史方方《转化思想在小学数学教学中的应用》.doc

毕 业 论 文论文题目 转化思想在小学数学教学中的应用 专 业 数学与应用数学（师范） 学生姓名 史方方 学号 1501072101054 指导教师 储昭辉 时 间 2016 年 12 月 2 日目录摘要1Abstract11 绪论21.1 选题缘由21.1.1 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）的基本理念的要求21.1.2 为小学数学的教学提供理论依据21.1.3 小学数学思想方法的渗透有待提高21.1.4 有关转化思想在小学数学中的教学及研究存在着不足21.2 国内外关于转化思想的研究31.2.1 国外关于转化思想的研究31.2.2 国内关于转化思想的研究41.3 研究方法51.3.1 文献法51.3.2 文本分析法51.3.3 案例研究法51.3.4 行动研究法52 转化思想及其在小学数学中的重要意义62.1 界定概念62.1.1 数学思想与数学方法62.1.2转化思想62.1.3 空间与图形82.2 理论基础82.2.1 哲学基础客观事物的普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一82.2.2 心理学基础认知同化理论82.3转化思想在小学数学“空间与图形”中的重要意义92.3.1 促进小学数学“空间与图形”教学质量的提高92.3.2 有利于全面深入地理解和掌握数学思想方法92.3.3 有利于发展学生的思维，提高学习迁移的能力93 转化思想在小学数学教材“空间与图形”中的运用103.1 转化思想在小学数学教材中的体现103.1.1 平面图形与立体图形的转化103.1.2 三角形内角和和多边形面积公式的推导123.1.3 立体图形表面积或侧面积和体积公式的推导133.2 对教材的建议143.2.1 尝试从不同的角度来解决问题，不局限于教材中的一种角度143.2.2 教材中适当增加一些渗透转化思想的习题144 在小学数学“空间与图形”中运用转化思想的实践探寻154.1 运用转化思想的教学案例154.2 在小学数学“空间与图形”中运用转化思想的教学策略184.2.1 悉心挖掘194.2.2 精选方法194.2.3 积极运用194.2.4 加强训练205 结束语22致 谢23转化思想在小学数学教学中的应用 摘要：本文重点研究转化思想在小学数学“空间与图形”教材和教学中的运用。首先从数学思想与数学方法、转化思想、空间与图形的概念入手，以客观事物的普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一为转化思想的哲学基础，以认知同化理论为转化思想的心理学基础，指出转化思想在小学数学“空间与图形”中的重要意义。其次，本研究重点借助一套义务教育课程标准实验教科书苏教版来探索转化思想在小学数学“空间与图形”领域中的体现与运用，发现渗透转化思想的教学内容散见于各册教材中，但并不是杂乱无章的，主要集中在平面图形与立体图形的转化、三角形内角和和多边形面积公式的推导和立体图形表面积或侧面积和体积公式的推导，并对教材提出一些建议。在此基础上结合本人的教学实习经验，依据数学新课程标准的要求，使学生理解和体会转化思想，结合具体教学实例提出在小学数学“空间与图形”教学中有效运用的策略悉心挖掘精选方法积极运用加强训练。 关键词：转化思想 小学数学 空间与图形 运用Abstract：This paper focuses on the transformation of thinking in the primary school mathematics space and graphics teaching materials and the use of teaching. Starting from the concept of mathematics thought and method, transformation thought， space and graphics, with the opposition universal relation of objective things and the eternal development and contradictory as the philosophical basis of transformation thought， with cognitive assimilation theory as the psychology foundation of transformation thought, points out the important significance to the idea of mathematics in primary school space and figure in. Secondly， this study mainly through a set of compulsory education curriculum standard experiment textbook Jiangsu to explore the embodiment and application in primary school mathematics transformation thought of space and figure in the field of teaching content into thinking that hydraulic work in the textbook, but it is not out of order， mainly concentrated in the graphic and the three-dimensional graphics Keyword：transformation ideology primary school mathematics Space and shape exertion1 绪论1.1 选题缘由1.1.1 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）的基本理念的要求 全日制义务教育数学课程标准实验稿以下简称为标准总体目标指出“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识包括数学事实、数学活动经验以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”数学思想方法是人们对“数学科学的本质及规律的深刻认识”，即对现实世界的空间形式和数量关系进行思维后产生的结果。数学思想方法是对数学知识在更高层次上的反映，具有抽象性、概括性、应用的广泛性等特点。它蕴含于知识的发生、发展和应用的过程中它蕴含于教学又超越知识的教学，是知识向能力转化的桥梁。加强数学思想方法的教学不仅是培养数学素养的一项举措，也是走向数学教学现代化进程的必然与要求。因此小学数学教学中渗透思想方法的教学是与时俱进的。1.1.2 为小学数学的教学提供理论依据 在现行的小学数学教材中，无论是哪个版本都存在着两条主线一条是明线即数学知识，一条是暗线即数学思想方法。在平常的教学中，一线教师在课堂实施过程中常常重“明”轻“暗”，即数学知识的传授能够得到保证而数学思想方法的教学容易被忽略。日本数学教学家米山国藏说“学生们所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”因此，形成和发展学生的数学思想方法是数学教学的主要核心目标之一。1.1.3 小学数学思想方法的渗透有待提高 长期以来，由于受一些传统观念的束缚，数学教学仅侧重于学习现成的知识结论、技巧和技法，而忽视了知识之间的内在联系，忽视了隐藏于知识中的的基本思想、数学的基本方法的培养与训练，忽视了学生未来发展的需要，从而降低了数学教学的质量和效益。美国著名心理学家布鲁姆指出“许多学生在学习中未能取得优异成绩，主要问题不是学生智慧的欠缺，而是由于没有适当的学习条件或合理的帮助造成的。如果提供适当的一记忆方法，大部分学生在记忆能力、记忆速度和进一步产生学习动机等多方面就会变得十分相似。”因此，渗透数学思想方法能够适应学生未来的发展，有利于培养人才。1.1.4 有关转化思想在小学数学中的教学及研究存在着不足就目前小学数学教学现状来看，一部分教师虽然能意识到数学思想与方法的重要性，但因受应试教育和传统的教育观念影响，课堂教学中缺乏对数学思想方法的理性认识，不注重这些概念和知识的发生、发展、运用过程的揭示与解释，忽略学生思维的发展过程，不善于将这一过程中丰富的转化思维训练的因素挖掘出来，不善于将知识中蕴含的丰富的数学思想方法进行抽象和概括，导致学生变成了“不会思考，只会模拟解题的机器”，扼杀了学生的创新思维和创新精神。苏教版小学数学六年级下册解决问题的策略这一部分内容主要是运用转化的方法解决问题，一些教师只是在这部分内容中运用转化的方法来解题，因缺少对转化思想的深层次认识和实施转化思想的教学策略，并不能将解题的方法和技巧上升到数学思想方法的高度，揭示数学思想方法的规律和实质，从而不能很好地将转化思想运用到整个小学数学“空间与图形”教学中。转化思想在小学数学“空间与图形”部分几乎处处体现，因此，一线教师对转化思想的认知和有效实施转化思想教学及研究有待于提高和指导。通过查阅大量文献资料，发现同类课题针对中小学数学教学研究的比较多，中学数学研究的比较系统、具体，几乎没有对在小学渗透转化思想的专门研究，针对小学数学教学研究的大多是一线教师，只停留于表面，大多散见于“在小学中渗透数学思想方法”的相关研究的某个章节，而且主要是泛泛地谈在小学渗透转化思想的重要性，并举例说明某个具体问题的处理方法，对小学数学教学中的转化思想缺乏系统、深入的研究。 本研究借助一套数学课程标准下的实验教材苏教版教材，探索和研究转化思想在小学数学教材“空间与图形”中的具体体现，进一步结合本人的实习经验，探讨在教学实施的过程中如何体现课程标准的要求，使学生感悟转化思想。通过这些试图对小学数学教材和教学中的转化思想有一个较为完整的诊释，能够对小学的数学教学更好地体现转化思想起到积极的促进作用，也希望给其它数学思想方法的研究提供一个范例。1.2 国内外关于转化思想的研究1.2.1 国外关于转化思想的研究 匈牙利著名数学家罗莎在无穷的玩艺中写道“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题”。她曾用以下比喻十分生动地说明了转化法的实质。她写道“假设你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做”正确的回答是“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上”。接着她又提出第二个问题“假设所有的条件都不变，只是水壶中有了足够的水，这时你应该怎样去做”对此，人们往往回答说“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上”。但罗莎认为这并不是最好的回答。因为，“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我己经把后一问题转化成先前的问题了”。“把水倒掉”这是多么简洁的回答，比喻有点夸张，但表明了数学家思考与解决问题的一个特点，与其它科学家相比，数学家特别善于使用转化思想，在各个分支中都是这样。1628年，笛卡尔发表指导思维的规则一书，在该书中他开始意识到为了使“数、形同质”必须引进单位数，还明显地反映出利用横坐标和纵坐标之间的依存关系，用代数把握几何的思想。笛卡尔的这一思想对当时的数学产生了很大的影响，它填补了在代数和几何之间的鸿沟，将代数运算和几何作图放置于完全平行的位置，从而为代数与几何的统一奠定了基础。笛卡尔的这种用代数方法解决几何作图问题的思想并没有止步，接着他又创造了一种用代数方法表示几何曲线的方法。把几何问题转化成代数问题，蕴含着数学中的转化思想。 美国著名数学家、数学教学家波利亚在怎样解题一书中给出了下述解决问题的方法在面临所要解决的问题时，我们应当考虑如下问题“这是什么类型的问题他与某个已知的问题有关吗它像某个已知的问题吗具体地说，我们可以从所要追求的具体目标未知元素、待证命题出发去进行考虑“这里所谓的关键事实是什么有一个具有同样类型的未知量的问题特别是过去解过的问题吗另外，从更一般的角度来说，又可考虑“你知道一个相关的问题吗你能设想出一个相关的问题吗你知道或你能设想出一个同一类型的问题、一个类似的问题、一个更一般的问题、一个更特殊的问题吗？ 纳皮尔是近代数学史中善于运用转化思想的杰出代表。对数法是纳皮尔等人在十六世纪为了简化大数字开方运算而创立的。纳皮尔的贡献就在于他看透了指数运算与真数的对应法则映射与反演的关系，把后者的运算任务转化为前者的运算任务，从而大大提高了计算效率。他的特点是把复杂的数字乘、除、乘方、开方等运算问题通过对数转化为简单的加、减、倍积问题，这正体现了转化的思想。尽管上述几部著作都对数学思想方法进行了论述，但是他们的着眼点都是整个数学领域，阐述的是现代数学的共性，很少从中小学数学教学的角度进行梳理和阐释，尤其是用高观点来俯瞰整个初等数学的研究还很少涉及。从目前查到的资料来看，德国的克莱因高观点下的初等数学当属于此类。此书分卷，第一卷是关于算术、代数、分析的论述，第二卷是关于几何的论述，第三卷是关于近似数学与精确数学的论述。在这卷中，作者都是从非常简单的、基础的数学知识入手，逐渐延伸到非常高深的现代数学内容。在“算术”部分写了四元数，在几何部分写了高维以至无穷维空间，并且随时讲到历史和应用。另外，他还充分的应用了数形结合思想，即把数学的两个基本对象数与形结合起来讲算术、代数、分析时，总是充分运用丰富的几何图像，而讲几何时，用的是代数工具，又不乏几何语言。数形结合思想体现了数与形的相互转化，属于转化思想的一个类型，此时，已经在初等数学中有意识地渗透了转化思想。1.2.2 国内关于转化思想的研究 九章算术是一部问题集形式的算书，中国传统数学的开山之作，它对后来中国传统数学的发展影响是十分重大的。关于转化思想的起源，九章算术是一个值得研究的范例它采用问题集的形式，书中每道题皆有问、有答、有术，其中“术”就是解题方法，有的一题一术，有的多题一术，第一章名为“方田”，列题个，立术条。方田是田亩形状的代称，本章主要是讲平面几何图形面积的计算方法。第五章名曰“商功”，列题个，立术条，商功意为关于土方工程问题的思考，本章是讲以立体问题为中心的各种形状体积计算公式。其中很多问题解答都体现了转化的思想方法，如“割圆术”“出入相补”原理。祖冲之之子祖随早在年前发明了祖随原理。所谓祖呕原理其原文是“幂势既同，则积不容异”。按现在的话来说，即两同高立体，如在等高处的截面积相等则体积相等。教科书上常常叙述为“夹在两个平行平面间的两个立体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果他们的截面面积总相等，那么，这两个立体的体积相等。“祖顺原理并不直接确定几何体的体积，它只揭示满足一定条件的不同几何体体积之间的关系，也就是说，它本质上是一个转化工具而己。自从上个世纪年代中期，我国著名数学家徐利治教授率先在大学里讲授“数学方法论”以来，在我国，对数学教学理论作出突出贡献的是数学家、数学教学家徐利治教授，曾经出版过如数学方法论选讲关系映射反演方法等著作，首次提出了著名的论断“关系映射反演方法”，简称为方法，数学上的方法就是通过“关系一映射定映一反演一得解”这样几个基本步骤处理问题的一种方法。运用方法求解问题的具体过程是第一步，弄清问题中原象关系结构和原象未知目标的具体内容第二步，选择适当有效地映射，这是应用原则处理数学问题的关键所在第三步，弄清映象关系结构和映象未知目标的内容第四步，通过数学手续求出映象未知目标第五步，根据被确定了的映象目标通过反演而确定原象目标，使问题获解。这一方法是转化思想的一种重要的方法。特别是G波利亚的数学的发现和怎样解题两部著作在我国翻译出版以后，我国的大中小学教育界出现了数学思想方法的研究特别是数学解题方法的研究。湖南教育出版社年月出版的初等数学思想方法选讲欧阳维诚、张鑫、肖果能着首先介绍了转化的方法、作用和途径，然后具体介绍了第一类转化思想，即特殊化思想、一般化思想和变换思想，和第二类转化思想，即映射与数形结合思想，着重阐述它的含义、分类及其作用。大象出版社年月出版的转化与化归杨世明着首先以浅显的语言介绍了数学与转化，进而对化归进行了阐述，最后介绍了转化的技艺，即正难则反、代换、数形结合和见微知着。这些著作的出版弥补了我国关于数学领域数学思想方法研究的空白，为后人研究数学转化思想方法提供了良好的研究范式和研究基础。90年代以后，不仅关于转化思想的论着不断出现，更有大量的探讨转化思想的论文发表，它已经成为小学数学教学研究的热门话题之一，许多一线教师从教学实践经验出发，探讨转化思想的含义、教学和解题运用，取得了一定的成效。关于转化思想的解题运用一般从整体与部分、一般与特殊、数与形、已知与未知、抽象与直观、简单与复杂的转化分类列举题目说明转化思想的具体运用。 关于如何在小学数学教学中运用转化思想，包永定提出四点建议、运用类比联想，实现转化、运用数形结合思想，实现转化、运用替换思想，实现转化、运用假设法，实现转化。1.3 研究方法1.3.1 文献法首先，梳理已有的有关转化思想的研究成果。其次，广泛地搜集国内外期刊文章、网络资料，掌握丰富详实的文献资料，审读文献，学习与借鉴同类或相关课题的成功经验，并从不同侧面对文献中包含的信息加工整理，进行分析，以创新本课题的研究。1.3.2 文本分析法 通过对一套苏教版教材“空间与图形”领域内容的全面分析，对教材中渗透转化思想的内容进行了系统地梳理，并按一定的层次呈现出来。1.3.3 案例研究法 案例研究法是一种常用的教学方法和研究方法。在实习期间，选取教材“空间与图形”中能体现转化思想的内容，认真听一线教师的讲授，并进行整理分析。1.3.4 行动研究法 行动研究是指在自然、真实的教育环境中，教育实际工作者按照一定的操作程序，综合运用多种研究方法与技术，以解决教育实际问题为首要目标的一种研究模式。在实习教学中，通过对分析教材和了解学生，设计渗透转化思想的教学设计，通过课堂教学运用转化思想，加深对转化思想的理解，探寻如何有效地在小学数学“空间与图形”教学中运用转化思想。第二章转化思想及其在小学数学中的重要意义2 转化思想及其在小学数学中的重要意义2.1 界定概念2.1.1 数学思想与数学方法 “数学思想”这一术语，还未形成精确的定义，比较一致的认识是，数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识、基本看法，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动后产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学方法是指人们在数学学习、研究以及利用数学解决实际问题的步骤、程序和格式，是实施有关数学思想的技术手段。由此可以看出，数学方法具有过程性、层次性、可操作性的特点。数学思想与数学方法既有差异性，又有同一性，其差异性表现在“数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，方法指向实践而数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用”，“数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性数学思想是内隐的，而数学方法是外显的数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华”。它们有时是等同的，人们往往把某一数学成果笼统地称之为数学思想方法，而当“用它去解决某些具体数学问题时，又可具体称之为数学方法”。 在小学数学中，基本数学思想包括转化思想、函数思想、分类思想、数形结合思想、极限思想、类比思想等等。2.1.2转化思想1.转化的作用 转化是把待解决的问题从一种形式转化为另一种形式，使之较易于解决。转化的作用十分广泛，并不局限于个别具体问题的解决。 （1）优化解题方法 追求解题方法的简捷、深刻、优美，是数学思想的最大特点，有些数学问题通过转化，不只是获得了解决，更重要是获得了解法的优化。 （2）揭露问题本质 历史上有不少数学问题，在原来提出这一问题的领域内很难解决，甚至无法解决，就像人不能自举其身一样，“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，如果把问题转化到另一领域中，就可以迎刃而解了，例如，著名的古希腊几何作图三大难题三分角问题、化圆为方问题、倍立方问题，在欧式几何中长期未能解决，直到上世纪，把它转化为代数问题后才彻底解决。 （3）开辟研究领域 在区组设计等问题中，要用到所谓“正交拉丁方”，正交拉丁方这一重要的数学分支，来源于胖特烈大帝的“军官问题”。当人们把胖特烈大帝所要求的方阵映射为拉丁方以后，便产生了区组设计这一新的数学分支。2.转化的方向 转化的基本目的是把待解决的问题转化为易于解决的问题，但怎样才能达到这一目的呢那却只能具体问题具体分析，而不可能有万灵的药方，下面介绍在初等数学中常见的几种转化方向。 （1）转化为特殊情况 有的数学问题所要求的结论，在一般情况下不容易推出，但在特殊情况下非常易于处理，并且在很多时候特例对一般情况的解决有奠基或桥梁的作用，因此把一般问题转化为其特例，常有助于问题的解决。 （2）转化为奠基条件这一类问题的特征是，问题甲在问题乙的基础上求解，问题乙又在问题丙的基础上求解，这样逐步转化下去，一直追溯到最原始的基础，然后逆其次序即可得到问题的解。 （3）转化为典型状态 转化为典型状态也是数学中最常见的转化防线，所谓典型问题是指那些具有标准形式和固定解法程序的问题。 （4）转化为渐近过程 在数学研究中，许多问题常常不可能一开始就直接获得解决，往往退而求其次，采取迂回包抄，逐步逼近的办法求解。因此，常把问题转化为渐近状态。 （5）转化为已能解决的问题 这是转化思想中重要也是最有效的思想之一。 我国当代数学家徐利治教授近年来致力于数学思想方法的研究，作出了杰出的贡献他提出的“关系映射反演”方法，是把数学问题向已解决问题转化这一思想的典型范例。“关系映射反演”方法又称为原理，它取关系、映射、反演的第一个字毋合成RMI ，故称RMI原理。3.转化的途径 确定了转化的方向，还有一个如何实现转化的问题，即通过一条什么路线达到转第二章转化思想及其在小学数学中的重要意义化的要求，这当然要具体问题具体分析。 （1）直接转化 特殊化思想特例思想、分布思想、分类思想 一般化思想模型化思想、强化命题思想 变换思想数式变形和变量替换思想、几何变换思想、命题转化思想分析、综合、间接证明 （2）横向转化 映射思想配对思想、划分思想、赋值思想、表示思想、同态思想 数形结合思想 在小学数学中，转化思想是一种常用的数学思想，所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种方法或手段将未知的问题转化为己知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，从而最终使问题获得解决。2.1.3 空间与图形 小学数学“空间与图形”主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。在小学阶段，其主要内容包括图形的认识、测量、图形与变换和图形与位置等，这些内容的教学对学生的发展具有重要的意义，使学生获得必要的知识和技能，是学生进一步学习数学的基础，有利于学生空间观念和形象思维的发展，有助于帮助学生更好地认识和理解人类赖以生存的空间。2.2 理论基础2.2.1 哲学基础客观事物的普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一 客观事物的普遍联系、永恒发展和矛盾的双方在一定条件下相互转化为转化思想提供了哲学基础，而数学知识内部的逻辑联系，包括数学知识的横向、纵向联系，条件与结论之间的必然联系及方法与方法之间的联系等，为数学转化思想提供了可能性。 转化思想着眼于揭示联系实现转化，在转化中达到问题的规范化，因此，转化方法是转化矛盾的方法，属于哲学思维方法的范畴，它的“运动一转化一解决矛盾”的思想方法具有深刻的辩证性质。用转化思想解决问题的过程可图示如下：2.2.2 心理学基础认知同化理论 奥苏贝尔认为，学习就是把新知识和原有知识联系起来，将新知识纳入学习者已有认知结构中去的过程。所谓数学认知结构，就是学生头脑中的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特征，组合成一个具有内部规律的整体结构。可见学习过程是在原有认知结构基础上，扩大原有认知结构的过程。现代学习理论中的认知同化理论认为，数学学习主要是有意义的接受学习，如果原认知结构中的某些适当的观念与新知识具有实质的、非人为的联系，可根据新旧知识的内在联系，使原有的认知结构主动地与新知识发生相互作用，形成新的认知结构，作用的方式主要是“同化”或者“顺应”一般来说，多数的有意义学习是通过“同化”实现的。如果在学习新知识时，能够以转化思想为指导，着眼于新旧欠识的联系，将新知识转化为旧知识，不仅有利于新知识的领悟，而且有利于把新知识纳入原有认知结构，以提高学习效率和学习能力。转化思想作为小学数学最基本的思想之一，它不仅贯穿教材的始终，而且统领着众多思想方法，对促进学生形成完整的知识结构和认知结构有着重要作用。运用转化思想对逐章逐节学得的知识进行消化、提炼、整理，就可得到系统的知识结构，将零星散乱的知识编织成一张有序的、主次分明的知识网络，收到化厚为薄，纲举目张，易懂、易记、易用的效果。2.3转化思想在小学数学“空间与图形”中的重要意义2.3.1 促进小学数学“空间与图形”教学质量的提高 小学阶段是学生学习数学的启蒙阶段，这一阶段让学生真正理解并掌握转化思想显得尤为重要。小学数学教材的知识体系中处处蕴含着灵活思辨的转化思想。比如五年级在各平面图形的面积公式的推导中和立体图形体积公式的推导中，通过对图形进行割补、平移、旋转，转化为已学过的熟悉的图形，运用转化思想有利于将各平面图形血积的学习有机地联系起来，加深学生对几何知识的整体理解。这就为学生学习新知识、角罕决新问题提供了广阔的空间，学生可以在寻求不同解答方法的过程中，体会到数学知识和数学转化思想的和谐统一，在灵活解决各种实际问题的同时，不断提高、，陈琦教育心理学北京高等教育出版社，第二章转化思想及其在小学数学中的重要意义学生的思维能力和数学素养。掌握转化思想，可以提高学生的数学学习兴趣，系统深入地理解“空间与图形”部分的知识，学生学到的不是零零散散的知识，而是系统的、有条理的知识，从而促进“空间与图形”教学质量的提高。2.3.2 有利于全面深入地理解和掌握数学思想方法小学数学教材中渗透着许多数学思想方法，转化思想是一种最常用的思想方法。转化思想统领着众多的数学思想方法，数形结合思想揭示了数与形的相互转化函数思想揭示了函数、方程、不等式间的相互转化分类思想揭示了局部与整体间的相互转化各种变换方法、分析综合法、反证法、构造法都是转化的手段。在“空间与图形”中，转化思想无处不在、无处不有，然而也渗透着其它的数学思想数形结合思想、分类思想、极限思想等，转化思想作为这些思想方法的基础，有利于学生理解和掌握其它数学思想方法，为进一步学习数学思想方法打下良好的基础。2.3.3 有利于发展学生的思维，提高学习迁移的能力一般情况来看，学生对知识的掌握只是停留于学习的表面层次上，一旦掌握了一种数学思想，他们的数学思维及解决问题的能力就可以提升到一个新的层次和水平。有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”转化不仅是一种解题方法，更是一种重要的数学思想，是数学学科的“一般原理”，是将知识转化为能力的“桥梁”，它在数学学习中是至关重要的。美国心理学家布鲁纳指出“理解了基本结构可以使得学科更容易理解”，“从结构中获得的基本概念原理将有助于以后在类似的情境中广泛地迁移应用”。数学思想方法的教学能够增进学生抽象思维，促进形象思维、知觉思维的敏捷性，有利于训练学生思维的深刻性，增强学生数学思维的灵活性，激发学生数学思维的独创性。3 转化思想在小学数学教材“空间与图形”中的运用数学知识与数学思想方法是教材的两条主线，数学知识是一条明线，它被明明白白地写在教材上，而数学思想方法则是一条暗线，反映知识之间的横向联系，常常隐藏在数学知识的背后，需要加以分析、提炼才能显现出来。标准在教材的编写建议上写到教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实现课程目标、教学的重要资源。一些重要的数学概念与数学思想方法的内容应根据学生的心理特征、知识背景和所学知识的特点，采用螺旋上升的方式，逐渐加深学生对数学知识、思想和方法的理解和掌握。转化思想这个重要的数学思想具体运用于小学数学教材“空间与图形”中一至六年级十二册教材中“空间与图形”领域渗透的转化思想的内容进行了梳理与分析。经过梳理发现小学数学教材“空间与图形”中处处体现着转化思想。3.1 转化思想在小学数学教材中的体现 纵观小学数学教材中“空间与图形”部分，蕴含着转化思想的内容比比皆是。转化思想主要集中在平面图形与立体图形的转化、三角形内角和和多边形面积公式的推导和立体图形表面积或侧面积和体积公式的推导。3.1.1 平面图形与立体图形的转化标准把平面图形与立体图形的转化作为图形认识的一个重要内容，有利于初步培养学生的空间观念。第一学段的要求辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。第二学段要求能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。教材中观察物体这一内容就是将立体图形转化为平面图形的集中体现，从二年级到六年级的各册教材中均有涉及，从具体到抽象，采用逐步渗透、深化、螺旋上升的方式依次呈现。二年级上册：桌上放着一个茶壶，四位同学从各自的方向进行观察，说说你看到的是哪副图（如图1）。图1 三年级上册：从正面、侧面、上面看一看。第三章转化思想在小学数学教材“空间与图形”中的运用（如图2）。图2 三年级下册：从正面、侧面、上面看一看（如图3）。图3 四年级上册：用五个同样大的正方体按要求摆一摆，这个立体图形是什么形状（如图4）。图4在六年级的教材中，全面系统地学习长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形，采取先空间后平面，并通过展开与折叠，进行平面图形与立体图形的转化。学习长方时，如下图，将一个长方体纸盒，像下面这样依次沿着画有红线的棱剪开，就可以得到它的展开图，进一步让学生理解将熟悉的立体图形转化成平面图形，培养学生的空间观念（如图5）。图53.1.2 三角形内角和和多边形面积公式的推导 小学数学“空间与图形”中，平面图形的是主要的教学内容之一，平面图形的教学不仅包括各平面图形如正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形的初步认识，而且还探索学习了各平行四边形面积的计算。 在四年级下册中，研究三角形内角和时，把三角形的内角和转化成一个平角来证明三角形的内角和是如下图，初步渗透了转化思想（如图6）。 图6 在五年级上册求面积是多少的学习中，教材给出的是不规则的多边形，需要通过平移的方法，把不规则的多边形转化为已学过的规则的图形如下图多边形面积公式的推导中，将新知识转化成旧知识，建立起新旧知识之间的内在联系。通过剪拼、割补的方法，将新图形转化成已经学过的图形，进行面积公式的推导。三年级下册已经学过了长方形面积的计算，将平行四边形转化成长方形，利用长方形的面积公式推导平行四边形的面积公式将三角形和梯形都转化成平行四边形，利用平行四边形的面积公式推导出三角形和梯形的面积公式（如图7）。图7在五年级下册圆的学习中，学习圆的周长时，将求圆的周长转化成求线的长度如下图，从而将复杂的问题简单化、抽象的问题具体化（如图8）。图8 接着，在圆的面积的学习中，将圆分割成若干个近似的三角形，再拼成一个近似的长方形，将圆的面积转化成长方形的面积，从而推导出圆的面积公式如下图9。这种方法正是利用了刘徽的“割圆术”。图93.1.3 立体图形表面积或侧面积和体积公式的推导 在六年级上册，长方体的表面积如下图将立体图形想象成平面图形进行计算，计算长方体的表面积转化成计算长方体六个面的面积之和（如图10）。 图10 圆柱的侧面积将圆柱形状的罐头沿着接线把商标纸剪开，展开后的形状是长方形如下图，这样就将计算圆柱的侧面积转化为计算长方形的面积（如图11）。 图11 圆柱的体积：圆可以转化成长方形计算面积，圆柱可以转化成长方体计算体积把圆柱的底面积平均分成份，切开后拼成了一个近似的长方体（如图12）。 图123.2 对教材的建议3.2.1 尝试从不同的角度来解决问题，不局限于教材中的一种角度五年级下册的多边形面积计算方法中，教材充分利用割补、拼、摆、平移、旋转等实际操作，引导学生运用转化的思想发现规律，推导公式，把平行四边形形转化成长方形来推导其面积公式，把三角形和梯形转化成平行四边形来推导其面积公式。在学生掌握了各种图形的面积公式的基础上，教材还要尝试拓宽学生的思路，发散学生的思维，引导和帮助学生了解各种图形的特征及其面积计算公式之间的内在联系，可以将四边形的面积以长方形的标准、三角形或梯形的标准来推导其它图形的面积公式。比如将多边形的面积都以梯形面积的标准来推导长方形、平行四边形、三角形的面积公式，将其它各种图形看成梯形的不同条件下的特殊情况，从而把学生所学过的正方形、长方形、平行四边形和三角形的面积计算统一为梯形面积公式，具体推导过程为将梯形的上底由线段缩短成一点（即b=0），其形状变成三角形，面积公式为S=（a+b)h2，即推导出三角形的面积公式为S=ah2二将梯形的上底缩短或延长与下底相等（即a=b），其形状变成平行四边形，面积公式为S=2ah2令，即推导出平行四边形的面积公式为S=ah；将长方形看作平行四边形的4个内角都是直角的特殊情况，其面积公式为S=ab将正方形看作长、宽相等的特殊的长方形，其面积公式为S=aa。这样，通过新旧知识之间的沟通与联系，使学生能够将知识进行有效地转化，从而深化学生的思维深度，培养学生的空间观念，有利于学生学习新知识，提高学生的解决数学问题的能力。3.2.2 教材中适当增加一些渗透转化思想的习题习题是小学数学教材中的重要组成部分，是学生巩固和消化课堂中所学知识并转化成为技能的重要环节，其重要性不可忽视。设计渗透转化思想的习题有利于学生独立地认识和运用转化思想，真正地内化在学生的头脑中。“空间与图形”教材中安排的习题有很多是利用推导出来的结论或公式直接进行计算的，很少是运用转化思想来设计练习题的。如，在学习了三角形的内角和后，安排了根据三角形的内角和来推导正方形的内角和，还应该进一步设计根据三角形的内角和推导五边形或六边形的内角和，逐步深化，在学习了多边形面积之后设计一些求组合图形的面积的习题，将儿个学过的平面图形进行组合，这样使学生掌握学习的方法，领悟转化思想，由复杂向简单转化，有利于学生学习新知识，解决新问题。 4 在小学数学“空间与图形”中运用转化思想的实践探寻4.1 运用转化思想的教学案例 下面结合一个完整的教学案例来说明在具体的课堂教学过程中如何在小学数学教学中渗透转化思想。 案例：圆的面积 圆的面积是小学数学五年级下册的一节教学内容，是集中渗透转化思想的教学内容。标准中要求探索并掌握圆的周长和面积公式。教材中让学生通过探索理解了圆周率的意义，然后让学生动手通过割补的方法把圆平均分成份或份后，拼成近似的长方形，进而探索圆的面积公式。充分运用教材中的素材，使学生在动手操作和观察思考的过程中体会转化思想是这一教学设计的核心思想。一、教学目标1.通过观察、猜想、操作等活动，探索并理解圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式，并能解决一些相关的简单实际问题。2.在探索圆的面积公式的过程中，体会转化的思想方法，培养运用已有知识解决新问题的能力，进一步发展空间观念，培养学生观察、分析和简单的推理能力。3.通过圆的面积公式的探索活动，进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣，增强学好数学的自信心。二、教学重点、难点和关键重点：掌握圆的面积公式并应用公式计算。难点：理解圆的面积公式的推导过程。关健：转化前后各部分间的对应关系。三、教学过程（一）创设情境，导入新课 课件展示草地上长满了青草，一只羊被拴在草地的木桩上，请问它能吃光全部青草吗？最多能吃到哪个范围内的青草请大家说出这只羊活动范围是什么生？圆的面积师这节课就要求我们学习圆的面积是怎样求出来的。生：学习圆的面积公式。师：你们知道圆的面积公式后，还想到什么问题生：圆的面积公式是根据什么推导出来的。师：对刚才同学说的跟老师想的一样。这节课我们一起来解决这个问题。（二）复习旧知，促进知识迁移我们一起回忆一下推导平行四边形面积计算公式的过程。师：我们是把平行四边形转化成什么图形来计算的生1：我们采用的是割补法，转化成长方形来计算的。生2：把平行四边形沿着一个顶点所作的高，把它剪下来，移到另一边，这样就成了一个长方形，长方形的的长是平行四边形的底，长方形的宽是平行四边形的高。根据学生说的过程，教师用多媒体演示出转化的过程。师：把平行四边形转化成长方形来求面积，这种数学思想就是转化思想。（三）动手操作，合作探究教学例7师：图中正方形的边长与圆的半径有什么关系正方形的面积与圆的半径有什么关系。活动一：在圆中画一组互相垂直的半径，并以这组半径做边长画一个正方形如右图，正方形的边长就是圆的表示，正方形的面积可以用字母表示。下面的三幅图中每一格为平方厘米，你能算一算、数一数，完成下面表格的填写吗（数圆面积时，非常接近满格的可以看作满格，其余不是满格的都可以算作半格。） 师：通过活动一，你能发现圆的面积和它的半径之间有什么关系吗生1：圆的面积是它的半径平方的3倍多一些。生2：圆的面积大约等于半径平方3。2.教学例8师：经过刚才的学习，我们已经知道圆的面积大约是它半径平方的倍多一些。那么圆的面积究竟怎样来计算呢活动二：猜想一下，求圆面积时，我们可以把圆转化成我们学过的什么图形来求面积呢？请写一写。动手操作，把圆转化成我们学过的图形。在拼时要注意图形的密铺，相同的颜色注意位置对应两人合作学习要求把书后的第一个圆剪下，左边的同学把整圆直接粘贴在白纸上，右边的同学把圆平均分成份后，尝试拼成已学过的图形，粘贴在整圆的右边；把书后的第二个圆剪下，右边的同学把整圆直接粘贴在白纸上，左边的同学把圆平均分成份后，参照上幅图的方法拼好，粘贴在整圆的右边。多媒体演示把一个圆平均分成等份，拼成一个近似平行四边形把一个圆平均分成等份，拼成一个近似长方形。仔细观察并填空图形经剪拼后，转化成的图形像。剪拼后的第一个图形与第二个图形相比没变，第二个图形更接近于原来的圆和拼成的长方形之间变了，没变。长方形的长相当于圆的，长方形的宽相当于圆的。长方形的面积长宽圆的面积教学例多媒体呈现例9师：自动旋转器旋转一周后喷灌的区域是什么图形？生：圆的面积。师：要求圆的面积需要知道什么条件生半径。师：最远喷水距离表示什么半径是多少呢生：最远喷水距离是半径，半径大约是米。师：请同学们独立列式解答，然后同桌之间互相检查结果是否正确。（四）联系与扩展1.一个正方形的面积是叨平方厘米，在正方形内画一个最大的圆，求圆的面积。2.把一个圆拼成一个近似的长方形，长方形的周长是厘米，求此圆的面积。师：这个小题有什么相似之处生1:没有直接给出圆的半径，第一个给出的是正方形的面积，第二个给出的是圆的周长，都不能直接求出圆的面积。生2：可以根据正方形的面积和圆的周长求出圆的半径，这样就可以求出圆的面积了。师：请你们独立完成计算。五、全课总结师：这节课你有什么收获生：我学会了计算圆的面积的公式。生：我知道了圆的面积公式的推导过程。生：我知道了转化思想。师：同学们不仅学到了计算圆的面积公式，而且学到了比公式更重要的东西一一转化思想，这种在旧知识的基础上学习新知识，建立起新旧知识之间的内在联系，由新知转化为旧知的方法就是转化思想，转化思想是小学数学学习中最常用的一种思想。在解决问题时，如果能恰当处理好问题的转化，往往可以化难为易，化繁为简。案例分析： 由于学生已经学习接触了面积概念和意义，学习了平行四边形、三角形、梯形的面积计算，积累了面积计算的经验。课的开始，创设了一个羊吃草的问题情境，引出了圆的面积，从而引起学生已有的生活经验，激发了学生学习圆的面积公式的兴趣。接着，回忆运用转化思想来推导平行四边形面积公式的过程，让学生加深对转化思想的理解，有利于知识的迁移，学会化曲为直，为圆的面积公式的推导奠定了坚实的基石出。 通过两个活动，采取两人合作的形式探索圆的面积公式，第一个活动让学生通过数方格的方法开始学习圆面积的计算，有利于激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识经验，得出“圆的面积大约是正方形面积的几倍”的结论与下一道例题中推导出来的公式相互印证，能使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性，加深对有关图形转化思想的体会。第二个活动让学生利用有关平面图形面积公式推导过程的经验，猜想把圆转化成已学过的什么图形，启发学