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双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 摘要 本文主要是研究双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计的有 关问题。对于奇性问题，通过本文所给出的计算7 5 - 法( 慢处理法1 将会以最 小的工作量和最快的速度而获得有限元解的整体精度。全文具体安排如 下： 在第一章绪论中，我们主要介绍所研究问题的背景和意义以及我们 现阶段所取到的一些成果。 在第二章中，我们主要介绍一些在本文中将要用到的有限元知识。 在第三章中，我们给出了个后验误差估计判别量，并在理论上证明 了此判别量可作为收敛慢的坏单元的判别标准。 在第四章中，我们证明了我们所给出的后验误差估计判别量的自适 应性质。 在第五章中，我们列举了实例，充分地说明了只需对收敛慢的坏单元 进行局部加密，就能以最小的工作量最快的速度提高有限元解的整体精 度的慢处理方法是完全可行的、有效的。 在最后一章中，我们对本文进行了总结，以及对相关的问题作出了展 望。 关键词：慢收敛，坏单元，自适应，后验误差估计 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ep r o b l e ma b o u ts u b c o n v e r g e n c ea n das e 推a d a p t i v e p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e so fb i l i n rf i n i t ed e m e m e v e nf o rt h ep r o b l e m w i t hs i n g u - l a i t y , w ec a no b t a i nag l o h ea c c u r a c yr e s u l t so ff i n i t ee l e m e n t 丽t ht h el e s sc a l c u l * t i o na n dq u i c k e r8 d e e du s i n gt h em e t h o dg i v e ni n0 1 1 1 p a p e r t h i sp a p e ri sa r r a n g e d s p e c i f i c l ya sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yp r o v i d es o m eb a c k g r o u di n f o r m a t i o na n dm e a n i n g a b o u to u rr e s e a r c ha n dt h es t a t e m e n to fo u rm a i nr e s u l t st h a tw eh a v ea l r e a d y o b t a i n i nc h a p t e r2 ，w em a i u l yi n t r o d u c es e m eb a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so ff i n i t e e l e m e n t ，w h i c hw o u l da p p e a ri no u rn e x tc h a p t e r s i nc h a p t e r3 ，w ep r o p o s eap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o ra n dp r o v e dt h e o r e t i c a l l y t h a tt h i sc r i t e r i o nc a l lb et h es t a n d a r do fd i s t i n g u i s h i n gt h es u b c o n v e r g e n c eu n i t s i i lc h a p t e r4 w ep r o v et h es e l f - a d a p t i v ep r o p e r t yo fp o s t e r i o f ie r r o re s t i r a a t o r d e f i n e db yo u r s e l f i nc h a p t e r5 ，w ee x p l a i nb ys e v e r a l 4 e x a m p l e st h a tw eo n l yn e e dl o c a l l yr e f i n e t h eb a dd e m e n t s a n dt h eg l o b ea c c u r a c yr e s u l t so ff i n i t ee l e m e n tc a nb er a i s e d 丽t h t h em i n h u s lw o r k l o a da n dt h eq u i c k e s t8 p e e d i nt h el a s tc h a p t e r ，w eg e n e r a l i z et h i sp a p e ra n dp r o s p e c tt h er e l a t e dp r o b l e m a b o u tt h i sp a p e r k e y w o r d s ：s u b c o n v e r g e n c e ，b a de l e m e n t s ，s e l f - a d a p t i v e ，p o s t e f i o f ie r r o re s t i - d l 钯 i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 篡黧雯蓑涝每踊3 ) 日 p 骘f 、n1i 学位论文作者签名：t ( 弘j d 辱等i 月s 1 日 l i 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容 编人有关数据库进行检索可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 日期 日期 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 第一章绪论 到目前为止，已有大量的工作研究了有限元的超收敛性。在某些情况 下，在一些特殊点处我们可以得到比其它点有更高的收敛精度。这种现 象我们就叫做超收敛【1 阍【3 1 【4 1 1 5 1 【6 】。超收敛理论告诉我们，要获得超收敛， 必须保证两点：一是剖分好，二是解在局部特别光滑。如果这两个条件不 能同时满足，如解不够光滑，那么就会出现一种相反的现象一一解的局 部误差将大子整体平均误差。而我们把这种现象又称之为慢收敛1 5 l 。 超收敛与慢收敛是相互对立的。慢收敛总是出现在解的奇点附近，而 在实际工程中能在奇点处提高解的精度是非常重要的，但同时也是非常 困难的。因此，研究慢收敛理论就显得非常必要了 很早以前，i b a ：b u ；k a 等就提出局部加密剖分或局部增加分片基函数的 次数的方法来提高解的精度。为了完善这套方法，我们需要使用一个后 验误差估计量来判别哪些单元是收敛慢的坏单元，即后验误差估计方法。 否则，不加分析地加密所有的单元，不管“好”的还是“坏”的，那么就 会使运算效率非常低下，求得的解的精度也不高。 后验误差估计是实现自适应计算的基础，也是有限元应用中一个十 分重要的方面。7 0 年代末，i b a b u s 硪a 和w r h e i n b o l d t 给出了建立等价后验 估计的一般原则与方法【1 7 l ，在一维情况下给出了完整的结果1 1 5 】。8 0 年代 初，i b a b u s - k a 和a m i l l e r 对平面弹性问题正文形双线性元，给出了一种后 验估计的方法，并证明了其等价性和浙近准确性1 1 8 l 。 后验误差估计方法可大致分为两类，1 9 7 8 年b a b u s - k a 和r h e i n b o l d t 口l 】f 2 2 】最 早提出了残值法。这种方法出现的时候较早，数学理论知识也比较完 善。但由于形式较复杂并没有得到广泛的应用。o c z i c n k i c w i c z 和z h u 【2 3 j 于1 9 8 7 ：t # 提出了一种与残值法有着根本区别基于后处理技术【2 5 】的误差估 计方法( 简称z z 方法) 。由于它具有计算简单、便于理解、和现有的有限 硕士学位论文 元应用软件接口方便等特点，因此受到了广泛的欢迎。并被b a b u s k a 等人认 为是用于渐近准确估计的后验误差效果最好的技术之一。随后，z i c n k i c w i c z 和z h u 口由又于1 9 9 0 年开始研究超收敛特性对z z 方法的改进与发展。 理论上，i b a b u s k a ，z i c n k i c w i c , zoc ，z h ujz 等人在文【1 6 】、【1 7 】、f 1 8 】、【1 9 j 、 、【2 1 、嘲、【2 3 】、 2 4 l 中对自适应及后验误差估计方面的研究得到了一 系列的结论，并对其结论从理论上给予了某些推广。 此后，自适应后验误差估计就进入了一个全新的发展阶段。我们在 文f 1 0 中讨论了k 一网格上的双线性有限元的超收敛性并由此得出渐近准 确的后验误差估计，虽这里的估计只能任何一个n 的不含奇点的子域成 立，但推广了渐近准确的后验误差估计一般仅在一致网格片的内子域上 成立的结论；周本宽等【1 l 】推导了一种h 一收敛的新的误差估计式，并用数 值进行了检验，同时也证明了此估计式对自适应有限元分析是行之有效 的；同时汤雁【12 】完整的给出了关于p o s s i o n 方程的后验误差估计及基于后 验误差估计的自适应有限元方法，并从理论与实例数值上证明了这种方 法是可靠的、有效的。 而本文是利用慢收敛的这一思想，获得一种简易的自适应后验误差 判别量e ，它仅与数值解矿与，有关。比较。的大小，就可以获得收 敛最差的那个单元e o 。于是，对差单元e 。进行局部处理( 不必整体加密， 只要局部加密) ，这样逐步获得高精度。 本文大体可分为三个部分。第一部分主要是介绍一些基本的有限元 知识；第二部分给出了慢收敛的定义，局部加密方法以及一些主要定理 的结论；在文章的最后，我们列举了几个慢收敛的实例。 2 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 第二章预备知识 2 1自适应方法 自适应有限元方法是一种能通过自适应分析自动调整算法以改进求 解过程的数值方法，是一种根据中间计算结果自动控制计算过程的求解 偏微分方程的方法。它以常规的有限元方法为基础，以误差估计和自适 应网格剖分技术为核心，通过自适应分析，利用中间计算结果自动计算 所需的网格，选取最佳离散方式，自动调整算法以改进求解过程，从而逐 步对误差自动地作适当调节以达到所需精度，是一种效率高、可靠性高 的计算方法。 目前，应用中的的自适应有限元方法包括以下几类： ( 1 ) k 加密( h - e n l i c h m e n t ) ：此法是不改变插值函数的阶次，仅基于局部 网格加密，提高求解的精度。传统的h 型方法通过不断细分网格从而使单 元尺寸h o 来实现近似解逼近准确解。在h 型自适应有限元方法中，通过 加密剖分来达到提高计算精度的目的。我们只需局部地细分那些求解误 差过大的单元，为此需要作民，局部后验误差估计。在这过程中作为近 似解的分片多项式的阶p 不变。 本文就是使用了缸收敛的自适应方案，给出了一种在h 收敛下的后验 、误差估计式，并通过实例验证了其可行性。在p 收敛和h p 收敛下有关的 误差估计方法的详细情况可参考b a b u a - k a 综述【2 6 】和文献【2 7 】。 ( 2 汾改进( p - r e f i n e m e n t ) ：此方法是保持单元网格几何尺寸不变，仅增 加单元形函数的阶数，以降低求解误差。也就是说，p 型方法是在网格 固定即 不变的情况下，通过不断提高作为近似解的分片多项式的阶即 令p 0 0 来实现逼近。 3 硬士学位论文 ( 3 ) 移动结点法( n 法) ：此法不改变单元类型和单元数目，因而，单元 自由度数保持不变，通过改变单元形状减小离散误差。 ( 4 ) 组合法：如h 一砖 、r 一融等，则是二者的适当结合。较常用的h p 是 同时进行网格加密和增加插值函数阶次，以提高求解的精度。理论上可 证明，h 收敛和p 收敛的结合应即 一p 收敛效果最好，h p 自适应方法是一 种最先进的方法，它能提供指数级收敛速度，在包含奇异点的情况下也 能以指数级速度收敛到精确解。 对许多问题( 尤其是奇性问题 ，通过细分全部网格或提高所有单元 的逼近阶来改善计算结果显然是很不经济的。自适应方法的特点正在于， 依据对已有计算结果的后验局部误差估计，对网格进行局部细分或仅对 某单元提高逼近多项式的阶，然后进行下一步计算，这样便可以尽可能 少的代价取得尽可能好的结果。因此，自适应方法是具有某种最优性质 的反馈方法。 2 2 后验误差估计 由于误差估计方法是根据上一次得到的计算结果进行误差估计来指 示下一步的网格剖分，并且不同于讨论稳定性、收敛性的先验误差估计， 因此它也被称为后验误差估计方法。 后验误差估计是实现自适应计算的基础，也是有限元应用中一个十 分重要的方面它可以对有限元解的可靠性作出评价，并用于有限元解 的自适应改进，好的误差估计能够以较少的计算代价获得预期的精度要 求。 后验误差估计的基本步骤是如何用合适的范数度量误差。在大多数 文献中，是以能量范数度量误差，即对每个单元估计其误差的能量，每个 单元的误差称之为局部误差，将所有的单元的误差求和，就得到全局误 差，局部与全局误差的估计是进行自适应的基础，若计算结果的全局误 4 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 差不满足要求，则需重新设计网格，即对局部误差较大的单元进行加密。 2 3s o b o l e v 空间 设ocr 为- - 开域。x 寸f f ：f q 整数t r t 0 ，任意实数p ，1 曼p o 。，考虑函 数空间 矸7 m 炉( q ) = ：d 4 t ，酽( q ) ，i a i t n ， 其中口= ( 0 1 一，) 为整指标，m = 壹，伊滚示”的分布导数。这个空 间范数 舾= ( 甚m 一5 ，如鳅 m 础。h m 螂a x 8 8 5 裟i d a ”( z ) i ，如p = 构成一个b a n a c h 空间，这种b a n a c h 空间，我们就叫做s o b o l e v 空间。有时我 们也采用半范数 h 伽= ( 品户叫一。，如，p o ) 称剖分乡哺叫做正规的( 哪l a rf a n l u y ) ，如果满足条件n 1 一n 2 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 n l ：存在常数口 0 ，使 v h 0 ，v e 少“，k “矿 n 2 ：h g - t - o 有时我们还引进如下条件 n 3 ：( 逆性质) 存在与h 无关的常数7 ，使 m x ke 矿“) ，y 称剖分族少“，h o p q 拟一致的( q u a s i - u n f o r mf a m i l y ) ，如果它们同时满 足条件n 1 一n 3 2 5 双线性有限元空间 设ecr ，l 为有界闭集，( e ) 为e 上一函数空间，一般取w ( e ) 为c ( e ) ，c 1 ( e ) 。俐为( e ) 上全体连续线性泛函，pc ( e ) 为一有限维子空间( 由 多项式构成) ，4c 例是一有限的线性无关集。称三元集( e ，p , e ”) 叫 做w ( e ) 上的一个有限元，如果 ( i ) e 内部非空，且边界满足缸p 砌i t 。条件； ( t o 若记“= 慨 名。，则p 内相应有一组基底= 切) ；。，使 忱锄) = 此时称4 和形成一个双正交组，4 通常叫做自由度 设w ( q ) 为一函数空间，一般取作c 8 ( _ ) ，s - - - 0 ，1 ，2 。又设f f h ，h o 为q 的一个剖分族。若对每个少“，对应有一个函数空间 8 h ( f 1 ) cw ( a ) 7 硬士学位论文 使得 e 1 ：对每个e 矿“，函数集 只= 臼：p = 口i 。，妒( q ) 是( e ) 的一个有限维线性子集，由多项式构成。 e 2 ：存在( e ) 呻的线性无关组残c ( e ) 。( ( e ) “指( e ) 上全体线性 泛函) ，使与只的某个基底。形成双正交基，从而( e ，只，! ) 成为个有限 元。这时，我们就称驴( n ) 为一个有限元空间，而 驴( n ) ) 形成一个以 为 参数的有限元空间族。 下面进步介绍所谓l a g r a n g e 型有限元空间，设s h ( f 1 ) 是按前方式定义 的有限元空间，假定它还满足如下条件： f _ b ：( q ) = g ( - ) ，对每个e 夕“，按e 1 ，e 2 确定的有限元( e ，只，! ) 为l a g r a n g e 型有限元，对应的结点集瓦，满足 正n ( e ne ，) = 乃n ( e f le ，) = 正n 巧v e ，e ，矿“ 而且，对任何p b ，口乃，要使p 和g 在e n e 7 上相等的充要条件是 p ( 如) = 口( 勾) ，v z o 正n 乃 这时我们就称s “( n ) 1 q l a g r a n g e 型有限元空间。 那么我们相应定义的空间 妒( q ) = t ，e ( _ ) ：口i 。最( e ) ，v e 矿“，七= 1 ，2 ，- ) 就是一个r 型l a g r a n g e 有限元空间。显然，当女= 1 时，驴( o ) 为。上的分片 线性的连续函数所构成，这种函数空间口q 线性有限元空间。 如果砂( q ) 为分片双线性的连续函数构成，我们就叫妒( q ) 为双线性有 限元空间。即本文所讨论的有限元空间。 8 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 由【1 1 可知，以上的有限元空间都是h ，( q ) 的子空间，特别的有s 鲁( n ) c 珥( n ) 。 我们记 s 掌( n ) = 扣驴( q ) ：”l r = o ) ， 其中r 为n 的边界。 对于线性或双线性元，各单元顶点的全体记为矗，叫做结点集。 2 6 椭圆方程解的存在性 考虑有界区域n 上的椭圆方程 l 一眈= 一弓烈铷) + 弘2 在q 内( 2 6 1 ) it = 0 ， 在舰上 、 设1 ，= 珥( q ) 为通常的s d 6 0 f e 口空间，则( 2 6 1 ) 相应的弱解形式为 ， 黧丢兰篙v 眨e 埘 【口( 口) = ，( 口) ，v 、7 这里“u 一= ( 善啦私碣”+ 掣) 蛐，m ) = ，”如句。 矗 幻 矗 并取k = s 考( n ) cv 为一个有限元空间，则( 2 6 2 ) 离散近似为 抵。h ( u h 嚣篡m 巩 ( 2 。固 l，) = ，( ) ，i k 、 其中钆m ) _ 占。丢抑胁如此处定义呲能 量模为l l v h l l = ( v h ，) 。 由【1 】可知，口( ，) 是嘲x 砩上的对称连续有界双线性型泛函，且满足 璃制条件： 口( 弘t ，) 口i i i i k ，坳珥 9 硕士学位论文 因此由妇一m i l o r a m 定理( 见 1 1 ) 可知，对任一，l 2 ( q ) ，( 2 6 3 ) 在k 上 有唯一解 t t 。 2 7 五节点矩形元形函数 ( a ) 常规网格 l l i i 卜 ( b ) 一阶非常规网格( c ) 二阶非常规网格 图：常规与非常规网格 魍l 自适应有限元单元的局部网格细剖不可避免地需要引入非常规 节点。如果某节点是所有与它相临单元的节点，称为常规节点，否则称 之为非常规节点( i r r e s 咀h xn o d e ) 。含有非常规节点的网格称为非常规网 格( i r r e g u l a rm e s h ) j 1 4 1 。非常规节点的存在破坏了一般意义上的单元间连续 性假定。为保证单元之间坐标和位移的连续性，利用参照节点对非常规 单元进行坐标和位移插值的方法，我们提出了一组修正的形函数【1 3 l 。 当用有限元方法求解角点奇异等问题时，通常采用局部加密网格的 技巧，如图1 ，于是产生了非标准的有限元单元剖分1 。 1 文吲从数学理论上分析了如图1 的单元僵陆时的混杂五点矩形元。应用石钟慈【8 】【9 l 的非协 调元理论，证明了此混杂五节点元求解二阶椭圆型方程的收敛性，并导出了相应的误差估计式 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 对于图1 所示的非标准有限元单元剖分，它的单元节点有如下图2 中 的五种类型：， 43 4 3 4 3 4534 3 下： 口口口s 口s 口 12152121212 ( i )( i i ) ( i i i )( i v )( v ) 图2 单元节点类型 令k = ( 一1 ，1 ) x ( 一1 ，1 ) 为坐标d 一轫下的标准参考元，它的形状函数如 表1 单元类型 1 ( f ，町)2 ( f ，叩)3 ( f ，7 ) r 4 ( f ，7 )5 ( 67 ) ( i ) 妒1忱协 ( i i ) 妒，一 5忱一 5 l 船i p 4 ( 1 一乎) ( 1 2 p ) ( 1 一i ) ( i i i ) i p l 忱一5一 飓 l p 4 ( 1 + f ) ( 1 一矿) ( 1 一，7 2 ) ( i v )妒1忱 协一 5讯一；5；( 1 一f 2 ) ( 1 一；p ) ( 1 + 7 ) ( v ) 妒l i 5 i p 2协 钆一；5( 1 一) ( 1 一矿) ( 1 一i 矿) 其中 取空间p ，x 目 v v p ，有 5 ( f ，叩) = 地m ( ”) ， = l 1 1 l、j 叩 叩 叩 n 一 一 十 + 1111 ，；，l、i、j f f f 一 十 + 一 1 1 1 1 1 ，川，l l 一4 1 4 1 4 1 4 = = = = 、；、， 吁 叩 叩 叶 f f f 吼 忱 仇 似 硬士学位论文 其中饥为”在节点i 的值。 而在此文的实例中，为了计算的方便，我们构造了一种分层分片的协 调多节点形函数，这就避免了上述非协调五节点形函数的高次元( 5 健，q ) ) 所 带来的计算困难。 设对区域q ( 其中d ecn ) 进行正规四边形剖分，多次加密割分后，则 在区域d e 内必可得到类似下图所示的剖分单元： 缓兹缓 嬲 注：此处的d e 取为图中的斜线区域。 即：( 1 ) d c 内新增了5 ，6 ，7 ，8 ，9 等多个新结点( 1 ，2 ，3 ，4 为原单 元的初始结点) 。 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 ( 2 ) d 。f h l 2 个小单元产生。 ( 3 ) 新增结点5 ，6 ，7 ，8 ，9 可在加密剖分中生成5 个新的基函数，它 们在各个小单元的形函数就是继原单元的四个形函数之后的形函数。 因此，区域n 剖分后在d e 区域上将会出现如下图的单元结点类型： yyy 43 r1 摹 ll 一 1 ( i ) y 453 r 1 摹 ll 一 o l2 43 r 1 摹 i 5 l h_ 12 ( i i ) y 43 一 1 摹吐 ( ii 一 12 4 3 r 吐x ii 一 l2 ( i i i ) y 45 枷3 dp _ d i 5 ”1x i 5 ，i 一卜 12 ( i v )( v )( v i ) 图4 分片单元节点类型 同样的，令k = ( 一1 ，1 ) ( - i ，1 ) 为坐标。一f q 下的标准参考元，它的形 状函数如下： 硬士学位论文 单元类型 1 ( 己7 )2 ( ，r ) 3 ( ，7 )4 ( ，叩)5 ( 们 ( i ) p l i p 2 协饥 ( i i )l p l忱i p 3 钆 一( 1 + f ) 印及一( 1 一f ) 叩 ( i i i ) p 1忱坝 ( 1 + 田) f 及( 1 一q ) f ( i v )( p l忱l p 3 ( 1 + f ) 极( 1 一 h ( v )妒1 忱 协 一( 1 一秒) 及一( 1 + 叩k ( 、，i ) 妒1_ p 2协咖 综合上述5 ( ，可) 其中妒l 、忱、协、m 同前。 对于第( i ) 类型单元，p e p 为双线性空间，于是我们在标准参考元上得 到有限元空间( e ，p ) ，对每一个矩形单元e ，可以通过线性变换得到有 限元空间似。，最) ，由此得到一个局部加密网格上的有限元空间。 2 8 分层基函数 设矿“为区域q 上的正规四边形剖分，驴( q ) 为乡峨上的分片有限元 空间，且 谙( q ) = p 钞( r 2 ) ：v l o m = o ) ， 同时用p 表示剖分上的内节点集。则任给7 0 p ，存唯一函数瓯s ， 使 ， “加r 教：p ， 显然 锍= 也：z p 形成醋( o ) 的基，即 醋= 聊，l 屯：z p ) 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 将剖分矿“加密一倍，得到新的四边形剖分9 h i ( h - = h 2 ) ，它的内结点集 为乃，对每个。噩，存在唯- - $ j i 函数妒驴t ，使 ，艄护r 耋麓叫呱 于是也形成有限元空间s 一- ( n ) 的基： 颀= 毋) ：z 噩) ， 这个基叫第一层基。 类似的，可将剖分逐次继续加密下去，获得q 的四边形剖分列2 r h , ( h - = 2 - k h ) 及节点集死和有限元空间8 h , ( f 1 ) 及其尼层基 纸= ：z t k ， 其中西妒驴- 满足 舯，= r 蓑茎v z , z e 露 此处我们用吼：明( q ) 一s 盘- 表示g a l e r k i n 投影算子，岛= r h ：瑶( q ) 一 醋 由【5 】的 5 5 1 】分析，即使对凹角域，也有估计 0 让一r k t 9 。g 睁一= c 2 一一时 腑一。 当增加时，误差按膏的指数次衰减，这当然是很好的。但是结点个数也随 之按指数增加，工作量则按天文数字增加，这是我们所不希望的。我们希 望有一种快速方法。 为了减少基函数的个数，我们可将基函数进行局部调整，具体办法如 下： 硕士学位论文 对第0 层分划矿a 引入网格集： a = u a e ：e 矿6 ) 并记 瓦= 取n a ， 如用表示少一中单元个数，那么足的点的个数为o ( 聘) ，瓦的点的个数 为o ( k o n ) = 驴) 。下图表示一单元e 岁“经次加密后的网格。 k = 2 的情形 现在任给z 瓦，按如下方式来修改基函数咖妒鲰。如果z o e ，那么 在e 上置 五p ) = + 1 圭= 1 吩谬。) ( 对于那些不满足z 良的单元，则置五= o 、， 其中叼待定，而谬s h ( e ) 为e 的内结点决定的基函数，系数由t 个方 程决定： 其中 口( 瓦，毋) 。- o j - 1 ，z ，t ( 2 s 4 ) ( 吲_ 1 ) 2 ，) 1 6 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 于是获得一个七层修正基 瓯= 屯：z 死 如前所述，它的元素个数比饭的元素个数小得多，由o ( 磅) 减少銎i o ( 岛) = 掌) ，构作有限元空间 蔹= 删n 五：z 磊) 用 氟：磁一饩 表示相应g o z e r 航n 的逼近算子。显然求解氟u ( 包括解方程组( 2 8 4 ) ) 的总工 作量比解r k u 的工作量在数量级上要低得多，而且局部方程( 2 8 4 ) - 7 依各 单元进行并行求解，更加快了速度。 定理2 8 1 如记讯= 觅t ，t = 风t ，那么 氟( 。) = u k ( z ) ，比磊 证明定义插值算子 五：o c t ) 一玩 于是对任何口s h e ( n ) 有 n 扣一础，q i ) = o ，w 玩( 2 8 5 ) 这是因为”一五t ，只能表成 ：z p 飞磊的元素的线性组合，由( 2 8 4 ) 和( 2 8 5 ) 成立，于是有 口( 玩一五，纠= n ( 戤一t ，纠+ 口( 钍一，纠+ a ( t t k 一五t k ，) = 0 + o + 0 = 0 1 7 硬士学位论文 由于讯一五u 玩，故 戤一厶u = 0 证毕。 不难看出，本段所提出的快速算法，实质上是一种消元法。然而，它 也有它的特点：( 1 ) 它不必先求出对应于s 一- 的刚阵，就可根据有限元的性 质事先进行分片消元；( 2 ) 这种消元是有目的的；( 3 ) 这种消元法可用于并 行计算。 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 第三章后验估计和慢收敛 到目前为止，大量的工作研究了有限元的超收敛性。要获得超收敛， 必须保证两点：一是剖分好，二是解在局部特别光滑。由于条件的变化， 例如解不够光滑，就会产生相反的现象，即产生比平均误差还要低的收 敛性，这种现象叫做慢收敛性( 见【1 】、【5 】) 。一般的，自适应网格的划分基 于能量模的误差估计，而能量模的误差按下式计算： 一圳2 = i i u 一圳 e e 3 h 如果对某一单元e 亡矿“使得i l 让一驴幢大于其平均能量误差，我们就称 之为差单元或坏单元。在【1 】、【5 】中，就是通过正规三边形剖分区域q ， 利用慢收敛性这一思想，获得一种简单易算的后验误差估计判别量。， 它仅与近似解矿与，有关。比较。的大小，就可以获得收敛差的单元 e o 。于是，对差单元e o 进行局部处理( 不必整体加密，只要局部加密) ， 单元细分 这样逐步获得高精度。这种方法对于处理奇性问题特别有效。因此，我们 在此基础上研究其后验误差估计判别量色在【5 】中成立的结论( 即定理 1 与定理2 ) 对正规四边形剖分( 即双线性元) 也同样成立。 对于奇性问题，例如凹角域问题，由于有奇点的存在，致使奇点附近 收敛速度明显减慢。我们需要寻找这些收敛慢的坏单元进行局部加密，从 1 9 硕士学位论文 而以最小的工作量最快的速度提高有限元解的整体精度。 在四边形剖分中，我们设任给e 矿6 ，对单元e 进行中点加密七次， 用蜒表示所增加的节点集，且对任意点z 蜒，我们均可设有_ 基函 数玩与之对应。并设子空间醯- ( 职) = s p a n 秽) ：z m ) ，其中 皿= u s t 卿( ) ：z m ) 。例如，当k = l 时，如图1 ，设e 为矩形z l z 2 2 3 2 4 ， 经中点加密剖分一次后，设新增的节点为匈，岛，z 6 ，幻，z s 以及每点所对应 的基函数为铿绣。此时s 窑( d e ) = # 粥n 庐等，妒卿，甜) ，d e = u s 喇，( 援) ，i = o ，5 ，6 ，7 ，8 ) 。 此外，我们又设a o 跆( d e ) 为简单方程 o ，口) = ( ，口) 一a ( u n ，口)口踣( d c )( 3 1 6 ) 的解，其中矿s 鲁为问题( 2 6 2 ) 的解u 的g e r l a r k i n 的逼近。 此时，定义后验误差估计判别量 = 丛生鱼铲= 1 1 南1 1 ( 3 1 7 ) 此处，l l v l i - 丽习为能量范数。下同。 此判别量定义对一维问题同样适合，设e = h 明为一线性单元，因此 有 d e = e ，s 2 ( 晚) = o 如：口田， 其中如是单元e 的中点c 的基函数 f 1 ，当。= c ； 如( 。) = o 当c h 2 或z c + h i 2 ； i 双线性函数，其它 如果 s 孝= 印m 协，如，如， 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 那么 以及后验误差判别量为 k = 印帆 咖，也，加，如) 妒= i ( ，如) 一a ( u h ，如) | i l 粕1 1 由下面的定理3 1 2 及定理4 1 3 ，我们可知用替代一矿扎“办一 矿0 。来判断坏单元是完全可行的，因为我们可以把近似改为u h kz 。 定理3 1 2 设u h f , s 争，u h s 砻分别为u 瑶( n ) 在s 窨t 与碚上的g e r l a r k i n 逼近解，那么对任何的e 乡啼，有 妒0 t h u h l i d , ( 3 1 8 ) 此外对双线性有限元，还存在正常数a ，q 使得 a 伊剑扎枷鳎黟， ， 此处，i i v l j - ；而i 为能量范数。 证明：由定义我们有 掣学= 学剑小一u h l l 皿， 硬士学位论文 即( 3 1 8 ) 证毕。又由( 3 1 8 ) 易证( 3 1 9 ) 的左半不等式成立。 现在来证( 3 1 9 ) 的右半不等式。因小一矿密，记t ，= t a 一矿，那 么我们有 i m 2 = 口p ，u h k 一矿) = 口扣，让一牡“) = 口( 口一 7 ，钍一矿) ， 此处，矿珊为癯粗网格剖分下的插值函数。 设岁“为区域q 上的正规四边形剖分。对任何一个单元e 少“，经k 次中点剖分加密后，得到( 2 + 1 ) 。个结点，其中边界点的个数为2 k 4 。记 钟0 = 1 ，2 ，( 2 - + 1 ) 。) 为对应节点磊的基函数，此时的有限元空间记为 跆。对结点( 如图2 ，k = 2 ) 进行编号( 先外后内) ，此时可设 ，驴4c 庐+ i 户 疋= ；p ( 盈) 一。) 】越+ p ( 五) 一”) 】， 一话1 = 2 k 4 由插值多项式”7 酷( q ) 的性质可知 矿4(2k+i)2 以= ；扣( 蔬) 一矿( 蕾) 】+ 扣( ) 一，( ) 】秘砷鼢， ( 3 1 i o ) - = a 诗2 0 4 那么 因此有 ”一矿= 以 2 = n ( 以，让- u h ) e = 口限，酗， e 其中6 0 静为如( 3 1 6 ) 式所设。 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 因此有 胁酽够护i 卢鬲t 江， 此处妒= 怖i l a 。 接下来，e l a ( 3 1 1 0 ) 可知 1 1 6 1 1 o i l , , 一, 1 1 0 ，。，7 z 1 2 ：5 s 。- + 1 ) 。0 越i i c h 。i v l l p 。，c l t ，f 1 ，。o l l , , l l ， 将上式化入( 3 1 1 1 ) 式，司得 扣酽如廖伊竭“舻， 因此有 - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 眇- , ? 1 1 = i n i 岛1 心限 v c 即证。 这个定理说明，不管h 取多少，均可用a 。= e i 驴l 。作为t h 一驴i l 。 的后验估计量( 而可通过计算获得) e 注：由定理3 1 2 证明可知( 3 1 9 ) 可改写成 妒l l 矿一“h i i 仉o t h u “sq ，( ) 2 ye 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 第四章自适应处理 根据定理3 1 2 我们可作如下定义：称e o 乡吨为有限元逼近的坏单 元，如果 嚣= m 凹 ：e 矿“) ( 4 1 1 2 ) 这个坏单元可通过计算获得。如果以“一个”单元作为坏单元不 合适，我们可将 妒：e 纱) 按大小顺序排列，按次序取前几个最大的 作为坏单元。 假定e 岁“为坏单元，如前所述，加密剖分后可得k 层子空间 船( 见) = 删n ：z e ) ， 因此，得到罐( q ) 的局部加密空间 世( q ) = 错( q ) o 毋( d e ) = ”- i - 庐：”罐( n ) ，妒s 争( 巩) ) 设以喈( n ) 为t i 在世( q ) 上g e r l a r l d n 的逼近，那么有 o 一h ，t ，) = 0 ， 世( q ) 于是有如下定理： 定理4 1 3 设醋为粗网格正规四边形割分岁“上的分片有限元空间。设 e 矿“( 一般的，设为慢收敛单元) ，矿s 窨，u ：e 时( n ) = 罐( n ) o 毋( 见) 分别为“在s 考及憎上的g e r l a r k i n 的逼近，那么有 i i 让一t h 2 = i 阻一矿1 1 2 0 ”1 1 2 ，( 4 1 1 3 ) 其中”= 砖一矿且满足 i l w l l 2 ( ) 2 ( 4 1 1 4 ) 2 5 硬士学位论文 此处，t i l l l = 、石i 石河为能量范数。 证明：由于t 一矿= 牡一砖+ i t ，又 口似一h ，硼) = 0 ， 故( 4 1 1 3 ) 式成立。 为证( 4 1 1 3 ) ，我们设存在一个如静( d e ) 使得 口( 南，纠= ( ， 纠一g ( u h ，) = o ( 缸一b h ，钟，w s 争( d 。) 即 、 o ( t 一u h 一如，钟= 0 ，w 踏( 皿) 由能量内积的定义，我们可知 t 一钍“一南上s 争( d c ) ， 于是 i i 一, h 一6 0 + 1 1 2 = i t - 一u h 一南1 1 2 + 0 纠1 2 ，w s 争( 职) 取西= 6 0 ，我们有 0 牡一矿1 1 2 = i i t 一u h 一晶1 1 2 + 1 1 6 0 1 1 2 ( 4 1 1 5 ) 同时注意到能量范数误差0 “一铲一训1 2 = i i u 一札邪0 u 一( u h + d o ) 1 1 2 及 比较( 4 1 1 5 ) 与( 4 1 1 3 ) 式我们可得 m 2 = t 一铲0 2 一i i 一谚0 2 0 t 一, u h i l 2 一i l 钍一“一而1 1 2 = 1 1 6 0 1 1 2 = ( 妒) 2 ， 即为所证。 这个估计使局部加密解谚相对于驴的亏量估计完全局部化了。这同 时也说明妒的确是检验局部加密解谚的好坏的可靠量。 2 6 双线性有限元的慢收敛和自适应后验误差估计 第五章慢处理法实例分析 本段将利用前述的方法寻找收敛慢的单元，然后对这种单元进行局 部的加密，以达到整体精度提高的目的。 ( 1 ) 一维两点边值实例分析。 考虑以$ = 0 为奇点的两点边值问题： 一：! ：( 。t 烹z ) “( z ) 枷扛) = m ) ，蚝( 0 1 ) ( 5 1 1 6 ) 【( o ) = t ( 1 ) = 0 ， 其中，= + z 一；+ s i n ( z ) + ( 茹一一1 ) + 茹j 1 一霉，真解n = 。一z 因为 f = + 。一一1 不平方可积，故u 不属于础( o ，i ) ，从理论上讲，如采用均 匀剖分，有限元解按能量范数不收敛。如果局部加密，由1 5 】中5 2 的分 析，它是收敛的。本段希望利用检验量乎) 来寻找收敛不好的点。 我们采用分片线性的有限元法来求逼近解。然后用两种办法处理：均 匀剖分方法和慢收敛局部加密方法( 简称“慢处理法”) 。所谓慢处理法 是这样的： 第一步= 2 ) ：将【0 ，1 】分成n = 2 个单元进行试算，利用( 4 1 1 2 ) 式 找坏单元号码i o ； 第二步西= 3 ) ：将如单元中点加密，于是1 0 , 1 】被分威行= 3 个单元， 重新利用( 4 1 1 2 ) 式找收敛慢的坏单元号码 o 。 一般的，如对竹个单元的慢收敛处理法已完成，再用公式( 4 1 1 2 ) 式 找坏单元号码如。 下一步又将i 。单元中点加密得n + 1 个单元的剖分，继续计算。如此 循环下去，直至 蚴 ( 其中s 为一预设的判别估计值) 为止。 2 7 硕士学位论文 下面是几组实算结果： ( 一) 坏单元分布情况( 慢处理) 以上结果可以看出，在慢处理过程中，奇点$ = 0 都处在坏单元之中， 这说明检验量( 4 1 1 2 ) 式是可靠的。当然，在奇点附近加密到足够密时， 收敛坏的单元也可以是其它的单元。 ( 二) 奇点附近的位移误差：e ( z ) = l 珏( 卫) 一矿( z ) 1 霉均匀剖分的误差慢处