（载运工具运用工程专业论文）汽车与机械结构动力学拓扑优化方法及其应用研究.pdf

摘要 结构拓扑优化设计方法是近几年发展起来的新方法，并取得了瞩目的进展。 本文针对汽车与机械结构的动力学优化设计问题，首先，研究和分析了国内外在 结构渐进优化法方面的发展状况。 其次，为了处理实际工程中的动静力联合作用下的动力控制问题，基于模态 截断法和一些近似处理，本文导出了一套窄带随机激励下的均方动响应及其灵敏 度公式，研究了静载荷和窄带随机载荷作用下结构的动力学拓扑优化准则。并通 过对宽带随机载荷激励下结构动响应和灵敏度的推导，初步探索了宽带随机载荷 激励下的双方向结构渐进优化( b e s o 优化准则及算法。 针对当前三维结构拓扑优化的理论和应用方面的一些困难，本文研究和发展 了考虑静力、动力要求的三维结构拓扑优化方法和实现算法。在该方法研究基础 上，结合g i d 软件，开发了三维结构拓扑优化软件。结合频率灵敏度公式，开展 了三维结构的频率拓扑优化设计以及静力与频率联合优化设计的方法研究。 本文对上述方法和程序进行了大量汽车与机械构件的仿真计算。结果表明了 本文研究的方法是正确和有效的，可为汽车与机械结构及零部件轻量化设计提供 重要的设计方法和手段，具有较好的工程应用价值。 关键词：结构优化，拓扑优化，动力学，汽车与机械结构 a b s t r a c t t h es t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o di sa n e w l yd e v e l o p i n gm e t h o da n d h a sa c h i e v e dr e m a r k a b l es u c c e s s f o rt h ep r o b l e mo fd y n a m i co p t i m i z a t i o nd e s i g n so f a u t o m o b i l e & m e c h a n i c a ls t r u c t u r e s ，a tf i r s t ，t h i sp a p e rs u m m a r i z e sa n da n a l y z e st h e d e v e l o p m e n to fas o c a l l e de v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d s e c o n d ，i no r d e rt od e a lw i t ht h ed y n a m i cc o n t r o lp r o b l e mo fs t r u c t u r e sw i t h s t a t i ca n dd y n a m i cr e q u i r e m e n ti np r a c t i c a le n g i n e e r i n g ，as e to fr e s p o n s ef o r m u l ao f s t r u c t u r e sw i t hn a r r o wb a n de x c i t a t i o na n di t s s e n s i t i v i t ya r cp r o p o s e d ，a n dan e w d y n a m i co p t i m i z a t i o nc r i t e r i o no fs t r u c t u r e sw i t hs t a t i ca n dd y n a m i cr e q u i r e m e n t ，i s g i v e n t h i r d ，b yu s eo fd e r i v i n gt h ed y n a m i cr e s p o n s ea n di t sf o r m u l af o r t h es t r u c t u r e u n d e rw i d e b a n dr a n d o me x c i t a t i o n ，an e wb i - d i r e c t i o n a l e v o l u t i o n a r y s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o nc r i t e r i ac o n s i d e r i n gs t a t i cl o a d sa n d w i d e - b a n dd y n a m i ce x c i t a t i o n s ，a n d i t sa l g o r i t h ma r er e s e a r c h e d i no r d e rt os o l v es o m ep r o b l e m so ft h ep r e s e n tt h r e e - d i m e n s i o n a ls t r u c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g n si nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，t h i sp a p e rm a k e sr e s e a r c h e s a n dd e v e l o p m e n t so n an e wt h r e e - d i m e n s i o n a ls t r u c t u r a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n m e t h o da n di t sa l g o r i t h mw i t hc o n s i d e r i n gs t r u c t u r a ls t a t i ca n dd y n a m i cr e q u i r e m e n t s o nt h eb a s i so ft h i sm e t h o d ，b yu s i n gg i ds o f t w a r e ，as e to fn e ws o f t w a r e o f t h r e e d i m e n s i o n a ls t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni sd e v e l o p e d f i n a l bc o m b i n i n g t h ef o r m u l ao ff r e q u e n c ys e n s i t i v i t i e s ，ac o m b i n e ds t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z m i o n m e t h o da n di t sp r o c e d u r ed e a l i n gw i t hs t r u c t u r a ls t a t i ca n df f e q u e n c yr e q u i r e m e n t s ， h a sb e e np r o p o s e d i no r d e rt ov e r i t yt h ec o r r e c t n e s so ft h em e n t i o n e d a b o v em e t h o d sa n dt h e i r p r o c e d u r e s al o to fs i m u l a t i o ne x a m p l e sf o rm e c h a n i c a l a u t o m o b i l ec o m p o n e n t si s g i v e n t h er e s u l t so b t a i n e ds h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o d sa r ec o r r e c ta n de f f i c i e n t ， m a yb e c o m e ai m p o r t a n td e s i g nm e t h o da n dt o o lo fa u t o m o b i l e m e c h a n i c a l s t r u c t u r a ld e s i g n sa n dt h e i rc o m p o n e n t sd e s i g n sw i t hm i n i m u mw e i g h tr e q u i r e m e n t s ， a n da r eo fg o o de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o nv a l u e k e y w o r d s ： s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，d y n a m i c s ， a u t o m o b i l e m e c h a n i c a ls t r u c t u r e i l 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：栩报我 日期：为j 年朝冲日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：书勿锈泛 导师签名：霄舢罕 日期：唑r 年华月7 日 日期：加谚年争月z 7 日 第一章绪论 1 1 工程背景 汽车与机械工业随着国民经济发展和交通运输体系的全面建立得到了飞速 发展。电子技术和计算机技术为现代汽车与机械工业的科技进步，提供了两种有 力的手段。在许多产品开发和科学管理中，结构设计都已开始采用计算机辅助设 计，而优化设计又是其灵魂和核心。根据近十几年来的机械优化设计研究的发展 状况表明，汽车与机械优化设计理论和方法已应用于汽车与机械的诸多领域中的 很多环节，如汽车的发动机、底盘、车身各主要总成的优化设计，起重机吊臂结 构优化设计等，使汽车和机械产品的性能和水平得到提高。其中，结构优化设计 应用于产品设计与开发中，更容易取得显著的经济效益。因此，进一步研究结构 优化设计方法，既有理论价值，又有现实意义。 人们在开展结构构件设计时，总希望在满足一定环境条件和一些使用要求下 设计方案达到最佳，这就是所谓的结构优化设计。结构优化的目的在于以最少的 材料，最低的造价和最简单的工艺实现结构性能最优。结构优化设计大体上可分 为三个阶段：第一阶段是建立数学模型，把一个工程结构的设计问题转变为一个 数学问题；第二阶段是选择一个合理有效的计算方法；第三阶段是基于该计算方 法及相关计算机软件，完成设计计算。结构优化包括尺寸优化、形状优化和拓扑 优化。尺寸优化的主要特点是结构模型的设计域和状态变量是已知的，并且在整 个优化过程中保持不变。而形状优化是寻找模型的最佳设计域形状，也就是说模 型的设计域为其设计变量。与形状优化和截面尺寸优化相比较，拓扑优化的难度 最大，亦最具挑战性，它探讨结构构件的相互联接方式，结构内有无孔洞、孔洞 的数量、位置等拓扑形式，使结构能在满足有关平衡、应力和位移等约束条件下， 安全承载，同时使结构的某种性态指标达到最优。结构拓扑优化能在工程结构设 计的初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构在布局上采用最优方案，所以， 与尺寸优化和形状优化相比能取得更大的经济效益，也易被工程设计人员所接 受，已经成为研究热点。 随着科学技术的不断发展和进步，工程结构向大与柔的方向发展，机械结 构向刚、柔兼备的方向发展，且越来越复杂。这种复杂结构极易受到外界载荷环 境，特别是动载荷的影响，而造成结构破坏或系统性能下降甚至失效，直接威胁 工程结构的安全。对柔性机械结构，通常都有静力强度和振动性能指标要求。 因此，研究结构系统的静、动力学性能，特别是开展结构的静、动力学优化设计 有着非常重要的意义。而结构优化设计已从低层次的尺寸、形状优化发展到高层 次的拓扑优化。结构拓扑优化能最大潜力协调结构资源代价和结构静、动力学性 能之间的关系，以达到以最小的代价获得最佳的结构静、动力学性能。总之，系 统深入地开展结构拓扑优化设计的研究，有着重大的应用价值。 在结构优化设计问题提出之前，结构在传统上都是由先验知识确定，然后 再用静力、动力试验或验算对其修改。这是一种落后、费时，且欠优的设计方法。 随着结构优化技术的出现，结构静力问题的尺寸参数优化技术逐步引入结构设 计，从而缩短了结构的设计和建造周期，提高了结构的性能及降低了工程结构建 造成本。结构优化的目的在于以最少的材料，最低的造价和最简单的工艺实现结 构性能最佳。结构优化分为尺寸、形状、布局和拓扑以及选形优化。结构优化最 初采用经典解析方法求解，所用方法是变分法或微分法。对无约束优化问题， e u l e r l a g r a n g e 方程构造极值存在的充要条件，然后用梯度向量搜索优化方 向；约束优化问题则采用l a g r a n g e 乘子构造辅助函数来考虑约束条件的影响。 虽然解析方法可以解决一些简单构件，如桁架和墩式码头桩基布置等优化问题 1 1 ，但涉及的复杂的数学推导阻碍了它在实际结构中的应用。近年来，计算机技 术及其在结构分析中的普遍应用，促进了结构优化的数学规划法( m p 法) 和优 化准则法( o c 法) 2 - 7 j 的发展。显然，在一定环境下，结构尺寸、形状和拓扑梅 形能控制结构强度与振动响应水平。因此，在给定静力、动力学性能要求下，进 行结构优化设计，“主动”地确定最优静、动力特性的结构成为近年来一个活跃 的研究分支。自从s c h m i t 嘲于1 9 6 0 年提出采用结构有限元分析和非线性数学 规划优化结构以来，结构尺寸优化已趋成熟【2 ，4 】。 结构拓扑优化包括了离散结构的拓扑优化和连续结构的拓扑优化。在离散结 构中，桁架结构的拓扑优化研究得最多 5 9 t 。由d o r n m 等提出的基结构途径是桁 架结构拓扑优化的主要方法。这一途径假定，对于给定的桁架节点( 包括外载荷 作用点和支承) ，在每两个节点之间用杆件连结起来，得到的结构称为基结构。 基结构法的思路是从基本结构出发，按照某种规则或约束，将一些不必要的杆件 从基本结构中删除，认为最终剩下的构件决定了结构的最佳拓扑。因此，应用基 结构，可将拓扑优化当作截面优化来处理。后来国内、外学者相继提出了结合最 速下降法与分技定界法的混合算法、结构拓扑优化的两相法、两阶段法、优化准 则类推法以及内力作为设计变量的非线性规划法，使求解桁架结构拓扑优化的能 力有很大提高。此外，段宝岩、谭中富与孙焕纯等人【1 0 舯l 提出采用内力作为设计 变量构造了非线性规划，求解了多工况拓扑优化问题。应该指出，在采用基于截 面积为拓扑变量的，且涉及应力性能要求的结构优化模型时，由于将拓扑优化实 际上转化为尺寸优化来处理，会出现所谓奇异最优解现象。为获得奇异最优解， 程耿东等提出了桁架拓扑优化问题的e 一放松模型及算法弘”。 近几年来，适合于并行计算的全局搜索法并结合仿生学的各种方法( 进化方 法、基因遗传算法，模拟退火算法，神经元网络法，极大熵原理法，以及基于 基因遗传算法和梯度方法的混合方法) 开始被应用于拓扑优化上，取得了瞩目的 2 进展【1 2 。1 。虽然这些方法搜索全局最佳解具有一定的优势，但由于计算量大，目 前无法在大型工程结构中应用。目前，连续体结构拓扑优化较成熟的方法主要是 均匀性方法、变密度方法和结构渐进优化法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m iz a t i o i 3 ，简称e s o 法f l “】) 。将拓扑变量取为单元几何尺寸或材料物理参 数等连续变量( 如单元体积、厚度、微结构孔洞尺寸、材料弹性模量和密度等) ， 通过单元几何尺寸或材料物理参数等取下限值，实现结构拓扑变更，是均匀化或 变密度方法( 含s i m p 法 1 4 1 ) 等方法的主要特点。基于微结构思想的均匀化方法是 典型的拓扑优化方法，即在宏观尺寸上，初始设计区域是均匀的。已经成功地应 用均匀化法解决了包括复合材料结构和多约束的许多类型的结构拓扑优化问题。 对可分离近似的设计问题，采用由数学规划法的对偶原理推导的优化准则法求 解，而对多目标结构拓扑优化，采用各目标函数加权平均进行处理，这些措施 都有一定的效果。然而，该方法常常产生带有一些无限小孔的材料结构，使得结 构不可制造，再者，数值的不稳定性使得设计对载荷的变化非常敏感。结构拓 扑优化的密度法，主要采用简单的能量原理，并在公式中假设杨氏模量为变量进 而获得最佳材料分布，该方法的数值的不稳定性和计算的复杂性是该方法在工 程结构优化应用中的主要困难。按照已有文献的观点，这些问题和困难的根源( 亦 是它们在许多成功应用方面的优点) 是消除了边界描述，不需要处理边界连接。 由于将拓扑优化问题转化为材料分布问题来处理，基于均匀化的方法( 或s i m p 法) 基本上改变了原问题的本质，因此，最后需要解释得到的材料分布，以及出于加 工制造等原因需提取边界和进行拓扑描述。这些基本问题仍在争论之中。 结构 渐进优化法( 简称e s o 法) 通过将无效的或低效的材料一步步去掉，获得优化拓扑， 方法通用性好，可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓扑优化( 主要包括应力， 位移刚度和临界应力等约束问题的优化) 。最近q u e r i n0 m 等人发展了双方向 结构渐进优化法【7 。4 j ，并通过应力灵敏度来考虑全局应力的影响，减缓了e s o 法基于局部应力的限制，提高了探索全局优化解的能力。另外， 称之为“逆自 适应性( r e v e r s ea d a p t iv i t y ) ”的方法1 2 1 1 是一种类同于e s o 法的“硬杀”方法， 在优化过程中，该方法通过不断细化边界网格达到增加分辨率和减少计算代价。 另一种称之为“气泡( b u b b l e ) 法”的方法是在优化的结构部位采用应力、应变 和位移特性函数来确定已知形状的孔洞的插入或插入的方位，然后，以一种指 定的方式修改结构拓扑。对于该种情况，在拓扑进一步变化前，实质上是一给定 拓扑的设计。 结构动力学优化设计是结构优化设计的一个新兴分支，也是结构优化设计 理论的一个重要组成部分，同时也是当前也是当前工程结构设计领域中的前沿课 题。其主要目的是为了满足f 1 益受到重视的动力学环境对结构设计的要求。 结构动力优化设计大体上可分为两个大专题：结构动力特性的优化设计和结 3 构动响应的优化设计。结构动力特性优化设计包括结构的固有频率、振型、阻尼 和刚废与质量分布等方面。其中以结构固有频率为目标或约束的优化设计是最早 涉及的课题，也是迄今取得成果相对较多的方面。文献 5 列出了截止到1 9 9 9 年国内外近百篇有关结构频率优化研究方面的文献。另外，文献 4 5 给出了利 用双方向渐进优化方法对结构固有振型的优化。 而结构动力响应优化设计是以在动载荷激励下结构的响应的物理量，如：位 移、速度、加速度、应力和应变等为目标或约束条件的结构动力学优化设计。由 于该问题同时涉及到结构动力特性和动力响应分析与优化设计，因此求解更为困 难和复杂，迄今有关研究成果相对较少，且属于结构动力优化设计中需进一步研 究发展的方面。但历年来也有一些学者开展了这方面的工作。g h a h a n d a 等对 结构动力响应优化设计的数种方法进行了讨论和比较。国内学者林家浩 6 1 对同时 具有静力和动力约束的结构的构件尺寸和节点坐标进行了优化设计。而，随着结 构随机振动分析和模糊优化设计方法及其应用的发展，结构在随机载荷激励下的 响应优化设计和在模糊环境下的动力优化设计两类问题开始受到关注。在此方面 r a o m 分别对阵风和滑行颠簸随机激励载荷作用下的机翼结构进行了优化设计， 以结构重量极小化为目标函数，以动应力及尺寸限等为约束条件。童卫华 4 7 1 等 提出了一种将结构在随机激励下的某些自由度上的均方响应的动力学的设计方 法，分析了随机载荷不相关和相关激励的两种情况，并推导了任一给定自由度的 均方响应对设计变量的灵敏度计算公式。但文中的理论和推导与算例只涉及理想 的自噪声激励。荣见华等 2 8 1 展开了对地震激励下的结构动力学形状优化设计， 以均方动响应为约束条件，以结构重量轻量化为目标函数。宋海平 3 1 1 等对模糊 环境下具有多个设计目标的结构进行了动力优化设计研究，将其结构位移和应力 等约束均视为模糊函数。 虽然结构动力优化设计较之初期已有长足的发展，但与结构静态优化设计问 题相比，其研究成果依然较少，工程应用也还不能很好的满足工程实际要求。究 其原因主要存在目标或约束函数的非线性程度较高、性态复杂、其动力特性或响 应的计算内容繁杂、计算量大等困难 5 1 ；故迄今结构动力优化设计的许多研究多 集中在一些相对较为简单的问题上，如：以频率等动态特征作为约束或目标的结 构优化设计问题。而以结构动态响应( 动应力、动位移) 为约束的动力优化设计 工作相对多较少，从目前的发展状况来看，结构动力优化设计主体研究仍停留在 理论阶段，尚属于工程结构设计领域中难度较大、但内容新颖的前沿性课题。开 展涉及动力要求的拓扑优化的研究不但具有十分现实的工程背景，而且有重要的 理论意义、学术价值与实用价值。在基于渐进结构优化方法的结构动力学拓扑优 化设计方面，荣见华先生等己在结构频率、屈曲优化和动晦应、动位移和动应力 等方面作了一些研究工作m 2 1 矧。但还需进一步探索考虑随机动载荷下的结构动 4 力学拓扑优化方法及其应用研究。 因此，进一步发展结构动力优化方法，特别是结构渐进优化法( e s o ) 为代 表的二维、三维结构动力优化方法，并与汽车与机械工程中构件或结构的具体特 点相结合，展开结构动力学拓扑优化设计，即有理论意义，又有工程价值。 1 2 本文的工作 为了进一步发展结构优化方法和开展汽车与机械工程中构件或结构的动力 学优化设计应用研究，本文主要从以下几方面进行了研究： ( 1 ) 基于模态截断法和一些近似处理，本文导出了一套窄带随机均方动响 应及其灵敏度公式，再根据工程实际要求，研究了静载荷和窄带随机载荷作用下 平面结构的动力学拓扑优化设计方法和算法。 ( 2 ) 本文推导了一套宽带随机平均均方动响应的表达式和灵敏度公式，并 进一步研究了静荷载和宽带激励作用下车架的双方向渐进动力学拓扑优化设计 ( 3 ) 采用三维缩减单元静力拓扑优化设计方法，本文展开了三维连续体结 构的拓扑优化方法和软件研究工作。并通过对典型的工程结构三维平面弯曲板、 货车车架和m b b 结构的拓扑结构的优化设计验证了提出的方法和其软件的有效 性与正确性。 ( 4 ) 本文针对三维连续体结构频率拓扑优化设计方法、三维结构静力与频 率拓扑优化设计方法，展开了它们在工程中的应用研究。并得到了一些与平面拓 扑方法不同的结果。 5 第二章平面动力学拓扑优化设计 2 1 渐进结构优化方法简介 2 1 1e s o 方法的特点 无论是汽车、机械或重要框架等结构，为达到其最佳性能，都需进行结构优 化设计。而结构优化聚合了工程、数学和科技领域中的重要原理与方法，是一种 非常复杂的综合技术。 近年来，计算机在结构分析中的普遍应用促进了结构优化数值方法的发展。 数学规划法和优化准则法1 2 - 7 是广泛采用的两种解析方法。d o r n 等人于1 9 6 4 年 提出了基结构法( g r o u n ds t r u c t u r ea p p r o a c h ，简称g s a 法) 8 l ，将数值方法 引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。g s a 方法的思路是从基本结构出发， 按照某种规贝i j 或约束，将一些不必要的杆件从基本结构中删除( 如刚度接近零， 柔度极大的杆件可从结构中删除) ，认为最终剩下的构件决定了结构的最佳拓扑。 因此，应用基结构法，可将拓扑优化当作截面优化来处理。应该指出，当采用基 于截面积为拓扑变量的且涉及应力性能要求的结构优化模型时，由于其实质是将 拓扑优化转化为尺寸优化来处理，会出现所谓的“奇异最优解”现象。为获得奇 异最优解，程耿东等提出了桁架拓扑优化问题的s 一放模型及算法一。连续体结 构拓扑优化方法还有两相法、内力法、均匀化( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 法、 变厚度法、变密度法、人工材料和线性规划法等1 2 1 。最近，适合于并行计算的全 局搜索法并结合仿生学的各种方法( 遗传算法、模拟退火算法、神经网络法以及 极大熵大原理法) 开始被应用于拓扑优化上0 2 - 1 7 1 ，取得了瞩层的进展。这些方法 虽可解决各类结构的尺寸，形状及拓扑优化，但方法的通用性与计算效率并不理 想。渐进结构优化方法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r eo p t i m i z a t i o i l ，以下简称e s o ) 1 8 - 3 9 1 就是在这种要求下发展起来的。e s o 方法是根据一定的优化准则，将无效或 者低效的材料( 对目标函数贡献小) 一步步去掉，从而使结构逐渐趋于优化。在 优化迭代中，该方法采用固定的有限元网格，对存在的材料单元，其材料数编号 为非零数，而对不存在的材料单元数编号为零。当计算结构刚度矩阵等特性时， 不计材料数编号为零的单元特性，通过这种零和非零模式实现结构拓扑优化。该 方法采用已有的有限元分析软件，通过迭代在计算机上实现，通用性较好。e s o 方法自1 9 9 3 年提出后，在国际上引起很大反响，它不仅可解决各类结构的尺寸 优化，还可同时实现形状和拓扑优化，无论应力，位移刚度优化，或振动频率、 响应，临界压力优化，都可遵循e s o 的统一原则和简单步骤进行。 2 1 2 现有e s o 方法的静力学优化准则及算法步骤 2 1 2 1 应力准则( 满应力准则) 对于静力设计问题，e s 0 方法通常采用基于应力准则的优化方法。该准则认 为，结构中应力低的部分是没得到充分利用的，可以从结构中删除，从而使剩余 部分的应力接近于相同的应力水平。 结构潜在的失效形式通常是过大的应力或应变，相反地，结构中的低效材 料则是低应力或低应变部分。理想的情况是结构中各部分的应力处于相阿的应力 水平。由此，结构的优化准则是基于局部应力水平的，也就是说低应力部分的材 料被认为是没有充分利用的，故可从结构中删除。 每个单元的应力水平是通过该单元的v o f tm is e s 应力与结构的最大应 力的比较来决定的。在每一轮有限元分析结束后，所有满足以下条件的单元将被 从结构中删除： o r 。c r r ix 盯= ( 2 1 对静力平面应力分析问题式中。一畦+ 仃刍一盯。+ 域，飓是当前的材 料删除率。通过使甩相同的赋值，重复执行有限元分析与单元删除，直到达到 稳定状态，也就是在当前步已不能进一步删除材料。这时，在材料删除率中引入 进化率( e r ) ： r r f + 1 一r r f + e r f 一0 , 1 , 2 ， ( 2 2 ) 通过增加删除率，再一次进行有限元分析与单元删除，直到达到一个新的稳定状 态。如此的一个进化过程继续，直至获得期望的最佳结构。 2 1 2 2 刚度准则 在有限元分析中，结构的静态特性由以下方程描述； f x 】恤 一 p ( 2 3 ) 式中，哗】是总网u 度矩阵，恤 为总体节点位移向量，d 为节点载荷向量。与结 构总刚度相反的度量是平均柔度： c 一妄 日7 仁 一去 p ，【足】4 p ( 2 4 ) 在载荷向量不变的条件下，对总刚度的最大化也就等效于柔度的最小化。保持载 荷向量不变，当第i 单元从结构中删除时，方程( 2 3 ) 变为： ( 【k 】一【k 】) ( “) + a “) ) 一 p ) ( 2 5 ) 式中，i 两是扩维了的第f 个单元刚度矩阵， 缸 表示位移向量的变化。把( 2 3 ) 式减去( 2 5 ) 式并忽略( 2 5 ) 式中的高阶量，得到位移的变化量： 7 i a u 叫x 】4 噼似) 将( 2 5 ) 式代入( 2 3 ) 式中，得： a c | 恤) 一扣7 k i 1 丽 ；吾科而 一i 1 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 式中，k 代表单元刚度矩阵，i u 。) 表示单元的位移失量。由此，作为带有总刚 度约束问题的刚度灵敏度数可定义如下： q - i 1 恤。) 7 k 伽。 ( 2 7 ) q 的值表示当删除第f 单元时的柔度变化情况。事实上，口，就是单元的应变能， 故总是正数。通常，不同位置的单元对结构总刚度有着不同的贡献。一般，当删 除一个单元时，结构总剐度减少相应的应变能c 增加。故为了使得结构总刚度最 大，且总重量小，最有效的方法显然是删除具有最小口，值的单元以使得应变能 增加量最小。因此，对刚度优化问题的材料删除准则可定义如下： 口， r r , 口：一 ( 2 8 ) 式中，a ，是整个结构中最大的刚度灵敏度数。满足( 2 8 ) 式的单元将被从结 构中删除。通过使用相同的r r , 值，重复执行有限元分析、刚度灵敏度计算与单 元删除，直到达到稳定状态。这时，在删除率中引入进化率( e r ) ： r 尺- r r j + e r，i - 0 , 1 ，2 ， ( 2 9 ) 通过增加删除率，再一次进行有限元分析、刚度灵敏度计算与单元删除，直到达 到一个新的稳定状态。如此循环往复，直到获得满足要求的最佳结构。 2 1 2 3 应力灵敏度数准则 a ) 位移灵敏度数 考虑从一个由个有限单元构成的结构中删除第i 个单元，刚度矩阵变化量 为 旧【k 卜k 】一丽 ( 2 1 0 ) 式中【k 】是删除第i 个单元后结构的总刚度矩阵，瞵】是扩维了的第f 个单元的 刚度矩阵。假设删除第f 个单元不影响载荷矢量 p 。忽略高阶项，从方程( 2 3 ) 得位移变化量 每) 一取r k 缸) ( 2 11 ) 为了找到删除一个单元引起的“f 变化量，引进一个单位载荷矢量仁味在该 8 矢量中只有第j 个分量等于l ，而其他分量为零。用 f ，f 前乘方程( 2 1 1 ) ，得 血，。p ，p k 】1 丽缸) 。( 恤) ，) 7 而i ) ：( h ) ，) 7 k 傩 ( 2 1 2 ) 式中缸y 是由单位载荷仁7 引起的位移，* j 和 “) 7 分别是包含在仁) 和仁) 7 中， 并与第f 个单元相关的单元位移矢量。因为除了与第f 个单元相关的 k i 】中的元素 不为零外，所有与其他单元相关的【k 】中的元素都为零，故在单元级能计算方程 ( 2 1 2 ) 的右端项。其值 口。( 恤t 盯丽 ( 2 1 3 ) 表明删除第i 个单元引起特定位移分量“j 的变化量，定义为位移灵敏度 数。 b ) 应力灵敏度数 结合位移灵敏度数，由于第i 个单元的删除，第k 个单元应力矢量变化量为： t 盯y t 。，t 口， a “，- t 。rr 口， “，“，“z 【| 1 仁r c 2 1 4 ， 这里 a d r 一( 吼，盯，勺) ：是第k 个单元应力矢量变化量， 仁r ；k n ，口。，a 。羟为第七个单元的位移灵敏度矢量an 表示第t 个单元的 自由度数。s ，( f 一1 ，2 ，3 ) 表示【d r 陋r 矩阵的第z 行。因此，第k 个单元应力分量的 吼蚓m 墨，( 如盯 s ：，( 奶。) 7 s ，( 7 ) 7 瞵t 】仁，) ( 2 i s ) 式中( 恤一) ，) 7 ( ，= 1 ，2 ，1 ) 是由于第，个单位虚载引起的第f 个单元的位移项。用 ( f 1 2 ，3 ；j 一1 , 2 , - - , n ) 乘以第j 个单位虚载的平衡方程，并将相乘后的所有n 个 虚载平衡方程相加，有 9 r l 芝s 4 ( 扣) ) 7 z s 口 f ) = 丘f ；1 , 2 , 3( 2 1 6 ) 式中丘；妻凡 f ，) 表示第f 个虚载。这就是说方程( 2 1 6 ) 引进了一个新的虚载系 统，其虚载矢量e 的n 个非零元素分别是相应系数s 。定义( 程) 7 作为第，个虚载 ；差】：一【嚣】tk，tw， c z ，a ， 三ij】：一i器】r置，t“， c 2 - ，b ， 疗，一盯：2 + 仃一一盯；+ 拓 ( 2 1 8 ) 式中仃：；+ ( 仃；) ：，盯；- q + ( 仃，) ：，一+ ( a ) ： ；因此由于第i 个单元 c ) 基于应力灵敏度的结构渐进优化方法的迭代步骤如下： 力单元序号七，给结构加一组如方程( 2 1 6 ) 所示的虚荷载j ：( f l 2 , 3 ) 。 ( 5 ) 删除r r n ；( ；为当前结构的单元个数) 个具有最低b 。i 的边界单元 ( 6 ) 重复第( 2 ) 至( 5 ) 步，直到最大应力达到其限值。 2 1 3 基本的结构动力特性灵敏度分析 e s o 巳推广到刚度位移、频率或屈曲载荷等结构优化问题，并展示它具有解 决工程应用中所有种类的结构优化问题的能力 9 , t 9 , 2 0 1 。 考虑随机动响应要求的结构拓扑优化问题在工程中极其重要。飞机、航天和 汽车等载运工具以及大型机械、土木结构在它们服役期间常受到随机动载荷的激 励。所以，大型机械、土木结构、载运工具的设计必须处理动载荷对其结构的影 响。本节主要介绍本文采用的基本结构动力特性灵敏度分析方法。 2 1 3 1 。频率、振型灵敏灵敏度数 为了辨识结构修改的最好位置，常常需要灵敏度信息。特别对于动力学问题， 灵敏度分析是非常重要的。这里首先考虑建立一套定量描述删除一个单元对随机 均方动响应的灵敏度数公式。在建立随机均方动响应的灵敏度公式前，先介绍结 构的频率、振型灵敏度数。 为了推导频率、振型灵敏度数，本节首先探究特征值、特征向量导数的公式。 目前。有许多计算特征向量导数的有效方法。不同方法以不同方式寻求克服求解 奇异矩阵方程的困难。h a f t k a 等和b a l d w i n 概述了该领域的进展1 2 9 】。其主要的 计算特征值、特征向量导数的方法包括有限差分法、模态截断法、模态方法、 n e l s o n 法和改进的模态方法等。模态截断法具有简洁的公式和好的效率，但精 度较不高。模态方法在理论上是直接的，但要求系统所有模态，特别当考虑大维 数的系统时，其计算量是相当大的。n e l s o n 法寻求用第i 阶模态的模态参数计算 特征值、特征向量导数；然而为了求解涉及的线性代数方程，对每阶模态，要求 求解一个( 一1 ) ( 一1 ) 阶矩阵的逆阵。改进的模态方法目标在于利用计算的低 阶模态和柔度矩阵近似导得特征导数，大型结构柔度矩阵的计算和存贮是相当昂 贵的。下面，考虑到大量设计变量和大的矩阵维数，在满足一定工程精度要求的 条件下，更关注特征导数计算效率。因此，本节首先基于特征导数的模态截断法， 导出其灵敏度数。 2 1 4 1 1 单特征向量导数的模态截断法 模态截断法基于部分的特征解，试图用最低的 ( n ( ) 对特征值和特征 向量。近似计算特征导数。在有限元分析中，用下列一般特征值问题表示结构动 力特性： ( 【k 】一砰【m 】) k - o ( 2 2 0 a ) 锄f m 酝 - 1 ( 2 2 0 b ) 由式( 2 2 0 a ，b ) ，可求导简化整理得下列方程： ( i k 】一砰【m 】) 锄y ，。( ( 峨2 j t i mj + q 2l m jr 一【k 】：) 概) ( 2 2 1 a ) ( q 2j t ；p ( 【k 】：一茸【m 】：) 仇) 锄) t 【m j 慨j ，一丢切p m i ，舫) ( 2 2 1 b ) ( 2 2 1 c ) 式中 f q 2 ，t 、如；) 7 ，、 m i ，和 k i ，分别是f 叫? j 、如i ) 、 m 和【k 】对于第j 个 设计变量的导数。 从式( 2 2 1 - b ) ，看到用模态本身可确定特征值导数。对大型结构，可以有成 千个自由度。在此情况下，仅计算前几个低阶模态。假设前ho ) 阶模态可 得到，其它( n - n ) v o i 模态截断。假设特征矢量导数的近似式写为： “，；艺凡概) i j f 2 2 2 ) 为了计算系数凡，将( 2 2 2 代入( 2 2 1 a ) ，并用k p 前乘式( 2 2 1 a ) ，则有 戗) r ( 【k 一砰 m 卫妻岛妨) 。慨r ( 一【k i ，+ 砰【m i ，+ ( 砰) ：【m 玉锄) ( 2 2 3 ) 当k i 时，能简化式( 2 2 3 ) 求得凡： 玩：垃譬幽，川 ( 2 z 4 ) 当七一i 时，从( 2 2 1 c ) 能计算出风，即将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 1 c ) ，则成为 成委慨f m 】，慨) ( 2 2 5 ) 基于式( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) ，可简单地得到第i 阶模态的特征矢量导数的近似 值。 2 1 3 1 2 频率、振型灵敏度数 设从结构中删除第j 个单元。由于该单元的删除，总刚度和总质量矩阵的变 化量为 【k 】- 一 k 7 】，【m 】一一【j 7 】 ( 2 2 6 ) 式中【k 】和【m 】分别是第，单元的刚度和质量矩阵a 在上小节中所有方程的 【k 乱【m 】：， ；) ；和知， 分别用【k 】、【m 】、 a ；) 和伽吼 替代。同时，假 设在单元删除前后，特征矢量知。) 近似相同。则从式( 2 2 1 b ) 、( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) ， 导出下列公式： ( 砰) 。缸p d k 卜砰 a m l 慨) + ( 2 2 7 a ) 定义： = 砉以k ) 展；一三函。r m ) 风，世堂粤掣蚴) ，一： a k 。慨f 陋) 。一切p 【k ，聊 a m ；扔 r m ) ；一切f m ， 拓 a k 。；概) r k 酝) 一红f 时舫) a m 。；慨， m ) 。一钮f m ，粉 式中忉 是第j 个单元的第f 阶模态。则( 2 2 8 a ) 。( 2 2 8 d ) 可变为： ( ；) ( 毛一珊；) - 荟n 凡k f l “= 2 1 锄i 风；型譬掣七j c o ；一嘶 ( 2 2 7 b ) ( 2 2 7 c ) ( 2 2 7 d ) ( 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) ( 2 2 8 c ) ( 2 2 8 d ) ( 2 2 9 a ) ( 2 2 9 b ) ( 2 2 9 c ) ( 2 2 9 d ) 2 2 窄带随机激励下的结构动力学拓扑优化设计 工程结构在它们服役期间大多会经受脉动风载等窄带动载荷激励，由之会引 起相关的振动问题。连续体结构动力学优化问题在工程中极其重要，但研究得较 少。本节基于e s o 方法，研究静力和窄带随机动载荷激励下连续体结构的动力 学优化设计方法。 2 2 1窄带随机激励下结构的随机振动描述 2 2 1 1 随机振动描述 一般结构要求的动力学最佳设计意指：在随机载荷作用下，结构某几个节点 的平均随机均方动响应小于或等于指定的容限值。 结构动力学问题的有限元方程可写成下式： 【m 】仁) + 【c 】位) + 【k 】仁 - ，o ) ( 2 3 0 ) 式中【m l 【c 和 k 分别是结构的n x n 维质量、阻尼和刚度矩阵；n 是结构自 由度总数； ，“片是随机载荷矢量，而e 卜甜和仁 分别是结构的位移、速 度和加速度矢量。 2 2 1 2 窄带峰谱激励下的均方响应 图2 1 窄带峰谱图 对于图2 1 的所示典型窄带峰谱，本文采用一种形状相近，且在( 石，i ) 间具 有通用拟合功能的拟合自功率谱密度函数s ) 4 2 1 ，则有 s ( ) 篁 a g z 【1 一( 竺) 2 1 2 + ( 生) 2 ) g o qs s q f 2 3 1 ) 其他处 式中：为窄带峰谱的峰值频率；a 为窄带峰谱的峰值谱密度：g 称为窄带峰 谱的锐度因子，它等于除以两个半峰值2 ) 点之间的带宽。由随机振动理论 知， 位移动响应自功率谱为： 陋，】。瞳。 ) 】r p ，1 日 ) 式中瞄) 】为频响函数矩阵，【h ) 】为阻 ) 】的共轭矩阵，【& 】激励自功率谱矩 阵，对于实模态矩阵【纠，由模态变换截断法可近似得： h i 一 妒 d i a