（基础数学专业论文）若干非线性演化方程的精确解.pdf

中文摘要 随着科学技术的发展和线性理论的同趋完善，非线性科学已经在各个研究 领域的作用越来越重要，逐步成为科学研究的焦点物理、化学、生物、工程 技术甚至经济研究等都存在着人量的非线性问题，这些问题可以用非线性常 微分方程或j f 线性偏微分方程来描述至此，如何求解这些非线性方程无疑成 为了非线性研究的关键和难点所在 非线性方程不同于线性方程，虽然人们已经建立了不少行之有效的求解方 法，如直接法，广义条件对称法，分离变量法，经典和非经典李群法，齐次平衡法 等，但是，没有一种方法是能够普遍适用于所有的非线性方程的所以，继续寻 找一些有效可行的方法求解非线性方程仍然是一项十分重要的工作 本文运用了一种指数函数展开法，进一步研究和分析了若干非线性演化方 程，并得到了它们的更多的新的精确解第一章中我们简介了几种求解非线性 偏微分力程精确解的方法和非线性偏微分方程求解研究方法的发展状况第二 章中我们运用了指数函数展开法，求解了若干非线性演化方程( 组) ，给出了它 们更多的新的精确解第i 章我们对本文的工作做了总结和展望以及后续要研 究的二 作 关键词 非线性演化方程，精确解，指数展开法 a b s t r a c t ( 英文摘要) w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g ya n dt h el i n e a rt h e o r yb e i n gp e r f e c t i n c r e a s i n g l y t h en o n l i n e a rs c i e n c ei sb e c o m i n gm o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti na l m o s ta l lt h es c i e n t i f i cf i e l d sa n dc l o s et ot h ef o c u sf o rt h es c i e n t i f i cr e s e a r c h t h e r ea r eal a r g eo fn o n l i n e a rp r o b l e m st h a tc a nb es h o w na n dd e s c r i b e db y t h en o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n p h y s i c s ：c h e m i s t r y b i o l o g y ，a n da l s oe c o n o m i c sr e s e a r c h s o ，h o wt os o l v et h en o n l i n e a re q u a t i o n sh a v eb e c o m e dt h ec r u c i a la n dd i f f i c u l tw o r kf o rt h er e s e a r c h e r s n o n l i n e a re q u a t i o n sa r ed i f f e r e n tf r o ml i n e a re q u a t i o n s ，a l t h o u g hp e o p l eh a v e c r e a t e dm a n ye f f e c t i v em e t h o d st od e a lw i t hn o n l i n e a re q u a t i o n sl i k ed i r e c t m e t h o d ：g e n e r a l i z e dc o n d i t i o ns y m m e t r y , v a r i a b l es e p a r a t i o n ，c l a s s i c a la n dn o n c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ，h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o da n ds oo n ，n oo n e m e t h o dc a nb es u i t a b l ef o ra l lk i n d so fn o n l i n e a re q u a t i o n s t h e n ，i tr e m a i n sa v e r yi m p o r t a n tw o r kt ol o o kf o rn e we f f e c t i v em e t h o d st od e a lw i t ht h en o n l i n e a r e q u a t i o n s i n t h i sa r t i c l e ，w eu t i l i z ea ne 印( 一妒( ) ) 一e x p a n s i o n a p p r o a c ht os t u d y s e v e r a ln o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n sa n dg e ts o m en e we x a c ts o l u t i o n so f t h e m i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es e v e r a lm e t h o d st os t u d yt h ee x a c ts o l u t i o n o fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w eu t i l i z ea n e z p ( 一妒( ) ) 一e x p a n s i o na p p r o a c ht os t u d ys e v e r a ln o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a - t i o n sa n dg e ts o m en e we x a c ts o l u t i o n so ft h e m i nc h a p t e rt h r e e ，w es h o wt h e s u m l n a r v ，a n de x p e c t a t i o no ft h i sa r t i c l e k e y w o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o n a le q u a t i o n ：e x a c ts o l u t i o n ：e z p ( - 妒( 4 ) ) - e x p a n s i o na p p r o a c h i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论义作者签名：君手壮指导教师签名：肚 雷夕c 7 年乡月，7 日易夕口7 年月，7 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及耳义得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得婀北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一j 二j t 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文储签名：方p 转锣 沙1 年6 月，- 7 曰 两北人学硕l 学化论文 1 1引言 第一章绪论弟一早珀t 匕 在自然界和人类社会中的各个领域，存在着非常众多的非线性现象例如 粒了的非简谐振动，非线性等离子振荡，固体在高温或是低温下的热胀冷缩现 象等南于人们对探寻大自然和非线性现象本质的强烈兴趣，南此便促成了研 究非线性现象的科学即非线性科学近几十年来非线性科学已经得到了迅速 的发展，人们已经逐步认识到了非线性科学是一门处在当代自然科学前沿的学 科，它的发展将会对其它自然学科的发展产生很大的影响随着数学家，物理学 家和众多的科技工作者们研究的进一步深入和细化，已经有越来越多的非线性 现象可以川数学语言来进行描述，即可以用一个或是几个常微分方程或非线性 的偏微分方程来进行描述尽管很多的非线性现象都可以用非线性偏微分方程 来进行描述，并且现有的相关理论可以对其进行很好的解释和相当程度的理解， 但是对丁非线性偏微分方程的水解往往还存在一定的困难，特别是求其精确解 至今，还没有一种方法是普遍适用于所有的非线性偏微分方程的所以，继续在 原有的基础上对现有的方法进行必要的更加深入的推广并寻找新的更加行之有 效的方法和途径依然是当前非线性科学研究领域的重要研究课题 求解非线性偏微分方程精确解的方法有很多，往往是对不同的一类问题 采取不同的研究方法和手段我们经常用的方法大致有：经典和非经典李 群法( c l a s s i c a la n dn o n c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ) 1 。4 i 、广义条件对称方 法( g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d ) 5 8 】、形式分离变量法【引、几何 方法( g e o r m e t r i c a lm e t h o d ) 1 0 ，l l 】、试探函数法【1 2 1 到、反散射方法( i n e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 1 5 , 1 6 】、达布变换法( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 【1 7 1 驯、p a i n l e v 6 截 断展开法( t r u n c a t e dp a i n l e v de x p a n s i o n ) 2 0 一2 2 】和j a c o b i 椭圆函数展开法【2 3 - 2 5 】 等等限于篇幅，下而仅对几种与本文相关的常用方法作以简单介绍，对某些方 法感兴趣的读者可以查阅相关文献 笫一辛绪论 1 2 几种非线性系统求解方法简介 1 2 1 泛函分离变量法 屈长征教授和张顺利教授等在文献 2 6 中对于非线性演化方程的泛函分 离解，提出了利用一般条件对称对方程进行归类和求解的步骤和实现方法，称 之为泛函分离变量法【7 - 引 对于非线性发展方程，为叙述简明，以下考察k l e i n g o r d o n 方程 我们仅考察其乘积型分离解 或和式型分离解 u = ( z ) 矽( ) u = 矽( z ) + 矽( ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 的情况然而，对于绝大多数的非线性演化方程，它们是没有此种解的因此， 我们需要寻求更一般形式的分离变量解一一即泛函分离解( f s s ) 厂( u ) = 砂( z ) + 妒( ) ， 取定f ( u ) 为可逆函数泛函分离解( 1 4 ) 满足约束条件 ，三u z + g ( u ) u z u t = 0 ， ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中g ( u ) 三i l l ( u ) ，7 ( u ) 而寻求f s s 的问题等价于寻求方程( 1 1 ) 的一般条 件对称 y = 7 7 瓦c 9 三k 。+ 咖) u 幽 彘 ( 1 6 ) 定义：一般向量场( 1 6 ) 叫做方程( 1 1 ) 的一般条件对称( g c s ) ，如果 y ( 2 ) ( a ) i e n w = 0 ， ( 1 7 ) 2 两北人学硕i “学位论艾 其中e 是方程( 1 1 ) 的解流形，w 是附加于( 1 1 ) 的方程列集d ：7 7 = 0 ，i = 0 ，1 2 ，：相当于不变曲面条件及其关于z 的各阶全导数 下面具体计算y ( 2 ) ( ) i e n 对于方程( 1 1 ) ，v 的二阶延拓为： 俨b 彘埘r ，毫删2 ，毫 若v ( 2 ) 作用于一般波动方程( 1 1 ) ，便有 y ( 2 ) ( ，“一“z z f ( ，u ) ) l e n w = ，) ；叩一7 ) ：叩一f ( h ) 叩 f e r l w ， 借助于表达式珑7 7 = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，羊w - - 一i ：1 ( 1 1 ) ，从上式中消去u 的高阶导 函数，上式化为含有乱的独立偏导数项的卜式 y ( 2 ) ( u “一u z z 一尸( u ) ) i e n = d , 2 7 7 1 e n w = 9 ( 乱) 一2 夕( u ) 9 7 ( u ) 】乱；乱z + 2 夕( 乱) 夕7 ( 扎) 一夕( 乱) u t u z 3 + i f ( 钆) + 9 ( u ) f 7 ( u ) + ( 3 9 7 ( 乱) 一2 夕( 饥) 2 ) f ( u ) “z ，( 1 8 ) 方程( 1 1 ) 具有一般条件对称( 1 6 ) 当且仅当表达式( 1 8 ) 为零，这就给出方 程( 1 1 ) 具有泛函分离解的充要条件定理： 定理：方程( 1 1 ) 具有泛雨分离解( 1 4 ) 当且仅当 g 一2 q 9 7 = 0 ，f + g f 7 + ( 3 9 7 2 9 2 ) f = 0 ( 1 9 ) 通过求解( 1 9 ) ，可给出方程( 1 1 ) 具有泛函分离解( 1 4 ) 的完全归类；对任一 等价类，由9 ( “) 定出厂( u ) ，再取逆得u = f - 1 ( 矽( z ) + 砂( ) ) ，将它代入对应方程 得到确定( z ) 和砂( ) 的常微分方程组，求解常微分方程组可得泛函分离变量 解 1 2 2 齐次平衡原则 齐次平衡原则1 2 7 - 2 9 是由兰州大学的王明亮教授提出来的一种求解非线 性偏微分方程的非常重要的方法该方法能够将非线性演化方程的求解问题转 3 筇一带绪论 化j , j 纯代数运算依据该方法可以事先判定某一类非线性偏微分方程是否有一 定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按照一定的步骤求出它们的解 因此，该方法具有直接，简洁和步骤分明的特点到目前为止，齐次平衡原则在 非线性数学物理中已经得到了广泛的应用，而且它的应用范围还在不断扩展， 已经成为处理非线性数学物理相关问题的非常有效的工具之一下面简单的介 绍一下该方法的基本思想和步骤：对于给定的一个非线性偏微分方程 p ( u ，札z ，t t z z ，u ，t t x t ，) = 0 ，( 1 1 0 ) 其l f lp 一般是其变元的多项式，并含有非线性项及线性出现的最高阶导数 项 一个函数叫= w ( x ，t ) 称为是方程( 1 1 0 ) 的拟解，如果存在单变元函 数厂= 厂( 叫) ，使得f ( w ) 关于z , t 的一些偏导数的适当的线性组合，即 似叫) = 笨掣州州) ( 1 1 1 ) ( 其中v ( x ，t ) 是f ( w ) 关于z 和t 的低于m + 儿阶的偏导数的适当线性组合) 精确地满足( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) 中的非负整数m ，n ，单变元函数f = f ( w ) 以及函 数w = w ( z ，t ) 都是待定的，将( 1 1 1 ) 代入( 1 1 0 ) 中可以通过下面步骤确定它 们： 首先，使高阶偏导数项中包含w ( z ：t ) 的偏导数的最高幂次和非线性项中 包含的关于( ：f ，t ) 的偏导数的最高幂次相等，来决定非负整数”。及几是否存 在( 若发生m 及佗中有负数或是分数的情形，可通过未知函数的变换，将原方 程化为新未知函数方程，使相应的m ，n 为非负的) 其次，对于集合( z ，t ) 的偏导数的最高幂次的全部项，使其系数等于零： 而得到f ( w ) 所满足的o d e ：解之则订j 得f = 厂( 叫) ，一般是对数函数 第j ，将f = f ( w ) 的各阶导数的非线性项，用f = 厂( ) 的较高阶的导数 米代替：再将，= ，( w ) 的各阶导数项分别合并在一起，并令其系数为零? 从而 得到“，( ，t ) 的各次齐次型的p d e 方程组，口j 通过选择( 1 1 1 ) 中线性组合的 适当系数，使p d e 方程组有解 4 p q 北人。学帧i 子：1 、? 仑艾 最后，如果前面三步的回答是肯定的，那么将这些结果带入( 1 1 0 ) 中，经过 一些计算就。口j | 以得到( 1 1 0 ) 的精确解 上述步骤对于许多的非线性数学物理方程( 组) 的解答都是肯定的，所以齐 次平衡原则具有一定的普适性 1 2 3 j a c o b i 函数展开法和f 一展式法 近些年来，基于齐次平衡原则的创立与广泛应用和符号计算发展的日趋成 熟，函数展式法逐渐发展成为了构造求解非线性方程精确解的非常有效的直接 方法其中，j a c o b i 函数展开法【3 0 一3 1 1 和f 一展式法【3 2 3 4 1 是众多方法中构造非 线性方程双周期解的十分有效的方法，它们的算法的基本原理是基于很多有物 理意义的非线性方程的双周期解都可以表示为j a c o b i 函数的多项式，并且在 极限的情况下得到方程的孤立波解和三角函数解，这是许多方法所得不到的 在j a c o b i 函数展开法和f 展式法的基础上，之后又发展了许多的推广的方法， 它们可以求出非线性方程组合形式的解下面对j a c o b i 函数展开法和f 展式 法做一简单的介绍： j a c o b i 函数展开法 函数展开法中j a c o b i 函数展开法是构造非线性演化方程双周期解的有效 方法运用j a c o b i 函数展开法的主要步骤可以概括为以下几步： 首先，假设方程具有形如u ( x ，t ) = ， ( ) = z u t + o 的行波解，然后将 其带入非线性偏微分方程中，则得到关于，z ( ) 的常微分方程 其次，再假设在上一步得到的常微分方程的解的形式为：饥( ) = fa i s i ， i = o 其中s 为j a c o b i 函数中的跏或c 1 1 第三步：对化简得到的常微分方程使用齐次平衡原则，平衡常微分方程中 的最高阶线性项和最高阶非线性项，得到，n 的值，从而确定第二步中的解的形 式 最后，将第三步确定的解的形式代入常微分方程整理成为关于s 的多项式 形式，令多项式的系数为0 即得到关于未知量的非线性代数方程组，再利用数 学软件进行符号计算，解此非线性代数方稗组，确定未知量，即可得出解的形式 5 第一帝绪论 由于所有的j a c o b i 函数均满足如下的非线性常微分方程： f 膳= q o + q 2 f 2 + q 4 f 4 如果利用此非线性常微分方程作为辅助方程去构造非线性演化方程的解， 则就发展出了f 一展式法 f 展式法 f 展式法适用于许多的非线性方程，利用它求解非线性方程的主要步骤 为： 第一步：假设给定的一个关于变量z ，t 的非线性偏微分方程为： 设其行波解的形式为： p ( u ，i t t ，u z ，札扰乱幽u z z ) = 0 ，( 1 1 2 ) u ( x ，t ) = 妒( ) ，= k x u 芒+ o ，( 1 1 3 ) 其中k 和u 是待定常数，如是任意常数 将( 1 1 3 ) 代入( 1 1 2 ) 就可得到关。丁妒的常微分方程： p ( 妒，妒7 ，妒，) = 0 ，( 1 1 4 ) 存上式中妒7 = 鬻，妒= 枣，妒( 几) = 骞 第_ | 步：假设( 1 1 4 ) 的解有如下形式： 妒( ) = q i f i ( ) i = 0 f 7 2 ( ) = q o + q 2 p 2 ( ) + q 4 f 4 ( ) ， ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 其中是待定常数：将其代入得到的常微分方程中，再利用齐次平衡原则，通 过平衡( 1 1 2 ) 中的最高阶线性项及最高阶非线性项，确定7 7 , 的值，即可以得到 解的形式 第三步：将( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) 代入常微分方程( 1 1 4 ) 中，整理为关于f i ( f ) 的 多项式，令多项式的系数为o ，则可得到关于未知量的代数方程组 第阴步：利h j 数学软件进行符号计算，求解所得到的非线性代数方程组： 确定詹，u 的值：然后将结果代入( 1 1 5 ) ，即可得到方程( 1 1 2 ) 的一般的行波 n p u 北人学硕f “学伉论文 解，解的形式为。ja j c o b i 函数双周期解的形式，并且在极限情况下，就可以得到 方程的孤立波形式的解 f 满足常微分方程f , 2 ( ) = 伽+ ( f 2 f 2 ( f ) + q 4 f 4 ( ) 的解，当q o ，q 2 ，q 4 取不 同的值时即得到不同的j a c o b i 函数解 此两种方法都是构造非线性方程精确解的有效的直接方法，有一定的适用 性 1 2 4 指数函数展开法 指数函数展开法 3 5 】是一种构造性的求解非线性演化方程精确解的有效方 法它适用于很多的非线性演化方程e x p ( 一妒( ) ) 展式法i s 6 是指数函数展开 法的一种改进的形式，是一种新的探求非线性演化方程精确解的方法它使用 于大批的非线性演化方程如b u r g e r s 方程，k d v b u r g e r s 方程，b o u s s i n e s q 方 程等 e x p ( 一妒( ) ) 展式法的基本思想是：寻找非线性演化方程的可以表示 为e x p ( 一妒( ) ) 的多项式的新行波解，其中妒( f ) 满足常微分方程( 1 2 1 ) 且易求 解，其中= x c t 多项式的幂次可以通过对方程的最高阶导数和非线性项采 用齐次平衡方法而确定，然后令得到的关于e x p ( 一妒( ) ) 的多项式的系数为零： 便川得到非线性演化方程的更多的新行波解 考虑一个非线行演化方程，假设该方程仅依赖于变量z 和t ，并且有如下一 般形式 p ( u ，u t ，u z ，l t t t ，u x ，u z z ) = 0 ，( 1 1 7 ) 其中u = 饥( z ，t ) 是未知函数，) 是一个关于u = u ( z ，t ) 和它的各阶偏导数的多 项式，且包括最高阶导数项和非线性项 具体的求解过程可以分为以下四步： 第一步：关于变量z 和t 作变换f = z c t ：假设礼= u ( z ，t ) 具有如下形 式 ( 了：，t ) = ? ( ) ，f = z c t ， 7 ( 1 1 8 ) 筇一市绪论 将( 1 1 8 ) 代入( 1 1 7 ) 中，- 口j 将( 1 1 7 ) 降阶为关于“= 儿( ) 的一个方程 形式 p ( u ，一c ，u 7 ，c 2 ，t t ，一c u ，7 ，) = 0 ( 1 1 9 ) 第二步；假设方程( 1 1 9 ) 的解可以表示成如下关于e x p ( 一妒( ) ) 的多项式 住( ) = a m ( e x p ( 一妒( ) ) ) m + c t m - 1 ( e x p ( 一妒( ) ) ) m 一1 + ，( 1 2 0 ) 其中妒( ) 满足下面的方程 妒7 ( ) = c x p ( - t ( ) ) + pe x p ( 妒( ) ) + a 由a 2 4 p 的正负，可将方程( 1 2 1 ) 的解分为以下五种情况： 1 ) 当a 2 4 0 ，0 时 妒( ) = i n (一v a 2 - 4 , t a n h ( 业( f + c 1 ) ) 一a 其中c l 是任意常数 2 ) 当a 2 4 0 ，p = 0 时 妒( ) = 一 2 “ l n 面丽 其中c l 是任意常数 3 ) 当a 2 4 p = 0 ，p 0 ，入0 时， 妒( ) = i n ( - 2 ( a ( f + c 1 ) + 2 ) a 2 ( + c 1 ) 其中c l 是任意常数 4 ) 当a 2 4 ，z = 0 ，p = 0 ，a = 0 时 其中c l 是任意常数 5 ) 当a 2 4 , 0 ，肛0 时， 其中f = 丁+ 夏i 干孑叉_ 二硒t ，c i 是任意常数 2 ) 当a 2 4 p , 0 ，t t = 0 时， ( 2 9 ) 以沪葡忘瓮而- a a 士厄再丽， ( 2 1 0 ) 笫1 章若一p ：l l 线。r l 演化方补的精确舻f 其r 1 = z + 4 2 c o + ( z 2 入2 t ，c 1 是任恿常数 3 ) 当a 2 4 皿= 0 ，p 0 ，入0 时， 昧) = 黼- a a + 俪， 其中f = z + v 2 c o + a 2 a 2 - - 4 a 2 # t ， c 1 是任意常数 4 ) 当入2 4 p = 0 ，弘= 0 ，a = 0 时， ，“( ) = 丽- 2 a 土佤， 其中= z + 佩， c l 是任意常数 5 ) - _ - 5a 2 4 舻 0 ，p 0 时， 州2 丽i 忑露4 8 p 季2 c 7 石丽面( 、a 2 4 肛t a n h ( 型掣( f + c 1 ) ) + a ) 2 + 2 4 c a p 7 v a 2 4 # t a n h ( v v 。- 4 ( + c 1 ) ) + a 其中= z + c t ，c 1 是任意常数 2 ) 当a 2 4 p 0 ，p = 0 时， 比) = 嘉 + c - i - c 7 a 2 + 8 c - t # 一c o 酽+ 面丽万1 2 c 瓦7 a 两2j 其中= z + c t ，c 1 是任意常数 3 ) 当a 2 4 p = 0 ，肛0 ，a 0 时， ( 2 2 1 ) + c + c t a 2 一c o ，( 2 2 2 ) t z c ，= 毒专端+ 軎专粼+ c + c g a 、2 + 8 c 7 p 一印，( 一2 2 3 ，“a 、一e 汉虿j _ 石_ 丽十匹叮虿j _ 石厕十c + + 苓c 7 p 一印， 其中= z + c t ，c 1 是任意常数 4 ) 当a 2 4 p = 0 ，肛= 0 ，a = 0 时， 北) = 盎c o ， 其巾= z + c t ：c 1 是任意常数 5 ) 当a 2 4 0 ，芦0 时， u ( f ) b ( v a 2 - 4 # t a n h ( 丛( + c 1 ) ) + a ) 2 + 瓦而i 五茬五i 而丙佃。 8 a “ 口( 、页瓤t a n h ( 学( + c 1 ) ) + a ) u ( ) 2 瓦云瓦面1 孽6 c p , 2 荪丽b ( 、勺浮- 二二_ 瓦t a n h ( 学( + c 1 ) ) + a ) 2 8 c a l z r ：三= = = = = 一 口( 、页瓤t a n h ( 型学( + c 1 ) ) + a ) j _ ! 二! ! 垒! ! ! 丝! 堡! 竺旦 厅 其中f = z + c t ：c 1 是任意常数 2 ) 当a 2 4 t 0 ，p = 0n - , l 。， 髓一雨丽一 t ，( f ) = + 4 a 2 瓦面两可虿丽+ q 。 4 c a 24 c a 2 b ( e x p ( a ( ( + c 1 ) ) 一1 ) 2b ( e x p ( a ( + c 1 ) ) 一1 ) 1 一c + c a 2 + 2 b c a o 其中= z + c t ：c 1 是任意常数 3 ) 兰ja 2 4 弘= 0 ，p 0 ，a 0 时， ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) z z ( ) = 一再【袁龋+ i 篙黼+ 。 ( 2 4 。) 】9 + 坐 户8一了 、j 一一l胪垫b 2 一 比丝 一 卜一 卜兰 x 一一 旺 t l 缸一口。卜 f f 、l ，(“ 筇章? ? 十f f 线r i 演化方稃的秸0 解 c a 4 ( f + c 1 ) 22 c a 3 ( + c 1 ) b ( a ( + c 1 ) + 2 ) 2b ( a ( f + c 1 ) + 2 ) + 1 一c + c a 2 + 2 b c c 卫。 其中= z + c t ，c 1 是任意常数 4 ) 当a 2 4 p = 0 ，p = 0 ，a = 0 时， t ，( ) = 4 口( f + c 1 ) 2 4 c 日( + c 1 2 + 0 1 0 1 一c + 2 b c a o + 1 广 其中f = ? + c t c 1 是任意常数 5 ) 当a 2 4 ，z 0 时， u ( ) = 1 6 # 2 b ( v 4 # - a 2t a n ( 军( + c 1 ) ) 一入) 2 8 a # b ( x 4 # - a 2t a n ( 平( f + c 1 ) ) 一入) u ( ) 2 瓦i 元乖1 6 季c # 2 百丽再 b ( 4 肛一a 2t a n ( 型半( + 1 ) ) 一a ) 2 8cart + ：兰= = = = 一 1 3 ( v 4 # - a 2t a n ( 丛乒( + c 1 ) ) 一a ) 其中= z + c t ：c l 是任意常数 2 2 4 h i r o t a - s a t s u m a 方程组 + o l o + 生掣 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) h i r o t a - s a t s u m a 方程组已经获得的有运用j a c o b i 椭圆函数展开法得到的 准确周期解：其巾包括冲击波和孤立波解；有利用d a r b o u x 变换求得的孤立 解，周期解极点解；有运用f 一展式法和计算机代数系统m a t h e m a t i c a 求解的 精确孤立波解等 在这一小节巾我们考虑如下形式的h i r o t a - s a t s u m a 方程组 3 9 】： 乱t + 6 u u z + 1 上z z z 一2 av v z = 0 1 衄+ 3 u v z + 1 k z z = 0 2 【) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 两1 l j 0 ，肛= 0 时， 让( ) _ 4 a 2 啪) = 而v 揣pu 、c “、，1 - u 1 ， 其中f = 丁+ a 2 t ，c l 是任意常数 3 ) ：入2 4 1 1 = 0 ，i t 0 ，a 0 时， ( 2 5 6 ) cxp(a淼( 1 ( 2 5 7 ) + c 1 ) ) 一 p 7 士2 怕a 2 + 万丽虱砥干瓦萨可 似沪揣+ 器 5 8 ) z 代，= 煮器+ 蒜鬻器， 2 3 面i 至 旦一 卷卷 = 、， ，l 第i 章若十。| | 线竹演化, 丁- t l 引aj 0 1 精确解 其中= z4 - 1 2 p t ，c l 是任意常数 4 ) 当a 2 4 p = 0 ，p = 0 ，a = 0 时， u = 再每+ 卷 ( 2 5 9 ) - i - 2 , 6士2 、6 a u k 卜丽丽一而两， 其中= z ，c 1 是任意常数 5 ) 当a 2 4 p 0 ，弘0 时， 笔i ( 2 m ) 3 ( f 可t a n h ( 迹( + c 1 ) ) + a ) 2 、7 其巾= z + c t ，q 是任意常数 2 ) 当入2 4 p 0 ，肛= 0 时 蛾) _ - 丽蒹而一丽蒹两( 2 j 7 2 )u ( ) 2 一丽而丽石j f 可一丽而雨丽 ( 2j 7 2 ) 吣) 面面若面两士去， 其中= z + c t ：c 1 是任意常数 3 ) 当入2 4 p = 0 ，0 ，a 0 时， 2 6 一昙，( 2 7 3 ) t ) 西北人学硕i 学何论文 其中= z + c t ： c l 是任意常数 4 ) 当a 2 4 肛= 0 ，p = 0 ，a = 0 时， 比) 一嘉 吣) = 志- f - 1 ， vj l u 其中= z + c t ：c 1 是任意常数 5 ) 当入2 4 弘 0 时， ( 2 7 4 ) 蚓= 一而声磊磋8 # 2 甄而 2 7 5 ) 4 a # 2 + 菊云磊面寡甄而一j 肛 依) = 千瓦鬲元暴毒鬲士去，锈( 、伍御t a n ( 掣( f + c 1 ) ) 一入) 、3 其中= z + c t ，c l 是任意常数 2 3 本章小结 本章简单介绍了非线性演化方程研究发展的一些基本情况：之后，主要是 运用了指数展开法对若干的非线性演化方程进行了精确求解 对于指数展开法，运用它的关键是要正确的使用齐次平衡原则合理的假 设解的形式，化简成关于若干待定常数的代数方程的求解问题对于很多的非 线性演化方程来说，并不能求出它们符合指数展开形式的精确解有的演化方 程对于其求出来的结果进行适当的处理和变化就可以得出其部分合理的可以 使川的粘确解 本章中我们求解出了b u r g e r s 方程、b e n j a m i n - b o n a - m a h o n e y 方 程、a k n s 方程组、h i r o t a - s a t s u m a 方程组和( 1 + 1 ) 维色散长波方程组的 更多的行波精确解从而丰富了它们的解的类型有利于对它们的性质的进一 步了解和更加深入的研究 2 7 筇i 章荇十一1 r 线r i j 演化方 ! i ! 的精确解 总结与展望 本文绪论部分简单的介绍了几种求解非线性偏微分方程的研究方法并引入 了本文中主要所用的指数函数展开方法，之后又描述了非线性偏微分方程求解 研究方法的发展状况 在第二章中，我们说明了非线性演化方程的一些情况然后，主要运用指数 函数展开法对若干的非线性演化方程进行了更深入的研究，并得到了它们更多 的新的精确解指数函数展开法是一种构造性的求解非线性演化方程精确解的 有效的方法对于此方法，本文进行了详细的描述和介绍，在对每一个非线性演 化方程的求解过程中都做了认真的考虑和考量我们从本文中的求解过程可以 看出此方法适用于很多的非线性演化方程，但它目前还只适用一维的非线性演 化方释或是方程组 本文中的方法还有改进和拓展空间，我们认为还有一些问题值得去进一步 思考和探求： 第一：能否结合变晕分离法构造新形式的指数展开式将此方法推广到二维 或是更高维的非线性演化方程上去? 第一：本文中仅对若干个非线性演化方程进行了求解，而并没有考虑它们 的物理意义，这还需要进一步的研究 两北人学颂f 毕, i k 论! 【： 参考文献 【1 o v l e rp j a p p l i c a t i o no fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n2 n d g i a d u a t et e x t sm a t h 1 0 7s p r i n g e r ，n e wy o r k ，1 9 9 3 2 b l u m a ng w ，k u m e is s y m m e t r i e sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a p p l m a t h s c i 8 1s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 8 9 3 j z h d a n o vr zc o n d i t i o n a ll i e b s c k l u n ds y m m e t r ya n dr e d u c t i o no fe v o 1 u t i o ne q u a t i o n ，j p h y s a ，1 9 9 1 2 8 ：3 8 4 1 3 8 5 0 4 】z h d a n o vr z ，l a h n ov ic o n d i t i o n a ls y m m e t r yo fa p o r o u sm e d i u me q u a - t i o n ，p h y s i c s d ，1 9 9 8 ，1 2 2 ：1 7 8 1 8 6 5 jq uc z ，h ew l ，d o uj h s e p a r a t i o n o fv a r i a b l e sa n de x a c t s o l u t i o n st o q u a s i l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rs o u r c e ，p h y s i c s d ，2 0 0 0 ，1 4 4 ：9 7 1 2 3 f 6 】q uc z ，h ew l ，d o uj h s e p a r a t i o no fv a r i a b l e sa n de x a c ts 0 1 u t i o n so f g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rk l e i n g o r d o n e q u a t i o n s ，p r o g t h e o r p h y s ：2 0 0 1 ，1 0 5 ：3 7 9 3 9 8 e s t e v e zp g ，q uc z ，z h a n gs l s e p a r a t i o no fv a r i a b l e so fag e n e r a l i z e dp o r o u sm e d i u me q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rs o u r c e ：j m a t h a n a l a p p l ， 2 0 0 2 ，2 7 5 ：4 4 5 9 【8 j e s t e v e zp g ：q uc z s e p a r a t i o no fv a r i a b l e si nn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n w i t hav