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硕士论文 有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s o n 型定理 摘要 本文讨论了不包含环的紧图( 即有限树图) _ l s e h r 6 d i n g e r 算子的二次微 分束( 即扩散算子) 的边值问题，研究了这一问题中谱特征的性质，借助于 利用d i r i c h l e t n e u m a n n 映射代替s t u r m l i o u v i l l e 算子理论q b t i t c h m a r s h w e y l 函数 ( m 函数) 的方法，解决了如何从相应的d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射唯一确定方程 中势函数的反谱问题；作为一个应用，我们还讨论了有限树图上k l e i n g o r d o n 方 程的反谱问题；所得到的结果可以视为是对s t u r m l i o u v i l l e 算子反谱理论中熟知 的b o r g l e v i n s o n 定理的一种推广 关键词：有限树图；边值问题；微分束；扩散算子；k l e i n g o r d o n 方程； d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射；反谱问题 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t w es t u d yb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so nc o m p a c tg r a p h sw i t h o u tc i r c l e s ( i e o nf i n i t e t r e e s ) f o rt h eq u a d r a t i cd i f f e r e n t i a lp e n c i lo ft h es c h r 6 d i n g e ro p e r a t o r ( i e d i f f u s i o no p - e r a t o r ) w ee s t a b l i s ht h ep r o p e r t i e so fs p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c sa n di n v e s t i g a t et h ei n v e r s e s p e c t r a lp r o b l e mo fu n i q u e l yd e t e r m i n i n gt h ep o t e n t i a l si nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb y u s i n gt h es o c a l l e dd i r i c h l e t - n e u m a n nm a pi n s t e a do ft h et i t c h m a r s h w e y lf u n c t i o n ( m - f u n c t i o n ) f o rt h ec l a s s i c a ls t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r s ，a n dt h e na sa l la p p l i c a t i o n ，w e d i s c u s st h ei n v e r s es p e c t r a lp r o b l e m so ft h ek l e i n g o r d o ne q u a t i o n so nt h ef i n i t et r e e g r a p h s w en o t et h a tt h eo b t a i n e dr e s u l t sa r en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o n so ft h ew e l l k n o w n b o r g l e v i n s o nt h e o r e mo nt h ei n v e r s es p e c t r a lt h e o r yf o rt h ec l a s s i c a ls t u r m l i o u v i l l e o p e r a t o r s k e y w o r d s ：f i n i t et r e eg r a p h s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；d i f f e r e n t i a lp e n c i l s ； d i f f u s i o no p e r a t o r s ；k l e i n - g o r d o ne q u a t i o n ；d i r i c h l e t - n e u m a n nm a p ； i n v e r s es p e c t r a lp r o b l e m s 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均己在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 3 o lo 年6 月2 3 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 刻念 幼f p 年孑月2 ；日 硕士论文有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s o n 型定理 1引言 本文的主要研究对象是不包含环的紧图( 即有限树图) 上s c h r 6 d i n g e r 算子 的二次微分束( 即扩散算子) 的边值问题 图( 不仅限于有限树图) 上的边值问题与自然科学以及工程技术领域中 的具体问题往往是紧密相关的，这方面内容可以参考文献 2 6 】一 2 8 1 已有的 关于图上微分算子的结果主要集中在刻画谱和根函数的性质，即所谓的正 问题；相比较而言，图上微分算子的反问题( 即如何从一些谱特征重构其 中的势函数) 讨论起来要更加困难一些，所以得到的结论也相对较少，文献 【l 】【3 】， 9 】，【l o ， 4 1 - 4 4 d p 给出了这方面的一些结果 所谓的b o r g l e v i n s o n 定理，最早分别是由b o r g 7 和l e v i n s o n 2 9 得到的，它 阐述了半直线或者有限区间上s t u r m l i o u v i l l e 算子中的势函数可以被w e y l 函 数( 即m 函数) 唯一确定，有关这一定理局部形式的推广可以参考文 献 6 】， 8 】， 1 8 】， 1 9 ， 2 3 1 ，【3 6 - 3 8 】1 9 8 8 年，n a c h m a n ，s y l v e s t e r ，u h l m a n n 【3 5 】通过利用d i r i c h l e t n e u m a n n 映射代替w e y l i 函数的方法得到了有界区域上高 维s c h r s d i n g e r 算子的b o r g - l e v i n s o n 型定理 已有的树图上微分算子的反问题的研究对象大多是树图上的s c h r i j d i n g e r 算子，而有关树图上的扩散算子的文献只有 4 4 】，在 4 4 q b y u r k o 通过定义所谓 的w e y l 向量来代替w e y l 函数，得到了w 毋l 向量与势函数之间的一一对应关系， 即所谓的唯一性定理；并且利用谱映射方法给出了一种重构势函数的方法 本文基于 3 5 】的想法，用d i r i c h l e t n e u m a n n 映射替代w e y l i 函数，仿照b r o w n ， w e i k a r d 在 9 】， 1 0 】中所使用的研究方法，得到了势函数可以被相应的d i r i c h l e t n e u m a n n 映射唯一确定这一结论，从而使原有的b o r g l e v i n s o n 定理在树图上的 扩散方程中得到了推广 第一部分主要描述量子树图以及其上的扩散算子对应的边值问题；第二部 分用来定义代替w e y l 函数的d i r i c h l e t n e u m a n n 映射；第三部分用来计算g r e e n 函 数的具体表达形式，定义了所谓的w e y l 解，并给出相关的渐进估计；第四部分 1 2 有限树图上的扩散算子 硕士论文 内容叙述并证明了主要的唯一性定理；最后的第五部分就是将得到的结论应用 到量子树图上的k l e i n g o r d o n 方程的反问题当中 2 有限树图上的扩散算子 2 1 有限树图及其相关概念 设句：【0 ，7 r 】一r , j = 1 ，r 是r 个同胚映射，则将h a u s d o r f r 空间 丁= u e j ( t ) ：te o ，川l j = l 称为一个有限树，如果丁作为拓扑空间是单连通的，并且q ( 力= 取( s ) j ，= k 或t ，s 0 ，7 r 点e l ( 0 ) ，e l ( 丌) ，s t ( o ) ，岛( 丌) 称为树r 的顶点，将所有顶点构成的集合记 为y ，贝u l v l = ，+ 1 ，将，个同胚映射勺的像集称为树丁的边，则树t 的结构可以用 下式唯一地来描述出来 ( p l ( 0 ) ，8 l ( 力) ，( 屏( 0 ) ，岛( 丌) ) ) ( y 功7 ( 2 1 ) 如果某个顶点只是某一条边的端点，则将这个顶点称为边界顶点，将这条边称 为边界边；其他的顶点称为内部顶点，其他的边称为内部边 不失一般性，我们假设具有r 条边的树丁恰好具有n o + 边界顶点，丁的边界边 依次为s l ( f ) ，( o ，并且每个边界顶点都满足关系式巧= e a o ) ，j = l ，n o 2 2 有限树图上的扩散算子以及连接条件 树t 上的一个平方可积函觐可以表示彬= l ，弦) r ，其中y a t ) = 灭勺( d ) l 2 【o ，j r ，j = l ，厂，记枷l 2 ( 丁) ；类似地我们可以定义) ，叩( 丁) 乍号 y j ( t ) = 灭勺( f ) ) 昭 o ，丌】，j = l ，r ，其e p m 1 设势函数p 昭十1 ( 乃，q 昭( r ) ，考虑丁上的扩散算子 ( 黝( 勺( 力) = 叫7 ( f ) + 【2 a p j ( t ) + q j ( t ) y j ( t ) ，j = l ， ( 2 2 ) 2 硕士论文 有限树图上扩散算子的b o r g - l e v i n s o n 型定理 其中 y ，巧a c o ，丌】，彤+ ( 2 , l p j + 劬) y j l 2 o ，丌】， 歹= 1 ，n 我们要求量子树丁中上述扩散方程的解在所有内部顶点都要满足k i r c h h o f f 连 接条件，即 ( 1 ) y ：i ! e t 上连续； ( 2 ) 对每个内部顶点，有 杉( 丌) = 巧( o ) 钉( 丌) = e j ( o ) = v k 下面我们举一个例子来说明如何来描述有限树图以及其上的连接条件 哆吩吩纺修 如上图所示，别是一个具有7 个边界顶点以及9 条边的有限树图( a p r = 9 ，2 0 = 7 ) ，则丁中的所有9 条边繇，k = l ，9 可以用 ( ( ，l ，v g ) ，( 屹，v s ) ，( 1 ；3 ，v 9 ) ，( v 4 ，v 9 ) ，( v 5 ，v 1 0 ) ，( v 6 ，v l o ) ，( a j 7 ，v l o ) ，( v s ，v 9 ) ，( v 8 ，v l o ) ) 唯一确定，因此有限树图丁上扩散算子的解要满足的k i r c h h o f f j 奎接条件就是： 少l ( 力= y 2 ( t r ) = y 8 ( 0 ) = y g ( o ) y 8 ( z r ) = y 3 ( t r ) = y 4 ( z 0 妫( 力= 乃( 力= y 6 q r ) = y 7 q r ) ( 2 3 ) y ；( 丌) + 必( 7 r ) = y 8 ( o ) + ( o ) y s o r ) + 艿( 力+ 以( 丌) = 0 西( 力+ 以( 丌) + 以( o ) + y 7 q r ) = 0 3 2 有限树图上的扩散算子 硕士论文 2 3 边界条件的描述以及解的表示 为了使得上述扩散方程以及连接条件能够构成一个边值问题，我们 还需要在刀。个边界顶点处提出挖介边界条件，因此引入下面的四个线性泛 函风，e l ，d o ，d 1 ：c 【o ，7 r 】_ c ，定义如下 e o y ：= 烈o ) ，e l y ：= 灭j r ) ，d o y ：= y 7 ( 0 ) ，d i y ：= y ( 丌) ( 2 4 ) 根据上述四个线性泛函，前面提到的k i r c l l l l o 瓞接条件总可以表示成z y = o 的形 式，这里，是一个( 2 r 一刀o ) 槐阵，其中的每个元素都是0 ，风+ e l ，d o ，+ d 1 ， 并且根据前面的假设，的前r i o 列对应于所有边界边，因此，的前门。列中一定不含 有岛和d o 项 作为一个例子，我们将前面一小节当中给出的有限树图丁的k i r c h h o f f 连 接条件( 2 3 ) 用上述矩阵形式表达出来，就是下面这个1 1 9 矩阵( 注意到这 里，= 9 ，刀o = 7 ，因此2 r 一刀o = 11 ) ，= 容易看出，上面的矩阵，的前9 列当中确实不含有e o 和d o 项 任取1 j ，设c j ( a ，x ) 和s a a ，曲分别是方程 一 + ( 2 , t p j + q 渺j = 乎y j 4 o 。 b o o 也o o o o 以 加 o a o 喝凰。 也o o o 勘a o o o o o o o 坷 邑o o a 0 0 0 0 o 占 研o o 0 吼 o o o o o 珂 日o o o a 0 0 o o 0 日0 0 o o 现 o o o 坷 蜀o o o o a o o o 0 历o 0 o o o 研。 以 蜀o o o o o o a o o 研0 0 0 o 0 o o 仇0 o 硕士论文 满足初始条件 有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s o n 型定理 弓( 尢o ) = c j ( a ，o ) 一1 = s j ( a ，o ) = ( 五，o ) = 1 ( 2 5 ) 的解，则由附录中的引理7 1 可知啄a ，x ) 和s j ( a ，力都是关于 的至多一阶整函数 而上述方程的任何一个解都可以表示为 其中乃，乃为常数 令 定义 根据上述定义可知 y j ( x ) = a j c j ( a ，功+ b j s j ( a ，力， 亭：= ( a l ，嘶，6 1 ，6 ，) ， e ，功= - - d i a g ( c l ( a ，功，( 允，力) ， s 。q ，功= d i a g ( s l ( , t ，力，s 瑚q ，力) ， g ( 无妨= d i a g ( c 伽+ l ( a ，功，c ，( a ，功) ， s f ( a ，曲= 蜊j 啪十l ( a ，力，o ( a ，x ) ) ， a 无功= ic , ( a ，功g q 0 ，劝】， s c 五，功= ( s e ( 五0 力s ；。a 0 ，工，) 灭功= ( c ( a ，曲，s ( a ，x ) 蟮 3 广义d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 任意给定一个向豇= ，厶) r c 伽，在这一节的最后我们会说明使得 方程o ：a 2 y 满足鼬r c l l l l o 瞄接条件和d i r j c h l e t 边界条彳牛原o ) = 乃，歹= 1 ，刀。的 解不唯一的a 值至多只有可数多个除去这可数多个五值，我们总可以计算 5 3 广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射 硕士论文 出相应的幻= 叫( o ) ，j = 1 ，, t o , 于是将线性映 ，n ；o lh 西 凳l 称为满 足鼬r c h h o f l f 连接条件的微分方程系统句= l 了的d i r i c h l e t i n e 啪a m 映射，将其记 为a o - n 事实上我们可以在有限树图上考虑下面一类更广泛的边界条件设2 甩。个数 组( 嘭，q ) ，蟛，岛) 满足条件 蛹一嗡= 1 ，_ ，= 1 ，r o ( 3 1 ) 与上面所述的情况类似，除去至多可数个l 值，在求出方程句= a 满 足k i r c h h o f f 连接条件以及边界条件口少，( o ) 一叫( o ) = 乃，j = 1 ，2 0 的唯一解 之后，我们总可以计算出相应的彩= 卢奶( o ) 一助；( o ) ，j = 1 ，n o ，因此可以将 线性映射圻 翟lh 协 翟。称为满足硒r c l l l l o 礁接条件的微分方程系统彩= a 的 广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射，将其记为八 下面来计算人 首先边界条件可以用方程咖= 传描述，其中是如下的n o r 矩阵 西= 再定义矩阵 房= a i e o a t d o 0 00c 吒o e o a 啪d o0 0 f l l e o - f 1 1 d o 000 0 0 0 民e o 一屏。d o 0 0 以及 彳= ( c ，s ) = ( d i a g ( c r l ，口幺) ，0 x ( ，一珊) ，d i 口g ( 一o r l ，一a ) ，o ，1 0 ( r 一，l o ) ) ， ( 3 4 ) b = 留( c s ) = “矗剥，卢乞) ，0 ，l o ( r 一，1 0 ) ，d i a g ( - f 1 1 ，- f t 。) ，o ，l o ( ，一瑚) ) ， ( 3 5 ) 6 硕士论文有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s o n 型定理 尔后，令 = 6 ， 般a ) = ( c ( 无曲，s ( a ，功) ( 3 7 ) 由e m ( a ) 是一个2 r 2 r 矩阵，并且是关于a 的至多一阶整函数，而它的行列 式d e t m 的所有零点就是边值问题d = a ，勿= 0 ，卿= 厂的所有谱点，因此上述 边值问题只有至多可数个特征值，并且这些特征值没有有限聚点 如果我们令 p=(。2，no珊xn，o伽：，伽， 则有 心 垮= p f g = 劬= 留( es 蟮= 骘= b m - 1 ( ) 西 因此广义d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射就可以表示成为 a ( a ) = b m - 1 ( a ) p( 3 8 ) 从上述表达式可以看出，树图丁上边值问题匆= a 玩r y = 0 ，蛳= 的广 义d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射八( a ) 是一个关于a 的亚纯函数，并且上述边值问题的特 征值都是人q ) 的极点 4 g r e e n 函数与w e y l 解 4 1g r e e n 函数 设h l 2 ( d ，下面我们来计算非齐次方程( z 一五2 涉= 办满足连接条件_ r y = o 和 齐次边界条件咖= 0 的解，进而求得相应的g r e e n i 垂l 数 7 4g r e e n i 函数- 与w e y l 解 硕士论文 设 ( 力= ( 办( s 1 ( d ) ，办他( d ) ) 7 ，定义 觚咖删圳，m 州胪似w 砌( 品】， ， 其中 砖( a ，x ，力= 勺q ，曲町q ，力一即q ，x ) c a a ，力 再令 k ( a ，功= f 霞q ，x ，t ) h ( t ) d t ， ( 4 2 ) 于是方程( z a 2 沙= 而的通解总可以表示成为 灭力= ( c ( 无功，s ( a ，x ) 皤+ k ( a ，功， 其中f c 扫连接条件y = o 和齐次边界条件d y = o 等价于g y = 0 ，也 即磁+ k = 0 ，因此可得 灭功= - ( c ( x ，功，s q ，x ) ) m - 1 ( a ) 取允，功+ k ( 2 ，力 ( 4 3 ) 下面来确定向量斛a ，曲 为此，我们将写成= 编+ 镅，其中编中的非零元素只有岛和d o ， 而镅中的非零元素只有e l 和d 1 首先易知么征= 0 ，这是由于v j 1 ，) ， e o f f k j ( 批，帆( 力卅= r w ，蚴w 衍= 。， d o f fi ( 拈，t ) h j ( t ) d t 】= e o k y ( a 删+ r 缸五t ) h j ( t ) d t = 0 0 五，z ，】= ，五力+ j 紊( a ，五 = j u “ 又由于 剐r 巧( 舢，t ) h j ( t ) d t = r 乃( 枷，t ) h j ( t ) d t = re k a 如，f ) h j ( t ) d t 000 ， jjj 8 dir巧(丑五t)hj(t)dt】=e，kaa，x,x)hj(x)+r豢(舢，t)hj(t)dt00 】 f 巧( a ，五 】= ， + j 素( 五，x ， 】 j j u “ = ro 锻k j ( ，t ) h j ( 渺f f d , t k a 圳m 砒 亟主垒寥 有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s 彻型定理 k = 镅k = r 镅随以五胡硪触j r c 旭。一c 砌( 兰：) 卜础 灭力= r t c c c 五，功，s c a ，功，一 f l c a ， 知c a ，( 萎：! ：) ，) 。4 4 ， r ( a ，五力：一( c ( 五，功，s ( 无功) ，一竹1 似) q ) is ，力i i c ( a ，力j( 4 5 ) 叭忙c 删潮如胛卅删【罢】 = c c t a ，sc 五， f 1c a ，a 霸c 五，【曼：! i ，) ) ) ， 、 、 7 ( 4 6 ) 4g r e e n 函数与w 匆1 解硕士论文 由于矩阵编的第七列中唯一的非零元素口o 一口七d o 位于第j | 行，因此的第七列 以及第( 七+ 一列分别等于口瓶和一口| | 魄，其中吼= ( o ，0 ，1 ( 的，0 ，o ) 于是 r k ，t ，d = ( 竹1 ) 膏 | 仅( a ，力+ ( g - 1 ) “啦& q ，f ) 【& ( a ，力+ a w k ( , t ，力】， 注意到m 的第七行中至多只有两个非零元素，即位于第桁第硎的口：以及位于 第k 行第 + ，) 列的一毗，因此按照m 的第桁展开比，- 阿得 d e t m = o t k d e t m r k d , ( m ) 一( 一1 ) 7 a k d e t m r k j 5 , + ，( 蚴 ， 也即 口, d e t j m 历r k 五, k 歹( m 一) 一( 一1 ) a 七d e t m 乙历r k 五+ 7 西, k ( m 一) = 1 ， 其中朋( 哟表示从m 中去掉第七行以及第，列之后而得到的矩阵根据肝1 的定义 可知 o ：( 竹1 ) 蛐一a j | ( m - 1 ) “啦= 1 ，( 4 7 ) 再由广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射的表达式( 3 8 ) 可知 a 蛐= 屏( m - 1 ) ，七一晟( 竹1 h 砧 ( 4 8 ) 根据上面得到的( 4 7 ) ，( 4 8 ) 式，结合( 3 1 ) 式可得 ( m - 1 ) 蛐= 厥一a k a k , 七，( m - 1 ) “肚= 屏一o k a k , k ，( 4 9 ) 因此 n ( a ，t ，f ) = ( a ，t ) 一a k ，i ( 五) ( a ，d 妒七( a ，f ) ， ( 4 10 ) 其中 巩( a ，力= z | c k ( a ，t ) + 展s | i ( 兄，d ， 妒k ( l ，d = 鲰c 女( a ，力+ 口：j 七( a ，f ) 根据上述定义可知以a ，f ) 和帆( a ，f ) 都是关于a 的至多一阶整函数 1 0 硕士论文 有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s o n 型定理 4 2 w e y l 解以及相关的渐进估计 任取七1 1 ，n o ，设砂( 屯五，力为边值问踯= 如乃= 0 ，咖= 鲰的解， 则将缈 a ，f ) 称为边界顶点v k 对应的w e f l 解 引理4 1 设七， l ，n o ) ，则边界顶点垓对应的w e y t 解满足 咖( 致a ，d = , s j k 0 a a ，力一 似( ) 竹( a ，力 ( 4 11 ) 证明：设咖 ，五，f ) = a a a ) e a a ，d + b a a ) 妒j ( a ，力，则 咖 五，0 ) = a a a ) o a a ，0 ) + 乃( ) 竹( 五，o ) ， ( 4 1 2 ) 虻( 疋a ，o ) = a a a ) 钐( a ，o ) + 幻( a ) 哆( a ，o ) ， ( 4 1 3 ) 根据( 4 1 2 ) ，( 4 1 3 ) 式，结合( 3 1 ) 式可得 嘭咖( a ，o ) 一哟彤( 后，a ，o ) = a j ， 膨咖( 后，丑o ) 一岛彤( 屯五，o ) = 一幻， f 1 日w e y l 解砂( 屯五，f ) 所满足的边界条件嘶= e k 可知 a j = ( e k ) j = 如， 再由广义d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射的定义可知 一乃= ( a ( 五) 9 t b = 人弦( a ) 下面我们要对树图丁重新进行标记， 记为，将其他边界顶点称为分枝顶点； 任取其中一个边界顶点作为树丁的根， 将与跟相连的边称为树干，记为勖 注意到树图丁中任何两个顶点1 ，矿都可以被唯一的一组边构成的路径相连 接，我们将这条路径的长度称为顶点u 矿之间的距离，记为吠uv ，) ；进而可以将 树丁的高度定义为h = m a x l d ( v ， 1 2 0 ) ：1 ，乃 1 1 型塑翌堡堕皇塑型堡二一： 堡圭堡窒 o 。一 一 wj - m 为了后面叙述方便，这里我们将( o ，7 r ) 上的可微函觐在两个端点处的外法向 导数规定为 f l i m ) ，( f ) ，p ：0 如) = 一o( 4 i 钟 【脚( 力，p 2 万 引理4 2 设r 是以某个边界顶点v o 为根的树，砂似，力满足方程= 矗以及连 接条件z y = 0 ，并勘u ，曲在所有分枝顶点上都为零丽在树t 上不恒为零刚 当丸延某条允许的射线趋于无穷远时有 嬲= - i a + ， 砂o ( l ，p ) v r j j 7 其中q ，力= 妖五，勖( 力) ，p 0 ，l ，使得s o p ) = v o 证明：对树丁的高度应用数学归纳法 设丁的高度为万，则丁就是区间 0 ，丌】，对根v o 分以下两种情况讨论： 如果v o = 勖( 力，则有 根据引理7 1 可知 如果v o = 勖( o ) ，则 ( 五，d = b o s o ( a ，d ，b o 0 ， 嬲= 嬲= - i 2 + = 一= ：，j v - l ( a ，丌) s o ( a ，丌) v ( 五，力= a o c o ( g t ，力+ b o s o ( 2 ，力， 由栅点所满足的边界条件可得 同样根据引理7 1 可知 1 2 a o c o ( a ，力+ b o s o ( a ，丌) = 0 ， 嬲= i - b o = 嬲- - - a + 一= 一= ，l 、 ( a ，0 ) 口o s o ( a ，力 叫 硕士论文有限树图上扩散算子t 拘b o r g ，l e v i n s o n 型定理 假设渐进估计式( 4 1 5 ) 对于高度至多为n i l 的树都成立，下面来考虑高度 为+ l 协的树 设r 是以v o 为根的高度为0 + l 访的树，树干的另一顶点1 ，l 处恰好有阶子树与 之相连，如果视v 。为这些子树的根，将这些子树依次编号为1 ，k ，相应的树 干为s l 一，鲰，并且存在某个0 ，k ，使得v l = 句( 7 r ) ，j = l ，如v l = q ( 0 ) ，j = ，+ l ，k 同样对根v o 分以下两种情况讨论： 如果v o = 勖( 力，则 i 细( ，d = a o c o ( a ，力+ b o s o ( a ，力， 其中口o = 砂( 五， v 1 ) 由1 ，l 处所满足的连接条件可得 =(允，o)=彤(a，,0-bo彤( a ，o ) ，= ( 允，o ) 2 艺彤( a ，乞彤( a ，o ) ， j = lj = l + 1 对于与v 。相连接的这k 个子树乃，瓦，由于它们的高度至多为肼，因此由归纳 假设可得 b o川x1 6 r t a , 力- 户e “l 彬( 圳 一= = 。一 a o 砂( 无v 1 ) = 坚望一塑塑 厶j = l 咖q ，j r ) 岛咖似，0 ) = 亡丛型+ c a a , o ) a ，= 1 jc j ( , t ，丌) 。龠咖( a ，o ) = 一蝴+ d ( 1 ) ， 再由引理7 1 可知 嬲=筹端=-ia+0aocob o s o ( a7 r ) 一= 一= il 砂o ( ，7 r )q ，丌) + ， 、7 如果v o = 印( 0 ) ，则 ( ，f ) = a o c o ( a ，力+ b o s o ( h ，f ) ， 1 3 4g r e e n i 累i 数与w e y l 解 硕士论文 其中口o c o ( a ，丌) + b o s o ( a ，丌) = 以丑v i ) 同样利用v l 点处所满足的连接条件以及归纳 假设可得 k， 伽( a ，力+ 6 0 s ；( a ，力= 彤( a ，o ) 一蟛( a ，7 r ) = ( i k a + o ( 1 ) ) o ( , t , v 1 ) ， 户“l 户l 因此 a o = 沙( a ，v 1 ) j ；( a ，7 r ) 一( i k l + d ( o ) s o ( a ，7 r ) 】， b o = 砂( a ，v o 一c 6 ( a ，j r ) + ( 砝咀+ d ( 1 ) ) s o ( a ，丌) 】， 再由引理7 1 可知 而够o o 面, o ) = i - b o = - i a + d ( 1 ) 缈o l t ，w伽 至此我们完成了数学归纳，即引理4 2 成立 注4 3 关于搿允许的射线 的说明 上述命题中的渐进估计式是“当天沿着某条允许的射线趋于无穷远得到 的，两所谓的矗允许的射线则是指从原点出发的一条射线它不穿过相应边 值问题的任伺谱点 由于前面我们已经提到过这里涉及到的任何一个边值问题的特征值考黟是某 个整函数的零点因而至多只有可数多个。于是我们总可以找到一条( 事实上 是很多条) 从原点出发的射线它不穿过任伺谱点我们将这样的射线称为“允 许的射线力，在下面的文章中我们将一直沿用这一说法 注意到定理4 2 中作为根的边界顶点是任意选取的，如果我们选择其 他边界顶点作为树丁的根，则可以得到与引理4 2 完全平行的结论特别的， 设t ( 0 ，丌) ，如果我们在顶点对应的w e y l 解沙( a ，力当中用e k ( t ，丌 ) 来代替原来 的树干研( 0 ，棚) ，则容易得到下面的推论 推论4 4 设七 l ，r 0 ，t o ，丌) ，则当 延某条允许序谢线趋于无穷远肘，有 鳖粤= 以十d ( 1 ) ( 4 1 6 ) c k ( t ，五，力 r 、 。 1 4 硕士论文 有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s o n 型定理 结合附录中的引理7 1 以及上面的推论4 4 ，可以得到下面的定理 定理4 5 设七 l ，7 0 j ，t 0 ，丌) ，则当l 延某条允许的射线趋于无穷远肘， g r e e n 函数r ( a ，t ，f ) 中的，对角元素n ，“a ，t ，t ) _ 0 证明：由引理4 1 可知g r e e n 函数f ( a ，t ，f ) 中的对角元素为 k | j ( 五，t ，力= c k ( k , a ，f ) 妒七( a ，力， 并且有 w o k ( k ，a ，力，鲰( 五，f ) = 形 o k ( a ，力，妒( a ，力 = l ， 其中w r y ，z 】= y z 一儿代表函觐，z 的w r o n s k i 行列式因此当 延某条允许的射线 趋于无穷远时，则有 高=糌=揣一嬲=-2i,t+t ， 一= 一= 一l ，i l - r 七 ( a ，f ) l 版( 豇允，f ) 驴七( i ，d ( 五，力 砂女( 七，a ，力 、” 也即 f k , k ( , t ，t ，f ) _ 0 5唯一性定理 5 1 边界边上的势函数 定理5 1 广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射( 在几乎处处的意义下) 可以唯一确定边 界边上的势函数协 翟。， 酊 翟r 证明：设p ，g 和声，蚕是同一树图丁上的两组势函数在这里分别用妒，0 ，砂，a 代 表势函酆，g 对应的边值问题的基本解，w e y l 解以及广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映 射；类似地，分别用9 ，百，痧，天代表势函数p ，厅对应的边值问题的基本解，w e y l 解 以及广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射 假设两个微分方程系统具有相同的广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射，即a = 天， 任意取定k i ，n o ，则由引理7 1 可知当a _ o o 时，有 嬲乩氟( a ，f ) 15 5 唯一性定理硕士论文 结合定理4 5 可知，当a 沿着某条“允许的 射线趋于无穷远时，则有 g ( 五) ：= p 女( a ，f ) i “( 七，a ，t ) 一妒i i ( a ，f ) 谚女 ，a ，力 = 嬲姒批沪渊姒獗 圳 _ 0 ， 注意到 饥( 毛a ，力= o k ( a ，力一a 屯七( a ) 妒女( 五，力， 机 ，a ，力= 魂( 无力一天女，| ( a ) 氟( 五，f ) ， a ( a ) = 天( a ) ， 因此由甙a ) 的定义以及上述三式可知 氧= 氟( a ，t ) o k ( a ，d 一饥( a ，t ) o k o ，力， 又由于在前面已经得到了妒_ i ，o k ，氟，魂都是关于五的至多一阶整函数，于是甙a ) 也 是关于a 的至多一阶整函数 因为当五沿着任意一条“允许的 射线趋于无穷远时烈a ) 都趋于零，而“不 被允许的力射线至多只有可数多条，利用p h r a g m b n l i n d e l f i f 原理可知烈a ) 在整个 复平面c 上有界，再结合l i o u v i l l e 定理可知甙a ) 兰0 ，也即 艮( 五，力艮( a ，力 o k ( a ，t )饥( 五，力 上述方程两边同时对t 求导，利用研o k , 锹】= 吼魂，饥】= 1 可得 妒；( a ，力= 9 ；( a ，力， 两边同时对t 求导，结合上式可得 妒：( ，：l ，t )9 ：( ，力 似( a ，力9 女( a ，f ) 最后再对上式两边同时对t 求导可得 _ 1 2 + 2 a p j ( t ) + q j ( t ) = 一a 2 + 2 l 舀j ( t ) + o j ( t ) 根据l 的任意性可知p y t ) = 西( f ) ，劬( 力= 办( f ) 在 o ，7 r 上几乎处处成立 1 6 硕士论文 有限树图上扩散算子的b o r g l e v i n s o n 型定理 5 2 对树图的“修剪一 在通过广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射a 唯一确定了边界边上的势函数之后，我 们希望通过递归的方式来唯一确定内部边上的势函数 由于广义d i r i c h l e t n e u m a n n 映射a 与d i r i c h l e t n e u m a n n 映射a d 一之间存在变 换关系式 a n 一= ( p a a ) 一1 够一a a ) ， 不失一般性，我们下面只对d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射a d 一的情况进行讨论 设r 是一个具有伽条边界边且高度为砌的树图，a d j 是微分方程系统o = 五，_ r y = o 的d i r i c h l e t n e u m a n n 映射，v + 是7 中任意一个到根v 0 的距离等于( 办一 1 ) 丌的顶点，则与v 相连接的所有边之中有且只有一条不是边界边我们将 从丁中去掉这些边界边而得到的新的树图记为r 考虑丁的微分方程系统旬= 矗玩x y = 0 ，t 上的连接条件r , y = o 是由丁上的连接条件z y = o 诱导出来的， 其中r 是将旷对应的一行从，中删去得到的矩阵根据定理5 1 ，与v 相连接的 所有边界边上的势函数乃，劬已经被人d j i v 唯一确定，我们希望利用这些已知的 势函鳓，乃以及人d - 得到树图r 上微分方程系统旬= a 玩r y = 0 的d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射a 刍_ 基于上述想法，我们得到了下面的定理： 定理5 2 设丁是一个具有而。条边界边且高度等f f ：h t r 的树，a d 一是微分系统d = a 玩z y = o 所确定t 蔓 j d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射，1 ，+ 是丁中一个到根的距离等于( 办一 1 ) 丌的顶_ 点，设岛+ 相连接的边界边共有厂+ 条，依次记为- r * + i ，相应的 边界顶点依次记为一r + l ，将从丁中去掉这p 条边界边而得到的新的树 图记为t ，则t 上的边界顶点依次为v i ，v 吣一r ，v 设崦一n 是r 上微分方程系 统y ：萨y r y = q 所对应的d i r i c h l e t - n e u m a n n 映射，其中z 是将v | 对应的一行 从i 中删去得到的矩阵，则嗡一n 司以被t _ j s 这r 1 条边界边咐一r + 1 ，s 上的势函 蚍，q j ，j = n o 一厂+ 1 ，珈以及a n n 唯一确定 证明：我们只需要对任意取定的广= ，丘一，+ 1 ) c 瑚吖、1 计算 17 5 唯一性定理硕士论文 出a + 广即可 令 8 0 = 玩= e o = 锈= 、00 0 _ 0 忍 玩j 。00 0 _ 0 昂j k ，升 一00 d o 0 1 一o j n o x r r + 1 ) x r ( 珊一广+ 1 ) 7 设矿( 乃为r 上边值问题匆= 西，_ r y = 0 ，彩= 0 的全体特征值；c r ( r ) 为r 上 边值问题o = 如，= 0 ，钿= 0 的全体特征值，并且令- ，= n o 一广+ 1 ，伽1 v ，由于已知以为边界顶点的边界边句上的势函数p ，q ，因此总可 以求出这广条边界边上微分方程勘= a ，的基本解c ，( a ，曲和s t ( , t ，力又由于已知 树7 上微分方程系统z y = a ，乃= o x 寸应的d i r i c h