（基础数学专业论文）非正规子群阶的个数与有限群的结构.pdf

摘要 摘要 设g 是有限群，j ( g ) 表示群g 的非正规子群的阶的个数本文主要讨论了 ，( g ) 与群g 结构之阅的关系主要结论有； 1 设g 是非幂零群，则j ( g ) = 1 的充分必要条件是g = 【n l p 是裂扩张，其 中是群g 的正规子群且阶是素数g ，尸是素数幂阶的循环p 一群且 【，中( p ) 】= l ，素数p q 2 设群g 是幂零群r j ( a ) = 1 ，则g 是p 一群 3 设群g 是亚循环p 一群，j ( g ) = l ，那么下列三种情形之一成立 ( i ) g - ：- m ( p ”) ，其中p 是奇素数时，1 1 3 ，或p = 2 ，撑4 ； ( i i ) g 有一个同态像为d ( s ) ； ( i i i ) g 兰0 ( 1 6 ) 关键词：有限群；非正规子群；阶数 a b s t r a c t a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u p i nt h i sp a p e r ，w ed e f i n ej ( g ) t ot h en u m b e r o ft h eo r d e r so fn o n n o r m a ls u b g r o u p s ，a sa n dw es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e n ，( g ) a st h es t r u c t u r eo ft h ef i n i t eg r o u p s w eg e ts o m em a i nr e s u l t sa s f 0 1 l o w s ： 1 l e tgb en o n - n i l p o t e n t t h e nj ( g ) = l ，i fa n do n l yi fg = 【n l pi sa s p i i te x t e n s i o no fan o r m a ls u b g r o u pno fp r i m eo r d e rq b yac y c l i c p g r o u pp m o r e o v e r ，w eh a v e 【n ，中( j p ) 】- 1 ，a n dp g 2 i fgi san i i p o t e n tg r o u pa n d ，( g ) = l ，t h e ngap g r o u p 3 l e tgb eam e t a c y c l i c p g r o u p i fj ( g ) = l ，t h e n o n eo ft h e f o l l o w i n gh o l d s ： ( i ) g 兰m ( ) ，w h e r ep i sap r i m e ，a n d 疗3 i fp i so d d ，a n d 苏2 4 ，i fp = 2 ； ( i i ) gh a v eah o m o m o r p hd ( 8 1 ： ( i i i ) g 兰q ( 1 6 1 k e yw o r e d s ：f i n i t eg r o u p ：n o n - n o r m a lg r o u p ：o r d e r 学1 t 【e 迁独创性卢明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究：【： 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：矗硅i 虱 签字日期：三静7 年二月哆日 f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汀：编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位沦文在解密后适用本授权书) 学位论文作耆签名：纫 菱j 习 聊虢夕彩，卿 签字日期：五。h 了年肛月。) 日签字日期：函1 年( 月2 ) f 1 第一章引言 第一章引言 群是现代代数中最基本和最重要的概念之一，它在数学本身及现代科学技术 的很多方面都有广泛的应用在群论的众多分支中，有限群论无论从理论上来看 还是实际应用上来说都占据着更为突出的地位它是近年来来研究最多，最为活 跃的一个分支 群论的研究起源十八世纪末，它是由于方程式论的需要，首先作为置换群的 理论而发展起来的随后，发现在大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身， 而应注意的是一个集合在代数运算下的性质，从而提出了一般群的概念一般群 论的建立，不仅扩大了群论研究的对象和应用，而且还可以从各种不同的群得到 多方面的启发，从而丰富了群论研究的方法，促进了群论的发展子群、商群与 算术结构是一个群的最基本的数学特征通俗的说就是通过群g 的子群结构、商 群结构和算术结构加条件来刻画群6 的结构很自然地，人们一般用正规子群来 刻划群的结构近些年来，许多学者利用非正规子群来研究群的结构例如，若 群g 的非正规子群的个数为0 ，则g 为d e d e k i n d 群，它的结构见 1 用o ( g 1 表 示群g 的非正规子群的共轭类数，在 2 中r b r a n d l 给出了v ( a ) = l 的群的结 构设群g 为幂零群，c ( a ) 表示群g 的幂零类数，在 3 中j p o l a n d 和 a r h e m t u l l a 给出了群g 的幂零类c ( g ) 与u ( g ) 之间的一个关系式用u ( g ) 表 示非正规循环子群的共轭类数，在 8 中李世荣给出了g 是奇阶幂零群的情形下 矿( g ) = 1 的群的结构以及u + ( g ) 与c ( g ) 之间一个的关系式在 7 中钟祥贵、李 世荣对群g 是有限幂零群的情形讨论了u + ( g ) 与c ( g ) 之间的关系本文引入了 ，( g ) 这一新概念，研究了j ( g ) 与群g 的结构之间的关系 第二章基本概念 第二章基本概念 本文所讨论的群是有限群 如下几个定义可见于文献 5 定义2 1 设非空集合g 为一个群，如果在g 中定义了一个二元运算，叫做 乘法，它满足 ( 1 ) 结合律：( a b ) c = a ( b c ) ，a ，b ，c g ； ( 2 ) 存在单位元素：存在1 g ，使对任意的a g ，恒有1 t l = a l = a ； ( 3 ) 存在逆元素：对任意的a g ，存在a 一1 g ，使得a - l a = 伽- 1 = l - 定义2 2 称群g 的子群为g 的正规子群，如果。，v g g ，记作 璺g 定义2 3 称群g 的予群h 为g 的特征子群，如果日4 h ，口爿甜，( 国 记作h c h a r g 定义2 4 设p 是素数称群g 的元素a 为p 一元素，如果o ( a ) 是p 的方幂 定义2 5 称群6 为p 一群，如果g 的每个元素皆为p 一元素 定理2 6 ( 第一s y l 。w 定理) 若g 是有限群，p 是素数设l i g i ，但 p “十i g i 则g 中必存在阶子群，叫做g 的s y l o w p - 子群 定义2 7 称群列g = k 1 k ：k 。= l 为g 的中心群列，如果 【k ，g 】k ，= l ，一 存在中心群列的群叫做幂零群 定义2 8 称m 为群g 的极大子群，如果m ，则h n a = 1 于是 月= n h - = - 吆由于。 ) = 且i e 形l i i = ，从而阿i - p 因此 ，( g ) = 1 引理3 4 若群g 只有一个极大子群，则群g 为素数幂阶循环群 证明设m 是群g 的极大子群，则有l x g m 若g = ( x ) ，即g 是 循环群若不然，有( x ) g ，则存在g 的极大子群日( x ) 但由于群g 只有一 个极大子群，从而m = 胃于是x m ，矛盾从而g 是循环群若g = ( y ) 不 是素数幂阶循环群，不妨设i g 卜矿，其中p ，叮为素数，a ，b 为正整数由 于g 是循环群且p 与g 互素，从而存在g 。，岛g ，使x = 晶勃，且d 馆。，= 矿， 4 第三章有关引理 。( g ：) = 矿于是g 有两个不同的极大子群( 蜀9 ) ( g ：) ，( 9 1 ) ( g ：9 ) 这与群g 只 有一个极大子群矛盾所以群g 为素数幂阶循环群 零群 引理3 5 5 ：i v 2 7 若群g 的每个s l o w p 一子群在g 中正规，n g 为幂 证明设只，i = l ，2 ，j 是群g 的s y t o w 只一子群由于群g 的每个 s y # o w p 一子群在g 中正规，从而g = 只只而群g 的s y t o w 只一子群只， ，= 1 ，2 ，j 是幂零群，从而g 为幂零群 引理3 6 i s ；i e x 2 设j p 旦g ， l e i ，i g ：p i ) = 1 ，则p c h a r g 证明设口a 鲥( g ) ，有l p l = l p “i 又因为| p 旦g ，从而( p 。，尸) = p “p 是g 的子群于是i r j p ：p l i c ：p i y i n 为i p “p ：p | - j ：严n p i ，i p l = p “i ，从而 p 4 ：严n p i 整除h ，从而i p 4 尸：尸i 整除i p i 而 l e l ，i g ：p b = 1 ，于是i j p 。p ：p l = 1 ， 所以i 尸“p l = l e l 于是严p = p ，有尸，从而p c h a r g 弓i 理3 7 5 ：i 2 1 5 k c h a r h ，h 曼g ，则k 蔓g 证明设口i n n ( g ) ，由于h 蔓g ，从而h “= 日，因此口是h 的自同构又 因为k c h a r h ，从而足“= x 于是k 旦g 引理3 8 5 ：i i 5 5 设p 是蚓的最小素因子，p ( g ) ，且j p 循环， 则群g 有正规p 一补 证明由定理，o p ) c g ( g ) 5 彳，妒) 设h = p 4 ，由尸循环，有 i 彳钟，( p ) | - 烈) 2 ( p 1 ) t 旦_ i n p ，于是s 是群g 的正规子群与s 是群g 的非正规子群矛盾这 样s 只有一个极大子群，从而，由引理3 4 知s 是素幂阶循环子群 定理4 2 设g 是非幂零群，, l j j ( g ) = 1 的充分必要条件是g = n p 是裂扩 张，其中是群g 的正规子群且阶是素数学，p 是素数幂阶的循环p 一群且 【n ，西( p ) 】= l ，素数p q 证明必要性由g 是非幂零群，这样g 有非i e n n s y l o wp 一子群p 据 定理4 1 ，子群尸是素数幂阶循环群设是g 的所有s y l o wq 一子群生成的子 群，其中q p 由于，( g ) = 1 ，p 是非正规子群，得知群g 的所有蜘q 一子 群都在g 中正规，从而 r 在g 中正规由引理3 5 知子群是g 的幂零正规予 群，于是g = 【n l p 下证是素数g 阶循环群 取q 阶元，n ，则由，( g ) 。l ，知( ，) 在群ge o i e 规，现在考虑日= ( 一p ，由 ，( g ) = 1 且i i i p i ，知日是群g 的正规子群如果p g ( p ) ，贝i l l p i i n o ( p ) l ， 从而有g ( p ) 在g 中正规由于p 为o ( 尸)s v l o w p 一子群，故由引理3 6 知p 是6 ( j p ) 的特征子群，有j p 正规于g ，矛盾! 所以p = n o ( p ) 由f r a t t i n i 论 断有g = n o ( p ) h = h p = h 这样比较阶知= ( ，) 7 第四章主要结论 由于( 尸) p ，故中( p ) 是g 的正规子群，同时是g 的正规子群且 n p = 1 ，从而i n ，西( p ) 】n 中( 尸) n p = l 若q p ，则引理3 8 ，有p 璺g ，矛盾于是p 碍 下证充分性设日是群g 的非正规子群，i g = q p 4 ，p ，q 是不同的素数，n 是 正整数，则必有f 日j 一若不然，( i ) 若l h l = q ，则h 是g s y l o wq 一子群， 从而与共轭，即= ，于是h 是g 的正规子群，矛盾( i i ) 若i j 邓4 q ， 口 1 1 则日包含g 的s y t o w q 一子群n ，注意到n 是g 的正规子群，由于g = n p ， 从而兰尸，而是交换群，于是是的正规子群，故日是g 的正规子群，矛盾( i i i ) 若i h i = p 4 ， 甩，则，g g 又因为m ( j p ) 正规于g ，m ( p ) 是p 的极大子群，从f f i i q ) ( p ) 是p s 的极大予群因此h m ( 户) ， 于是【疗，n 】= l ，从而知劈曼g ，矛盾 综上所述j ( g ) = 1 定理4 3 设g 是幂零群且j ( g ) = 1 ，则g 是p 一群 证明不妨设g = e ，其中f 是gs y l o w 只一子群，f = l 2 若# ，昱 的每个子群都在g 中正规，则对g 的任意子群h ，由h = 只n 日b n 日知是 g 的正规子群，这与，( g ) = i 矛盾不妨设k 只，r k 、q g 若k 最曼g ，由g 是幂零群，x 是幂零群，从而k 是足的正规渺子群，因此由引理3 6 知 k c h a r k p ，从而k 是g 的正规子群，矛盾于是x e 、q g 而i k l i 皿i ，这 与j ( g ) = 1 矛盾从而g 是p 一群 定理4 4 若是群g 的正规子群，则j ( g 名) j ( g ) 记j ( ) 为群g 的 包含n 的g 的非正规子群阶数 8 第四章主要结论 证明由于j ( ) 表示为群g 的包含的g 的非正规子群阶的个数，故有 ，( ) ，( g ) 定理4 5 设a ，b 为群，则j ( a b ) ( 4 ) i ，( b ) ，j ( a b ) ( 占) ，( 4 ) 记 ( g ) 为群g 的子群的个数 证明如果4 a ，骂b ，则 因此g = 1 由此得到c ( g ) ：聆一1 考虑群g 的除( 口) 外的元素，计算得到( 施) 2 = 1 ，f = 1 ，2 ”1 ，知( b a7 ) 是 群g 的二阶子群由扩= 如2 ，b ，= b a 4 ，6 。一= 秀知 - 与( h a 2 ， 共轭，同样由( 6 口) n = h a ，( 施) a 2 = b a ，( 施) a 一= 6 口，知( 幻) 与 不是群g 的正规子群令g = 2 ，我们知道 ) = j ( d ( 2 ”1 ) ) 又n i g j ( b ) ，( 6 口) 不是群g 的正规子群且同阶，于是歹( g ) 2 j ( d ( 2 “) ) 2 l + 歹 乡乞t ) ) 2 l + j ( d ( 2 ”1 ，从而 j ( d ( 2 ”) ) = j ( d ( 2 3 ) ) + 疗一3 对于d ( 2 3 ) ，有j ( d ( 2 3 ) ) = 1 从而，( g ) = j ( d ( 2 ”) ) = j ( d ( 2 3 n + 力一3 = 1 + 丹- 3 = n 一2 ( i i ) 若g 兰s ( 2 ”) ，以4 群g 的元素形式为d ，b a ，i = l ，2 ，2 ”1 令g = 2 ，类似( i ) 讨论， 得至0 c o g ) = 以一1 考虑群g 的除( 口) 外的元素，由计算知( 6 ) 2 = a 矿，= 1 ，2 “于是当 1 0 第四章主要结论 i = 2 k 时，( b a 。) 2 = l ，( b a 2 ) 的阶为2 当i = 2 k + l i 对( b a ) 2 = 口2 “1 = 口2 ， ( b a 2 k + 1 ) 其阶为4 另外当f = 2 七+ l 时， ，9 2 2 ”2 ，由于 矿= t ，6 z = t ，矿= 万一，从而知。) 兰d ( 2 ”1 ) ，j ( 。) ) = j ( d ( 2 ”1 ) ) 令 ( 口1 ，i 口1 ， z = a q ，由于( 6 ) 与( b a 2 z ) ， 共轭，再考虑到( b a 2 。 是群g 的2 阶子群与 ) 2 1 + j ( d ( 2 ”一1 = 1 + 门一3 ：一一2 ( i i i ) 若g 兰q ( 2 “) ， ”3 群g 的元素形式为，b a ，i = l ，2 ，2 ”1 令g = 2 ”2 ，类似讨论得到 c ( g ) = n - 1 因为6 2 ：口，于是有d ( 6 ) = 4 r ( a z - ) ( 6 f l j - y - ( h a ) 2 = 6 2 = a 2 - 2 ，从而 o ( b a ) = 4 且臼矿2 ( 施) ，( 6 2 a ) 2 = 0 1 + 2 , , - 2 ) 2 = 口“，f 2 “，此时o p 2 ) 2 且 ( ，2 ( 6 3 所 以q ( 2 “) 只有一个2 阶子群( 口) 且每个非i e 规子群均包含和) ，而 璺g - 考虑乡乞。) ，于是，( g ) = ，( 乡乙e ) ，同时万一= t ，酽= t ，矿= 万一， 3 h i l l - ) 兰d ( 2 “) ( 矽2j ( d ( 2 嘲于是，( g ) 刮( q ( 2 功列e ) ) = j ( d ( 2 ”1 ) ) = 抑一3 ( i v ) 若g - - m ( p ”) ，其中p 是奇素数时，n 3 ，或p = 2 时，n - 4 同样讨论有c ( g ) = 2 设是群g 的子群，r g 日，由于，交换，9 , 目i i 司g 由扩= 6 6 一口一l b a 2b a - l - ，“口2 b a 一广2 ，b ，= 口- 1 扩a = b b 一1 a 一1 b a f - 2 口2 第四章主要结论 b a 一2 广2 ， ，6 = b a 一( p 1 ) ，2 ，b ，：b ，知与 ，( h a 一矿2 ，l - 1 ，p 一1 外其 余的子群均包含g ，从而其是群g 的正规子群所以有j ( g ) = l + j ( ，) = 1 推论4 8 设i g l - 矿，g 有p “阶的循环子群( 口) ，( g ) = 1 ，则g 为下列 三种类型之一； ( i ) g 兰d ( 8 ) ； ( i i ) g 兰q ( 1 6 ) ； ( i i i ) g 兰m ( ) ，其中p 是奇素数时，胛3 或p = 2 时，n 4 证明由引理3 9 及定理4 7 即得 定理4 9 设群g 是p 一群，且，( g ) = l ，子群s 是群g 的非正规子群，则 如果是群g 的非平凡的正规子群，且i | v i - i s l ，那么为d e d e k i n d 群 证明设是的任意非平凡子群，贝j j i h i i f - i s l ，从而日是群g 的 正规子群，因此为b e d e k i n d 群 定理4 1 0 设群g 是亚循环p 一群，( g ) = 1 ，那么下列三种情形之一成立 ( i ) g 兰m ( p ”) ，其中p 是奇素数时，甩3 ，或p = 2 ，盯4 ( i i ) g 有一个同态像为d ( 8 ) ； ( i i i ) g 兰q ( 1 6 ) 1 2 第四章主要结论 让明设于群s 是群g 的非正规于群， 当p 3 或p = 2 时 e 6 ；p 1 0 4 有g 兰g 6 矿= 1 , b ，= 口，b - 1 a b = 矿，) 其中肌，忍，c ，j 均为整数而g 7 2 ( 口，) 是阶子群由定理4 9 且h = p 时，有c = l 以及 6 ：3 2 知s p 2 ， 取是g 的最小正规子群，由 6 ：4 9 是二面体群，g 是广义四元数群或 i l = 2 m - c + 1 如果g 是广义四元数群，由于j ( g ) = l ，从而g 是q ( 1 6 ) 如果i i = 2 1 ，若卅一c + l 2 ，则交换，矛盾若，一c + l 4 时，j ( g n ) 与 ，( ) j ( g ) 2 l ，矛盾a k 而i m - c + l = 3 ，于是d ( 8 ) 是g 的同态像 致谢 致谢 这篇论文在我的导师王燕鸣教授和李样明教授的精心指导下完成的在此， 我感谢导师王燕鸣教授、李样明教授的悉心指导 在我攻读硕士学位的两年半里，两位导师带我走迸有限群论这一领域，探讨 有关有限群结构的一些前沿问题，使我基本具备独立科研的能力；在论文写作的 过程中，自始至终给予耐心指点和启发，并细心为我审阅修改，使我的论文得以 顺利完成，王老师和李老师渊博的知识，严谨的治学态度，诲人不倦的精神，不 断迸取的精神，扎实的学术作风给我留下了深刻的印象，使我终身受益 感谢曾广兴教授给我讲授了代数学各门学科的知识，曾老师的博学与严谨使 我学到不少思想方法，思维能力也得到提高，顺利完成了课程学习，同时让我领 略到了代数学的博大精深 感谢我的父亲和母亲以及亲人们两年半来对我的支持和关心，还要感谢我的 细姑，细姑爹对我的帮助 1 4 参考文献 参考文献 【l 】d js r o b i n s o n ac o u r s ei nt h et h e o r yo f g r o u p ss p r i n g e r - v e r l a g n e wy o r k1 9 8 2 【2 】rb r a n d l ，f i n i t eg r o u p sw i t hf e wn o n - n o r m a ls u b g r o u p s c o m m a l g e b r a , 2 3 ，1 9 9 5 ：2 0 9 1 2 0 9 8 【3 】j p o l a n d ，ar h e m t u l l at h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s so fn o n n o r m a ls u b g r o u p si nn i l p o t e n t g r o u p s j c o m ma l g e b r a ，1 9 9 6 ，2 4 ：3 2 3 7 - 2 4 5 【4 】s h u n m i nc h c n ，g u i - y a nc h e nc l a s s i f y i n gf i n i t eg r o u p sw i t hs o m es p e c i a lk m do f n o n - n o r m a l s u b g r o u p s2 0 0 7 【5 】徐明曜有限群导引( 上、下册)北京：科学出版社1 9 9 9 【6 】bwk i n g p r e s e n t a t i o n so f m e t a c y c l i cg r o u p s b u l la u s t r a l m a t hs o c ，8 ，1 9 7 3 ：1 0 3 1 3 l 【7 】钟祥贵，李世荣幂零群中非正规循环子群的共轭类数数学研究与评论，2 0 0 6v 0 1 2 6 ，n o ： 3 5 5 7 - 5 6 1 【8 】l is h i - r o n g t h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - n o r m a lc y c l i cs u b g r o u p si nn i l p o t e n t g r o u p so f o d do r d e rj g r o u pt h e o r y , 1 9 9 8 1 ：1 6 5 - 1 7 1 【9 】n b l a c k b u r n f i n i t eg r o u p si nw h i c ht h en o n n o r m a ls u b g r o u p sh a v en o nt r i v i a li n t e r s e c t i o n j a l g e b r a ，3 ，1 9 6 6 ：3 0 - 3 7 1 0 p a u c k e y , j c l e n n o xa n dj w i e g o l dg e m e r a l i z a t i o no fh a n u l t o n i a ng r o u p s r i c e r c h ed i m a t 4 1 1 9 9 2 ：3 6 9 3 7 6 f li s n ，c e r n i k o v g r o u p sw i t hg i v ep r o p e r t i e so fs y s t e m so fs u b g r o u p s u k r m a tz h ，n o 6 1 9 9 1 ：l l l 1 3 1 【1 2 gc u t o l o o ng r o u p ss a r i s l y i n gt h em a x i m a lc o n d i t i o n n o n - n o r m a ls u b g r o u p s r i v i s t ad i m a t p u r ac da p p l ，9 ，1 9 9 1 ：4 9