（基础数学专业论文）一类项链李代数的性质与同态.pdf

摘要 最近b o d k l a n t ：l eb r u y n ( 8 ) 和g i n z b u r g ( 9 ，1 0 1 ) 等人分别引入了项链李 代数的概念，它是定义在一个箭图上的无限维李代数项链李代数在非 交换几何及奇点理论，量子群等领域有着重要的应用许多数学家对项 链李代数的研究非常兴趣，并对它的结构进行了一些研究( 1 2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 1 ) 梅超群( 【2 4 】) 得到了项链李代数的若干结果，她定义了项链字的左右指标 数组，利用左右指标数组把 谤的基分为5 类，得到 的几个重要子代 数，并用此研究了项链李代数的一个有趣的二阶反自同构余德民( 2 5 1 ) 证明了项链李代数存在同构于s l ( n ) 的有限维单子李代数，并研究了单循 环箭图所诱导的项链李代数的同构以及这些同构之间的关系 本文在( 【2 4 ，2 5 】) 基础上继续对项链李代数进行研究，并得到了一些新 的成果我们着重研究了由一种特殊箭图所构造的项链李代数的性质及同 态在第一章中我们简要回顾了箭图与项链李代数的定义，介绍了项链字 的分类，将项链字按左右指标数组之间的关系分为a e 五类，并阐明项链 李代数的几种基本性质在2 1 中，我们首先证明了该类项链李代数的项链 字不含d ，e 类元，接着证明了由a 类项链字中右指标数组只含一个元素 的集合g = u p 乞：l o = k iu ( i r ) 。吃= ( i r ) ，i ，。( 1 ，2 ，n ) ，k z + ) ， a 类项链字中右指标数组为空集的集合a ，= u f u n v t , 匆，l o = 七，皑= d ，七z + ) 为基构成的线性子空间，a r f 是悔的子代数在2 2 中，通过 上述所构造的两个子代数，地，我们得出人b 的非可解子代数屹o ， 及非幂零子代数玎。心，：从而证明了项链李代数埯是不可解、非幂零 李代数，同时亦不是半单纯李代数在2 3 中，我们证明了以l i ，苦，中 的项链字为基张成的一子空间p 是岵的理想接着证明了通过此理 想构造的商代数峙r 是交换代数，从而得出岵尸是幂零李代数在 ： 1 中我们构造了，岵的几种线性映射，并给出了当线性映射为同态或反 t 同态的充要条件在3 2 中我们讨论了上述箭图的一类特殊子图一一直线 型连通箭图一些性质，主要i e n tn i i 芍中的元素只含有c 类元，为 a 匆的理想，最后，我们利用理想月与p 来构造一组正合序列，并证明 了峋是可分解李代数 关键词：箭图，项链李代数，幂零李代数，商代数，同态 a bs t r a c t r e c e n t l y , b o d k l a n t 二l eb n l y n ( s ) a n dg i n z b u r g ( 9 ，1 0 ) i n t r o d u c en e c k l a c el i e a l g e b r a 畅：w h i c hi sr ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l l i ea l g e b r ad e f i n e do naq u i v e r n e c k l a c e l i ea l g e b r ap l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nt h en o n c o m m u n i c a t i o ng e o m e t l v , q u a n t u m g r o u p sa n do t h e rf i e l d s n e c k l a c el i ea l g e b r aa t t r a c tt h ea t t e n t i o no fm a t h e m a t i c l a n sa n ds e v e r a lr e s e a r c ho ni t ss t r u c t u r e8 x r e a r sr e c e n t l y ( 2 2 ，2 3 ，2 4 ，9 _ 5 1 ) m e ig e t s s o m er e s u l t so fn e c k l a c el i ea l g e b r a ，s h ed e f i n e dt h el e f ta n dr i g h ti n d e xa r r a y so fa n e c k l a c ew o r d u s i n gt h e m ，s h ed i v i d e dt h en e c k l a c ew o r d si n t o5c l a s s e sa n dd e s e r v e s t h ec o r r e s p o n d i n gs u b a l g e b r a s s h ea l s os t u d i e da l li n t e r e s t i n ga n t i - a u t o m o r p h i s mo f o r d e r2 ( 2 4 1 ) y up r o v e dt h e r ea l e8 0 m ef i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i es u b a l g e b r a si n n e c k l a c el i ea l g e b r aw h i c ha r ei s o m o r p h i ct os f ( n ) ( 【2 5 】) h ea l s os t u d i e st h ep r o p e r t i e so fi s o m o r p h i s mo fn e c k l a c el i ea l g e b r a s i nt h i st h e s i s ，w es t u d yp r o p e r t i e sa n dh o m o m o r p h i s m so ft h en e c k l a c el i ea l - g e b r a so fs o m es p e c i a lq u i v e r i nc h a r t e r1 , w er e v i e wt h ed e f i n i t i o n so fq u i v e ra n d n e c k l a c el i ea l g e b r a ，t h el e f ta n dr i g h ti n d e xa r r a y so fan e c k l a c ew o r d ! a n dl i s t s o m eb a s i cp r o p e r t i e so fn e c k l a c el i ea l g e b r a i ns e c t i o n2 1 w ep r o v et h a tt h e r e i sn on e c k l a c ew o r do ft y p eda n dei no a rc a s e ，w ep r o v et h ef i o e a ls u b s p o c e n ga n dn mw h i c hb a s eo ns e to ft y p eaa n dr i g h ti n d e xa r r a yh a so n l yo n e e l e m e n t ：g = 山l n l ，场，：= k lu ( i r ) ，避= ：( 4 ) ，i ，( 1 ，2 ，n ) 。七z + a n d t y p eam i dr i g h ti n d e xa r r a yi sc m p t y ：m = w i u i i 匆：o = 炙j ，砖= 0 ，l = z + ) a r cs u b a l g c b r ao fn 毛i ns e c t i o n2 2l u s i n gn ga n dn m w ep r o v et h a tn e c k l a c el i e a l g e b r ai sn o ts o l v a b l ea l g e b r a ：n i l p o t e n ta l g e b r aa n ds e m i s i m p l ea l g e b r a i ns e c t i o n 2 3 w cp r o v et h el i n e a rk s u b s p a c e 尸s p a n n e d1 wt h es e t 弭茜i sm li d e ao f j 号a n d t h eq u o t i e n ta l g e b r an v pi sac o r n m u t a t i v ca l g e b r a j s o 。喙pi san i l p o - t e n ba l g e b l a i n5 e ( t i o u3 1 ：w ec o n s t r u c ts dr 】l e i t m a rm a p so f 峙a n d i r et h e n e c e s s a r l i n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h e nt h e s el i n e t wm a p sa r eh o m o m o r p h i s m so r i i i a n t i h o m o m o r p h i s m s i ns e c t i o n3 2 w es t u d yas p e c i a ls u b g r a p h w ep r o v et h e r e i so n l yc l a ：；sai nn e c k l a c ew o r di nt h i sc a s e f i n a l l y ：w ec o n s t r u c ta ne x a c ts e q u e n c e f r o mi d e apa n dha n dp r o v e 峋i sad e c o m p o s a b l ea l g e b r a k e y w o r d s ：q u i v e r ，n c c k l a c cl i ea l g e b r a ，n i l p o t e n ta l g e b r a ，q u o t i e n ta l g e b r a ，h o m o - m o r p h i s m i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明，本人完 全意识到本声明的法鹤蜃果曲夸冬季担， 学位论文作者签名：么彬矿幻纠t 勿叩年夕月p 日 d l f 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 獬名：纠剜乏日一年咱日 导师签名：卸鼍毛 。 日期：山年月尸日 一类项链李代数的性质与同态 前言 李代数的研究起源于1 9 世纪s l i e 对李群的研究，其许多问题在数 学研究中有着重要的意义，而且还具有较强的物理等背景，是当今数学 研究的重要领域众多的著名数学家如w k i l l i n g ，e c o a t a n 和h w e y l 等 对李代数经典理论作了重要的贡献( 【l ：2 ，3 ：4 1 ) ，李代数的理论和方法对 数学其他领域如量子群，代数表示论也产生了十分重大的影响( 5 】) 在非交换几何的研究中，当探讨、v e y l 代数a 。( c ) 的c 一代数自同构 群a u t a 。( c ) 以轨道w 厂e 剪f t i 上的作用时，得到一个a u r a 。 ) 在n n 矩阵 轨道空间c a l o n 上的可迁作用，但此作用是非代数的b e r e s t 和w i l s o n 提 出是否可将c a l o 。等同于某种无限维李代数的余伴随轨道为了解决这 一问题，m l o t h a i r e ( 6 ) 和c r e u t e n a u e r ( 7 ) 利用项链字来刻画自由李代数 的基，但直到b o d k l a n t ，l cb r u y n ( 8 ) 和g i n z b u r g ( 9 ，1 0 1 ) 分别引入了项链李 代数，这一问题才得以解决项链李代数是定义在以一个箭图q 的重箭 图虿中所有循环等价类为基的向量空间吻上的无限维李代数现在项 链李代数在非交换几何及奇点理论，量子群等领域有着重要的应用 箭图已经成为代数表示论一个基本的概念和工具( 【1 5 ，1 6 】) ，并影响到 诸多数学领域( ( 1 1 ：1 2 1 3 ，1 4 1 ) 利用箭图研究也成为李代数研究的一种重 要方法( f 1 5 ：1 6 ，1 7 1 ) 李代数的结构研究一直是李代数研究的重要问题研 究的重要对象包括李代数的幂零性、可解性及其重要的子代数( 【1 s ，1 9 ，2 0 j 2 l 】) 目前国内外对项链李代数的结构已进行了一些研究( 1 2 2 ，2 3 ，2 4 ：2 5 】) j a l e x r ? g v d ew c y e r ( 2 2 ) 系统研究了一类项链李代数的结构，将项链李代 数分解为s m 0 的模的直和并得出了它的一个非平凡中心t s c h e d l e r ( j 2 3 】) 定义了一种重括号，证明了它决定了一种项链双李代数的结构，并介绍 了一种h o l , f 代数来量化这种双李代数梅超群( f 2 4 1 ) 曾得到项链李代数 的若干结果，她定义了项链字的左右指标数组，利用左右指标数组把畅 硕士学位论文 的基分为5 类，得到的几个重要子代数，并用此研究了项链李代数 的一个有趣的二阶反自同构余德民( f 2 5 】) 证明了项链李代数存在同构于 s 炳) 的有限维单子李代数，并研究了单循环箭图所诱导的项链李代数的 同构以及这些同构之间的关系 本文在( 2 4 ，2 5 】) 基础上继续对项链李代数进行研究并得到了一些新 的成果我们主要讨论由连通单重循环箭图上所构造的项链李代数的一 些性质如证明了此类项链李代数是不可解、非幂零李代数，亦不是半 单纯李代数另一方面，我们又找到它的一个理想p ，使得嗬关于p 的商代数人b 尸是交换李代数本文还同时研究了这种项链李代数的一 些映射，得到了当这些映射成为同态所必须满足的充要条件本文的最 后，我们讨论了上述箭图的一类特殊子图一些性质本文的大致结构是 这样的。 第一章介绍了一些预备知识，在1 1 中我们简要回顾了箭图与项链李 代数的定义在1 2 中介绍了项链字的分类，将所有的项链字按左右指标 数组之间的关系分为4 一层五类，并阐明项链李代数的几种基本性质 第二章主要讨论项链李代数的性质，在2 1 中，我们首先证明了该类 项链李代数的项链字不含d ，e 类元，接着证明了由a 类项链字中右指 标数组只含一个元素的集合g = w l w n 1 4 茜，l o = 如，u ( i ，) ，硪= ( 0 ) ，i ， ( 1 ，2 ，n ) ，七z + ) ，a 类项链字中右指标数组为空集的集合j ，= w i w n ，- ，圪= k i ，呓= 谚，露z + 为基构成的线性子空间：f 是饬的子 代数在2 2 中，通过上述所构造的两个子代数，眠，我们得出场的 非可解子代数oa k 及非幂零子代数，o 蝇，从而证明了项链李代数 峙是不可解、非幂零李代数，同时亦不是半单纯李代数在2 3 中，我们 证明了以州1 弓中的项链字为基张成的一子空间p 是晦的理想 接着证明了通过此理想构造的商代数长i ，是交换代数，从而得出、茜，) 是幂零李代数 一类项链李代数的性质与同态 第三章主要讨论了项链李代数的同态的一些性质，在3 1 中我们构造 了砾的几种线性映射，并给出了当线性映射为同态或反同态的充要条 件在3 2 中我们讨论了上述箭图的一类特殊子图一一直线型连通箭图一 些性质，主要证明了1 1 ，乞中的元素只含有g 类元，h 为镌的理想， 最后，我们利用理想日与p 来构造一组正合序列，并证明了镌是可分 解李代数 3 一类项链李代数的性质与同态 1 、预备知识 1 1 箭图与项链李代数的定义 令q = ( q o ，q t t ) 是一个连通的有向图，其中q o = ( v 2 ，u n ) 是 q 的顶点的集合，q 中的有向边称之为箭向，设q ，是r 2 中箭向的集合， q ，： o 。，口2 ，a m ，s ，t 是从q 。到q 。的映射，使对任意q q 。，s ( q ) = ” 是理的起点，t ( a ) = t ，是理是终点，记作a ：u _ u ，称q 是一个箭图q 中有箭向序列c ：0 f i 。a 妇0 1 k ，1 ，这里i 1 ，i 2 ，；i 。 1 ，1 1 ) 如果满 足t ( a i j ) = s ( a “。) 且亡( 口“) = s ( q 。) ，则称c 是一个循环，u 称为循环的 长度，当u = l 时，c 称为圈特别地，我们称q 中任何个顶点仇是一 个长度为0 的循环，记为e ；在q 的全体循环集合上定义关系一如下， 设c 是q 中的一个循环，若c ，是依次轮换c 中的箭向而得到的循环，定 义c ，一c 显然一是个等价关系q 中的一个按上述定义得到的循环等 价类称为( 7 的一个项链字，记作叫循环等价类中每个循环具有相同长 度，这一长度称为项链字的长度，用i 叫i 表示将q 上所有的项链字的 集合用表示 对于q 中每个箭向o t ：t ，叶u ，添加0 1 关于”7 的对称箭向a + ，即 a + ： 7 叶t ，得到q 的重箭图虿记q i = 矿：t ，叶 i 口：t ，一u q 。) 则 q ；= 而玩= q 。uq ；我们将虿中所有的循环等价类，即所有的项链 字做成一个集合m 一匆以此集合中所有的元素为基在k 上构造一个向量 空间。崦 设在i i 匆中每一等价类任意选取一个代表作成集合r ( u 匆) 现在 我们定义映射g t j ：，( n 苦) r ( n 蹄孑) ，i 啧oj 对v r ) - ( 啦) r ：【惦) ， 设v r r ) = n 1 r t ，7 i 似o ) 一二，i 以其中o 。：j ，i 压西：i = l ：j = l ：，s 给定仃q 】 定义 硕士学位论文 制岫) = r f _ l ：乳l 脚i 舡心m 凡：篆“略。； 称仃3 ( _ ( u - ( u z ) ) 是r ( u ”( u z ) 关于。的连接对给定的代表集，( i 一匆j ， 用d ( 嵋( r ( u - ) ，r ( 峨) j ) 表示盯0 。) ，) ) 所在的等价类，定义 唠( n k w k ：n ) = f l k l z h 万( 弘( u t ) ，r ( u ：) ) ) khk _ l 其中吼，a h k ：则在峋上是一个双线性运算对任意w l ，w 2 n 4 ，- ， 定义括号积运算 r s p m 】- ( u z ) a q l 江ij = x 将上述运算线性地拓展到镌对于 k ，定义 则有 c y i j ( ，) v x ，y - ，z = ( 1 i u i ，可= 幻哟， i = 1 j = l rj r 毒 胁】全 n 触：幻屿】=砚b k 屿】 f = i j = t i = ij - - t ，幻 引理1 1 1 2 4 1 线性空间惕根据上述括号积运算构成一个李代数， 称为箭图虿的项链李代数 乩l ，l 匆，设u = m 是一个项链字，啦是虿中的箭向， 1 ，若v p 虿，定义 气f = l ( 1 + ， 叱 若 若 ：j = “q l ； 声= n 口+ q ； 1 2 对于上述。，a ，鑫，。包 。仍是一个项链字，我们将此项链字记为o ， 即：0 = a ，& ，一l 5 - ： 1 比a b ：卫：( i ：设上 由定义我们得： 一6 全为0 定义七一乜u i = ： i ：l ，岗 。：l姗 不 七 也 ，一 j i 七 ，：互 一类项链李代数的性质与同态 引理1 1 2 对v x 峋，三= z ；x l = 耽当且仅当童l = ： ：2 ，v t l ，勘峋1 弓i 理1 1 3 2 4 1 v w l ，2 i 喝贝0 扛i - 瓦l = 【白2 ：d l 】 引理1 1 4 2 4 1 映射1 ! ：畅一- ：一童是李代数的一个对合 1 2 左右指标数组及几类特殊子代数 我们用q 。= ( 钒l l 理；l q l l 表示q 的箭向集任取u l 喝，设c 是u 所代表的循环等价类中个循环，从顶点t ，i 1 出发，c 依次经过q ，中 的箭向为口吣，经过q ：中的箭向为n 盖，n r 令出现于u 中的箭 向序列为k = o t 小，a i o ，凡= 吆，c 唼 ，现将l 中所有元素的下 标全部取出，记为2 = i ，i 。) ，此数组称为u 的左指标数组：同理， 我们可定义u 的右指标数组：曜= j t ，矗) 我们规定这样的指标数组 是无序的，且对应于c 中箭向出现的次数，指标数组中的元素也是可以 重复的若以，表示一个指标数组，则当i k 是j r 中的元素时，记i ：， 中元素的个数用i 引表示若，中没有元素，则记，= d 设，。= ( i l 一，i t ) ，如= d 1 ) 一，j ，) 是任意两个指标数组，我们如下定 义指标数组间的关系与运算： ( i ) 1 。= 1 2 当且仅当v i ，。，i k 在，l 中出现的次数等于它在，2 中出现 的次数，功 l ：a 在如中出现的次数等于它在j 。中出现的次数否则 ，j 与如不相等，记作，。尼 ( i i ) i ，2 当且仅当v i j r l ，必有i k ，n ，且i 在，l 中出现的次数 不大于它在，2 中出现的次数 f i i i j ，。c 如当且仅当厂。凡且至少存在某个i l f 2 ：i 不在厂。中出现 或在_ 中出现的次数大于它在，。中出现的次数 硕士学位论文 ( i v ) 1 1u 屯= 协t t ，l 或f 七厶：且t k 出现的次数等于 在j r l 中出现 的次数加上t 七在厶中出现的次数) - ( v ) 1 1n 厶= 仉，l 且t k 丘，t k 出现的次数等于k 在l 中出现的次 数与札在，2 中出现的次数的较小值) ，当，。与，2 中无公共元素时，定义 ，。n 厶= o ，口表示无任何元素的指标数组 ( 们) ，l 一，2 = i ：k ，且如出现的次数等于i k 在，l 中出现的次数减 去i 。在厶中出现的次数) 由定义知道，两指标数组间的关系与运算与集合之间的关系与运算 即有联系又有区别对v w n 1 一i 匆，其指标数组间的关系有如下五类： a ：就c 耽，其中包含兕= 口； b ：圮c 就，其中包含l o = 班 c ：磴= 珑； d ：l 2 毋，或仍，且比n 鸸= o ； 刀：三2 n 磴l 。o ，化n 避磴，且珑n 硗d ； 由比，础的定义知道，对任何一个取定的u n ，其眈，惑都是 确定的又因为上面的分类a e 已经包含任意两个指标数组间的所有关 系，故u ，- 的元素也可以按指标数组的关系分成p al - 5 类且由d 的定 义，易知l o = 璐，础= g o 由前面的定义知，对任意u - ，u z m ， 匆，p - ，u 2 j = 仃0 ( u ，u 。1 一 a q li = 1 j = j 仃笱( u 2 ：u i j 若仃贰u 1 岘) 0 ，记仃0 ( 。l ，u 2 ) = = u t ，相应记仃善( u 2 ，u 1 ) = 。：j 利用指标数组醒与艘的定义，可知弘e q - ，使得 = i 强一) l jl 吨0 ：，艺u = ( 屹一) u 磋 ：o = ( 必一( 蜘ul ：，2 ( 心一u 碳 一r 一类项链李代数的性质与同态 我们用心，：、r d ：n e 分别表示由a ，b ! ( j ：d ，e 类元为基张成的 向量空间，则有： 引理1 2 1 【z 刮如：n b ，眠j 对前面所定义的括号积构成李代数，且为 岣的子代数定义杪：n 4 _ 对v 。j ，( z ) = 未，则，是心到 的李代数反同构 - 引理1 2 2 2 4 1 乩l ，忱i 埯，若2 。n 砭= 仍，且惑。nl = o ，则 c d l ，2 1 = 0 i 、 弓i 理1 2 3 1 2 4 1 v 【如= o “，u n t i r - ，口口l ，则 u a ，】= ( c 。一c 口) u ，其 中是。在u 中出现的次数，c 口是在u 中出现的次数 i 一类项链李代数的性质与同态 2 、单循环箭图的项链李代数的性质 本章我们将探讨由连通单重循环箭图q ，如图2 1 所示： 岣 q h 哆巧吩 、。均 心 锄 图2 1 连通单重循环箭图 构造的项链李代数 b 的性质其中让为顶点( 江1 ，2 ，n ) ，叱为箭 向( i = l ，2 ，1 ) ，n 2 设指标数组，= ( 1 ，2 ，讥) ，令南，表示将，中每个 元素重复七次得到的指标数组 2 1 项链李代数的基本性质 引理2 1 1 u ，- 中元素一定不含d ，e 类元素，且讪m ，必存在 k z + ，使得l ：= k lu 吃，乩，必存在k z + ，使得甓= 尼，l j 圮 证明： 对n i ，t ，- ，设u = 口l a 2 毗，由q 的几何形状( 图2 1 ) 可 知，对比i 若n ；q l ，则“q l 或m + l q ：且+ l = c | ：若口i q ；， 则n m q ：或n 川q i 且n 仆l = 茂；其中当i = t t 时i 十l = = 1 故必有 l ：c 憨或硬cj = ，! 或r l 二= e ，根据d ，e 类元素的定义，得n 为中元 素一定不含d ：f 类元素 咖：、- t ，因为绣cl ! ，故有坨一厅：仍，即存在非负整数后， 使得叱= 皑u 居，l j i ：，i ，) ，s m 由q 的几何形状i 图2 1 ) 可知， 1 1 硕士学位论文 多出的q 中s 个箭向啦。，：，n “不可能构成一个循环，故5 = 玑即 存在盘z + ，使得l 。o = k lu 讫同理可得钆，必存在良z + ，使得 兕= k iu 吃 i 下面，我们来构造 匆的几个子代数在下节中，我将利用这些子代 数来探讨如的幂零性、可解性和半单性 令表示以w 苦中所有长度为为2 的项链字为基张成的k 一子空 间，则日中有他个生成元：h - = 口。n i ，：h n = n 。o n ，且 h i , h j 】= n ，一啦q ；：。，：兰妻 故对v x ，y h ，有ky 】0 成立，即日为峋的交换子代数 令集合g = 如时，以；当七l k 2 时，u u b ；当l j l ；l ：七2 时， u 巧c h ； 同理考虑u 0 亦有类似的结论，故而p ，u 。lcp 综上所述，即得以l i ，- 中的项链字为基张成的一子空间p 是 峋的子代数 下面，我们来证明p 是峋的理想。 任取z 人r _ ，y p ，不妨设z = 机h l + c 舢，y = 砖屿，其中 h i = 啦口：( i = 1 ，2 ， ) ；u t ，哟v 嗡h ；6 t ，臼，如k ，则 胁】= b ；如屿】+ c t k j w t ，屿】 t ，jj 由p 是_ 的子代数可知若c ；b ，l e p , 故只须证j b , k j h i ，】pp , p 不妨设屿= 3 1 尻，口。佛是虿中的箭向；h ；= o i a 2 ，其中a l ： 啦，o r 2 = ，若韵= 口z ，则有四限，q ) = 醇岛+ 。忍历岛一。= 屿而 o v ( h t ，屿) = 0 ，同理亦有仃譬( b 屿) = o ，仃豸( 屯，畸) = ，从而f 屯，】= ( ：一龟。) p ，其中q ，c a ；分别为a 乙仅t 在中出现的次数即有 阢“。j p 故 z j b ：! ，】= f ，矧7 l ：屿】+ _ 幻够水p 比峋：p j i , j 即p 是物的理想 证毕 由于_ p 是 石的理想，在峋对p 的商空间：崦j f ) = 虿= + p t 引三物) 1 6 一类项链李代数的性质与同态 中定义运算为 晦，捌= 翮：v x ，| i ，崎 则峋p 是李代数，它是峋关于p 的商代数 定理2 3 2 峋对p 的商代数崎尸是交换代数 证明：峋e 中的零元为石= 0 + p = p 对比! 可n u ，不妨设z = b l i h i + eh 毗，= c l j + c 巧畸，其 中咄，屿日；6 l l - b 2 i ，c l t ，c 2 i k 则 p ，可l = b l i c l j h t ，b 1 + 吆c j 心1 + b “锄屿1 + k h ，屿l i ，i ，jt ji , j 由前面的讨论可知： ，屿l p ，阮，屿1 - ，b 】：0 又由阮，】= 0 ，可 知：【，】p 从而有阮别= 丽= p = 石：比，可s u 成立 故，吲p 交换代数 证毕 由交换李代数与幂零李代数的关系可知下面结论亦成立 推论2 3 j 1峋对p 的商代数峋p 是幂零李代数 一类项链李代数的性质与同态 3 、单循环箭图的项链李代数的同态 3 1 项链李代数的同态 仃( 至) = ( 三兰3 ：! 兰) ( 至) ， 仃( 篡) = b l ib 6 ：1 2 2 ) ( t ( m 0 ) 对任意项链字u 人，l i 匆萝：盯( u ) = u 则 例为同态映射当且仅当口t i + g 2 + + n i 。= 1 且_ i ! ) l l = = 1 ，1 2 = 1 = 0 偿j 为反同态映射当且仅当“n + + + n 汛= 一l 且f ) 1 1 = 6 2 1 ：一1 ，6 1 2 = 如l = 0 证明：( 1 ) 先证必要性 由仃为同态映射，即乩t ：u z i ，匆仃( i 。t u ? jj = p tl ，盯( u 剖，故对 v u n i , i u s ，由箭图的特性可知：l ：= 南几j 咒或甓= ，u 伫不妨设 1 9 l ! = 良，u 耽，贝0 从而 又 硕士学位论文 p ( ) ，仃( ，j 1 ) 】 = 。：a h l + a i 2 h 2 + + ( l i n h 。1 = k ( a i l + a i 2 + 十，z i n ) u 盯( f u ，h i ) = 仃( u ) = 七u ： a i l + a i 2 + + a i n = 1 【a ( w o ) ，矿( ) 1 = 【b n w o + b 1 2 w ；，毗1 危1 + a i 2 h 2 + + a i k 】 = b l i ( a i l + a i 2 + + n n0 3 0 一b 1 2 ( a i l + a i 2 + + 啦n ) 碥 = b u w o b t 2 砧 仃( 【u o ，h i ) = a ( w o ) = b n w o + b 1 2 u ；，即得 同理由盯( ， ；】) = p ( “) ，o ( h t ) 】可得 ： b 1 2 = 0 1 ) 2 1 = 0 最后，讪仉，_ s ，显而易见。任取p ，】或p ，碥】线性组合中的一个 项链字o j l ，恒有：u l l i ，r s ，故 又 盯( p ，u 0 1 ) = 【u ，u o 】：盯( 【u ，u ；】) = o j ，u ；】 f 仃( 叫j ：仃( 坝) ) 1 = u ：6 1 l 。( i + 6 1 2 u ：j = f ，1j 。( 1 】 陟( 。) ! 仃( u ；) 】一 u ，如i _ o + 厶2 2 u 剖= 5 2 2 “j 。；】 即得：厶l 】= b 2 2 = = i 再证充分性 2 0 一类项链李代数的性质与同态 盯(至h2)=(三a-三21三a兰22)j；三a兰2n)(至h2) 仃( ：) = ( 三：) ( ：；) p ( 岫) ，f ( 玩) 】 = 【u o ，a i l h l + 0 , , 2 h 2 + + a i 。h n 】 = ( 啦l + a i 2 + + a i n ) u o 注意到仃n + o 2 + + a i 。= 1 ， 因此 盯( 【u o ，几】) = 【盯( u o ) ，仃( 而i ) 】 同理盯( ，= p ( u ；) ，o ( h ：) 1 当v l ：, v i i ，匆，时，因为p 。j 2 j 组合中的任一个项链字均不在 s 中，故 r r ( “，i ，u 2 】) 一【u j ：u 2 l ，p ( u 1 ) ，仃( 2 ) 】二【。i ! 。：】 f r i f l ：l 1 2 j j = f r r ( lj ：仃i 。! ) j 9 1 又 硕士学位论文 当u n i l ，- s ，盯( u ) = u ，不妨设l ：= k lu 艘 口( f u h i l ) = 七u 【仃( u ) ，仃( ) 】= 【u ； a i l + a i 2 + + a i n = 1 o i l h l + a i 2 h 2 + + n n h n 】 = k ( a i l + 0 4 2 + + n i n ) “ 盯( p ，h i l ) = p ) ：盯( k ) 1 l ，2 ，以又因为 仃( 【u ，u 0 1 ) = 0 3 ，w 0 】= 【盯( u ) ，仃( 咖) 】， 盯( p ，u ；】) = p ，w 0 + 】= 【盯( u ) ，盯( u ；) 】 综上所述：讪，u z 吩! 仃( p - ，u z 】) = p ( u ) ，口) j 即口为同态 ( 2 ) 先证必要性 注意到u 为反同态映射，即乩l ，u z n i 喝盯( b t ，峨1 ) = p ( u z ) ，盯( u ，) 】 由( 1 ) 的必要性证明过程可知： n 纾孑 s 盯( p ，h , i ) = 口( 玩) ：仃( u ) j = 一f 仃( u ) ，盯( 愚t ) 】 一 ：( 啦l 从而，。i l + 吼2 + + f q = 一l 阿f u ( 1 ，c r ( h i j ! = + 仃i 2 + + 以n ) u = k w f i l _ o + f j l 2 u ；：a h l十( i 2 h 2 + + 门i 。h n l = l l ( n j i + ( 1 i 2 + + o i n ) o b l ：( 啦l + r j l 2 + + o , i t i j 。； = 一b h w o + f j l ! 。； 2 2 一类项链李代数的性质与同态 由口( b o ：h 1 1 = 【叮( f k ) ，盯( u o ) l = 一【盯( u u ) ，( i ) i ，即6 l l u o + 6 1 2 戊= b n 。o 一6 1 2 j ： 得： “2 = 0 同理由( r ( 【u i ； 。l 一【o ( 、h i ) ，巧( 叫；) 1 ，可得f j ：= 0 最后由 仃( 【u ，u o 】) = p ，咖】，盯( p ，w 0 1 ) ：f u ，“j 又 p ( u ( i ) ，矿( u ) j = 【b l i w o + b 1 2 w o ，u 1 = - b l l p ，】， i c r ( ；) ，盯( ) 】= b 6 z l 咖+ 厶2 2 u ；1 = 一6 2 ：p ，1 0 0 1 即得：b 1 1 = b 2 2 = 一1 ( 2 ) 的充分性完全仿( 1 ) 即可得证 证毕 下面讨论当上述箭图中顶点个数n 为奇数时的一些性质 显然，当钆为奇数时，则i ， ，一中长度为t t 的项链字只有u o = a t q ：a 。，w o ： a ：q ；o ： 定义3 1 1 项链李代数怕的任意项链字都称为畅的本原基向 量 定理3 1 2 仃是项链李代数v _ 的线性映射，且对任意本原基向量u ，叮( 。) 仍是物的本原基向量，且u 和伊( u ) 的长度相等则 当盯是项链李代数 b 的同态映射时， ，丁( _ o ) = w 0 仃( i ) = 。i 当仃是项链李代数a 石的反同态映射时， c r i b , o ) = 。；，叮( u j ) = 姒l 一2 3 硕士学位论文 证明：。盯保持本原基向量的长度，而箭图q 只有两个长度为，t 的本 原基向量w o = o q o l 2 ，w 0 2 = n ；n ：，则仃i 叫o _ ) = ，或仃( 咖) = o j * 而 箭图只有n 个长度为2 的本原基向量，则a ( h ) ：ki = l ：2 ，! n f u u ，h i 】= w o ，f 。；，h , 1 1 = 一u ； 当仃是项链李代数- 的同态映射时，则 a ( w o ) = 仃( 【u ( h , j ) = 【盯( u o ) ：盯( 1 ) 】( 1 ) 矿( 一“) = 盯( ，h i ) = 【盯( u ；) ，a ( h 1 ) 1( 2 ) 假设a ( w o ) ：u ；，则( 1 ) 中仃( 蛳) = u ；，而p ( u 。) ，a ( h 。) 卜，a ( h 。) 】，无论 矿( 1 ) = h i 江1 ，2 ，化都有 【w 0 ，a ( h 1 ) 】= 一w 0 ，嵋= a ( w o ) 【“，盯( h 1 ) 1 ， 仃( u o ) = u o 同理根据( 2 ) 式，必有盯( “) = “ 当盯是项链李代数峋的反同态映射时，则 a ( w o ) = 仃( 【“胁，h i ) = ( 盯( ) ：盯( u o ) j 假设盯( u o ) = u o ，无论a ( h 1 ) = h 江1 ，2 ：一都有 f a ( h 1 ) 岫j = - - w o ，蛐= a ( w o ) 一蛐= p ( i ) ，岫j ， a ( w o ) = u ； 同理必有仃( u j ) = u r ，证毕 3 2 直线型连通子图及正合序列 本文的最后，我们来讨论由上述连通单重循环箭图的类特殊连通 子图构成的项链李代数的一些性质 2 4 一类项链李代数的性质与同态 在单重循环箭图中去掉若干箭向后，我们即可得到若干个直线型的 连通箭图和单点图下面我们就讨论由连通直线型子图所构成的项链李 代数的一些性质如上图，去掉箭向a 。后，即得如下箭图： ( t 1口2 o r t - - 2o n 一1 ，l 。 2 。 u n l 。呻u n 图3 1 直线型的连通箭图 设由此箭图得到的项链李代数仍记为崎，- 为其项链字集合 h 与p 依前面所定义则我们有： 定理3 2 1n i , i 匆中的元素只含有c 类元 证明： 乩i 场，若u 为a 类元，则由左右指标数组，有或cl o , ， 不妨设l 2 = 琨u ( i - ，i 2 ，“) ，由箭图的几何形状可知，多出的s 个箭向 口mo t 玩，o t 不可能同时出现在一个循环里，故假设不成立，即u 非a 类元；同理可证u 非b ，d ，e 类元 所以i l 弓中元素只含有c 类元证毕 定理3 2 2 口为峋的理想 证明： 任取z 日，y 峋，不妨设。= 6 t h i ，可= 勺b + b 屿，其中 h i = a i 口：h 3