（基础数学专业论文）两类最大差分方程的动力学性质.pdf

摘要 在本文，我们研究了两类最大差分方程的动力学性质，讨论了它们的解的 周期性和有界性，推广了已有的一些结论。本文具体安排如下： 在第一章，我们简要介绍了差分方程的历史背景、发展趋势、一些基本概 念和本文所得到的主要结果。 在第二章，我们研究了最大差分方程 z 。+ 1 ：m a x 三，兰生) ，n ：o ，1 z 州2 m 觚t 磊i = ，n 刮，1 的动力学性质，其中a 。满足o i n f s u p 厶= o 1 ，初始条件z 一。，z 一。+ l ，z o ( o ，) ，我们证明上述方程的每个正解都是有界的，并得到了下面的结论： ( 1 ) 设m = l ， z n ) 罂一1 是此方程的一个正解且s = l i m s u p 礼一。z n ( i ) 如果存在无限个n ，使得z n2s 和z 时1 s ，那么 z 。) 黯一】终于等于1 ( i i ) 如果存在，使得z + 2 七 o 是个路周期序列，且g c d ( 3 ，后) = 1 ，初始条件z - 2 z 乩z o ( o ，。o ) ，证明了此方程的每个正解都是有界的。 关键词：最大差分方程终于周期解有界性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ed y n a m i c 8 ，i e ，t h ep e r i o dc h a r a c t e ra n dt h eb o u n d e d n e s sn a t u r eo f t h es o l u t i o n so ft w oc l a s s e so fm a xd i 抒b r e n c ee q u a t i o n s ) a r e s t u d i e d ，w h i c hg e n e r a l i z es o m e k n o w nr e s u l t s w 6o r g a n i z et h et h e s i sa sf 0 1 l o 、幅： i nc h a p t e ro n e ，w e ! i n t r o d u c eb r i e n yt h eh i s t o r i cb a c k g r o u n d ，t h er e c e n td e v e l o p m e n t e 1 1 d e n c e ，t h eb a s i cn o t i o n so ft h e d i 艉r e n c ee q u a t i o 璐a n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r j nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so ft h ed i f f e r e n c ee a u a t i o n ，14 。 z n + 1 = m a x = 一，= 二l ) ， n = 0 ，l ， “nm 礼一m w h e r e 如) 巽oi sas e q u e n c eo fp o s i t i v er e a l 肌l b e r s w i t ho i n f 如s u p a 死：o 1 ， t h ei n i t i a lc o n d i t i o n sz m ，z m + 1 ，z o ( o ，。) w 6s h o wt h a te v e r yp o s i t i v es o i u t i o no f t h i se q u a t i o ni sb o u n d e d a n do b t a i nt h ef b l l o w i n gr e s u l t s ： i 1 ) w h e nm = 1 ，1 e t ) 墨一lb e ap 。s i t i v es o l u t i 。no f t h i se q u a t i o na n d s = l i m s u 一o 。 ( i ) i ft h e r ec x i s ti 1 1 f i i l i t e l yi n a 】叮亿s u c ht h a tz n sa i l d + 1 s ，t h e n z 。】甚 e v e n t u a j l ye q u a lt o1 ( i i ) i ft h e r ee ) 【i s t s s u c ht h a tz j i 、r + 2 七 sa 以d z + 2 七一l sf b ra l l 尼0 ，t h e n z + 2 七l sa n dz + 2 七一1 s ( i i i ) i f 厶) 茫。b ea ne v e n t u a l l yp e r i o d i cs e q u e n c e ，t h e n z 他 器1i se v e n t u a l l yp e r i o d i c w i t hp e r i o d2 ( 2 ) w h e nm = 2 露，e v e r yp o s i t i v es o l u t i o n so ft h i se q u a t i o ni se v e n t u a l l yp e r i o d i cw i t h p e r i o d2 i nc h a p t e rt h r e e ，w ei l w e s t i g a t et h ed y n a m i c so ft h ed i 艉r e n c ee q u a t i o n + l = m a x ，警) ，礼= o ，1 ， “7 n w h e r e 黯。i sap e r i 。d i cs e q u e n c ew i t hp e r i 。d 七a n d ( o ，o 。) f o re v e r y 礼o ， g c d ( 3 ，忌) = 1 ，a n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o 璐z 一2 ，z l ，z o ( o ，o 。) w ，es h o wt h a te v e r yp o s i t i v e 8 0 l u t i o no ft h i 8e q u a t i o ni 8b o u n d e d k e yw o r d s ：m a ) ( d i 艉r e n c ee q u a t i o n ；e v e n t u a l l yp e r i o d i cs o l u t i o n ：b o u n d e d n e s s xam 感 鹋：兰 s r笨 观 酱 t n盛即 m d anyd 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的 成果和相关知识产权属广西大学所有本人保证不以其它单位为第一署名单位 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yo fd i f i e r e n c ee q u a t i o n s t h ef b u o w i n ge x a m p l e ss h o u l dg i v ey o ua f & l i n gf b rt h et y p eo fa r e a st h a ta r eh i g h l yd e p e n d e n to nt h es t u d yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ： b i o l o g y e c o l o g y ，p h y s i o l o g y e c o n o m i c s ，c o n t r 0 1t h e o r y ，c o m p u t e rs c l e n c ea n ds o o n 上n e t h e o r yo ff i n i t e d i 任e r e n c ee q u a t i o n si si nap r o c e s so fc o n t i n u o u sd e v e l o p m e n ta n di th a l s b e c o m es i g n i f i c a n tf 6 ri t sv a r i o u sa p p l i c a t i o n s d i 虢r e n c ec q u a t i o n sh a v eb e e nk n o w nf o rs o m et i i i l e ，b u tt h et h e o r yf o rs u c hs y 8 t e m s h a sb e e ne x t e n s i v e l yd e v e l o p e do n l yi nt h el a t t e ro ft h en i n e t e e t hc e n t u r y i nf a u e t ，t h e s t u d yo fd i 虢r c i l c ee q u a t i o i l sh a sa ( ：q u i r e dan e ws i g n 迈c a n c e 奶t h i nt h ep a s tt w od e c a d e s i n1 9 9 2r p a g a r w a lp u b l i c e dt h em o n o g r a p h d i 雕化礼c ee g u n 托。礼sn 孔dj h e g u 0 2 i 抚e 彰 i n 1 9 9 3v l k o c i ca n dg l a d a sp u b l i c e dm o n o g r a p h g f d 6 0 a s 可 印d 玩cb e 九。仍d r0 ，d 佗如n e o t 眈船他咒c e 互伽l 玩d n s0 ，胁咖e r0 瓜e r 以搋a p p z i 仍佗彭t h e s eb o o l ( si n t r o d u c e db a s i ct b o i va b o u td i f f 6 r e n c ee q u a t i o n sa i l dp r o p o s e dm a n y o p e np r o b l e ma n dc o i l j e c t u r e ，w h i c h a t t r a c tm a l l yp e o p l et os t u d yd i f f 色r e n c ee ( 1 u a t i o n s i n19 9 5t h ec r e a t i o no fi n t e r n a t i o n a l w o f e s s i o l l a lj 0 1 1 r n “a b o u td i 虢r e n c ee q u a t i o n s o u m o f0 ，d i 孵化礼c ee q 乱以i o n so n da 卯如一 c 口抚d n s p r c 啊d e dap r o f 色s s i o n a ls t a g ef o rt h es t u d yo fd i h - e r e n c ee q u a t i o n s t h o s ew d r k s e x c i t e dt h ef u r t h c ri n t e r e s t i n gi ni r l v f 斌i g a t i o no fd i 仟e r c n c ee q u a t i o n s t h es t u d vo fr a t i o n a ld i 雎r e n c ee q u a t i o i l so fo r d e rg r e a t e rt h a j lo n ei sq u i t ec h a l l e n g i n g a n dr e w a r d i n g ，a n dt h er e s u l t sa b o u tt h e s ee q u a t i o n so 饪矗p r o t o t y p e st o w a r d st h ed e v e l o p m e n to ft h eb a s i ct h e o r yo ft h eg l o b a lb e h a v i o ro fs o l u t i o 瑚0 fn o n l i n e a rd i 能r e n c ee q u a t i o i l s o fo r d e rg r e a t e rt h a no n e e s p e c i a l l yt h es t u d yo ft w do r d e rr a t i o n a ld i f f 宅r e n c ee q u a t i o n s i sq u i t ec h a l l e n g i n ga n dr e w a r d i n g t w oo r d e rr a t i o n a le q u a t i o n sw i t ha l lo ft h ev a r i a b l e s 茁n ，z n 一1 ，p r e s e n ti n 也ee q u a t i o na r ee x t r e m e l yd i m c m tt oh a n d l ea n dv e r yl i t t l ei 8k n o w n 出o u tt h e m i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a sb e e nal o to fi n t e r e s ti ns t u d y i n gt h em 凸zd i 雎r e n c ee q u a t i o i l s t h ep e r i o d i cc h a r 卸t e ra n dt h eb o u n d e d n e s sn a t u r eo fn o n l i n e a rd i 雎r e n c ee q u a t i o i l so ft h e m 8 zt y p eh a 阳b e e ni n v 鹳t i g a t e db ym a n ya u t h o r s o u rm a i no b j e c t i v ei st oe x t e n dt h e i r 8 t u d yo fp e r i o d i c i t ya n db o u n d e d n e s st ot h eg e n e r a lc a s e 里查兰翌主兰堡笙墨墼坠整叁墨坌查垦堕墨堕堂兰堕 i n 【1 ，2 】，g l a d a si n v e s t i g a t e dt h ed i f f b r e n c ee q l l a t i o n 轳m 蜮 当，兰，) ，n = 0 ) 1 ， z n2m 蜮 石磊瓦，九一 p r o b l 锄sa n dc o n j e c t u r e s a ss p e c i a lc a s e s ，t h ed i 船r e n c ee q u a t i o n 嘶。= m a x 圭，叁枷一o ，1 ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) w h e r e 如) 甚。i sp 。s i t i v er e a ln u i n b e r s ，h a sa t t r a c t e dt h e a t t e n t i 。n 。fm a n yr e s e a r c h e 吼 i nf 3 1 ，y c h e np r o v e dt h a tw h e n 厶) 墨o i sap e r i o d i cs e q u e n c eo fp o s i t i v er e a ln u m b e r s w i t hp 妻基d 惫2a n da n ( o ，1 ) f o ra u n2o ，e v e r yp 0 8 i t i v es o l u t i o no fe q ( 1 2 ) 1 s e v e n t u a l l yp e r i o d i ew i t hp e r i o d2 i nc h a p t e r2o ft h i sp a p e r ，w ec o 璐i d e rt h em o r eg e n e r a lc a s ea n d o b t a i nt h ef o l l o w i n g r e s u l t ： l e to i n fa n 8 u pa n 1a n d z 。) 黯一1b eap o s i t i v es 0 1 u t i o no fe q ( 1 2 ) ，t h e ne v e r y d o s i t i v es o l u t i o no ft h i se q u a t i o ni sb o u n d e d s e ts = l h ns u 一z n ( 1 1i ft h e r ee ) ( i s ti n f l n i t e l ym a n y 钆s u c ht h a tz 仉sa n dz 叶1 s ，t h e n z n ) 罂一1 i s e v e n t u a l l ye q u a lt o1 ( 2 ) i f ，t h e r ee x i s t s s u c ht h a tz + 2 知 sa n dz + 2 南一l s f o ra u 七o ，h e n 茁+ 2 k + 1 sa n dz + 2 k 一1 。哼s ( 3 ) i f 厶) 器。i sa n e v e n t u a l l yp e r i o d i cs e q u e n c eo fp 。s i t i v er e a ln u i i l _ b e r s ，t h e n 【z 礼】黯一1 i se v e n t u a u yp e r i o d i cw i t hp e r i o d2 m o r e o v e r ，w e8 t u d yt h ep e r i o d i cc h a r a c t e ro ft h e f o l l 0 1 w i n gd i r e n c ee q u a t i o n 。= 叫去，急) ， w h e r e a n ) 器oi sp o s i t i v er e a ln u 皿【b e r s ，a n do b = i n f a n 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w em a ya s s u m eb yt a k m gs u b s e q u e n c et h a t a 。k 斗p ( ， z n k s a n d f r o mw h i c hi tf o l l o w st h a t z 竹+ l ，z k 一1 s ，o 。) ， z n 知+ l s a n d z n 知一l s w bm a ya s s u m eb yt a k i n gs u b 8 e q u e n c et h a ta 札k 呻肛( 1 ) b yt a k i n gl i m i t 8i ne q u a t i o n 一m a x t 去，叁， a s 佗南_ ，w eo b t a i n s = m a x 圭，多) = 圭， t h i si m p l i e st h a t l = 喜 t h ep r o o fi sc o m p l e t e ， t h e o r e m2 1 眈 z 。) 墨一1 6 enp d s 捌口es d 玩既d 住吖肋俾夥。砌s = l i m s u h 一z r i 可沈e 匏e 磊毹i 蛳谢匏幻m 8 珏忍s 牡e 龙跣耐z n so 铭dz 。+ l s ，现e 船。( z 。) = 1 口佗d z n ) 器一1i se 钉e 礼乱n f f e 口乱口z d j p r o o f ：w ba s s l m l et h a tt h e r ee 菇s t sa ni 血n i t es e q u e n c e sn 1 r 也 n 3 ，现 z n a 。 z 几一1 i n d e e d ，i ft h e r ee x i s t si n 矗n i t e l ym a n yn 七8 u c ht h a t 一急， w em a ya u s s u m eb yt a k i n gs u b s e q u e n c et h a ta n k _ 肛 1 ，t h e ni tf o l l o w s 1 = 竿a n d p = 1 ， w h i c hi sac o n t r a d i c t i o n t h e r e f o r et h e r ee x i s t s s u c ht h a tf o ra un ， 1 z 叶l2 + b n t h u s z 。= z f 6 rn = + 2 尼 a n d i tf o l l o w sf r o mz 。_ lt h a t t h ep r 0 0 fi sc o m p l e t e z n = z + 1f b r 佗= + 2 尼+ 1 z j v + 1 。z = 1 t h e o r e m2 2 l e z 。) 器一1 沈口p d s 捌刀es d 玩统d n 吖功俾矽o n ds = l i m s u ，o 。z 。 巧饶e 他凹i s s s 乱c 冼n z + 2 七 s ，z + 2 七一1 s 如ro f f 忌0 ，冼e 礼z + 2 七_ 1 s ，z + 2 七一1 s p r o o f ：i fs = 1 ，i ti so b v i o 璐t h a tt h e o r e m2 2h o l d s i nt h ef o l l o w i n g ，w ea s s u m es 1 s u p p o s ef o rt h es a l 【eo fc o n t r a d i c t i o nt h a tt h e r ee ) 【i s t sas u b s e q u e n c ez + 2 o fz + 2 七s u e h t h a t z + 2 哼s w bm a ya s s u m eb yt a k i n gs u b s e q u e n c et h a t a + 2 如叶p 8 广西大学硕士学位论文两类最大差分方程的动力学性质 b yt a k i n gl i m i t si ne q u a t i o n a s 也，w eo b t a i n w h i c hi m p l i e st h a t z + 2 + l = m a x l a + 2 虹 ， z + 2 蕊z + 2 一1 s = m a x 专，善) ， s = 1 w h i c hi sac o n t r a d i c t i o n t h ep r o o fi sc o m p l e t e t h e o r e m2 3 l e t a ) 甚o6 e 口佗e 可e n 扎n 坳胪疵d d i cs e g e n c e 吖p d s 统 er f 讹m 6 e 粥， 琥e ne 口e r 可p d s i 锄es o 玩i o 他吖励俾矽诂e 秽e 礼钍o f 幻p e n d