（应用数学专业论文）frattini子代数和2可解n李代数.pdf

摘要 摘要 佗一李代数是李代数的自然推广，是基本乘法运算为佗元线性运算的一种代数系统 ( 当竹= 2 时，即为通常李代数) 本文主要对n 一李代数的f r a t t i n i 子代数和2 一可解 佗一李代数进行了研究 首先，给出了n 一李代数的f r a t t i n i 子代数的一些性质 继而，对佗一李代数的c a r t a n 子代数的存在性进行了深入研究，得出了2 一可解 的n 一李代数在特征不为2 的域上具有c a r t a n 子代数，不存在c a r t a n 子代数的极小 的佗一李代数是半单的 最后，对2 一可解礼一李代数进行了研究引入了一类2 一可解扎一李代数) ( ，给出 了l x 的判定定理同时，还对极小非幂零的2 一可解竹一李代数的结构进行了研究 关键词扎一李代数；f r a t t i n i 子代数；2 一可解；c a r t a n 子代数 a b s t r a c t a b s t r a c t a nn - l i ea l g e b r ai san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fal i ea l g e b r at ot h e c a s e ，w h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni sn - a r y ，佗2 ( w h e nn = 2 ，t h e d e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e f i n i t i o no fal i ea l g e b r a ) i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y s t u d yt h ef r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a sa n d2 - s o l v a b l en - l i ea l g e b r a s f i r s t l y , w ep r o v es o m ep r o p e r t i e so ff r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a s s e c o n d l y , w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fc a f t a ns u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a w eh a v e t h a t2 - s o l v a b l en - l i ea l g e b r ah a sc a r t a ns u b a l g e b r a so v e raf i e l dfw i t hc h a r a c t e r d i f f e r e n tf r o m2 a n dt h em i n i m a le x a m p l eo f 礼一l i ea l g e b r a sw i t h o u tc a r t a ns u b a l g e b r a s i ss e m i s i m p l e a tl a s t ，w es t u d y2 - s o l v a b l en - l i ea l g e b r a s w ei n t r o d u c eac l a s so f2 - s o l v a b l e n - l i ea l g e b r a sx ，a n dp r o v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fl x m e a n w h i l e ， w ed i s c u s st h es t r u c t r eo fm i n i m a ln o n n i l p o t e n t2 - s o l v a b l en - l i ea l g e b r a k e y w o r d s n - l i ea l g e b r a s ；f r a t t i n is u b a l g e b r a s ；2 - s o l v a b l e ；c a r t a ns u b a l g e b r a i l 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 身j 的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了致谢。 作者签名：日期： 学位论文使用授权声明 年月日 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在：年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密击 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：2 1 2 年上月量日 、厂 日期：弘埠年上月五日 1 i n t r o d u c t i o n 1 i n t r o d u c t i o n r e c e n t l y , i n 1 a n d 2 ，t h et h e o r yo fn - l i ea l g e b r a sh a sa t t r a c t e dal o to fa t t r a c t i o n d u et oi t sc l o s ec o n n e c t i o nw i t ht h en a m b um e c h a n i c sp r o p o s e db yy n a m b u 3 1a sa g e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lh a m i l t o n i a nm e c h a n i c s i n1 9 8 5 ，v t f i l i p p o v 4 1f i r s t l y i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fa nn - l i ea l g e b r a ，w h i c hi san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h e c o n c e p to fal i ea l g e b r at ot h ec a s ew h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni s 佗一a r y j 礼2 ( w h e n 佗= 2 ，t h ed e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e f i n i t i o no fal i e a l g e b r a ) t h et h e o r yo fs u c ha l g e b r a s ，b e i n ga ne x t e n s i o no ft h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s ， l e a v e sal o to fr o o mf o re x p l o r a t i o n t a k i n gi n t oa c c o u n to ft h er e l a t i o n sb e t w e e nl i ea l g e b r a sa n dn - l i ea l g e b r a s ，w e n a t u r a l l yf i n dt h a ts o m eo ft h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fl i ea l g e b r a sc o n t i n u et op r e v a i l o nn - l i ea l g e b r a si ng e n e r a l s om a n yi m p o r t a n tr e s u l t sh a v eb e e nf o u n di nn - l i ea l g e - b r a s i n 4 ，e x a m p l e so fn - l i ea l g e b r a s ，d e v e l o p e ds t r u c t u r a ln o t i o n ss u c ha ss i m p l i c i t y , n i l p o t e n c y a n dv t f i l i p p o v na l s oi n v e s t i g a t e da l l ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a l 佗一l i ea l g e - b r a so v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dfw i t hc h a r a c t e r i s t i cz e r o a n dp r o v e dt h a tt h e r e a r ep r e c i s e l y 竹+ 4s u c ha l g e b r a su pt oi s o m o r p h i s m i n1 9 8 7 。s h m k a s y m o v 5 1i n t r o - d u c e da n dd i s c u s s e dk - s o l v a b i l i t y , k - n i l p o t e n c y ，c a r t a ns u b a l g e b r a s ，k i l l i n gf o r m sa n d r e p r e s e n t a t i o n so fn - l i ea l g e b r a s ，a n dh ea l s op r o v e da l la n a l o go ft h ee n g e l st h e o r e m a f t e rt h e s ef u n d a m e n t a lc o n c e p t sh a db e e nd e f i n e d ，t h ef u r t h e rp r o p e r t i e sw e r ed i s - c u s s e d l i n gw u x u ep r o v e dt h a ts i m p l ef i n i t ed i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a so v e ra na l g e - b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r oa r eu n i q u eu pt oi s o m o r p h i s m ，t h a ti sa + l ， w h i c hw a sf i r s t l yd e s c r i b e db yv t f i l i p p o v 4 1 ，d e n o t e db ya 1 a n dt h el e v id e c o m p o - s i t i o nt h e o r e mo fn - l i ea l g e b r a sw a sa l s op r o v e d ，n a m e l y , a n yn - l i ea l g e b r ac a nb e d e c o m p o s i t e dt oas e m i s i m p l en - l i ea l g e b r aa n das o l v a b l en - l i ea l g e b r a b u tt h e s t u d yo fn - l i ea l g e b r a si sf a rf r o mb e i n gc o m p l e t e d u pt on o w ，t h et h e o r yo fs e m i s i m p l en - l i ea l g e b r a si sa l m o s tc o m p l e t e a n dt h e r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fn - l i ea l g e b r a sh a sb e e nd i s c u s s e d a p p o z h i d a e va n d h i ss t u - d e n td e f i n e dan e wk i n do fn - l i ea l g e b r a sc a l l e dj a c o b i a n sa l g e b r a s s oi nt h ef u t u r e 一1 河北大学理学硕士学位论文 w ew i l lf o c u so nt h es o l v a b l en - l i ea l g e b r a s b u tt h es t r u c t u r e so fs o l v a b l en - l i ea l - g e b r a sa r ev e r yc o m p l e x ，w en e e dd e e p l ys t u d yt h i sc o n t e n t i nt h ec o u r s eo fs t u d i n go f l i ea l g e b r a ，w ef o u n df r a t t i n is u b a l g e b r a so fl i ea l g e b r a sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h e s t r u c t u r e so fs o l v a b l el i ea l g e b r a s ，b u tt h ef r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a sw e r e n o ts t u d i e d ，s ow ed i s c u s s e dt h ef r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a s w eh a v es o m e i m p o r t a n tr e s u l t so nt h e m ，a n dw ew r i t et h et h e s i s t h i st h e s i si sc o n s i s to ft h r e es e c t i o n s ： i ns e c t i o n1 ，w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ff r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n2 ，b a s e do nt h ef u n d a t i o no ft h eo l d e r ss t u d i n gc a f t a ns u b a l g e b r a so f 几一l i ea l g e b r a ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fc a r t a ns u b a l g e b r a s ，p r o v i n g2 - s o l v a b l en l i e a l g e b r ah a sc a r t a ns u b a l g e b r a so v e raf i e l df w i t hc h a r a c t e rd i f f e r e n tf r o m2 ，a n dt h e m i n i m a le x a m p l eo fn - l i ea l g e b r a sw i t h o u tc a r t a ns u b a l g e b r a si ss e m i - s i m p l e i ns e c t i o n3 ，w es t u d y2 - s o l v a b l e 礼一l i ea l g e b r a s w ei n t r o d u c eac l a s so f2 - s o l v a b l e n l i ea l g e b r a sx ，a n dp r o v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fl ) ( m e a n w h i l e ， w ed i s c u s st h es t r u c t r eo fm i n i m a ln o n n i l p o t e n t2 - s o l v a b l en - l i ea l g e b r a 一2 2 p r e l i m i n a r i e so fn - l i ea l g e b r a s 2 p r e l i m i n a r i e so fn - l i ea l g e b r a s f i r s t l y , w ew i l lr e c a l ls o m ef u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dt h e o r e m so fl i ea l g e b r a sa n d n - l i ea l g e b r a s ，w h i c hc a nb ef o u n di n 4 - 7 】a n d 8 - 1 6 d e f i n i t i o n2 1a nn - l i ea l g e b r ali sav e c t o rs p a c evo v e raf i e l d 砸o nw h i c h t h e r ed e f i n e sa n 亿一a r ym u l t i - l i n e a ro p e r a t i o n a n d ，】s a t i s f y i n gt h ei d e n t i t i e s ： ，x 礼】_ ( 一1 ) 丁( 口【( 1 ) ，z 口( n ) 】， ，m i v ，训 = ，i x l i 一，x n - 1 , 犰 ( 2 。1 ) ( 2 2 ) i = 1 w h e r e 口r u n so v e rt h es y m m e t r i cg r o u p & ，a n dt h en u m b e r 丁( 盯) i se q u a lt o0o r 1 ， d e p e n d i n go nt h ep a r i t yo ft h ep e r m u t a t i o n 仃 d e f i n i t i o n2 2 t h es u b a l g e b r ao fa nn - l i ea l g e b r ali sas u b s p a c ebo fl s a t i s f y i n g b ， b ；a ni d e a lo fa nn l i ea l g e b r ali sas u b s p a c eio fl ，s a t i s f y i n g 【，l ，剀i i fia n dja r ei d e a l so fl ，t h e ni + ji sa l s oa ni d e a lo fl d e f i n i t i o n2 3t h es u b s p a c ez ( l ) = ( z li z ，l ，l = o ) o fn - l i ea l g e b r a li sc a l l e dt h ec e n t e ro fl o b v i o u s l y , z ( l ) i sa t li d e a lo fl d e f i n i t i o n2 4i fli sa nn - l i ea l g e b r a ，【l ，l 】i sc a l l e dt h ed e r i v e da l g e b r a o fl ，d e n o t e db yl 1 ；w h e nl 1 = 0 ，li ss a i dt ob ea b e l i a n li ss a i dt ob es i m p l e ，i f l 1 0 ，a n di th a sn oi d e a l sd i s t i n c tf r o m0a n dl t h e r ea r et w od i f f e r e n td e f i n i t i o n so fs o l v a b i l i t ya n dn i l p o t e n c y , g i v e nb yf i l i p p o vi n 4 a n dk a s y m o vi n 【5 】 d e f i n i t i o n2 5 4 】a ni d e a lio fa nn l i ea l g e b r ali sc a l l e ds o l v a b l e ，i f ，( r ) = 0 ， f o rs o m er 0 ，w h e r ep ) = j ，弘+ 1 ) = 弘) ，弘】，f o r8 0 a ni d e a lio fa nn - l i ea l g e b r ali sc a h e dn i l p o t e n t ，i fi = 0 ，f o rs o m er 0 ， w h e r e ，o = i ，1 8 + 1 = j 8 ，三，别，f o rs 0 孓 河北大学理学硕士学位论文 a nn - l i ea l g e b r ali sc a l l e ds e m i - s i m p l e ，i flc o n t a i n sn on o n z e r o2 - s o l v a b l e i d e a l s d e f i n i t i o n2 6 【5 1a ni d e a lio fa n 礼一l i ea l g e b r ali sc a l l e dk - s o l v a b l e ( 2 k n ) ，i f 弘，知) = 0 ，f o rs o m er 0 ，w h e r ep ，惫) = ，弘+ 1 ，七) = 弘，舢，弘，l ，纠， f o r8 0 ，弘，mi skt i m e s ，a n dl i s ( 扎一k ) t i m e s a ni d e a l ，o fa nn - l i ea l g e b r ali sc a l l e dk - n i l p o t e n t ( 2 k 佗) ，i f1 7 ，七= 0 ， f o rs o m er 1 ，w h e r e ，1 ，岛= ，j 5 + 1 ，七= j 8 ，- ，j ，l ，己 ，f o r8 1 ，i s ( k 一1 ) t i m e s ，a n dl i s( 佗一k ) t i m e s t h es o l v a b l e ( n i l p o t e n t ) i d e a lia sa nn - l i ea l g e b r ai sc a l l e dt h es o l v a b l e ( n i l p o t e n t ) a l g e b r a a c c o r d i n gt ok a s y m o v ，t h es o l v a b l ei d e a ld e f i n e db yf i l i p p o vi sn - s o l v a b l ei d e a l ， a n dt h en i l p o t e n ti d e a ld e f i n e db yf i l i p p o vi s2 - n i l p o t e n t i nt h i st h e s i s ，t h en i l p o t e n t n l i ea l g e b r a sa r eu n d e rt h ed e f i n i t i o no ff i l i p p o v 4 1 t h es o l v a b l e 礼一l i ea l g e b r a sa r e u n d e rt h ed e f i n i t i o no fk a s y m o v 5 1 t h en i l p o t e n ts e r i e so fli sc a l l e dl o w e rc e n t r a ls e r i e s o fl t h el a r g e s ts o l v a b l ei d e a lr a d ( l 1o fli sc a l l e dt h er a d i c a lo fl d e f i n i t i o n2 7 l e tlb ea nn - l i ea l g e b r ao v e rf i e l df ad e r i v a t i o no fli sa l i n e a rm a pdo fli n t oi t s e l f ，s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n d ，】_ 阢 i = 1 ，d ( x i ) ，z n 】 t h ee n d o m o r p h i s ma d ( x l ，x n - 1 ) ，x l ，x n - 1 l ，d e f i n e db y a d ( x l ，一1 ) y = x l ，x n - 1 ，y 】，v y l ， i st h el e f tm u l t i p l i c a t i o n ，c a l l e dt h ei n n e rd e r i v a t i o no fl ( 2 3 ) ( 2 4 ) d e n o t e d e r ( l ) ( j n d e r ( l ) ) t h e s e to fa l l ( i n n e r ) d e r i v a t i o n so fl a n d ，r e l a t i v et ol i e b r a c k e t ，d e r ( l ) i sal i ea l g e b r aa n di n d e r ( l ) i s8 1i d e a lo fd e r ( l ) d e f i n i t i o n2 8 l e thb eas u b a l g e b r a ( i d e a l ) o fl ，w ec a l l n l ( h ) = z li 陋，h ，日 日) t h en o r m a l i z e ro fh 垂 2 p r e l i m i n a r i e so fn - l i ea l g e b r a s d e f i n i t i o n2 9w ec a l l 既( ，) = _ ( z l1i x ，j ，厶，引= o ) t h ec e n t r a l i z e ro f i ，w h e r eii sa nd e a lo fl i nt h i st h e s i s ，z l ( s ) = z ll z ，s ，翻= o - ，w h e r esi st h es u b a l g e b r ao r i d e a lo fl z ( s ) = z s ，i z ，s ，s = o 河北大学理学硕士学位论文 3 p r o p e r t i e so ff r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i e a l g e b r a s i nt h i ss e c t i o n ，w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ff r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a s a n dt h es t r u c t u r eo ft h e m d e f i n i t i o n3 1a p r o p e rs u b a l g e b r amo fa nn - l i ea l g e b r ali sc a l l e dam a x i m a l s u b a l g e b r ao fl i ft h eo n l ys u b a l g e b r ap r o p e r l yc o n t a i n i n gmi s 己i t s e l f d e f i n i t i o n3 2t h ei n t e r s e c t i o no fa l lm a x i m a ls u b a l g e b r a so fli sc a l l e df r a t t i n i s u b a l g e b r ao fl ，d e n o t e db yf ( l ) t h em a x i m a li d e a lo flc o n t a i n e di nf ( l ) d e n o t e d b y ( l ) d e f i n i t i o n3 3a p r o p e ri d e a lio fa nn - l i ea l g e b r ali sc a l l e dam i n i m a li d e a lo f li ft h eo n l yi d e a lp r o p e r l yc o n t a i n e di nji sz e r oi t s e l f w ed e f i n et h es o c l eo fls o c ( l ) t ob et h eu n i o no fa l lm i n i m a li d e a l so fl w ea l s od e f i n et h ea b e l i a ns o c l eo fla s o c ( l ) t ob et h eu n i o no fa l lm i n i m a la b e l i a ni d e a l so fl w ec a np r o v es o c ( l ) i st h ed i r e c ts u m o fm i n i m a li d e a l so fl ，a n da s o c ( l ) i st h ed i r e c ts u mo fm i n i m a la b e l i a ni d e a l so fl d e f i n i t i o n3 4l e tx l ，z 七l ，t h es u b s p a c eo fl g e n e r a t e db yx l ，z 七d 争 n o t e db y ( x l ，瓢) ) ，t h es u b a l g e b r ao f lg e n e r a t e db yt h e md e n o t e db y ( d e f i n i t i o n3 5 l e tlb ea nn - l i ea l g e b r aa n dz l sb eas u b s e to fls u c h t h a tsa n dzg e n e r a t el ，t h a ti s ( ) = l m e a n w h i l esc a l lg e n e r a t elb yi t s e l f ， t h e nw ec a l lza nn o n - g e n e r a t o ro fl d e f i n i t i o n3 6w ec o n s t r u c tau p p e rc e n t r a ls e r i e so fa n i l p o t e n tn - l i ea l g e b r a l ：l e tz 0 ( l ) = 0 ，五( l ) i sa ni d e a lo fls u c ht h a tz ( l z t 一1 ) = 五( l ) 磊一1 ( l ) t h e n _ 磊( 己) i sc a l l e dau p p e rc e n t r a ls e r i e s ，w h e r ei 0 i nt h ef o l l o w i n g ，w ea s s u m elb ean - l i ea l g e b r ao v e ra n yf i e l df t h e o r e m3 1 【1 3 】l e tlb eaf i n i t e - d i m e n s i o n a l 扎一l i ea l g e b r ao v e rfa n d ，b ea n i d e a lo fl i fj 冬f ( l ) ，t h e nii sn i l p o t e n t 一6 - 、l ， 3 p r o p e r t i e so ff r a t t i n is u b a l g e b r a so fn - l i ea l g e b r a s o fl c o r o l l a r y3 1 【1 3 】l e tl b ea nn l i ea l g e b r ao v e rf ，t h e n 矽( l ) i sa n i l p o t e n ti d e a l t h e o r e m3 2l e tla n dl 7b en - l i ea l g e b r a s ，a n dti sah o m o m o r p h s i mf r o ml t ol 7 t h e nt ( f ( 三) ) f ( l ，) p r o o f l e tm b eam a x i m a ls u b a l g e b r ao f w ec l a i mt h a tm = t - 1 ( m ) i sam a x i m a ls u b a i g e b r ao fl s u p p o s em = t - 1 ( m ) i sn o tam a x i m a ls u b a l g e b r ao f l ，t h e r ee x i t sam a x i m a ls u b a l g e b r an )ma n dn m d s i n c ek e r tcm ， t ( n ) dm 7 ，ac o n t r a d i c t i o n t h e nm = t _ 1 ( m ) i s am a x i m a ls u b a l g e b r ao fl f o r a n yz f ( l ) ，t ( x ) t ( m ) = m 7 s i n c et h i si sv a l i df o ra l lm a x i m a ls u b a l g e b r a so fl 7 ， 丁( f ( l ) ) f ( l ，) t h e o r e m3 3l e tla n dl 7b en - l i ea l g e b r a sa n dti sah o m o m o r p h i s mf r o ml t ol 7 i fk e r t f ( l ) ，t h e nt ( f ( l ) ) = f ( l 7 ) p r o o f b yt h e o r e m3 2 ，i t i ss u f f i c i e n tt os h o wf ( l 7 ) t ( f ( l ) ) l e t f ( l ，) t h e nt h e r ee x i s t sz ls u c ht h a tt ( x 1 = z 7 l e tmb eam a x i m a ls u b a l g e b r ao f la n dk e r t m w ec a ns h o wt h a tm 7 = t ( m ) i sam a x i m a ls u b a l g e b r ao fl 7 s u p p o s em 7 = t ( m ) i sn o tam a x i m a ls u b a l g e b r ao fl 7 ，t h e r ee x i s t sam a x i m a ls u b a l g e b r a n 7 ) m i s i n c ek e r t m ，t _ 1 ( 7 ) = n ) t _ 1 ( m 7 ) = m ，t h a ti st ) m b u tn i sa l s oam a x i m a ls u b a l g e b r ao fl ，ac o n t r a d i c t i o n h e n c e = t ( m ) i sam a x i m a l s u b a l g e b r ao fl 7 s i n c et ( x ) f ( l 7 ) ct ( m ) ，w ec l a i mt h a tz m i fz 之订，t h e n l = ( ) a n dl 7 = ( ) t h i sc o n t r a d i c t st ( x ) t ( m ) h e n c ez m f o ra l lm a x i m a ls u b a l g e b r a so fla n dz f ( l ) t h e r e f o r e = t ( x ) t ( f ( 三) ) f o ra l l z 7 f ( l 7 ) a n df ( l ) st ( f ( l ) ) l a m m e3 1 f ( l ) i st h es e to fa l ln o n - g e n e r a t o r so fl p r o o f f i r s t l y , w ep r o v et h a tf ( l ) c o n t a i n sa l ln o n g e n e r a t o r so fl s u p p o s ez i san o n g e n e r a t o ro fla n dzi sn o tc o n t a i n e di nf ( l ) t h e nt h e r ee x i s t s am a x i m a ls u b a l g e b r amo fls u c ht h a tzi sn o tc o n t a i n e di nm t h u sm = ( ) p r o p e r l yc o n t a i n sm s i n c em i sam a x i m a ls u b a l g e b r a ，舰= l b u t ( ) = m l t h i sc o n t r a d i c t st h ef a c tt h a tzi san o n g e n e r a t o ro fl t h e r e f o r e ，z f ( l ) 7 - 河北大学理学硕士学位论文 n e x t l y , w ep r o v et h a tf o ra n yz f ( l ) ，zi san o n - g e n e r a t o ro fl s u p p o s et h ec o n t r a r y , t h e r ee x i s t sz f ( l ) a n dt h es u b s e tso fls u c ht