（基础数学专业论文）可完备化幂零李代数.pdf

摘要 本文的目的是发现新的可完备化幂零李代数并研究它们的结构 可完备幂化零李代数的概念源自对完备李代数的讨论在第一章中，我们主要讨 论d e r l = a d l 的一些等价条件，回顾了可完备化幂零李代数的一些基本结果，并引 入了关联集、关联序列的概念 在第二章中，我们主要讨论了一类具有一个( 1 ，1 ，1 ) 型关联序列的二步幂零李 代数( 称之为拟h e i s e n b e r g 代数) 我们证明了这类幂零李代数都是可完备化幂零李代 数，且h e i s e n b e r g 分解是唯一的我们还刻翊了导子代数d e r n 并发现d e r n 是一个 完备李代数最后得到了同构定理 在第三章中，我们主要讨论了一类具有一个( p ，1 ，1 ) ( p 1 ) 型关联序列的二步 幂零李代数我们证明了这类幂零李代数都是可完备幂化零李代数。且p 是一个不变 量最后得到了同构定理 在第四章中，我们主要讨论了一类具有如下分解的二步幂零李代聋蟛n = n 。+ 2 + g ，这里m 是p t 极大的，g = 0 或g 是一个拟h e i s e n b e r g 代数。且f 1 ，2 1 = 肌，g 】= 0 我们发现当有一个( p l ，p 2 ，1 ，1 ) - 日- i n s g 的时候， p l ，p 2 ) 是一个不 变量我们证明了当乜羽吼ng = 0 或( l + 2 ) ng 1u 2 时，v 是一个可 完备化幂化零李代数f 7 最后得到了同构定理 在最后一章中，我们主要讨论了一类称为拟l 3 - 趾f o r m 李代数的三步幂零李代数 我们证明了这类幂零李代数都是可完备幂化零李代数。且当d i m n 3 = 1 时。d e r n 是 一个可解完备李代数最后得到了同构定理 篱孚， a b s t l 、a ( ，t t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st ol o o kf o rc o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i ea l g e b r a sa n di n v e s t i g a t et h e i rs t r u c t u r e t h ec o n c e p to fc o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i ea l g e b r a si sd e r i v ef r o mt h es t u d yo f c o m p l e t el i ea l g e b r a s i nc h a p t e r1w em a i n l y 出s c u s sae q u i v a l e n tc o n d i t i o no fd e r l = a d l ，r e c a l ls o m eb a s i cr e s u l t so fc o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i ea l g e b r a s ，a n di n t r o d u c et h e f o u o w i n gc o n c e p t s ：r e l a t e ds e t ，r e l a t e ds e q u e n c e i nc h a p t e r2w ec o n s i d e rt h ec l a s so f2 - s t e pn i l p o t e n tl i ea l g e b r a sw h i c hh a v ea r e l a t e ds e q u e n c e ：( 1 ，1 ，1 ) ，c a l l e dq u a s ih e i s e n b e r ga l g e b r a w ep r o v et h a te v e r yl i e a l g e b r ao f t h i sc l a s si sc o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i ea l g e b r aa n dh e i s e n b e r gd e c o m p o s i t i o n i su n i q u e w ea l s og i v et h ed e r i v a t i o na l g e b r ad e r na n df i n dt h a td e r ni sac o m p l e t e l i ea l g e b r a s a tl a s ti s o m o r p h i s mt h e o r e mi so b t a l n e d i nc h a p t e r3w ed e a lw i t ht h ec l a s so f2 s t e pn i i p o t e n tl i ea l g e b r a sw h i c hh a v ea r e l a t e ds e q u e n c e ：( p ，1 ，1 ) ( p 1 ) w ep r o v et h a te v e r yl i ea l g e b r ao ft h i sc l a s si s c o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i ea l g e b r aa n dpi s a ni n v a r i a n t f i n a l l yi s o m o r p h i s mt h e o r e m i so b t a i n e d c h a p t e r4 i sd e v o t e dt ot h ec l a s so f2 - s t e pn i l p o t e n tl i ea l g e b r a sw h i c hh a v ea d e c o m p o s i t i o n ：n = l + 2 + g ，w h e r en ti sp i - m a x i m a l ，g = 0o rg i saq u a s i h e i s e n b e r ga l g e b r a a a l d n l ，2 = 【m ，g = 0 i t i ss h o w n t h a t p i ，p 2 i sa n i n v a r i a n t w h e nnh a sa ( p l ，p 2 ，l ，1 ) 一h - m s g w ep r o v et h a tni s c o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i e a l g e b r aw h e n 1n 2ng = 0o r ( l + 2 ) ng lu 2 f i n a l l yw ei n v e s t i g a t e t h e i ri s o m o r p h i s mt h e o r e m t h ef i n a lc h a p t e ri sd e v o t e dt oac l a s so f3 - s t e pi n l p o t e n tl i ea l g e b r a sc a l l e dq u a s i 工3 - 趾t f o r ml i ea l g e b r a s i ti ss h o w nt h a te v e r yl i ea l g e b r ano ft h i sc l a s si sc o m p l e t a b l e n i l p o t e n tl i ea l g e b r aa n dd e r n i sas o l v a b l ec o m p l e t el i ea l g e b r aw h e nd i m n 3 = 1 f i n a l l yi s o m o r p h i s mt h e o r e m i so b t a i n e d 2 t h ec l a s s i f i c a t i o nu pt oi s o m o r p h i s mo ft h el i ea l g e b r a si sf u n d a m e n t a la n dav e r y d i f f i c n i tp r o b l e m i ti s p r o b a b l yo n eo ft h ef i r s tp r o b l e m st h a t w ee n c o u n t e rw h e n u n d e r s t a n d i n gt h e s t r u c t u r eo fas e to fl i ea l g e b r a s a c c o r d i n g t ol e v it h e o r e m ，af i n i t e d i m e n s i o n s ll i ea l g e b r ac a nb ew r i t e na st h ed i r e c ts u l no fas e n f i s i m p l es u b m g e b r a a n di t su n j q u em a x i m a ls o l v a b l ei d e a l t h ec l a s s i f i c a t i o no ft h es e m i s i m p l ec o m p l e xl i e a l g e b r a si s l l a sb e e nk n o w ne v e rs i n c et h ew o r k so fc a r t a na n dk i l l i n g a r o u n d1 9 4 5 ， m a l c e v 2 6 1r e d u c e dt h ec l a s s i f i c a t i o no fs o l v a b l el i ea l g e b r a st os e v e r s li n v a r i a n t sp l u s t h ec l a s s i f i c a t i o no fn i l p o t e n tl i ea l g e b r a s t h i ss h o w st h a tt h es t u d yo fn i l p o t e n tl i e a l g e b r a si sv e r yi m p o r t a n t t h ee t s tf o n d a m e n t 柚r e s u l t si nt h es t u d yo f n i l p o t e n tl i ea l g e b r a sd i eo b v i o u s l y 。 d u et ou m l a u f i i lh i s t h e s i s 4 8 】( l e i p z i g ，1 8 9 1 ) ，h ep r e s e n t e dt h e f i r s tn o nt r v i a l c l a s s 讯c a t i o n s s i n c et h e n s e v e r a la t t e m p t sh a v eb e e nm a d e t od e v e l o ps o m e m a c h i n e r y w h e r e b yt h ee a l s s i f i e a t i o np r o b l e mc a nb er e f o r m u l a t e d m o r o z eo b s e r v e dt h a tt h e r ei sal o w e rb o u n df o rt h ed i m e n s i o no fam a x i m a l a b e h a ni d e s l o fan i l p o t e n tl i ea l g e b r at h i ss u g g e s t sa ni n d u c t i v em e t h o df o r s t u d y i n ga l g e b r a s m o r o z o v sm e t h o d i st oc o n s i d e r 三a san o n c e n t r a le x t e n s i o no f 三， b yu s i n gt h i sa p p r o a c h ，m o r o z o vg a v eac l a s s i f i c a t i o no fs i x - d i m e n s i o n a ln i l p o t e n tl i e a l g e b r a s i n l 9 5 8 f 3 4 1 ，s a f i u l l i n ac o m p i l e da l i s to fs e v e l l d i m e n s i o n a la l g e b r a s i n h i s l 9 6 4 t h e s i sf 4 0 j g a u g e rs t u d i e dm e t a b e h a nl i ea l g e b r aa sp a r to fh i sd o c t o r a ld j s s e r t a t i o ni n1 9 7 3 8 1 h es e tu ps o m em a c h i n e r yw h e r e b yh es t u d i e do r b i t si ne x t e r i o ra l g e b r a so fv e c t o r s p a c e s h ew a sa b e lt oc a l s s i f ym e t a b e l i a na l g e b r a si nd i m e n s i n o n7a n dt og e tp a r t i a l i n f o r m a t i o ni nd i m e n s i o n8a n d9 u m l a u fa l s oc l a s s i f i e das m a l ls u b s e to ft h ea l e e b t a b i nd i m e n s i o n7 ，8a n d9f 4 8 1 h ef o u n dt h a ti nt h e s ed j m e n s i o n si n f i n i t ef a m i l i e so f n o n i s o m o r p h i s mn i l p o t e n ta l g e b r a so c c u r s k i e l b r e da n ds u n dh a v er e d u c e dt h ec l a s s i f i c a t i o no fn i l p o t e n tl i ea l g e b r a si na g i v e nd i m e n s i o nt ot h es t u d y o fo r b i t su n d e rt h ea c t i o no fa g r o u p o nt h es p a c eo fs e c o n d d e g r e ec o h o m o l o g yc l a s s e s ( o fas i n a 1 e rl i ea l g e b r a ) w i t hc o e f f i c i e n t si nat r i v i a lm o d u l e f 4 5 l o l i ec o n s i d e r s 三a sac e n t r a le x t e n s i o no fl z u s i n gt h eu s u a lh o m o l o g i c a lt o o l s t h i sa p p r o a c hi sd i 最c u l tt ou s ei np r a c t i c e b e c a u s eo r b i t su n d e rt h ea u t o m o r p h i s m g r o u po fz za r en o te a s i l yi d e n t i f i e de v e na f t e rt h ec o h o m o l o g yg r o u p s a r ea r ek n o w n m a g n i ni n t r o d u c e dad i f f e r e n ti n d u c t i v ea p p r o a d lt ot h es t u d yn i l p o t e n tl i ea l g e b r a s ：e n l a r g eas m a l l e ra l g e b r ab ya d j o i n i n gad e r i v a t i o n 1 i ec l a s s i f i e da l g e b r au pt o d i m e n s i o n6o v e rt h er e a lf i e l d ，1 do b t a i n e dp a r t i a li n f o r m a t i o ni nd i m e n s i o n7t h i s l w a y 【2 5 】 g f ) z ea i l da l i c o c h e ai n t io d u c e da l ll n v a li a n t t i l ec h a r a c t e r i s t i cs e q t l e n c e t h e y o b t a i n e dt h ec l a s s 墒c a t i o no fs e v e n - d i m e n s i o n a ln i l p o t e n tl i em g e b r a sb yu s i n gt h i s i n v a r i a n t1 9 8 9f 2 】t h ec l a s s i f i c a t i o no fs e v e n - d i m e n s i o n a ln i l p o t e n tl i ea l g e b r a sw a s o b t a i n e db ys e e l e yt o o 4 4 a st h es t u d yo fn i l p o t e n tl i ea l g e b r a si nh i g h e rd i m e n s i o n si s v e r yd i f f i c u l t y ，o n e o f t e nf o c u s e so i ls o m ei m p o r t a n tc l a s s e so fn i l p o t e n tl i ea l g e b r a sf i h f o r ml i ea l g e b r a s i s i m p o r t a n tc l a s so fn i l p o t e n tl i ea l g e b r a su s i n gt h ec h a r a c t e r i s t i cs e q u e n c e g o z e a n da n c o c h e ac l a s s i f i e r lf i l l f o i t ul i e 以g e b r a so fd i m e n s i o n8i n 1 1 g o m e za n de c h a r t e d i ds a m ef o rd i m e n s i o n9f 9 1 b o z a ，e c h a r t ea n dn u n e zd i ds a m ef o rd i m e n s i o n1 0f 4 l g o n l e z ，j i m e n e z - m e r c h a na n dk h a k i m d j a n o vd i ds a x n ef o rd i m e n s i o n s 1 ) 、ep r o v et h a te v e r yl i ea l g e b r ao ft h i sc l a s si s c o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i ea l g e b r aa n dpi s a ni n v a r i a n t f i n a l l yi s o m o r p h i s mt h e o r e m i so b t a i n e d c h a p t e r4i s d e v o t e dt ot h ec l a s so f2 一s t e pn i l p o t e n tl i ea l g e b r a sw h i c hh a v ea d e c o m p o s i t i o n ：n = n i + v 2 + g ，w h e r en i i s p , - m a x i m a l g = 0o rg i saq u a s i h e i s e n b e r ga l g e b r a ，a n d n 1 ，2 】_ 【n i ，g 】= 0 i ti ss h o w nt h a t 和l ，p 2 i sa ni n v a r i n n t w h e nnh a sa ( p l ，p 2 ，1 a l g e b r aw h e nn 1nn 2ng t h e i ri s o m o r p h i s mt h e o r e m 1 ) 一h - m s g w ep r o v et h a tn i s c o m p l e t a b l en i l p o t e n tl i e = 0 o r ( n i + 2 ) ng lu 2 f i n a l l yw ei n v e s t i g a t e t h ef i n a lc h a p t e ri sd e v o t e dt oac l a s so f3 - s t e pn i l p o t e n tl i ea l g e b r a sc a l l e dq u a s i l 3 一f t l i f o r ml i el l l g e b r a s i ti ss h o w nt h a te v e r yl i ea l g e b r an o ft h i sc l a s si sc o m p l e t a b l e n i l p o t e n tl i ea l g e b r aa n dd e r n i sas o l v a b l ec o m p l e t el i ea l g e b r aw h e nd i m n 3 = l f i n a l l yi s o m o r p h i s mt h e o r e mi so b t a i n e d ， t h r o u g h o u tt h i sp a p e ra l ll i ea l g e b r a sa r ef i n i t ed i m e n s i o n a l ，a n dt h eb a s ef i e l di s c o m p l e x f i e l dc c h a p t e r1 a n e q u i v a l e n t c o n d i t i o no f c o m l ) l e r , el i ea l g e b l a al i ea l g e b r a 三i sc a l l e dc o m p l e t ei fa n do n l yi fc ( l 1 = 0a n dd e r l = a d l u s u a l l y i t i s v e r yd i f f i c u l tt ov e r i f yd e r l = a d ln a t u r a l l yw eh o p et of i n ds o m ee q u i v a l e n t c o n d i t i o n so fd e r l = a d l a n e c e s s a r yc o n d i t i o no fd e r l = a d l w a so b t a i n e di n 【2 2 1 i nt h i sc h a p t e r ，w em a i n l yd i s c u s st h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o no f d e r l = a d l 1 1p r e l i m i n a r y d e f i n i t i o n1 1 1l e thb eaa b e l i a ns u b a l g e b r ao f 工i ff o ra n yh 日a d hi s as e m i s i m p l ee n d o m o r p h i s m so f 二t h e n 日i sc a l l e dat o r u so f 工 l e thb eat o r u so f 五t h e n 三h a sar o o ts p a c ed e c o m p o s i t i o nw i t hr e s p e c tt o 日： l ：h + f l 口t t ( 111 ) w h e r eh i st h ed u a ls p a c eo fh ，三口= z 三i h ，聋】= 卢( ) 霉，v h 日 d e f i n i t i o n1 - 1 2l e ta = 卢日i 工口o ) i sc a l l e dag e n e r a l i z e dr o o t s y s t e mo f 工a s s o c i a t e dt o 日 l e tr=t+nb eas o l v a b l el i ea l g e b r a ，w h e r eti sat o r u so f 冗a j l dni sa n i l p o t e n ti d e a lo fr nh a sar o o ts p a c ed e c o n l p o s i t i o nw i t hr e s p e c tt ot ： n = n 氐+ + n i i 。( 1 1 2 ) w h e r e 舟。t 。，口： i 【t ，2 】= p ( t ) z ，v t t ) o b v i o u s l yr = t + e 譬l 矶 i sar o o ts p a c ed e c o m p o s i t i o no frw i t hr e s p e c tt ot l e t 1b eag e n e r a l i z e dr o o t s y s t e mo fr a s s o c i a t e dt ot t h e n 1 = 卢，卢n l e m m a1 1 1l e tc n ( ) = z r 1k n 】_ o ) i ft nc n ( v ) = 0 ，t h e n l g e n e r a t e st 。 p r o o fa sni sac o m p l e r e l yr e d u c i b l et m o d u l ea n d n 2 = 【n ，n 】i sas u b m o d - u l eo fn ，t h e nt h e r ee x i s t sas u b m o d u l ec ro fns u c ht h a t = c ， 2 ，mt h j sc a s eu 4 g e n e r a t e snb y ( 1i2 ) ，l e t = u nn ，m a ya s s u m et h a t u = u j 3 ，+ 矿j 。，psn l e ta = b et h ev e c t o rs p a c es p a n n e db y 卢l ，卢p ， t b eab a s i so ft t h e nd i m a = r a n k ( 3 1 ( t j ) ) ，w h e r e ( 觑( j ) ) i sap km a t r i x w en o wp r o v et h a tr a n k ( 卢i ( t ，) ) = l e t 口1 ( 卢1 ( 1 ) ，昂( t 1 ) ) + + 口女( 卢i ( t k ) ，卢p ( t k ) ) = ( 0 ，0 ) w h e r ea i c t h e nw eh a v e k 、 岛【。 ) ) = ( o 1 ( 1 l3 ) ，i ) l e t z t i ，z i 2 ，2 i k ) b eab a s i so fu d t h e nf o ra n yz u ，lsi p ，1sjs 辜。c 。，z ；， = 卢，c 辜a 。t u ，。u ：。 a s z ，z 1 ，x p i ，s p k ， i s ab a s i so fu ，a n dc ，g e n e r a t e sn ，t h e n 【：a i t i ，n 】= 0 n o t et h a tt n c n ( n ) = 0 ，s o ：a i t i = 0 t h u sa i = 0 ，1 i 女， i e ，r a n k ( 反( j ) ) = k t h e r e f o r ed i mt + = d i m a ，i e ，1g e n e r a t e st 口 d e f l n i t i o n1 1 3l e t b ean i i p o t e n ti d e a lo fl hat o r u so fl hi sc a l l e d ar e g u l a r t o r u so f la s s o c i a t e d t o n i f h n 吼( ) = 0 l e n 2 n l a1 1 2l e tab eag e n e r a f i z e dr o o ts y s t e mo fla s s o c i a t e dt oar e g u l a r t o r u sh t h e na g e n e r a t e sh p r o o fl e thb ear e g u l a rt o r u so fla s s o c i a t e dt on 。t h e nh + nl sas o l v a b l e s u b a l g e b r ao fl l e t 厶1t h eg e n e r a l i z e dr o o ts y s t e mo fh +n a s s o c i a t e dt oh b y t h el e m m a 1 1 1 ，lg e n e r a t e sh o b v i o u s l y 1 、s o g e n e r a t e s 耳。口 l e m m a1 1 3l e tl = 日+ 口l 口b ear o o ts p a c ed e c o m p o s i t i o no flw i t h r e s p e c tt or e g u l a rt o r u sh t h e nv 妒d e r l ，l p ( 日) 日i fa n do n l yi f 妒( 日) = 0 i n t h i sc a s e 妒( 工p ) 工口 t h e p r o o f o ft h i sl e m m ai ss i m i ! a rt ot h ep r o o fo fl e m m a 8 4h 【2 8 1 w eo m i ti t l e m m a 1 1 4 2 】l e tl ，hb ea sd e s c r i b e di nl e m m a1 1 3 ，l p d e r l ，h 日 t h e n p ( ) = h + p ( ) 咖。 “e w h e r eb “，2 pa r en o td e p e n d e n to nt h ec h o i c eo fh l e m m a1 1 5l e t 日b ear e g u l a rt o r u so f 五t h e nd e r l = d o + a d l w h e r e d o = 妒d e r lli p ( 日) = o 5 。p p r o o fl e t i ) e r l b yl e l r m al 14 ，y h h ，w eh a v e 妒( ) = h 7 + p ( ) 6 。z “ le 土 l e t 妒1 = l p a d ( e “6 “z ，。) t h e n _ p l ( ) = h b yt h e l e m m a1 13 ，w eh a v e 妒l ( h ) = 0 ，s o _ p i d o h e n c e 妒= l p l + a d ( ，b l , z ，) d i 】+ a d l 1 2as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fd e r l = a d l t h e o r e m1 2 1 【2 2 】l e t l = h + ，l 。b e ar o o ts p a c ed e c o m p o s i t i o no fl w i t hr e s p e c tt or e g u l a rt o r u s 日t h e nd e r l = a d li fa n do n l yi fd o = a d l 0 + a d h p r o o f b yl e i m n a1 1 5 ，s u f f i c i e n c yi s o b v i o u sw eo n l yp r o v en e c e s s i t y v 妒d o ，a sd e r l = a d l ， z l s u c ht h a t 妒= a d x l e tz = + 口。j ，w h e r e z d l i ，h h t h e nv h h 0 = 妒( ) = h 】_ 一z ( h 协口 ，j n o t et h a tz 口= 0 ，卢0 ，s oz h = o o l 0 ，i e ，l p = a d z 0 + a d h 口 t h e o r e m1 2 2f 1 1 i f d e r l = a d l ，t h e nl = s + t + n ，w h e r esi s am a x i m a l s e n d s i m p l es u b a l g e b r a ，ti s a na b e l i a ns u b a l g e b r a ，ni st h em a x i m a ln i l p o t e n ti d e a l ， 二i sas e m i s h n p l ea d t - m o d u l e ，a n d s ，t 1 = snt=t n n = 0 ， p r o mn o wn ow ed i s c u s st h elt h a ts a t i s f i e st h en e c e s s a r yc o n d i t i o no fd e r l - - a d l i nt h e o r e m1 2 2 l e t 日lb eac a f t a ns u b a l g e b r ao fs ，a 3 ，丌= 口，a 5 ) b et h er o o ts y s t e m ，s i r e - p l er o o ts y s t e m o f s w i t hr e s p e c t t oqr e s p e c t i v e l y l e te l ，e s ，f l ，厶， ， 甜 b ec a n n i c a lg e n e r a t o r so fs l e r r m a a1 2 1l e th i ，ta sa b o v e t h e nh = t + 日li sat o r u so fl l e r n m a1 2 2l e tl = s + t + n ，日a sa b o v e t h e nhi sar e g u l a rt o r u so f la s s o c i a t e dt oni fa n d o n l yi f 【h ：，n 0 ，i i j p l o o f n e c e s s i t yi so b v i o u sw eo n l yp r o v es u f f i c i e n c y l e tn = d t 帕b ear o o ts p a c ed e c o m p o s i t i o no fnw i t hr e s p e c tt ot a s 旧t 】= 0 ，i sas n m d u l e i ff h l ，n 】0f o ra n yk ，t h e nt h e r ee x i s t san o n t r i v i a l s - m o d u l e | v 口s u c ht h a t 【h i ， 0 l e tn 8 = n l + n 2 + - 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