（机械电子工程专业论文）基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究.pdf

于葡要 连续体结构拓扑优化是结构优化中的前沿和热点问题之一。本文以连续体结 构为研究对象，分别就连续体拓扑优化的材料插值方法、优化中的数值计算不稳 定性现象的分类和解决策略、以及数值求解算法等方面进行了比较深入的研究。 主要工作如下： 1 ) 针对变密度法中s i m p ( s o l i di s o t r o p i cm a t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o n ) 法在惩罚 函数方面的不足，提出了一种改进的修正s i m p 法惩罚函数，并进行了算例验证， 结果表明新的惩罚函数具有优化结果稳定、收敛快等优越性。 2 ) 基于变密度法的基本思想，提出了一种构建插值模型的新思路，给出了具 体的插值模型数学形式，进行了相关的数例验证。 3 ) 建立了基于修正s i m p 法惩罚函数，以最小柔度为目标的优化模型，将连 续体结构拓扑优化设计方法应用到天线背架结构的优化设计中，得出了较为合理 的拓扑结构形式。 关键词：拓扑优化变密度法惩罚函数 a b s t r a c t t h i sw h o l ep a p e ri sf o c u s e do nt o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i n u u ms t r u c t u r e ， w h i c hi so n eo ft h em o s tc h a l l e n g i n ga n dh o tr e s e a r c ht o p i ci ns 廿u c t u r eo p t i m i z a t i o n t h ef o l l o w i n ga s p e c t sa r ed e e p l y i n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r ：m a t e r i a li n t e r p o l a t i o n s c h e m ef o rc o n t i n u u ms t r u c t u r e ，c l a s s i f i c a t i o na n ds o l v i n gs t r a t e g i e s t on u m e r i c a l i n s t a b i l i t i e si nc a l c u l a t i o n ，o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r e a s f o l l o w s ： 1 ) a i m e da tt h e d i s a d v a n t a g e o fs i m p ( s o l i d i s o t r o p i c m a t e r i a lw i t h p e n a l i z a t i o n ) o np e n a l t yf u n c t i o n ，an e wi m p r o v e ds i m pp e n a l t yf u n c t i o nm e t h o di s p r o p o s e d n u m e r i c a le x a m p l e sa r ec a r r i e do u t ，w h i c hs h o wt h a tt h en e wp e n a l t y f u n c t i o nh a ss u p e r i o r i t yo fs t a b l eo p t i m i z a t i o nr e s u l t sa n df a s tc o n v e r g e n c e 2 ) b a s e do nt h eb a s i ci d e ao ft h ev a r i a b l ed e n s i t ym e t h o d , an e wm e t h o dt o b u i l di n t e r p o l a t i o nm o d e li sp r o p o s e d ，as p e c i f i cm a t h e m a t i c a lf o r mo ft h ei n t e r p o l a t i o n m o d e li sg o t ，a n dr e l e v a n te x a m p l ev e r i f i c a t i o ni sa c h i e v e d 3 )o p t i m a lm o d e lb a s e do nt h en e wi m p r o v e ds i m pm e t h o di se s t a b l i s h e d ， w h o s eo p t i m i z a t i o no b j e c t i v ei st h em i n i m u mc o m p l i a n c e ，a n dt h ed e s i g nm e t h o do f c o n t i n u u mt o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni s a p p l i e di nt h eo p t i m i z a t i o nd e s i g no fa n t e n n a s t m c t u r e ，ar e a s o n a b l et o p o l o g ys t r u c t u r ei so b t a i n e d k e y w o r d s ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n v a r i a b l ed e n s i t ym e t h o d p e n a l t yf u n c t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：日期塑里：2 ： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期 汐 b z s 。 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 材料的有效利用一直都是人类追求的目标，也是许多研究领域不变的话题， 并伴随着结构优化理论和方法的产生而发展。工程结构优化问题也称为结构综合 问题【l j ，问题中总是给定一些参数，留出若干可变的因素和参数作为设计变量。给 定的参数越少、越不重要，而可变的因素和参数越多、越重要，优化的层次就越 高；反之，则优化的层次越低。基于这种观点，结构优化可大致分为四个层次： 结构的部件尺寸优化、结构的几何形状优化、结构的拓扑优化及结构的类型优化。 尺寸优化( s i z i n go p t i m i z a t i o n ) ：在保持结构的形状和拓扑结构不变的情况下， 寻求结构组件的最佳截面尺寸以及最佳材料性能的组合关系，优化截面的最优面 积( 如桁架) ，选择板的最佳厚度等。其特点是：设计变量容易表达，求解理论和方 法成熟，是最简单的优化设计类型，对应于产品详细设计阶段。 ( a ) 原始桁架结构( b ) 尺寸优化后的最优桁架结构 图1 1 尺寸优化示意图 形状优化( s h a p eo p t i m i z a t i o n ) ：对应于产品基本设计阶段，优化结构的结构拓 扑关系保持不变，而设计域的形状和边界发生变化，以寻求结构最理想的边界和 几何形状，是一个可动边界问题【2 】。对于杆系类工程结构，形状变量是指某些可变 或可移动节点的节点坐标。对于连续体结构，其形状则一般是通过引入设计元与 广义形状设计变量的方法来实现【l 】。目前有关形状优化部分的研究已取得较大进 展，但对于解决实际应用工程问题，还存在很多不足，需要进一步完善。 厂 天 r * j t e j 匠二) p l 孵e ( a ) 原始桁架结构( b ) 形状优化后的最优形状 图1 2 形状优化示意图 2 基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究 拓扑优化( t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ) ：在一个确定的连续区域内寻求结构内部非 实体区域位置和数量的最佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化， 使结构能在满足应力、位移等约束条件下，将外载荷传递到结构支撑位置，同时 使结构的某种性态指标达到最优。 在连续体区域q 上选出一个子集q 。，使之满足目标函数及约束条件。对桁架 结构的拓扑优化而言就是在给定节点位置情况下，确定各节点的最佳连接关系。 对连续体结构拓扑优化而言，不仅要使结构的边界形状发生改变，而且对结构中 的空洞个数及形状的分布也要进行优化。目前对桁架结构及二维连续体结构的拓 扑优化研究较多。主要困难在于：满足一定要求的结构拓扑形式具有很多种，这 种拓扑形式难以定量描述或参数化，而需要设计的区域预先未知，大大增加了拓 扑优化的求解难度。 拓扑优化是一种比尺寸优化、形状优化更高层次的优化方法，也是结构优化 中更为复杂的一类问题。拓扑优化处于结构的概念设计阶段，其优化结果是一切 后续设计的基础。当结构的初始拓扑不是最优拓扑时，尺寸和形状优化可能导致 次优结构的产生，因此在初始概念设计阶段需要确定结构的最佳拓扑形式。 ( a ) 设计空间 c o ) 最优拓扑结构 图1 3 拓扑优化示意图 另外，还存在一种结构类型优化，类型优化包含了前三种优化的主要内容， 综合考虑结构构件的尺寸、形状和拓扑的优化，同时也考虑外力的最佳作用位置 及分布形式，结构的支承条件等，还包括结构单元类型的优化。布局优化的数学 模型描述更为复杂，求解更困难。目前处于较低的研究水平，国内外很少见文献 报道，是一个难以研究的领域。 结构优化的不同层次在优化过程中分别起着不同的作用和任务，对产品的设 计研发过程起着重要作用。图1 1 、1 2 和1 3 形象表示了尺寸优化、形状优化和拓 扑优化在结构设计中所起的作用，以及不同优化方法对结构设计带来的变化和影 响。 拓扑优化是建立在拓扑学、计算机技术和优化方法基础上的结构优化理论， 涉及到应用数学、计算力学、优化策略等领域，并且不断融入新数值算法、图像 处理技术、科学计算可视化等新兴学科和技术。随着拓扑优化理论和工程研究的 逐步进展，拓扑优化将可能成为新产品设计和开发的有力工具。 第一章绪论 1 2 国内外研究综述 拓扑优化按研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化( 如桁架、刚架、加强 筋板、膜等骨架结构及它们的组合) 和连续体结构拓扑优化( 如二维板壳、三维实 体) 两大类。 离散结构拓扑优化的历史可以追溯到1 9 0 4 年由m i c h e l l 提出的桁架理论【3 】， m i c h e l l 的理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场。其后陆续提出了一些 优化方法，其中最有代表性的是d o r a 、g o m o r y 和g r e e n b e r g 等提出的基结构方法 ( g r o u n ds t r u c t u r ea p p r o a c h ) 【4 】。基结构方法克服了m i c h e l l 桁架理论的不适应性， 将数值方法引入结构优化领域，建立由结构节点、载荷作用点和支撑点组成的节 点集合，集合中的所有节点之间用杆件连接，形成所谓的基结构，以基结构作为 初始设计，以杆件面积作为设计变量，采用优化算法优化杆件面积。2 0 世纪6 0 年 代初s c h m i t 将结构优化问题表述为数学规划问题，并采用数学规划算法求解，成 为结构优化领域的一个重要里程碑【5 j 。 包括桁架结构优化在内的离散结构拓扑优化已比较成熟，国内外已有很多深 入的研究和文酬d 1 3 1 。近年来连续体结构拓扑优化理论得到了较快发展【1 和1 7 1 ，连 续体结构拓扑优化领域已成为研究的难点和热点问题【1 8 - - 2 0 1 。 从1 9 8 8 年b e n d s o e 和k i k u c h i 提出解决结构拓扑优化问题的均匀化方法【2 1 】以 来，连续体结构拓扑优化在理论上得到了迅速发展，引起了人们越来越多的关注 和兴趣。目前有关于拓扑优化的重要研究方向可以概述为以下几个方面： 拓扑结构描述方式和材料插值模型( m a t e r i a li n t e r p o l a t i o ns c h e m e s ) 。 拓扑优化求解数值算法，新型优化算法在拓扑优化中的应用。 去除拓扑优化中数值计算不稳定性的方法，优化计算结果的提取和重构。 拓扑优化的应用研究等。 1 2 1 拓扑结构描述方式和材料插值模型 拓扑优化中的拓扑描述方式和材料插值模型非常重要，是一切后续优化方法 的基础。b e n d s o e l 2 2 】指出：结构拓扑优化设计实际上就是材料在设计空间的分布优 化问题，并提出将复合材料多孔介质模型引入到拓扑优化的材料插值模型中，进 而提出了基于均匀化理论的结构弹性张量计算方法和拓扑优化理论。拓扑优化中 常用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有：均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o n m e t h o d ) 【2 3 2 6 】；变密度法【2 7 2 9 1 ；变厚度法【3 2 1 ；独立连续映射模型方法( i n d e p e n d e n t c o n t i n u o u sm a p p i n g ，i c m ) 3 3 3 5 】；水平集方法【3 6 】等，其中均匀化方法和变密度法是 最具有代表性的两种材料插值模型。 4 基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究 ( 1 ) 均匀化方法 均匀化方法的基本思想就是在组成拓扑结构的材料中引入微结构单胞，优化 过程中以微结构单胞的几何尺寸和空间方位角作为设计变量，以单胞尺寸的变化 来实现微结构的增删。均匀化方法应用于连续体结构的拓扑优化设计，起源于程 耿东、o l h o f f f a 7 对实心弹性薄板形状优化所做的研究工作，他们首次将微结构引入 结构优化设计中，拓展了设计空间。b e n d s o c 和k i k u c h i 2 1 】在1 9 8 8 年首次将均匀 化方法成功用于连续体结构的拓扑优化设计中，建立了以结构柔顺度最小为目标 函数，结构体积为约束的连续体结构的拓扑优化设计模型，这标志着连续体结构 的拓扑优化设计技术进入一个新的阶段。均匀化方法对二维结构每个单元有三个 设计变量，三维有七个设计变量，设计变量多，敏度计算复杂。并且优化后的结 构含有多孔质材料，不易制造。 ( 2 ) 变密度法 变密度法人为假定单元的密度和材料物理属性( 如：许用应力，弹性模量) 之间 的某种对应关系，以连续变量的密度函数形式显式地表达这种对应关系。变密度 法基于各向同性材料，以每个单元的相对密度作为设计变量，每个单元有唯一的 设计变量，程序实现简单，计算效率高。变密度法不仅可以采用结构的柔顺度为 优化的目标函数，也可以用于特征值优化、柔性机构的优化、多学科优化等领域。 其代表性工作有“带惩罚指数的固体各向同性微结构模型”( s i m p ：s o l i di s o t r o p i c m i c r o s t r u c t t t r e sw i t hp e n a l i z a t i o n ) 3 8 】、“材料属性的理性近似模型”( r a m p ： r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ) 1 27 j 两种。对于s i m p 法模型，b e n d s o e 和s i g m u i l d 【3 9 j 两人已证实了其物理意义的存在。对于r a m p 法模型，s t o p l e 和 s v a n b e r g 27 j 两人详细讨论了其属性。s i m p 法或r a m p 法都是通过引入适当的惩罚 因子对中间密度值进行惩罚，以达到最终要求的合理结果。 ( 3 ) 其他主要方法 国内学者程耿东【3 l 】等提出的变厚度法，以基结构中单元厚度为拓扑设计变量， 将拓扑变量依附于单元厚度上，使拓扑优化问题降格为尺寸优化问题，通过删除 厚度为尺寸下限的单元来实现结构拓扑的变更。它是尺寸优化方法的直接推广， 具有方法简单、概念清晰等优点，但其优化对象受到限制，不能推广到三维连续 体结构拓扑优化，只适用于平面问题( 如膜、板、壳等) 。 i c m ( i n d e p e n d e n tc o n t i n u o u sm 印p i n g ) 方法f 3 3 3 5 】是隋允康在分析了基于各种拓 扑优化方法的特点之后，于1 9 9 6 年提出的。通过引入过滤函数、磨光函数及光滑 映射变换，将桁架结构中的离散变量转换为连续设计变量，优化求解后再将连续 设计变量转换为离散设计变量，这样在离散设计变量和连续设计变量之间建立了 一一对应关系，从而建立完善了桁架结构拓扑优化模型，成功解决了多工况应力 与位移约束下的桁架结构拓扑优化问题。并成功将i c m 方法推广到连续体结构拓 第一章绪论 扑优化中，研究了位移和应力约束下的连续体结构拓扑优化问题，求解中采用了 对偶规划算法。 m i c h a e l p 6 1 等提出了一种所谓的水平集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) ，优化问题中将 结构的边界用嵌入到高维尺度函数中的水平集模型来表示，该模型在描述复杂结 构的拓扑及边界变化方面具有较好的灵活性。 关于连续体结构拓扑优化设计方法更详细的介绍，可参考b e n d s o e 和 s i g r n u n d 1 5 】于2 0 0 3 年出版的专著。 1 2 2 拓扑优化中的优化求解数值算法 为了将结构拓扑优化技术付诸实用，除了选择合适的材料插值方法，建立可 靠的优化模型外，还需要选择收敛速度快且计算简便的优化算法。早期采用的结 构优化算法是基于直觉的准则法，如满应力法、满应变准则法等。二十世纪六十 年代后期出现了优化准则法，它把数学中最优解应满足的k t 条件作为最优结构 应满足的准则。s c h m i t 首先将数学规划法引入结构优化中。数学规划法中的复合 形法、可行方向法、惩罚函数法和序列规划算法是结构优化中用的较多的方法。 七十年代后期与八十年代初，数学规划法和优化准则法得到统一。其代表方 法是由f l e u r y 和s c h m i t l 4 0 - 4 2 提出的近似概念。这种方法的要点是将力学概念和各 种近似手段相结合，把高度非线性的问题化为一系列近似显式约束问题，然后用 数学规划法求解。这样就可以利用准则法收敛快来弥补数学规划法迭代次数多、 计算工作量大的不足，同时，数学规划法理论上的严密性又可使准则法得到改善。 1 优化准则法 优化准则法【4 3 州1 ( o c ：o p t i m a l i t yc r i t e r i a ) 是依据工程经验、力学概念以及数学 规划的最优条件，预先建立某种准则，通过相应的迭代方法，获得满足这一准则 的设计方案，作为问题的最优解。 优化准则法是在二十世纪六十年代后期发展起来的一种可以替代数学规划法 的结构优化设计方法。其基本思想是：从某初始点x ( 开始，按照由最优准则所推 导出的迭代格式： x m = c d x o ( 1 1 ) 获得一个改进的设计点x o “) 。式中c ( f ) 是由具体问题所对应的准则来决定的。 可以看出，它不同于数学规划法那样直接优化目标函数，是以一种间接的方 式，来试图寻求满足一系列与结构行为相关的准则。这些准则或者来源于设计经 验、或者来源于理性的准则，从而准则法的发展基本上经历了从经验准则法到理 性准则法的过程。经验准则法是在结构优化的初期，依据工程经验建立的一些准 则，如等强度设计准则、同步失效准则、满应力设计准则和满应变能准则等。 6 基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究 二十世纪七十年代，人们把数学中最优解应满足的k u h n t u c k e r ( 库恩塔克) 条件作为结构优化设计的准则，形成所谓的理性准则法。k u h n t u c k e r 条件的引入， 增强了准则法的数学基础和通用性，并使准则法最终得到优化问题的局部最优解 甚至全局最优解成为可能。 准则法中设计变量的更新是根据该准则构造的某种显式的启发式的迭代公式 来实现的，公式中常常引入一些经验系数来调整优化过程的收敛性和稳定性，如 步长因子、阻尼因子等系数。九十年代初，优化准则法被加以改进和推广后，用 于拓扑优化设计这样具有几万个甚至上百万个设计变量的大型结构优化设计问 题。优化准则法对于求解像刚度优化这类具有大量设计变量和单个约束的拓扑优 化设计问题，具有很高的优化效率。 虽然准则法简单明了、易于理解，程序实现方便，但准则法的设计变量更新 终究是来源于一种启发式的迭代格式，所以在实际的应用中还存在着一些缺陷： 对于多约束的结构优化问题，对每个不同性质的约束，准则法都要使用不同的 准则、引入不同的拉格朗日乘子。这样在每一步迭代过程中，更新多个拉格朗 日乘子的时间往往多于对设计变量本身的求解； 对于不具有凸性的目标函数，准则法不容易构造设计变量的启发式迭代格式， 对于复杂的目标函数，同样不容易构造设计变量的迭代格式； 考虑稳定性和动态性能等稍复杂一些的设计，准则法难以应用。 2 数学规划法 数学规划是二十世纪五十年代发展起来的一个新的数学分支。s c h m i t 首先将 数学规划法引入结构优化中。这类方法一般可描述为出初始点x ( 7 ) 出发，根据结构 分析的结果，按照某种方式构造下一个迭代步：一是确定使目标函数下降且满足 约束的搜索方向d o ) ；二是确定沿该方向前进的步长6 t ( n 。于是得到新的设计点 x ( ) = x ( + 口( d ( ( 1 2 ) 对点x o + 1 ) 进行结构重分析后，确定下一步的搜索方向和步长。这样依次反复 迭代下去，直至满足收敛准则。 数学规划类结构优化算法主要分为两类：线性规划方法和非线性规划方法。 ( 1 ) 线性规划问题中目标函数和约束函数均为设计变量的线性函数，目前求解 线性规划问题的解法在理论上和方法上都比较成熟，实际应用也比较广泛。此外， 在实际的工程设计中，可采用线性规划方法逼近非线性规划问题，线性规划方法 也可用作解决非线性规划中子优化问题的方法。常见的方法有：单纯形法和修正 的单纯形法【4 5 1 、椭球算法【蚓等。 ( 2 ) 对于非线性规划问题( 目标函数和约束函数中存在非线性函数) ，常见的方法 主要有序列线性规划法( s l p ：s e q u e n t i a ll i n e a rp r o g r a m m i n g ) 、凸规划方法( c o n v e x p r o g r a m m i n g ) 等。在实际的结构优化设计当中，凸规划方法已逐渐成为一种很有效 第一章绪论 7 的求解算法is c h m i t 和f a r s h i 4 7 】两人1 9 7 4 年首先将凸规划方法应用于结构尺寸优 化设计中j 现在已推广到形状优化和拓扑优化当中。序列凸规划方法的基本思想 是用凸近似方法以显式的形式利用泰勒级数展开目标函数和约束函数，从而构造 和求解一系列子优化问题。凸规划方法中，f l e u r y 和b r a i b a n t 4 8 】于1 9 8 6 年提出了 一种具有单调性的“凸近似线性化方法( c o n l i n ：c o n v e xl i n e a r i z a t i o nm e t h o d ) ； 瑞典数学家s v a n b e r g t 4 l 】提出和研究了具有单调性的“移动渐进线方法 ( m m a ： m e t h o do f m o v i n ga s y m p t o t e s ) ； s v a n b e r g 【5 w 3 j 提出的“全局收敛的移动渐近线方 法 ( g c m m a ：g l o b a l l yc o n v e r g e n tv e r s i o no ft h em e t h o do fm o v i n ga s y m p t o t e s ) 以及z h a n g 5 4 】等人研究了带等式约束的“广义的移动渐进线方法”( g m m a ： g e n e r a l i z e dm e t h o do fm o v i n ga s y m p t o t e s ) 。 结构拓扑优化问题一般为非线性规划问题，数学规划方法中的s l p 和m m a 等方法已成功运用于大规模结构拓扑优化设计的求解当中。m m a 方法更是结构拓 扑优化设计方法中一种高效的适合于求解具有复杂目标函数和多约束条件的高级 优化求解器。关于m m a 系列方法的详细介绍可以参考b m y n e e l 5 5 】等人的文献。 以上对优化设计方法的分类是相对的。国内外许多学者早已将优化准则法和 数学规划法有机结合起来，形成了更广泛的优化设计方法。f l e u r y t 5 6 】等将数学规划 中非线性规划的对偶理论和优化准则方法有机结合起来，形成了结构优化的对偶 理论。对偶理论是准则法和规划法的统一，对偶方法已用于结构拓扑优化设计中。 对偶理论以维数较小的对偶变量空间寻优替代原来的设计空间寻优，大大改善了 寻优的效率，而对偶变量的确定自动地确定了主动约束，解决了准则法不能合理 判断临界约束的特点。这使得优化拓扑设计的研究又向前发展了一步。 3 其他优化求解数值算法 进化结构拓扑优化方法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，e s o ) t 5 7 制j 由x i e 和其合作者提出，其基本思想是：用一个初始的有限元模型来离散初始设计域， 通过将结构中无效或低效的材料逐步去除，以得到趋于最优的结构设计。此方法 可用于桁架、刚架、板壳和连续体结构的拓扑优化。优化的约束条件可包括应力、 频率、位移、刚度及临界压力等。符合工程直观性和直觉性，但其缺点是：计算 时间长，欠缺理论收敛性证明，常常得到局部最优解而非全局最优解，并且难以 应用于复杂目标函数和多约束情况下的拓扑优化问题。 另外，e s c h e n a u e r 提出的“泡泡法”1 6 2 1 、以及许多学者采用的遗传基因算法 6 3 , - 6 4 1 ( g e n e t i ca l g o r i t h m ) 、模拟退火算法( s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ) 和人工神 经网络算法j ( n e u r a ln e t w o r k sa l g o r i t h m ) 等进化计算方法进行结构拓扑优化。 8 基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究 1 2 3 拓扑优化的数值不稳定现象及抑制技术 在利用固定有限元网格( 均匀化方法、变密度法等) 进行连续体结构拓扑优化 中，存在着数值不稳定现象，如灰度单元：棋盘格、网格依赖性和局部极值问题。 拓扑优化本质上是一个 o ，1 ) 离散问题。灰度单元是指在将 o ，1 ) 离散问题放松 为【o ，l 】连续问题后，在优化结果中出现单元密度值不是0 也不是1 ，比如o 5 的单 元。这就使得最终的拓扑结构可制造性差。 目前主要利用惩罚函数的方法来抑制灰度单元的产生。 棋盘格是指在计算区域中材料密度为1 和0 的单元呈现出形似棋盘格式的周 期性分布状态。棋盘格使结构形状的提取和制造变得困难，具有棋盘格的拓扑优 化结果在工程上可制造性很差，没有实际意义。 网格依赖是指拓扑优化计算结果，与网格剖分密度有关，当网格剖分密度加大 时，计算结果中出现了更多的细杆状结构，即拓扑优化结果依赖于初始网格的划 分。网格依赖性也使得优化结果的可制造性下降。 棋盘格和网格依赖现象一般同时出现在优化结果中，能有效去除棋盘格的方 法通常也能有效克服网格依赖性。 d i a z 和s i g m u n d t 7 】等的研究表明：合理选择高阶单元或采用非协调元，可有 效降低或消除棋盘格。国内学者吴长春【6 8 】等采用非协调元进行了结构拓扑优化设 计，对协调等参元和非协调元的拓扑优化结果进行了对照，计算表明：采用非协 调元时能得到比等参元具有更高精度的拓扑优化结果，因此能有效克服拓扑优化 计算中出现的棋盘格现象。 除了采用高阶单元外，许多学者深入研究了消除拓扑优化中的棋盘格和网格 依赖性等数值不稳定现象的方法，这些方法包括：h a b e r 【6 9 】等提出的周长约束方法， s i g m u n d 7 0 1 提出的网格过滤方法，p e t e r s s o n 和s i g m u n d f 7 1 】提出的局部梯度约束方 法，z h o u 7 2 j 提出的最小尺寸控制法等。 局部极值问题是指在相同离散格式下，选择不同的算法参数以及不同的计算 初始点时，得到的拓扑结构也不同，即拓扑优化结果收敛于局部极值。 局部极值问题，当前还没有一种有效的克服局部极值问题的方法。目前拓扑 优化中大多采用连续化方法，通过适当的构造使其包含整体信息，以期得到全局 最优解。另外采取选用不同的初始计算值来进行试算，选取较好的优化结果。 1 2 4 拓扑优化的应用研究 随着理论研究的逐步进展，拓扑优化在航空、汽车等领域已开始得到初步应 用。目前，能够用拓扑优化解决的问题范围包括：线弹性静态结构优化问题、动 第一章绪论 9 力优化问题以及非线性等复杂情况下优化问题等。拓扑优化的应用研究是一个非 常重要的研究方向。 c h e n g 和d u y s i n x 7 3 7 4 】等研究了具有应力和位移约束下的拓扑优化问题，t e n e k 和s e u n g j a e 7 5 7 6 1 等研究了动力学问题的拓扑优化设计，d i m z 和t a e 7 7 7 8 1 等研究了 拓扑优化的多目标多约束问题。 另外，将拓扑优化方法应用于柔性机构设计、耦合场结构优化设计以及微机 电系统的( m e m s ) 结构优化设计，是近几年来拓扑优化应用研究的一个重要方面 7 9 1 。微型柔性机构和微机电系统设备尺寸小，难以制造，因此传统机械中的铰链、 轴承等器件在微系统中难以制造和装配，用拓扑优化方法设计的微型柔性机构和 微机电系统器件是一个无铰接和弯曲连接、无装配、单片集成制造的机械设备， 适于小范围运动，具有可靠性高、制造性好等优点。 1 3 本文的主要工作 变密度法是连续体结构拓扑优化最主要的方法之一，其中又以s i m p 法最为典 型。然而s i m p 法存在两个问题：一是理论上惩罚因子取值越大越好，惩罚因子取 值越大得到的优化结果越好；可在实际计算中却并不是惩罚因子取值越大越好， 相反惩罚因子取值很大时，得不到很好优化结果甚至得不到结果；二是将小于1 的单元密度值均惩罚到0 是不尽合理的。 针对第二个问题，西安电子科技大学的昌俊康【8 0 】作了深入研究，提出了一种新 的惩罚函数，在理论上克服了原惩罚函数的不足，但仍存在单元密度接近于0 和1 时，惩罚函数敏度等于0 的问题。 本文研究工作将主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 深入讨论了拓扑优化的材料插值方法和数学求解方法，并总结了各种方法 的优劣点。 ( 2 ) 对消除拓扑优化数值计算不稳定性现象的方法进行了较为深入的探讨。对 拓扑优化计算中常出现的灰度单元、棋盘格、网格依赖性、局部极值等数值计算 不稳定现象进行了详细的介绍，运用了一种有效、实用的去除数值计算不稳定性 的方法一敏度过滤法，并在算法上进行实现。 ( 3 ) 深入研究了变密度法的材料插值方法，并对s i m p 法进行了改进，建立了 相应的数学模型，并进行了算例验证。此外，基于变密度法的基本思想，提出了 一种构建插值模型的新思路，给出了具体的数学形式，进行了算例验证。 ( 4 ) 基于改进的s i m p 法，以最小柔度为目标，建立了天线背架结构的拓扑优 化模型，得出了较为合理的拓扑结构形式。 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法及数值不稳定现象的对比 1 1 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法及数值不稳定现 象的对比研究 2 1 引言 材料插值方法是拓扑优化技术的重要研究领域，直接决定着该领域的研究进 展。经过一代代国内外学者的努力，逐渐形成了一系列成熟的方法和理论，促进 了拓扑优化技术的进步。具有代表性的材料插值方法有均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o n m e t l l o 、变密度法( 最典型的就是s i m p 法( s o l i di s o t r o p i cm a t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o n m o d e l ) 和r a m p 法( r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ) ) 、变厚度法、独 立连续映射模型方法( i n d e p e n d e n tc o n t i n u o u sm a p p i n g ，i c m ) 、水平集方法等。其中 对于均匀化方法、变密度法的研究相对较为成熟，应用较为广泛，作为连续体结 构拓扑优化的主流方法，被应用于许多结构拓扑优化问题之中。 数值不稳定现象的处理也是拓扑优化技术的重要研究领域。数值不稳定现象主 要包括灰度单元、局部极值问题、棋盘格、网格依赖性等。数值不稳定现象处理 的好坏直接关系到模型的进一步提取、分析、制造等问题。因此对数值不稳定现 象的研究，对于拓扑优化能够在工程上的应用有着重要的意义。 本章主要探讨了连续体结构拓扑优化的主要材料插值方法，并对优化中出现 的数值不稳定现象的基本原理和相应的解决策略进行了讨论。 2 2 1 均匀化方法 2 2 连续体结构拓扑优化的材料插值方法 均匀化方法是1 9 8 8 年b e n d s o e 、k i k u c h i t 2 l j 首次提出来的，他们将多孔材料的 复合介质概念引入到拓扑优化领域，通过在材料中引入微结构模型，将复杂的拓 扑优化问题转化为简单的尺寸优化问题。实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模 型的统一和连续化，将连续体结构的拓扑优化转化为决定微结构的尺寸最优化分 布的低层次尺寸优化问题，能够采用成熟的结构尺寸优化算法。从而使得连续体 结构拓扑优化理论得到了快速发展，为许多国内外的研究者所关注。 基于变密度法的连续体结构拓扑优化硼f 究 幽2 i 均匀化方法的原理樘型 幽2l 巾n 为设计区域，f 、r 和t 分别表示作用在该区域上的集中力、体 力和均布力，右下角为微观区域的放大，可以看出该区域由多个胞元构成，下面 的图为单个胞元的构成结构示意图。 在使用均匀化方法进行拓扑优化的过程中，描述微结构胞元的参数为d 、b 、 0 ，当d = 0 且b = 0 表示单元为实体单元，当“= 1 且b = 1 表示单元为空洞单元。通 过微结构的密度从o ( 卒洞) 连续变化到l ( 实体) 柬实现结构的拓扑优化。 该方法的优点是：数学理论严谨，在理解拓扑优化的理论框架方面有着重要 的意义，主要应用在拓扑优化理论研究方而。月一方面，迄今为止还不自给出带 有微观结构的材料宏观许用应力和微结构的尺、j 关系，并且单兀的设计变量多， 敏度计算复杂，优化后的结构常常含有多孔材料，难以制造。可见，基于均匀化 理论的拓扑优化算法有如下缺点： 均匀化弹性张量的求解麻烦费时； 内部微结构的形状和方向难以确定； 计算结果容易产生棋盘格和多孔材料等数值计算不稳定性问题，优化结果 可制造性差。 222 变密度法 拓扑优化问题，本质上是一种 o ，1 1 离散堂量的组台优化问题，也就是一个单 元集合的有无和增减问题，通过不断的优化迭代计算，保留对结构传力路径有利 的结构单元，而删除埘结构忙力路径作用不人的单元。因此从本质上米晚结构 的拓扑优化问腰是个包含单元增删的离散型优化问题。因而n r 建立如下数学模 型： 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法及数值不稳定现象的对比 1 3 f i n d x = ( x i ，x 2 ，一，工。) r 式中五为设计变量，取o 和1 ( o 表示删除单元，1 表示保留单元即实体) ，n 代 表设计变量个数。k 为总刚度阵；u 为结构的位移向量；f 为结构所受的外力向量。 v 为结构的体积。旷为优化后体积的上限值。 对于模型( 2 1 ) ，其设计变量为离散的 o ，1 ) 变量，由于拓扑优化问题的设计变 量很多，通常为几千个以上，若按照离散的 o ，1 ) 规划进行组合优化，则容易出现 “组合爆炸问题，导致无法计算。为克服这种情况的发生，并能将基于连续变 量的导数优化算法应用于结构拓扑优化中，常将设计变量松驰为连续变量。因而 将上面优化模型改进为下式优化模型： f i n d x = ( x l ，x 2 ，x n ) r i v v ( 2 2 ) s t f = k u l0 石血x f 1 ( i = 1 ，刀) 式中x i 为设计变量，代表离散单元的相对密度，取值在【，1 】之间的连续值， n 代表设计变量个数。k 为总刚度阵；u 为结构的位移向量。f 为结构所受的外力 向量。v 为结构的体积。y 为优化后体积的上限值。为了避免总刚度矩阵奇异， 取_ 0 0 0 1 。 由模型( 2 1 ) 到( 2 2 ) ，实际上将设计变量变化域由 o ，1 ) 车争换为 o ，1 】。这样通过 引入中间密度单元，就将离散型优化问题转换为连续型优化问题，而实际上中间 密度单元是无法存在和制造的，因此又要尽量避免中间密度单元的产生，减少中 间密度单元的数目，这时就需要对设计变量中出现的中间密度值进行限制的惩罚 项。 变密度法以区间【o ，1 】内的密度值为设计变量，直接定义一个经验公式来表达 密度与弹性模量间假定的函数关系。通过引入惩罚因子，在材料的弹性模量和单 元相对密度之间建立起一种显式的非线性对应关系。它的作用是当设计变量的值 u 儿 0 = f o = 厂b ) 1 ) 字兹 a 一 = = y f t 疗r【 m 趾 1 4 基于变密度法的连续体结构拓扑优化研究 在( 0 ，1 ) 之间时，对中间密度值进行惩罚，使中间密度值逐渐向o 1 两端聚集，这 样可以使连续变量的拓扑优化模型能很好地逼近原来 0 ，1 ) 离散变量的优化模型。 这时中间密度单元对应一个很小的弹性模量，对结构刚度矩阵的影响将变得很小， 可以忽略不计。可用公式表达如下： 巨= a ( x , ) e o ( 2 3 ) 式中，e 代表单元i 的弹性模量，晶代表满材料单元( 即而= 1 ) 的弹性模量。 代表性工作有s i m p ( s o l i di s o t r o p i c m i c r o s t r u c t u r ew i t hp e n a l i z a t i o n ) 与 r a m p ( r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ) 。本文主要基于s i m p 法插值 模型进行讨论。其构造的函数为一指数函数，即： a c x , ) = #( 2 - 4 ) 式中，p 为惩罚因子，薯为单元相对密度。函数随p 值的变化情况如下图2 2 。 山 删 辎 越 敏 图2 2s i m p 密度惩罚( p 分别为1 、2 、3 、1 0 、2 0 ) r a m p 方法构造的函数为： 讹) 2 南( 2 - 5 ) 式中，p 为惩罚因子，墨为单元相对密度。函数随p 值的变化情况如下图2 3 。 第二章连续体结构拓扑优化的材料插值方法及数值不稳定现象的对比 1 5 山 i 皿l 辎 越 教 图2 3r a m p 密度惩罚( p 分别为0 、5 、1 5 、2 5 、5 0 ) 一般情况，基于变密度法的优化模型为： f i n d x = ( x l ，x 2 ，x ) r m i n c ( 石) = f r u = u r k u = z ( t ) u t k o u ， f = l s j y = _ v f t - c o = y i = l f = k u 0 x 曲x f 1 ( i = 1 ，力 ( 2 6 ) 式中，x i 为设计变量，为单元相对密度；n 为设计变量个数；c ( x ) 为目标函 数，为结构的柔顺度；k 为结构的总体刚度矩阵；u 为结构的总体位移向量；f 为 结构所受载荷向量；u i 为单元i 的位移向量；k o 为五= 1 时的单元刚度阵；z ( 一) 为 惩罚函数；y 为结构优化后的体积；v j 为单元i 的体积；f 为给定材料体积比； 为初始结构体积；v 为体积上限；