（基础数学专业论文）一类具有阻尼项的非线性波动方程的初边值问题.pdfVIP

一类具有阻尼项的非线性波动方程的初边值问题 摘要 本文研究如下的初边值问题： u u 一2 b u 。“+ o 牡= f ( u x ) 。，x ( 0 ，1 ) ，t 0 ， u ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，札。( o ，t ) = u z 。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( z ，0 ) = 妒( z ) ，u t ( x ，0 ) = 妒( z ) ，z o ，1 】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 和方程( 1 ) 的初边值问题 2 b ( o ，t ) = 仳。( 1 ，t ) = 0 ，“。( o ，t ) = 乱。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ，( 4 ) u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，地( z ，0 ) = 妒( z ) ，z 【0 ，l 】，( 5 ) 其中o 0 ，b 0 为常数，妒( z ) 和妒( 霉) 为给定的初值函数，f ( s ) 表示给定的 非线性函数，下标茹和t 分别表示对z 和t 求偏导数方程( 1 ) 是一类非线性 波动方程，它主要描述在具有色散效应的介质中带有粘性耗散的波的传播，也 可以描述一维弹性杆的纵振动问题 本文分三章：第一章为引言；第二章研究初边值问题( 1 ) 一( 3 ) 和初边值问 题( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 的整体广义解和整体古典解的存在性和惟一性；第三章给出问题 ( 1 ) 一( 3 ) 和问题( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 的解爆破的充分条件主要结果如下： 定理1 设f c 2 ( r ) 且存在常数g 使得对任意的8 r ，成立，( s ) c o ， 妒h 4 【o ，1 】，妒h 2 【o ，l 】，且妒( z ) ，妒( 茹) 满足边值条件( 2 ) ，则初边值问题( 1 ) 一( 3 ) 存在惟一的整体广义解 c ( f o ，卅；日4 f o ，1 】) n g l ( i o , 刁；日2 i o ，1 】) n c 2 ( i o , 卅；l 2 1 0 ，1 】) ， ( 6 ) 其中u ( x ，t ) 在广义意义下满足边值条件( 2 ) ，在古典意义下满足初始条件( 3 ) 定理2 若f ( 兄) ，( o ) = 0 ，且存在常数岛使得对任意的s r ，成立 ，( s ) c o ，妒h 4 【o ，1 】，妒h 。【o ，1 】，且妒( z ) ，妒( 卫) 满足边值条件( 2 ) ，则初边值问 i 题( 1 ) 一( 3 ) 存在惟一的整体古典解 札e ( 1 0 ，卅；c 4 【o ，1 ) n 0 1 ( 【o ，e ；c 2 【o ，1 】) n g 2 ( 【0 ，明；g 【0 ，1 1 ) 其中“( 茁，t ) 在古典意义下满足边值条件( 2 ) 和初始条件( 3 ) 定理3 设，c 2 ( r ) 且存在常数g 使得对任意的8 r ，成立，( s ) c o ， 妒h 4 0 ，1 】，妒h 2 o ，1 】，且妒( z ) ，妒( z ) 满足边值条件( 4 ) ，则初边值问题( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 存在惟一的整体广义解 u e c ( 【o ，邪；日4 【o ，1 ) n c l ( 【0 ，刁；日2 【o ，1 】) i g c 2 ( 【0 ，明；l 2 i o ，1 】) ， ( 8 ) 其中乱( z ，t ) 在广义意义下满足边值条件( 4 ) ，在古典意义下满足初始条件( 5 ) 定理4 若f c 4 ( r ) 且存在常数g 使得对任意的s r ，成立，( s ) c o ， ，( o ) = 0 ，0 = 2 ，4 ) ，妒h 7 【o ，1 】，妒h 5 【o ，1 】，满足边值条件( 4 ) ，则初边值问题 ( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 存在惟一的整体古典解 c o o ，t ；c 4 0 ，1 ) a c l ( 【o ，刁；c 2 【o ，1 1 ) n c 2 ( 【0 ，卅；c 【o ，1 1 ) ， ( 9 ) 其中u ( x ，t ) 在古典意义下满足边值条件( 4 ) 和初始条件( 5 ) 定理5 ( 1 ) 设6 = 互1 ，( s ) s k f ( s ) ，f ( s ) 一p l s i 计l ，其中f ( s ) = 0 8 ，( 7 ) d r k 2 ，卢 0 ，几 1 是常数 ( 2 ) 妒日4 【0 ，1 】，妒h 2 【o ，l 】，且 昂= 0 2 + q j i 。1 1 2 + ：鼻f ( ( z ) ) 如 面云面两丽芦2 百孑葡n - i 丙4 o ，z 1 妒。) c o s 7 f x 如= a 。 o ， ( 2 ) ，( s ) 俨( r ) 是一个凸的偶函数，且满足 ( 3 ) 积分 收敛，且b 0 u ( 0 ，t ) = “( 1 ，) = 0 ，u 。( o ，t ) = u 。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 u ( x ，0 ) = 妒( 茁) ，u t ( z ，0 ) = 妒( z ) ，z 【0 ，1 】 a n dt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ee q u a t i o n ( 1 ) ( o ，t ) = u z ( 1 ，t ) = 0 ，批。( o ，t ) = “。( 1 ，t ) = 0 ，t 20 u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，t “( z ，0 ) = 妒( g ) ，z 【0 ，1 】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) w h e r e 口 0 ，b 0a r ec o n s t a n t s ，妒( z ) a n d 妒( z ) a r eg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n s ，( s ) i sag i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n a n ds u b s c r i p t s $ a n dti n d i c a t et h ep a r t i a ld e r i v a t i v ew i t h r e s p e c tt oza n dt ，r e s p e c t i v e l y e q u a t i o n so ft y p eo f ( 1 ) a r eac l a s so fn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n sd e s c r i b i n gt h ep r o p a g a t i o no fl o n gw a v e sw i t ht h ev i s c o s i t yi nt h em e d i u mw i t h t h ed i s p e r s i v ee f f e c t i tc a na l s ob eg o v e r n i n gt h ep r o b l e mo ft h el o n g i t u d i n a lv i b r a t i o no f t h e1 - de l a s t i cr o d t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so ft h eg l o b a lg e n e r a l i z e d s o l u t i o na n dt h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nf o rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f ( 1 ) 一( 3 ) a n d ( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ew i l lg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o w - u po f t h es o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) a n dt h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) t h em a i nr e s u l t sa r e t h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a t ，c 2 ( 冗) ，a n dt h e r ei sac o n s t a n tc os u c ht h a t ，( s ) g bf o ra n ys r ，妒h 4 【o ，l 】，妒h 2 【o ，1 】，a n d 妒( z ) ，妒( z ) s a t i s f yt h eb o u n d a r y l v c o n d i t i o n s ( 2 ) t h e nt h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) h a s au n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z e e l8 0 l u i o n 札c ( f 0 ，刁；h a 【o ，1 ) a c l ( t o ，刁；日2 【o ，1 】) n c 2 ( t o ，t ；l 2 0 ，1 j ) ， ( 6 ) w h e r eu ( z ，) s a t i s f i e st h eb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s ( 2 ) i nt h eg e n e r a l i z e ds e 唧，a n d i s a t i s f i e 8t h ei n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n s ( 3 ) i nt h ec l a s s i c a ls e n s e t h e 。r e m2s u p p 。s et h a t ，c 4 ( r ) ，”( o ) = 0 ，a n dt h e r e i sac o n s t a n tc o8 u c h t h a t ，( s ) ( 五f o ra n y8 r ，妒h t o ，l 】，妒h s 0 ，1 】，a n d 妒( z ) ，妒( z ) s a 1 s f y t h e b o u n d a r yc o n d i t i 。瑚( 2 ) t h e nt h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) h a sa u n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n “c ( 【o 卅；g 4 【o ，n c l ( i o , t l ；c 2 【o ，1 1 ) n c 2 ( i o ，习；c 【o ，1 】) ， ( 7 ) w h e r e ( z ，) s a t i s f i e st h e i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i 。1 1 8 ( 2 ) a n d ( 3 ) i nt h ec l a s s i c a l 蚴8 。 t h e o r e m3s u p p o t h a t ，俨( r ) ，a n d t h e r ei sac o n s t a n tg s u c ht h a t ，( s ) 2 c bf o ra i l ys r ，i p h 4 0 ，1 】，妒h 2 【0 ，1 】，a n d 妒( z ) ，妒( z ) s a t i s f yt h eb o u n d a l y c o n d m o 璐( 4 1 t h e nt h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) h a sau n i q u eg l o b a lg e n e r a l i z 8 d s o l u 。i o n 乱c ( 【0 ，刀；h t m 】) n c l ( 【o ，卅；日2 i 0 ，1 】) n c 2 ( 1 0 , t ；l 2 0 ，1 】) ， ( 8 ) w h e r e “陆，t ) s a t i s f i e st h eb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s ( 4 ) i nt h eg e n e r a l i z e ds e n s e ，a n d 1 s a 上j s 矗e st h ei n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n s ( 5 ) i nt h ec l a s s i c a ls e n s e t h e o r e m4s u p p o s et h a tf a 4 ( r ) ，a n d t h e r ei sac o n s t a n tc os u c ht h a tf 7 ( s ) 岛 f o ra n ys r ，( o ) ：0 ，a = 2 ，4 ) ，妒h z o ，1 】，妒口5 【o ，1 】，a n d 妒( z ) ，1 ；f ，( z ) 8 a 1 8 f y t h eb 。u n d a r yo o n d i t i o 璐( 4 ) t h e nt h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) h a sau n i q u eg l o b a lc l 嬲8 i 。a l s o l u t i o n “e ( 【o ，明；【0 ，1 】) n c d ( 【0 ，刁；俨【o ，1 1 ) n c 2 ( 1 0 ，印；c 【o ，1 】) ， ( 9 ) w h e r eu ( z ，t ) s a t i s 缸st h ei n i t i a lb o u n d a r y v a l u ec o n d i t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) i nt h ec 1 8 8 8 i 。a l 辩n v ( 1 ) 6 = i 1 ，邝) ss k f ( s ) ，f ( 8 ) 一p i s i n + l , w h e r ef ( s ) = rm ) d l k 2 ，p 0 ，n 1 a r ec o n s t a n t s ( 2 ) 妒h 4 o ，1 1 ，妒h 2 【o ，1 】，a n d 耻”训| 2 托“一1 2 二磐可以功m z 面云可瓦两两2 百孑平n - - 1 声4 o ，吾j ( 1 妒( z ) c o s 7 r x 如= a z o ， ( 2 ) f ( 8 ) g 2 ( r ) i sa ne v e na n dc o n v e xf u n c t i o ns a t i s f y i n g ，( o ) = 0 ，f ( a 1 ) 一a t r 2 a 1 0 ， ( 3 ) i n t e r g r a l 8 一z 研。cf a l + 厶z 砌s ) - - o l a 2 8 ) d s r 匆 c o n v e r g e s ，a n d 舀 0 ， u ( o ，t ) = u ( 1 ，) = 0 ，缸。( o ，) = “。( 1 ，t ) = 0 ，t 20 ， u ( x ，0 ) = 妒( z ) ，让t ( z ，0 ) = 妒( z ) ，z 【0 ，1 】 和方程( 1 ) 的初边值问题 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) “。( o ，t ) = ( 1 ，t ) = 0 ，。( o ，t ) = 。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 1 4 ) u ( x ，0 ) = 妒( z ) ，u t ( x ，0 ) = 妒( z ) ，z 【0 ，1 】， ( 1 5 ) 其中n 0 ，b 0 为常数，u ( x ，t ) 是未知函数，下标z 和t 分别表示对z 和t 求 偏导数，( s ) 表示给定的非线性函数，妒( z ) 和妒( z ) 是定义在【0 ，1 】上的已知函 数 方程( 1 1 ) 与许多方程有紧密的联系，众所周知s c o t tr u s s e l l 1 】在1 8 3 4 年发 现了一种孤波，j b o u s s i n e s q 2 1 首次科学地解释了这种孤波的存在性，并用一 个方程来描述这种浅水波的传播，这个方程就是 “+ n u 。托。= p ( u 2 ) 。+ u x 。， ( 1 6 ) 其中u ( x ，t ) 表示流体自由表面的高度，口，p r 1 是常数 文献【3 】给出了方程( 1 6 ) 满足的守恒律和一孤子解文献【4 】讨论了方程 ( 1 6 ) 的精确解文献【5 】 【6 】研究了b a n a c h 空间中方程( 1 6 ) 的广义形式 “t t + q 。= ( ，( “) ) 。 i - 。 ( 1 7 ) 的初值问题和初边值问题整体广义解的不存在性文献【7 】，【8 】采用压缩映射原 理证明了方程( 1 7 ) 的初值问题解的存在性文献【5 】， 9 】给出了方程( 1 7 ) 的解 在有限时刻爆破的充分条件文献【1 0 】应用变分法，进一步给出了方程( 1 7 ) 的 解关于基态能量爆破的充分条件 1 而在实际问题中，粘性耗散起着重要的作用，因此研究如下的方程 撕一2 她删+ 口。= p ( ”2 ) 。+ “。( 1 8 ) 有着重要的意义，其中a ，b 0 ，p 0 是常数方程( 1 8 ) 左端的第二项描述波 在传播过程中的耗散，这是合理的结构阻尼呲文献【1 2 】，【1 3 】通过运用“振幅 条件”一一o b 2 得到了方程( 1 8 ) 的广义形式 u t t b ( b u t ) + a ( a u ) + g ( ) 一0( 1 9 ) 的c a u c h y 问题解的衰减估计，其中a ，b 是正的可交换的算子，g ( 牡) 是能量型的 非线性项文献【1 4 】在周期型区域上研究了具弱阻尼h 撕和线性反馈如( u 一) 的( 1 8 ) 型的方程 2 瓴+ ( “2 + 地。) 。+ k z u t + 如( 一m ) 一她口= o( 1 , 1 0 ) 的初边值问题作者应用能量方法证明了方程( 1 1 0 ) 的整体适定性文献【1 5 】 应用谱论和扰动理论的方法，构造出方程( 1 9 ) 的小初值问题的空间周期解， 并得到了解长时间的渐近行为 文献【1 6 】在对弹塑性微观结构模型进行弱非线性分析时，研究了一维弹塑 性杆的纵振动问题和二维反平面的剪切问题，推导出运动的位移函数u ( x ，t ) 满 足如下形式的非线性波动方程 钍“+ n 乱。= 卢( “：) 。， ( 1 1 1 ) 其中q o ，p 0 为任意实数，并进一步研究了方程( 1 1 1 ) 的特殊解，特殊解的 不稳定性以及常应变解的不稳定性，并指出方程( 1 1 1 ) 可以化为方程( 1 6 ) 文献【17 】证明了较( 1 1 1 ) 更广泛的方程 钍托+ u 。托= 盯( “。k + ，( z ，t ) ，z ( 0 ，1 ) ，t 0 ( 1 1 2 ) 具有几种边界条件的定解问题应用压缩映射原理，证明了整体广义解和整体 古典解的存在惟一性，并给出整体广义解和整体古典解不存在的充分条件进 2 而，文献【1 8 】应用位势井方法，证明了方程( 1 1 2 ) 的初边值问题 u ( 0 ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，( o ，t ) = u x ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，啦( z ，0 ) = 砂( z ) ，z 1 0 ，1 1 ， ( l 1 3 ) ( 1 1 4 ) 在不同假设下存在整体弱解，惟一整体广义解和惟一整体古典解 由于方程( 1 1 1 ) 是描述着在具有色散效应的介质中波的传播的非线性方 程因此粘性的修正效应如何是此类问题所需回答的基本问题之一，故研究 具有粘性阻尼项的非线性波动方程 z 协一2 6 “嚣t + q m 描黜= p ( “：k ，z ( 0 ，1 ) ，t 0 ，( 1 1 5 ) 是有意义的 文献【1 9 】利用推广的基于谱论和扰动理论的数学方法，解决了方程( 1 1 5 ) 的初值问题，得到了整体光滑解通过将( 1 1 5 ) 的强阻尼项改用弱阻尼项来代 替，【2 0 】证明了方程 u t t + “$ z + a u t = o ( u $ k( 1 1 6 ) 的初边值问题解的整体存在性，渐近性以及给出解爆破的充分条件文献【2 1 研究方程 u 托一2 b u 。t + q t 。黜。z = p 盯( “。k k 2 u( 1 1 7 ) 的c a u c h y 问题，利用f o u r i e r 变换证明整体解的存在与惟一性，并运用凸性引 理给出了解爆破的充分条件。 本文研究方程( 1 1 ) 的初边值问题，显然方程( 1 1 5 ) 是方程( 1 1 ) 的特殊情 形将在第二章中，应用g a l e r k i n 方法证明初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和初边值问题 ( 1 1 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 的整体广义解和整体古典解的存在性和惟一性；在第三章中，应 用文献【2 2 1 ，【2 3 】的方法，给出初边值问题( 1 1 ) - ( 1 3 ) 和初边值问题( 1 1 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 的解爆破的充分条件 在本文中分别用”0 ，i i l , ( 1 p o o ) 和i i h m ( m 为整数) 表示空间 l 2 【o ，1 1 ，护 0 ，1 】和空间h ”【o ，1 】的范数 3 第二章问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和( 1 1 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 整体解的存在惟一性 本章用g a l e r k i n 方法和紧性原理证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和问题( 1 1 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 整体广义解和整体古典解的存在惟性首先我们研究初边值问题( i i ) 一( 1 3 ) 2 1 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 整体广义解的存在惟一性 令愀( z ) ) 是由如下常微分方程特征值问题 矿+ a 管= o ，茹( o ，1 ) ， ( 2 1 ) y ( o ) = 弘( 1 ) = 0 对应于特征值( i = l ，2 ，) 的特征函数构成的l 2 0 ，1 】空间的一标准正交基， 其中，_ 导 设问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的g a l e r k i n 近似解为 n u n ( x ，t ) 一懈( ) 鼽( z ) ， ( 2 2 ) i = l 其中似；( ) 是待定系数，为自然数假设初值函数妒( z ) 和妒( z ) 可表为 妒 ) = m 玑 ) ，妒如) = 耽玑 ) ， ( 2 3 ) i = 1i = 1 其中地和地0 = l ，2 ，) 是常数将近似解u ( z ，t ) 代入方程( 1 1 ) ，两边同乘 以挑( z ) 并在( 0 ，1 ) 上积分，可得如下方程 ( u , n g 一2 b u 删+ o “。，乳) = ( f ( u n x ) 。，y s ) 8 = 1 ，2 ，n ， ( 2 4 ) 其中( ，) 为空间l 2 0 ，1 】的内积 将近似解牡( ) 和初值函数的近似 妒_ ( z ) = 胁玑( z ) ， i = l 代入方程( 1 1 ) 和初值条件( 1 3 ) 可得 c n ( x ) = 地玑扛) f = 1 。( o ) = 地，5 n 。( o ) = ，8 = 1 ，2 ， ( 2 5 ) 4 其中h 。( t ) = 瓦d 。( ) 为了证明初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 整体广义解的存在性，下面对近似解作一 系列估计 引理2 x 2 4 】存在常数s 0 和c ( ) 0 ，使得 l i d p h 2 c ( ) 0 妒lj 2 + 5 i i 珑妒| | 2 ， k l ， 其中眈：昙 引理2 2 设，c 1 ( r ) 且存在常数g 使得对任意的8 r ，成立，( 8 ) c o ， 妒h 2 0 ，i j ，妒铲f 0 ，1 j ，且妒( z ) 和妒( z ) 满足边界条件( 1 2 ) ，则对任意的，初 值问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 有整体古典解 。c 2 【o ，刁0 = 1 ，2 ，) ，且有下面的估计 | “( ，0 i l + 0 u t ( ，t ) i 1 2 c i ( t ) ，t 【o ，卅，( 2 6 ) 其中常数c 1 ( t ) 及下面的诸a ( t ) 0 = 2 ，3 ，) 是仅依赖于t 的常数 证明令f o ( s ) = ，( 8 ) 一k o s 一，( o ) ，k o = r a i n c o ，o ) ( o ) ，贝 f ( o ) 一0 ，尼t 、8 ) = ，( s ) 一20 因此，0 ( s ) 是单调增函数，故 f ( s ) = r 蒯打o ， 则方程( 1 1 ) 变为 u i t 一2 b u 科+ a 钍z 瑚一k o u = z = ，0 ( “$ k ，( 2 7 ) 则( 2 4 ) 与下面的方程组等价 ( u n i t 一2 乩_ t + n “z 一u n 。，y s ) = ( f o ( u 。k ，舶) ，8 = 1 ，2 ，n ( 2 8 ) 5 由引理2 1 知 。( 。，t ) 1 1 2 c - i i u ( 。删2 一未帆一( 。驯2 ， 故 k o l l u n 。( ，t ) 1 1 2 c 1 k o l l “( ，t ) l l 。一昙i l u 。( ：t ) l l z ( 2 9 ) 在等式( 2 8 ) 两端同时乘以2 7 n 戚( ) ，对8 = 1 ，2 ，n 求和，在等式两端同时加 上( 1 一g k o ) ( n ，2 u n t ) ，在【0 ，1 上积分和对z 分都积分，得 爰m t ( ，圳1 2 + ( 1 一c l k o ) l l 让( - ，) l l 。+ 酬u 胁“t ) 1 1 2 + k o i i 牡越，t ) l i 2 + 2 0 1f ( 钍( z ，t ) ) 叫+ 4 b f l - 舸( ，胛 ( 1 一a k o ) ( u ，2 u n t ) ( 2 1 0 ) 因此( 2 1 0 ) 在【0 ，t l 上积分可知 r u n t ( ，t ) 1 1 2 + ( 1 一c x k o ) f i , , 2 v ( ，) 1 1 2 + a l l u n 。( ，t ) 酽+ k o i l u n 。( ，t ) 1 1 2 + 2 j ( 1f ( 钍_ 。 ，t ) ) d z + 4 bf o i i “。( ，丁) 0 2 d 丁 s ( 1 一c , k o ) ( 1 l u n ( ，r ) 1 1 2 + l l u n g ( ，r ) 1 1 2 ) d t + ( 1 一c , k o ) i l 妒i 1 2 + l i 妒l | 2 + 口i i 妒。1 1 2 + k o l l 妒。1 1 2 + 2ff ( 妒。( z ) ) d z 由上式及( 2 9 ) 有 i u n t ( ，) i | 2 + l i 珏( - ，驯1 2 + 刳u 。( ，t ) | | 2 + 4 b z i i u 盯( ，下) 1 1 2 打+ 2 0 1 f ( “。( z ，) ) 如 ( 1 一g ) r ( 忆( ，列1 2 + i i 札晰( ，刮j 2 ) 打+ ( 1 一c l k o ) l l 妒1 1 2 + 1 1 妒1 1 2 + a i l 。i 1 2 + k o i l v 。1 1 2 + 2 0 1f ( ( z ) ) 如 利用g r o n w a l l 不等式推出 i i u t ( ，t ) e 1 2 + l t u n ( ，t ) i l 刍。 q e ( 1 - c l k o ) t ( 1 | 妒i | 备z + i i 妒1 1 2 + 2 0 1f ( ( z ，) ) 如) ，【o ，胡 ( 2 1 1 ) 由( 2 1 1 ) 可得估计( 2 6 ) 6 下面应用l e r a y s h a u d e r 不动点原理证明初值问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 存在解7 n 。 c 2 【o ，刀，s = 1 ，2 ， 令e 表示基本函数空间c o ，卅，考虑初值问题 彳。0 ) + 2 6 a 。( t ) + a a ：，y b ( t ) = 日( ，( 廿。) 。，蜘) ， ( 2 1 2 ) ，。( o ) = p ( 妒，舶) ，。( o ) = 口( 妒，蜘) ，8 = i ，2 ，n ，( 2 1 3 ) 其中0 0 1 ，v n ( x ，t ) = 如t 0 ) 执( z ) ，6 n i ( t ) e 对于任意的向量值函数6 ( t ) = ( 6 n 1 ( t ) ，如。( 句，如( t ) ) e ，由线性常微分 方程的理论，初值问题( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 有惟一解 7 ( f ) = ( 7 n l ( t ) ，r 2 ( t ) ，- ，似( ) ) c 2 【o ，卅= zce 这样我们就定义了带参数0 ( 0 0 1 ) 的基本函数空间e 到自身的映射 l o ：e _ e 令fce 是任一有界子集，对于口f 和0 0 1 ，如l ，有饥( t ) = l o 。v ，仇( t ) = l o ：郇则 u 0 ) = ( u 1 0 ) ，“，2 0 ) ，u _ ( ) ) = 1 1 ( ) 一，y 2 ( t ) 满足下列常微分方程组的初值问题 o “) n 。( ) + 2 b a 。o ，。0 ) + a a ：w n 。( t ) = ( 0 1 0 2 ) ( f ( v n 。) 。，蜘) ， ( 2 1 4 ) u 。( o ) = ( 0 1 一如) ( 妒，铀) ，o _ 。( o ) = ( 0 1 一如) ( 妒，g b ) ，8 = i ，2 ，n ，( 2 1 5 ) 等式( 2 1 4 ) 两端同乘以知 r 。( ) ，在【o ，1 1 上积分，并对s = 1 ，2 ，n 求和有 ( o ( t ) + n a 2 。“，2 。( t ) ) ( 0 1 一如) 2 ( 如，玑) 2 + q 增( 口1 一如) 2 ( 彻，玑) 2 + 耋1 3 叭ir妇灯)dr(01-82)薹z，(kwns(r)drdr-b 2 w n s ( ( 2 1 6 ) + 三1 3 叭幢妇s ( 7 - ( ) 至上，( k 7 利用y n z 在【0 ，卅1 0 ，1 】的有界性和g r o n w a l l 不等式即得 ( c ：，j ：r 。o ) + 口a 。2 w _ 2 。( ) ) g i p l 一0 2 1 2 ，t 【o ，明， 7 即 1 1 7 l 一1 j i l c ，i o ，卅= 1 1 1 i n 。一蚀。0 c ，【o ，卅c 3 0 1 一如i ， ( 2 1 7 ) 其中陋i o ，明表示空间c 1 【0 ，卅的范数，g 是不依赖于0 的常数 即说明对于任意的有界子集fce ，映射l 口：e e 是一致连续的 对于固定的口，0s0 1 ，设 ( t ) = l o ( 6 ) ，( t ) = l o ( 5 ) ，6 ( ) ，5 ( ) c o ，卅， 则7 ( t ) = ( t ) 一 ( t ) 满足下列常微分方程组的初值问题 协，( t ) + 2 b x 。佃。( f ) + o a ：，y 。( t ) = 口( ，( 钉。k 一，( 讯。) 。，玑) ， ( 2 1 8 ) 似。( o ) = 0 ，协。( o ) = 0 ，s = 1 ，2 ， ( 2 1 9 ) 其中 v n ( x ，t ) = “i ( t ) 鼽( z ) ，嘶( z ，t ) = ( t ) 挑( z ) 将( 2 1 8 ) 式两端同乘以。( t ) ，在【0 ，司上积分，并对s = 1 ，2 ，求和，利 用分部积分和中值定理，我们有 薹( 碡以) + 。a ：碡以) ) + t4b薹a。，y-烈24b 功 ( 碡。( t ) + o a ：碡，( t ) ) + a 。，y 。( ) s = l8 = l 矧j ( 。肌，( 蛳。) 一他。) ) m ， d x d t 2 口z 。肌，( ) 一f ( v n 。) ) “n z ， d x d t - 2 0 f jf 0 1i f ( 讯。) ( 一面) “n x ， d x d v ( 2 2 0 ) 其中珏取值介于蛳与嘶之间 由可( 2 2 0 ) 得 n，tn 蚤( + a a s 2 7 m 2s ) q z 三( 饥+ 。a ：谨s ) 打+ g 舻一5 。御， 利用g r o n w a l l 不等式，于是 i | 一l l c - 1 0 ，卅c b ( t ) | | 6 5j l c l o , 卅， ( 2 2 1 ) ( 2 2 1 ) 表明对于任意固定的口，l 口：e e 是连续的 因为z = c 2 o ，t i c 0 ，t i 是紧嵌入，所以映射l b ：e e 对于固定的 0 p s l 是紧变换 当0 = 0 时，初值问题( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 有惟一解7 = 0 从估计( 2 6 ) 知，对于初值问题( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 所有可能解，或者映射岛：e e 的所有可能不动点，有| 1 7 ( t ) i l c q o , t l k ，其中k 是不依赖于0 的常数根据 l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，初值问题( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 至少存在一解7 ( t ) c o ，t i ， 取0 = 1 时，初值问题( 2 4 ) ，( 2 5 ) 存在解，y ( t ) c 1 【o ，t i 根据常微分方程理论可 知t , - ( t ) c 2 【o ，明证毕 引理2 3 设引理2 2 的条件成立，若f c 2 ( 冗) ，妒h 4 0 ，1 1 ，砂h 2 【o ，1 1 ，则 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的近似解满足下列估计： l l u ( ，t ) l l 备t + l l u t ( ，t ) l l l , ：+ 0 “j v “( ，t ) 1 1 2 c t ( t ) ，0 t r( 2 2 2 ) 证明等式( 2 4 ) 两端同乘以2 a ： 甜( t ) ，对s = 1 ，2 ，求和，对z 分部积 分，利用估计( 2 6 ) 式和利用h 2 【o ，1 】连续嵌入到c 1 【o ，1 】，我们有 爰( i | u 。t ( ，z ) l | 2 + n 1 i u t ( ，t ) i 1 2 ) + 4 b l l 肌s t ( ，t ) 1 1 2 = 2 f 0 1 ，( “。k “以d x = - 2f 0 1 ，( 。) 。仳。d z c 8 1 1 f ( u 。) 。1 1 2 + b l l u n t ( ，t ) 1 1 2 c s q l ”( “。) 乱斋。1 1 2 + 0 ，7 ( 让。) u 。1 1 2 ) + t l l u n x s t ( ，) 1 1 2 于是 爰( 1 i 砘( ，t ) | 1 2 + a i l u 一( ，t ) 昀g ( t ) ( 1 l z ( ，t ) i i l t + 1 1 u 舭。( ，t ) l i 2 ) ( 2 2 3 ) 利用g a g l i a r d o n i r e n b e r g 内插不等式【2 5 l ，导出 l “。( ，t ) l l l , c 1 0 i | u 。( ，t ) l “。( ，t ) 幢1 。 | | 乱。( ，t ) l i 2 c 1 ，i i u ( ，t ) | i ；1 | i “( ，t ) i l 。， 9 故 知2 t ( ，w + 。o 一( ，w 曼a 。( t ) ( t ) 1 1 2 + l i “( ，t ) l l 备t + i l u _ 。( ，t ) | | 2 + i i 。( ，) l l 刍：】 对上式积分，利用g r o n w a u 不等式有 l u n 妒t ( ，t ) 1 1 2 + i i 一( ，t ) 1 1 2 e c , 3 ( t ) t 1 1 妒1 1 知+ i i 妒1 1 备。+ c 1 4 ( t ) 】 茎g 5 ( t ) ( 0 妒i l 备t + l i 妒1 1 备。+ 1 ) ，t 【0 ，卅( 2 2 4 ) 等式( 2 4 ) 两端同乘以”。“( ) ，对8 = 1 ，2 ，求和，并利用c a u c h y 不等 式及估计( 2 6 ) 与( 2 2 4 ) 和s o b o l e v 嵌入定理推出 i i “甜( ，t ) 1 1 2 c t d t ) ，0 t z( 2 2 5 ) 定理得证 定理2 1 设，俨( r ) 且存在常数g 使得对任意的s r ，成立，( s ) c o ，妒日4 【o ，l 】，妒h 2 【o ，1 】，且妒( z ) ，妒( z ) 满足边值条件( 1 2 ) ，则初边值问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在惟一的整体广义解 u c ( 【o ，明；h 4 0 ，1 1 ) n c l ( 【o ，t l ；h 2 【0 ，l 】) i q c 2 ( 【0 ，刁；l 2 【o ，1 1 ) ， ( 2 2 6 ) 其中u ( x ，t ) 在广义意义下满足边值条件( 1 2 ) ，在古典意义下满足初始条件( 1 3 ) 证明由估计( 2 2 2 ) 可知 a n c ( 【o ，刁；日4 【o ，1 】) ， m e ( 【o ，t i ；h 2 f o ，1 】) ， u n “c ( 【o ，刁；l 2 【o ，1 】) 利用s o b o l e v 嵌入定理有 u n z c ( 【o ，卅【0 ，1 】) ，0 s s3 ， u n z t c ( 【o ，明【0 ，l 】) ，0 0 ， w ( o ，t ) = w ( 1 ，t ) = 0 ，埘。( o ，t ) = 饥。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， w ( x ，0 ) = 0 ，w t ( x ，0 ) = 0 ，z 【o ，1 】 上述初边值问题中的方程两端同乘以2 w 。，在【0 ，1 】上积分和两端各加上 2l l 蜘z w x t d x 得 j o 。1 t t i u t 出一4 a j ( 1 耽n 叫刃x + 2 a f 0 1 。叫。出+ z 0 1 魄。d z = 2 j c 【，( t 1 z k 一，( 札缸) z 】叫t d x + 2 o 叫z 叫科如， 对z 分部积分，利用h s l d e r 不等式和c a u c h y 不等式，我们有 丢( | j 毗( ，驯1 2 + o 地( 埘胪+ 口j 。瑚酽) + 2 圳t ( 棚胪 2 2 1 【，7 他) 】。毗如+ 2 0 1 饥t 如 2