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河北工业大学硕士学位沦文 b a n a c h 空间微分方程周期边值问题解的存在性 摘要 本文研究了如下两类b a n a c h 空问中微分方程周期边值问题解的 存在性： j 。”( t ) + m 2 。( ) = f ( t ，z ) 0st 1( 1 ) 【茁( o ) = z ( 1 ) ，z7 ( o ) = z ( 1 )( 2 ) 其中m 是一个常数且m 【一”，丌】，m 0 jz 7 ( t ) + p 2 x ( t ) = f ( 亡，z ) 0 t 1( 1 ) i 。( o ) = 茹( 1 )( 2 ) 其中p 0 且p 是一个常数 本文通过构造格林函数，借助王建国提出的序b a n a c h 空间中不 连续增算子的不动点定理，得到了新的周期解的存在性结果，这些结 果的主要特点是，非线性项p ( t ，z ) 可以不连续，在证明过程中，应用 了上下解方法，其中不要求上下解同时存在 关键字：b a n a c h 空间微分方程，周期边值问题，格林函数，不连续 增算子，不动点定理 垒! ! ! ! ! 塞堡丝坌杰堡旦塑垄篁囵堕墅堕至垄堡 一一。 1 l s o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e m o d i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt w o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e s iz ”( ) + m 2 z ( t ) = f ( ，z ) 0 t 1 iz ( o ) = z ( 1 ) ，茁( o ) = z ( 1 ) w h e r emi sac o n s t a n ta n d ”l 【一7 r ，丌】，盯l 0 f 一( t ) 十p 2 。( t ) = f ( t ，z ) o t s l iz ( o ) = z ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 7 w h e r ep oa n dp i sac o n s t a n t o nt h eb a s i so ft h ec o n s t r u c to fg r e e n ，sf u n c t i o n sa n dt h ef i x e dp o i n t t h e o r e mf o ri n c r e a s i n go p e r a t o r sw i t h o u tc o n t i n u i t yp r o p o s e db yw a n g j i a n - g u o ，w eo b t a i ns o m en e we x i s t e n c er e s u l t s t h em a i nc h a r a c t e r so f t h e s er e s u l t sa r et h a tt h en o n l i n e a rt e r me t ，x ) c a nb en o tc o n t i n u o u sa n d t h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm a yb en o te x i s ti nt h es a m et i m e k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s ，p e r i o d i cb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e m s ，g r e e n sf u n c t i o n s i n c r e a s i n go p e r a t o r sw i t h o u tc o n t i n u i t y , f i x e dp o i n tt h e o r e m b a n a e h 空间微分方程周期边值可题解的存猩性 符号说明 1 e ：b a n a c h 空间，川表示e 中的范数 2p e 中的闭凸锥 3 ，：，= 0 ，l 】 4 c ( j ，e ) ：由，映射到e 上的具有所有! 阶连续导数( 强导数) 的函数 构成的b a n a c h 空间 5 l p ( i ，黝= z ( ) k ( t ) ：卜- e ，强可测函数且( 詹i j ：( t ) l p d t ) t 0 ，m 0 均为常数。得到如下定理； 河北工业大学硕士学位论文 第一章引言 第一节问题的提出和发展 事物运动的周期规律是自然界的普遍现象，为了研究这种周期运动规律，人们用微分方 程作为模型来描述这种运动微分方程的周期问题倍受人们关注，不仅是因为微分方程周期 解问题表征一些具有周期性的运动，同时它也具有普适性可以近似的刻画一些非周期性运 动 在有限维情况中对表征弹簧振动和n e w t o n 运动的d u f f i n g 方程； z + c x + 目知) = e ( )( 1 1 0 ) 的周期解。近数十年来许多学者做了较多和较深入的研究，得到一系列重要而深刻的结果 特别是对c = 0 ，也就是下列方程： z ”+ 口( z ) = p ( t )( 1 i1 ) 在不同条件下得到了很多周期解的存在性结果f 5 一“ 对于无穷维情况，b a a a c h 空间的常微分方程理论是近四五十年来发展起来的一个新 的数学分支，它把常微分方程和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析理论研究b a t m c h 空 间中常微分方程它的理论在无穷微分方程组、临界点理论、偏微分方程及不动点定理等方 面都有广泛的应用 b a n a c h 空间常微分方程的基本课题是建立类似于普通常微分方程的解的存在性和唯 一性定理但由于有限维空间与无穷维空间的本质差异，有限维空间常微分方程的基本结 果，对于无穷维空间的常微分方程不再成立，如古典常微分方程理论中p e a n o 定理( 存在 性定理) 就不再成立了，为了保证解的存在性，还要对非线性项加一些条件，使用的基本条 件是紧型条件和耗散型条件另外，在有限维空阉中，绝对函数几乎处处可微，然而在无穷 维b a n h 空间中，这一结论并不一定成立 下面介绍与本文密切相关的一些结果， 对b m a a c h 空间上二阶微分方程周期边值问题，2 0 0 1 年，孝永祥在文l 州中研究了 b a n a c h 空间e 中的二阶周期边值问题 一+ ，攀 ：掣嶝s “ ( 1 m ) i 。( o ) = 。扣) ，z + ( o ) = 。( w ) 。 其中叫 0 ，m 0 均为常数得到如下定理： 其中叫 0 ，m 0 均为常数得到如下定理： b a n a c h 空间微分方程周期边值问题解的存在性 定理1 1 0 】：设e 为有序b a n a c h 空间，其正元锥k 为正规锥，f ( t ，z ) ：，e e 满 足假设 ( p ) 对v r 0 ，记n o ，r ) = e - - n n n ，且对任意非相对紧的dc 百( 口，r ) f ( t ，d ) = ，( ，z ) 1z d ) | | zj sr ，f ( t ，z ) 在i 百( 日，r ) 上 有a ( f ( t ，d ) ) m a ( d ) ，t i ，；n e e 若上问题存在下解v o 与上解u o 。即u o ，o j 0 c 2 ( ，e ) 分别满足： 一u ；+ m v o f ( t ，”o ) ，v o ( o ) = 1 向( u ) ，u j ( o ) u ：( u ) 一诺+ m w o f ( t ，) ，岫( o ) = 咖( u ) ，u ：( o ) 矗( u ) 且u o u o ，f ( t ，z ) 在【v o ，a 1 0 上满足条件： f ( t ，v o ( t ) ) f ( t ，。( ) ) sf ( t ，u 0 0 ) ) ，v 。 v o ，w o ，t i 则方程存在解x o 【u o ，w o 在证明方法上，文【1 0 j 利用了非紧性测度的性质与凝聚映射的s a d o v s k i i 不动点定理 2 0 0 3 年，周文学在文【1 1 】中，对文【l o l 中周期边值问题( 1 _ 1 2 ) 也做了研究，借助于 对线性周期解算子范数的精确估计与凝聚映射的一个k r a s n o s e l s k i i 型的不动点定理，获得 了周期解的存在结果，其主要特点是删去了对非线性项序增的要求 文【1 0 1 x l 】均要求了非线性项f ( t ，x ( t ) ) 连续 对于一阶微分方程周期边值问题 iz 7 ( t ) = f ( t ，$ ( t ) ，z ( t ) ) 0 t t lz ( o ) = z ( t ) 文【1 2 】在有限维情况下，应用上下解的方法研究了其解的存在性，其中要求非线性项f ( t x ，y ) 是连续的 对于无穷维情况，文【1 3 1 在假设上下解同时存在及非线性项连续的条件下，应用单调 迭代的方法，得到了b a n a c h 空间中一阶微分方程周期边值问题 z ( t ) = ，( t ，z ( t ) ) ，x ( o ) = z ( u ) ，0 t 。 存在唯一解 在文【1 4 】中，作者应用上下解的混合单调的方法研究了类似文 1 3 】中的周期边值问 题，同样也设定了非线性项的连续性 2 河北工业大学硕士学位论文 第二节主要结果 本文将利用王建国所提出的非连续增算子不动点定理来研究b a n a c h 空间上微分方程 周期边值问题解的存在性 问题如下： fz ”( t ) + m 2 。( ) = f z ) 0 s1( 1 ) i 。( o ) = ( 1 ) ，茁( o ) = z ( 1 )( 2 ) 其中m 是一个常数且me 一”， 】，m 0 ， j 。( ) + p 2 z ( t ) = f 0 ，z ) 05 l( 1 ) iz ( o ) = z ( 1 )( 2 ) 7 其中p 0 且p 是一个常数 定义；称z c 1 ( j ，e ) 为问题( 1 ) 一( 2 ) 的解，如果z 7 ( t ) 在i 上绝对连续，几乎处处 可导，且几乎处处满足问题( 1 ) 一( 2 ) 定义t 称z c ( i ，e ) 为问题( 1 ) 。一( 2 ) 的解，如果z ( t ) 在i 上绝对连续，几乎处处 可导，且几乎处处满足问题( 1 ) 一( 2 ) 全文对问题( 1 ) 一( 2 ) 做出如下的假设： ( h 1 ) f ( t ，z ) 关于x 是增的，即当z l x 2 时，有f ( t ，x 1 ) 墨f ( t ，2 ) ( h 2 ) 3 u o c 2 ( ，e ) ，使得 l ：( t ) 一m 2 u o ( t ) + f ( t ，o ) 0 t 1 私。( o ) = 。( 1 ) 【u j ( o ) ：( 1 ) ( h 3 ) 3 v o c 2 ( j ，e ) ，使得 f ( 茚一m 2 t 日( f ) + f ( t ，7 2 0 ) 0st 1 v o ( o ) = v o ( 1 ) i ”：( o ) u ：( 1 ) ( h 4 ) i p ( t ，) ) 1 b ( t ) ne 于i ，对v z e ，其中b ( t ) l 1 ( ，r + ) ( h 5 ) | 函数u ：ix r + 一只+ ，使对几乎每一t i ，有 o ( f ( ， 彳) ) u ( t ，d ( f ) ) 其中mc c ( i ，e ) 且s 烈l z ( 圳：z m ) s6 ( ) ，b ( t ) 即为( h 4 ) 中给定另外，妒= 0 为 ，1 妒0 ) 墨2 m u ( s ，妒( s ) ) d s j u 3 b a n a c h 空间微分方程剧期边值问题解的存在性 在i 上几乎处处成立的唯一解，其中妒l ( i ，r + ) 为了后边证明的需要，全文对问题( 1 ) 7 一( 2 ) 7 做出如下的假设； ( h i ) f ( t ，x ) 关于x 是增的，即当2 l z 2 时，有f ( t ，x 1 ) f ( t ，z 2 ) ( h 2 ) 13 u o c 1 ( i ，e ) ，使得 fu ：o ) s p 2 让。( ) + f ( ，札。) 1 。( o ) 札。( 1 ) ( 3 ) 3 v o c 1 ( j ，e ) ，使得 f 诧o ) 一t 0 2 v o o ) + f ( t ，。o ) iv o ( 0 ) v 0 ( 1 ) 0 t 1 0 t 0 ls 可表为有限个集的并：s = u s ，使每个s 的直径( & ) 都田 f = 1 显然，0 q ( s ) 0 ，那= 5 ( z o ，e ) 0 ，使当x d 且i i x x o l l 0 ，使当 a ，b 】的任意有限个不突子空间b ，b ，j = l ，2 ，礼， 满足( 吗一勺) 5 ，有jz ( 吩) 一。( 留) j ，则称函数z ： 口，6 e 是绝对连 续的 2 1 1 5b o c h n e r 可积 称x ( s ) 是b o c h n e r 可积的( 简记为( b ) 可积) ，是指 ( 1 ) z ( s ) = 。( 8 ) 是可数值阶梯函数，且i iz 。( s ) l l 是l e b e s g u e 可积的，而这时定义其 b o c h n e r 积分 ( b ) ( s ) 俐2 荟训( a t , ) ( 强极限) ( 这里已设q = ua k ，a k ( k = 1 ，2 ，) 为互不相交的可测集，且z 。( s ) = x k e ，v s a k ( k = 1 ，2 ，- ) ) ， ( 2 ) z ( s ) 是上面b o c h n e r 可积的可数值阶梯函数列 z ：( s ) ) 概收敛的强极限，且有 熙触z ( s ) 一。d s ) = o ， 此时定义其b o c h n e r 积分 ( 日) 产( s ) p ( d s ) = 舰( b ) 产瀚p ( d s ) 一 2 1 1 6l 9 ( i ，e ) ( 0 p o 。) 空间l p ( i ，e ) ( o p 。) 是由强可测函数z ：i 一e 所组成的b a n a c h 空间，其 中z 是b o c h n e r 可积的，且范数 ，r， 忙2 q 0i x , ( ) 尸出) ； 。 b a n a c h 空问微分方程周期边值问题解的存在性 注：空间l ( ，e ) ( 0 p ) 的半序定义如下： 如果对vz ，y l p ( j ，e ) 有z ( ) 缸( t ) a e 。t 工，则称z 帮 第二节文中引用的定理 定理2 2 1 【15 】：设e 是一实b a n a c h 空间 即z y 当且仅当y o p ，u 0 e ，u o + p 到e 的算子，若a 满足 pc e 是一个锥并导出序关系”， z ：z u 0 ，ze e ) ，a 是一个从u o 十p ( h 1 ) a 是增算子，即对任意的z ，y u o + p ) zsy ，有a 。a y ； ( h 2 ) u o a u o ； ( h 3 ) 若c = z n ) c i t 0 + p 可数、全序并且c cd ( z 1 ) u a ( e ) ) ，则c 相对紧； 那么a 在u 0 + p 中至少有一个不动点。 定理2 2 2 【1 5 】：在定理2 2 1 的假设下，a 在“o + p 中有最小不动点 注【1 5 l 由于正规锥中的全序子集的紧性与弱紧性等价 2 1 ，因此，如果 p 是正规锥，条件( h 3 ) 可以叙述为： ( h 3 ) 若c = x n ) c t t 0 + p 可数、全序并且c cc l ( z 1 ) u a ( c ) ) ，则c 弱相对紧 定理2 2 3 1 1 - 5 】：除( h i ) ，( h 2 ) 与( h 3 ) 之外，若a 还满足 ( h 4 ) 存在v o u 。+ p 使得a v o u o ，则a 在阻o ，v o l = 如e ： t z 0 曼。s 如) 中 有最小不动点和最大不动点 推论f 1 5 】：假设条件( h i ) ，( h 2 ) 与( h 4 ) 成立，则a 在阻o ， o 】中有最小不动点和最大 不动点，如果下列条件之一成立： ( 1 ) p 是正则锥； ( 2 ) a ( u o ，v 0 1 ) 相对弱紧； ( 3 ) u o ，如】有界，且对任何不紧的可数全序子集c o ，v o 】，都有口( e ) ) o ( g ) 其中o ( ) 表示e 上的k u r a t o w s k i 非紧性测度 定理2 2 4 【1 6 1设d = 。) cl 1 ( f ，e ) 。如果存在口l 1 ( j ，r + ) ，使得对于 v x 。d ，i z 。( ) i v ( t ) 在i 上几乎处处成立，则 a ( 上z 。( s ) a s ：饥，) ) 茎。z 。( d ( s ) ) a s 这里o z 表示e 上的k u r a t o w s k i 非紧测度。 定理22 5 1 1 7 】 设p ( 0 ，。 ，mcl ( ，e ) 可数且存在u l 9 ( ，r + ) 使得对于 所有u m ，lu ( t ) f v ( t ) 于i 上几乎处处成立，如果m ( t ) 在e 上对几乎所有t i 是 相对紧的，则m 在上尸( ，e ) 上弱相对紧 8 河北工业大学硕士学位论文 定理22 6 若z ，y ：j e ，t o j ，则下列条件等价： a ) x 绝对连续，几乎处处可导，且。( t ) = y ( t ) a , a t j ， b ) yb o c h n e r 可积，且有 z ( ) = x ( t o ) + y ( s ) d s v t ， 定理2 27 1 4 i 为了z ( 8 ) 是b o c h n e r 可积的，必须且只须z ( s ) 是强可浏的，并且 i lz ( s ) j j 是l e b e s g u e 可积的 定理2 2 8 4 l 若抽象函数x ( s ) b o c h n e r 可积，则有 ) 上z ( s ) p ( 4 s ) 悟五s ) d s ) 定理2 2 9 1 1 8 】 设e 是b a n a c h 空间，k 为e 的一个锥，如果y ；z ： 。，纠一e 是 b o c h n e r 可积的，且( t ) z ( t ) ，a at 【a ，6 1 ，则对vt 【a ，纠，有 。! z ：( s ) d s f t y ( s ) d s j ( 6z ( s ) 如一z b ( s ) 出 9 第三章主要结果的证明 为方便起见，下面重新叙述一下本文的主要结果 设e 为实b a n a c h 空间，其范数记为 i ，p 为其正规锥，e 中的序关系”兰，由 p 引出，即o y 铮y x p i = 【0 ，1 】，g ( j ，e ) 为定义于1 取值于e 的连续函数按范数i izi i = r l t 2 a j xz ( t ) i 构成的 b a n a c h 空间，其半序由正规锥p + = z c ( i ，e ) lx ( t ) 口，i 引出 对“，u c ( z ，e ) ，“ ，记【u ，u 】为c ( i ，e ) 中的序空间 z g ( ，e ) l “z ) 取u o g 口，e ) ，令k = xe g ( ，e ) ，x “o f ( t ，z ( ) ) ：rx e ，e ，对任意的z ( t ) c ( z ，e ) 在i 上是b o c h n e r 可积的 为了后边证明的需要，全文对问题( 1 ) 一( 2 ) 做出如下的假设： ( h 1 ) f ( t ，。) 关于x 是增的，即当。l x 2 时，有f ( t ，$ 1 ) sf ( t ，。2 ) ( h 2 ) j “o c 2 ( j ，e ) ，使得 i u ：( t ) s m 2 u o ( t ) + f ( t ，u o ) 0 t 1 u o ( o ) = u o ( 1 ) 【a d o ) s “：( 1 ) ( 3 ) j 咖c 2 ( j ，e ) ，使得 l 端( t ) 一r n 2 o ( t ) + f ( ，u o ) 0 ts 1 如( o ) = u o ( 1 ) 【晶( o ) v o ( 1 ) ( h 4 ) i f 0 ，z ) ) i 6 ( t ) o e 于i ，对v zee ，其中6 ( 亡) l 1 ( j ，r + ) ( h 5 ) j 函数w ：，r + 一r + ，使对几乎每一t i ，有 。咿( t ，m ) ) 5u ( t ，a ( m ) ) 其中mcc ( i ，e ) 且8 u “l z ( t ) i ：em ) 6 ( t ) ，6 ( ) 即( h 4 ) 中给定此外，对妒 l ( z ，冗+ ) ，l p = 0 为 妒( ) 兰2 m u ( s ，妒( s ) ) d 8 j u 在i 上几乎处处成立的唯一解 全文对问题( 1 ) 一( 2 ) 做出如下的假设： ( 1 ) +f ( t ，。) 关于x 是增的，即当z 1sz 2 时，有f ( t ，x 1 ) sf ( t ，2 ) 1 0 河北工业大学硕士学位论文 ( h 2 ) 73 u o c 1 ( j ，e ) ，使得 f 喝( t ) 曼一p 2 u o ( t ) + f ( ，u o ) 0 t 茎i lu o ( o ) u o ( 1 ) ( h 3 ) j o c 1 ( ，e ) ，使得 f ： ) 2 一p 2 u 0 0 ) + f ( t ，v 0 ) 0 ts l iv o ( o ) 兰如( 1 ) ( h a ) l f ( t ，z ) ) 1sb ( t ) ne 于i ，对v z e ，其中b ( t ) l 1 ( j ，r + ) ( h s ) j 函数u ：i r + _ 冗+ ，使对几乎每一t i ，有 a ( y ( t ，a ，) ) s “0 ，o ( m ) ) 其中mcg ( j ，e ) 且s 印“z ( ) f ：z m ) 兰6 ( ) ，b ( t ) 即为( m ) 。中给定此外，对 妒l ( i ，珥) 。妒= 0 为 妒( 。) 2 m 上。( 8 ，妒( 8 ) ) d 8 在i 上几乎处处成立的唯一解 本文的主要结果如下： 定理l 假设条件( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 4 ) ，( h 5 ) 成立，则二阶泛函微分方程周期边值问题( 1 ) ( 2 ) 至少存在一个解 定理2 假设条件( 而1 ) + ，( 2 ) ，( a 4 ) ，( 5 ) 成立，则一阶泛函微分方程周期边值问题 ( 1 ) 一( 2 ) 至少存在一个解 推论1 假设条件( h 1 ) 一( 5 ) 成立，则二阶泛函微分方程周期边值问题( 1 ) 一( 2 ) 在 阻o ，v 0 j 中存在最小解和最大解 推论2 假设条件( m ) 7 一( 5 ) 成立，则一阶泛函微分方程周期边值问题( 1 ) 一( 2 ) 在 【u 0 ，v 0 】中存在i d , 解和最大解 第一节定理1 的证明 3 1 1 将微分方程化为等价的积分形式 本节假定( h i ) ，( h 2 ) ，( h 4 ) ，( h 5 ) 成立 引理1 ：x ( t ) 是问题( 1 ) 一( 2 ) 的解的充分必要条件是x ( t ) c ( x ，e ) 是积分方程 球) = z 1 ，妒( ”( 圳幽 o s1 ( 3 1 1 ) 1 1 b a n a , c h 空间微分方程周期边值问题解的存在性 的解，其中 f c o 。s m ( s 。- ，一t + u 2 ) 0 5 t 1 a ( t ，s ) ： 2 “n ( “胆 352 3 【焉慧茜铲0 s tss l 证明：若。( ) 是积分方程( 31 1 ) 的解，记。丽而1 覃，则 z ( t ) = n ( l 2c 。s m ( s 一+ ；) f ( s ，。( s ) ) 如+ ，t 1c o s m ( t - - s + 互1 ) f ( 舭( s ) ) d s ) = z 【c 。s m sc 。s m ( 一j 1 ) + s i n m ss i n m 一；) 】f ( s ，z ( s ) ) 如 + z 1 【c 。s m ( + ；) c o s m s + s i n m 。+ 互1 ) s i n m s 】f ( s ，z ( s ) ) d s = c o s m ( t ；) z c o s m s f ( s ，z ( s ) ) d s + s i n m 。一；) z s i n m s f ( s ，z ( s ) ) d s + c o s m ( t + ；) z 1c o s m s f ( s ，z ( s ) ) d s + s i n m 。+ ；) 1 s i n m s f ( s ，z ( s ) ) 出 由定理2 2 6 ，上式右端积分均几乎处处可导，从而x ( t ) 几乎处处可导，且有 z ( ) = 一m s i n m ( t 一；, o 。c o s m s f ( s ，z ( s ) ) 如 十m c 。s m 。一；) 上s i n m s f ( s ，z ( s ) ) 幽 一m s i n m ( t + ；) 1c o s m s f ( s ，。( s ) ) 出 + m c o s m ( + ；) z 1 s i n m s f ( s ，。) ) d s 。e j 再由定理2 2 6 ，z ( t ) 绝对连续，几乎处处可导，且 z ”( t ) = 一m 2c o s m 一；) z c 。s m s f ( s ，z ( s ) ) d s m s i n m q 一；c o s m t f ( t ，z ( 啪 一r n 2 s i n m ( 一；) z 。s i n m s f ( s ，z ( s ) ) d s + mc 。s m 。一；) s i n m t f ( t ，。( t ) ) 一m 2c o s m ( t + ；) z 1c 。s m s f ( s ，z ( s ) ) d s + m s i n m 。+ ；) c o s m t f ( t ，z ( 啪 一m 2 s i n m + ；) z 1s i n m s f ( s ，z ( s ) ) d s m c o s m ( t + 互1 ) s i n m t f ( t ，z ( t ) ) 叉 1 2 z ( o ) ：j v i ，1 。( 。 j 0 ；) f ( 。，。( 。) ) d 叫= z ( 1 ) 河北工业大学硕士学位论文 z ( o ) = n - m s i n 孑z 1 c o sr n s f ( s ，z ( s ) ) d s + m c o s i “- ，：1 s i nr n s f ( 踯( s ) ) 删“( 1 ) f ”( ) + m 2 ( t ) = f ( t ，( t ) ) 0 ts 1 可( o ) = 可( 1 ) 【y l ( o ) = ( 1 ) ( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，y ( s ) ) d s 0st 1 ( 3 1 2 ) j o = 芸 吲o s 娜 t ，l z ( t ) = g ( ，s ) f ( 5 ，z ( 8 ) ) d 5 0 t 1 j 0 f cosm(s-t+l2)0st 0 巨邳 为映射j 到e 上的抽象函数，且9 ( ) ，g ( t ) l 1 e ) ，则有： _ ，( s ) 9 ( 。) d s ：，( t ) 9 ( t ) 一，( 。) g ( 。) 一厂9 ( s ) ，( s ) 如 j o j 口 g ( 厂，( 。) 9 ( 。) 如) ：n g ( ，( s ) 9 ( s ) ) 如 j oj 0 = j ( ，( s ) g ( 9 ，( s ) ) 出= j ( 。，( s ) ( g ( 如) ) ) o d ， = ，( s ) g ( 9 ( s ) ) i 。t 一g ( 9 ( s ) ) ，( s ) d s ( 由分部积分公式) jn = g ( 巾) 郎) 一，( n ) 9 ( n ) ) 一g ( 上，( s ) 如) = g ( ，( t ) 9 ( t ) 一，( 。) 9 ( 。) 一，。9 ( s ) ，( s ) d s ) ，2 ，( s ) 9 7 ( 。) d 。：，( t ) 9 ( t ) 一，( 。) g ( 。) 一_ 9 ( s ) ，( s ) d s 证毕 j n j b 河北工业大学硕士学位论文 定理1 假设条件( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 4 ) ，( h 5 ) 成立，则二阶泛函微分方程周期边值问题至少 存在一个解 证明：令 a x = c ( t ，s ) f ( s ，x ) d s 由引理1 及定理221 只须验证( h i ) 一( h 3 ) 成立 1 ) 证明( h 1 ) 成立 a 为k 到c ( z ，e ) 的映射，由前面格林函数的讨论知在题设条件下有g ( t ，z ) 0 ， 因此任意取x l ，x 2 k 且x l x 2 ，由假设( h 1 ) 得f ( t ，x 1 ) f ( t ，。2 ) ，进而由定理2 2 9 得 r ir i 上g ( 。，8 ) f ( 3 ，。1 ) 4 8 j c g ( 。，8 ) f ( 8 ，。2 ) 出 所以有a x ls a x 2 ，故( h 1 ) 成立 2 ) 证明( h 2 ) 成立 由假设( h 2 ) ，存在u o c 2 ( ，e ) ，使得 u ：( t ) 一m 2 u 0 0 ) + f ( t ，u o ) 由a ( t ，s ) 0 有 g ( t ，s ) u ：( ) 一a ( t ，s ) m 2 “o ( t ) + g ( t ，s ) f ( t ，u o ) 由8 代替t ，得 g ( s ，) u ：( s ) s g ( s ，) m 2 u 0 0 ) + c ( s ，t ) f ( s ，u o ) 由定理2 2 9 得 f 0 1g ( s ，t ) u ；( s ) d s 一m 2f 0 1g ( s ，t ) u 。( s ) d s + f o g ( s ，) f ( s ，“。) d s 令 = 丽1 研 而 詹g ( s ，t ) u ：；( s ) d s = 厝c o s m ( s t 十i 1 ，u o u ( s ) 出+ fc o s m ( t s + ) 1 正：0 ) d s = n c o s m ( t 一 ) 【“：( 1 ) 一j ( o ) + u o ( t ) + n m u o ( o ) 一u o ( 1 ) s i n m ( t m 2 詹g ( s ，t ) u o ( s ) d s ( 引理3 ) 临 1 0 1 2 b a n a c h 空闻微分方程周期边值问题解的存在性 代入( 3 1 3 ) 式 n c o s m ( t 一；) 【“， ( 1 ) 一u o ( 0 ) 1 + “。( t ) 十m 【”。( o ) 一u 。( 1 ) 】s i n m ( 一；) 茎z 1 g ( 叫) 耶，u 0 ) d s = 舭 由于在假设条件下n c o s m ( t 一 ) 0 及假设( h 2 ) 可得 “os a u o 故( h 2 ) 成立 3 ) 证明( h 3 ) 成立 即证明若c = z 。) ck 是可数的，全序且ccc f ( z 1 ) ua ( g ) ) ，则c 是相对紧 的 设集合v = u 。，n 1 = 4 ( e ) ，定义 ，1 u n = a x n 2 上g ( 。，s ) f ( s ，。n ) 如( z n c ，n 1 ) 由假设 c cc f ( 。l u v ) 利用( h 4 ) 及定理2 2 8 ，有 ，1 i v n ( t ) | o ( t ，s ) i i f ( s ，x n ) l 如 0 r l 上l a ( 。，s ) 。s = ：1 ( ) 于。7 显然 a l l ( i ，r 十) 因为 ccc f ( z 1 ) u a ( e ) ) 故 x n ( t ) l ! a ( t ) = m a x a l ( t ) ，iz 1 ( ) 1 ) a e t i 由定理2 2 4 ，知 1 6 。( y ( t ) ) = 。( z 1 g ( t ，s ) f ( s ，z 。) 如，n ，) ) ，1 2 g ( t ，s ) o ( f ( s ，g ( s ) ) d s j 0 河北工业大学硕士学位论文 2 o g ( t ，s ) in ( f ( s ，a ( s ) ) d 5 由于g ( t ，s ) 在0 t ，s 1 上存在上界，设为m ，则上式得 q ( v ( ) ) 2 m n ( f ( 5 ，c ( s ) ) ) 幽 j 0 q ( f ( s ，g ( s ) ) ) u ( s ，( c ( s ) ) ) a e s i o ( e ( t ) ) 。( d ( 。1 ) ua ( g ) ) ) = q ( 石1 ua ( g ) ) = o ( a ( g ) ) = o ( y ( t ) ) 。( g ) 。( 忡) ) 2 m 上1 “) ) ) 如n e j 再用( h 5 ) ，故有 q ( c ( t ) ) 10 net i 即c ( t ) 在e 上是相对紧的e t ，由定理2 2 5 ，得到c 是弱相对紧的，由于p + ( h 3 ) 证完 由定理1 中假设存在，根据定理2 2 2 得a 在k 中存在最小不动点。若假设( h 3 ) 成 立，类似定理1 中的证明过程可证得不等式a v osv o 成立，再由定理2 2 3 ，得到a 在 m o ，v o 】中存在最小不动点和最大不动点，推论1 成立 第二节定理2 的证明 本节假定( h 1 ) ，( h 2 ) 7 ，( h 4 ) 7 ，( h 5 ) 成立。 引理4 ：x ( t ) 是问题( 1 ) 7 一( 2 ) 的解的充分必要条件是x ( t ) c ( i ，e ) 是积分方程 z ( t ) = o ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) ) 如0 t 1( 32 1 ) j 0 ft e p 2 ( 1 4 s - t ) ，0 s 1 吲啪卜 戛e p 2 e o - , ) t 薹j 芝s 太。 ii ； r ， 6 1 b a n a d l 空间微分方程周期边值问题解的存在性 证明：若x ( t ) 是积分方程( 32 1 ) 的解，则 z ( e ) = 上! 筹，( 一，：r ( s ) ) d s 十j ( 1e 。p ，2 。( s 一- t 1 ) f ( 。，。( 。) ) d 。 即 ) = 六( e - p 2 tz 。( i + 叩如) ) d s + e - ，2z 1 扩吲邮) d s ) 由定理2 2 6 ，x ( t ) 绝对连续，几乎处处可导，且 z ( t ) = ；两i _ p 2 e - p 2 tz te 鲫删f ( s ，z ( s ) ) d 5 + e 矿f ( ( ) ) 爷e 叩2 。z 1e 幽f ( s s ) ) 幽