（基础数学专业论文）两个非线性双曲系统的松弛极限.pdf

摘要 本文共分三章第一章介绍一些基本定义和基本结果第二、三 章应用不变域理论 1 】及补偿列紧方法【4 ，9 】分别研究了带有扩散项 的二次流系统及l er o u x 系统的c a u c h y 问题： 和 + v o ( x ) ) 的松弛极限问题，证明了它们的解收敛于这两个系统的平衡态 关键词：松弛极限，扩散项，熵一熵流，平衡态 邀， 如 卜 “ 。 = 、， c 一” t l i - d 睁邶铲吐h陬埘+ + 毗仇m p z ，0、 吣 咖 = = 枷+ l= 以 + b 乱 以训卜心m + + 毗仇“ a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m e ) a s i cd e f t n i t i o n sa n df u n d a m e n t a lr e s u l t s i nt h en e x tc h a p t e r s ，w ea p p l yt h e i n v a r i a n tr e g i o nt h e o r y 1 1a n dt h ec o m p e n s a t e dc o m p a c t n e s sm e t h o d 【4 ，9 1 t os t u d yt h es i n g u l a rl i m i t so fs t i f fr e l a x a t i o na n dd o m i n a n td i f f u s i o nf o rt h e c a u c h yp r o b l e mo fas y s t e mo fq u a d r a t i cf l u xa n dt h el er o u xs y s t e m ： f 啦。+ ( i 钍2 + 2 ”2 ) 。+ 竺警尘= 锄。 o 只岛初始值( t o ( ，v o c z ) ) 的5 ”范数有荧 ) 更进一步，如慕c 姆问题( 1 。2 。1 ) - ( 1 2 2 ) 的鳞( 舻溆棼，扩转，t ) 砖 任意的t f o ，j r j 有先验估计 l | 淑璜转醪? ) ，| 矽涵绷胁联( 霹， 那么解( ( $ ，) ，矿( ，t ) ) 在r ，【0 ，司上眷在特剐地，如果存在n 0 使 得 8 t ，( 文f ) 0 l 一( 矗x i o ，+ 。) ) 鬟 i i v 。( 蟊t ) i l * c a i o ，+ ) ) sn ， 弹么c a u c h y 瓣题( 1 。2 1 ) 一1 2 。2 ) 农1 0 ，+ o o ) 2 - 存农唯一解( 锈矿( 毛茚) 这个定理的_ i 难明主要是用g r e e n 函数把方程组写成与其等价的积分形式， 在这令蒸确主憨潼密一个莲缩获瓣，然君稍瑁b r o u e r - s c h a u d e r ：举动豢定理寒 完成 下嚣我 l 绘拯毒 偿硝紧理谂巾静冗个耋要定疆，翔y o u n g 测爱袭苯定纛， t a r t a r - m u t a t e 3 1 理等 2 0 0 7 年巾雷辩学技术大学壤士学缎论文 筹4 蓑 第一章绪论 1 2 蒸本定理 定建】2 2 ( y o z , , 2 蒯度表示定理，设q 是r 2 孛戆旁囊，萨：轮一冠1 袭* 中 有界，即l 舻lsmm e ，这里m 是正常数那么存柱子列- 和一旗概率测 度妇她，s u p p v f f icl j i 磊掰1 使碍砖强意定义盛嚣1 土酶连缝函数硝 矿一l i r a f ( u ) = o 有( 舻扣，埙矿( t ) ) b 着w ( u ，口) 和z ( u ，u ) 是系统( 1 2 1 ) 的r i e m a n n 不 变量，则由定义1 1 。3 可知v w ( u ，t ，) ，v z ( u + t ，) 一定足d f 的发特征向曩，因此 翔繇黟黾孬为系统( 1 2 1 ) 静芷不交域，炙需鬻在各君n ( 毡，冒) ：彤鬈，掣) 一o 上， 帆，+ m 庙o ；并且在a 四n ( 弛t ，) ：z ( t j ，= o ) 上，磊，+ 邑雪o 是否成 巍。 第二章二次流系统 本章我们研究_ 次流系统加松弛项后章i ! ；性解的露在性及其收敛 生并且 讨论了带肖源项静二次流系统豹松弛极壤阏题 2 1 问题的余绍 交鞠薅睾 缮魏紧方法褥爨t - 次滚系绫 抛，腰+ 警k _ 0 ， 2 ”) i 钝+ ( 辅b = o 、 的c a u c h y f 司题的熵摈的存在性，巍这篇文章中我们将在这个系统巾加入松 能顼，然磊乖j 用不变域理论和丰 僚到繁理论框架采研究与此相关豹c a u c h y 问题粘性解的存柱性及松弛极限的存住性我们在系统( 2 1 1 ) q l m r 入松弛项 及羲往瑷考悫f 巍豹c a u c h y f 璃题： f 2 1 ，2 ) ( 2 1 3 ) 其中是人为设鬣的秸性参数，或者说扩散系数，r 为松弛时闻，谯很多物 耀情形中通常是个很小的羹( 见f 5 】) 在这篇文章中，我们将得n c a u c h y f 碍 糕2 1 2 ) 一2 1 3 ) 的秸谯解( 舻，秘，伊，釉) 的存在性+ 然后，在骰役r i ；玉磁鬟 快的速度趋向于0 ，即当s o 时，t = o ( ) 的条件下，我们得到粘性解序 列江“r 鳓，矿+ r l l 筻敛裂乎瓣簿，下_ 嚣孬我爨绘出奉章瓣主要绥暴。 赡理2 1 ，l ( 【3 】) 假设初始使( 蛳( z ) ，伽( o ) ) 有界- q - 潮, l ，| i l ( 计) ( r ) k m e a s v ： 旷( 口) = o = 0 ，英中，岔蛰= 移毳f 蛰) 。如募毒农掌敷，l 0 ，使强赡 线t = 怠( ) 和初鲐值( 咖( 茁) ，( z ) ) 在区域 鬈l = ，移) ：留和，嚣) sj r , 。趣，蜇) 2 - l 晦部，且戡一l 通过豫线位= n 争z * 一的哟个交点慨，t 1 ) 和，t 2 ) ( 免f i g u r e | ) 6 2 0 0 7 年 中曩科学技术大学羰掌像论文第7 页 纂二幸二次凌系统 2 1 阐糕豹奔缩 “= 办( v ) 一 l 、 w = m 、 ，o s。 、y 飞 fx 7 - 弋 款 ( v l ，嘶) 、 z 一三 f i g u r el 那么，c a u c h y n j 4 ( 2 1 + 2 ) 一( _ 2 ，1 3 ) 的解( 矿，矿) ；( ，( ”，一c 。) ) 在冗 静，+ o o ) 七存在豆满足 f ( 嚣，蠖s m ，矿扛，蛾s 疋话，t ) 嚣x 嚣+ ， 其中，m 与e 无关更进一步，假设当e _ o 时，7 imo ( ) 那么，存在一个予 列f ，矿) 强收敛鄹社，影) ，其争嚣 静鸯下辫韪 一涵) 嗥一确定： ( e 1 ) “( z ，t ) 一 扣( 霉，t ) ) ，对几乎所有的( $ ，t ) 冗矗，成立； ( 互秘移( 鬈，t ) 惹g 蛾阉题魄+ 秘谚b = 0 ，# ，0 ) = 铷茗) 酾沪熵筹。 这个定理的证明分两部分，第一部分为和7 - 固定时，c a u c h y f 司题( 2 1 2 ) 2 1 3 ) 穗蠖解斡移在栏，谖明在第二繁绘擞，筹二郝分为当# 一0 孵，齄经掰 的强收敛性，证明在第三节给出 2 0 0 7 年巾蛋辩学技术大学硪士学像论文第8 页 纂二章二次流系统 斡2 赣性饕的存在往 2 。2 粘性瓣的存在性 定义从斧剑腰的映射f 如下。 f ：( 口) 一( ( 互3 u 2 + 互1 u 2 ) ，u ) ， 剃 肌00 随丽系绕犯。l 。1 ) 静特征值怒下面将征方程的解： 舻一4 u a + 3 t 产一扩= 0 ， 因此系统( 2 1 1 ) 的两个特征值为： a l = 2 u s ，怒一2 u + s ， 簸中，s 一万葡5 ；相成的两个右特征向鬣为： r l = s 一缸，一秽) f ，您= ( s + 耄，鄯) r 分别记圳( “， ) ，2 ( “，”) 为( 2 1 1 ) 的两个r i e m a n n 不变量，则 v w - n 一0 ，v z r 2 = 0 ， 所以系统( 2 1 1 ) 躬两个r i e m a n n 魂i 变薰瀵足方程 t “( s 一“) 一u t 篇0 ，气( s + t 正) + 钉t 等0 方程器2 1 ) 戆一个簿隽： t c ，( t ，甜) ；t 十s z ( 地t ，) = t 一s ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 下灏我们证吼对固定的和t ，c a u c h y i a 题( 2 1 2 ) 一( 2 1 3 ) 存在全局光滑解 经怼简单的计算，我们有 = + 墨，饥= 蓍， 备2牡#舻 2 夺，2 一万，2 琴； 气2 1 一季，知2 一否， 护搬i舻 2 一丽，2 丽，锄2 一百+ 2 0 0 7 年审墨辩学技术大学疆士学位论文 筹9 贾 第二幸二次流系统 2 2 辖性瓣的存在性 扶瑟咎和，暂) 是凸瓣数，o 钨影) 是瑙缀鼗 把系统( 2 1 2 ) 中的第一个方襁乘以饥和第点个方稳乘以w v ，然后相 加褥 饥+ ( ；舻+ ：护k + 婴号盟l + w d v t + ( 删) 。1 ；冬豇勰十i t 0 ， 两边整理，有 毗+ a 2 弛+ 饥掣= 芒一g ( 缱十2 峨，地+ t 谚) 囊予钮( 锄t ，) 是凸缀数，我嬲褒 t n u 。+ 2 t 工地+ t 记0 ， 掰骧， 姚+ 沁饥+ t o u 竺掣 ( 2 2 3 ) 翔理，臻v z ( u ，影) 象系统( 2 1 2 ) 整缓褥 2 t 十a l 磊+ 丸竺型 = 盏。一e ( 钆。+ 2 孙。u z v z 十2 。) + d s z ( u ，口) 是盟重数褥 盈+ a l z x + z t 坚掣 c z x 。 ( 2 2 4 ) 鬻隽曲线封= 是( 妨逶遘藏线韬= 撺和z 一一三鹃褥个交蕊铆，矶) ，( 缸2 ，钝) ， 并且当ns s 抛时在曲线。= 二上黼和存曲线加= n 下面，从而张 耀l n 知，口) ：( 私) = 上，铭! = 掣o ；莠量程挖l n 缸，雷) ：z ( 缸，嚣) 一 肼上，竺掣墨0 故由定理1 2 5 知e lm ( “，t j ) ：叫。一l 是系 统( 2 1 2 ) 的一个藏不变域因丽t e ( 扩，伊) ，z ( 矿，矿) 一二，这榉我们就 得到了糨往解的先验工* 群估计： ，t ) g 。一矗tl 矿0 ，t ) l - 熊中，m 是个适当大的磁常数由定理1 2 1 ，c a u c h y 问题( 2 1 2 ) 一( 2 ，i 3 ) 的 瓣在rxi o ，+ ) 上存在飘满足 0 矿( z ，刚ps 眠u 矿( 霉，t ) l l l = m ( 2 2 5 ) 2 0 0 7 年 中国辩攀技术大学磺圭掌像论文繁l o 页 第二章二次流系统 辨3 转性擗的收敛住 2 。3 糕性解的收敛惶 首先，我们麟宦芦，( 吃) 2 ，世= 冬嫂在互k 上有赛，朝对经意靛紧 粲k c r 舻，存在充分大的正常数c ，使得 l 噬+ 霹+ c - - 一h c v ) ) 2 ) u ；硼墨呶。 1 ) 为简便起见，在不引起歧义的情况下，我们先略去獭性解( ，矿) 中的上标鼻 挺箕筒韬为暂，吐 事实上，因为( ，t ，) 有界，所以我们可以找到一个足够人的常数a 使得 满鼗 p “，u ) ：百, u 2 一 ( 牡+ 筚 为凸函数，帮 砖+ 轨。锄+ 舫堙q ( 碡+ 谚)( 2 3 2 ) 菸申晓菊一正常数 系统( 2 1 2 ) 中的两个方程分别乘以仇，硒，然后相加得 p ( “，如+ 轧( “，钉) ( ；舻十；铲) 。十( 缸，材) ( ”k + ( u - j h _ ( 一v ) ) 2 = = s ( & t 垂，馨) t 嚣+ 张，t | ，鬈套b 。) = k k 似，t ，) 一溆。t ：+ 劬。十p 。) l ， 鑫不等式( 2 ，3 。2 ) 缮 帮 鼬潮t + 幽删：扩k 喇钍问。+ 坚笋业 眩；( t “t ，) 一晓( 遽+ 谚) 】， p ( t ，t ，k + 尹h ( 纵p ) ( ；铲+ i 2 k + a ，( 私) ( 嚣口k + i ! = ；蛐罡+ 岛( 碡) 篓镭”( 铭彭) 。 ( 2 3 3 ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 1 页 第二章二次流系统 2 3 牯性解的收敛性 f 面，我们傲一些苴横的计算 乳( u ，”) ( 和+ ；护k ) = 帆( ( ；铲+ ；铲) 一( ；怖) q - 轴k = 国。( t ， ) ( ( ；铲+ ；铲) 一( ；萨( 口)；铲) ) k 切。( ( t ，) ，口) ( ；舻( ) + ；护) ； ( 删( ；铲+ ；卅【；脚) + 轫 + ( 凡( “，t ，) 一仇( ( 口) ，”) ) ( ；舻( ) + ；护k = ( ；m ( t ，) ( 铲一- h 2 c v ) ) ) 。 + ( j 厂”儿( m ) j 8 ) ( 3 忡) 忡) 刊。 一；( p 。t b + p 。t k ) ( q + h ( ”) ) ( “一h ( ”) ) + p ( 历，t ，) ( 缸一 ( 口) ( 3 ( 钉) ( 口) q - ) t k ； 类似地，有 p v ( u ， ) ( 伽k = ( p 。( u ，v ) ( u v 一九( ) ) 。 + p 。( ( ) ，口) ( ( 臼) ) 。 一p 。( “， ) ( t 一( ( ) ) ) + ( 轧( t ，口) 一钆m 0 ) ，v ) ) c h c v ) v ) 。 = ( m ( t ， ) ( t 一 ( ) ) ) 。 + ( 肌( ( s ) ，s ) ( ( s ) - i - ( s ) s ) 如) 。 一c t b + 置。t k ) t ，( “一 ( ) ) j ( 岛， ) ( t 一，l ( 口) ) ( 危( ) - t - ( 口) 口) t k 其中轧( h 扣) ，口) = 儿扣， ) 1 。h ，风，愚在u 和 0 ) 之间取值因为( ) 有界 2 0 0 7 年 巾童荤萼学技术大学壤士学镶论文舞1 2 贾 第二幸二次漉乐统 2 3 粘性瓣勰收敛性 掰激嘉农鬻数爆，妫，甄，晒 0 僚褥 一i ( 舢蚝+ ) + h ) 一m ( 遽+ 国 弘。溉，甜) ( 3 7 l ( ) ( t ，) + 地一赫心+ 缱) 一( + 舳如一2 ( 谑+ 谚 p 。( 岛，v ) ( h c v ) + ( ) 钉) 一j 岛( 缱+ ) ， l ：l 及 舰( 口) ( ；舻+ ； 2 ) 。) 芝( 芸轧 ，t ，) ( u 2 一炉扣) ) ) 。 + ；热。纛( s s ) ( 3 毳s ；影( s ) + s ) d s ) 。 一( m + 艇) ( t 蠢+ 碡) ( t 一 0 ) ) 一( 芸& 妊，静舻一炉和羚强 + ( ，热。姣( j ) s ) ( a h o ) h ( s ) + 3 ) 蕊s k 一( r d 一( l + 妫) ( 谚+ ) ) ( d 女鱼二挲盟) 口 l z ( 芸p l ( 虬甜) ( 珏2 一酽( t ，) ) k + ( f 玩( a s 昊s ) ( 3 h ( s ) h s ( s ) 4 - s ) 如k 一掣( + 磋川蛙掣， 2 0 0 7 年 中国瓣攀技术大学琰士学健论文第1 3 夏 第二幸二次流系统 辩3 粘性繁酌收敛性 溺撵地，蠢 m 如，t i ) ( t k ( 如如，t ，( 一h ( v ) ) k + ( f ，k ( 0 ) ，# ) ( 0 ) + 扫) 如k 一( 妫+ k j ) ( 谚+ 记) ( 一7 l ( t ，) ) 麓( 如( t ，口) 钌红一赶和於k + ( 奢o ( 矗( # ) s ) ( ( j ) 十 p ) s ) 幽k 一掣 + 确一矗坠掣 这里我们应用了蕊本不等式甄2 + 鐾l 硝l 5 ，矗为经豢一个犬母。熬鬻 数，我们可i i z d 0 姨上瑟懿诗雾，我翻发瑗 ，p ( t ，h 4 ( ”k + 咖延号衅+ s 岛( 缱+ 谚) 一r 岛( 域+ 口：2 3 t 4 p 一秘，移， 因为当e 一0 时，r = o ( ) ，所以当# 充分小时，必然肖鼾饶e q 设kcr j 矿为任一紧集，淑多c 铲冗x 霞+ ) 使= l ，0 鬟咖1 用庐乘等式( 2 3 4 ) 并且部分积分得 f 仁譬婀均m 掣蝴 曼| | 静电+ q 曲+ e p 审；* c 凸c d t sm 2 0 0 7 年 巾国科学技术大学磺掌攮论文第1 4 荑 第二幸二次流糸统 2 3 糖性解豹技敏性 翔我，缱) 2 ，f 蝾) 2 ，筵= 掣在磁主鸯赛。 我f | j 把系统( 2 i 2 ) 巾的第二个方程冀成 执+ ( 矗和) 移k = 宅b 。+ “红扣) 材) 一( t 埘) ) ， 设露( 口) 为方程 执+ ( 丸扣) 口) 掌= 0 的熵用( t ，) 乘方程( 2 3 6 ) t 有 犯。3 5 ) ( 2 3 6 ) 町( u ) t + q o k 一 = - g c v ) ( ( u v ) 一雄如甜) k + 和t 。 。蒜鬻淼擞二嚣 协州 + ( ( t l u ) 一( _ i l ( ) ) ) q ”( ) t k 一( ) 磋 、。 = 一g 暂净& 一矗扣) ) k + 暂扣) 。， + 口矿扣) m h ( 口) 十矿扣) 醒 a t ( 2 。3 + 1 ) ，在荏澈鹣紧集翁c 醚童，对任纛豹垂掰，当一。靖，有 l 厶0 ) 种( t l 一_ i t ( 口) 西d x d t l 一五l 彳和) 掣( t 一氘扣) ) 圣。d x d t l ( 2 3 8 ) m ( 如r 母：出班) ( 矗也：掣业如斑) 一0 ， lj j ( 卵( 口k ) 圣d x d t i 三：籀淼菹1 ) d 髓a t t ， 一l 磊括彳) 毪) 和圣。 。 ( 矗嘲) j l j n 。v 。2 ) 女一0 ， 蘩l 当m 扣 ( 州f u 莓甾窃赫酬。0 ， 仁s 加， 墨妞= 等必如嘲敏是嘲蕴溅硅一， p ”“w 这是因为r ；d ( g ) 更进一步，m ( 2 3 1 ) 叫”( t ，) 谚在l k 上有界，从而由文f 1 4 】中 第十章的s c h 8 u d e r 定理，鲇菜个常数8 ( 1 ，2 ) ，p ) 在w - 1 p 上紧，所以 一( p ) ”如一 ( 钉) ) k + 印( ) 。+ 矿( 口) 似一 p ) 魄+ 矿( t ，) 谚 程缪- l 薄上紧。浚意臻霉和x + q c v ) ；在形一1 p 生育莽，壶醚獬8 毫毒l 壤，霉扣x 十 口( 口) 。在w 1 ，- e 紧 2 0 0 7 年 中国辩攀技术大学磺士学健论文警1 5 页 第二章二次流系统 嚣，3 特性解的收敛性 蠹疑瞧解一致枣赛，赦存煮蓑予列爨记鸯) 舻霸壤伊矗蛰餐褥 “扛，# ) 一加一n m 矿( 譬，o ) ，f p ，t ) = 彬+ 一l i m ( z ，f ) 接下来，我髓瑁攀个方程瀚餮谣捌紧翟蘩来证赘t 述豹弱8 l | 芟敛蔻疆i | 芟敛， 即矿几乎处处收敛到 瓴+ 扣矗秘) k 一0 ，v ( x ，0 ) = 铷 ) 的熵解t ，( 硝t ) ，i 耐舻p ，) 几乎处处收敛到t ( 霉，) = h ( v ( x ，功) 记 栩l 拶) q l 妒) ) 一 一知，妒( 固一g c k ) ，) 眩，袋乎) ) = 箩一拿奄) ，f ) 2 玉。 其中，七为任意常数，g ( o ) = o h ( o ) 记 露( 伊) = 馨一珏璐零 产) ，g ( ) = 链产一l i m q ( v t ) 因为，7 i ( 扩) + g l k0 = 1 ，2 ) 在w - 1 , 2 上是紧的，所以由定理1 3 ， 辘( 矿) 窖2 矿) 一啦( 移5 ) 尊l 俨) = 瑰( 矿) q 2 ( v 。) 一铂( 护) 吼( 俨) ( 2 3 。1 1 ) 叉因为 丽磊丽弓一丽丽= 砑可7 ( 矿扣) ) 。如一( 面i 弓_ = 气雨i ) 2 ， ( 2 。3 1 2 ) 鼠 m ( 俨) 驰( 俨) 一啦( 矿) 驰( 俨) i 善- 一k 瓶嬲d 2 e 篇器k 苗。 江3 - s ， 十扣 ) j ：( ( 8 ) ) 2+ ( 矿一) 片( 矿( s ) ) 2 d s + v 。一7 一臼 ，) 一g ( 是) ) 2 2 ( g ( 扩) 一窖( 移) ) 霉静) 一岔( 是) ) 。 所以由 3 1 1 ) 一( 2 3 1 3 ) ，对任意一个有界开集ncr 舻，存在一个零测 集q l c 取使得对任意的p ，n q l 有 ( 口。一 ) e ( 0 ) ) 2 d $ 一0 ( t 卢) 一g ( 移) ) 2 + p 一七) ( ( 8 ) ) 2 d 8 + 否可鬈( 孽，( 8 ) ) 2 d s 一唑! 二掣篓! 眇) 二塑塑rg ( 2 3 1 4 ) 一孑? ：) 5 片( ( 8 ) ) 2 d s 一( 孤i 万丽) z = 万鞭留( s ) z 蠡一( 孬虿巧两) 。 一扫( 口) 一9 ( 忌) ) 2 一j 石碍巧_ 二：；i ；两( g ( ) 一口( 詹) ) 丝三兰三奎兰量竺墼：! 竺竺堡竺竺墼竺 因为 矿再( 矿( s ) ) 2 d s = 芦疆巫t ( t ，七) 丽雨面+ 而尉( s ) ) 。d s = 和一七) j 了( g c s ) ) 2 d s 十孑蕊j ：( 矿( s ) ) 2 d s ， ( 2 3 1 5 ) 所以m ( 2 3 1 4 ) 一( 2 3 1 5 ) 得 ( 俨一t ，) ( 矿0 ) ) 2 d s 一臼( 口c ) 一9 扣) ) 2 + ( 石再巧_ = ：i 砑) 2 = 0 ( 2 3 1 6 ) l 酗b ( 2 3 1 6 ) 左边的两项都非负，所以 ( t 卢一t ，) ( 雪( s ) ) 2 d s 一国( t 卢) 一9 ( u ) ) 2 = 0( 2 3 ，1 7 ) 且 ( 而巧= i 两) 2 = 0 ( 2 3 1 8 ) m ( 2 3 1 8 ) ) ，有 g ( v ) = 9 ( 俨) ( 2 3 1 9 ) 因而由( 2 3 1 7 ) ，我们有 觋上( 矿一”) 厂( ，( s ) ) 2 如一( g ( 叫一g ( 硼2 如d t = 。，( 2 3 2 0 ) 因此对任意的a 0 有 觋上( 妒叫，。) ( 矿一”) r ( 夕( s ) ) 2 d 8 一( g ( 矿) 一g ( 2 如d t = 。( 2 3 2 1 ) 又因为 品( 一t ，) z 9 ( 枷2 如一( 夕( 日) 一9 ( 蝴2 = z 8 ( 扒口) 一夕，( s ) ) z 幽， 所以由矿( ) 0 ，a e 得 ，t r 上，( 矿一t ，) ( ，( s ) ) 2 d 8 一( g ( 矿) 一g ( ) ) 2 d x d t c = m e a s ( f t ( t f 一口 口) ) ， j n ( t ，i 叫， 口) j i , 2 0 0 7 年中国辩掌技术大学硕士学位论文 第1 7 页 第二幸二次漉系统2 4 带源项的二次流系统的松弛极限 并且 ， 上( ，一。一。) 扣一御) z 矿( 9 ( s ) ) 2 d s 一( 9 ( 矿) 一g ( ”) ) 2 d z d q m e a s ( q ( v 。一t 0 ，有 l l 枷mm e a s ( q ( i v * 一口i d ) ) = 0 ， 也就是说矿依测度收敛到t ，从而存在子列t ，几乎处处收敛到t j ， 满足易又 因世掣在如上有界，故对于任意的紧集kcr 月，存在正常数c k 使 得 ， ( 矿一 ( 矿) ) 2 d x d t c k r 一0 ，a 8s 一0 ， jj k 这表明存在一个子列t ，几乎处处收敛到t = ( t ，) 军此，我们完成了定理2 1 1 的证明 2 4 带源项的二次流系统的松弛极限 本节将继续讨沦二次流系统的松弛极限问题事实上，我们可以在系 统( 2 1 2 ) 的中分别加上扩散项而得到相同的结果当然，所加的扩散项并非 是任意的，它必须满足局部l i p c h i t z 条件具体地说，我们考虑系统 t t + ( 2 舻+ 沪) * + 竺掣+ f “，口) = ( 2 a 1 ) lv t + ( k + g ( u ，u ) = e 。 、 带有有界可测初值 ( 札( z ，o ) ，v ( x ，0 ) ) = ；( t 0 ( z ) ，t 帕( 尘) ) ( 2 4 2 ) 的c a u d l y 问题，在假设系统( 2 4 1 ) 同系统( 2 1 2 ) 具有同样的初始条件下，我 们对f g 设置一些限定条件就可以得到同定理2 1 1 一样的结果 定理2 4 1 假设初始值( 咖( 卫) ，珊( 茁) ) 有界可测，h ( v ) c 口( r ) ，h 和g 局部 l i p c h i t z 连续且满足： 一了煞f ( u ，”) 靛( 2 4 3 ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 第二章二次流系统 2 4 带源项的二次流系统的松弛极隈 并且m e 勰 t ，：矿( 口) = 0 = 0 ，其中，9 ( 口) = v h ( v ) 如果存在，l 0 ，使 得曲线和初始值( t 0 ( z ) ，如( z ) ) 在区域 l = m ， ) ：埘( 钍，t ，) sn ，z ( u ，t ，) 2 - l 内部，且t = j i i ( t ，) 通过曲线叫= n 和2 = 一l 的两个交点( u l ，t 1 ) ：0 ( v 2 ，抛) r 见 f i g u r e ，那么，c a u c h v f f i 是$ _ ( 2 4 1 ) - ( 2 4 2 ) 0 解( 矿，俨) = ( 旷，矿，7 ( c ) 在r 【0 ，+ o o ) 上存在且满足 i t ，( z ，t ) i tl ( ，t ) l m ，( 。，t ) rxr + ， 其中，m 与无关更进一步，假设当e o 时，下= d ( e ) 那么，存在一个子 列r 仍记为，( u c ，矿) 强收敛到( t ， ) ，其中( u ，t ，) 由下面( e 1 ) 一( j 江) 唯一确定： ( 蜀) u ( x ，t ) = _ l 扣( ，t ) ) ，对几乎所有的( z ，t ) 冗尼成立j ( 岛) v ( x ，t ) 是c a u c h y f 日题 仇+ 扣l ( t ，) k + g ( t ，t ) = 0 ，t ，扛，0 ) = 如( z ) 的l * 熵解 注2 。4 1 满足条件( 2 4 3 ) 的函数很多，例如 f ( t ，1 1 ) = o f t 2 t j 2 ，g o , ，口) = 钟t ，( 、五i 干否十i u l ) ( i 口i 卢) 定理2 4 1 的证明这个定理的证明大部分地方都跟定理2 1 1 的证明一样， 在这里我们只着重叙述不一样的地方在不引起歧义的情况下，下面的叙述 过程中我们将赢接沿用本章前面的记号 i 尉定和7 _ ，c a u c h y l 司题( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 牯性解的存在性 用v w ( u ，口) 乘以系统( 2 4 ，1 ) 的两个方程，经整理得： 叫t + k t + t 掣+ ( 如。f ( t 上， ) + t 如g ， ) ) = t 一$ ( w u u y , 2 + 2 饥v + 缸j w 记) ， 由( 2 4 3 ) ，t f m ，口) + w , g ( u ， ) 20 ，所以 砒+ a 2 + t 兰型t ( 2 4 4 ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 9 页 第二幸二次流系统 2 4 带源项的= 次流系统的松弛极限 同样的计算过程，有 施+ a l 缸+ 气掣e ( 2 4 5 ) 凶此，由不变域定理及2 2 中的过程，我们可以得到( 旷，矿) 的先验l 。估计于 是粘性解存在且满足 i t ，扛，t ) l tl t ，0 ，t ) l t( $ ，t ) r r + 其中，m 与s 无关 i i ( 矿，矿) 的收敛性及平衡解 同2 3 节中一样，我们选取同样形式的凸函数p ( “，口) ，然后用、t p ( u ，t ，) 乘以 系统( 2 4 1 ) ，做同样的处理得 p ( u ， k + q c u ，甜k + c d 掣+ e c 2 ( u ：+ 醒) 一下c ( 醒+ 记) + ( 巩( t ，v ) f ( u ，”) + m ( t ，v ) a o , ，口) ) ( 2 4 6 ) se p x 。( t ，t ，) 注意到九( 札，v ) f ( u ，口) 和m ( 札，v ) a c u ， ) 一致有界，故它在l k 卜有界因而 用一个合适的非负的试验函数乘等式( 2 4 6 ) 并部分积分可得( ) 2 ，( ) 2 ， 世二：；业在l k 上有界，即对任意的紧集耳cr r + ，存在充分大的正常 数p k ，使得 + s 谑+ 堕二_ 刍咝) 帆叼s 保 ( 2 4 7 ) 我们把系统( 2 4 1 ) 中的第二个方程写成： 仇+ ( ) k = e q 。+ ( ( 扣) t ，) 一( t t ，) k g ( u ，t j ) 同样的处理，有 ，7 ( v ) t + 口( u ) ；= - ( v ( 口) ( t 一九( 口) ) ) ，+ e 叩( 口) 。+ 矿( ) ( t 一 ( ) 。 + 矿( ) 缱一粕g ( t ，u ) 由于吼g ( t ，口) 一致有界，因而在如上有界，由标准的时论可知叩( t ，) t + q ( t ，k 在 日1 上紧其余部分的证明同定理2 1 1 的证明样这里不再赘述 定理2 4 1 证毕 第三章l er o u x 系统 本章将研究l er d u x 系统f 2 l 的松弛极限文吲证明了l er d l l ) 【系统 协蹴菪。 江叭， 带有有界初值的c a u c h y 问题存在全局熵解本章将继续应用补偿列紧理沧 讨论该系统的松弛极限的存在性问题在系统( 3 0 1 ) 中加入松弛项及粘性项， 我们考虑下面的c 8 u d 可问题： 僻蹴竺了剐 带有初值 “p ，0 ) = t o ( z ) ， 0 ，0 ) = 如扛) + s ，t j 0 0 ) 0 ( 3 0 2 ) ( 3 0 3 ) 在本章中，我们将证明c 8 u d l y 问题( 3 ，0 2 ) 一( 3 0 3 ) 的粘性解( 矿，7 ( “，矿r 扣) 全 局存在，并且若当e 一0 时，r = d ( ) 则存在粘性解的子列( ，r ( “，矿，7 ( e ) ) 几 乎处处收敛到平衡解确切地说，我们由如下定理 定理3 0 1 ( f 3 1 ) 假设初始值( t 0 ( ，如( 卫) + e ) 有界可测，( z ) 0 ， ( ) 俨( r ) ，且m e a s v ：矿( ) = o ) = 0 ，其中9 ( ) = u ( ) 如果存在一个区域 e 2 = t ( t 上，t ，) ：w ，t ，) n ，z ( u ，) 一l ， o ) 其中常数，二 0 ，使得曲线u = ( ) 和初始值( t 1 0 ( z ) ，珈( z ) + ) 在区域e 2 的 内部，且曲线札= ( ) 经过点( 0 ， ( 0 ) ) 及曲线叫= n 和。= 一l 的交点( o ，面) ( 见f i g u r e 甜 那么，咖问题何0 彩一p 0 夥的解，矿) = ( 矿球) ，庐7 ( f ) 解全局 存在且满足 i t ，( z ，t ) l i 矿( z ，t ) i m ，( z ，t ) r r + ， 其中，m 与无关更进一步，如果当e 一0 时，r = o ( ) 那么当e o 时，存 在一个子列r 仍记为，( 俨，俨) 强收敛到函数( t ，口) ，其中，( u ， ) 是由下面( e 1 ) 一 ( 岛) 唯一确定的平衡状态? 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 1 页 第三章l er o u x 系统 3 1 粘性解的存在性和收敛性 j ， 2t t l , l ， 釜 y ： z = 一 f i g u r e2 v ( e 1 ) t ( z ，t ) = ( z ，t ) ) ，对几乎所有的( 霉，t ) r 尼i ( e 2 ) v ( x ，t )c a a c h y f 题, v t + 0 _ l ( ) ) 。= 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 的l ”熵解 本定理的证明同样包含两部分，我们将在下节给出 3 1 粘性解的存在性和收敛性 我们先证明c a u d l y 问题( 3 0 2 ) 一( 3 0 3 ) 存在全局粘性解，即对固定的s 和r ， c a u c h y f 司题( 3 0 2 ) 一( 3 0 3 ) 存在全局光滑解 事实上，经过简单的计算，我们可知系统( 3 0 2 ) 的两个特征值为 11 a l = 云( 3 钍一d ) ，a 2 = 言( 3 t + d ) ； 相应的两个右特征向量为： r l ：( 一l ，兰去旦) r ，r 2 ：( 1 ，下- u + d ) t 系统( 3 0 1 ) 的两个r i e m a n n 不变t w ( u ，t i ) ，z ( u ，t ，) 满足方程 一饥竺尝；0 ，气+ 下- u + d ：0 ( 3 1 _ 1 ) 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 2 页 第三章l ea o u x $ 统 3 1 粘性解的存在性和收敛性 方程( 3 3 1 ) 的个解为 w 【 ) = t + u ，z 【， ) = t 正一d ， 其中，d = 干面于是 眠= ，十茜，矾。= 昙， 帆。= 西4 v ，w 。= 一茜，眦。= 一可4 ； 磊= 1 一茜，乙，= 一面2 ， 口4v72u，4 = 一丽，z 叫。蕾，2 可 为完成这部分的证明我们霈霹下述引理 引理3 1 1 设( 矿，俨) c ”( 只( o ，刁) 为c n t c 幻问题( 3 0 2 ) 一( 3 0 3 ) 的局 部解，那么矿( 2 ，t ) c ( t ，) 0 ，( g ，t ) 冗( o ，卅 引理3 1 1 的证明令伽= l o g “e p v = 矿，则 0 t = ( ) t = 毗 ( u v ) z = t k + 删z = u e 叫+ t e 叫t = ( e w 饥k = e ”2 + e w 地， 把之代入系统( 1 2 ) 的第二个方程得 w t + t n 如+ t k = ( t ，粘+ t 磋) ，( 3 1 2 ) 把上式改写为 撕= s + e ( 一芸) 。一一笔 ( 3 1 3 ) 因为叫= l o g ，相应地，方程( 3