（基础数学专业论文）洛伦兹空间型中的等参超曲面.pdf

洛伦兹空间型中的等参超曲面 摘要 本文研究洛兹空间型中的等参超曲面给出了霹中一类j j 型洛伦兹等参超 曲面的参数化和局部刚性定理；并对s 中的型洛伦兹等参超曲面进行了研 究证明了其互异主曲率个数不可能为3 全文共分为三个部分第一节为引言，介绍了所研究问题的历史背景和主要 结果在第二节研究了洛伦兹空间型爿中的i i 型洛伦兹等参超曲面给出了耳 中最小多项式为( 一1 ) 2 ( 丑+ 1 ) 的洛伦兹等参超曲面庸的解析表达式证明了这 种超曲面厨局部地被三个函数爿( “) ，曰( “) ，c ( “) 所唯一确定 定理1 并且g 中 任何洛伦兹等参超曲面肘局部地与某个具有最小多项式( 丑1 ) 2 ( 五+ 1 ) 的洛伦兹 等参超曲面厨的平行超曲面合同 定理2 在第三节中证明了s 中的型洛 伦兹等参超曲面的互异主曲率个数不可能为3 定理3 ，从而s ? 中不存在型洛 伦兹等参超曲面 关键词：洛伦兹空恻型；洛伦兹超曲面；等参超曲面 i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e si nl o r e n t z i a n s p a c ef o r m s a b s t r a c t - i nt h i st h e s i s ，i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e si nl o r e n 亿i a n 5 p a c ei b r m sa r es t u d i e d p a r a m e t r i z a t i o na n dl o c a lr i g i d i t yt h e o r e mo f a c a s so tl o r e n t z l a n i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e so ft y p e i ii n 掣a r e 9 1 v e n l a t e r ，l o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e so f t y p e i vi n 钟+ l a 1 1 es t u d i e d , a n di t 1 sp r o v e dt h a tn o n eo ft h e s eh y p e r s u r f a c e sh a v et h r e e d i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e s i h e p a p e r1 sd i v i d e di n t o3s e c t i o n s i ns e c t i o n 1 ，t h eh i s t o r i c b a 。k g r o u n do ft h ei n v o l v e dp r o b l e mi sp r e s e n t e da n dt h em a i nr e s u l t sa r e i n t r o d u c e d i ns e c t i o n2 ，l o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e so f t y d e j i 1 1 1 s ? a r es t u d i e d i ti sp r o v e dt h a t a n yl o r e n t z i a ni s o p a r 啪e t r i c n y p e r s u r f a 。w i t hm i n i m a lp o l y n o m i a l ( 旯一口) 2 ( 旯一q ) i n t h ed es i t t e r s p a c es ? 1 sl o c a l l yc o n g r u e n tt oap a r a l l e lh y p e r s u r f a c eo f al o r e n t z i a n 1 8 0 p a r 啪。t 。圯h y p e r s u r f a c e ，w h i c hi sd e t e r m i n e d u n i q u e l vb vt h r e e f h n c t i o n s 彳( “) ，8 ( u ) a n dc ( u ) - f o rl o r e n t z i a n i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e w l t hm i n i m a lp o l y n o m i a l 一1 ) z ( 五十1 )i ns ? t h ea n a l y t i ce x d r e s s i o ni s 9 1 v e r li ns e c t i o n3 ，i ti sp r o v e dt h a tn o n eo fl o r e n t z i a n i s o p a r a m e t r i c h y p e r s u r f a c e so ft y p ei v c u r v a t u r e s c o n s e q u e n t l yt h e r e i n w “h a v et h r e ed i s t i n c t p r i n c i p a l i sn oh y p e r s u r f a c eo f t y p e1 vi ns ： g r a d u a t es t u d e n t ：s u ny u a n y u a n ( p u r em a t h e m a t i c ) d i r e c t e db y ：p r o f e s s o rl iz h e n q i k e y w o r d ：l o r e n t z j a ns p a c ef o r m ；l o r e n t z j a n h y p e r s u r f a c e i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e ； 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：函救援导师签名：麴耍崤 签字日期：砂哆年z 月 日签字日期：渺年彳月f 日 学位论文作者毕业后去向：匆号呔子 工作单位：i 匆占乏子汪孑耽 通讯地址： 弗占彳、寻握等国旋寻东 电话t | 等5 g 毒考3 邮编： 岁多一- 卵 洛伦兹空间型中的等参超曲面 1 引言 设吖是定向黎曼流形中的一个定向的超曲面将 上的每一点p 沿着 过p 点的( n 中的) 法向测地线平行移动相同的弧长r 得到m 的平行超曲面m ， 若在f 充分接近于0 时m ，全都是常平均曲率的，则称是中的等参超曲面 众所周知，在实空间型中，具有常数主曲率的超曲面称为等参超曲面 自上一世纪三十年代以来，对实空间型中的等参超曲面有了丰富的研究成果 先是b s e g r e 对丑中的等参超曲面【1 ，接着是e c a f t a n 对日”“中的等参超曲 面进行了完全分类 2 但是对“中的等参超曲面，分类问题还没有完全解决 环绕空间是伪黎曼空间型时，由于吖的形算子a 在伪黎曼度量下不一定 可以对角化，使得问题变得更为复杂但当 彳是类空超曲面时，问题就简单 些1 9 8 1 年，n o m i z u 对洛伦兹空间型中的类空超曲面引入了等参的概念 3 如 果洛伦兹空间型中的连通类空超曲面m 的形算子a 有常特征值( 主曲率) ，则称 m 是等参的 当肘是洛伦兹等参超曲面时，由于吖的诱导度量不再保持正定，使得形算 子未必可对角化因此在1 9 8 5 年，m m a g i d 在文 4 中定义了洛伦兹空间型肿“ 中的洛伦兹等参超曲面的概念，如果m 的形算子a 在每一点都有相同的最小多 项式，则称肘是洛伦兹等参超曲面他指出可选取适当的局部标架使得洛伦兹 等参超曲面m 的形算子4 具有以下i 型、1 1 型、i 型、型四种规范形式之一： i i i a o 00 0 a o 1 一l 0 口o a o 0 i 以o 6 0 口0 其中i ，是形算子在一组幺正标架下的表示：i i ，【i i 是形算子在一组伪幺 e 标架下的表示由此出发，他将尺? ”1 中的洛伦兹等参超曲面进行了分类，并证 明了肿“中的洛伦兹等参超曲面至多有一非零实主曲率 按照j h a h n 的说法，洛伦兹空间型中的等参超曲面m 的形算子a 的特征值 也称为m 的主曲率 5 1 9 9 9 年，肖良在文 6 中运用文 4 的结果证明了p 1 中的洛伦兹等参超曲 面m 至多有一对复的和两个实的主曲率，并对这种超曲面给出了分类和解析表 达式然而，对s 中的洛伦兹等参超曲面还没有好的结果 2 0 0 4 年，谢显华在文 7 中对研“中的i 型洛伦兹等参超曲面进行了研究， 证明了s j ”1 中不存在具有三个互异主曲率的i 型洛伦兹等参超曲面 在本文第二节中，我们研究g 中的一类型洛伦兹等参超曲面，其形算子爿 的最小多项式为( 一口) 2 ( 五一a ，) ，a 喁我们得到下面的两个定理 定理1 设爿( “) ，口( “) ，c ( u ) 是任意3 个定义在某个区间( 口，6 ) cr ( 0 ( d ，b ) ) 上的光滑函数， 满足a 2 + b 2 0 向量值函数e 。：( 口，b ) 斗r ? ( a = 0 ，1 ，4 ) 是常微分方程组 瓦=一b e 2 ， e i = 一击曰岛一, 2 c e 3 + 击一e 。， 乓=+ 弛，( 1 1 ) 耳= h 。一, r i c e ：， 耳2 古一e 2 的解，满足初始条件b ( o ) = s 。，此处，t ，毛) 是月? 的一组伪正交基，q ，s ： 是类光的r ( 毛，s ：) = - 1 ，其余的以( a 1 ，2 ) 是类空的令 q = “，v ，f ) r 3i “( d ，6 ) ，a c o s ( 4 j t ) + b s i n ( 4 j t ) o ， 2 吗+ 士岛+ 士s i n ( v t t ) e o 一士c o s ( 届) e 4 则x = e 。：q 一矸是一个浸入，使得砑= 工( q ) 是研中的i i 型洛伦兹等参超曲面， 其形算子爿的最小多项式为( 五一1 ) 2 ( 五+ 1 ) 定理2 设m 是口中的型洛伦兹等参超曲面，其形算子a 的最小多项式 为( 五一日) 2 ( 五一a ，) ，n a 。则局部地m 是定理1 中的某个超曲面厨的平行超曲 面 在本文第三节中，我们通过引入复标架对w “中的型洛伦兹等参超曲面进 行了研究，得到下述定理 定理3 设m 是s ? “( n 3 ) 中的型洛伦兹等参超曲面，则其互异主曲率 个数不可能为3 特别，g 中不存在型洛伦兹等参超曲面 2 矸中的一类i i 型洛伦兹等参超曲面 1 结构方程 设m 是s ? 中的型洛伦兹等参超曲面，石：m s 1 4 r ? 为等距浸入取 t m 的局部伪正交标架，x ：，x ， 使得 ( 肖t ，x ) = ( x 2 ，x z ) = ( x ，x 3 ) = ( x 2 ，x 3 ) = o ，( x ，x ：) = 一1 ，( ，工，) = 1 ， 并且 册l = a x l + x 2 ，肘2 = 硝2 ，肚3 = 口l x 3 ， ( 2 i ) 其中a 是形算子在本节中我们仅限于考虑口口的情形，即m 的形算子a 的最 小多项式为( 丑一d ) 2 ( 五q ) 令如，( - 0 2 ，鸭) 为讧。，x ：，x ， 的对偶标架 选取平凡丛g = m r ? 的伪正交标架 p 。= x ，q ，p ：，巳，p 。 ，使得 d x ( x ，) = p ，( i = 1 ，2 ，3 ) ，e 。是m 的单位法向量场我们约定形算子爿由 如。( x ) = d x ( a x ) 来定义我们有鹫的结构方程 d e o21e l + 0 7 2 。2 + 脚，e 3 ， d e 】=2 e o + g o e 】 + 1 3 e 3 + ( 】+ 口2 ) e 4 ， d e 2 = 珊l e o 一国l l e 2 + 珊2 3 巳 + 口l 气，( 2 2 ) 沈3 = 一3 已o + 埘2 3 e l + 1 3 8 2一口i 曲3 已4 ， 如4 = 口lp l + ( 国1 + a 2 ) p 2 + d 1 3 e 3 外微分此式得到m 的结构方程 j d q = 一q l q 一吐3a0 ) 3 ， d c 0 22q 1 0 ) 2 一q 3 ( 0 3 ， l d 0 3 = 一c o i3 q 一0 ) 2 3 c 0 2 j d c 0 1 1 = c o l 3 0 1 2 3 一( 1 + a 2 ) q 吐， d q3 =c o l l m 1 3 + ( 1 + a q ) 2 c 码+ 口l 】 们3 ， l d 2 3 = 一l l 2 3 + ( 1 + a a l ) ( - 0 3 以及c o d a z z i 方程 ( 2 3 ) ( 2 4 ) f d r o l + a d o d 2 =q l ( t o l + d 吐) 一口l q 3 吐， 1a d o j l = 一e l , t o t l a l 由2 3 3 ，( 2 5 ) 【日l d 鸭= 一哆3 ( r 0 i + 口屿) 一日q 3 q 结合【2 - 1 ) ，( 2 5 ) 得到 2 c o l l i + 呸3 + ( 口一d 1 ) 1 3 】 0 ) 3 = 0 ， ( d d i ) 吐3 o j 3 = 0 ， 【 埘2 3 + ( 口一日1 ) 1 3 + ( 口一口1 ) 3 哆= 0 ( 2 6 ) 2 平行超曲面 注意“是整体定义的假定m 是可定向的，有整体定义的单位法向量场e 。 由m 上一点j = “出发的( 在s ? 中的) 法向测地线为r ( s ) = c o s s 十s i n je 。它 是一条类空曲线，s 为弧长参数对于固定的实数s ，考虑映射 z = e 0 = c o s se o + s i n sp 4 ：m 斗s ? r - 因为 d 瓦= ( c o ss 十d s i n s ) o i l e l + 【s i n s o i t + ( c o s s + a s i n s ) 0 2 e 2 + ( c o s s + a 1s i ns ) 0 3 e 3 ， 当( c o s s + ds i n s ) ( c o s s + a s i n s ) 0 时，聋是浸入，厨= 譬( 肼) 的切空间由 和，巳，岛) 张成故瓦= 一s i n s + c o s sp 。是届的单位法向量场设z 的形算子为 彳则由 d g = c o s s d x + s i n ，d x 。a = d xo ( c o s s ，+ s i n s a ) ， 蕊。彳= 一s i n s d x + c o ss d x 。a = 出。( 一s i n s ，+ c o s s a ) 可知j = ( c o s s ，+ s i n s 爿) _ 1 ( 一s i n s i + c o s s a ) 若记口= c t 9 0 ，a l = c t g 鼠，简单 计算说明詹也是i i 型洛伦兹等参超曲面，j 的最小多项式为 ( 五一c t g ( o + j ) ) 2 ( 五一c t g ( o , + s ) ) ，特征根为万= c t g ( 0 + s ) ，蟊= c t g ( 岛+ s ) 3 局部参数化 因为a 一口l 0 ，由( 2 6 ) 可知0 9 2 3 = 0 ，从而由( 2 4 ) 得出a a i = 一1 通过将m 沿 法向测地线平行移动，可设口= 1 ，豳= 一1 m 的结构方程现在化为 d o i i = 一c o t l ，d 国2 = q 1a0 ) 2 一o i l 3 鸭，d o 35 0 ( 2 7 ) d o - i l = 一2 0 9 , a 0 ) 2 ，如1 3 = 0 9 1 la 1 3 一qa 屿 ( 2 8 ) 当第一结构方程( 2 3 ) 成立时，c o d a z z i 方程( 2 5 ) 等价于( 2 6 ) ，现在成为 q la0 5 1 + q 3a 0 9 3 = 0 ， q 3a 珊l = 0 ( 2 9 ) ( 2 9 ) 等价于 0 ) 1 3 = 五q ，l l = z o i 3 + p c 0 1 ( 2 1 0 ) 命题1 设q 亡r 3 是单连通区域，q ，吐，心，q 。，q 3 是q 上的5 个1 - 形式并 且，0 9 2 ，处处线性无关如果这5 个1 形式满足结构方程( 2 7 ) ，( 2 8 ) 和关系式 ( 29 ) ，则有一个浸入z ：q 哼砰c r - 使得m = x ( n ) 是矸中的i i 型洛伦兹等参 超曲面 ， 证明考虑微分方程组( 2 2 ) ，其中0 ) 2 ，= 0 ，日= 1 ，a ，= - 1 它的可积条件是 ( 2 7 ) ，( 28 ) 和( 2 9 ) ，给定r ? 的个初始伪正交标架，】，一，s 。 ，使得s 。，s ：是类 光的，矗，s ：) = 一1 ，其余的毛是类空的，a 1 ，2 设 p 。，q ，p ：，岛，e 4 是( 2 2 ) 的 定义在q 上的解，满足初始条件e a ( ) = 巳，a = 0 ，1 ，4 ，其中p 。是q 中的 一个定点剩下的只要证明 ，e 1 ，p ：，p ， 是平凡丛r q r ? 的伪正交标架 即( e a ，) = ( _ ，) 是常数，从而x = 就是所要的浸入 记e 是以e 为第a + 1 行的5 阶方阵，g = d i a g ( 一l ，1 ，1 ，1 ，1 ) 是尺? 的度量矩阵 其对角线上的元素顺次为一l ，1 ，1 ，1 ，1 再设 t = o 以+ 0 9 2 缈l 0 ) 3 0 ( 2 1 1 ) 我们要证明e g e 7 = t ，其中e 7 表示e 的转置矩阵令f = e g e 7 由( 2 2 ) 我们知道d e = t o e ，因此f 满足c a u c h y 问题微分方程组 d f = o j f + f c 0 7 ；f ( p 0 ) = t 注意到t 是反对称的，c o t + r = 佃r ) + r ) = 0 故7 t 也满足上述c a u c h y 问题的微分方程组因此，= 7 1 口 命题2 设肘是一个3 维流形如果5 个局部定义的1 形式( o i ，峨，( 0 3 ， q 。，q ，满足( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，并且，吐，q 处处线性无关则有埘上的局部坐 标系( 虬v ，f ) 和三个局部定义的光滑函数爿( “) ，b ( “) ，c ( u ) ，满足条件 a ( u ) e o s ( # 2 t ) + b ( u ) s i n ( 9 2 t ) 0 ，使得 。= p t d u ，q = 一k 一7 ( v 2 + c ( “) ) + e 7 k h + p s d v ，0 9 3 = d t q 1 = 一e f + 2 v d u ，q 3 = 一f , e 7 d u ， 其中，= 鲁，函数，= f ( u ，f ) 由下式决定： ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) p 2 7 = a ( u ) c o s ( 再o + b ( u ) s i n ( 何) ( 2 1 4 ) 证明直接计算可知9 8 ( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 所定义的5 个1 一形式满足( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 由( 2 7 ) 知f o ! = 0 是完全可积的，存在局部坐标( “。，u 2 ) 使得分布 d = s p a n x 2 ，x 3 由p 抛2 ，o o u 3 ) 所张成，从而c o l ( o o u 2 ) = c 0 1 ( o o u 3 ) = 0 由 于0 2 i 无零点，可设q = e d u 。，其中f 是局部定义的光滑函数又由d c o ，= 0 ，存 在局部函数f _ t ( u 】，“2 ，屿) 使得 ( 0 3 = d t = t u i d u l + r 幽2 “q 如3 ， 其中f t 。不同时为0 ，因为q ，线性无关不妨设t 。，0 作坐标变换 0 i ，“2 ，) 斗( “= “l ，v = u 2t = t ( u i ，“2 ，心) ) ，就有q = e 7 d u ，础3 = d t 那么 d = a f a 、由( 27 ) ，( 2 1 0 ) 得 0 2 l i = 一矽+ 应国】= 2 c a 3 + - t o g i = a d t + 劬 ( 2 1 5 ) q 。o 删 吡。砘一 o o q o吃q吗o o o o 0 o o o o o o 故丑= 一，应= + 工口，i v = 0 这说明f = f ( u ，f ) ，q 。= 一f , c o , 由( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 知d ，= 一( 1 + ) 国1 脚3 = ( 1 + z 2 ) d t ( o j 于是有 ( 1 + ：2 ) d r 0 3 1 = d c 0 1 3 = 一厶d t 0 3 l z 矽 御l = 一( 兀+ ：2 ) a t 0 9 1 由此可见 g 27 ) 沪2 8 27l = 2 e 2 ( ，+ 2 f , 2 ) = - 2 e ” ( 2 1 6 ) 因此有( 2 1 4 ) 从( 2 7 ) 得到慨= 一够 ( 0 2 + 皿q + ，q 鸭，故有 d ( e 7 屿) = e y ( d f 0 ) 2 十d 吨) = p 7 0 ) 1 伍吐+ ，幻) 如果我们设p 70 ) 2 = b l d u + b 2 d v + 6 3 击，那么6 2 0 ，因为q ，0 2 , 2 ，屿线性无关上 式晓明( 6 ，) ，= ( 如) ，从而在平面“= c o n s t 上，曲线积分 i = i ( ，f ) = 【也( “，f ，7 7 ) 蟛+ b 3 ( u , 亭，叩) 却】 与路径无关，其中y 是“= c o n s t 平面上由( “，0 ，0 ) 到( “，v ，r ) 的逐段光滑曲线特别， f = e6 2 ，宇，o ) d 孝+ 6 3 ( z f ，v ，町) d 叩， 从而有而= 吒础+ 咖+ b 3 d t 通过坐标变换( ，v ，f ) 斗( “，可，f ) ，不妨设 0 ) 2 = b d u + e - d v f 2 1 7 ) 外微分( 2 1 5 ) 并利用( 2 8 ) ，得 d 拄诒，) d u = e f ( 谚蔚+ 厨妒) d u = ( z 舀+ 五矽) 国i = d w l = 一2 0 ) i ( 0 2 = 2 咖 d u 这说明慨，1 = 0 ，慨7 ) v = 2 因此加7 = 2 0 + c 1 ) ，其中c 1 = c 。( “) 为光滑函数 作坐标变换( ”，v ，) 一( “，可= v + c l ( “) ，f ) ，仍有q = e f d u ，屿= d t 而 ，= 矶+ p d g ，其中石= b 一哗，( c l ，- 鲁) 将矿仍记为v ，则芦= 2 r e 一， 即有( 2 1 3 ) 将石仍记为b 外微分( 2 1 7 ) 并利用( 2 7 ) ，( 2 1 3 ) ，可得 t d b + b 、 d u = 一( 2 e + f v d v 十e f f , a t ) x d u 从而 d ( 6 已，) d u = 已7 ( 如+ 西够) d u = 一( 2 v d v + e 2 ，出) 咖 这说明 b e ) v ：一2 v ，( 6 l = l ，= 一妻1 由第二式可知b e ：一 p 2 f + h 【“，v ) ，从而h ，= b e 7 ) 。= _ 2 v ，h = 一( v 2 + c ) ， 其中c = c ( “) 为局部定义的函数代入( 2 1 7 ) ，我们得到 0 ) 2 = 一k ( v 2 + c ) + p ，k + e - f d v 口 4 解析表达式 设m 是研中的i i 型洛伦兹等参超曲面，形算子a 的最小多项式为 ( 一1 ) 2 ( 丑+ 1 ) 根据命题2 ，可选取局部坐标( “，v ，) 使得( 2 1 2 ) 一( 2 1 4 ) i 壮此时 ( 2 2 ) 的第4 式成为 d e 3 = ( 一e o + e 4 ) a t e 7 f , e 2 d u ( 2 1 8 ) n e ee 3 ) 。= 0 ，e 3 ) ，= 一e o + e 4 由( 2 2 ) ， d ( 一e o + e 4 ) = e7 e 2 d u 一2 e 3 d t ( 2 1 9 ) 故有( g ，) ，= - 2 e 3 于是可设 6 3 = c o s ( 压t ) e o 十s i n ( 4 5 t ) e i ( 2 2 0 ) 其中e 。= e 。( ) ，e 。= e 。( “) 是向量值函数由此得 一e 。+ e 4 = ( 岛) ，= i f 2 - s i n ( , s t ) e 。+ c o s ( j r ) 毛】 ( 2 2 1 ) 因为( 屯，q ) = 1 ，( e ，一e 。+ p 。) ；0 ，( 一e 。+ e 。，一+ p 。) = 2 ，易见 佤，e 0 ) = ( e 4 ，e 4 ) = 1 ，( e 0 ，e 。) = 0 ( 在( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) h o 令，= 0 即得) 同理，由( 2 t 3 ) ，( 2 2 ) 第3 式现在成为 d e 2 = ( e o + e 4 ) e j d u + ( a f 一2 v d u ) e 2 ( 2 2 2 ) 故有( p 2 ) ，= 0 ，( p 2 ) ，= l e 2 由此得( p - f 9 2 ) ，= ( p e 2 ) ，= 0 ，可设 e 2 = e7 e 2 ，e 2 = e 2 ( “) ( 2 2 3 ) 同样有 但，e ：) = 0 ，( e ：，e 。) = ( e 2 ，e 。) = 0 由于d ( e o + e 4 ) = 2 a 】t e l + ( 彩l + 2 ( 0 2 ) e 2 ，g q ( 2 1 2 ) ，( 2 1 7 ) 知 d ( e o + p 4 ) = ( 2 e 】+ e 2 ) p 7 d u + 2 e 2 ( b d u + e - i d v ) ( 2 2 4 ) ) y , n ：j h - ( e o + e 4 ) ，= 0 ，( + 8 4 ) ，= 2 e - e 2 = 2 e z 可设 g o + e 4 = 2 r e 2 + 2 e 3 ，e 3 = e ( “) ( 2 2 5 ) 且有 ( e 3 ，e ：) = ( e 3 ，岛) = ( e 3 ，e 。) = 0 ，( e ，e 3 ) = 1 再f 1 3 ( 2 2 ) 第2 式得 ( e 1 ) ，= 一f , e l ，( e 1 ) ，= e 一7 ( e o 十e 4 ) = e 一7 ( 2 r e 2 + 2 e 3 ) n 止l ( e7 q ) ，= 0 ，p7 p 1 ) ，= 2 v & + 弛可设g7 q = v 2 易+ 芝v 岛+ e l ，即 巳= g - f ( v 2 e 2 + 互v e 3 + e ) ，e l = e t ( “) ( 2 2 6 ) 由( 2 2 0 ) ，( 221 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 礅w ( e ，e o ) = ( e ，e 。) = ( e ，e ，) = 0 ，( e le 2 ) = 一1 ，( e ，e 。) = 0 ， 即 民，e ，：，毛，e 。 是星；= m r ? 的仅依赖于参数“的局部伪正交标架，e ，e ： 是类光的，其余的是类空的 从( 2 1 4 ) 可知 2 0 1 ，= 压 一ds i n ( c t ) + bc o s ( 4 5 t ) 微分( 2 ，2 0 ) 式，利用( 2 t 8 ) ，( 2 2 0 和( 2 2 4 ) ，得 c o s ( ，i t ) d e o + s i n ( c t ) d e 4 = d e 3 4 2 一s i n ( c t ) e o + c o s ( c t ) e 4 】d t = 一p7 z p 2 d u = 一e 2 f , e 2 d u = 古【爿s i n ( c t ) 一b c o s ( 拒t ) e 2 d u ( 2 2 7 ) 同理，微分( 2 2 1 ) ，利用( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 1 4 ) ，有 一s i n ( 4 j t ) d e o + c o s ( g j t ) d e 4 = 击p 27 易d u = 击口c o s ( 压r ) + b s i n ( c t ) 岛d u ( 2 2 8 ) 从这两个式子得出 d e o = 一击b e 2 d u ，d e 4 = 古a e 2 d u ( 2 2 9 ) 采用同样的方法，可逐次f h ( 2 2 3 ) ，( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 计算出 d e s = 、2 e f l u ，d e 3 = 4 2 ( e 一c e 2 ) d u ， ( 2 3 0 ) 崛= ( 一士b e o 一2 c e 3 + 士a e t ) 幽 ( 2 1 3 1 ) 即 民，e ，e 2 ，e ，e 。 满足定理1 中的常微分方程组( 1 1 ) 反过来，任意给定3 个定义在某个区间( a ，b ) c r ( 0 ( 口，6 ) 上的一元函数 a ( u ) ，b ( u ) ，c ( u ) ，满足月2 + b 2 0 取微分方程组( 1 1 ) 的一个满足初始条件 e 。( o ) = 毛的解，其中h ，占l ，一，毛 是第3 节所定义的r ? 的一个初始伪正交标架 因为( 1 1 ) 右端的系数矩阵u 满足( u 丁) + ( u t ) 7 = 0 ( t 是( 2 1 1 ) d 9 的矩阵) ，如同 命题1 中一样，易见 e 。，e ，e ：，e ，e 。 是定义在区间( 口，6 ) 上的局部伪正交标架 于是由( 2 2 1 ) 和( 2 2 5 ) ， e o = v e 2 + 士易+ 古s i n ( c t ) e o 一士c o s ( c t ) e 4 ( 2 3 2 ) 定义了r 3 的某个区域n 到s ? c r ? 中的浸入x = e 。：q 斗s ? ，因为 d e 。= ( 4 2 r e 3 + g ) d u + p v 一【c + ( 爿c o s 甜+ b s i n c t ) d u 扭2 + 【c o s ( 届) e o + s i n ( c t ) e 枷= ( o i e l + o ) 2 e 2 + o ) 3 e 3 ， 其中f o ，处，c 0 3 由( 2 1 2 ) 和( 2 ，1 4 ) 定义，e l ，e 2 ，e 3 分别由( 2 2 6 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 0 ) 定义， 由( 22 1 ) 和( 2 2 5 ) 得到 g 42v e 2 + 士e 3 一士s i n ( 4 5 t ) e o + 古c o s ( 厨) 日 因为忸。，e 、，e ：，e ，e 。 满足( 1 1 ) ，直接检验可知伪正交标架 ，e 、，e ：，e ，e 。 满足 ( 2 2 ) ，其中脚2 3 = 0 ，( 0 1 1 ，q 3 由( 2 1 3 ) 所定义，a = 1 ，a 】= 一1 因此m = x ( n ) 是耳 中的i l 型洛伦兹等参超曲面，形算子爿的最小多项式为( 五一1 ) 2 ( 五+ 1 ) 综合第1 4 段的内容，我们就证明了定理1 和定理2 5 i i 型洛伦兹等参超曲面的例子 当c = 0 ，a ，b 为常数时，容易求得微分方程组( 1 1 ) 的解虽然常数a ，b 可以 任意选取，我们将证明由此而得的等参超曲面实际上只有一个，而且它可延拓为 定义在r ! s 1 上的整体解 此时可将( 2 1 4 ) 改写为f 2 7 = a ic o s 陋一f 。) ，其中a l = 爿2 + b 2 ，t 。是一个 实数，使得a = a ic o s t o ，b = a 1s i n t o 通过参数平移f 斗f = 卜古f o ，可认为 b = 0 ，a 0 再作参数变换“斗舀= 爿“，v 斗铲= 击v ，可认为( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ， ( 21 4 ) 中的a = 1 由( 1 1 ) 可得e o 0 ，e 4 = e 。( 一= l ，2 ，3 ，4 ) 由此得到( 1 1 ) 的定义在整个 re 的解 e o2 a 5 ， e 2 = c o s h “a l + s i n h ua 2 + c o s “a 3 + s i n ua 4 ， 毛= 古耳= 去( s i n h u a l + c o s h u a 2 一s i n u 吗+ c o s a 4 ) ，( 2 3 3 ) e 1 = 古e = ( c o s h ua i + s i n h u a 2 一c o s r a 3 一s i n u q ) ， 瓦= 拒耳= 古( s i n h ua l + c o s h u a 2 + s i n ua 3 一c o s u a 4 ) 其中q ，d ， 一，吩是常向量从初始条件e 。( o ) = 白可知缸l ，口：，a ， 是矸的一组 正交基，口是类时的，其余的是类空的因此可将缸，口：，毋 看作r ? 的自然基 令f = 届从( 2 3 2 ) 得到一个型洛伦兹等参超曲面x = e 。：r 2 ( 一手， ) 斗田 将( 2 3 3 ) 代入( 2 3 2 ) ，得 e o = ( v c o s h u + ( 1 - - c o s - ) s i n h u ，v s i i l h u + ( 1 一c o s t ) c o s h u ， v c o s u 一 ( 1 + c o s ? ) s i n u ，v s i n “+ 1 0 + c o s l ) c o s u ，：与s i n ) ( 2 3 4 ) 从( 2 3 2 ) 和( 2 ，3 3 ) 可知此时 d e o = ( 2 v e 3 + e 】一号c o s i e 2 ) d h + e 2 d v + 古( c o s t - e o + s i n ? e 4 ) 面， ( 2 3 5 ) 诱导度量为 g = ( 2 v 2 + c o s ) d u 2 2 d u c l v + 撕2 由于e 。可延拓为光滑影射e 。：r 3 斗研，从而x 可延拓为等距浸入 x ：( r2 s 1 ，g m ) 一s 01 ( 2 2 1 ) ，( 2 2 5 ) k r 生i e 4 = v e 2 + 去e 3 一士s i n i 氐+ c o s j e 是m = x ( r 2 x s 。) 的整体定义的单位法向量场由于 d e 4 = ( 2 订3 + e 】+ c o s i e 2 ) 幽+ e 2 d v 一击( c o s e 0 + s i n 陀4 ) 撕， 结合f 2 3 5 ) 可知 彳皤) = 言+ c o s i 言，爿饶) = 岳，一g ) = 一言 因此m 是i l 型洛伦兹等参超曲面，形算子a 的最小多项式为( z 1 ) 2 ( 五十1 ) 3 研“中的型洛伦兹等参超曲面 1 基本公式 以f 约定指标取值范围为3sf ，j ，k ，n 设m 是s r 中的型洛伦兹等参超曲面，x ：m 呻s ? ”1c 尺y 2 为等距浸入 选取平凡丛g “= 肘r i ”2 的局部正交标架场 p 。= 一p - ，巳，e 。) ，使得e 。是 m 的单位法向量场， ( x j = 1 ，( p f ，e i = 一1 ，( 9 2 ，p 2 ) = 1 ，( 8 ，e 1 ) = 巧，( p 。+ f ，e 。f ) = l ， 并且 a e l = 口o q 一钆p ! ，a e 2 = b o e l 十a o e 2b o o ) ， a e ，= 2 , e ， 其中4 是形算子 取彤= 告 一础! l 膏= 古0 ，+ 耙：) ，则有 ( x ，) = = ( x ，e 。) = = ( x ，e ) = ( x ，e 。) = 0 ， 即 e 。，x ，x ，e + 构成组新标架场，且有 a x = ( a o f b o ) x ，旋= ( 6 0 + 如) 霄 设珊= 古( + i r a ：l 万= j 1 ：( ( 0 ，一i c o ：) ，我们有旦? “的结构方程 d e o = c o x 十撕十c o , e ， 箸!一fo，eo+只x-+ic万012牙霄：etoetle8i一+flo)en。+i，,de2 , o , e ，：q ，( ，) ，= 一，e o +只x+ 只x + 一 。+ l ，珊l ，= f ， 、7 d e 。1 =z o z y + 万万矛+ 丑q q ， 其中p = 专( 出，一i c o ，l ，z = 盘。- i b 。 外微分( 3 1 ) 式，得到 d m 2 一i c o l 2 西+ qa p ， c ，q2 曲 配十万 9 + “哆， 崛= ( ! + 以b ，、q - - i ( o 。：，、让臼， d c o ：= i k l + “西) 万+ 只 虿j ， ( 32 ) d 甜= 一班i2 a c o + 丑qa p ， a f l c o ，= 1 0 , c o + 芦只 面一 j ， d ( o ，= 一u + 2 , 2 ，h 珊，+ ba 0j + 虿 巨+ 。 峨， 2 定理3 的证明 下面没m 的形算子爿有三个互异特征值，分别为，万和五在这种情况 卜，a e ，= 2 e ，即在( 3 1 ) ，( 3 2 ) 中丑= 旯，= a 由f 32 ) 可得 一材国，= b 国+ 万虿 石一a g ， = 五( 0 ) a 8 i + 万 巧+ 珊。 出，) ， 日口有 0 一丑b + 万j 厢= 0 再由( 3 2 ) ，得 脚= 一孵12 万+ 五椰。a 0 ， = # ( - i c o 。：n 万+ 甜， b ) 从而有 f 0 一卢如，： 石= 0 一五) ，a 0 , 上式两边同时作用在向量( x ，霄) 上，可得 i 0 一芦h ：伍弦伍) = 0 ， 由f 0 一万) 0 ，得到咄，伍) = 0 对( 3 4 ) 两边取复共轭，有 f 0 一万b 。：n = ( 万一z ) 国，、虿 同理可得国，：僻) = o 因此我们可设q ：= 匆q 代入( 3 4 ) ，即有 f i 如一芦) 眈面一如一a ) e 】n q = 0 ， 记 虿= f 0 一芦) 轨面一0 一旯) b ， n ( 3 6 ) 式说明虿 q = 0 ，由c a f t a n 引理得 巧= 勺q ，勺= c 旷 从而由( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，有 0 一五垮= f 缸一万弘。万- e c