（基础数学专业论文）弱hopf代数与量子群.pdf

摘要 h o p f 代数概念是上世纪4 0 年代初，由代数拓扑学家在h h o p f 1 9 4 1 年研究流形时所做的工作基础上抽象发展起来的自从j m i l n o r 和j m o o r e 撰写的题为“o nt h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s ”的文章 于1 9 6 5 年发表后，h o p f 代数开始作为代数的一个分支逐渐被人们重 视和研究特别是从上世纪8 0 年代中期至9 0 年代初，由于量子群( 数 学物理中产生的h o p f 代数) 的兴起和h o p f 代数作用理论的发展( 它 统一了以前独立研究的群作用，李代数作用以及分次代数的作用理论) ， h o p f 代数的研究又注入了新的活力，并取得了重大进展后来出现了 许多h o p f 代数的其它形式，如v g d r i n f e l d 引进的拟h o p f 代数， g b o h m 等人引进的弱h o p f 代数以及v g 。t u r a e v 引进的h o p f 群余代数等本博士论文从以下三个方面对h o p f 代数与量子群理论做 进一步的研究 第一部分讨论了弱h o p f 代数上的弱对极是正合的各种条件，研 究了弱h o p f 代数在代数上的作用理论主要讨论了冲积的可分性；证 明了l r 冲积上的m a s e h k e 定理以及研究了作为对角交叉积的特例 一d r i n f e l dd o u b l e 上的性质 第二部分研究了代数与余代数之间的缠扭结构以及与其密切相关 的代数分解理论主要证明了缠扭模上的基本定理；给出了两个双代数 的尼一扭积是双代数的一个充要条件 第三部分研究了两个具体量子代数的性质构造了一个新量子代数 ( o s p ( 1 ，2 ，) ) 并研究了其中心结构；证明了量子代数( o s p ( 1 ，2 ) ) 的同构定理讨论了量子代数碥( ，( k 日) ) 上的伴随作用并给出了其 局部有限子代数的结构定理 关键词：弱h o p f 代数，量子群，冲积，可分扩张，缠扭结构，局部有限 子代数 ab s t r a c t t h en o t i o no fah o p fa l g e b r aw a sd e v e l o p e db ya l g e b r a i ct o p o l o g i s t sa b s t r a c t i n g t h ew o r ko fh h o p fo nm a n i f 0 1 d si n1 9 4 1 s t a r t i n gw i t hi s s u eo ft h ea r t i c l e “o n t h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s ，w r i t t e nb yj m i l n o ra n dj m o o r ei n1 9 6 5 ，h o p f a l g e b r a sb e c a m e as u b j e c to fs t u d y 丘o mas t r i c t l ya l g e b r a i cp o i n to fv i e w b yt h e e n do ft h e1 9 9 0 s ，r e s e a r c hi nt h i sf i e l dw a s 西y e nas t r o n gb o o s tb yt h ea p p e a r a n c e o fq u a n t u mg r o u p sa n dt h ed e v e l o p m e n to ft h ea c t i o nt h e o r yo fh o p fa l g e b r a s w h i c hu n i f i e se a r l i e rr e s u l t sk n o w nf o rg r o u pa c t i o n s ，a c t i o n so fl i ea l g e b r ，a n d g r a d e dr i n g s s i n c et h e1 9 9 0 s ，t h e r ea p p e a rm a n yh o p fa l g e b r a i cc o n s t r u c t i o n s ， s u c h w e a kh o p fa l g e b r a ，q u a s i - h o p fa l g e b r a ，h o p fr - _ c o a l g e b r aa n ds oo n t h e a i mo f t h i sp h d d i s s e r t a t i o ni st os t u d yt h ep r o p e r t i e so fw e a kh o p fa l g e b r aa n d q u a n t u mg r o u p sf r o mt h ef o l l o w i n ga s p e c t s i np a r t0 n ew ed i s c u s st h ec o n d i t i o n sf o rt h ew e a ka n t i p o d et ob ea ni n v o - l u t i o na n ds t u d yt h ea c t i o n so fw e a kh o p fa l g e b r a s w jg i v eac r i t e r i o nf o rt h e s m a s hp r o d u c ta 社ht ob es e p a r a b l eo v e ra ，p r o v et h em a s c h k et y p et h e o r e m f o rt h el - rs m a s hp r o d u c t sa n di n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ft h ed r i n f e l dd o u b l e ， w h i c hi 8as p e d a lc a s eo ft h ed i a g o n a lc r o s s e dp r o d u c t s i np a r tt w ow es t u d yt h et h e o r yo fe n t w i n i n gs t r u c t u r e sa n dt h a to ff a c t o r i z a t i o ns t r u c t u r e s w p r o v et h ef 、1 n d a m e n t a l 耽e o r e mo ft h ee n t w i n e dm o d u l e s a n dg i v ean e c e s s a r ya n ds u f l i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h er - t w i s t e dp r o d u c to ft w o b i a l g e b r a st ob eab i a l g e b r a i np a r tt h r e ew es t u d yt h ep r o p e r t i e so fq u a n t n m - a l 蛔( o s v ( 2 毒) ) a n d ( ，( ，日) ) w jf i r s t c o n s t r u c tan e wq u a n t u ma l g e b r a 碥( o s v ( 1 ，2 ，埘 a n dd i s c u s si t sc e n t e rs t r u c t u r e ，m o r e o v e r ，w ep r o v et h ei s o m o r p h i s mt h e o - r e mo f ( o s p ( 1 ，2 ) ) t h e nw es t u d yt h ea d j o i n ta c t i o no ft h eq u a n t u ma l g e b r a 碥( ，( 耳，h ) ) a n dd i s c u s st h es t r u c t u r eo fi t sl o c a l l yf i n i t es u b a l g e b r a k e yw o r d s ：w e a kh o p fa l g e b r a ，q u a n t u mg r o u p ，s m a s hp r o d u c t ，s e p a r a b i l i t y e x t e n s i o n ，e n t w i n i n gs t r u c t u r e ，l o c a l l yf i n i t es u b a l g e b r a 2 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 日期t ，一年月厂日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解 密后适用本规定 i 、“ 学位论文作者签名：j ( 爱维 日期，加。f 年彳月日 i n t r o d u c t i o n b a c k g r o u n d a s , k n o w n h o p fa l g e b r as t r u c t u r ew a sf i r s to b s e r v e di na l g e b r a i ct o p o l o g yb yh h o d fi n1 9 4 1 t h i sw a st h eh o m o l o g yo fac o n n e c t e dl i eg r o u p ，w h i c hi se v e n ag r a d e d h o p fa l g e b r a s t a r t i n gw i t ht h el a t e1 9 6 0 s h o p fa l g e b r a sb e c a m ea s u b j e c to fs t u d yf r o mas t r i c t l ya l g e b r a i cp o i n to fv i e w ，a n db yt h ee n do ft h e 1 9 8 0 s ，r e s e a r c hi nt h i sf i e l dw a sg i v e nas t r o n gb o o s tb yt h ec o n n e c t i o n sw i t h q u a n t u mg r o u p s h a w e v e rt h e r eh a v eb e e nan u m b e ro fs i g n i f i c a n td e v e l o p m e n t s w i t h i nh o p fa l g e b r a st h e m s e l v e 8 s e v e r a lo l dc o n j e c t u r e so fk a p l a n s k yh a v eb e e n s o l v e da n dal o to fw o r ko nt h ea c t i o n so fh o p fa l g e b r a s ，w h i c hu n i f i e de a r l i e r r e s u l t sk n o w nf o rg r o u pa c t i o n s ，a c t i o n so fl i ea l g e b r a s ，a n dg r a d e da l g e b r a s ，w a s d o n e s i n c et h e1 9 9 0 s , t h e r ea p p e a rm a n yh o p fa l g e b r a i cc o n s t r u c t i o n s ，s u c ha s w e a kh o p fa l g e b r a ，q u a s i - h o p fa l g e b r af 3 2 ，5 8 i ，r a t i o n a lh o p fa l g e b r a s 【8 6 】，h o p f 7 r - - c o a l g e b r af 8 5 ，8 8 ，8 9 】a n ds oo n w e a kh o p fa l g e b r a sh a v eb e e np r o p o s e db yg b o h m ，k s z l a c h a n y ia n df n i t l 7 ，7 2 ，8 3 】a sag e n e r a l i z a t i o no fo r d i n a r yh o p fa l g e b r a sa n dg r o u p o i da l g e b r a s t h em a a nm o t i v a t i o nf o rs t u d y i n gw e a kh o p fa l g e b r a sc o m e sf r o mq u a n t u m f i e l dt h e o r ya n do p e r a t o ra l g e b r a s ，i np a r t i c u l a r ，c o m e sf r o mt h e i rc o n n e c t i o n w i t hd e p t h2i n c l u s i o no fv o d n 叫m 叽s u b f a c t o r s ，f i r s tm e n t i o n e di n ( 7 6 1 i n o c n e a n u sa p p r o a c ho fr e c o v e r i n g q u a n t u ms y m m e t r i e s ”f r o m ( d e p t h2 ) j o n e s i n c l u s i o n s 【7 3 ，7 5 ，7 6 lo n ea l w a y se x p e c t sac o n c e p to fs y m m e t r ya l g e b r a sh ， s u c ht h a tt h ed u a lh i so ft h es a m et y p ef d u et ot h et w o - s t e pp e r i o d i c i t yi na n y j o n e st o w e r ) f n i u 7 1 lp r o p o s e dan e wa x i o m a t i ca p p r o a c ht ow e a k ( h o p f ) b i a l g e b r a s ( 日，卢，) w h i c hs t r i c t l ym e e t st h i sd u a l i t yp r i n c i p l e b r i e f l y , a w e a kh o p fa l g e b r ai sav e c t o rs p a c ew i t hs t r u c t u r e so fa na l g e b r aa n dac o a l g e b r a r e l a t e dt oe a c ho t h e ri nac e r t a i ns e l f - d u a lw a y lw h i c he n s u r e st h a tw h e nt h ew e a k h o p fa l g e b r ai sf i n i t ed i m e n s i o n a l ，i t sd u a lv e c t o rs p a c eh a san a t u r a ls t r u c t u r e o fbw e a kh o p fa l g e b r a l a t e r ，g b o h m ，k s z l a c h a n y ia n df n i l l 【6 ，7 2 】p r e s e n t e df u r t h e rt o m - 1 2首都师范大学博士毕业论文 m o nr e s u l t so nt h et h e o r yo fi n t e g r a l sa n dc - s t r u c t u r e so nf i n i t ed i m e n s i o n a l w e a kh o p fa l g e b r a s m o r e o v e r ，i n t 4 t h e yd e v e l o p e dat h e o r yo f ( c o ) a c t i o n s a n dc r o s s e dp r o d u c t sb yw e a kh o p fa l g e b r a sa n dg e n e r a l i z e do c n e a n u si d e a s b ys h o w i n gt h a ta n yr e d u c i b l ef i n i t ei n d e xa n dd e p t h2j o n e se x t e n s i o no fy o n n e u m a n na l g e b r a sw i t hf i n i t ed i m e n s i o n a lc e n t e r si sg i v e nb yac r o s s e dp r o d u c t w i t haw e a kh o p fa l g e b r ah m o r e o v e r ，d n i k s h y c ha n dl v a l n e r m a n 【6 8 ，6 9 s h o w e dt h a tw e a kh c i p fa l g e b r a sa r i s ea sn o n - c o m m u t a t i v es y m m e t r i e so fj o n e s t o w e r so fc e r t a i nf i n i t ei n d e xi n c l u s i o n so ft o p o l o g i c a la l g e b r a so v e rt h ec o m p l e x n u m b e r s i nt h i sr e s p e c t ，w e a kh o p fa l g e b r a sp l a yt h es a m er o l ea so c n e a n u s p a r a g r o u p 7 6 】 a si nt h ec a s eo fh o p fa l g e b r a s ，t h ei m p o r t a n c eo ft h et h e o r yo fw e a kh o p f a l g e b r a sl i e si nt h ef a c tt h a tt h er e p r e s e n t a t i o nc a t e g o r yi t ( 日) o faw e a kh o p f a l g e b r ah ，w h i c hd e f i n e da n ds t u d i e di n 【8 】f o rw e a kh o p fc 。a l g e b r a sa n di n 【6 6 f o rg e n e r a lw e a kh o p fa l g e b r a s ，i sam o n o i d a lc a t e g o r yw i t hd u a l i t ya n dt h e r e s u l to b t a i n e db yv o s t r i k t h a te v e r ys e m i s i m p l er i g i dm o n o i d a lc a t e g o r y w i t hf i n i t e l ym a n y ( c l a s s e so f ) s i m p l eo b j e c t si se q u i v a l e n tt or e s ( h ) f o rs o m e s e m i s i m p l ew e a kh o p fa l g e b r ah i n 【6 5 ，d n i k s h y c hd e v e l o p e dt h et h e o r yo f s e m i s i m p l ew e a kh o p fa l g e b r a sa n do b t a i n e da n a l o g u e so fan u m b e ro fc l a s s i c a l r e s u l t sf o ro r d i n a r ys e m i s i m p i eh o p fa l g e b r a s n o w a d a y , w i a kh o p fa l g e b r a s n a t u r a l l ya p p e a ri nd i f f e r e n ta r e a so fm a t h e m a t i c s ，i n c l u d i n ga l g e b r a ，h m c t i o n a l a n a l y s i s ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y a c t i o n sa n dc o a c t i o n so na l g e b r a sa r ea ni m p o r t a n tp a r to ft h et h e o r yo f ( w e a k ) h o p fa l g e b r a s i nc o n t r a s tt oo t h e rh o p fa l g e b r a i cc o n s t r u c t i o n ss u c ha s t h eq u a s i h o p fa l g e b r a sa n dw e a kq u a s i - h o p fa l g e b r a s w e a kh o p fa l g e b r a sa r e c o a s s o c i a t i v e t h i sa l l o w so n et od e f t n ea c t i o n s ，c o a c t i o n sa n ds m a s hp r o d u c t s a se a s i l ya si nt h eh o p fa l g e b r a s n o w a d a y s t h e yh a v eb e e ng e n e r a l i z e dt ow e a k h o p fa l g e b r a s ：m o d u l ea l g e b r a sh a v eb e e ns t u d i e db yd n i k s h y c h 6 3 ，w h i l e c o m o d u l ea l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e db yg b o h m 5 i no r d e rt os t u d yt h en o n - c o m m u t a t i v es y m m e t r i e so fj o n e st o w e r so fc e r t a i nf i n i t ei n d e xy o nn e u m a n n s u b f a c t o r ，d n i k s h y c hs t u d i e dt h en o t i o no fs m a s hp r o d u c t so v e rw e a kh o p fa l - g e b r a s 4 5 1 ，w h i c hi sag e n e r a h z a t i o no ft h a to v e rh o p fa l g e b r a ，a n ds h o w e dt h a t t h e r ei sac a n o n i c a li s o m o r p h i s mo fa l g e b r a s ( a 社日) 带日+ 兰e n d a ( a # h ) ，w h i c h e x t e n d st h ew e l lk n o w nd u a l i t yt h e o r e mf o ru s u a lh o p fa l g e b r a s | 3 1 3 t h en o t i o n o fad i a g o n a lc r o s s e dp r o d u c to v e rq u a s i - h o p fa l g e b r a sw a sf i r s ti n t r o d u c e db y s m a j i d 5 8 ii n1 9 9 0i nt h ef o r mo fa ni m p l i c i tt a n n a k a - k r e i nr e c o n s t r u c t i o n p r o c e d u r ea n ds t u d i e db yf h a u s s e ra n df n i l l 【3 6 ，a n dr e c e n t l yb yd b u l a c u a n df v a no y s t a e y e n 1 8 1 t h en o t i o no fa nl rs m a s hp r o d u c to v e rc o m m u t a - t i v eh o p fa l g e b r a sw a si n t r o d u c e da n ds t u d i e db ypb i e l i a v s k ya n dp b o n n e a u i nt h e i rs e r i e so fp a p e r s 【9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，w i t hm o t i v a t i o na n de x a m p l e sc o m i n g i n t r o d u c t i o n 3 f r o mt h et h e o r yo fr e f o r m a t i o nq u a u t i z a t i o n r e c e n t l y , f p a n a i t ea n df v a n o y s t a e y e n 7 8 g e n e r a l i z e dt h en o t i o nt ot h a to v e ra n yh o p fa l g e b r a s i nt h i st h e s i sw es h a l lc o n t i n u et os t u d yt h ep r o p e r t i e so fa c t i o n so fw e a k h o p fa l g e b r a so na l g e b r a ss u 出a 8t h ef i n i t e n e s sc o n d i t i o n so fm o d u l e8 l g e b r a n dt h es e p a r a b i l i t yo fs m a s hp r o d u c t s t h e nw es h a l lg e n e r a l i z et h ed e f i n i t i o n s o fd i a g o n a lc r o s s e dp r o d u c t sa n dl _ rs m a s hp r o d u c t st ot h ec a s ew h e nhi sa w e a kh o p fa l g e b r aa n ds t u d yt h e i rp r o p e r t i e s f u r t h e r m o r e ，w ei n d i c a t et h a ta s as p e c i a lc a s eo fd i a g o n a lc r o s s e dp r o d u c t s ，t h ed r i n f e l dd o u b l ei saw e a kh o p f a l 衲r aa n dp r o v et h em a s c h k e - t y p et h e o r e mf o r 卜rs m a s hp r o d u c t s 灿k n o w n i ns e a r c hf o ras u i t a b l eq u a n t u mg r o u pb u n d l et h e o r yo nq u a n - t u mh o m o g e n e o u ss p a c e s ( f o re x a m p l et h ef a m i l yo fp o d l e sq u a n t u ma p h e r e s ) t b r z e z i n s k if 1 6 li n t r o d u c o dt h en o t i o no fc o a l g e b r ap r i n c i p a lb u n d l e 8 ( k n o w na s c o a l g e b r a - g a l o i se x t e n s i o n s ) ，w h i c hi sag e n e r a l l z a t i o no ft h a to ft h eq u a n t u m g r o u pp r i n c i p a lb u n d l e s ( k n o w na sh o p f - g a l o i se x t e n s i o n s ) t h i sh a sb e e nd o n e b yr e q u i r i n gt h e r ei sa ne n t w i n i n gs t m c t u _ r eb e t w e e na na l g e b r aa n d ac o a l g e b r a ， w h i c hi sc a l l e due n t w i n i n gs t r u c t u r e a l s o8 9t h en o t i o no faq u a n t u mf i b r e b u n d l ec a nb er e g a r d e da sam o d u l ea s s o c i a t e dt ot h eh o p f - g a l o i s 毗锄i o i k s u c h t h a to fac o a l g e b r af i b r eb u n d l ec a nb er e g a r d e da sam o d u l ea s s o c i a t e d t ot h ec o a l g e b r a - g a l o i se x t e n s i o n 【l s t h u st h en o t i o no ft h ee n t w i n e dm o d u l e s a n dt h ec a t e g o r yo fe n t w i n e dm o d u l e sw e r ea h oi n t r o d u c e da n dc o n s i d e r e d a l t h o u g hm o t i v a t e db yt h eg e o m e t r yo fn o n c o m m u t a t i v ep r i n c i p i eb u n d l e s ， e n t w i n i n gs t r u c t u r e sh a v er e v e a l e dad e e pm e a n i n gl e a d i n gf a rb e y o n dt h e i ri n i t i a l , m o t i v a t i o n 。a ne n t w i n i n gs t r u c t u r ec a nb eu n d e r s t o o da sag e n e r a l i z a t i o no f8 b i a l g e b r a ，i nw h i c ht h ec o a l g e b r as t r u c t u r ei ss e p a r a t e df r o mt h ea l g e b r as t r u c - t u r e ( s e ee x a m p l e4 1 4 ) i nm a n ya p p l i c a t i o n s ，i np a r t i c u l a ri nm a t h e m a t i c a l p h y s i c sa n dn o n c o m m u n i c a t i v eg e o m e t r y , i tc a nb ev i e w e da sas y m m e t r yo fa n o n c o m m u n i c a t i v em a n i f o l d 。n o mt h eh o p fa l g e b r ap o i n to fv i e w t h ei n t r o d u c e o ft h en o t i o no fa ne n t w i n i n gs t r u c t u r el e a d st ot h el l n i 丑e a t i o no fv a t i o u si m p o r - r a n tc a t e g o r i e so fh o p f - t y p em o d u l e ss t u d i e df o ro v e r3 0y e a r s ，s u c ha st h a to f d o i - h o p fm o d u l e sa n dt h a to fy e t t e r - d r h l f e l dm o d u l e s m o t i v a t e db yt h ef a c tt h a tw e a kh o p fa l g e b r a sa r ei m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n o fh o p fa l g e b r a s ，s c a e n e p e e la n de d eg r o o t 【1 9 w e a k e n e dt h ec o n d i t i o n s o fe n t w i n i n gs t r u c t u r e sa n di n t r o d u c e dt h en o t i o n so fw e a ke n t w i n i n gs t r u c t u r e s a n dw e a ke n t w i n e dm o d u l e s i nt h i st h e s i sw ew i l lg i v en l l i n e r o u se x a m p l e so ft h ee n t w i n i n gs t r u e t u r e sa n d p r o v et h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo fe n t w i n e dm o d u l e sa n dt h a to fw e a ke n t w i n e d m o d u l e s ，w h i c hg e n e r a l i z e dt h a to fm a n yk i n d so f ( w e a k ) h o p h 卵em o d u l e s g i v e ni n 【6 3 0 【s 2 a n d 9 5 4 首都师范大学博士毕业论文 m o r e o v e r ，w ew i l lc o n s i d e rt h et h e o r yo ft h ef a c t o r i z a t i o ns t r u c t u r eo fa l g e - b r a s w h i c hh a sac l o s ec o n n e c t i o nw i t ht h et h e o r yo fe n t w i n i n gs t r u c t u r e s ，a n d i n t r o d u c et h en o t i o no fa - a l g e b r a s w h i c hc a nb er e g a r d e d 够t h ed u a lo ft h a to f a _ c o r i n g s 1 4 o u rm a i na i mi nc h a p t e r5i st og i v ean e c e s s a r ya n ds u f l i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h er - t w i s t e dp r o d u c to fb i a l g e b r a st ob eab i a l g e b r a ，w h i c he x - t e n d sc o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 4 ，4 7 ，4 8 ，5 2 ，5 5 ，9 l ，9 4 t h et e r m “q u a n t u mg r o u p s w a sp o p u l a r i z e db yd r i n f e l di nh i sa d d r e s st o t h ei n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n si nb e r k e l e y ( 1 9 8 6 ) i ts t a n d sf o r c e r t a i ns p e c i a lh o p fa l g e b r a sw h i c ha r en o n t r i v i a ld e f o r m a t i o n so ft h ee n v e l o p i n g h o p fa l g e b r a so fs e m i s i m p l el i ea l g e b r a s ( t e r m e da sq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e - 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