（基础数学专业论文）锥预不变凸映射的pareto极小问题.pdf

摘要 向量优化问题一直是非线性规划领域的一个热门方向，有着坚实的应 用背景和深刻的理论意义。凸函数在优化理论中起着重要的作用，而预不 变凸向量映射虽然不是凸映射，但具有凸映射的一些好的性质。w r e i r 和 j e v a k u m a r 研究具有锥预不变凸数量值和向量值映射的弱极小问题，讨论这 些问题的最优性条件、l a 伊a n g e 函数的鞍点、对偶问题等。本文在这些工 作的基础上，研究具有锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题，得到p a r e t o 极 小问题的l a g r a n g e 函数的鞍点、最优性条件和广义向量变分不等式的解的 存在定理，并讨论对偶问题及对偶条件等。 关键字：p a r e t o 极小问题；锥预不变凸；l a 伊a n g e 函数；鞍点；向量变分 不等式；数值化；对偶问题 a b s t r a c t d u et oi t sp r o f o u n ds i g n i f i c a n c ei nb o t ha p p l i c a t i o na n dt h e o r y ， v e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e mh a sa l w a y sb e e nah o tt o p i ci nt h e r e s e a r c ho fn o n li n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m s i ti sw e llk n o w nt h a t c o n v e xf u n c t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h eo p t i m i z a t i o nt h e o r y a l t h o u g hp r e i n v e x f u n c ti o n sa r en o tc o n v e x ，t h e y h a v es o m e i n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s o nt h eb a s i so ft h ea r t i c l eo ft w e i ra n d v j e y a k u m a ra b o u ts a d d l ep o i n to fl a g r a n g ef u n c t i o n s ，o p t i m a li t y c o n d i t i o n sa n dd u a l i t yt h e o r e m sg i v e nf o rb o t hs c a l a r v a l u e da n d v e c t o r v a l u e dw e a km i n i m i z a t i o np r o b l e m si n v 0 1 v i n gc o n e p r e i n v e x f u n c t i o n ，t h i sp a p e rd i s c u s s e ss a d d l ep o i n to fl a g r a n g ef u n c t i o n s ， o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ， e x i s t e n c et h e o r e m so ft h es o l u t i o n sf o r g e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dd u a l i t yp r o b l e m si n p a r e t om i n i m i z a t i o np r o b l e m si n v 0 1 v i n gc o n e p r e i n v e xf u n c t i o n m a n y r e l e v e n tr e s u l t sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：p a r e t om i n i m i z a t i o np r o b l e m ；c o n e p r e i n v e x i t y ； l a g r a n g e f u n c t i o n； s a d d l e p o i n t ； v e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y； s c a l a r i z a t i o n ； d u a l i t yp r o b l e m 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：鲍眵影l夕驴年f f 月2 9 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：彩拓良日期：2 矿夕眸l f月z g 日 导师签名： 枷1 日期：加p 宫年f月 2 3日 锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题 1 引言 向量优化，又称多目标最优化问题，是近3 0 多年来迅速发展起来的一 门新兴学科，作为最优化的一个重要分支，它主要研究在某种意义下多个数 值目标的同时最优化问题。由于现实世界的大多数最优化问题都要涉及许 多个目标，因此，自上世纪7 0 年代以来，向量优化的研究，在国际上引起 了科学工作者的极大兴趣和关注。特别是近2 0 多年来，在各个运筹学家、 数学家、数量经济学家和系统科学家们的共同努力下，理论探索不断深入， 取得了累累硕果，应用范围日益广泛，显示出蓬勃的生机( 见 3 ，l ，2 2 ) 。 向量优化的起源，可以追溯到经济学家a s m i t h ( 1 7 7 6 年) 关于经济平 衡和f y e d g e w o r t h ( 1 8 7 4 年) 关于均衡竞争的研究。特别是，著名经济 学家v p a r e t o ( 1 8 9 6 ) 在经济福利理论的著作中，不仅提出了多目标最优问 题，还引进了p a r e t o 最优化的概念。这对向量优化的形成和发展，起了 十分重要和深远的影响( 见 3 ) 。 众所周知，凸函数在优化理论中起着重要的作用( 见 1 ，3 ，2 l ，2 2 ) 。 从1 9 7 0 年r o c k a f e l l a r 2 1 所写的c o n v e xf u n c t i o n 一书的出版开始， 凸分析迅速发展，特别是1 9 9 4 年国际学术杂志j o u r n a lo fc o n v e x a n a l y s i s 创刊后，凸分析已形成了现代数学中的一个专门研究领域。我 国自1 9 9 0 年以来，也出现了一些关于凸性理论的专著，诸如史树中 6 所 写的凸分析，刘光中 9 所写的凸分析与极值分析、寇述舜 1 0 所写 的凸分析与二次规划、胡毓达与孟志青 1 1 所写的凸分析与非光滑化 分析、冯德兴 1 3 所写的凸分析基础。事实上，具有凸性的函数相对 较少，它是较理想化的函数，因此，人们一直在研究凸函数的各种推广形 式即广义凸函数，诸如拟凸、似凸、伪凸、不变凸等等，它们既能保持凸 函数的一些良好性质又具有比凸性更弱的条件。 作为凸函数的有意义的推广，b e n i s r a e l 和m o n d 7 ，h a n s o n 和 m o n d 1 4 引进了向量映射的预不变凸( p r e i n v e x ) 概念，这类映射虽然不 高校教师在职硕士学位论文 是凸映射，但具有凸映射的一些好的性质。 下面我们看看广义凸性中预不变凸性的发展情况。 数值不变凸函数与预不变凸函数的定义： 设尺”表示n 一维欧式空间，( x ) 是尺”上的实可微函数，其梯度用w ( x ) 表 示。h a n s o n 于1 9 8 1 年文献 1 5 中考虑了一类函数，其定义如下： 定义1 1 ( 1 6 ) 对任意的x ，y r ”，存在一个向量叩( x ，y ) r ”，使得 ( x ) ) + y ( y ) 碍( ，j ，) 则称这类函数为不变凸函数。 后来，w e i r 和m o n d 1 7 及w e i r 和j e y a k u m a r 2 4 于1 9 8 8 年引入了预 不变凸函数的定义如下： 定义1 2 设s 足”和：s 一只如果对任意j ，s 和任意口 o ，l 】，都存在一个 向量叩( x ，y ) 尺“，使得y + a 叩( x ，少) s 成立，则称s 是关于，7 的不变凸集。 若s 是关于巧的不变凸集，且满足帆，y s ，对所有口【o ，l 】，有 o ，+ 口7 7 ( 墨力) 可( x ) + ( 1 一口v 成立，则称是预不变凸函数。 利用凸函数的广义预不变凸性可以研究单目标问题与多目标问题的最 优性条件、对偶理论，也可以研究变分不等式问题、平衡问题等解的存在 性。 向量值函数的凸性、类凸性定义： 假定d 是拓扑线性空间y 中的点闭凸锥，且i n t d 矽，x 是拓扑空间， ：s _ j ，是一向量值映射，其中s 是凸集，且scx 。 c r a v e n 1 8 于1 9 7 8 年给出了向量值映射的d 凸定义，h a y a s h i 和 锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题 k o m i y a 1 9 于1 9 8 2 年给出了向量值映射的d 一类凸定义，j e y a k u m a r ( 见 2 0 ) 1 9 8 6 年给出了向量值映射的d 一次类凸定义，y a n g ( 见 2 3 ) 于1 9 9 2 年给出了向量值映射的广义d 一次类凸定义，我们只列出前两个定义，它们 分别为： 定义1 3 ( i ) ( c r a v e n ， 1 8 ) 若对任意t 少s 和任意口 o ，l 】，有 万( x ) + ( 1 一口) 厂) ( 锻+ ( 1 一口沙) + d 则称厂在s 上是d 一凸的。 ( i i ) ( h a y a s h i 和k o m i y a ， 1 9 ) 若对任意x ，y s 和任意口【o ，l 】，存在z s ， 使得 万( x ) + ( 1 一口) 厂) ( z ) + d 则称j r 在s 上是d 一类凸的。 向量值函数的d - 不变凸性与d - 预不变凸性定义： 假设x 、y 为任意实赋范线性空间，d j r 为闭凸锥，scx ，：s j ，。 作为数量值函数不变凸性与预不变凸性的推广，在实际问题中引入向 量值函数d 一不变凸性与d 一预不变凸性很有必要。d 一预不变凸函数是由 h a n s o na n dm o n d 2 5 提出，在取代了通常的凸性条件后，他给出了一个非 线性规划问题的目标函数及每个约束条件对同一个玎( x ，j ，) 均不变凸的，就可 以得到优化问题的充分条件和弱对偶性。具体如下： 定义1 4 对任意的y s ，若存在一个向量值函数理：s s x ，使得 ( x ) 一。o ) 一o ) ，7 ( x ，少) d 其中，o ) 为y 点处的f r e c h e t 导数，则称为d 一不变凸的。 高校教师在职硕士学位论文 定义1 5 ( 见 1 7 和 2 4 ) 若存在向量值函数7 7 ：s s _ z ，有垤，少s ，及 v 口 o ，l 】，使得 y + 口7 7 ( x ，少) s 成立，则称集合sc x 是不变凸的。 定义1 6 设scx 是关于玎：s s x 的不变凸集，如果对任意墨少s 和任意 口( 0 1 ) ，满足 o + 口刁( x ，y ) ) q 厂( x ) + ( 1 一口) 厂 ) 一d 则称向量值映射厂：s 专】，在s 上是d 一预不变凸的。 w 斑和j e y a l ( u m a r 【2 4 】研究具有锥预不变凸向量映射的向量优化问题， 讨论弱极小问题( 定义见后) 的最优性条件，以及弱极小问题的对偶问题， 得到一些有意义的结果。 在弱极小问题中，由于集合】，i n tq 是闭集( 这里，y 为实的h a u s d o m 拓扑线性空间，q c 】，是以零元素o 。为顶点的闭凸点锥，i n t 表示集合的内 部) ，使得问题的研究更为方便。因此，弱极小问题的研究相对多一些。而 在p a r e t o 极小问题( 定义见后) 中，集合q o ， 既不开也非闭，这样使得 问题的研究增加了困难。数值化方法( 又称为标量化方法) 是克服这一困 难的方法之一。 受 5 ，1 2 ，2 4 的启发，本文的目的是在 2 4 的基础上，利用数值化方 法，在拓扑线性空间中，讨论具有锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题。本 文的安排如下：在第二章中，给出必要的基本定义和已知结果；在第三章 中，给出局部极小与整体极小的关系；在第四章中，讨论l a g r a n g e 函数的 鞍点与极小问题的关系；在第五章中，讨论极小问题的最优性条件，即 f r i t z j o i l i l 条件与k u i u l t u c k e r 条件；在第六章中，讨论广义向量变分不等 式与极小问题的关系：在第七章中，讨论极小问题的对偶问题及其对偶条 件。文章末，对锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题做出总结和研究展望。 锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题 2 预备知识 2 1p a r e t o 极小问题及弱极小问题分类 本文始终假设：x ，y ，z 均为实的h a u s d o r f f 拓扑线性空间，scx ， 为非空子集：qc 】，是以零元素o ，为顶点的闭凸点锥；尺cz 是以零元素o z 为 顶点的闭凸锥。( 为书写简便起见，今后零元素o ，与o ：均写成0 ) 。 设给定向量映射：s y ，g ：sjz ，我们考虑现下面的向量优化问题 ( v e c t o fo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，简记为v o p ) 。 第一类( 无约束的p a r e t o 极小问题) 给定 ( v o p 1 ) ：m i n 厂( 功 j f x s 称；s 是( v o p1 ) 的整体极小元( 或( v o p1 ) 的解) ，如果没有x s 满足( ；) 一( z ) q 0 ： 称s ( v o p1 ) 的局部极小元，如果存在的某个邻域n ，使得没 有x s n 满足( ) 一( x ) q 0 ) ： 我们把求( v o p1 ) 的整体极小元或局部极小元统称为无约束的p a r e t o 极小问题。 第二类：( 具约束的p a r e t o 极小问题) 给定 ( v o p 2 ) ：珈i i l l ( x ) j ， 一g ( 功k 称；s 是( v o p2 ) 的极小元( 或( v o p2 ) 的解) ，如果不存在x s ， 使得( ；) 一( 功q 0 且一g ( x ) k 我们把求( v o p2 ) 的极小元称为具约束的p a r e t o 极小问题。 第三类：( 无约束弱极小问题) 给定 ( w v o p1 ) ： w m i n ( x ) s f x s 称；s 是( w v o p1 ) 的解，如果q 的内部i n t q ，且不存在x s 使得 ( 功一( x ) i n t q 我们把求( w o p1 ) 的弱极小元称为无约束弱极小问题。 高校教师在职硕士学位论文 第四类：( 具约束的弱极小问题) 给定 ( w v o p2 ) ： w m i n ( x ) s f 一g ( x ) k 称；s 是( w v o p2 ) 的解，如果不存在x s ，使得( ；) 一( x ) i n tq 且 一g ( x ) k 我们把求( w v 0 p2 ) 的弱极小元称为具约束的弱极小问题。 由定义知，若；s 是( v o p1 ) ( 或( v o p 2 ) ) 的解，则它必为( w v o p 1 ) ( 或( w v o p2 ) ) 的解。 又若y = z = r ( 实数集) ，q = k = 【o ，+ ) ，则( v o p 1 ) 、( w v o p1 ) 、( v o p2 ) 与( w v o p2 ) 均化为通常数值函数的数学规划问题。 2 2 锥预不变凸映射的定义 用】，表示y 的拓扑对偶空间。 记q ：l ，+ ：j ，( z ) = o ，协q ) 表示q 的对偶锥。其中 表 示泛函y 在点z 的值。 用q * ： y j ，+ ：y + ( z ) = o ( 可设o f o 即f u ( 工。) + ( g ( ) ) ，一( x ) 一( g ( x ) ) 厂) o 高校教师在职硕士学位论文 这与( 4 11 ) 式矛盾。 同理可证：三，( x 。，v ) 一，( x 。，) 仨q o ，v 足 这表明( ，) 是，的鞍点。 再证v 。( g ( x o ) ) = o 一g o o ) k ，而k 。， 。国( ) ) o 由( 4 1 0 ) 可得：v ( g ( ) ) ( g ( ) ) ，v ，k 在上式中取，= o ，可得 0 v o ( g ( ) ) 由( 4 1 3 ) 与( 4 1 4 ) 即得( g ( ) ) = o 1 2 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 锥预不变凸映射的p a r e t 0 极小问题 5 最优性条件 在多目标最优化理论中，最优性条件，即在某种含义下，最优解( 如有 效解和弱有效解等) 存在的必要条件和充分条件的研究是一个极为重要的 方面。参考 2 6 p 2 6 3 3 7 2 中f r 沱k l u l 定理及 4 p 7 8 8 3 中k u h nt u c k e r 定理，下面讨论问题( v o p2 ) 的最优性条件，先讨论f r i t z j o h n 必要 条件，再讨论k u h n t u c k e r 充分条件。 5 1fr 乜j o h n 条件 定理5 1 ( f r 沱j o l l 条件) 设：s j ，g ：s z 均在s 的每点均方向可导： 又设存在映射，7 ：s s 一工，使得，g 关于同一个，7 是锥预不变凸的，若问 题( v o p 2 ) 在点s 取得极小，则存在不全为o 的f q 与见k 。，满足 ( 矿+ 船) 。( x o ，功o ，诋s ( 5 1 ) 砑( ) = o ( 5 2 ) 证若是( v o p2 ) 的解，则它也是( w v o p2 ) 的解。由 2 4 定理 3 5 ，存在不全为0 的( f ，五) q + k ，使得( 5 1 ) 与( 5 2 ) 式同时成立。 一 再讨论充分条件。 5 2k u h n - u c k e r 条件 定理5 2 ( k u i l nt u c k e r 条件) 设，g 满足定理5 1 的条件，且存在x 。s ， 以及f q 与五足，满足条件( 5 1 ) 与( 5 2 ) ，则是( v o p2 ) 的解。 证f 。是数值预不变凸函数，设x s 为可行解， 矿( 功一矿( x 。) ( 矿) ( ，叩 ，) ) ( 由推论2 4 ) 一( 彳g ) ( x 。，7 7 ( 艺) ) ( 由( 5 1 ) 式) 一五留( x ) 一g ( ) ) ( 五。g 为数值不变凸函数，再用推论2 4 ) 高校教师在职硕士学位论文 = 一幻( x )( 由( 5 2 ) 式) o ( 一g ( 力k ，且允k 。) 当x s 为( v o p2 ) 的可行解时，有 一r 矽( x ) 一秒( 而) 0 由此可得：当x s ，且一g ( x ) 足，有 ( ) 一( x ) gq o ) 事实上，若( 5 4 ) 不成立，则五s ，且一g ( ；) k ，满足 ( x 。) 一( 功q 0 ； f q 4 ，由上式可得 矿( ) 一矿( 刁 o ， 它与( 5 3 ) 式矛盾。，( 5 4 ) 式成立。这表明是( v o p 1 4 ( 5 3 ) ( 5 4 ) 2 ) 的解。 锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题 6 1 预备知识 6 广义向量变分不等式 设s ，x ，q ，y 如前述，用l ( x ，y ) 表示从x 到y 的线性连续算子空间，设 z ：s _ 三( x ，】，) 与刁：s s x 为给定的映射。所谓广义向量变分不等式是： 求s ，满足 ( g v v i ) r ( ) ( ，7 ( ) ) 仨q 和 ，垤s 当，7 ( e j ，) = x 一少，则得到下面的向量变分不等式：求s ，满足 ( w i ) 丁( x 。) ( x x 。) 芒q 0 ) ，协s 这是一类新的变分不等式( 见 2 7 ) 。至于它的研究结果，目前还比较 少。作者在 5 中，用数值化方法，关于解的存在性问题，作过一些讨论， 得到一些有意义的结果。 定义6 1 ( 2 8 p 4 4 ) 设x ，y 均为实赋范线性空间，scx 为非空开集， ：s 专】，s 。如果存在连续线性算子( ) ：工专y ，且 般睑堕产= 。 则称在点殇是f r e c h e t 可微的，并称 厂( ) 是，在点点的f r e c h e t 导数。 由定义知，若在点而是f r e c l l e t 可微，则厂在点必定是方向可导， 且 厂( x 。，办) = 。( ) ( 丙) ，( v 厅x ) 由此可知，当x ，y 均为实赋范线性空间时，前面的引理2 3 ，推论2 4 仍成立。 6 2 主要结果 定理6 。1 设x ，y 均为实的赋范线性空间，s c x 为非空开集；q cj ，是以o 点为顶点的闭凸点锥；映射厂：s 寸】，是锥预不变凸的，且在s 的每点均为 高校教师在职硕士学位论文 f r e c h e t 可微。若s 是下面广义向量变分不等式的解，即： ( g v v i ) ( ) ( 7 7 ( x ，) ) 硭一q 0 ，坛s 则是( v o p1 ) 的解。 证用反证法。若不是( v o p1 ) 的解，则五s ，满足 厂( ) 一( ；) q o ) ( 6 2 ) 由引理2 3 知 ( ) ( 叩( ；，) ) ( - ) 一，( ) 一q ( 6 3 ) 将( 6 2 ) 代入( 6 3 ) 得 ， 厂。( ) ( 叩( ；，) ) ( ；) _ 厂( x 。) 一q ( 一q o ) ) 一q = 一q o ) 这与( 6 1 ) 矛盾。 定理6 2 设s ，x ，q ，y ，f 满足定理6 1 的条件，且s 为凸集，q 8 。又设 下列条件成立 ( i ) 映射x h 厂( x ) ( 叩，x ) ) 连续 ( i i ) 执s ，巧( x ，x ) = o ( i i i ) j 孝q 4 ，使得帆s ，实值函数亭u 。( x ) 仞，x ) ) ) 关于j ，是拟凸的。( 即： v f 尺，集移s ：孝( 厂。( x ) ( 7 7 ，x ) ) ) ，) 为s 的凸子集) ( i v ) 存在非空紧子集bcs ，以及丑ns ，使得溉s b ，有 ( 功( 刁( ，x ) ) 一q 0 ) 则广义向量变分不等式( g v v i ) ( 6 1 ) 有解。 证定义集值映射，：s 一2 s 如下： v y s ，令f ) = & s ：善u ( x ) ( 刁，x ) ) ) o 由条件( i ) 知，f 0 ) 是s 中的闭子集。 下证f 是k l ( 1 i l 映射。 若不然，则存在有限子集侈。，j ，：，y 。) cs ，以及 o ，丑= l ， 歹= 丑咒，使得 扛l 一 片 y 叠型f ) 锥预不变凸映射的p a r e t o 极小问题 臣口v f = l ，2 ，刀，有孝u 6 ) ( 叩o 。，歹) ) ) o ( 6 4 ) 由条件( “i ) 及( 6 4 ) 式知孝 6 ) ( ，7 丘歹) ) 】 o ( 6 5 ) 再由条件( “) 得o = f l 厂6 ) ( ，7 6 ，歹) ) 】 可( ) + ；( g ( ) ) ( 7 4 )i n f 扛7 ( x ) + “g ( x ) ) ：x s 7 = r ( y ) t 厂( x o ) t 厂( ) + y ( g ( ) ) 【。7 4 ) 0 ；( g ( x 。) ) o ) 但另一方面，显然有 i i l f 渺( x ) + ；国( x ) ) ：x s ， v 0 1 2 8 ( 1 9 8 6 ) 。卜9 8 h p b e n s o na n de j s u n ，n 创rc l o s e d n e s sr e s u l t sf o re f f i c i e n ts e t si nm u l t i p l eo b j e c t i v e m a t h e m a t i c a lp r o g r 锄i n g j ，j m a t h a n a l a p p l ，v 0 1 2 3 8( 1 9 9 9 ) ， 2 7 7 2 9 6 9 刘光中，凸分析与极值问题，高等教育出版社，北京，1 9 9 1 1 0 寇述舜，凸分析与二次凸规划，天津大学出版社，天津，1 9 9 4 1 1 胡毓达、孟志青，凸分析与非光滑分析，上海科学技术出版社，上海，2 0 0 0 【1 2 j y f ua n dy h w a n g ， a r c w i s ec o n n e c t e dc o n e c o n v e xf u n c t i o n sa n dm a t h e m a t i c a l p r o g r 锄i n g j ，j o p t i m i t h e o r ya p p l ，v 0 1 1 1 8 ( 2 0 0 3 ) ，3 3 9 3 5 2 1 3 冯德兴，凸分析基础，科学技术出版社，北京，1 9 9 5 【1 4 m a h a n s o na n db m o n d ，c o n v e x t r a n s f o r a b l ep r o g r 舢i n gp r o b l e m sa n di n v e x i t y j ( f 1 0 r i d as t a t eu n i v e r s i t y s t a t i s t i c s r e p o r tm 7 1 5 ，1 9 8 5 ) 1 5 m a h a n s o n ，0 ns u f f i c i e n c yo f t h ek u h n t u c k e rc o n d i c t i o n s ，j o u r n a l o fm a t h e m a t i c a l a n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 8 1 ，8 0 ( 2 ) ，p p 5 4 4 5 5 0 【1 6 b d c r a v e n ， i n v e xf u n c t i o n s a n dc o n s t r a i n e d1 0 c a lm i n i m a ，b u l l e t i no fa u s t r a li a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，1 9 9 1 ，2 4 ，p p 3 5 7 3 6 6 1 7 t w e i ra n dm o n d ，p r e i n v e 】【 f u n c t i o n si nm u l t i p l eo b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ，j o u r n a lo f m a t h 伽a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 8 8 ，1 3 6 ( 1 ) ，p p 2 9 3 8 高校教师在职硕士学位论文 1 8 b ，d c r a v e nm a t h e m a t i c a lp r o g r 锄i n ga n dc o n t r 0 1t h e o r y ，c h a p m a na n dh u l l ，l o n d o n ，1 9 7 8 1 9 m h a y a s g i a n d h k o m i y a ，p e r f e c td u a l i t y f o rc o n v e x l i k ep r o g r a m s ，j o u r n a lo f o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，1 9 8 2 ，3 8 ( 2 ) ，p p 2 6 9 2 7 5 2 0 v j e y a k u m a r ，ag e n e r a l i z a t i o no fm i n 锄a xt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，1 9 8 6 ，4 8 ( 3 ) ，p p 5 2 5 5 3 3 2 1 r t r o c k a f e l l a r ， c o n v e xa n a l y s i s 【m ， p r i n c e t o nu n i v e r s i t y p r e s s ，p r i n c e t o n ， n 明 j e r s e y ， 1 9 7 0 【2 2 y s a 霄a r a g i ， h n a k a y 锄aa n dt t 卸i n o ，t h e o r yo fm u l t i o b j e c t i v e0 p t i m i z a t i o n m ， a c a d 鲫i cp r e s s ，i n c ，0 r l a n d o ，s 绷d i e g o ，n 明y o r k ，l o n d 0 i l ，1 9 8 5 2 3 x my a n g ，a 1 t e r a t i v et h e o r e m sa n do p t i m a l i t yc o n d i t i o n sw i t hw e a k e n e dc o n v e x i t y ， 0 p s e a r c h ，1 9 9 2 ，2 9 ( 2 ) ，p p 。1 2 5 1 3 5 2 4 t w e i ra n dv j e y a k u m a r ，ac l a s so fn o n c o n v e xf u n c t i o n sa n d 矗a t h e m a ti c a lp r o g r 锄i n g j ， b u l l a u s t r a l 麓a t h s o c ，业3 8 ( 1 9 9 8 ) ，1 7 7 1 8 9 2 5 m a h a n s o na n db m o n d ，f u r t h e rg e n e r