 1 6 i 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，七为正整数，占为任意给定的正数， 口( z ) ，6 ( z ) ，c ( z ) 为互相判别的多项式，且口。( z ) c ( z ) ，则 嘶 ( ，击心( ，赤 + ( 1 + 去) l 走卜厂， 州卜f 项瓦刀南孑嗣卜，门 万( 口( z ) ，咖去4 ( 比) ，广) + ( - + 刳4 ( c ( z ) ，广) m 在本文中，我们将定理3 d 、定理3 e 中的多项式推广为一般解析的小函数， 将定理3 c 中的常数也推广到解析的小函数，得到了相应的不等式，并且去掉了 误差项s 7 ( ，厂) 定理3 1 1 设7 r f z l 于开平面超越亚纯，g ( 2 ) n ，口，( z ) ( ，= 1 ，2 ，q ) 为 1 7 江西师范大学硕士学位论文 i ( z ) 的互相判别的开平面内解析的小函数，p 为 q ( z ) ( _ ，= 1 ，2 ，g ) j 的最大线 性无关组中小函数的个数( p q ) ，k 为正整数，则 g - 1 一踹m 产) 纠，南) 定理3 1 2 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，k 为正整数，口( z ) ，6 ( z ) ，c ( z ) 为厂( z ) 的互相判别的开平面内解析的小函数，r a ( z ) 6 ( z ) ，则 哪脚l 剖+ ( + 去) 卜赤心( ，走) 一 ，巧项瓦矽南孑嗣卜m 万( 口( z ) ，咖l 1 + 剖4 ( 6 ( z ) ，砷) + 去4 ( m 砷) 外i 1 定理3 1 3 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，k 为非负整数，口( z ) ，6 ( z ) ，c ( z ) 为 s ( z ) 的互相判别的开平面内解析的小函数，且口( z ) 6 ( z ) ，则 m 卟封卜南 + 赤 ( ，赤 + l ，走 州卜正硕丽而向了碉p 门 万( 口( z ) 咖4 ( 6 ( z ) 广) + 赤 4 ( 6 ( z ) 广州) + 4 ( c ( z ) ，m ) l + 南 3 2引理 在上述定理3 1 1 3 1 3 的证明中需要用到下列引理 引理3 2 1 1 1 9 i ( 庄圻泰不等式) 设厂( z ) 于开平面亚纯，q ( z ) ( j = l ，2 ，q ) 为 i ( z ) 的互相判别的小函数，则 亚纯函数值分布中的几个不等式 ( ) 嘶 委( ， 南 啊( ，介( ，丽未厕卜m 其中， 包，如，) 是 q ，呸，) 的最大线性无关子集，矿( 包，魂，) 为函 数组6 l ，6 2 ，f 的w r o n s k i a n 行列式 引理3 2 2 【l 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，a j ( z ) ( j = l ，2 ，k ) s o s ( z ) 的小i l l 数，且线性无关，则 五：j；i：(，厂)!；(，。，j；i；?i：；南：)r(，厂)r5i(，厂) 引理3 2 3 【2 1 l 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，口( z ) 为厂( z ) 的小函数，且具有七次 原函数，i e 为a t 4 ( z ) ，贝l j a l - 0 ( z ) 仍是厂( z ) 的小函数 同引理3 2 3 的证明，我们可以证明如下的引理3 2 4 引理3 2 4 i j f ( z ) 于开平面超越亚纯，口( z ) 为s ( z ) 的小函数，则口( z ) 是 。( z ) 的小函数 引理3 2 5 1 2 1 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，k 为正整数，则有 聊吟卜 引理3 2 6 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，6 ( z ) ，c ( z ) 为厂( z ) 的两个互相判别的 开平面内解析的小函数，则 ，i：二；了(7石石厂二石j圭i丽(t+七)丙(，)一(，厂)+s(，厂) 证明：由于6 ( z ) ，c ( z ) 在开平面内解析- a b ( z ) ，c ( z ) 存在歹( ，= 1 ，2 ，k ) 次 原函数，将其记作6 ( 一1 z ) ，c ( ) ( z ) ( j - - 1 ，2 ，k ) ，则6 ( 一( z ) 一c 以( z ) 为超越整函 数或次数大于是- 1 的多项式又由于6 ( z ) ，c ( z ) 为s ( z ) 的小函数，由引理3 2 3 知，6 七( z ) ，c “( z ) 仍为( z ) 的小函数由丁( ，f - b 础) = 丁( ，) + s ( ，厂) ，知 1 9 江西师范大学硕士学位论文 1 ，志，6 ( 卅( z ) ) ( z ) 为心) ) ( z ) 的m 个线性无关的小函数 由引理3 2 2 知 其中 从而 ”响r , f - b - 0 ) ，l ( f - b 。q ) + ( ，f b 卜”) + s ( ，f b 卜”) ， 三f - b - 0 ) = 矿旧乒z k - i , b ( - 0 _ c ( - k ) , f - b ( - o 卜 由计算可证得 即 l ( f - b 卜”) ( 1 + 后) 丙( ，) 一n ( r ，厂) + s ( ，厂) l ( i b 一七) = ( c 一6 ) ( 厂o + 1 一) 一c t - - b ) ( ”一6 ) ， ，百了：i了c7耳石厂二ij圭弋j硐(+七)丙(r，厂)一(，厂)+s(，) 引理3 2 7 设厂( z ) 于开平面超越亚纯，6 ( z ) ，c ( z ) 为厂( z ) 的两个互相判别 的开平面内解析的小函数，则 _ ( ，去( ，赤心( ，走卜m 证明：令砟) ：等， 其中 r ( r ，f ) s v ( r ，f ) + l ( ，) = ( 2 撕卅一( ，) ) + ( ，专) 2 0 f 有 p ， s 理 卜 定 p 本 m 基 一 一一一0 第 王 锑 卜 m l一，一， 垤 + n 一f 由l r 从而 注意到 以及 亚纯函数值分布中的几个不等式 砷铡妒) + ( r ，砂( ，- 击) 一( ，专) 州卅， 赤 + 一走 _ ( ，专) 唧) ( 3 2 1 ) 怫) 卟砑万鼎可硐 r ， = n l ，- ， l函旷巧彘硐卜( c 一6 ) ( “一6 ) 一( c 一6 ) ( 厂以一6 ) j 。u ( ，f ) ，( 3 2 2 ) 丁( ，f 。) ( ，f 七) = ( ，厂) + 七丙( ，厂) ( 3 2 3 ) 由( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 、( 3 2 3 ) 以及引理3 2 6 知 从而 呻瓣绑研+ ( ， 赤 + ( ，走) i 一i ， l函矿嘶点硐p 门( c 一6 ) ( o + 1 一6 ) 一( c 一6 ) ( 厂o 一6 ) j 。v ， 霸帅( ，赤 + ( ，走 - ( k + 1 ) n ( r ，厂) + ( ，厂) + s ( ，f ) ， 研卅驯，赤心( ，走一协 引理3 2 8 ( 推广的m i l l o u x 不等式) 设( z ) 于开平面超越亚纯，口( z ) ，6 ( z ) 2 1 r ，。 + 得 力 推 可 一 义 v i 定 1 的 一 、j ， 0 f z 由 江西师范大学硕士学位论文 为厂( z ) 的两个互相判别的小函数，且口( z ) 6 ( z ) ，则 砷飒，+ l 击) + ( r ，赤卜， 一( ，f 砑歹呀呵1 万弼 证明：令g = 等， 由n e v 砌i 肌a 第二基本 注意到 以及 机) 飒惴) + + ( ，六 - ( 嘶，g ) 斗筹 = 丁r , f ( o - a ( 0 ) 州吖) ， 玑脚( ，髻扣) 叫噼研叫价 从而 丁r , f ( o - a ( k ) ) 飒帅l 南 + l 赤卜， 由 知 一( ，f 砚万巧呵1 万孑伊 朋( ，击h r ，喾h ，南) * 譬h ，刀1 = m ( r 南一m ( 3 2 4 ) 、i ， g r ，j _ ， 有 心- 卜 ， 一、，一 理 一 定 亚纯函数值分布中的几个不等式 砷产小( ，击 从而 丁( 厂，厂) + s ( ，厂) = 丁( ，f - a ) = 肌( ，击 + o ( ， r ( ，一口( 七) 一( ，了丽r + s ( ，厂) 丁( ，一口他) 一( ，了丽 兰：两 + l 南一删3 2 5 ， 州卜面硕研1 3 3 定理的证明 3 3 1 定理3 1 1 的证明 不妨设 2 j i ，如，) 是 q ，口2 ， 口。+ 1 ) ( 。口 的最大线性无关子集( p q ) ，由于 包，吃，在平面内解析，设岛一，6 2 一，6 p 一七) 为6 i ，6 2 ，的后次原函数由于 6 i ，6 2 ，为厂( z ) 的互相判别的小函数，由引理3 2 3 知，6 l 一，6 2 一，一七也 为f ( z ) 的互相判别的小函数 我们先证1 ，云，志，6 f “) ，噬 ) ，碜”为一组线性无关的函数 设任意一组系数，乞，厶+ p 使下式成立 对此式两边求后 + + 。6 f 一七+ + 厶+ p 碜= o 南 上 一 竹h ，i 知 怪 彤 力 2 ， m 和 南 ， +扣 得 z 一= ： ， 乞 m h 心 浔 次 江西师范大学硕士学位论文 厶+ 1 6 l + + 厶+ p 6 _ = o 由于6 l ，6 2 ，线性无关，从而厶+ 。= 厶+ ： - - o * o = 0 ，= o ，因此 + 如一+ 厶苘k - i 。0 ， 节， j ，摹蠢一1 又由于1 ，素，蠢三币线性无关，所以= 乞一= = o 这样，我们就证明了1 ，吾，熹，6 f 。) ，砖七1 ，够) 是k + p 个线性无关的 这样，我们就证明了，蠢，茬三币，6 f 。，砖，碜”是 个线性无关的 戤毗咯一，南也m 躺悃数 令 缈矽旧，南桫，0 应用引理3 2 2 得 又由计算可得 ( 帅) - ( ，l 南 + ( ，咖； 彳( 厂) = 形( 岛，如，6 p ，f ) ， 为方便起见，记三( 七) = 形( 6 l ，6 2 ，f 。) 从而 ( ， 南卜叫m m 舻n q 3 由于q ，口：，口。为超越亚纯函数厂( z ) 的小函数，由引理3 2 4 知，a n , 口：，口g 也为厂( ) ( z ) 的小函数，将引理3 2 1 应用于( ) ( z ) 知 旷咿( ，广) ) 舯，南卜) _ ( ，南卜) ， ( 3 3 2 ) 2 4 亚纯函数值分布中的几个不等式 将( 3 3 1 ) 代入( 3 3 2 ) ，得 ( g - t ) 丁( ) 喜( ，南 瓣( ，咖( ，啡) ( 3 3 3 ) 又由于 ( g 一1 ) 丁( ，七) ( g 一1 ) ( ，) = ( q - 1 ) n ( ，f ) + k ( q - 1 ) n ( ，厂) ，( 3 3 4 ) 纠，南卜川， 再由引理3 2 1 ，并注意丙( ，) = 丙( ，厂) ，可得 ( 一) r ( ) ( t + 而p 雨 再q ( ，赤) ， 揣m 广) 嘉( ，赤卜州 3 3 2 定理3 1 2 的证明 由于 肌( ，击h ，喾h ，南 ， 应用n e v a n l i n n a 第一基本定理和引理3 2 5 有 m 卜击h ) 卅) 一l 南一m q 3 匀 由于6 ，c 为互相判别的解析小函数，从而口( 一b 和口( ) 一c 至少有一个不恒为0 ， 不妨设口一b , o ，由( 3 2 4 ) 式知 丁r , f t k ) _ a r k ) ) 飒吖，+ ( ，南 + ( ，赤卜“， 1 ，r l 州卜f 刁酽吒阿向砑呵f 刁 ) 卜3 6 南 ， 得 酏 2 _ i，j，j入p _ 7，卞 4，j，) 将 一l g ，c【 得 理 整 江西师范大学硕士学位论文 将( 3 3 6 ) 代入( 3 3 5 ) 并运用引理3 2 7 有 于是 即 嘶l 击) + ( 1 + 如l 赤 + 去l 走卜吖， 一 ，巧硕耐 口。+ 1 ) ( 口。) ( 3 3 7 ) 至此，定理3 1 2 的第一个不等式己证得，下面证明关于亏量和的不等式 由( 3 3 7 ) 变形可得 ”蝌性) ”蚓，扣蚓 l + s ( r ，厂) 一丁( ，f ) 丁( ，f )小丢+ 溯t 七 f ，厂l 呻+ ( + 去) 4 ( 铲) + 去4 ( c ，卢) 掣蚓性) ( 1 - 蜊峙一 甄( ，+ 昙) + 鬲l i ms 砷( r , ，f 矿) + i 1 ， l m 卅+ ( t + 去) 4 ( 扩) + 去4 ( ) 外i 1 3 3 3 定理3 1 3 的证明 由引理3 2 8 知 嘶霸帅l 击 + ( r ，赤卜) 6 + 上驰 + 上批 壶 由引理3 2