（基础数学专业论文）变分迭代算法在双比例延迟微分方程中的应用.pdf

摘要 延迟微分方程也称时滞微分方程，它在各个学科领域中有着广泛的应用，也 是目前各学科普遍面临的重要研究对象。延迟微分方程就是指带有延迟项的微分 方程，目前求解这类方程主要是对延迟项利用差值近似求解，基本上沿用了常微 分方程的数值方法。本文主要是研究改进的变分迭代算法求解双比例延迟微分方 程，并证明了此方法是收敛的。 本文共分为五章。 第一章简要介绍延迟微分方程的研究背景和意义。对延迟微分方程有了初 步的了解，随后介绍了变分迭代算法的发展及研究成果。 第二章首先叙述了泛函的定义及泛函的极值，在此基础上，给出了泛函变 分的概念，泛函极值的必要条件，最后介绍了变分问题中的直接方法。 第三章首先介绍了变分迭代算法的基本思想及其简单的应用，然后叙述了 迭代解的收敛速度，最后给出了迭代解的一般形式。 第四章介绍了变分迭代算法在双比例延迟微分方程中的应用，并给出了其 收敛性的证明。 第五章主要内容是变分迭代算法在其它一些延迟微分方程中的应用。 关键词：延迟微分方程；变分迭代算法；拉格朗日乘子；精确解；收敛性 a b s t r a c t d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a l s oc a l l e db a c k w a r dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i s w i d e l yu s e di nv a r i o u ss c i e n t i f i cf i e l d s i ti sa l s oam a j o rs u b j e c tt h a ta l lf i e l d sa r e d o i n gr e s e a r c hi n t oa tp r e s e n t d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e f e r st oad i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hd e l a y e dt e r m s n o w a d a y s ，s o l v i n gt h e s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s m a i n l yf o c u s e do ns o l v i n gt h ed e l a y e dt e r m sa p p r o x i m a t e l y ，b a s i c a l l yf o l l o w i n gt h e n u m e r i c a lm e t h o d sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i st h e s i si st os t u d yt h e i m p r o v e dv a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o df o rs o l v i n gd o u b l et h ep r o p o r t i o no fd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dp r o v et h a tt h i sm e t h o di sc o n v e r g e n t t h et h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ： c h a p t e ro n eb r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c h o fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 。f i r s t ，i tg i v e st h eg e n e r a li d e a so fd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dl a t e ri n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n ta n da c h i e v e m e n to fv a r i a t i o n a l i t e r a t i o nm e t h o d c h a p t e rt w of i r s tg i v e st h ed e f i n i t i o na n de x t r e m u mo ff o u n c t i o n a l ，o nt h eb a s i s o fw h i c ht h ec o n c e p ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no ff o u n c t i o n a la r eg i v e n a tl a s t ，i t i n t r o d u c e st h ed i r e c tm e t h o d so fv a r i a t i o n a lp r o b l e m c h a p t e rt h r e ef i r s tm a k e sab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h eb a s i ci d e a sa n ds i m p l e a p p l i c a t i o no fv a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d t h e ni tt a l k sa b o u tt h ec o n v e r g e n c er a t e o ft h ei t e r a t i v es o l u t i o na n da tl a s tt h eg e n e r a lf o r mo fi t e r a t i v es o l u t i o n c h a p t e rf o u rm a k e sab r i e fi n t r o d u c t i o n t ot h e a p p l i c a t i o no fv a r i a t i o n a l i t e r a t i o nm e t h o di nd o u b l ep a n t o g r a p hd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na sw e l la st h e p r o o f o fi t sc o n v e r g e n c e c h a p t e rf i v em a i n l yi n t r o d u c e st h ea p p l i c a t i o no fv a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d i ns o m eo t h e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ；l a g r a n g e m u l t i p l i e r ；e x a c ts o l u t i o n s ；c o n v e r g e n c e i l 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担 作者签名：钧o 缪 日期：7 矿户年，月 - 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密囹 ( 请在以上相应方框内打“d ”) 作者签名：囱o 乡工e t 期：z 9 f 咿年罗月2 1 日 刷磴孙刹旅匆醐铷铪月7 日刹旅匆 一 第亨章绪论 1 1 延迟微分方程的背景及意义 延迟微分方程又称时滞微分方程，是指带有延迟项的微分方程。它更加准确 地刻画事物的运动状态与时间历史的关系，此类方程作为一类特殊的泛函微分方 程在实际生活中是非常重要的，有时候即使是微小的滞后也会给系统带来重大的 影喻，一旦忽略了滞后的存在就会给整个系统造成无法估量的后果。例如：在卫 星发射、导弹制造、宇宙飞船的控制中等。近年来，随着自然科学与社会科学中 许多学科的深入发展，延迟微分方程得到越来越多学者的重视，尤其在解的存在 唯一性，周期性，稳定性，振动性等方面取得实质性的进展。 延迟微分方程在许多科学领域中有着广泛的应用，如电路信号系统、核物理、 光学i l l 、电动力学、生态系统1 2 1 、传染病学i z l 、人1 3 动力学1 3 4 1 、：自动控制系统等 诸多领域都出现了大量的延迟微分方程，从而推动了人们对其算法和理论的深入 研究。常见的延迟微分方程有常延迟微分方程、比例延迟微分方程、中立型延迟 微分方程、随机延迟微分方程、v o l t e r r a 泛函微分方程等。如： 火箭燃烧控制论中有如下延迟微分方程1 5 】： t t l t ( f ) + ( 1 一栉) 撑( ，) + 删( f f ) = o 电动机电流收集系统中，电流分配模型出现如下比例延迟微分方程侧： ，( ，= 讲( f ) + b l ( q t ) 屯力网络中的能量损耗出现如下中立型延迟微分方程： 少( f ) = 缈i f f ) + 妙( f ) 一砂f f ) 一般来说，在常见的延迟微分方程中。只有极少数方程才能够获得解的解析 表达式。因此，研究延迟微分方程的精确解和数值解法，不仅具有理论意义，而 且具有非常重要韵实际意义。延迟徽凳方程的数值求解基本上沿用了常微分方程 的数值方法，对延迟项利用插值等方法近似处理，。近年来，也有在再生核空问求 解线性延迟微分方程的文章本文主要是介绍了一种计算量较小、迭代速度较快 的算法一一交分迭代法，使其用来求解双比例延迟微分方程，并在此基础上给出 了其它一些延迟微分方程的精确解和近似解。 t 2 变分迭代法妁产生与发展 t u u r a 和s l l e e 苕先提出了变分估算的基本概念，应用变分估算方法不仅 可以保证足够高的精度，而且每迭代一步都是向精确解最佳逼近，其数值过程总 是收敛的。最重要的是，这种方法对初值并不十分敏感，大大方便了数值求解。 1 9 7 8 年i n o k u t i1 7 1 提出了广义拉氏乘子，它是用来求解非线性方程的，该方法起 初主要应用于量子力学，但这种方法只能求解一些特殊点的值，而不能得到近似 的解析解。 变分迭代算法是由何吉欢在变分估算和广义拉氏乘子的基础上发展而来的。 近年来，该方法得到了许多学者的关注，并被广泛地应用于研究线性和非线性的 问题当中。在文献中f 8 1 中，何吉欢对变分迭代法和a d o m i a n 分裂法 g a o l 作了比较， 结果说明变分迭代法能更好的满足边界条件，且收敛速度远远快于a d o m i a n 分裂 法。在文献n1 1 中d e h g h a n 对该方法的收敛性作了说明。 本文共分为五章。第一章简要介绍延迟微分方程的研究背景和意义。对延迟 微分方程有了初步的了解，随后介绍了变分迭代算法的发展及研究成果。第二章 首先叙述了泛函的定义、泛函的极值、泛函变分的概念、泛函极值的必要条件， 然后介绍了变分问题中的几种直接方法。第三章首先介绍了变分迭代算法的基本 思想及其简单的应用，然后叙述了迭代解的收敛速度，最后给出了迭代解的一般 形式。第四章介绍了变分迭代算法在双比例延迟微分方程中的应用，并给出了其 收敛性的证明。第五章主要内容是变分迭代算法在其它一些延迟微分方程中的应 用。 2 第二章泛函的变分与变分问题中的直接方法 变分学研究的主要内容就是泛函的极值，凡有关求泛函极值的问题都称作 变分问题。本章首先叙述了泛函的定义及泛函的极值，在此基础上，给出了泛函 变分的概念，泛函极值的必要条件，最后介绍了变分问题中的直接方法。 2 1 泛函的基本概念 定义2 1 11 1 锄泛函 给定满足一定条件的函数集合： j ，( 石) ，和实数集合r 。设y ( x ) 是中的 函数，j 是r 中的变量，若和r 之间存在一个对应关系，使中每一个函数y ( x ) ， r 中都有唯一的j 值与之对应，则称j 是y ( x ) 的泛函，记为 ，= 札y ( x ) 或s - - s t y 】 称为泛函的定义域。 对于依赖于多个未知函数，或未知函数的自变量多于一个的情形，我们可以 类似地定义如下泛函： j = j y l ( x ) ，虼( 工) ，儿( x ) ， ，= “( 一，而，) ， j = j u ，( x l , x 2 ，吒) ，“：( _ ，恐，) ，“，( 为，而，) 为了叙述方便，我们介绍下面的术语： 函数类具有某种共同性质的函数集，称为函数类。如在区间( ：c o ，x 1 ) 上连续 的函数集，称为在区间( ：c o ，五) 上的连续函数类，记为c ( x o ，j c l ) 。 定义2 1 2 【1 刁函数间的距离 设函数y ( x ) 与y o ( z ) 都属于c ” c l ，b 】，则i y ( x ) - y o ( x ) i ，i y ( x ) - y o ( x ) i ， l y 月( x ) 一y 。( 戈) f ，在区间 口，6 】上的最大值，称为函数j ，( x ) 与( x ) 在【日，6 】上的甩级 距离，记为 以( 少，y o ) = 黝似z ) 一y o ( z ) m yx ) 一“( 卅一，y ( x ) 一少酬 特别， d o ( y ，y o ) = = m 。a 。，x 。y y o l 表示y 与在区间【a , b 】上的零级距离： c ( y ，y o ) = = ，m 。i a 。x 。j ( 1 y y o l ，i y 。) 1 ) 表示y 与y o 在区间【口，6 】上的一级距离。 定义2 1 3 【1 刁泛函的极值 设y o ( x ) 是泛函， 少( x ) 的定义域中的某一函数，若对于中任一函数 y ( x ) 都有 虹( x ) ， y ( x ) ( 或町( x ) 札y ( x ) ) 则称泛函， y ( x ) 在( z ) 处达到绝对极小值( 或绝对极大值) 。绝对极小值与绝 对极大值统称为绝对极值。 若对于中某个领域的函数都有 ， 儿( x ) 札y ( x ) ( 或虹( z ) 虹y ( x ) ) 则称泛函j ly ( x ) 】在y o ( x ) 处达到相对极小值( 或相对极大值) 。相对极小值与相 对极大值统称为相对极值。 使泛函取得极值( 极小或极大) 或可能取得极值的函数( 或曲线) 称为极值 函数( 或极值曲线) 。 绝对极值与相对极值统称为极值。 2 2 泛函的变分 泛函的极值问题简称变分问题。因此，在求解变分问题也就是在指定的函数 类中求泛函的极值。事实上，在实际问题中泛函极值的存在性，往往在问题给出 时就已肯定了的。 定义2 2 1 函数的变分 函数y ( x ) 与另函数歹( x ) 的差歹( z ) 一少( x ) 称为函数y ( x ) 的变分，记作印， 即 缈= 歹( x ) 一少( x ) 注意，函数的变分万少是x 的函数，而函数的增量缈是同一函数y ( x ) 由于自 变量x 取不同的值而产生的差异。 4 函数的燹分有以卜性质： 8 y = 少( x ) 一y ( x ) = 歹( x ) 一y ( x ) ，- - ( b y ) 7 由此得到变分符号与导数符号旱之间的关系： 万( 老) = 丢) 即函数导数的变分等于函数变分的导数。n _ i ：n 的性质推广，可得 8 y ”：( 纠。，a y 胛= ( 纠_ ，8 y n ) = ( 缈) 定义2 2 2 l l , 1 1 泛函的变分 考虑最简单的泛函 j y l = e f ( 训，y 弦 给函数y ( x ) 以变分8 y ，将 j ( y + 渺) = f ( 训+ 8 y ，少+ 8 y ) 诙 与上式相减，得相应于函数变分8 y 的泛函增量： = ，( 夕+ 渺) 一，【y 】 = e ，( x ，y + 8 y ，y + 8 y ) 一f ( 训，y ) 假设f ( x ，y ，y ) 充分光滑，则上式可展成 = e e 万j ，+ 髟 + 互11l f 拶( 万y ) 2 + 2 勖万西十勖，( b y 7 ) 2 + 凼 = 万，+ 艿2 j + 艿3 ，+ ， 式中，艿，= e e 缈+ f , s y 出， 6 2 ，= 三2 班( 艿y ) 2 + 2 勖艿y 万y + 勖( 万y ) 2 k ， 分别是函数变分万y 及其导数6 y 7 的一次齐次式，二次齐次式，等的积分a 我们 分别把6 j ，8 ：j ，叫做泛函，陟】的一次变分，二次变分，。在不引起混淆的 情泖下。常把泛函的一次变分简称为泛函的变分。 5 定理2 2 1 f l 铆 泛函极值的必要条件 设泛函， y ( x ) 在容许函数类上有定义，y ( x ) ，如果虹y ( x ) 在y ( x ) 上 取得极值( 极小或极大) ，则在y ( x ) 上必有6 j = 0 。 2 3 变分法基本引理和性质 引理2 3 1 蚴 设函数厂( x ) 在区间 x o ，毛】上连续，若对在区间【x o ，五】上连续 可微的任意函数刁( x ) ，当7 7 ( j c o ) = 7 7 ( 而) = o 时，积分e ( x 切( x ) 出= o 总成立，则 在区间【，x 1 】上必有s ( x ) 三0 。 特别地，将引理1 的条件“在区间【，x 1 】上连续可微的任意函数刁( x ) ，当 7 7 ( ) = 7 7 ( 五) = o 时”改为“在区间【x o ，西】上具有甩阶连续可微的任意函数玎( x ) ， 当7 7 ( ( ) = 刁( ( 西) = o ( 七= 0 , 1 ，刀一1 ) 时，有下面的引理： 引理2 3 2 设函数厂( x ) 在区间【x o ，x 。】上连续，若对在区间 x o ，五】上具有甩 阶连续可微的任意函数7 7 ( x ) ，当r ( k ) ( ) = 刁( ( 西) = o ( 七= o ，l ，n - 1 ) 时，积分 e ( x 切( x ) 出= o 总成立，则在区间【，_ 】上必有厂( x ) 三0 引理2 3 3 n 2 1 设函数s ( x ，y ) 在区域d 上连续，7 7 ( z ，y ) 及其一阶偏导数在区 域d 内都连续，且在d 的边界，上7 7 ( x ，y ) 等于零。若对任意这样的函数s ( x ，y ) ， 都有 妙( x ，y ) r l ( x , y 胁= o d 成立，则在区域d 上必有s ( x ，y ) 三0 。 2 4 变分问题中的直接方法 变分中直接方法的基本思想就是把变分问题看作含有限多个变量的函数极 值问题的极限情形，这个含有有限多个变量的函数极值问题可以用寻常的方法来 求解，而把这有限多个变量的函数极值问题的解作为原变分问题的近似解。主要 方法1 1 4 1 有：瑞利一里兹法、康托罗维奇法、欧拉差分法和有限单元法、伽辽金 法、最小二乘法、分区平均法等等。 6 2 4 1 瑞利一里兹法 瑞利一里兹法是变分直接方法中最重要的一种，其基本思想是用选定的函数 序列的线性组合逼近变分问题的极值曲线。 为明确起见，我们考虑如下类型的变分问题。设泛函 j y l = f ( 训，y 7 皿 ( 2 1 ) 的边界条件为 y ( x o ) - o ，y ( x 1 ) - - o ( 2 2 ) 这种边界条件称为齐次边界条件。如果所讨论的泛函的边界不是齐次的，如 y ( x o ) = y o ，少( 五) = 乃，则可令 y ( 工) = z ( x ) + 而 x 一一x 五ly o + x - 一x 。y l ， ( 2 3 ) 这时有z ( x o ) = z ( 五) = o 。用( 2 3 ) 式对泛函( 2 1 ) 作变换，即可将问题化为齐 次边界的变分问题 ，【y 】全以【z 】= f 互( 五z ，) 出，z ( 而) = z ( x , ) - - o 设泛函j y l 的极f f t 曲线在曲线簇y 内，并且y 构成线性空间。用里兹法求泛函 j y 】的近似解的步骤如下： ( 1 ) 选取y 的基函数 仍( 工) ，仍( 工) ，纯( x ) ， ( 2 4 ) 对任一y y ，y 都可表示为 仍) 的有限或无限线性组合。特别，对极值函数f ( x ) ， 也有 l ( x ) = g 呼o i ( x ) + c j 仍( z ) + + c ；纯( z ) + ( 2 ) 对每个n ，考虑由仍，锡，纯生成的线性子空间，设 只= 哆仍e ， 由泛函“y 】就确定了万元函数 咻”p m = f 卜磐嘶) ，窆i = i 训菇) ( 3 ) 对每个厅，选取口l m ，呸，吼刖，使【以】取极值，也就是由方程组 云j k l 乩，2 ，刀 来确定a l ( m ，吒( m ，巳( ”，然后用得到的函数 7 z ：窆a l ( 月) 仍， f = 1 ，2 ，刀 1 = 1 作为变分问题的近似解。 对于问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式，基函数通常选取下列的三个函数系之一： 纯( x ) - - ( x - x o ) ”( 而- x ) ， 纯( 石) = ( 五一x ) ”( x - x o ) ， 咖) - s t n 掣 2 4 2 康托罗维奇法 n = l ，2 ，； 康托罗维奇法是用于多元函数的泛函，本质上与里兹法相同，但在近似解 式中将里兹法所使用的待定系数改为某一自变量的待定函数对于两个自变量 来说，这种方法又叫做化为常微分方程法，因为求解的后一阶段归结为求解若干 个常微分方程由于使用康托罗维奇法时系数已不限于常数，添加了灵活性，因 此，一般说来，在取相同的项数时，康氏法要比里兹法精确。 2 4 3 欧拉差分法和有限单元法 早在上世纪，欧拉就提出了一种差分法来求变分问题的近似解。它是把整个 区域划分为若干个单元，设定单元两端的函数值，然后在单元内对自变函数作出 简单的假设( 又叫插入) 。 有限单元法其实是欧拉差分法的继续。如果泛函中涉及自变函数的二阶导数， 那么有限单元是将整个区域划分为若干个单元。这时，为了保证自变函数有c 2 阶 的连续性，在单元内用线性插入是不行了。因此，可以在单元两端各设定两个未 知参数，然后，假定在每个单元内自变函数是个三次多项式，而多项式的四个 系数由单元两端设定的四个参数确定。这样，假定的自变函数恰好具有c 2 连续 性。最后，从泛函取驻值的条件可决定未知参数，于是也就决定了一个近似的驻 值函数。如果泛函中涉及更高阶的导数，那么只要在单元两端相应地多设定几个 参数，在单元内部假定自变函数是更高次的多项式，其它照旧，就可以得到近似 解。 2 4 4 伽辽金法 考虑区域d 内的一个线性微分方程：l u p = 0 ，这里l 代表一个微分式， 区域d 可以是一维的也可以是多维的，“是待求解，p 是已给函数。 8 伽辽金法的基本思想是( 前提是边界条件是齐次的，非齐次的可化为齐次的： ( 1 ) 选取一个相对完备的坐标函数系 0 2 1 ，) ，这些函数都能满足 所给的齐次边界条件，在这里所选坐标函数不但要满足本质边界条件，还必须满 足自然边界条件。 ( 2 ) 取试验函数为屹= q 哆，当然k 是满足齐次边界条件的。若所设的 函数恰好是边值问题的解，则应有 l v = p ( 3 ) 一个个地用哆乘= p 的两边，然后令积分 ( “一p ) e o i d c r = 0 i = 1 州2 一，万 即j l ( 喜呸q ) 一p 卜d 盯= 。i = 1 , 2 , - - , n ( 4 ) 将上式积分后，得出一个含q 的方程组，解出吩代入即得所求的匕。 ( 5 ) 将他改为n + 1 ，重复以上步骤，u 可作为原问题的一个近似解。由于 屹是近似的，所以可以把占= 屹一p 看做是剩余项，因此可以把迦辽金法理解为 这样一种方法：它使剩余项沿各坐标方向的分量在某种意义下平均为零，即 魁d 盯= o 。 若把q 作为权函数，则这方法又称为加权剩余法 2 4 5 最小二乘法 这是应用范围极其宽广的一种算法。设区域d 上附有齐次边界条件的微分 方程：彳“一厂= 0 ，最小二乘法的基本思想是： ( 1 ) 选择一组完备的坐标函数 叶，) ，这些坐标函数满足齐次边 界条件。 ( 2 ) 取近似解u 。= a l o e , + 口2 哆+ + q 。 ( 3 ) 将u n 代入微分方程，设其误差为吒( z ) = a u 。- f 。 ( 4 ) 选择q ，吃，吒使d 上的积分j r d 矿= i l ( a u - i ) 2 d 盯取最小值。 2 4 6 分区平均法 分区平均法的要点是把所论区间或区域划分为若干个小区间或小区域，使方 程或边界条件在每一分段或分区域内平均满足。设微分方程是 d u = f ， x ( a , b ) 它的基本思想是： 9 先把( 口，6 ) 分为若干段，比如( 口，b ) = a + ：+ + 。，然后选取完备的坐标函 数组 仍( x ) ，仍( x ) ，依( x ) ，) ，取近似解的形式为 “( x ) = ( x ) + q 仍 i = 1 式中( x ) 是满足某些要求( 例如非齐次边界条件) 的确定函数，为确定七个待 定系数q ，令j ( d “一f ) d x = o ， i - 1 ，2 ，k 山 结果得出一组k 个代数方程，解出c 代人，即得近似解。 l o 第三章变分迭代算法的基本思想及发展 变分迭代算法是在变分估算和广义拉氏乘予的基础上发展而来的，该方法收 敛速度较快，精确度较高，是解决一些非线性方程的重要工具。 3 1 变分迭代算法的思想 为了说明这种算法的基本思想，现考虑下面的非线性方程： 甜( f 】+ m 甜( f ) 】= ，( f ) ( 3 1 ) 其中，为线性算子，为非线性葬子，) 是己知的连续函数。 根据变分迭代法，对方程( 3 t ) 构造如下一个校正泛函： 州( ，) = + 旯( f ，s ) 上“。( 墨) + m 。 = l i m u 。( f ) 。 对于线性方程，迭代式( 3 2 ) 一次迭代即可得到方程的精确解。如： f + 歹2 ，2 ( 3 3 ) iy ( o ) - a 、j 。 由变分迭代算法，可构造以下校正泛函： 夕。( f ) = y 。( f ) + f o 袱y ( s ) + 儿( s ) 一s 2 泌 令上述校正泛函取驻值，注意到矾( o ) = o ，我们有 8 y 。+ 。( ，) = 6 y 。( r ) + 艿e a j ，( s ) + 以( s ) 一s 2 d s = 砂。( f ) + 五( s ) 眠o ) k + ( 一a 7 + 旯炒。( s ) 出 = ( i + 五( f ) ) 渺。( f ) + ( 一丑+ 互声只( 5 ) 凼 = 0 于是可得到以下驻值条件： 6 y ：一五( s ) + 旯( s ) = 0 a y 。：l + 2 ( s ) b = 0 由常微分方程理论得： 见：一”) 于是得到以下迭代公式： y n + l ( f ) = 儿( ，) 一r e p f 一( s ) + 儿( s ) 一s 2 ) 出 取初始近似解：y o ( t ) = j ，( o ) = a 则由迭代公式( 3 4 ) 可得 m ( f ) = 彳一：e ( z - t ) 彳_ s 2 枷 = 彳一4 p p i ：；+ i ：e ( - t ) s z d s = = 4 4 e s - t1 7 o + s 2 p s r i s j = 2 0 f i ：2 s e ，一d s = 彳一4 ( 1 _ e - t ) + f 2 - 2 t + 2 ( i - 口。) = ( a - 2 ) e 一+ f 2 2 t + 2 ( 3 4 ) 此为式( 3 3 ) 的精确解。 对于非线性方程，把非线性项作为限制变分量，由于确定的拉氏乘子是近似 识别的，所以必须通过迭代得到近似解。如： 甜，一= 0 ( 3 5 ) 初始条件为： u ( x ，0 ) = s i n x 根据变分迭代算法，可构造如下校正泛函： 。( 刈) = u n ( 础) + j ：五 ( z ，。) 。一( 厅。) 搿弘 ( 3 6 ) 其中( x ，t ) 为初始近似解，厅。为限制变分量。 令上述校正泛函取驻值，注意到万材。( x ，0 ) = 0 ，可得到以下驻值： 6 u 。：五7 ( s ) = 0 6 u 。：l + a ( s ) l 一= o 则力可近似识别为a = 一1 ，将a 代人可得求解迭代公式为： 。( x ，f ) = u n ( 圳) 一：tm u ) ，一( ”。) 曩净 ( 3 7 ) 若取初始近似解为：g o ( e t ) = z ，( 】f ，0 ) = s i n x 1 2 则由迭代式( 3 7 ) 可得到以下收敛列： ( x , t ) = s i n x - t s i n x ； 毪( z ，) = = s i n x - t s i n z + 1 21 t s i n z ； 蚝( 蹦) = m n x - t s i n x + 1 21 ，2 s i l l x 刍九i n x ； ( x ，) = s 嫱x - t s i n x + 去t 2s i n x - 委，3s i n x + + ( 一，) ”i 1 ，s i n x 。 所以( x ，) 在力一0 0 时收敛到方程的精确解，即 u ( x ，) = ( x , t ) = e x p ( - t ) s i n x 。 3 2 迭代解的收敛速度 考虑如下线性方程垌： ry ”+ 缈2 y = 0 。y ( o ) = l ，y ( o ) = 0 其校正泛函可以表示为： 以+ 。( f ) = 虬( ，) + f 名 彰( j ) + 2 ( j ) 豳 令上述校正泛函取驻值，注意到a y o ( o ) = 0 ，我们有 万以+ 。( f ) = 魄( ，) + 艿f 兄 吖( s ) + 缈2 儿( s ) ) 凼 = 艿虬( f ) + 五( s ) “( s ) l 二一工 名万以( s ) + 国2 五饥( s ) ) 出 = 观( f ) + 五( f ) “( f ) 卅( s ) 8 y o ( s ) 瞄+ f ( 五”+ 缈2 兄) 魄( j ) 西 = 0 于是可以得到以下驻值条件： a y ：1 - 丑7 ( s ) k = 0 a y ；：旯( s ) l - - - 0 帆：兄”s ) + c a 2 兄( s ) = o 由常微分方程理论得： 拈吉8 i n 彩( )国 ( 3 8 ) 于是得到以下迭代公式： 只+ 。( ，) = 以( ，) + 丢f s i n 彩( j 一，) 群( j ) + 彩2 此( s ) 协 ( 3 9 ) 取初始近似解：y o ( t ) = y ( o ) = 1 则由迭代公式( 3 9 ) 可得： m ( ，) = + 去f s i n 缈( s r p 2 凼 = 1 + f s i n 国( s t ) d o 。s = l - c o s c o ( s 一，) 瞄= c o s c o t 此为式( 3 8 ) 的精确解。 如果我们将此进行限制变分，则拉氏乘子t 可近似识别为： 五= ( s - t ) 则迭代公式为： 以卅( f ) = 以( ，) + f ( s f ) 杉( s ) + 缈2 儿( s ) ) 凼 将初始近似解y o ( t ) - - y ( o ) - - 1 代入上述迭代式，则我们有如下的近似解： 乃( ，) = 1 + 2f ( h 净= 1 一击施2 儿( r ) = - 一去缈2 r 2 + f ( j r - 0 ) + 0 ) 2 - - 刍缈4 j 2 ) 出 11 ：1 一二缈2 r2 + 二缈4 f 4 2141 ； 以( ，) _ 1 - 击以2 + 豪以4 + + ( 一1 ) ”丽1 删” 因此我们有y ( f ) = l 。i ，m 。y ( r ) = c o s 研 如果我们令力= j r 一刍( s f ) 3 去s i l l 缈( 5 一f ) 代人迭代式( 3 9 ) 中，有如下迭 代公式： 以+ 。( ，) = o ) + f s 一，一刍彩2 ( j 一，) 3 ) 彰( j ) + 国2 ( j ) ) 凼 将初始近似解y o ( ，) = 1 代人，我们有 1 4 巾) 小许十三班州) 3 卜2 凼 ：l 一三国2 f 2 + 三缈4 广 2141 坎( r ) = 一夏1 功2 t 2 + 雨1 国4 r 4 + f s r 一；1 缈2 ( j r ) 3 ) 刍国6 s 4 ) 西 ：1 一土缈2 f 2 + 上缈4 f 4 一1 0 ) 6 6 + 三国8 f 8 21416181 ； 只( 归一刍砘2 + 云矾4 + + ( 一1 ) “研1 洲“ 我们有y ( f ) = l 。i m 。y , , ( f ) = c o s 研 从上面五取不同的值我们可以看出，在用变分迭代法求解微分方程时，由于 使用限制变分，所以拉氏乘子是近似识别的，因此拉氏乘子越接近精确值，近似 解收敛到精确解的速度就越快。所以，我们用变分迭代法求解时应该尽可能减少 限制变分项。 3 3 迭代解的一般形式 对于不同阶数的微分方程，利用变分迭代法可得到不同的迭代解。 f 牡，= ，( t 正，t 正，) o k ：啪) 一f 隙s ) - 触，咖d s f 乱7 = 口( ) 让+ 弛，让7 ) o d k 归啪) 一上e r 水k 一啦一口( s ) 啪h ( 州肭 让= ，( “，让7 ，仳) u n h 归小) + 小叫叫，哟灿 f 仳，= q 2 钍+ ，( 郴7 ，仳) o h = 啪) + f 去。1 ) 一州- - ( 1 2 t t ( s ) 叫心蜘如 f 让，= 一u 2 仳+ ，( 牡，牡，u ) k = 啪) + 埘8 i n 叫淋3 ) 1 - “2 2 t t n ( s ) 叫，哟) 幽 1 5 ( v i ) ( v i i ) ( v i i i ) ( i 奉) ( i i 幸) l u 肌= f ( u ，仳7 ，仳，让胛) 1 u n + l ( 归啪) 一雎( s 叫2 螺s ) 叫，钍u u ，1 d s i 仳“) = f o , ，让7 ，乱，u 肼，让( 4 ) 1 + 。( ) = ( t ) + f 丢( s 一矿 ( s ) 一，( ，h ，i h ，钍，) 】，d s f u ( m ) ： j l + 。( t ) 【 f ( u ，u 7 ，让，让”) 毡( ) + ( 一1 ) ”上t i 丽1 在上面各式中，若分别记： ( i i i ) ( i v ) ( v 宰) ( v i 宰) ( v i i 幸) ( t ) = 上f ( u ，u ) d s ( t ) = f e 州小。，) 幽 ( t ) = 一f ( s t ) 玳w u iu ) d s 8 一t ) ( m - 1 ) 蜉( s ) - f ( u ，u ：，u 。h ，o0 ，毋) ) 如 ( t ) = f 去( e 口( t 。一e 俐沙( ，) 如 ( t ) = 一吉f s t n u ( 州) 玳，u 驰 ( t ) = f 壶( 州) 2 地，蟛0 幽 ( 亡) = 一f 丢( s 一亡) 3 ，h ，蟛蟛卜 ( v m ) ( 亡) = ( 一1 ) f 南 ( s 一芒尸( u ，咖，) 如 在上面各式中对t 进行求导运算，可以得到以下各式： ( i ) 幸 ( i i ) 事 ( i i i ) ( i v ) 事 = 水，7 ) = 。( t ) + ，( 郴) 7 ) 。h - - - ，( u ，钍7 ，u ) , 0 。h q 2 + ，( u ，牡7 ，札) i nn、 7 1 6 ( v ) 拳 = 一u 2 + ，( 牡，u 7 ，心) ( v d 幸 哆= ，( u ，让7 ，仳，牡脚) ( v i i ) “；小，钍，以让，牡( 4 ) ( v i i i ) 幸 m = ，( “，仳，让，乱m ) 在这里只对( i v 幸) 式进行验证。 两边关于t 求导，得 吃( t ) = 去 ( 矿掣) 巾。( j ) ，”，“) l + 圭f ( _ + 叫沙( ( s ) ，甜，“) 凼 = 吾f ( p 口一+ 砂叫沙( ( s ) ，“，“) 幽 再对上式两边关于孟求导，得 俐= 孔如) + 矿) 厂( ( j ) ，磁( s ) ，( 帆：，+ 詈f ( 叫一矿( 1 _ r 少( ( j ) ，“m “荆) 出 = ( ( f ) ，“：( f ) ，“：( f ) ) + 口2 k ( f ) 即 = 口2 + l ( u ，牡7 ，让) ( 3 1 0 ) 则由式( i v ) 与式( 3 10 ) 比较可知，( t ) 是方程( i v ) 的一个特解，于是可以构造 更简单的迭代公式： + l ( t ) = ( f ) + 吃( t ) 式中u o ( t ) 是初始近似解( 可含待定常数) ，如果无待定常数，“。( t ) 应满足初始或 边界条件；若有待定常数，可以在迭代几次后再由初始或边界条件识别。 于是，式( i ) 一( v i l i ) 可改写成下面更简单的迭代式 ( i i ) i 口7 = 0 , ，让7 ) 1 = u o ( ) + f 地，灿 i u = n ( z ) 缸+ 弛，让7 ) l 。( 舌) = + f e 岬地，) 幽 l 仳= ，( 钍，仳7 ，乜) o h h 归啪) r ( 州) ，( ，哟d s 1 7 ( i v ) ( v ) ( v i ) ( v i i ) ( v i i i ) p = q 2 让+ i ( u ，u 7 ，u ) 1 删= - o ( t ) + 上去( e 口”1 ) - e 口( 1 _ 地，钍：，哟d s l “= 一u 2 “+ ，( u ，仳7 ，仳，) 1 + 。( t ) = ( t ) 一石1j 。t 8 - n u ( s t y ( ，的出 i u 胛= i ( u ，牡7 ，, l , t 让胛) 1 + 1 ( 归u o ( 卅雎( s 叫2 地，够哟d s p = ，( 牡，钍7 ，u ，u t t tu ( 4 ) 1 u n + l ( 归啪) 一f 吉( s 叫3 地，w u bu n t u ( 4 悃 f 让( m ) ： j 1 + 。( t ) 【 f ( u ，乱7 ，珏，让”) 叫( 妒1 f 南 8 一亡) ( ”1 ，( ，蟛，蜉) d s 1 8 第四章变分迭代法在双比例延迟微分方程中的应用 比例延迟微分方程在星际物质中光的吸收、解析数论、非线性动力系统等许 多领域中有着广泛的应用。本章将应用变分迭代法求解双比例延迟微分方程。 4 1 应用原理 考虑如下双比例延迟微分方程： 材( ，) = 口( ，) 砧( ，) + 6 1 ( ，) “( g 。f ) + 如( f ) “( g ：，) + 厂( f ) ( 4 1 ) 初始条件为：“( o ) = u o 其中0 q 。，q ：1 ，z o 为已知常数，口( r ) ，包( f ) ，6 2 ( f )