（基础数学专业论文）四元数矩阵方程组aaxcaxbbcbacxbccc的各种对称解.pdf

声明 f 胛 y 17 4 1 5 6 ”8 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别加 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与同 一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 签名2 献淑军日期： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 图书分类号：0 1 5 1 2 1单位代号：1 0 2 8 0 学 号：0 7 7 2 0 0 0 1 上海大学理学硕士学位论文 四元数矩阵方程组a n x = g ，x b b = c b ，a c x b c = c c 的 各种对称解 作者：颜淑军 导师：王卿文教授 专业：基础数学 2 0 1 0 年5 月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t yf o rt h e d e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e 。1 r i o u ss y m m e t r i cs o l u t t ot h es y s t e mofvarloussm m e t r i co l u t i o n st ot h e q u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n sa n x = c a ，x b b = c b ，a c x b c = m d c a n d i d a t e ：y a ns h u j u n s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gq i n g w e n m a j o r ：p u r e m a t h e m a t i c s s h a n g h a iu n i v e r s i t y s c h o o lo fs c i e n c e m a y , 2 0 1 0 摘要 本文在四元数除环上研究了矩阵方程组如x = g ，x b b = c b ，a 。x b c = g 的 各种对称解一些矩阵方程组一般解的最小范数这些结果进一步丰富和发展了 四元数矩阵代数 全文共分为三章第一章，我们首先介绍了本文的一些研究背景、研究进展 和本文所要做的主要工作除此之外，还介绍了一些预备知识 第二章，我们分别研究了四元数矩阵方程组a 。x = q ，x b b = c b ，a 。x b e = g 的( 反) 反射解，p 一( 斜) 对称解存在的若干充要条件，一般解对应的具体表达式 以及反射解的极秩和最小范数 第三章，我们研究了四元数矩阵方程组a l x = c 1 ，x b l = c 2 ，a 2 x = c 3 ，x b 2 = 瓯，a 3 x b 3 = c 5 ，a 4 x 1 3 4 = 魄在有解的条件下一般解的最小范数，利用此方程组 一般解的最小范数的结论研究了一些矩阵方程组一般解的最小范数 关键词：四元数矩阵方程组，四元数矩阵表达式，广义逆，对称解，( 反) 反 射解，p 一( 斜) 对称解，最大秩，最小秩，最小范数 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n v e s i g a t et h ev a r i o u ss y m m e t r i cs o l u t i o n st ot h e s y s t e mo fq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n sa 口x = a ，x b b = g ，a c x 取= q t h e l e a s t - n o r mo ft h eg e n e r a ls o l u t i o nt os o m es y s t e ms q u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n s t h e s er e s u l t sf u r t h e re n r i c ha n dd e v e l o p et h eq u a t e r n i o nm a t r i xa l g e b r a t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t o3c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h e r e s e a r c hb a c k g r o u n d ，p r o g r e s s e sa n dt h em a i nw o r k w eh a v ed o n ei nt h i sd i s s e r - t a t i o n s o m ep r e l i m i n a r i e su s e di nt h i sp a p e ra r ea l s op r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w e c o n s i d e rt h er e f l e x i v e ( o ra n t i - r e f l e x i v e ) a n dp - s y m m e t r i c ( o rp - s k e w s y m m e t r i c ) s o l u t i o n st ot h es y s t e mo fq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n sa d x = c a ，x b b5 既，a c x b c = g w eg i v et h es o l v a b i l i t yc o d i t i o n sa n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n o ft h e s es y m m e t r i cs o l u t i o n st ot h es y s t e m sm e n t i o n e da b o v e w eg i v em a x i - m a lr a n k m i n i m a lr a 丑ka n dt h el e a s t - n o r mt ot h er e f l e x i v es o l u t i o n i nc h a p t e r 3 ，w ei n v e s i g a t et h el e a s t n o r mo ft h eg e n e r a lc o m m o ns o l u t i o nt ot h es y s t e m o fs i xq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n sa 1 x = c 1 ，x b l = q ，a 2 x = c 3 ，x b 2 = 6 4 ，a 3 x b 3 = g ，a 4 x b 4 = ga n du e st h i sc o n c l u s i o nt oi n v e s i g a t et h el e a s t - n o r mo ft h eg e n e r a lc o m m o ns o l u t i o nt os o m eq u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n s k e yw o r d s ：q u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n s ，q u a t e r n i o nm a t r i xe x p r e s s i o n ， g e n e r a l i z e di n v e r s e ，s y m m e t r i c ( o rs k e w s y m m e t r i c ) s o l u t i o n ，p e r s y m m e t r i c ( o r p e r s k e w s y m m e t r i c ) s o l u t i o n ，r e f l e x i v e ( o ra n t i - r e f l e x i v e ) s o l u t i o n ，p s y m m e t r i c ( o rp - s k e w s y m m e t r i c ) s o l u t i o n ，m a x i m a lr a n k ，m i n i m a lr a n k ，t h el e a s t - n o r m 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章引言与预备知识1 1 1 引言1 1 2 预备知识及记号3 1 3 几种对称矩阵9 1 4 矩阵的广义逆1 1 第二章矩阵方程组的各种对称解1 3 2 1 四元数矩阵方程组 a 口x = g ，x b b = c b ，a 。x b c = g 的( 反) 反射解1 3 2 2 四元数矩阵方程组 a 。x = c a ，x b b = g ，a 。x b c = c c 的p 一( 斜) 对称解2 2 第三章四元数矩阵方程组一般解的最小范数2 5 3 1 四元数矩阵方程组a 1 x = c 1 ，x b l = q ， a 2 x = 锯，x b 2 = 瓯，a 3 x b 3 = c 5 ，a 4 x b 4 = 瓯一般解的最小范数2 5 3 2 一些四元数矩阵方程组一般解的最小范数3 1 参考文献3 3 作者在攻读硕士学位期间发表的论文4 0 致谢4 1 1 1 引言 四元数是伟大的爱尔兰数学家w r h a m i l t o n 于1 8 4 3 年发现的，它的发现标 志着一个新的代数系统非交换除环和有限维代数的诞生四元数形成一个实数域 上不可交换的四维结合代数体上矩阵是非交换代数研究的基本方向之一，早在 2 0 世纪6 0 年代初，著名数学家华罗庚、万哲先在其专著典型群【1 】1 序中就明 确指出：体上的矩阵是一个值得注意的对象，因为它是一个不太失去普遍性的抽 象事物，但同时又和成果丰富的具体的域上的矩阵距离不远他们在典型群及矩 阵几何方向上取得了举世公认的成就而四元数矩阵正是非交换除环上矩阵的重 要情况 很多著名的数学家对四元数及四元数矩阵的研究作出了重要贡献如1 9 3 6 年 l a w o l f 研究了四元数矩阵的相似【2 】1 9 4 1 年n i v e n 给出了四元数标准多项式的 解的存在性定理f 3 】且于1 9 4 4 年和s e i l e n b e r g 一起证明了四元数代数基本定理 【4 1 h c l e e ，j l b r e n n e r ，n a w i e g m a n n ，r m w w o o d 等分别于1 9 4 9 年，1 9 5 1 年，1 9 5 4 年，1 9 8 5 年给出了四元数矩阵具有右特征值，左特征值和标准型的理 论( 【5 】- 8 】) j e j a m i s o n ，y h a u - y e u n g ，w s o ，r c t h o m p s o n ，f z h a n g 等分别于 1 9 7 2 年，1 9 8 4 年，1 9 9 4 年，1 9 9 5 年给出了四元数矩阵的数值域方面的一些理论 ( 【9 】 1 2 】) 1 9 8 9 年a b u n s e - g e r s t n e r ，r b y e r s 和v m e h r m a n n 给出了四元数矩阵的 q r 分解算法【1 3 1 9 9 7 年，张福振对四元数及四元数矩阵作出了较详细的总结， 并在h c l e e 的研究基础之上，给出了任意四元数矩阵极分解的存在性及其证明 【1 4 1 2 0 0 3 年d r f a r e n i c k 和a f p i d k o w i e h 介绍了四元数矩阵的谱理论及其一些 应用 1 5 】此外，2 0 世纪的八九十年代，国内的谢邦杰，陈龙玄等一批著名的数学 家对四元数矩阵的行列式也做了比较深刻的研究( 【1 6 】i 【17 】) 上述工作中影响比较 大的有：p m c o h n 七十年代用模论方法建立起的除环上矩阵相似化简的基本理 论( 1 8 】- 2 0 】) ，谢邦杰八十年代建立起的除环上可中心化矩阵的初步理论( 【2 1 】， 2 2 】) 自2 0 世纪八十年代末期以来，随着代数学的进一步发展，除环上矩阵论的研究也 进一步深化，并成为代数学研究的一个新的生长点 矩阵方程是矩阵代数中的非常重要的内容之一，人们对矩阵方程的研究一直 2 上研究了矩阵方程组 似a 1 x 岛b 1 ：= q c z ， 基 n 地， 豢 ”， 豢 ， a z x = c 1 x b l = q a 2 x = c 3 ( 1 1 5 ) x 玩= c 4 a 3 x b 3 = g a 4 x 上h = 饶 有解的充要条件和一般解的表达式；王，w o u d e 和常在 6 4 】中研究了四元数矩阵 论文 3 a 1 x 1 = c 1 x 1 8 15c 2 a 2 x 2 = 岛 ( 1 1 6 ) x 2 8 2 = c 4 a 3 x 1 8 3 + a 4 拖玩= g 有解的充要条件和一般解的表达式研究矩阵方程组主要内容：一是研究解矩阵 方程组的工具和方法，二是研究矩阵方程组可解的条件和解的表达式矩阵方程 组的解又包括一般解和具有特殊意义的约束解，如对称解、中心对称解、p 对称 解、反射解、最i 、- - 乘解、最佳逼近解等对线性方程组的研究除了在理论上有重 要的意义外，还在力学、控制论、理论物理、理论电工技术、遥感技术等各种领域 有重要的应用 全文内容大体上可分为三章第一章，除了介绍本文主要内容的一些研究背 景、研究进展之外，还介绍了一些预备知识其中包括实四元数的概念及其一些性 质，四元数矩阵的相似、秩、广义逆以及各种特殊矩阵，如对称矩阵、反射矩阵、 和p - 对称矩阵等第二章，主要给出四元数矩阵方程组( 1 1 2 ) 有( 反) 反射解和 p - ( 斜) 对称矩阵的充要条件和一般解的表达式，反射解的极秩和最小范数第三 章，求出四元数矩阵方程组( 1 1 5 ) 在有解的条件下一般解的最小范数，利用此结 论研究了一些矩阵方程组一般解的最小范数 1 2 预备知识及记号 本节主要介绍四元数，四元数矩阵的一些基础知识，并且介绍了本文所用的 一些符号 本文约定，用r 表示实数的全体，c 表述复数的全体，现表示实四元数代 数；皿m n 表示上全体m n 矩阵；聊加表示上秩为r 的全体m t , 矩 阵；g l 竹( ) 表示上的全体n 阶可逆矩阵；r a n k a 或r ( a ) 表示矩阵a 的秩， i ，0 分别表示适当阶数的单位矩阵和零矩阵；对于a m x “，a + 表示a 的共轭转 置，a t 表述a 的转置，才表示a 的共轭；表示一个n 他的置换矩阵，它的 次对角元素为1 ，其余元数全为0 下面我们介绍四元数和四元数矩阵的基础知识 4 其中i ，j ，k 满足 q2a o + a l i + a 2 j + a 3 k ，a o ，a l ，a 2 ，a 3 r i 2 = j 2 = k 2 = 一1 ， 巧= 一= k ，j k = 一k j = i ，k i = - i k = 歹， ( 1 2 7 ) 则称形为式( 1 2 7 ) 的数q 为四元数，而称a o 为q 的实部，记为r e 向，= n 0 ，称a l i + a 2 j + a 3 k 为q 的虚部，记为i m ( q ) = a l i + a 2 j + a 3 k 四元数的全体记为皿，即 如果我们有 = 0 0 + a l l + a 2 j + a 3 k a o ，a l ，a 2 ，a 3 r ) q l = a o + a l l + a 2 j + a 3 k ， q 2 = b o + b l i + b 2 j + b 3 k 。 则两个四元数的相等、加法与乘法分别规定如下： q l = q 2 甘a o = b o ，a l = b l ，a 225 2 ，a 3 = b 3 ， 9 1 + q 2 = ( a o + b o ) + ( a l + b 1 ) i + ( a 2 + b 2 ) j + ( a 3 + b 3 ) k ， 口1 q 2 = ( a o b o a l b l a 2 b ：一a 3 b 3 ) + ( a o b l + a l b o + a 2 b l a 3 b 2 ) i + ( a o b 2 + a ：b o + a 3 b l 0 1 6 3 沿 + ( a o b 3 + a l b 2 + a 3 b o a 2 b 1 ) k 四元数q = a o + a l l + a ：j + a 3 k 的共轭虿定义为 - 4 = a o a l i a ：j a 3 k 四元数q 的长度或模i q i 定义为 g l = ( 丽) = ( 碚+ o + o ；+ 3 2 ，z 1 显然，对于两个实四元数p ，q 有两= 一qp 一，p + q = 歹+ 4 位论文 5 元数就是复数，这时q = a o + a l i c 进而当a 1 = o 2 = a 3 = 0 时，则式( 1 2 7 ) 表示的四元数就是实数，这时q = a o r 故四元数是实数和复数的扩充容易验证四元数的加法满足结合律与交换律，乘 法满足结合律，乘法对加法满足分配律但乘法不满足交换律正因为四元数乘 法不满足交换律，这使得四元数和四元数矩阵理论研究起来十分困难 【1 4 】中关于四元数我们有以下定义、命题和定理 定义1 2 2 设q 皿，若存在p 皿，使得 q p = p q = 1 则称四元数p 为四元数q 的倒数或逆元，记为q ，即有 q q 一1 = q - l q = 1 命题1 2 1 四元数q 存在逆元的充要条件是q 0 ，且q 的逆元是唯一的，并有 口2 寺 命题1 2 2 设q l ，q 2 皿，且q l 0 ，q 2 0 ，则有 ( q l q 2 ) = q 2 1 酊1 定理1 2 1 易y ，z 为四元数，则有以下成立 ( 1 ) z z = z z 。，即i z i = l z + i ； ( 2 ) i i 为上的模，则有 i zj = 0 铮z = 0 ， i z + y i l z l + i y i ， i x y i = i y x i = 吲l y i ； ( 3 ) 评+ 钟= ( i z + y 1 2 + l z y 1 2 ) i ( 4 ) z = t ，其中t 是一单位四元数，即i u i = 1 i ( 5 ) 对于任意复数c ，有j c = 可或j 巧= 己i ( 6 ) 若z = x o + x l i + x 2 j + x 3 k ，更l ix i x = ( x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ) t + 2 ( 一x o x 3 + x l x 2 ) j + 2 ( x o + x l x 3 ) k ； 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 6 ( 7 ) z = ( z + z 。) + ( z + t z ) + ( 刃+ j z j ) + 5 ( z + 知z + 七) ，矿= 一0 + t z i + 歹力+ 后z 后) i ( 8 ) t 2 = i r e ( z ) 1 2 一i m ( x ) 1 2 + 2 r e ( z ) i m ( z ) ； ( 9 ) ( z 秽) 。= y * x ； ( 1 0 ) ( x y ) z = z ( 可z ) i ( 1 1 ) 一般情况下 + 可) 2 z 2 + 2 x y + y 2 ； ( 1 2 ) 矿= 霉当切仅当z r ，r 为实数集； ( 1 3 ) 任意z ，凹= z c 当且仅当c r i ( 1 4 ) z 2 = 一1 有无穷多个四元数解z i ( 1 5 ) z 和矿都是2 2 ( r e ( x ) ) t + 2 = 0 的解； ( 1 6 ) 每一个四元数q 都可以唯一的表达成q = c l + c 2 歹，其中c l ，c 2 为复数 定义1 2 3 俾元数的复数表示，设口h ，即q = a o + a l i + a 2 j + a 3 k ，a o ，a l ，a 2 ，a 3 r ，则q 可唯一地表示为 q = ( a o + a l i ) + ( a 2 + a 3 i ) j ， ( 1 2 8 ) 令名1 = a o + a l i ，砘= a 2 + a 3 i ，则q 可唯一地表示为 口= z l + z 2 j ，z lz 2 c ，j 2 = - 1 ( 1 2 9 ) 时( 1 2 9 ) 称为四元数的复数表示 命题1 2 3 设四元数q 的复数表示为( 1 2 9 ) ，则 l 口l = 川2 + 蚓2 ， 一q = 一z l z 2 j g - 1 = 赤阢- z 2 j ) 命题1 2 4 对于v z c ，有 j z = 勿， z - - 3 7 = 一z j 定义1 2 4 设n ，b 为任意的两个四元数，若存在非零的四元数z ，使得 z o z 一1 = b ， 则称四元数a 与b 是同类的或四元数a 与b 相似，记为a b 7 j 为z = x o + z l i + x 2 j + x 3 k ，y = y o + y l i + y 2 j + y a k 则z 和y 相似当且仅当x o = y o ，z i + z ；+ z ；= y + 谚+ 秒；， 即r e ( x ) = r e ( y ) 且l j m ( z ) i = i l m ( u ) 1 四元数矩阵的基本运算：加法，数乘和乘法与常规矩阵一样【1 4 】中，关于四 元数矩阵可逆和运算有以下定义和定理 设a n ”，若存在b 似”，使得 a b = b a = i 则称四元数矩阵a 是可逆的，而称b 为a 的逆阵，a 的逆阵记为a 若a = a o + a x i + a 2 j + a 3 k 皿m n ，山，a 1 ，a 2 ，a 3 r n ，贝0 a + = 箭一a t i 一蟹j 一霹惫 定理1 2 3a m 煳，b 酽p ，则有 ( 1 ) ( - a ) r = 一a t ； ( 2 ) ( a b ) = b a + ； ( 3 ) 一般情况下，丽一a b ( 4 ) 一般情况下，( a b ) t b 丁a t ； ( 5 ) 若a ，b 可逆，则( a b ) 一1 = ( b ) 一1 a 一1 ； ( 6 ) 若a 可逆，则( ) - 1 = ( a - 1 ) + i ( 7 ) 一般情况下，( - ) 一1 万i j ( 8 ) 一般情况下，( a r ) 一1 ( a 一1 ) t 根据【6 7 ，四元数矩阵a 的秩，r ( a ) 是指矩阵a 的列向量右线性无关的最大 列数或a 的行向量左线性无关的最大行数若对于适当阶数的可逆四元数矩阵尸 和q ，则有r ( p a q ) = r ( a ) 易知四元数矩阵a 的秩等于其正奇异值的个数 定理1 2 4 ( 【6 8 d 设a n ，口”煳，c h 5 ，p g l m ( ) ，q g l n ( ) ，则有 下面式子成立 ( 1 ) r ( a ) = r ( p a ) = r ( a q ) = r ( p a q ) ； ( 2 ) r ( a ) + r ( b ) 一佗r ( a b ) m i n r ( a ) ，r ( b ) ) ； ( 3 ) r ( a b c ) r ( a b ) + r ( b c ) 一r ( b ) 大学硕士学位论文 8 义为 的概念 设a = a l + a 2 j m 加，其中a 1 ，a 2 c m 黼四元数矩阵a 的复表示矩阵定 拈 竺a t 2 加， 对于a m n ，b m x ”，c 咿瑚，容易验证下面的等式成立； ( 1 ) ( 厶) 。= 1 2 。； ( 2 ) ( a + j e 7 ) 。= a 。+ b 。； ( 3 ) ( a c ) 。= a 。c 。； ( 4 ) ( a ) 。= ( a 。) 。； ( 5 ) 当m = n 时和a - 1 存在时，( a - 1 ) 。= ( a 。) - 1 ； ( 6 ) 如果m = 礼和a 。是酉矩阵、h e r m i t i a n 、对合矩阵当且仅当a 分别是酉矩阵、 h e r m i t i a n 、对合矩阵 由于四元数的乘法不满足交换律，因此四元数矩阵的特征值有左右之分 定义1 2 5 设a ”黼，若存在a 皿及0 口町1 使得a a = a a ( 4 q = a q ) ，则 称a 为a 的右佐，特征值，a 为矩阵a 属于特征值入的特征向量当a 既是a 的右特征值又是a 的左特征值时，则称a 为a 的特征值 由上可知，四元数矩阵a 的右特征值不一定是左特征值，左特征值也不一定 是右特征值 命题1 2 5 ( 1 0 1 ) 设a n 肌，则a 必存在右特征根入= q + 历( q ，p r ，卢o ) ，并 且有n 个这样的非负虚部的复特征根，这些特征值称为标准特征值a 相对于右 特征值a 的所有右特征值可表达为9 ( a ) = 伽- 1 q w ：w ，w o ) 对于a ，l 肌，如果 x lx 2 e c 1 x 加 ( 1 2 1 1 ) 是a 。属于特征根a 的特征向量，那么 y = z 1 一锄 ( 1 2 1 2 ) 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 9 也是矩阵a 属于右特征根a 的特征向量，其中x l ，。2 c 1 黼因此，我们可用四 元数矩阵的复表示矩阵的特征根和特征向量来计算四元数矩阵的特征根和特征向 量 定理1 2 5 ( 【矧) 设a 肿跏，则存在酉矩阵u ( u u + = u + u = j ) 使得u 4 a u 为上 三角矩阵 定理1 2 6 ( 【j 胡奇异值分解) 设a 皿x n ，则存在酉矩阵u m m ，v 肿黼使 得 u a y = ： c 2 1 3 ， 其中d r = d i a g ( d l ，d r ) ，也是a 正的奇异值，i = 1 ，r 下面简单的介绍一下【1 5 】中的关于四元数内积内积空间的定义 设y 是一个一右向量空间，如果对于y 中的任意两个向量( 1 ，白恒有 中唯一的数( a ，白) 与之对应，则称( n ，( 2 ) 为臼，( 2 的一个内积，如果对于任意的 口1 ，口2 衄和( 1 ，( 2 ，( 3 y ： ( 1 ) ( ( 1 q l - - 白q 2 ，( ) = 而( ( 1 ，( ) - i - 西( ( 2 ，e ) ； ( 2 ) ( c 1 ，( 2 ) = ( 白，q ) ； ( 3 ) ( ( ，( ) 20 ，且( ( ，( ) = 0 当且仅当( = 0 则( v 的范数为i i ( i i = 虿乃 由上面的定义可知，在右m x ”中，对于a ，b 皿m 煳，内积( a ，b ) = t r b a 是 四元数内积空间矩阵a m 加的范数定义为i i a i i = ( t r a a ) 壹 1 3 几种对称矩阵 本节主要在上定义( 斜) 对称矩阵、( 斜) 广义对称矩阵、( 斜) 中心对称矩 阵、( 反) 反射矩阵、p - ( 斜) 对称矩阵，并给出它们的一些性质 定义1 3 1 设a = ( o 巧) 聊一n ，a = ( 研) 酽m ，a ( ) = ( a m - j + l , n - i + 1 ) p 饥，a u = ( 口m 一件1 ，。一j + 1 ) m 黼，其中一a i d 是i 的共轭转置那么a ( + ) = k ，a n = 翰彳 ( 1 ) 矩阵a = ( a o ) 酽”称为对称矩阵或自共轭矩阵，如果a = a + 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 1 0 ( 2 ) 矩阵a = ( a i j ) 舻跏称为斜对称矩阵或斜自共轭矩阵，如果a = 一 ( 3 ) 矩阵a = ( a i j ) 似竹称为广对称矩阵或广自共轭矩阵，如果a = a ( “ ( 4 ) 矩阵a = ( a i j ) n n 称为斜广对称矩阵或斜广自共轭矩阵，如果a = - a ( ” ( 5 ) 矩阵a = ( a i j ) m 跏称为中心对称矩阵，如果= a m i + i ，n j + l ，即a = ( 6 ) 矩阵a = ( a o ) m 煳称为斜中心对称矩阵，如果a i j = 一一i + l ，n j + l ，即 a ：一a 口 ( 7 ) 矩阵a = ( o 巧) 似n 称为双对称矩阵，如果= a n i + 1 ，。一i + t = 一a j i ( 8 ) 矩阵a = ( a i j ) 咿黼称为斜双对称矩阵，如果口巧= 一a n i + 1 ，。一j + l = 一可 全体n n 对称矩阵为s c 。( ) ，全体他xn 斜对称矩阵记为s s 。( ) ，全体佗佗 广对称矩阵为m c 竹( ) ，全体n 礼斜广对称矩阵记为s m c 。( ) n ，全体m 礼中心 对称矩阵记为c ( m n ) ，全体n n 中心对称矩阵记为c 。，全体m 佗斜中心对称 矩阵记为c s ( m 竹) ，全体竹x 竹斜中心对称矩阵记为c & 全体n n 双对称矩阵 记为b 。( h ) ，全体n n 斜双对称矩阵记为s 。( ) 因为本文都是在上讨论方程组 的解，故括号的有时省略不写 命题1 3 1 ( 1 ) 在h 上，对于自共轭矩阵、广自共轭矩阵、中心对称矩阵，其中任 意两种意味着第三种，所以对于双中心对称矩阵a ，必有a = a = a ( ) = ( 2 ) k = w = 怯”= v 2 ( 3 ) 对于日上的矩阵a 和b 有， ( a b ) + = b + a + ，( a b ) ( + ) = b ( + ) a ( ”，( a b ) ”= b # a 口 ( 4 ) 设a 可逆，则有( a 一1 ) = ( a ) ，( a 一1 ) ( + ) = ( a ( + ) ) ，( a 一1 ) = ( a 4 ) ( 5 ) a 肿黼，尸g l n ，则有 ( 6 ) a 丑n “，则有 a s c 。幸号p + a p s c 。， a m c n 仁号p o ) a p m c 。 a s c 。错k a 或a m c n ， a m c 。骨v n a 或a s c 。 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 实数域上关于中心对称和斜对称矩阵自从1 9 3 9 年开始被广泛的研究，它用 于工程问题，信息理论，线性系统理论，线性估计和数值分析理论及其他领域， ( 6 9 卜【s 3 1 ) 作为中心对称解和斜中心对称矩阵的推广，反射矩阵和反反射矩阵被 定义在 8 4 】和 8 5 】；一复矩阵a 是反射( 反反射) 的如果a = p a p ( a = - p a p ) ，其 中p 满足p + = p p 2 = i 受反射矩阵和反反射矩阵的启发，t r e n c h 在【8 7 】中定义 了p 一对称和p 一斜对称矩阵；一复矩阵a 是p 一对称矩阵( p 一斜对称矩阵) 若 a = p a p ( a = 一p a p ) ，其中p 是对合矩阵，i e p 2 = i 这些矩阵应用在工程和科 学计算等，( e g 8 5 】，【8 6 1 ) 定义1 3 2 设p 似n 是对合矩阵，即p 2 = i 称a 似n 是尸一对称矩阵陇 p 一斜对称矩阵j 如果a = p a p ( a ：x , a = 一p a p ) ，其中p 皿似n 是对合矩阵特别 地，当p + = p p 2 = i 时，p 一对称矩阵称为反射矩阵，p 一斜对称矩阵称为反反 射矩阵 1 4 矩阵的广义逆 矩阵的广义逆是研究矩阵方程的一种十分重要的工具本节将给出本文所要 用到的四元数除环上的广义逆的性质和广义逆的公式 定义1 4 1 设a i - i n , ，如果存在a o ) 使得a a ( 1 ) a = a ，则称a ( 1 ) 为a 的一个内 逆或广义 1 ) 逆；如果a + m 肌，同时满足a a + a = a ，a + a a + = a + ，则称a + 的一个反身逆或 1 ，2 ) 逆 显然，a 有一个广义 1 】逆当且仅当a 有广义 1 ，2 】逆 命题1 4 1 设a 驴x 忭，则有( a + ) 4 = ( ) + 命题1 4 2 设a 妒黼，必存在p g l 。( ) ，q g l 。( h ) 使得 p a q = ：三 其中d g l ，( ) 于是有 a c ”= q 蔓1 羔 p 其中x l ，x 2 和x 3 是皿上具有适当阶数的任意矩阵 1 2 a x ，( x a ) = x a ，则称x 是a 的一个m d d 他一p e n r o s e 广义逆，记为a t x ，( a x ) + = 本文约定，l a = i a t a ，r a = j a a t 容易验证“，r a 均是幂等矩阵，且 它们自身是其反身逆 由m o o r e - p e n r o s e 广义逆的定义可以证明一个矩阵的m o o r e - p e n r o s e 广义逆是 唯一的由四元数矩阵的奇异值分解定理，我们可以得到a 的m o o r e - p e n r o s e 广义 逆的具体表达式 命题1 4 3 设a 砰肌有奇异值分解( 1 2 1 3 ) ，则有 a t = vf d f l l 0 l 命题1 4 4 设a ，c 是可运算的四元数矩阵，则 ( 1 ) a + a ( a + a ) ( 1 ) a + = a + ，a ( a + a ) ( 1 ) a + a = a ，a t = ( a + a ) t a + = a + ( a a ) t ， ( 2 ) l a ( c l a ) t = ( c l a ) t ， ( 3 ) ( r a c ) t r a = ( r a g ) t ，x b b = a ，a c x b c = q 豢 仁叭， a 1 x 1 = c x x 1j e i l = 仍 a 2 x 2 = 岛( 2 0 2 ) 恐玩= q a 3 x i b 3 + a 4 x 2 8 4 = g 的有关理论研究矩阵方程组( 2 0 1 ) 的( 反) 反射解和p 一( 斜) 对称解存在的充要条 件，解的具体表达式，解的最小范数和解的极秩 2 1矩阵方程组a 。x = g ，x b b = g ，a 。x b c = a 的反射解和反反射解 设p 珊p 黼是广义反射矩阵，即p = 尸 p 2 = 厶设a 酽n 是相对于p 的 反射矩阵，b 咿加是相对于p 的反反射矩阵 对于非平凡的复广义反射矩阵，彭和胡在【s s ，t r e n c h 在【s t s g 9 0 】已经给出 它的结构性质下面我们给出四元数广义反射矩阵的结构性质 引理2 1 1 设p 似n 是广义反射矩阵，则存在酉矩阵u 似“使得 p = u + ( 0 一厶0 一，) u j s ， 下面我们给出分解广义反射矩阵p 的一个算法根据四元数矩阵的复表示， p 。c 2 似凯是复数域上的广义反射矩阵我们分以下三步进行： ( 1 ) 对复矩阵p c 应用s c h u r 分解得到一酉矩阵v c 2 n 2 n 和一对角矩阵t c 2 似2 ” 1 3 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 1 4 使得p c = v + t y ，其对角形矩阵t 的对角元素是一1 和1 ，并且其个数为偶数个 c 2 ，将矩阵t 中删去一半重复的特征值得到。= ( i t 一厶0 一，) ( 3 ) 设四元数矩阵u 和复矩阵v 的列向量分别是矩阵p 和p c 的特征向量根据 ( 1 2 1 1 ) 和( 1 2 1 2 ) ，我们由v 得出u 引理2 , 1 2 ( 1 ) 设矩阵a h 似n 是相对于广义反射矩阵p 的反射矩阵当且仅当a 表达为 + ( 吉玲 仁， 其中a 1 缸r ，a 2 皿( n - - r ) 一7 ) 和u 由( 2 1 3 ) 定义 ( 2 ) 设矩阵b 皿n x “是相对于广义反射矩阵p 的反反射矩阵当且仅当 b = u + ( 三言) 其中b 1 丑r ( ”一川，b 2 ( n - - r ) 7 和u 由( 2 1 3 ) 定义 b 表达为 ( 2 1 5 ) 弓i 理2 1 3 ( 倒】) 设a l 噩n ，b l 丑7 8 ，a m ，q “5 ，a z p ，b 1 球黼，q 心q ，c 4 皿p 黼，a 3 l n ，b 3 r 枷，a 4 h f 期，b 4 口”是已知矩阵 ，x l “和恐p 口是未知矩阵；令a = a a l a l ，b = r z l b 3 ，c = a 4 l a 2 ，b = r 励风，n = d l z ，m = r a c , s = c l m ，e = q a 3 a j 仍岛一a q b ：玩一a 4 a ! 锯风一 c c 4 磁b 4 则以下几条等价： ( 1 ) 方程组( 2 0 2 ) 可解 ( 2 ) 下面等式成立 ( 3 ) r a l a = 0 ，岛l b l = 0 ，a z q = c a b i ，r a 2 伤= 0 ，q l b 2 = 0 ， a 2 c 4 = 伤岛，r m r a e = 0 ，r a e l d = 0 ，e l s l g = 0 ，r e e l s = 0 a 1 岛= c 1 b z ，a z c 4 = g b 2 ， r 【a la 】= r ( a 1 ) ，r 【a 2c 】= r ( a 2 ) ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) | a l 0 l r i a 3a 4 c 4 l 【0 b 2 r a 2 0 c 3 8 4 a 4a 3 qq 0 b z风 b x 0 疡 0 b 2玩 a 3 qa 4 ag 0 0 b 2 0 0 b z 0 0 b 4 0 0 岛 ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 2 ) ：r - 玩岫 ， ( 2 1 1 3 ) 【0 b 2b 4j r 融c 1 8 3 a 1 2 0h a z2 0 ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) 恐= a ! 岛+ l a 2 c 4 b ! + l a , m t r a e d t r b 2 一l a 2 l m s t s c t e l b n t r b 2 一l a 2 w r d r b 2 + l a 2 l m ( v s t s v n n t ) r b 2 ，( 2 1 1 6 ) 其中阢k 彬z 是上适当阶数的任意矩阵 引理2 1 4 ( 【刚) 假设方程组( 2 0 2 ) 有解，则方程组( 2 0 2 ) 一般解的极秩满足下