（基础数学专业论文）小扰动下奇异闭轨附近后继函数的光滑性研究.pdf

摘要 对于二维系统量；，0 ，y ) + 厶 ，) ，a ，) ，岁一9 0 ，y ) + f g 。 ，y ，a ，s ) ， 其中，g ，o 坫。c ，s r 且o s l a r “，设当s = o 时此二维系统 具有奇异闭轨，扰动系统在奇异闭轨附近的后继函数对于判断奇异 闭轨分支出极限环的个数、极限环的稳定性和相对位置具有极其重 要的作用本文冀耋冀萋羹囊囊霎霎冀蠢囊蓁冀薹蓁萎窭冀；薰囊 鋈囊妻羹薹篓蓁霎羹羹蠢墅羹萋羹冀蓁蠢羹羹；霎群霎鬟鋈篓西鬟 雾蠢囊器荔鬈篓蓁熏蓁鬟鍪囊雾璧蠢藜銎霪羹蓁篓囊羹羹萋鎏终 霾；鋈羹弱鬟意萎耄冀薷ti ：豢鬻笺鎏雾堑薹嚣翼霎鹜萋囊雾鬟 雾雾鐾；i 囊i 氡、蓁琴型鍪霎菱薹蓁麴冀鋈攀蓠| 羹臀笺器v ；薰；f ；萋 羹蚕翼嚣鬻粪蓁蔷霪冀雨薹霎| 鬟羹i 翼i ；霉雨蠢薹襄! 雾羹莛霪 ；毒； 羹蓁雾薄羹羹l 颡ll釜：囊蓁霎蚕蓑霪gular c y c l eo ft h ep e n u r l ) a t e ds y s t e mh a sb e e ns t u d i e db y a n a l y z i n gt h es m o o t hq u a l i t yo fd u l a cm a p p i n ga n dr e g u l a rm a p p i i 唱， a n dt h cn o r m a lf b r n lt h e o r yh a sb e e nu s e dt os t u d yt h er e l a t i o n b e 咐e e nt h es i n o o t hq u a l i tyo fp l a n a rs y s t e ma n dt h e0 r d e ro fw e e k f o c u so rw e e ks a d d l ep oi n t ，w eh a v eg o tf o u rm a i nc o n c l u s i o n sa s f o l l o w i i l g ：1 t h e s u c c es s o rf i l n c t i o ni nt h en e i g h b o r h o o do ft h e s i n g u l a rc y c l eo ft h ep e r t u r b a t e ds y s t e mi sc - 1 ；2 t h es u c c e s s o f f i l n c t i o ni 1 1t h en e i g h b or h o o do ft h ep e r i o d i co r b i to ft l l ep e m h b a t e d 1 1 背景介绍 1 前言 对于二维系统 主= x 0 ，_ ) ，) _ ) = 】，( x ，y ) 在小扰动下的各种分岔现象的研究是平面向量场分岔理论的主要内容，通过对h o p f 分岔、周期闭轨分岔、同宿分岔和异宿分岔等各种情况的正规形和后继函数的讨论， 利用后继函数及其导数的性质，研究后继函数的零点个数、稳定性和相对位置，从 而对这些分岔中扰动系统极限环的个数、稳定性及其相对位置进行研究并得出相关 的结论其中对于利用奇异闭轨( 同宿环和异宿环) 的后继函数判断奇异闭轨分支 出极限环的个数及其极限环的稳定性研究的较多为方便起见，前人对于扰动系统 的研究大多数是在c 。条件下进行的，即假设，0 ，y ) 、9 0 ，y ) 和小扰动的光滑性均 为c 。的，例如：考虑二维扰动系统 ：。紫皇：璺照能 ， 萝一g ，y ) + s g 。0 ，) ，a ，) 、” 其中r 且0 s 1 ，a y c r 4 ，n l ，y 为紧集设，g ，0 ，g o c 。，当s = o 时系统( 1 1 ) 。有一个含双曲鞍点的同宿闭轨工。，不失一般性可设对一切小的，该 双曲鞍点恒位于原点1 9 8 6 年，r 叫s s a r i e 利用p o i n c 缸e 映射的展开式，在文献 1 】 中得到了如下结论，即 定理：设晶为系统( 1 1 ) ，_ o 在l 。附近的p o i n c a r e 映射，若 r 0 ) 一z 一成矿+ o 仁) ，反o ， ( 或岛( 力一工篇口i + l x h l l n x + 。0 “1 l n 工) ，c k “0 ) ， 则存在，o 及k 的邻域u ，使得当o c h c ，a y 时扰动系统( 1 1 ) 。在u 中至 多有2 七( 或放+ 1 ) 个极限环 而在1 9 8 8 年j o y a l 在文献【2 】中证明了对任何自然数，l ，都存在c 。变换 t 0 ，y ，a ) ，局部地把扰动系统( 1 1 ) 。化为下述形式： j 训酗( 肛) z ( 叫) ) “1 她m ) 岁：一y + 窆6 。( 弘抄 ) ，+ y 似) 一r ： ，y 彩 其中设肛= ( ，a ) ，冠，r ，为c 。函数并得到了与上述r o u s s a r i e 定理等价的结论， 即 定理：对于扰动系统( 1 1 ) 。，存在数c ，似) ，j = n 1 ，使得当c ，0 ) = 0 ， ，= o ，1 ，七一1 ，且c 似) # o 时，存在6 o 及k 的邻域u ，使得当o 0 ) ，则。是外侧稳定( 不稳定) 的 定理：设存在九月“，使m 。( 九) 0 ，a 一1 ，2 ) ， 则( i ) 若 盯。；丘( o ，o ) + g ，( 0 ，o ) 一o ，则对充分小的h 与阻一九j ，当口。m 。( 九) c o ( 0 ) ， ( f 一1 ，2 ) 时，( 1 1 ) 。在工。的小邻域内有唯一极限环( 没有极限环) ；( i i ) 若吼- 0 ， q + c r 2 一o ，则对充分小的h 与恤一九，当f ( q + 仃：渺，( 九) c0 ( ，o ) ，( f l ，2 ) 时， ( 1 1 ) 。在岛的小邻域内有唯一极限环( 没有极限环) ( ) 若当= o 时，( 1 1 ) 。具有由两个鞍点s 。，s ：和两条同宿轨z ；o ) ；“( f ) ，y 。o ) ) ， a - 1 ，2 ) ，组成的异宿环三。，其中s ，s ：为厶的左，右鞍点，z 。，z ：为工0 的上、 下部分，且为顺时针定向，令= ( 孚) 。，其中 ；，o ，屯c o 为系统在s 处的特征值，“z 1 ，2 ) 定理：设1 = r 2 = 1 ，则当盯。+ 盯2 o ) 时k 是稳定( 不稳定) 的 定理：设 屯一1 ，且存在九使m 。( 九) * o ，( f - 1 2 ) ，则对充分小的h 与陋一九l ， 当s ( 1 一 r 2 ) m 。卜o ，o l 2 ) 时，( 1 耽在的小邻域内恰有一个极限环；当 ( 1 一r 1 ，2 ) m 。( 九) c 0 ，g z l 2 ) 时，( 1 1 ) 。在的小邻域内至多有两个极限环，且当 ( 1 一，1 ) ( 1 一r 2 ) o 时无环 而2 0 0 3 年韩茂安等人在文献【4 】中利用后继函数来讨论双同宿环和异宿环的稳 定性判定条件时也只讨论了系统光滑性为c 5 的情况得到了以下的结论： 考虑系统( 1 2 ) 设其中，g 至少为c 5 函数，且有一个异宿环= 工。u 工：，有两 个双曲鞍点墨 ；，y i ) ，( f ；1 ，2 ) 设 。，o ， ：( o 为j a c o b i 矩阵安善要( 墨) 的特征 o u ，y j 根，并系统( 1 。2 ) 在奇点s 的双曲比为，i 一一警，( 1 = l 2 ) 3 a - = 正( 丘+ 占，) m 。正。( 正+ g ，) 出= 。+ 。z ， 为顺时钊方向系统( 1 2 ) 可经过变换化为 拈”+ 磊髻缈- 毗栅 峥 ：卜v + 荟，澎v 蚓4 ) 】 其中r 。= 4 嚣+ 6 譬一口茹口即+ 6 5 7 6 s ，( f = 1 ，2 ) 定理：设= ，2 = 1 ，盯。；o ，j 。= q 。+ r 2 导e 1 1 o ，( i ) 若在l 的内部邻 2 】 域定义系统( 1 2 ) 的p o i n c a r c 映射，当盯：) o ( o ) 时，是稳定( 不稳定) 的 定理：设三= l 。u 工：是一个有双曲鞍点s ，的顺时针方向的同宿环，设r 1 1 ， 仃，一o 且r 。0 若r 。co ( ，0 ) ，则l 是外部稳定( 不稳定) 的：若又满足q ，= o ， 则l 和l 是内部不稳定( 稳定) 的 由于对于系统的光滑性为c 的一般情况研究的比较少本文则针对这一问题 展开了研究，对于系统光滑性为c 的同宿分岔、异宿分岔、h o p f 分岔以及周期闭 轨分岔等情况的正规形和后继函数的光滑性总结出了相应的定理并做出了论证，例 如本文通过研究d u l a c 映射及正则映射的光滑性分析了奇异闭轨附近后继函数的光 滑性 对于光滑性为c 的系统当利用其正规形或后继函数讨论极限环个数及稳定性 时，可直接利用本文中的定理得出后继函数的光滑性，所得结果简洁，可为以后相 关研究工作的开展提供方便 1 2 本文的主要工作 考虑二维系 x 2 预备命题和引理 在证明定理1 之前。本文首先要证明一 命题l 若，o ，y ) c ，且，( 0 ，y ) = o ， 展开式为 些相关命题和引理 设，仁，y ) 关于x 在z o 附近的t a y l o r ，( x ，y ) 一( o ，y p + 去停( o ，y 扛2 + 妻巧( o ，_ ) 沁3 + 十击( o ，) 扛+ 妒。，y ) 则有妒：( 0 ，y ) = 妒( o ，) ，) 一妒s ( o ，y ) = o 证明：因为，o ，y ) c ，所以妒0 ，y ) 关于z 为c 的 对于任意的f ( 1 s is 七) ，由，o ，y ) 关于x 的t a y l o r 展开式可得： 疗 ，y ) = 疗( 0 ，_ ) ，) + 磷o ，y ) ， 劈( 0 ，y ) = l 殛髭。g ，y ) ；烛【矽( o ，y ) + 秽o ，) ) 】 ；秽( o ，y ) + 躲秽 ，y ) = 蹬1 ( o ，y ) + 垆，( o ) ) ， 即彬( 0 ，y ) = o ，( 其中1 f 七) ，结论成立 命题2 ( 1 ) 若， ，) ，) c t 往。1 ，2 ，一) 且，( o ，y ) 。o ，令， ，) ，) 。i 旦等堕，x * o ， 【( o ，) ) ，x o 则，0 ，y ) 为c “的； ( 2 ) 若，。，y ) c t 。1 2 ，) 且，o ，o ) ；。，令，o ，) ，) 。笋，y 一。，则，。，) ，) i 形o ，o ) ，y o 为c “1 的 证明：只需证明命题2 的( 1 ) 成立，( 2 ) 同理可证即可 由，( 0 ，_ ) ) 一o 及含参变量积分可知 ， ，) ，) 。，o ，y ) 一，( o ，y ) 2 刊e ( 雠，y ) 出 6 又当z o 时，j ：，) ，) 出= 丛誓盟：当x = o 时，上( o ，y ) 出= ( o ，) ，) f l j = f ( o y ) 则有，o ，y ) = 上( 雠，y 丝t 已知，( 工，y ) c ，则有， ，y ) c 。，【o ，1 】，因此删 ，) ，) 存在且连续 ( 其中一1 2 ，t ；j = o ，1 一，t 一1 且f + j = 七) 由对含参变量积分求导有乃蛩o ，y ) = j ：t 。1 ，影( 舡，y 弦，有乃锣 ，_ y ) 存在且 连续，则有，( y ) 为c “1 的 对于( 2 ) 同理利用，o ，y ) = j ：秒) 班则可证明，因此命题2 成立 由此可知若，0 ，y ) c = 1 ，2 ，) 且，( 0 ，) ，) ；0 ，则函数，o ，) ，) 除以x 后，不但 ，0 ，) ，) 关于x 的光滑性降低了，而且，0 ，_ ) ，) 关于y 的光滑性也降低了，下面的例子充 分说明了这种情况 例：证明函数，o ，y ) ；p 3s m ；丢，z 2 + y 2 。为c 。的，而，o ，_ ) ，) 为c 。的， 【o 工2 + _ ) ，2 一。 且关于y 不是c 1 的 证明：由于 燮作卜警妒螽n 南 ；熄r 4 c o s 口s t n 3 心n 吉，0r = 0 ， 其中令z r s 口，y r s i i i 疗，因此，“y ) 连续又由于 聪加扣n 寿一器c o s 南，一，爿o ，y ) 墨 ，s l n ；可一丽c o s 万矿j 1 厂u ， b z 2 + y 2 一。 以及 臻小i n 南一南c o s 南 ；姆( r 3 s i n 饥i n 吉一2 r c o s 2 心n 饥。s 吉) 命题3设c a u c h y 问题陋：) ：j 罢= ，o ，_ ) _ ) ，其中y 是中的”维向量，命题3设c a u c h y 问题陋i ) ： 五一p7 ，一”，其中y 是中的”维向量， 【，) 2y n 是r ”中的埘维向量，设g ：卜一i sn ，| i y y 。i l s 6 ，恤一九i isc ，若，o ，y ， ) 关于z 是 c“1的，关于y和a是c的(包括混合偏导数也是七次连续可微的)，则cauchy问题( e ：) 的解y = 妒( z ，y 。，a ) 关于z 。，y 。，a 为c 的，其中k 一fs ，肛一a 。i lsc ， 参见微分方程定性理论11页的定理16命题4 ( 关于c a u c h y 初值问题解的光滑性的延拓)设c a u c h y 问题：) ：j 塞一，。，) ，m 萁中y 是尺一中的n 维向量，凡是r m 中的m 维 l y ) 。y 。 向量，设g ：并，厕，i i y y 。i | s2 6 ，肛一九0 sc ( 其中厅为任意大的正数) ，且满足 当x ，厕，她一九忙c 时，其解y ；妒o ，y 。，a ) 满足眵o ，x 。，y 。，a ) 一) ，。忙6 ， 若， ，y ，a ) 在g 内关于x 是c “的，关于y 和a 为c 的( 包括混合偏导数也是七次 连续可微的)，则cauchy问题：)的解y=妒g，算。，yo，a)在区域d：z，而，她一九0 s c 上为c 的 证明：设对于任意小的正数6，有 当0 5 x 一c 6，恤一九忙c时，接= 舷) ，a ) (21) 【y ) 。_ ) ，o 的解满足iiyy。iis6，由命题3可知的(21)解y一妒，y。，a)在区域d l ：o 墨x 一j l ，0 a 一九8 5 c 上为c 的，其中j h m i n ，争，= o ，o ，y ，a 当m a x o 一6 + ) s 工一t d + | i l ，恤一九| | s c 时，取) ，。一伊g 。+ j j l ，z 。，_ y 。，a ) ，记 接一舷y 棚( 2 2 ) 【) ，+ j 1 1 ) 。) ，t 的解为y = 伊。 ，+ ，y 。， ) ，显然仍妒。均是譬：厂g ，y ，a ) 的解，且均过+ ，y 。) 点， 由解的唯一性定理可得仍0 ，x 。+ ，y ，a ) 一妒0 ，y 。，a ) ，故( 2 2 ) 的解满足 9 慨( z ，x 。+ ，y 。， ) 一_ y 。| | s 6 ，又由命题3 可知，解y = 妒0 ，j 。，y 。，a ) 2 吼0 ，x 。+ 死y ，a ) 在区域 d 2 ： s z z os 拍，l i 一九0sc 上为c 的，其中 = m i n p ，告) ，m2 嘴x o ， ，y ， ) 当m a x o ，一6 + 拍) s x x 。s6 + 2 ，i ，陋一九s c 时，取) ：= 妒( + 2 ，y 。，a ) ，记 j 罢= y 棚 ( 2 3 ) 【y o 。+ 拍) 2 y 2 的解为y = 妒：o + 妫，) ，：，a ) ，显然驴，妒：均是罢一，o ，_ ) ，九) 的解，且均过 0 。+ 2 j l ，y 。) 点，由解的唯一性定理可得伊：0 ，工。+ 劢，y ：，a ) = 妒 ，工。，y 。，九) ，故( 2 3 ) 的 解满足i k 也+ 2 j l ，y ：，a ) 一_ ) ，。忙6 ，又由命题 3可知，解 yz 妒o ，y 。，a ) = 妒2 工o + 2 j l ，y 2 ， ) 在区域 d 3 ：孙s x 一粕s3 j l ，忱一九忙c 上为c 的，其中_ h = m i l l ( 6 ，m = - 鼍硎，o ，y ，a ) 依次类推，由有限覆盖定理及正项级数y 以发散，可得当工一x 。【o ，吖) ， 趸 恤一九l s f ，且其解满足眵一y 。忙6 时，则解y 一妒 ，x 。，y 。，a ) 在区域 _ d ：z 一【o ，厕，恤一九0 s c 上为c 的 由此命题4 成立 命题5设开集d c r 2 ，函数f ：d r 满足条件： ( i ) f c ( d ) ； ( i i ) 酝o ，y o ) d ，使得，y o ) 一0 ； ( i i i ) 望坠! 塑o ， 印 则存在包含x 。的开区间f 和包含y o 的开区间，且，c d ，使得j ，f 0 ，y ) = 0 在，中有唯一的解y = ，g ) ，且此解满足以下条件： ( i ) y 。= ，o 。) ； ( i i ) ，c ( j ) ； 下面要利用这些命题证明一个引理，考虑前面描述的具有两个双曲鞍点的异宿 环的二维系统( 1 3 ) 。假设s 。在原点且系统( 1 3 ) ；的c 局部稳定流形e 。与不稳定流 形蹦；在原点分别与y 轴，x 轴相切，若系统( 1 3 ) 。l 。在s i 处的特征值分别为 咒，o ，兄刍co ( f ；1 ，2 ) ，则系统( 1 3 ) 。可化为 t 4 一十，1 0 ，y ，) t ，_ y ，8 ) 、 夕= a 2 l y + g l o ，y ，) = 占 ，y ，s ) 。 其中，1 ，g 。一0 0 2 + _ ) 2 ) c ， ( o ) = 硭，九，( o ) 一墨，设e 。：z 一七。( ) ，) 一o ( y2 ) 与 掣。：y 一七2 ( z ，) = 0 0 2 ) 贝u ( y ，e ) 七2 ( x ，) 罚自足 ，阮( y ，s ) ，y ，f ) = 是0 ( y ，) 占体- ，5 ) ，儿s ) r 2 6 1 9 0 ，七：o ，s ) ，f ) = 七o ，e ) ，o ，也0 ，) ，e ) 、7 其中女。为c 函数( f = 1 ，2 ) 则有 引理 存在形如“一u “_ ) ，) 【1 + 妒o ，y ) ) 】v ；矿( 石，y ) 1 + 妒( u o ，y ) ) 】的变换，其 帆矿= 。咿丽枷h ( 0 ) 乩且端地坪础为 五i t 咀1 + 啊( h ，。，5 ) 】 ( 2 n 驴= t l ，【1 + 矗2 ( ，1 ，) 】 、 其中“i l l ，讪2 c 。；蓄孳叠4 8 爹t ；x ；一 x ； 。z + “【，2 + t ；( ) ( 。，+ 。以) 一兰丛女。( “) “ 取k ，( “) ，使其满足当v = o 时，有 ，2 ( “，。，s ) + q ) ( 。+ 厂2 。，o ，s ) ) 一誓七， ) 一。， 对此微分方程求解可得毛。) = “帕f 瓦隶；雩；：等万。扣) 如 其中( h ) = f i j 胬为c “2 的，且有t ，c “2 由，2 ，v ，s ) 一，2 为c 的 对于系统 2 5 ) 的后继函数f ( 拄) = 震：。d ：。异。d l n ，由于及关于d u l a c 映射及正则映射的光滑性的讨论，可知后继函数f 为c “1 的 即证明了具有两个双曲鞍点的c 系统( 1 3 ) 。得异宿环r 附近的后继函数f 为 c“的 ( 2 ) 又由于毫蕈摹蚕z 篷瓯墨蠹薹穗妻；窑t 囊i 美美嚣蒋! 蓑哆到蠢曼蒋 曩蚋譬毒。z|ji j j “j 、学囊囊囊萋 ，z + 矾o ，) ，s ) 一 l 工+ “唬 ，v ，s ) 同理可取kc“，则有夕tly+h噶，v，f)又由命题2 可知元，喜：c “3 由变换及命题5 可知“y 一叫( 1 + i i o ，y ，e ) ) ，厍c 量# l 工+ “珂j ，v ，s ) = l z + 掣( 1 + 矗0 ，y ，) ) ，2 0 + o 池) ，y + o 辑。) ，)令，3 一( 1 + 石o ，y ，) ) 五o + o ( k ) ，_ ) ，+ o 弛。) ，) ，同理可得g 。，且其中，3 ，g 。c “3 因此 (27)式可化为主= ，z + 碱0 ，y ，5 )1萝2 屯l y + 习曙3 0 ，) ，) 对( x “= 工+ j 呔i ( y ，f ) v = y + 儿6 ( y ，s ) 其中“，v 为新变量，七，k 为待定函数 i = 主+ 妣5 ( y ，f ) + 础；( ) ，) ， 一 1 工+ 砒+ ( ：+ 碱) 尼s + 舭；( 2 t y + 础3 ) = 1 ( x + 妇s ) + 碱( 1 + 女s ) + 掣( a 2 t ；+ 珐；g s ) = + 叫【厶( 1 + 七5 ) + q 2 l + x g s 冲；】 取七；，满足当x ：o 时，3 ( o ，y ，) 【1 + 七，( y ，) 】+ 【 ：+ 裾3 ( o ，y ，) 蟛( y ，) = o ，可解 出七，则有 ，3 ，y ，) + 厶o ，y ，) t 5 ( y ，s ) + 【a 2 l + 醒3 0 ，y ，s ) 弘；( y ，g ) = 厶0 ，y ，) 一支( 0 ，y ，) + 女，( y ，s ) 炙0 ，y ，5 ) 一盘s ( y ，) 是( o ，y ，s ) + 七；( _ y ，s ) 培3 g ，y ，e ) 一七；( y ，) 培3 ( o ，y ，) = 枉挚，e 皿+ 枉姒，纠誓慨y ，s 渺+ 姒y ，s 扛誓( 趣 y s ) 改 一靠【鲁 m s ) + 七，( y 一誓 ，y 一+ ( y ，s 弦警 y ，e ) 弦 t 磊o ，y ，g ) 因此有“； 一+ 工2 瓴y ，f ) ， 同理可得i 一九。y + 叫2 磊0 ，) ，5 ) ， 其中 厶，酶c “4 再由 “= z + 矗5 ( y ，) v = y + y 女6 0 ，) 的逆变换可化为 t 一 l “+ “2 可j 0 ，p ，) 驴宣a 2 1 v + “p 2 9 4 0 ，v ，君) 其中，g 。c “4 再令i l ：一“叽，磁一h 略t ，有 嘲，m 净 。小寿 姒= 耘= 等 由d ；p 似，y ，) ：p ，v + ， ，v ，s ) ，s ) 以及p c “可得 一【1 + 红0 ，v ，s ) 】c “1 ，也 即“h 。一，又由命题2 可知矗1 c ”，同理可得妇2 c “r _ 1 2 c h ，则引理 成立 附注：应用此引理以及命题2 可以纠正文献 7 中的引理的漏洞，文献 7 】中引理 的结论及其证明中对于函数的光滑性条件的讨论不充分，所估计的光滑性较高，其 具体的内容和相应修改在本文后面的总结和应用节中详细阐述 1 7 ov = j | ，o s “s p 和o “= ，osv5j 口，p ，o ，交，v 轴j ：q 0 ( p ，( ) ) ，r ( o ，p ) ，又设 系统( 2 7 ) 从f j 上的点p 以。，p ) 出发的正半轨在原点附近与z i 交于点q ( 凸q 。0 ，) ) ，如 图所示 p j r i 。、 1 、 ：、长 飞、一 、q d 0 0 臣2 设p q 的方程为p v o ，“l ，) ，“ls “s p ，易知v o l ，“1 ，f ) = p ， v ( p 聪1 ，s ) 一q 1 ( “1 ，) ，由( 2 7 ) 可知 生；生! ! ! 丝坐：! ：趔 d m 1 【l + l ( “，1 ，) 】 = 一兰【l + 丑q ，v ，) 】 比 其中q ) 。每，_ ( o ) 。，日c “。 1 则对于初值问题 仁。意掣 其中距，o ，其解为，q ，。，。) 。p 。 。- 。一- 争 由引理有一_ 二【1 + 打似，y ，) 】c “，及命题4 可知，0 ，f l ，s ) c “， “ 又由目1 l ，s ) 一y ( p ，8 ) ，可得g l c “1 类似的在鞍点s ：。附近经过相应的变换，变换前后方程式轨线与对应截线交点 在s ：。及其象附近的坐标0 2 ，口2 ) ，( q 2 0 2 ，s ) d 2 0 2 ，s ) ) ，同理可得口2 c “1 。 由文献可知，系统( 1 3 ) ，在鞍点附近的d u l a c 映射为d 。；w ：。g 。町1 0 。) ， d 2 = w 4 。9 2 。呀1 0 2 ) 且m c ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，由此可知d u l a c 映射d i c “1 ( f 一1 ，2 ) 关于正则映射的光滑性 对于系统 1 9 4系统的光滑性与细焦点及h o p f 分翁阶数的关系 正规形( n o r r i l a lf o r n l ) 理论的基本思想是在丽点附近经过光臂燹珙把同量场 化成尽可能简单的形式，以便于研究本文通过正规形与系统光滑性之间的关系， 来讨论细焦点的阶数及h o p 分岔的阶数 考虑二维系统 立。，“，y ，a ) 隅卜攀啦m 其中x ，y r ；a r “：，( o ，o ，a ) 一g ( o ，o ， ) 一o ；其奇点( o j 0 ) 为j 。的细焦点 定理2 若系统僻。) 为c 的，则有 ( i ) 以的细焦点( o o ) 的阶数的上确界为 等 ； “i ) 以在扰动下发生的h 叩f 分岔的阶数的上确界为 等】 引理设在奇点y ) ；( o ，o ) 系统伍。) 的线性部分矩阵有一对复特征根 a ( a ) t 够( a ) 满足a ( o ) 一o ，卢( o ) ；芦。，o ，则存在6 ，o 和光滑依赖于参数a 的多 项式变换，当c 6 时，可把。) 化为 警一【a ( ) + j 卢( a ) 】，r + c 1 ( a ) w 2 面+ + c 【学】a ) w l 等】帚 字】+ 。q 叫) ( 4 1 ) 其中a ( o ) = 0 ，卢( 0 ) i 卢。，c j ( 0 ) 。q “1 1 ，2 ， 等 ) 这里q 是把z 。化为 警；讽w + c l n ”+ c 计阁后的系数- ( 此引理的证明参见向量场的分岔理论基础7 2 页的引理3 4 ) 定理2 的证明： 令，2 = w 万，则( 4 1 ) 是可化为 等一口q ) r + r e ( c 。u 妒3 + + r e 如i 学】q ) ) ，2 f 竽j “+ 。( r ) ( 4 1 2 ) 若( 0 ，0 ) 是系统的m 阶细焦点，则r e c l - r e c 。一l = o ，r e c 。o ，由于( x ) 为 的，贝| j 有一【等】，因此细焦点阶数小于等于 等】即细焦点阶数的上确界 为旧，小i ) 脏 又因以( o ，0 ) 点为m 阶细焦点的向量场x 。在扰动下可发生m 阶h o p f 分岔，又 有忧；f 生兰1 ，则显然( i i ) 成立 【2j 则定理2 得证 2 4 而对此结论利用本文钓结论也可以进行相应的修改，出于此结论的证明对予后 继函数的光滑性仅用到c 3 ，所以仍由本文的定理l 可知对于系统( 1 2 ) 的光滑性降 低到c 4 即可 同样的对于定理2 、3 也可以有类似的应用 对于文献 7 】的修改及补充：考虑二维系统 l = ，g ，y ) + 吼o ，y ，) 岁= g ，y ) + 曙。 ，) ，) ( 6 1 ) 。 其中，占，0 ，暑。c 3 ，s r 设当= 0 时，系统( 6 1 ) 。有一个由两个双曲鞍点 s 。，s ：和两条分界线工。和三2 组成的孤立异宿环上。且三，以s ，为正极限集，上2 以s ：为 正极限集s 。与s ：。表示( 6 1 ) ；在s ，与5 ：附近的鞍点，设轨线方向为逆时针方 l ：o 向若系统( 6 1 ) 。在s 处的特征值分别为砖，o ，硝。c o ，则记。一i 等i ( i ：l ，2 ) ， 1 1 f f 称，j 0 为( 6 1 ) 。在置处的的双曲比 定理：设被扰动系统为c 3 系统，l o r 2 0 * 1 ，则厶至多产生两个极限环 引理：存在形如h = u 0 ，y ) 【1 + 矿 ，_ ) ，) ) 】，va y 0 ，) ，) 【l + 妒0 ，y ) ) 的变换r 0 ) ， 其中u ，y = o 啦，y d c 3 旗伊c 2 ，妒( o ) 5 妒( o ) = or 且簧嚣一o ，把( 6 1 ) c 化为 i = 1 “【1 + l ，v ，) 】 i = a 2 1 v 【1 + 厅2 ，p ，) 】 其中抚c 2 ，a l 2 ) 引理证明中由于没有讨论本文中命题2 的相关结论，即误认为若，0 ，y ) c 一1 ，2 ，) 且，( o ，) ，) = o ，则函数，0 ，y ) 除以工后， ，_ ) ，) 关于x 的光滑性降低了，而 ，y ) 关于y 的光滑性没变，所以导致文献【7 】的引理中推出的一些函数的光滑性偏 高 而利用本文的引理及命题2 可知，引理中的 ，也应为c 1 的，而u ，y 的光滑性 经验证也应低于c 3 又由于文献【7 】的定理证明中用到后继函数的光滑性要到c 2 的，由本文的定理1 可知要求其系统的光滑性为c 3 的，这正补充说明了文献【7 】中 定理要求系统光滑性为c 3 的原因 参考文献 【1】roussarie，r，boiisocbrasmat，17(1986)，67101 【2】joyal，p，snm j a p p l m a t h ，4 8 ( 1 9 8 8 ) ，4 8 l 4 9 6 【3 】s 一n c b o wa n dj 瓦h a l e ，m e c h o d so f bifu【caliont h f y 】s p d n g e l n e wy o r k ，( 1 9 8 2 ) 【4 】m a o a nh a l l ，s h o u c h u a i lh u ，x i n g b 0l i u o nt h es t a b 订i t yo fd o u b l eh o m o d i l l i ca n d b e t e r o c l i n i c c y c k s 【，】n o n l i n e a ra n a l y s i s ，5 3 ( 2 0 0 3 ) ，7 0 1 7 1 3 【5 】m a o a nh a n ，y u h a iw u 1 r h es t a b i l i t yo fd o u b l eh o m o c l i i l i c1 0 0 p s v 】a p p l i e dm a t h e m a t i c sk n e r s ， 1 7 ( 2 0 0 4 ) ，1 2 9 1 1 2 9 8 【6 】l a c h e r k a s ap r e c i s ee s t i m a i eo ft h en u m b e ro fl i m i tc y d e so f a u t o n o m o l l ss y s c e m so ni h e p l a n e 【j 】o r d i n a r yd i 雎f e n t i a le q u a t i o n s ，6 ( 2 0 0 3 ) 【7 】j i ny i l a i ，z i l u d e m i n g ，z h 曲g q i n g y l l b i f u f c a i i o no f r o u g l l 3 i ) 0 i n “o o p w i n lh i g h e f v 】c b i n a m a t h 2 4 b ：1 ( 2 0 0 3 ) ，8 5 - - 9 6 【8 】h a nm a o a n b i f i l r c a t i o no fn m tc y c l e s 劬m ah e t e r o c l i n i cc y d eo fh a n l i l t 嘶i 勰s y s t c m s v 】c l 血 a 】【l i l m a t l l ，1 9 b ：2 ( 1 9 9 8 ) ，1 8 9 1 9 6 【9 】r i c h a r dr a n d a l b c r tb a r c l i 伽，t i n am o r r i s o n p a r a m e l r i cr e s o n a n c co fh o p f 醐h c a t i o n 【，】 n o n l i n e a rd y n a m i c s ，3 9 ( 2 0 0 5 ) ，4 n | 2 1 【加】c 1 0 d o a l d og r o t 【ar a g a z o nt l l es t a b i i i t yo fd o u b l eh o m o d i i cl o 叩s 】c o 咖m a m p h y s 1 8 “1 9 9 a 2 5 l 2 7 2 【1 1 】z h ud e m i n g ，) ( i az h i h o n g b 曲r c a t i o no f h e t e r o d i n cl o 叩s v 】s d e n c ei nc h i n a ，4 l a ：8 ( 1 9 9 8 ) ， 8 3 7 一8 4 8 【1 2 】j i ny i n l a i ，z b ud e m i n g b i f u r c a t i o n o f r o u g hh e t e m d i n i c l o o p 、i l l l m r e e 曲d d l e p o i n t s v 】a c t a m a t h s 油c a ，e n 舀i s hs e r i e s ，1 8 ：1 ( 2 0 0 2 ) ，1 9 9 _ 一2 0 8 【1 3 】c h o wsn ，d e n gb ，f i e d l e rb h 0 m o c l i n i cb i f i l r c a t i 0 a tr c 啦me i g e n v a l u 璐v 】jd ”as y s t a n dd 证e q u s ，1 9 9 0 ，1 2 c 2 ) ：1 7 7 0 【1 4 】z h udm s t a b i l i t y