（基础数学专业论文）某类半无限规划的最优性对偶性与算法.pdf

某类半无限规划的最优性、对偶性与算法 基础数学专业研究生杨宏指导老师张庆祥教授 摘要 本文利用局部渐近锥、k 一方向导数和k 一次微分，定义了一致k 一，纠一 凸、一致k 一( f b ，p ) 一严格凸、一致k 一( f b ，p ) 一伪凸、一致k 一( f b ，j d ) 一严格伪凸、 一致k 一( f b ，力一拟凸及一致k 一( f b ，p ) 一弱拟凸几类非光滑广义凸函数，讨论了 它们与一些已有凸函数之间的关系，研究了涉及这些广义凸性的一类非光滑多 目标半无限规划的最优性和对偶性，并给出了一般形式的单目标半无限规划的 极大熵罚函数算法，主要内容包括以下几个方面： ( 1 ) 利用局部渐近锥、k 一方向导数和k 一次微分，定义了几类非光滑广义 凸函数，并讨论了它们与某些已有凸函数之间的关系； ( 2 ) 研究了涉及这些广义凸性的一类多目标半无限规划的最优性条件； ( 3 ) 讨论了涉及这些广义凸性的一类多目标半无限规划的w o l f e 型和m o n d w e i r 型对偶性； ( 4 ) 给出了一般形式的单目标半无限规划的极大熵罚函数算法 总之，本文在理论上推广了一些广义凸函数，得到了一类更广意义下的凸 函数，研究了一类非光滑多目标半无限规划问题的最优性和对偶性，丰富了非 光滑优化的理论；在算法上提出了一种解一般形式的半无限规划问题的方法， 对半无限规划的算法进行了有益的探索 关键词：局部渐近锥半无限规划 最优性 对偶性极大熵罚函数算法 答辩日期：趔年五月毋日 指导教师签字： t h eo p t i m a l i t y , d u a l i t ya n da l g o r i t h mf o rac l a s so f s e m i i n f i n i t ep r o g r a m m i n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，t h ed e f i n i t i o n so fs o m en e wn o n s m o o t h g e n e r a l i z e dc o n y e xf u n c - t i o n sa x eg i y e ni nt e r m so ft h ec o n c e p t so fl o c a lc o n ea p p r o x i m a t i o n ，k - d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e a n dk - s u b d i f f e r e n t i a l ，t h a t i s ，u i f i n e d k 一( 见，p ) 一c o n v e x ，u i f i n e d k 一( n ，p ) 一s t r i c tc o n v e x ，u i f i n e d k 一( r ，p ) 一p s e u d o c o n v e x ，u i f i n e dk 一( r ，p ) - s t r i c tp s e u d o c o n v e x ，u i f i n e dk 一( f 6 ，p ) - q u a s i c o n v e x a n du i f i n e d k 一( f 6 ，p ) 一w e a kq u a s i c o n v e xf u n c t i o n s t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s en o n s m o o t h g e n - e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sa n do t h e rc o n v e xf m l c t i o n sa r ed i s c u s s e d t h eo p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o r ac l a s so fn o n s m o o t h m u l t i o b j e c t i v es e m i - - i n f i n i t ep r o g r a m m i n gi n v o l v i n gt h e s eg e n e r a l i z e dc o n v e x i t ya r es t u d i e d ，a n dam a x i m u me n t r o p yp e n a l t yf u n c t i o na l g o r i t h mf o rs i n g l e o b j e c t i v es e m i - i n f i n i t e p r o g r a m m i n g w i t hg e n e r a lf o r mi sg i v e n t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri n c l o d e ss e v e r a ls i d e sa s b e l o w ： ( 1 ) s e v e r a ln o n s m o o t hg e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sa t , r ed e f i n e di nt e r l n so ft h ec o n c e p t so f l o c a lc o n ea p p r o x i m a t i o n ，k d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dk s u b d i f f e r e n t i a l ，f u r t h e r m o r e ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h e s en o n s m o o t h g e n e r a l i z e d c o n v e xf u n c t i o n sa n ds o m eo t h e rc o n v e x f u n c t i o n sa r ed i s c u s s e d ； ( 2 ) t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o ra c l a s so fn o n s m o o t hm u l t i o b j e c t i v es e m i - i n f i n i t ep r o g r a m - r u i n gi n v o l v i n gt h e s eg e n e r a l i z e dc o n v e x i t ya r es t u d i e d ； ( 3 ) t h el a g r a n g ea n d w o l f et y p ed u a l i t yf o rac l a s so fn o n s m o o t hm u l t i o b j e c t i v es e m i - i n f i n i t e p r o g r a m m i n gi n v o l v i n gt h e s eg e n e r a l h e dc o n v e x i t ya x ed i s c u s s e d ； ( 4 ) am a x i m u me n t r o p yp e n a l t yf u n c t i o na l g o r i t h mf o rs i n g l e o b j e c t i v es e m i - i n f i n i t ep r o g r a m - m i n g w i t h g e n e r a lf o r mi sp r o p o s e d i na 1 1 i nt h i sp a p e r ac l a s so fm o r eg e n e r a lc o n v e xf u n c t i o n sd eo b t a i n e db ye x t e n d i n gs o r t i e g e n e r a lc o n v e xf u n c t i o n s t h e o p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rac l a s so fn o n s m o o t hm u l t i o b j e c t i v es e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n g a n da r es t u d i e d ，w h i c he n r i c h e dt h et h e o r yo fn o n s m o o t hp r o g r a m m i n g ；an e w m e t h o do fs o l v i n gs e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n gi s p r o p o s e d t h ee x p l o r a t i o nt ot h ea l g o r i t h mf o r s e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n gi sh e l p f u l l ， w r i t t e nb yy a n gh o n g d i r e c t e db yp r o f z h a n gq i n g x i a n g k e y w o r d s ：l o c a l c o n ea p p r o x i m a t i o ns e m i - i n f i n t ep r o g r a m m i n g o p t i m a l i t y d u a l i t y m 0 2 ( i m u i ne n t r o p yp e n a l t yf u n c t i o na l g o r i t h m 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料黄有不实之咎，本人承担一切相关责任。 本人签名：磊扬拯日期：边么。霆 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件 允许查阕和借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于促密在，一年解密后适用本授权书。 本人签名：纽拯日期：竺嗌：么。霆 导师签名 一；辁丕癣 某类半无限规划的最优性、对偶性与算法 前言 半无限规划( s e m i - i n f i n i t ep r o g r a m m i n g ) 问题最早出现于2 0 世纪6 0 年代，其早期理 论主要由c h a x n e s 等人创立，k o r t a n e k 、p o l a k 和l 6 p e z 等人在这方面做了大量的工作， 作为数学规划的一个分支，其研究引起了国内外学者的广泛关注，现已经成为数学规划 的一个重要的研究方向半无限规划的应用前景广阔，如大气污染控制的最小费用【“、 机器人运行轨道设计 “、工程设计【3 】、膜片振动【4 】、物质应力【5 】及各类工程问题引出 的优化问题都涉及半无限规划问题，它对解决工程技术、经济管理、军事和大型系统工 程等众多问题起到了重要的作用经过4 0 多年的发展，尤其在近2 0 多年里，无论在理 论还是算法方面都取得了很大的进展 理论方面，对于目标函数和约束函数均为可微函数的情形，许多学者进行了比较深 入的研究，在理论上趋于成熟但对于诸如水厍大坝泻洪量【6 】、多输入多输出控制系统 及抗震结构设计【7 】等工程问题。所涉及的目标函数和约束函数都是不可微的对此类半 无限规划的研究，仅靠可微情形下的一套理论有时是行不通的作为描述和解决菲光滑 问题的有力工具，非光滑分析在非线性规划、多目标决策、对策论、变分学、逼近理论 及数理经济领域有着广泛的应用，近年来，一些学者开始把非光滑分析应用于半无限规 划，对解决不可微情形下的半无限规划问题进行了有益的探索如l d p e z 和v e r c h e r 8 7 研 究了不可微非凸半无限规划的最优性条件；r u c k m a n 和s h a p i r o q 研究了广义半无限规 划的一阶最优性条件；k i m 和l e e 10 】研究了非光滑l i p s c h i t z 优化问题的对偶性；张庆 祥z2 j 研究了菲光滑( h ，审) 一半无限规射解的充分性和对偶佐及拟鼠不变凸半无限规 划的最优性和对偶性；张成科和陈世国【1 3 】研究了一类局部l i p s c h i t z 广义半无限凸规划 的最优性条件；李师正和高荣兴【1 4 】等给出了一个不可微半无限规划的弱对偶和强对偶 的一个充要条件；杨宏和张庆祥1 1 5 j 利用c l a r k e 广义梯度定义了一类广义( r ，p ) - 凸函 数，给出了涉及此类广义凸性的一类非光滑多目标半无限规划的最优性条件，等等 算法方面，由于半无限规划应用的广泛性，对其算法的研究一直是一个热点国外 的主要研究成果有；1 9 8 2 年p o l a k 和t i t s ( ” 给出了半无限规划的一个二次规划迭代算 法；1 9 8 5 年c o o p e 和w a t s o n 1 q 给出了一个解半无限规划的投影l a g , r a n g e 算法；1 9 8 7 年 c o r m 和g o u l d 1 s 给出了半无限规划的一个精确罚函数法；1 9 8 9 年a n d e r s o n 和l e w i s ”】 某类半无限规划的最优性、对偶性与算法2 给出了具有约束指标集的线性半无限规划的一个原始单纯形算法；1 9 9 0 年b r a d l e y 2 0 用 逼近的方法给出了半无限规划的一个算法；1 9 9 5 年g r a m l i c h 2 1 】等人提出了解半无限规 划的s q p 方法( 序列二次规划法) ，把半无限规划问题简化为有限维规划问题来进行处 理；等等国内方面，1 9 9 0 年李宝秀、沈榆【2 目给出了一类( h ，庐) 一半无限规划的恰当罚函 数法；1 9 9 5 年万仲平【2 3 】提出了目标函数含有参数的半无限规划的一个近似方法；1 9 9 9 年周广路、王长钰和张玉忠【2 4 】给出了半无限规划的一个有效解法；同年，王长钰和韩继 业证明了非光滑半无限规划的极大熵方法的收敛性、稳定性及强稳定性；等等 我们知道，罚函数法是求解约束最优化的重要方法之一经典的罚函数理论是通过 添加罚函数项后研究一系列无约束优化问题，并使罚参数趋于无穷大来获得原规划的最 优解而精确罚函数理论是通过解单个无约束优化问题来求原规划的最优解自6 0 年代 z a n g w i l l 2 6 等人系统地研究罚函数理论以来，发展很快，这方面的文献很多如，z a n g w i i l 2 6 】 研究了凸规划的罚函数理论，证明了存在一个罚参数的下界，使该规划与对应的罚函 数问题的最优解一致；p i e t e r k 0 w s k i 【2 7 】研究了可微不等式约束规划问题，给出罚函数： m i n f ( x ) + a 銎1 9 ，( 。) ，其中9 产( z ) = m a x o ，吼( z ) ) ，并证明了存在) t o 0 ，使得当 a 。时，若圣为原规划的严格局部最优解，则2 也是相应的罚函数问题的局部最优解； p o l a k ，m a y n e 和w ”“2 8 】首先研究了非光滑规划的精确罚函数问题，证明了在一定的广 义k t 条件下，对充分大的罚参数，相应的罚函数问题也满足一个k t 条件；c l a k e ” 讨论了等式、不等式和简单约束的非光滑规划，证明了在局部稳定的条件下，对某个罚 参数，非光滑规划的全局最优解也是相应的罚函数问题的局部最优解；r e s e n b e r g 3 0 】则 证明了在局部稳定的条件下，对充分大的罚参数，非光滑规划的严格局部最优解是相应 的罚函数问题的严格局部最优解；此外，寿纪麟、韩祥柱【3 1 】给出了非光滑规划的一个精 确罚函数，并对罚参数的下界进行了估计；张菊亮、章祥荪【3 2 给出了不等式约束最优化 问题的非光滑精确罚函数的一个光滑近似；黄学祥f 3 3 】给出了非光滑多目标最优化的一 个精确罚函数；等等 本文利用局部渐近锥、k 一方向导数和k 一次微分，定义了几类非光滑广义凸函数， 讨论了它们与某些已有凸函数之间的关系，研究了涉及这些新广义凸性的一类多目标半 无限规划的最优性条件和对偶性结果；在算法方面，利用极大熵函数和凝聚函数构造了 蔓l 基耋韭堂煎垒旦堡墼堕塑型鲍垦垡丝叁鲑3 一个可微的极大熵罚函数，给出了求解一般形式的半无限规划的极大熵罚函数算法，分 析了其收敛性 间 第一章 某类非光滑多目标半无限规划的最优性条件 1 1 基本概念、新广义凸性 以下均假设x r “为非空紧集，u 为z 的某邻域，x + 表示x 的对偶空 函数，：x _ r 的上图象定义为 ? 痧f ：= ( z ，r ) x r i ( x ) 兰r ) ， 它的有效区域记为d o m ，名i d o m f 闭，则，是下半连续的；若d o f f 口或，( 。) 。， 则，为正常函数 定义i 1 映射k ：2 x x - 2 。称为局部渐近锥( 1 0 c a lc e a p p r o x i r i g a t i o n ) ，若 对每一个集m x 和每一点。x ，锥k ( m ，z ) 具有以下性质： i )k ( 以o ) = g ( u z ，o ) ， i i ) k ( m ，嚣) = k ( m u u , ) vu 衫( z ) i i i ) k ( m ，。) = 0 ，对v x g 丽， i v ) k ( m ，z ) = m ，对v x i n t m ， v ) ( ( 掰) ，( z ) ) = 慨( m ，z ) ) ，这里：x - + x 为任一线性同胚 v i )o + m o + k ( m ，z ) 定义1 2 设k ( ，) 为一局部渐近锥，则称，( z ；) ：x x _ + 兄u + 。) ， f “( z ；9 ) ：= i n f r i ( f ，f ) k ( e 叫f ，( 。，( z ) ) ，y r 8 ) 为，在z 处的耳方向导数 定义1 3 1 3 5 称f ：x - r 在z 处是k 一次可微的，若存在凸紧集舻，( 。) ，满足 ，“( 刚) _ 踹。) ，v 9 舻， 其中铲，( $ ) ：= z + x l ，耳( z ；f ) ，对vy 舻) 为，在z 处的k 一次微分 某类半无限规划的最优性、对偶性与算法 对于局部渐近锥，当k 取不同的方向时，我们可以得到不同的锥及相应的方向导数( 见 文献f 3 4 ，3 5 1 ) ： 当k 取m 在z 处的射线方向时，k 为放射切锥，此时，k ( z ；g ) 即为在，在点z 处的 d i n i 右上方向导数 d + ，( z ，y ) ：= l i r a s u p t _ 0 。 f ( x + t y ) 一，( z ) v y r n 当k 取m 在z 处的可行方向时，k 为可行方向锥，此时，k ( z ；g ) 即为，在点z 处的 d i n i 右下方向导数 d _ ，小一i m i 。n f 迎学，v 舻 当k 取m 在z 处的内点位移方向时，k 为内点位移锥，记为d ( m ，z ) ，此时，k ( z ；) 即为 导数 即为 ，d ( z ；y ) ：= l i m s u p v y r ” 当k 取m 在。处的切方向时，k 为正切锥，记为a ( m ，z ) ，此时，( z ；) 即为a 方向 ，a ( z ；) ：= i r f f r l ( y ，f ) a ( e 卿f ，( ，( 。) ) ，r “) 当k 取m 在z 处的c l a r k e 切方向时，k 为c l a r k e 切锥，记为t ( m ，z ) ，此时，( 。；) f r ( 圳) ：l i m s u p 型掣，坳叫 当k 取m 在。处的可达方向时，k 为可达锥，记为e ( m ，z ) ，此时，( z ；) 即为 一刚) ：= l 邶i m s u p i n f 趔粤型，v y er “ 当k 取m 在。处的拟方向时，k 为拟内点方向锥，记为q ( m ，。) ，此时，拦) 即为 心小= 船献器盟导型，凹 4 第一章某类非光滑多目标半无限规划的最优性条件5 由以上讨论可以看出，局部渐近锥包含了上面歹4 出的所有锥针对不同的锥，可以定义 相应的锥次微分e l s t e r 和t h i e r f e l d e r 在文献 3 4 中定义了一方向导数和k 一次微分， 并且指出：k 一次微分是最广义的我们可以利用k 一次微分来定义一些非光滑广义凸函 数，研究涉及此类广义凸函数的数学规划的最优性和对偶性为了研究方便，我们作以下假 设： ( a ) 局部渐近锥耳总取切锥，可达方向锥，拟内点方向锥之一 定义1 4 称泛函f ：x xx r ”- + r 关于第三个变元是次线性的，若对v x i ，。2ex ， 有 i ) f 扛l ，。2 ；o l + a 2 ) f ( x l ，x 2 ；a 1 ) + f ( x l ，x 2 ；a 2 ) ，v a l ，a 2 月” i i ) f 扛1 ，x 2 ；r a ) = r f ( x l ，x 2 ；a ) ，v rer ，r o ，口e 丑“， 称函数，：x _ x u + o 。) 在。x 是局部l i p s c h i t z 的，若存在。的一个邻域u ( z ) 和 常数l 0 ，对vz u ( z ) ，有 i f ( x ) 一f ( x ) i l i z 一。1 以下均假定g c 兄n 是非空的。e ，f ：c _ r 在2 ：0 是l i p s c h i t z 函数，f ：c x c x r “_ r 是关于底三个变量的次线性泛函，毋：r - 凡，b ：c c 0 ，1 1 - 只+ ，土骢6 ( 2 ：, x 0 ； ) = 6 ( z ，z o ) ，d ( ，) 是r “上的一个伪度量 定义1 5 称函数，：c _ + r 在z o c 处关于f ，母，6 ，d 是一致( r ，功一凸的，如果对 妇c ，j pe r ，使得 b ( x ，z o ) 妒【，( z ) 一，( 。o ) f ( x ，。o ；) + p d 2 ( z ，z o ) ，a ，( 。o ) 当p 0 ，p = 0 ，p 0 ，p = o ，p f ( z ，。o ；) + p d 2 ( z ，x 0 ) ，v eo k y ( x o ) 定义1 8 称函数，：c _ r 在：7 0 c 处关于f ，屯b ，d 是一致k 一( 见，p ) 一伪凸的，如果 对v x c ，3 p r ，使得 6 ( 。，z o ) e l f ( x ) 一f ( x o ) 0 = f ( x ，。o ；) + p d 2 ( z ，3 2 0 ) 0 ，p = 0 ，p 0 时，分别称，为强一致k 一日一伪凸，一致k 日一伪凸和弱一致 k r 一伪凸的 定义1 9 称函数f ：c _ 置在t o c 处关于只九b ，d 是一致k 一( f 6 ，p ) 一严格伪凸的， 如果对v x e x z o ，3 p r ，使得 b ( x ，z o ) 咖 ，( z ) 一，( z o ) 】0 = 争f ( z ，茁o ；) + p d 2 ( z ，茹o ) 0 ，p = 0 ，p o 7 基耋堂垂里塑皂噬堕堕必堡壁皇蔓蓬8 两边取极限，得 尸们= l i r a s u p 地! 掣兰o ，晦形； 。计一 。 产( 矿；y ) 一 m s u p 。i n f 。f ( x * + t 翦t ) - - f ( w * ) 。，舻； t , t o v 斗，e 。 ，q “咿器世掣独垤鲫 故，耳( z + ；y ) 0 ，由弓i 理1 1 得，0 a 耳，( 2 7 * ) 考虑多目标半无限规划 1 2 最优性条件 ，、 m i n f ( z ) = ( ，l ( z ) ，f 2 ( x ) ，p ( 。) ) f s i v p ) s t 9 ( z ，乱) s0 ，z x ，缸u 其中，：x - r p ，g ：x u - r ，xc r ”是一非空开集，uc 矗m 是一无限参数集 记x o = 9 ( z ，“) s0 ，嚣x ，矿 ，= 0 | 9 0 ，u ) o ，。x ，“e 矿 ，r 缸t ) = ( i 培( 。+ ，“1 ) = o ，z + 肖，“矿) ，u + = o ，f 定： 1 ，掣；a ，j ，满足 i = 1 ( i ) f i ( x ) ( i = 】，一，p ) 在矿是一致k 一( 晶。，p i ) 一凸的 ( i i ) 9 ( 。，) 0 i ( z + ) ) 在矿是一致一( 昂。，厦) 一凸的； ( i i i ) oe 霹a 耳 扫+ ) + 嵋a k 9 仁+ ，) ，f 扩； i = 1 j e l ( z + ) ( i v 鼍 0 ，所以 p p k f ( i ，；+ x 店d 2 ( i ，z + ) ( 0 ( 1 1 ) 由( t t 磅知，3 ；铲矗( 矿) ，i = 1 ，p 及噶0 k 9 ( ，印) ，i ( 矿) ，使得 所以 又9 ( 岳，u j ) 茎o = 9 f ，u ) ，j i ( x 4 ) 即 由( t ”) 得 由( i i ) 得 因p ；0 ，所以 肛；嚼) = f ( 女，z + ；o ) = o ( 1 2 ) g ( i ，) 一9 ( z ，t 一) so ，j f ( + ) 6 2 ( i ，z + ) 也k ( 岳，u ) 一9 ( 。+ ，) o ，j i ( x + ) f ( 孟，z + ；仍) + 店d 2 ( 牙，z 4 ) o ，v , l j o k 9 ( 矿，u ) p ；f ( 牙，z + ；嘶) + p 潮d 2 ( 牙，矿) o ( 1 3 ) ，( z ) j ，( ) 9 0 | | = ；耋： 嘶 + 啭 ，“ 啡 + 十i冰 ，曲 矿 一z尸 一 基耋堂重垦塑型笪量垡丝：壁遇堂皇蔓鳖 1 0 ( 1 1 ) 、( 1 - 3 ) 两式相加并利用f 的次线性性质，得 p 由( ”) 知x 区+ 巧厦2 0 ，所以 l = 1 j e l ( = 、 这与式( 1 2 ) 矛盾故矿是( s i v p ) 的一个有效解 定理1 4 设z + x o 如果对比x o ，3 f , l ，加，b 1 ，幻，p i r p ，p 2 r i 7 l ，卢；a ，j ( 。) ，矧足 ( i ) ( 。) 0 = l ，p ) 在z 是严格一致k 一( n 。，p i ) 一凸的； ( i i ) 9 ( z ，) ( jej ( 矿) ) 在矿是一致一( f 6 ：，厉) 一凸的； ( i i i ) o k 铲 + 弘；铲9 ( 2 ，) ，妇u ； ( i v ) a 0 = 西l ( o ) 0 ，b 2 ( x ，z + ) 0 ； p ( v ) x 厉+ p ；应0 则z + 是( s ，y p ) 的一个有效解， 定理1 4 的证明类似于定理1 3 定理1 5 设z 。f ，如果对v z x 0 , 3 f ，咖l ，如，5 1 , b 2 , p l r p ，p 2 r i “，”2o ，f = i = l l ，p ；a ，j i ( z 4 ) ，满足 ( i ) ，( z ) “= 1 ，p ) 在矿是一致k 一( 如。，店) 一严格伪凸的； ( i i ) 9 ( z ，一) ( ，( 。+ ) ) 在。是一致k 一( f 6 。，厉) 一拟凸的； ( i i i ) 0 碍d k ( z ) + 一铲9 ( z + ，一) ，v u ； i = 1 j e i ( 2 ：) ( i v ) a o = 争审l ( d ) 0 ，6 2 ( z ，3 7 , ) o ； ( v ) x p i 十p ；虞0 则是( s i v p ) 的一个有效解 0矿 乎 以嵋 嘶 + p 碍 ， + 哼峙 啡 十 k ，汹 矿一zf 一 第一章某类非光滑多目标半无限规划的最优性条件 证明：假设z 不是( s i v p ) 的有效解，则了至x 。，且至少有一个i o 1 ，p ，使得 ， o ( i ) 一岛( z + ) 0 ，所以 f ( 牙，。+ ；6 ) + 崩d 2 扛，z + ) 0 ，v 已a 扛) ，i = 1 ，一，p pp 碍f ( 孟，z + ；毒) + p i d 2 ( i ，+ ) 0 ( 1 4 ) 由( 俐) 知，j 譬o k ( 矿) ，i = 1 ，p 及哼o k g ( z + ，u j ) ，j ( 矿) ，使得 所以 n g + 圬瞄= o p f ( 星，。+ ；x 嚣+ 弘；噶) = f ( 至，+ ；o ) = o ( 1 5 ) 又9 ( i ，u 7 ) 0 ：= 9 ( z + ，t ) ，j j ( z ) 目p 由( ”) 得 由( i i ) 得 因越之0 ，所以 9 ( 牙，) 一g ( + ，u j ) 0 ，j j ( z ) 6 2 ( 至，。4 ) 钮( g ( i ，秽) 一g ( z ，) ls o ，j ( z ) f ( 雪，矿；仍) + 厦d 2 ( i ，。+ ) s0 ，v 仍0 9 9 扛，) p ；f 忙i x * ；仍) + 嘭趣d 2 ( ，z + ) 0 ( 1 6 ) 苤耋塑匣熟型笪量垡挂! 堕堡丝皇篁鲨 1 2 ( 1 - 4 ) 、( 1 - 6 ) 两式相加并利用f 的次线性性质，得 pp f ( 互，z + ；砖g + p ；嚼) + ( 砖反+ 疗趣) d 2 ( 量，。) 0 l = 1 j e l ( x ) i = 1 j e l ( z + 1 p 由( ”) 知碍厉+ p ；区2 0 ，所以 i = 1 j e i ( x 。) p f ( 孟，。+ ；k g + 弘；呸) 0 = 1 j e j ( z 、 这与式( 1 5 ) 矛盾故。+ 是( s i v p ) 的一个有效解 定理1 6 设z + x o 如果对v x x o ，3 f , 1 ，如，b l ，b 2 ，p t 只9 ，p 2 r i “，a 0 ，n = l = 1 1 ，, u j + a ，j j f z ) ，满足 ( i ) 五( z ) a = l ，p ) 在。+ 是一致k 一( 凡。，砖) 一伪凸的； ( i i ) 9 ( z ，) 0 j ( z + ) ) 在z 是一致k 一( 毋：，厦) 一拟凸的； ( i i i ) o 砖8 耳五( 。+ ) + 圬a 9 ( 。+ ，) ，w 矿； i = l j 6 l ( z ) ( i v ) o 0 = 争庐l ( a ) 0 ，b 2 ( x ，z ) o ； ( v ) 麓砖+ 芦；区0 i 2 l j e t ( = 、 则z 是( s i v p ) 的一个弱有效解。 定理1 6 的证明类似于定理1 5 定理17 设z x o 如果对v x x 。j f ，咖1 ，屯，b 1 ，6 2 ，p 1 r p ，p 2 r i “，”o ，f ；= t 二= 1 1 ，“；a ，j ( z ) ，且p ；不全为零，满足 ( i ) ( z ) ( i = 1 ，p ) 在z + 是一致k 一( r ，店) 一拟凸的； ( i i j9 ( z ，u j ) ( j ，( 矿) ) 在矿是一致一( a 2 ，虐) 一严格伪凸的； ( i i i ) 0 碍铲 ( z + ) + 瞄a 耳9 ( z + ，“) ，v u 吡 l = l j e i ( z + 、 ( i v ) a 0 = 争争1 ( “) 0 ，6 2 ( 嚣，z + ) o ； ( v ) e p l + p ；以0 i = 1 j ，0 ) 则z 是( s i v p ) 的一个有效解 第一章某类非光滑多目标半无限规划的最优性条件 证明：假设z 不是( s i v p ) 的有效解。则3 i x 。，且至少有一个i 。 1 ，p ) ，使得 。( 牙) 一 。0 ) 0 ，所以 pp k f ( i ，。+ ；毛) + 砖破d 2 ( i ，z 。) o ( 1 7 ) 由( i i i ) 知，j 彰a k ( z ) ，i = 1 ，p 及嵋a g ( z + ，“) ，j ，( 。+ ) ，使得 所以 p f ( i ，。4 ；k 嚣十嵋嚆) = f ( 2 ，矿；o ) = 0 ( 1 8 ) t = l j c r ( z 1 又g ( i ，) o = 9 ( z ，) ，f ( 矿) 即 由( 抽) 得 9 ( i ，u j ) 一g ( x 。，u j ) 兰0 ，j j ( z + ) 幻( i ，z + ) 审2 i 9 ( 2 ，矿) 一9 ( 。+ ，一) 曼0 ，j f ( z + ) 由( i i ) 得 f ( 岳，。+ ；仍) + 虞d 2 ( 孟，。+ ) 0 ，v 嘶d 9 + ，) 因嵋20 ，且肛；不全为零，所以 p ；f ( 牙，z ；珊) + 西厉d 2 ( 牙，z 4 ) 0 ( 1 9 ) j e l ( ：r + 1 j f z ) 1 3 0 | | 蝣 p 啡 + 嚣k ，出 苤苤兰! i g 麴型盟量垡丝：壁堡壁量墓蓬 1 4 ( 1 1 7 ) 、( 1 - 9 ) 两式相加并利用f 的次线性性质，得 p 口 f z ；碍g + 砖嗒) + ( w 反+ p ；癌) ( 雪，z ) o i = 1 j e l ( z + ) i = 1 j l ( x ) 芦 由( ”) 知a ；p + 西虞兰0 ，所以 这与式( 1 8 ) 矛盾故z 是( s i v p ) 的一个有效解 定理1 8 设z + x o 如果对v z x o ，3 f , 咖l ，2 ，b 1 ，b 2 ，p 1 r p ，p 2 r l r l ，a + 0 ：f w ： 1 ，p ；a ，j ( $ + ) ，且嵋不全为零，满足 ( i ) 五( z 坤= 1 ，t ，p ) 在矿是一致k 一( r ，硝) 一弱拟凸的； ( i i ) 9 ( z ，u ) ( j j ( 矿) ) 在z + 是一致k 一( r ：，厦) 一严格伪凸的； ( i 1 1 ) 0 k a 矸 ( z ) + 嵋o 9 ( z ，) ，叽 i = 1 j e l ( x ) ( i y ) 2 o ，f w ： = l 1 ，p ；a ，j ，( z ) ，满足 p ( i ) ( x ) ( z ) 在z 是一致k 一( f b 。，p o ) 一伪凸的； ( i i ) 9 ) ( 歹，( z ) ) 在是一致k 一( 晶：，厦) 一拟凸的； ( i i i ) 0 a ( w ) ( z + ) + 瞄曲( $ + ，) ，w 吡 = 1 j e i ( x 、 ( i v ) a 0 辛庐1 ( o ) 0 ，幻( z ，z ) o ； ( v ) p o + 一厦0 j e ，扣) 则矿是( s i v p ) 的一个有效解 哼 附 + ，商 卫 一zf 第一章某类非光滑多目标半无限规划的最优性条件 证明：假设矿不是( s i v p ) 的有效解，则j 2 x o ，且至少有一个i o l ，p ) ，使得 。( i ) 一 。扛) 0 ，所以 由( 西) 得 由( i ) 得 ( i ) 一f i ( z + ) s0 ，i i o pp 五( i ) e 砖 ( ，) ，p b l ( i ，。+ ) 咖l 忙) 一ea ： 扛+ ) 】 0 p f ( 牙，z ；f ) + p o d 2 ( 牙，z + ) o ，k o ( e a ： ) ( z + ) ( 1 一l o ) p 由( i i f ) 知，鼍铲( 碍矗) ( ) 及噶a 9 ( 矿，秽) ，j ( 矿) ，使得 f + 嵋哼= 0 j ，( o + ) 所以 f ( i ，z + ；f + + “；嚼) = f ( 蚕，z + ；o ) = 0 ( 1 1 1 ) j e i ( x ) 又g ( 毒，) o = 9 ( z 4 ，p ) ，j j ( 。) 即 9 ( i ，u j ) 一9 ( + ，u j ) o ，j ，( 。) 由( i ”) 得 6 2 ( 峦，z ) 锄【9 ( i ，) 一9 ( 。，) 曼o ，j j ( z ) 由( i i ) 得 f ( 雪，g ；) + p i 孑( 雪，z ) o ，v 彤a 嚣9 ( 。，) 因弘；兰0 ，且p ；不全为零，所以 圬f ( i ，z + ；珊) + p ；起d 2 往，z + ) s 0 ( 1 一t 2 ) j e l ( x )j ( z ) 1 5 塑坠量壁墅墨盟逊鳖过堡丝量篁鎏1 6 ( 1 一l o ) 、( 1 - 1 2 ) 两式相加并科用f 的次线性性质得 f 忙，z + ；f 十瞄) 十( p 。+ p ；厦) d 2 ( i ，z + ) 0 j e i ( x ) j e l ( x ) 由( u ) 知p o