（基础数学专业论文）有限复杂度的koszul代数.pdf

摘要 摘要 引入复杂度是为了研究群的表示，它也是研究遗传代数表示理论的新方法 利用复杂度还可以研究群代数的a rq u i v e r 结构有限复杂度的自内射k 。s z u f 代数是很有重要的一类代数，在这类代数的稳定范畴和凝聚层的导出范畴之间有 很好的关系 1 9 7 0 年，p r i d d y 将k d s z 札2 代数的概念引入到代数的研究中 r o l a n d b e r g e r 将k z 越代数推广到了一k d s 2 u j 代数，它在非交换几何中起着很重 要的作用利用整体维数为3 的0 ，1 次生成的a r t i n s c l l e l t e r 正则代数，人们 给出了t k o s z “2 代数的分类我们知道k 。s 抛2 代数的遗传代数， k 。s z 乱： 代数的张量积仍是k o s # 让2 代数本文第二章在此基础上求出了k d s z u 2 代数的 张量积的复杂度第三章研究了k o s z u 2 遗传代数上的o s z “单列模并证明了 k 。s z u f 遗传代数上的k z “2 模m 的d s 。州合成列在同构意义下是唯一的 关键词复杂度；k d s z 训模；d s z u f 代数 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ee o m p l e i t yw a si n t r o d u c e dt os t u d yt h eg r o u pr e p r e s e n t a t i o n s i ti sa l s o an e wa p p r o a c ho ft h er e p r e s e n t a 上i o nt h e o r yo ft h eh e r e d i t a l r y 址g e b r a s u s i n g c o m p l e x i t 弘w ec a n 越s os t u d yt h es t r u c t u r eo ft h ea rq u i v e ro fag r o u pa l g e - b r a t h es e l 矗n j e c t i v ek o s z u la l g e b r ao ff i n i t ec o m p l e ) i t yi sa ni m p o r t a n tc l a s so f a l g e b r a s h e r ei ss o m en i c er e l a t i o nb e t 陀e nt h es t a b l ec a t e g o r yo fs u c h 以g e b r a s w i t ht h ed e r i v e dc a t e g o r yo fc o h e r e n t8 h e a e s k o s z l l la l g e b r aw a si n t r o d u c e db yp r i d d yi n1 9 7 0 r o l a n db e r g e rg e n e r a l i z e d i tt ot k o s z u lm g e b r a s 1 tp “y sa ni m p o r t a n tr 0 1 ei nn o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r 矿t h r o u g ho ，1 一g e n e r a t e da r t i n s c h e l t e rr e g u l a rm g e b r a so fg l o b a ld i m e n s i o n 3 ，o n eg a v ea ni m p o r t 8 n tc l a s 8 m c a t i o no ft k o s z u la l g e b r a s i ti sw e uk n o w nt h a t t h eh e r e d i t a 盯出g e b r ao fk 0 8 z u la l g e b r aa n dt h et e n s o rp r o d u c to fk o s z u l 扯 g e b r a s 盯ek o s z u la k e b r a s i nc l l a p t e r2 ，w ec o m p u t et h ec o m p l e x i t yo ft h e t e n s o rp r o d u c to fk o s z u la l g e b r a s ；i nc h a p t e r3 ，、 r es t u d yt h ek o s z u lu n i s e r i a l m 。d l l l eo nk o s z u lh e r e d i t a r y 出g e b r a ，m o r e o v e rw ep r o v et h a tt h ek o s z u lc o m p o s i t i o ns e r i e so fk o s z u lm o d u l so nk o s z u ih e r e d i t a r ya i g e b r ai su n i q u eu pt o l s o m o r d n l s m k e y w o r d sc o m p l e x i t y ；k o s z u li n o d u l e 8 ；k o s z u la l g e b r a s i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名日期：垫! ：蛰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：墟 导师签名：狴i 鱼垫日期：垫! 生皇：2 第1 章绪论 第l 章绪论 1 1 概念与记号 在本文中我们总假定是代数闭域 我们用”z 口d a 表示由所有有限生成的a 模构成的范畴 r 瓤表示左戽模 范畴，甄r 表示右搏模范畴 令a 是有限维代数m 是任意a - 模一尸( m ) 一一一p ( 1 ( m ) 一 p ( o ) ( m ) 一m o 是m 的极小投射分解 定义1 1 1m 的复杂度c k ( m ) = m i n 托i j osc d m p ( 。) ( m ) a 4 ， 对几乎所有的t 定义1 1 2a 的复杂度0 k = s 1 1 p c ( m ) l m m 。趴) 若瓯 o 。，称a 复杂度有限若a 不是复杂度有限，称a 复杂度无限， 记瓯= 。 引入复杂度的定义是为丁研究群的表示，在【4 0 1 中，模的复杂度是用来研究 群代数的a rg “而e r 结构 1 2 背景和主要结果 近年来，在研究自内射。s “f 代数方面有了一些新的进展卧在 3 中， 利用斜群代数的方法给出了复杂度是2 的自内射代数的一些理论在这些方法之 中，外代数起到了很重要的作用在f 1 5 ，1 8 】中，代数闭域上外代数a 1 的复 杂度是1 的。s z c 模结构已经得到了研究 在【23 中，郭晋云引入了自内射k 。s “：代数的上。e w 口矩阵来研究自内射 在1 2 3 】中，郭晋云引入了自内射。s z 越代数的o e 口矩阵来研究自内射 北京工业大学理学硕士学位论文 。s z 以代数的对偶在 3 】中，郭晋云对根方为o 的自内射k o s z u ! 代数进行了 分类其主要结果为： 令a 为代数闭域上根方为0 的自内射k o s z 越代数，则 ( 1 ) a 是有限表示型c a = l ； ( 2 ) a 是t m e 表示型c a o 。事实上，这种情形c a = 2 ； ( 3 ) a 是训1 2 d 表示型甘c a = o 。 同调代数初成于2 0 世纪4 0 年代中期，由著名数学家s e i l e n b e r g 与s m a c l a n e 等人的一系列重要工作奠基而成的一门学科同调代数的兴起对表示论、群论、 李代数、交换代数及代数几何的研究起了非常重要的作用特别是，2 0 世纪5 0 年代末，数学家们运用同调代数的理论方法证明了著名的k r u l l 猜想( 任一正 则局部环都是单一分解环) 后，同调代数的研究受到国内外数学家的重视事实 上，同调方法已经渗透到数学的各个分支，成为解决数学问题的有效工具特别 是，同调代数为代数结构的研究注入了强大的活力一方面，它给出了新的研究 方法，解决了一些经典方法无法解决的经典问题；另一方面它开拓了一些新的研 究领域 k 。s z 乜f 代数于1 9 7 0 年由p r i d d y 【1 9 1 引入，它主要的研究对象是分次代数 r d l 8 n db e r g e r 将k o s 。u f 代数推广到了t 一彤。s z 乜2 代数，它在非交换几何中起 着很重要的作用利用整体维数为3 的o ，1 次生成的a r t i n - s c h e h e r 正则代数， 人们给出了t 一d s z u f 代数的分类章璞【2 4 ，2 5 ，2 q 将这种代数推广到了非连通的 情形 1 9 9 4 年，e g r e e n 和r m 甜t i n 匦v i l l a 在【7 】中证明了k o s z “代数的 第1 章绪论 y o n e d o 代数是k o s z u ：代数并且他们于1 9 9 8 年在【1 2 中证明了k d s z “2 代数 的张量积是0 8 z u l 代数，k o s z u 2 代数的反代数是k o s z 们代数其主要结果 为： 令尼是域a 7 = r 7 j 和a ，= 七r ”，”是分次一代数，路代数具有通常 路长分次设，c 2 ，“cl ”2 ，其中，胪分剐是r 7 ，r 中由箭生成的理 想令m 和分别是a 和a “上有限生成的分次k d s 彳u 2 模则mo 是 k 。s z u fa 7 k a “一模，如果a 7 和a ，是k o s z 讲代数，则a 7 ”是k d s z u 2 代 数 本文的第三章就是在这个基础上考虑k o s z 训代数的张量积的复杂度 对于如何判断某些具体的代数是否为k d s z 讲代数， c l 6 f w a u 于1 9 8 6 年 在【9 】中给出了下面的定理： 分次代数a 是。s z u 2 代数错a ( z ) r ( 一z ) = 1 其中a ( z ) 为分次代数 a 的日t f 6 e n 级数，户( z ) 为a 的p 嘶n 艏级数 本文的第三章在这个基础上举出了一些是k 。s z 钍l 代数和非d s 删f 代数的 例子 对于0 8 抛f 代数a ，有性质；a ( z ) a2 ( 一z ) = 1 但对于给定的二次代数a ， 如果a ( z ) 川( 一z ) = l ，这是否意味着a 为k o s 肌2 代数呢? 答案是否定的 1 9 9 5 年，l e p o s i t 8 e l s k i i l 3 9 1 和j 一e r o o s 【2 0 】各自分别独立的给出了反例 p o s i t s e l s k i i 的反例是有限维的，r o o s 的反例是交换的 本文是按如下方式组织的第1 章给出了本文所用的记号、概念及研究背 景和主要结论；在第2 章，给出了复杂度的性质定理；在第3 章研究了k 。5 础! 一3 一 北京工业大学理学硕士学位论文 代数的张量积的复杂度，。s z u f 遗传代数上的k 。s 。“模，其主要概念与结论 为；定理3 2 1 0 ，推论3 2 1 l ，定义3 4 1 ，定义3 。4 2 ，定义3 4 3 ，定理3 4 4 ，定理 3 4 5 和定理3 4 8 定理3 ，2 1 0 令七是域a 7 = 七r ，和a ”= a r ”，”是分次一代数，路代 数具有通常路长分次设j c 2 ，j ”c 上。，其中l ，分别是尼r ，七r “中由 箭生成的理想令m 和分别是a 7 和a ，上有限生成的分次o s z u f 模，则 瓯，固 ( m ) = c f a ，( m ) + c k ，( ) 1 进一步，如果a ，和人”是k z 训代 数，则瓯，o m = 吼，+ 瓯一1 _ 推论3 2 1 1 令是域，a l = 盯l ，a 2 = 七r 2 如，k = r 。厶是分次 代数，其路代数具有通常路长分次假定五cq ，如c 明，厶c 瑶，其中 l l ，l 2 ，k 分别是耵1 ，七r 2 ，k 中由箭生成的理想，令尬，尬，螈 分别是a l ，a 2 ，上有限生成分次k z 乱l 模，则c i a 。固a ：。a 。( 尬o m 2 0 圆螈) = c a ，( m 1 ) + g a 。( m 2 ) + + c a 。( m n ) 一礼+ 1 若a l ，a 2 ，k 是 k o 跗乱f 代数，则吼， a 2 。a 。= 瓯1 + 瓯2 + + 魄。一他+ l - 定义3 4 1 设a 为分次代数，若每个k o s z u fa 一模的子模仍是k 。s 抛fa 一 模，则称a 为k d s 础! 遗传代数 定义3 4 2 设a 为o s g “遗传代数，m 为o s z 州a 一模，若m 的所有 子模按照包含关系构成全序集，则称m 为k o s z u c 单列模 定义3 4 3 设a 为k o s z 讲遗传代数，m 为k d s 施f a 模，如果一个以m 为首项的降链m = 娲 尬) ) 磊= 0 ) ( 3 2 ) 的商模尬，鸠蝎，螈一2 螈_ 1 一1( 3 3 ) 全是单纯模，则( 3 2 ) 叫m 的一个o s 础f 合成列，( 3 3 ) 为此k g 州合成列 一垂 第1 章绪论 的商模列 定理3 4 4 令a 为k 。s 删j 遗传代数，m 为k d s z u fa 一模，则下列条件等 价 ( 1 ) m 是k d s z 训单列模 ( 2 ) m 存在唯一的一个k o s z 让f 合成列 ( 3 ) m 的根滤链是m 的k d s 。“合成列 ( 4 ) m 的基座滤链是m 的k o s z 札2 合成列 定理3 4 5 令a 为k d s 。u z 遗传代数，m 为k o s z u j 单列模，则 ( 1 ) 若o + m 0m om ”+ 0 是正合列，则m 和m 是k o s z u f 单列模 ( 2 ) m 不可分解，聊r 掰和s o c m 是单模 定理3 4 8 设a 为k d s z 札f 遗传代数，m 为。s z “a _ 模m 的两个 k o s 。2 合成列分别是：m = 尬 3 尬= o 和m = o 13 m = o 则必有s = t ，且适当排序后有：慨a 磊+ 1 = + 1 北京工业大学理学硕士学位论文 2 1 预备知识 第2 章有限复杂度的子范畴 引理2 1 1 【4 l l 设a 三g 二b 为短正合列，a 与b 依次有投射分解 r ，) 与 r ，瓦) ，则可定出 矗) ，使 r o r ，矗) 为g 的一个投射分解，下图可交 换，各行各列均正合，且有关r 的各列均可裂正合： o l 昂 i oo ll r l _ _ p 0 _ a il- l 只o r - r l o r l 一 il 一再- 只一。一 1l o0 图2 - 1 交换图 一p 0 0p o g l”l _ p o _ b l o f 培2 - lc o m r n u t a t i v ed i a g r 锄 证明：当孙r ，氏瓦时，定义( m ) = + o r o 只。，( 鼽+ 死) = 氏r ，( 死) = o + 瓦晶or ，开( + 死) = r ，即知有关p 的各 列均可裂正合 所有的rop 。当然都是投射模，因为投射模的直和仍是投射的 我们要定义氏，使图2 1 可交换，且中间一行正合 第2 章有限复杂度的子范畴 先定义6 。由于”是满同态，o 是投射模，故有毋：- 。一c ，使”妒= a o 令面= 咖7 r o + 卵d o 亓o ，贝4 占。叩o = ( 丌o + 町d o 亓o ) 卵o = 7 r 0 叼o + 可d o 亓。叩o = 7 7 d o 丌如= 7 r ( 审丌0 + 叩d o _ 0 ) = 7 r 妒丌o + 丌叼d 0 _ 0 = - 0 丌0 所以图2 - 1 最右边的两个正方形都是可交换的 需要验证面是满同态为此，任取c e ，设丌( c ) = b b 因a o 是满 同态，有民p o ，使- 0 o ) = 6 设妒( 死) = c 1 g ，则”( c ) = 6 = 面o ( 风) = 7 r 毋( 0 ) = 丌( c 1 ) ，所以c c 1 k e r 7 r = ，m 叩，因而有口a ，使叩( o ) = c c 1 由 于d o 是满同态，有p o p 0 ，使d o ( p o ) = 。，故 如扫o + ) = 曲丌0 0 0 + ) + 叩d o 而o + 风) 即c ，m 6 0 ，如是满同态 = 妒( _ o ) + 町d o ( p o ) = c 1 + q ( n ) = c l + c c l = c 再决定出让q = e r d 0 ，百= k e r _ 0 ，s = b r 如，并取口，厅与7 r 为相应 嵌入映射再让d = 盯d ，- 1 = 孑石( 均由m “范畴的性质) ，如图2 2 ，实箭头已 知，虔箭头待定： 北京工业大学理学硕士学位论文 d ：盯 d o 覃二* q _ + 晶* a 节上 d 三挈t p 。一岛 上茚 + d 。 t + 品 审 日。磊一峰s _ 晶。昂啼c 丌三i 羔二 图冬2 交换图 f i g 2 2c o m m u t a t i v ed i 雄乒a m 当q q 时，6 0 叶。盯( q ) = 叼d o 仃( q ) = o ，故可令q 7 ( q ) = o 盯( q ) k e r 6 0 = s 同样，当s s 时，令丌( s ) = 丌o t ( s ) e r - 0 = 虿 由于卵。盯= 7 _ 卵7 ，丌0 r = 万7 r 7 ，所以图2 2 中间的上下两个正方形都可交换，因 而7 r 7 = o 叩7 当然是单同态( 因叩0 ，盯，与7 都是单同态) ，现需证明7 r 是满同 态为此，任取虿百，让俯( 虿) = c g ，于是丌( c ) = 7 r 万( 可) = a o 万( 可) = o ， 即，c 彤e r 7 r = ，m 玑因此有o a ，叩( a ) = c ，取p o 局，使d 0 0 。) = n ，则 如( 一p o + 口) = ( 毋7 r o + 叼d o ：7 o ) ( 一p o + 可) = 妒( 虿) 卵d o 扫o ) = c 一叩( 口) = c c = o ， 故一如+ 虿k 静南= s ，而7 r 7 ( 一p o + 可) = 瓦所以7 r 7 是满同态 再证k e r 丌7 = ，m 叩为此，任取如+ k e r 7 r 7 ，则o = 万丌( p o + 死) = 丌0 7 - ( p o + f o ) = 风于是，o = 如7 - ( p o + p o ) = d o r o ) = 西o ) = ”d 0 于f o ( p o ) = 8 第2 章有限复杂度的子范畴 q d o ( p o ) 因”是单同态，d o ( p o ) = o ，p o k e r d o = q 所以，若p o + k e r ”7 ， 贝0p o + 芦o ，m 7 7 7 ，即，k e r 丌j m 叩 于是q 王s 二百是短正合列，磁与可都是满同态，所以可以仿照求d 。 的方法来求一个再让6 1 = r 扎即为所求 用类似的方法可以求出如，如， 口 令& 表示复杂度t 的有限生成a 一模范畴显然，如果亡l 2 o ，对几乎所有 的 定义2 2 3g b n = s u p c b n ( m ) i m 是有限生成a 一模) 一1 0 _ 第2 章有限复杂度的子范畴 那么对于复杂度和d t r 复杂度，二者之间有什么关系呢? 因为对于自内射代数而言，有d t r m ! q 2 m ，其中是n a k a y a m a 函 子，所以有下面的定理 定理2 2 4 设a 是自内射代数，m 是a 一模，则c b t ，( m ) = c i ( m ) 由这个定理，对于自内射代数，在本章第一节中，有关复杂度的结论，对于 d t r 复杂度也是成立的 2 3 本章小结 本章在模与代数复杂度的定义和性质定理的基础上给出了d ? r 复杂度并 给出了二者之间的关系，由此，我们知道对于自内射代数而言，相关的复杂度的 结论，对于d n 复杂度也是成立的 北京工业大学理学硕士学位论文 3 1 预备知识 第3 章k o s z 越代数 定义3 1 1 令七是固定的域分次七一代数是k 一向量空间和态射 气，灯k ，强z 的集族，且满足 ( 1 ) a o 是a 一代数； ( 2 ) 每个凡是有限维a o a o 双模； ( 3 ) 态射锄：凡o 。a j a t 州是a o a o 双模态射； ( 4 ) 下图可交换 a t a 。 a 。a 七竺a t + j 。a 。a k ，固蜘l昧0 a a oa j + k ! ! 盐譬a + j + 图3 1 交换图 f i 9 3 1c o m 衄l t a t i v ed i a g r 眦1 分次代数通常记为a = o 记z m ，j m 锄记为a i 定义3 1 2 如果m = 0 暑一。尬是a 0 模，且存在线性映射o a o 屿一尬+ j 给出了m 的a 一模结构，则称m 为分次a - 模 分次a 一模m = 0 茎一o o 是t 次生成的指；坞= o u i ) 且却= a 尬0 o ) 定义3 1 3 若分次a 一模m 是 次生成的，且存在m 的分次投射分解 1 2 第3 章k 。s 。钍f 代数 一p ( t ) ( m ) 一一p ( 1 ) ( m ) 一p ( o ( m ) 一m o ，使得p 2 ( m ) ( k o ) 是e + 而次生成的，称m 有线性分解 定义3 ，1 4 若分次a 。模m 是o 次生成的且有线炷分解，称m 是k d s z m a 一 模 定义3 1 5 若每个分次单a 一模有线性分解，称分次代数a 是k d s z u f 代数 那么对于分次自内射k o s z u l 代数，它的复杂度是多少呢在【3 】中，我们 有下面的定理 定理3 1 6 分次自内射k 。s z 碰代数的复杂度或者无限或者是非负整数 我们只研究有限的情形 我们作如下的约定： j 表示集合，可以是有限集，也可以是无限集 定义3 ，1 7 设r 为任意环，在r 吼( 或吼r ) 中对于a = j j 如或a = n j j 山， 规定仇( ( q ) ) 一啦一t ，t ，啦a ) ，称这个满同态挑：a a 为这个直和 或直积的第t 个标准投射 规定九( ( ) ) = ( q ) ，即九( ( q ) ) = ( ，o ，口 ，o ，) ( v f ，j ，啦 a ) 称这个单同态h ：a a 为这个直和或直积的第t 个标准单射 由定义可以看出如下结果成立 定理3 1 8 4 2 】在定义( 3 1 7 ) 中，必有 ( 1 ) p a t = 文j 厶f ( v ，j ，口i a ) ( 2 ) 在a = u j j 时，托j a j p j = “，且对任意的寤a ，有i d i p “。) o ) i 0e z 壤( m ，a 0 ) ，g r e ( a ) 表示分次e ( a ) 一模的子范畴，态射为零次态射 注：若s 是分次单模，则芎( s ) 是分次投射e ( a ) 一模另一方面，若尸是 不可分解分次投射a 一模，则芎( p ) 是分次单e ( a ) 一模 我们经常使用同调代数的一个基本方法：维数转移法即用一个中间项为特 殊模( 如投射模，平坦模或内射模) 的短正合列，通过相应地长正合列作递归的 推证或计算的方法以下述引理3 3 2 的证明为例，我们可以看出此法的简捷性 和程序性 引理3 3 2 【4 2 l 设0 一a p b o 是r 甄中的正合列，其中p 如吼 则e 工蝎( a ，m ) ! e 。t 铲1 ( b ，m ) ( v 他1 ，m r 贼) 证明：对短正合列0 一a 一尸一b 一0 ，用长正台列定理得 e z 塌( p im ) 。e z 瑶( a ，m ) - + e z t 铲1 ( b ，m ) 一e 。t 寸1 ( p im ) | | 1 1