（精密仪器及机械专业论文）基于FDTD的单光镊光阱力计算.pdf

摘要 摘要 光镊技术是以非接触的方式捕获操纵微纳米尺度的粒子，自1 9 8 6 发明以来， 它己应用于物理、化学、生物、材料、纳米技术等诸多领域。相对于光镊实验技 术的快速发展，对光镊的理论分析计算较为滞后，因此有必要研究和完善光镊理 论。由于实验中众多的研究对象的尺寸在入1 0 - - 一1 0 入( 入为入射光波长) 范围， 需要采用严格的电磁理论来进行计算，而时域有限差分法即f d t d 可以处理复杂 形状目标的电磁散射、辐射等问题，同时给出电磁场的时间演化过程，因而被用 于本文中数值仿真光镊捕获微球的光阱力。 本文采用三维时域有限差分法( f d t d ) 和m a x w e l l 应力张量法建立了单光镊 在焦点附近捕获球形微粒的光阱力模型，采用基于球矢量波函数( v s w f ) 的五阶 高斯光源作为仿真光源，得到了准确的光场传播。讨论了光源的波长、束腰、偏 振态和微球的半径、折射率对光阱力的影响，分析了在单光镊捕获微球时，邻近 微球对光阱力的影响。特别研究了光源的偏振态对微球所受光阱力的作用效果， 结果表明圆偏振光比线偏振光对微球的捕获力更大；被光镊稳定捕获的微球，会 受到邻近微球干扰，失去平衡状态，改变光源的偏振态可以改变微球的受力状态。 本文的仿真结果对于后续的实验研究具有指导作用。 关键词：光镊，光阱力，介质微粒，时域有限差分法( f d t d ) a b s t r a c t a b s t r a c t t h eo p t i c a lt w e e z e r st e c h n o l o g yc a n t r a pa n dm a n i p u l a t et h em i c r o n s i z e da n d n a n o m e t e r - s i z e dp a r t i c l e sb yt h ew a yo fn o n m e c h a n i c a lm a n i p u l a t i o n s i n c et h e i r i n t r o d u c t i o ni n19 8 6 ，i th a sb e c o m ea ne f f e c t i v et o o lf o rr e s e a r c hi n t h ef i e l d so f p h y s i c a l ，c h e m i c a l ，b i o l o g i c a l ，m a t e r i a l s ，n a n o t e c h n o l o g y t h et h e o r yo fo p t i c a l t w e e z e r sh a se v o l v e dc o m p a r a t i v e l ys l o w l yo v e rt h ey e a r s ，a n dl a g ss o m e w h a tb e i l i n d e x p e r i m e n t a lw o r ka tt h ep r e s e n t t h e r e f o r ei t sn e c e s s a r yt os t u d ya n di m p r o v et h e t h e o r yo fo p t i c a lt w e e z e r s s i n c em a n yo ft h eo b j e c t ss i z ei nl lo 10 九伉i st h e w a v e l e n g t hr a n g eo fi n c i d e n tl i g h t ) ，m o r ec o m p l e t ee l e c t r o m a g n e t i ct h e o r i e sa r e r e q u i r e dt os u p p l ya na c c u r a t ed e s c r i p t i o n t h ef d t dm e t h o dc a l lh a n d l et h e e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ，r a d i a t i o no fa r b i t r a r ys t r u c t u r e sa n da l s og i v e st h et i m e e v o l u t i o no f e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s ，s oi ti sa p p l i e dt oc o m p u t i n gt h et r a p p i n gf o r c eo n t h et r a p p e dm i c r o s p h e r ei nt h i sp a p e r t h e r ea r em a n ym e t h o d so fc a l c u l a t i o n so f t r a p p i n gf o r c e ，o n eo fw h i c hi st h e f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ( f d t d ) i nt h i s p a p e rt h em o d e lo ft r a p p i n g f o r c eo nm i c r o s p h e r en e a rf o c u si n s i n g l eo p t i c a lt w e e z e r si sb u i l tb yt h r e e d i m e n s i o n a lf d t da n dm a x w e l ls t r e s st e n s o rm e t h o d s f i v eo r d e rg a u s s i a nb e a m b a s e do ns p h e r i c a lv e c t o rw a v ef u n c t i o n ( v s w f ) i sa d o p t e da ss i m u l a t i o nl i g h ts o u r c e ； t h ec o r r e c tl i g h tf i e l dt r a n s m i s s i o ni so b t a i n e d t h ei n f l u e n c e so ft h ew a v e l e n g t h ， w a i s ta n dp o l a r i z a t i o no fl i g h t s o u r c e s ，t h er a d i u sa n dr e f r a c t i v ei n d e xo ft h e m i c r o s p h e r eo 1t h eo p t i c a lt r a p p i n gf o r c ea r ed i s c u s s e d t h ei n f l u e n c eo fn e a r b y m i c r o s p h e r ea n db e a mp o l a r i z a t i o no nt h et r a p p i n gf o r c eo ft h et r a p p e dm i c r o s p h e r e i ns i n g l eo p t i c a lt w e e z e r si sa n a l y z e d t h ee f f e c to fb e a mp o l a r i z a t i o nw o r k i n g o nt h e t r a p p i n gf o r c eo ft h et r a p p e dm i c r o s p h e r ei ss p e c i a l l ya n a l y z e d a sr e s u l t so f s i m u l a t i o nt h et r a p p i n gf o r c eo nt h em i c r o s p h e r eb yt h ec i r c u l a r l yp o l a r i z e db e a mi s l a r g e rt h a nb yt h el i n e a r l yp o l a r i z e db e a m t h es t a b i l i t yo ft h et r a p p e dm i c r o s p h e r ei n s i n g l eo p t i c a lt w e e z e r sw i l lb ed i s t u r b e db yt h en e a r b ym i c r o s p h e r ea n dl o s ei t s b a l a n c e v a r y i n gt h eb e a mp o l a r i z a t i o nw i l ll e a dt ot h ec h a n g eo ft h et r a p p i n gf o r c eo f t h et r a p p e dm i c r o s p h e r e t h i ss i m u l a t i o nr e s u l t sc a ng u i d et h ee x p e r i m e n t a ls t u d y k e yw o r d s ：o p t i c a lt w e e z e r s ，o p t i c a lt r a p p i n gf o r c e ，d i e l e c t r i cm i c r o s p h e r e ，f d t d i i 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：醢耻呈 如fo 年6 月启日 第一章绪论 1 1光镊技术的发展状况 第一章绪论 随着物理光学的发展，人们认识到光可以看作由光子所构成。由于光子不仅 携带能量，同时还具有线性动量和角动量，所以光也具有动量和角动量，能在物 体上产生辐射压与力矩。麦克斯韦最先用电磁波理论证明了光压的存在，并且给 出了具体计算的数值【l 】，由于光力或辐射压的效应非常微弱，故而难以测量。基 于上述问题，长期以来光的动量的研究与应用未有进展。直至1 9 6 0 年，激光的 出现才提供了研究辐射压的现实手段。从此对于光的力学效应研究和应用开始了 迅猛的发展。进入2 l 世纪后，光力学效应已经成为纳米科技和生命科学等相关 领域的重要工具和技术手段1 2 引，并给基础研究和应用研究带来新一轮革命。 最早的光镊由贝尔实验室的a r t h u ra s h k i i l 创造出来。1 9 7 0 年，a r t h u ra s h k i n 等人提出利用光压操纵微小粒子的概念。他们首先对1 w 的连续氩离子激光进行 压束，成功的实现了对水中乳胶颗粒的束缚并观察到小球在沿光的传播方向上由 于辐射压引起的加速运动。为了实现三维捕获，早期的光阱利用由相交的多束激 光实现交点处的力的平衡，或者利用与激光传播方向相反的力实现与光压力的平 衡，如利用微粒的重力与光压力平衡实现光悬浮【4 】。到1 9 8 6 年，a s h k i n 和他的 合作者又发现单束高度聚焦的激光同样可形成三维稳定的能量势阱，并基于这一 原理建立了第一个光镊( o p t i c a lt w e e z e r ) 系统，即单光束梯度力光阱，它可以束 缚电介质粒子，实现对数十纳米到数十微米的微小粒子捕获及移动【5 】。如图1 1 所示，当一束强会聚的激光束作用于透明微粒时，当粒子的折射率n 2 与周围介 质的折射率n 1 间满足n 2 n l 时，在光传播的轴向z 上和在垂轴平面x y 平面内， 微粒都会受到指向焦点处的梯度力作用。当轴向所受的梯度力足以克服沿传播方 向的辐射压力时，即可实现三维微粒的稳定捕获。基于单光束梯度力光阱设计的 单光阱光镊系统中，激光束经扩束器进入倒置生物显微镜系统，被高n a 值的显 微物镜会聚后得到满足三维捕获要求的强会聚高斯光束，从而在焦点附近实现对 微粒的稳定捕获。构成了现代光镊的基本形式。当用于对微粒进行捕获和操纵时， 与原子力显微镜( a f m ) 、扫描探针显微镜( s p m ) 等手段相比，光镊具备许多优点， 其中最为典型的是可实现远距离非接触式捕获及对活体样品无损伤操纵。同时， 由于光镊所产生的皮牛顿量级的力也很适合用于生物细胞、亚细胞层次结构的研 究。在1 9 8 7 年a s h k i n 和他的合作者首先将光镊用于捕获生物科学中细菌病毒帕i 。 朱棣文( s t e v e nc h u ) 进一步发展出的激光制冷技术使光捕获范围推广到原予分子 第一章绪论 的尺度1 7 j ，并获得了1 9 9 7 年的诺贝尔物理奖。经过2 0 多年的发展，光镊的应用 领域已经由微操纵拓展到细胞及分子水平的微小作用力测量，微细结构的加工， 微驱动等方面。完成了如测定马达蛋白作用力及运动步幅、定量研究膜体系力学 特性、控制晶体生长及光刻加工等工作。随着光镊技术与其他领域交叉研究的发 展，越来越多的新的研究方法将被提出，进而有效地促进了生物科学、材料科学 和纳米科技等领域的发展【8 】。 图1 1 单光束梯度力光阱 迄今为止，对宏观微粒的辐射压力研究已取得了丰硕的成果。研究者们解释 了各类光捕陷、光悬浮的物理机制，定量分析了光阱的特性及形成条件。在实验 技术方面，“激光捕陷光谱”、“测力光压光谱 及“光阱干涉仪”等各种新 技术纷纷涌现。目前，以光捕陷、光悬浮和光操纵技术为基础的“光镊”器件己 成为相关研究领域的有力工具【9 j 。 从上面介绍中我们看到光镊可以用来捕获微粒，但是只有当我们能够用这种 微操作方法进行定量测量时，它才有应用价值。光镊捕获微粒时，微粒离开捕获 中心会受到指向中心的回复力，如弹簧一样，回复力与微粒偏离中心的距离成正 比。如果得出这个系数即光阱刚度系数，则通过测量出微粒在光阱中的位置便可 以确定光阱力。为此科研人员在光镊系统中组合了各种微位移及微作用力测量装 置。通过c c d 光能重心提取法、四象限光电二极管、c c d 虚拟四象限探测器等 方法均可实现精确的位移测定。而布朗运动记录分析法、流体力学法则可用于光 阱力与位移关系，即光阱刚度的标定【l 们。 1 2 光镊的理论研究状况 第一章绪论 在光镊实验技术蓬勃发展的同时，光镊的理论研究也在进行中。由于光捕获 过程中容易受各种细微的、难以量化因素的影响，所以对捕获力的理论计算并不 能作为直接标定的替代。但是，通过合理的建模和计算可以提供有效的途径以估 计光阱捕获力的数值及分布，这对实验的设计及优化具有一定的指导意义。 在光镊捕获理论的发展过程中，根据被捕获微粒的大小与波长的关系，大体 上可以分为三个区域来建立相应的理论模型：微粒尺寸远远小于波长的瑞利模型 和微粒尺寸远远大于波长的几何光学模型以及介于这两种情况之间的区域。 对于瑞利模型，19 9 2 年v i s s c h e r 与b r a k e n h o f f 采用基于矢量衍射理论的入 射光束计算了轴向力与n a 值及波长的关系】。1 9 9 6 年h a r a d a 等计算了中度聚 焦的高斯激光束中的电介质瑞利微球的受力，他们把小球看成简单的点电偶极子 引。到了2 0 0 0 年，c h a u m e t 和n i e t o v e s p e r i n a s 通过使用耦合偶极子的方法，扩 展了瑞利模型的应用范围，获得了瑞利小球所受总的时间平均的力表达式，它可 以用来描述更大粒子所受到的光阱力【1 3 0 4 1 。最近r o h r b a c h 和他的同事采用了二 阶近似把瑞利理论扩展到了更大的粒子【l 孓1 6 1 。 几何光学模型是基于r o o s e n 形式体系【1 7 】来计算微球表面的反射和折射引起 的光阱力。1 9 9 2 年a s h k i n ”】详细分析了米氏介质微球在光镊中受到的光阱力， 并给出了相应几何近似理论下的计算公式。1 9 9 5 年g a u t h i e r 又提出了混合几何 波动光学的方法计算了一种微转子所受的力，得到的结果与实验结果吻合的很好 1 9 l 。之后g a u t h i e r 又提出点光线的概念来进一步完善他提出的模型【2 0 1 并且计算 了圆柱体【2 l j 、立方体【2 2 】等非球形状的微粒受力。 目前，对光阱中的微粒受力问题在上述的两种极端情况下已有了相对完善的 模型，实验结果表明，当微粒尺寸比所用光波波长大一个数量级时，同几何光学 模型吻合较好：当作用对象尺寸比波长小一个数量级时，结果同瑞利模型吻合较 好；而对于微粒尺寸与波长相近的情况，粒子对光有很强的衍射效应，而且对强 会聚光束，不能够象通常采用傍轴近似的标量理论而忽略电磁场的矢量特征，采 用上述两种模型计算的捕获力都不够准确。此外，在诸如计算模型的选取和近似 条件的限定等问题上，还有待进一步完善。这些因素增加中间尺度内微粒的光阱 力计算的困难。近年来通常是采用更为完善的电动力学理论，利用麦克斯韦应力 张量法来计算强会聚激光束与此尺度范围内的粒子受力问题。其困难是需要计算 出粒子表面的所有六个电磁场分量。而通常求解电磁场分布的数值方法有：有限 元法( f e m ) 1 2 3 】，t 矩阵法 2 4 , 2 5 】，时域有限差分法( f d t d ) 。其中有限元法由于空间 网格尺度和时间尺度都不能取太小导致应用范围受限，t 矩阵适用于高度对称的 微粒，而时域有限差分法f d t d 可以处理复杂形状目标的电磁散射、辐射等问 题，同时给出电磁场的时间演化过程，借助f d t d 方法，2 0 0 3 年c o l l e t t 等计算 第一章绪论 了微转子表面散射光的电场与磁场分量，然后用麦克斯韦应力张量来计算转子表 面所受的力闭；2 0 0 4 年z h a n g 等人通过在f d t d 网格上对给定的圆弧面加载入 射波源来模拟会聚单正弦脉冲高斯光场以及具有螺旋状相位的会聚涡旋脉冲光 束，研究了光场与微粒之间的动量转移过程【2 7 1 。2 0 0 5 年g a u t h i e r 在二维f d t d 空间中利用“二步法计算了微球所受到的光阱力【2 8 1 。z a k h a r i a n 等用f d t d 法 计算了具有不同性质的电介质周围和内部的电磁场分布，然后利用洛伦兹定律确 定关注区域内光阱力密度的分布【2 9 】。2 0 0 8 年s u n g 用非傍轴高斯公式来模拟会聚 激光束，用f d t d 方法计算了微气泡表面的电磁场分布然后采用麦克斯韦应力 张量计算光阱力【3 们。根据调研情况，用f d t d 法计算光阱力主要有两种方法， 一种是用f d t d 计算出研究对象表面的电磁场分布，然后采用麦克斯韦应用张 量的方法计算光阱力；一种是用f d t d 法计算研究对象的周围和内部电磁场分 布，利用洛伦兹定律计算出光阱力。这两种方法实质上是等效的，得到的结果一 致。 随着光捕获及相关研究的发展，国内众多的研究小组也开展了相关的工作。 其中最早开展光镊理论和实验研究的是中国科学技术大学物理系李银妹小组，并 有相关论著出版，韩正甫和郭光灿使用几何光学近似对米氏粒子受力作了定量分 析，他们同时考虑了高斯光束聚焦时与几何光学点光源近似的差异，并针对直径 2 0 u m 的微球计算了轴向和横向受力的情况【3 l 】；天津大学超快激光实验小组利用 几何光学的方法对飞秒光镊的轴向和横向力的稳定性进行了分析计算【3 2 , 3 3 】；中科 院西安光机所瞬态光学与光子技术国家重点实验室姚保利小组在特殊光束及特 殊微粒光学捕获力计算的理论研究方面取得了一系列的创新性研究成果，提出了 一种改进的t 矩阵算法；西安电子科技大学的韩一平等人利用广义米氏理论对 双层粒子和含偏心核球形粒子在高斯波束中的辐射捕获力进行了仿真计算【3 4 , 3 5 1 ： 浙江大学对不同激光光束的微粒辐射力进行了研究【3 q ；中国科大的黄文浩小组 f d t d 方法对光驱动微机械马达力和力矩进行了仿真计算 3 7 , 3 8 】，哈尔滨工程大学 多个研究小组利用二维f d t d 法对单光纤光镊的光阱力进行了仿真【3 9 1 ；大连理 工大学的孙伟用r i c h a r d s - w o l f 矢量场描述会聚光场采用三维散射场f d t d 法和 坡印廷定理计算微粒受力【4 0 j ；对光阱中微粒受力及捕陷问题进行理论研究的还 有中国科学院物理研究所和凝聚态物理中心光物理实验室，四川大学，清华大学 等众多单位。通过调研发现前面利用f d t d 方法进行光阱力的数值仿真通常采 用傍轴近似的高斯公式来模拟光镊光源，本文将引入球矢量波函数描述的五阶修 正非傍轴高斯公式到f d t d 中，建立强会聚光束高斯光束光阱力仿真的三维模 型。 4 第一章绪论 1 3 本论文的研究意义和主要内容 1 3 1 本论文的研究意义 光镊的理论计算和仿真对实验的指导作用表现如下：当要设计和搭建一个光 镊系统时，通过理论计算可以优化系统参数，选用合适的光强分布，激光能量， 激光焦点束腰尺寸，数值孔径，物体和周围介质的参数，得到最佳的捕获条件以 提高光镊的效率；在实验之前计算预测目标粒子能否被捕获；可以用来测量微小 力，在测量之前是需要标定的，计算仿真可以检验这种标定是否正确；当在光镊 实验中发现了一种新的未知现象时或者想进行一种新的应用时，这种现象或应用 也许可以通过计算仿真发现。因此，有必要建立光镊的理论计算和仿真软件，探 索实验参数对光镊的捕获能力影响，以指导实验。本文将以电介质微球为捕获对 象，采用三维时域有限差分进行光阱力计算。 1 3 2 本论文的主要内容 本论文工作得到国家自然科学基金( 批准号：5 0 9 7 5 2 7 1 ) 的支持。主要研究 内容如下： 1 、利用球矢量波函数描述基模高斯光场分布，带入到时域有限差分法中仿 真出强会聚高斯光场更加正确的传播形式。 2 、用时域差分法模拟会聚光束与微球相互作用后获得电磁场的分布，然后 利用麦克斯韦应力张量公式求出光阱力。 3 、研究光阱力与光源参数及微球参数的关系，讨论了单光镊捕获微球后其 它微球对它的影响。同时讨论了光源的偏振态对光阱力的影响。 本文共分为五个部分：第一章绪论，介绍光镊及其理论的发展状况、课题的 研究意义；第二章介绍光阱力计算中的几何模型、瑞利模型以及电磁模型；第三 章介绍了时域有限差分法在本论文中的应用；第四章在建立的模型上进行的仿真 研究；第五章对工作的总结和展望。 第二章光阱力的理论计算 第二章光阱力的理论计算 光镊是由一束通过高数值孔径d a ) 透镜后的强会聚激光束形成。由于光具 有能量和动量，满足能量和动量守恒定律。当一个电介质微粒在会聚激光焦点附 近时，由于微粒的散射作用，入射光子动量发生改变转移从而微粒受到力的作用。 这种力称为光阱力。光镊可以以一种非机械接触的方式来捕获操纵微小粒子。由 于光与物质的相互作用很复杂，光阱力受微粒的形状，光源的模式等各种因素的 影响，可能对光阱力的理论计算不能取代对它的直接测量。但是对实验研究具有 指导意义，比如在实验初期通过对光阱力的理论计算分析获得光阱捕获能力的大 小以及捕获稳定性，光阱力与光源的哪些参数有关，这样对于实验仪器参数的选 择具有很大的指导意义。在实验中可以对比实验结果与理论结果也可以对实验的 可靠性等因素进行分析和评价。 在光镊理论的发展中，对于光阱力的计算通常是根据微粒的形状大小与波长 的关系划分成三个区域来计算。对于微粒尺寸远大于入射光波长时，满足米散射 理论，采用几何射线光学的方法进行计算，对于微粒尺寸远小于入射光波长时， 满足瑞利散射近似条件，把微粒看作在电磁场中振荡的感生电偶极子，受到洛仑 兹力的作用。而当微粒的尺寸落在这两个区域之间即微粒的尺寸在入1 0 - 1 0 入 ( 入为入射光波长) 范围内时，上述两种方法就不适用，而实验中众多的研究对 象在这个区域中，近年来解决的办法是把光镊中光的传播看成是电磁散射过程， 通过求解m a x w e l l 方程得到电磁场的分布，再由坡印亭矢量或m a x w e l l 应力张 量的方法获得光阱力。下面分别讨论之。 2 1瑞利区 如图2 1 所示，当研究的微球的直径远远小于入射光的波长时可以用被称为 电偶极子或瑞利近似的方法来分析微球在电磁场中的行为。当微球与波长相比足 够小时，则经过微球部分的瞬时电场值可以看成是均匀不变的，呈现静电场特征， 则在此情况下可以用静电学公式来近似处理，将微球看成是位于其中心的一个简 单的感生点电偶极子。则其在国际单位制下的电偶极矩为： 哪) = 4 死若2 a 3 ( 嚣归4 万咖3 ( 糍，) ( 2 1 ) 其中m = n l n 2 是粒子的相对折射率。 6 第二章光阱力的理论计算 图2 1 瑞利近似下的几何示意图( b yy a s u h i r oh a r a d a ) 在这种极限近似情况下，作用在电偶极子上的力可以分成两个分量：散射力 分量和梯度力分量，它们分别是由于电偶极子的散射使电磁波的动量发生改变以 及作用在感应电偶极子上洛伦兹力产生。 对于散射力，当电磁场为时谐振动场时，感应的点电偶极子也会随着电场同 步发生振荡且在各个方向发出次生波或散射波。这将改变入射电磁波的能流方向 和振幅大小从而引发了动量转移，相应地在被看成电偶极子的微球上产生了散射 力。这个散射力可以表示为： ，( r ) = 垒霉监：三( 鱼) c i ( r ) ( 2 2 ) c t 2 c 其中，c p ，是微球所受辐射压力的横截面，三为光传播方向的单位矢量，c 为 真空中的光速，以：为周围环境介质的折射率，s ( r ，t ) 为坡印廷矢量，i ( r ) 为坡印 廷矢量的时间平均值： i ( r ) = ( s ( r ，f ) ) r = r e e ( r ) h ( r ) 】= 三半l e ( r ) 1 2 = 豇( r ) ( 2 3 ) 其中，( r ) 为在位置r 处的光强值，这是一个很重要也是可测量的物理量，当用傍 轴近似高斯公式来描述入射激光时可以得到与入射光功率p 之间的关系为： 珩，= 嚆，击e 坤卜鬻， 眩4 ， 式中，c o o 为入射激光束腰半径，( j ，夕，三) = ( x c o o ，y c o o ，z l k m 2 0 ) 为归一化空间坐标。 第二章光阱力的理论计算 在瑞利区中由于电介质微球具有各向同性的光散射特性，所以c p ，等于散射 截面c 。c a t ： c = c 删= ；柏一2 ( 矗) 2 ( 2 5 ) 将上式( 2 5 ) 和入射光场的强度分布式( 2 3 ) ，( 2 4 ) 代入到式( 2 2 ) 中就 可得到微球所受到的散射场值。可以看出散射力和光功率以及粒子半径六次方成 比例。 另一个分量梯度力由电磁场作用于感应电偶极子上的洛伦兹力产生。在电磁 波的静态场近似描述下，瞬时梯度力定义如下，并将电偶极矩公式( 2 1 ) 代入 得到： ( 吖) 宣p ( r 力v 】e ( r 力= 4 石( 龛) 吉v e 2 ( 吖) ( 2 6 ) 在稳态下微球所受的梯度力为上式的时平均值： ( r ，f ) - - r 嘞( 糍) l v l 时 回复力指向光束束腰位置且与a 3 成比例。 分别计算梯度力和散射力，然后求这两个分量的合力可以获得作用于微球上 的力。 2 2 几何光学区 当微粒的尺寸远远大于光波长时，一般采用几何光学模型来计算分析微粒所 受的光阱力，它结合几何光学光线理论和动量转移理论，经过多年的研究获得了 发展完善。由于非球形粒子所受光阱力的计算较复杂，而通常在生物光镊捕获实 验中的活体细胞以及物理捕获实验中的研究对象都可以理想化为均匀透明的球 形粒子。在几何光学近似区，光束可以看成是由光线构成，每条光线携带一定的 能量，具有一定的方向和偏振状态。在均匀介质中按直线传播，忽略了光的衍射 现象。图2 2 a 描述了微球半径远远大于入射光波长时，单光束梯度力光阱的几 第二章光阱力的理论计算 何光学模型。具有任何模式结构和偏振状态的平行光进入高数值孔径的透镜，会 聚于焦点f 处，且f 位于微球的z 轴上。九。表示光线的最大会聚角。微球所受 的总力由进入孔径的由r 和描述的每条光线所产生的梯度力和散射力组成。忽 略实际焦距尺寸，每条会聚光束光线以直线通过焦点，光线的方向和动量没有发 生变化，当遇到电介质微球时则在表面发生反射和折射，动量发生变化从而产生 了光力。图2 2 b 中描述了以p 角入射的单根会聚光线产生的散射力e 和梯度力 r 的定义，散射力方向与入射光线平行，而梯度力与入射光线垂直。 v y 目自w 砌s洲 r 十 r j-o。 z 图2 2 ( a ) 几何光学近似下单光束梯度力光阱( f 为焦距) 示意图( b ) 同一条光线产生的 梯度力和散射力示意图( b y a s h k i n ) 首先考虑具有功率p 的单根光线入射到电介质微球上产生的力。如图2 3 所 示，设光线以0 角入射，每秒钟的入射动量为n l p c 。1 1 i 为电介质微球的折射率。 光线在微球表面发生反射折射，在进入微球后不断地发生反射和折射。设微球表 面光线经反射后光线功率为p r ，其后的每次折射后的功率为p t 2 ，p t 2 r ， p r 2 t 2 。r 和t 分别为菲涅耳反射和折射系数，具有不同的偏振性的入射光 的r 和t 是不同的，所以产生的力也是不同的。则通过原点o 的净力可以分解 成f ：和f ，分量： e ：f = 坚 1 + r c o s 2 0 t 2 c o s 2 ( 0 - r ) + r c o s 2 0 ( 2 8 ) 9 第二章光阱力的理论计算 e = c = 啊c e r s m 2 0 一雩警辫， 眩9 ， 式中，口和r 为入射角和折射角。以上两式就是射线光学模型中光阱力的基 本计算公式。式( 2 8 ) 中与入射光方向相同的f z 分量被看成是这条光线产生的 散射力f s 。同理，式( 2 9 ) 中与入射光线垂直的f y 分量被看成是梯度力f g 。 对于高会聚光束形成具有的复杂形状的光线产生的梯度力和散射力可以看成是 由每条光线产生的梯度力和散射力的矢量合力。 图2 3 单根光线产生光阱力的几何光学计算模型( b ya s h k i n ) 2 3 介于瑞利区和几何区之间的区域 当微粒的尺寸与波长大小相当时，用上述两种方法计算时有较大的误差。而 在实际研究当中，由于该尺度范围内的微粒易于被捕获，所以通常选用此尺度内 的微粒作为探测对象，去研究感兴趣的微观现象。但是此尺度范围内缺乏相应比 较完善的近似理论。而我们知道光也是电磁波，光与物质的相互作用可以看成是 电磁散射问题。所以通常采用电磁理论来计算分析微粒所受的光阱力。电磁场的 力是基于动量守恒原理推导出的，下面将详细介绍电磁场动量守恒原理和麦克斯 韦应力张量j 。在研究电磁现象时，通过对比其它运动形式的能量和动量来认 识电磁能量和动量，为此首先研究运动电荷系统受电磁场作用引起的总的机械能 量和动量变化。在麦克斯韦方程组中，将电流j 和电荷作为场源来处理，但在许 多问题中必须考虑到电磁场对电流和电荷的作用。电磁场对电荷的作用力可以用 洛伦兹力公式来描述。由于电磁场对电荷有作用力，使带电粒子能够在电磁场中 运动，因而带电粒子能够从电磁场中获得能量和动量。这说明了电磁场具有能量 1 0 第二章光阱力的理论计算 和动量。带电粒子在电磁场中运动时，电磁场与带电粒子间存在能量和动量的交 换。下面通过电磁场与带电粒子相互作用过程中电磁能与带电粒子的机械能之间 的相互转化来确定电磁场能量密度的表达式。 在电磁场中，以速度v 运动的带电粒子受洛伦兹力作用： f = q ( e + v b ) ( 2 1 0 ) 根据牛顿定律，作用力等于动量的变化率，于是有： f = 垅立d t = 丢t t ( m v ) = 丢g ， 隰m 。 ( 1 t p 式中g 。= m v 为带电粒子的动量。由式2 1 0 和上式可得： 丢g p = q e + q v b ( 2 1 2 ) 因为带电粒子的动能为= 1 1 m v 2 ，于是有 鲁= m y * 面d v d o ，啡io t o ，则带电系统将从电磁场中得 到动量和能量。根据动量守恒定律和能量守恒定律，可能得出：电磁场具有动量 和能量。 将麦克斯韦方程组中的两个旋度方程代入到下面的矢量恒等式中： v ( e x h ) = - e v h + h v x e ( 2 1 7 ) 则得到： 第二章光阱力的理论计算 v ( e x h 二- 一j e 二：篓釜i , i p ：二量： c 2 。8 ， = e f e + h 二= ) 在非色散介质中则有： v ( e h ) 一j e - 昙优t ( z 1 - - e , d + 吉h b ) ( 2 o l厶二 令s = e h 和w f = 寺e d + 寺h b 。考虑到式2 1 6 ，则式2 1 9 变为： 蓄( + 叶) + v s = o ( 2 2 0 ) 对上式积分利用高斯定理得： 嗔s n 嬲= 一旦工( w + w 1 ) d v a t p ( 2 2 1 ) ) s影、 一。 式中：、叶分别为连续分布电荷系统和电磁场的能量密度。s = e xh 为电磁 场的能流密度矢量，单位为w m 2 ，称为坡印廷矢量。上式表明从闭合面s 流出 的功率等于s 所包围体积v 内的带电系统和电磁场的总能量在单位时间内的减 署= 昙c e h ，= 詈h + e 堕t g t c 2 2 2 ， 8 ta l 、 。8 t 一 由麦克斯韦公式的两个旋度方程代入到上式，则得到： p o z o 舔+ j b = 鳓( v h ) h + 岛( v e ) e ( 2 2 3 ) 。o z o ( 甜9 s + j x b = 岛卜丢v e 2 + ( e v ) e 】+ 【一三v h 2 + ( h v ) h 】( 2 2 5 ) 在自由空间中v d = p 写为 昙( 风s + g p ) = 一互 - v z o e 2 + “日2 】+ “( e v ) e( 2 2 7 ) 1 2 第二章光阱力的理论计算 昙( 风s + g p ) = 一v 【( 三岛e 2 + j 1 2 ) i 一6 0 e e 一- f o r t h ( 2 2 8 ) 令m = ( 寺岛e 2 + i 1 日2 ) i - c o e e - p o h h 和钉= u ：o s 则式2 2 8 可简化为： 毒( gr + g p ) = 一v 西 ( 2 2 9 ) 上式对体积v 积分可得 罢工( g f + g p 矽矿一( j ：s d s n m ( 2 3 0 ) 式中，g p 为电荷系统的动量密度，gr 为真空中电磁场的动量密度。式左端表示 体积v 内电磁场与电荷系统总动量的时间变化率，所以式右端的闭合面积分应 代表单位时间通过闭合面s 流入体积v 的总动量。由此可见，代表动量流密 度，称为电磁场的动量流密度张量。 令t = 一m ，则式2 3 0 变为： 云( g + g p ) = v t ( 2 3 1 ) j g d ，。工( g f + g p 砂= l v t d y ( 2 3 2 ) 左端表示体积v 内总动量的时间变化率，与经典力学中的动量守恒定律 粥0 t = f 相比较，可以看出，式2 3 2 右端的体积分应等于体积v 受到来自体 积v 外的总的作用力，v t 可解释为体积力密度。因为v t 只包含电磁场量， 所以，它是由电磁场所施加的力，式2 3 2 称为电磁场中的力动量守恒方程。 电磁场作用到体积v 内的总力为： f = l v t = 百s t m d s ( 2 3 3 ) 作用在体积v 内的体积力可以等效地看成为包围体积v 的闭合面s 上的张 力，t 为作用在单位面积上的电磁场张力张量。电磁场张力是麦克斯韦首先提出 的，因此又称为麦克斯韦张力张量。作用在面元上的力为亦= t o 鹚。 真空中的电磁场张力张量的并矢表达式为： t = 6 0 e e + h h 一( 二1 岛e 2 + 去盹h 2 ) i ( 2 3 4 ) 由上式可以看出，t 为对称张量，它有9 个分量，可写成下列方阵表示： 岛卑+ 硒研一三( 民e 2 + 硒日2 ) 岛岛气+ 硒吼q 岛局墨+ 脶q 5 最+ 硒i 马 岛碍+ 硒研一三( 岛e 2 + 脶2 ) s q k + h l h t 岛巨岛+ 硒q 马 岛e 2 弓+ 鸬吼羁 气g + 硒珥一三( 毛酽+ 硒2 ) ( 2 3 5 ) 第二章光阱力的理论计算 式中1 ，2 ，3 在直角坐标系中分别表示x ，y ，z 三个分量。其中每一个分量可表 示为： 乃= 岛互e + u o h , h j i 1 嗡( 岛e 2 + t o h 2 ) ( 2 3 6 ) 热气= 滗； 乃的意义为作用在垂直于j 轴单位面积上的电磁场力在i 轴上的分量。 对于时谐场，电磁场线力张量的时间平均值可用场的复振幅表示： ( t ) = 三r e e o e e + t o h h 一1 - ( t o e + 风i 】 ( 2 3 7 ) 只要知道了空间中电磁场的分布，利用式2 3 3 和2 3 7 式可以计算时谐场中任一 面积上所受的电磁场力的时间平均值。 1 4 第三章f d t d 方法 第三章f d t d 方法 时域有限差分法是一种电磁场数值计算方法，按照y e e 提出的离散格式，用 差分代替微分，是时域麦克斯韦偏微分方程的一种离散化方法。它可用来处理电 磁散射、辐射，模拟电磁波与物体相互作用等过程，可以获得各时刻空间电磁场 的分布，具有广泛的适应性。由于受计算机内存的限制，f d t d 法只适用于电小 尺寸结构，而我们要研究的正是微粒尺寸与波长相当的这一区域内光阱力计算问 题，因此选用f d t d 方法求解电磁场在这里是合适的。 3 1 y e e 算法介绍 3 1 1y e e 网格 y e e 4 2 】单元网格的建立是采用f d t d 算法进行电磁场仿真模拟的关键。它巧 妙地将有限差分和电磁场定律结合在一起。 图3 1f d t d 中基本离散网格y e e 元胞 b yy e e ) 在f d t d 中电场和磁场在空间采样点排布形式如图3 1 。每一个电场分量周 围有四个磁场分量环绕，每个磁场分量周围有四个电场分量环绕，电场和磁场在 空间上交错排列相距半个空间步长，同时电场和磁场在时间上也是顺序交替采样 相差半个时间步长，在给定了相应的电磁场问题的初始条件后，在时间上迭代求 解得到各个时刻的空间电磁场值，这种采样方式与电磁场传播的基本物理规律是 第三章f d t d 方法 相符合的，恰当地描述了电磁场的传播特性，而且这种空间相对位置也适合于 m a x w e l l 的差分计算。 3 1 2m a x w e l l 方程差分式 各向同性均匀介质中的微分形式的麦克斯韦旋度方程如下： v h ：占里+ e r e( 3 1 ) 拼 v e ：一“塑( 3 2 ) 。拼 其中e 为电场强度( v m ) ，h 为磁场强度( a m ) ，为介质介电系数( f n 1 ) ，u 为 磁导系数( h m ) ，o 为电导率( s m ) 。 在直角坐标系中，上述两个矢量方程可以写为六个标量方程： 丝一塑：占堡4 i - 仃e 。 一= f o r n 却 a z武 j 丝一盟：占堡 4 l - 盯e ， ( 3 3 ) o 一2 = f 仃n l ， a z 0 xa t j 堡一亟：占堡 4 i - 以 一一o = f 2 仃n 叙 砂 研 a e ，a e v 3 h x o 一上= 一“ 堡一堡：一“堡 a z瓠。8 t 堡一盟：一“堡 瓠执ta t ( 3 4 ) 考虑对上面六个标量耦合偏微分方程引入中心差分离散。首先在空间上建立 y e e 矩形差分网格，网格节点与一组相应的整数标号( i ，j ，k ) 相对应。令u ( x ，y , z ，t ) 表示在某一时刻t ，空间坐标为( x ，y ，z ) 的电场e 或磁场h 的某一直角坐标分量。 当在时间和空间域中离散后用下列符号表示： u ( x ，y ，z ，f ) = u ( i a x ，y 6 y ，k a z ，n a t ) = u n ( f ，j ，尼) ( 3 5 ) 其中，a x ，a y ，a z 分别表示空间网格在直角坐标系x ，y ，z 三个方向的 增量。at 为时间增量。对u ( x ，y , z ，t ) 关于空间和时间的一阶偏微分取中心差分的 二阶精度近似式，则 11 垫：盟焦尘：盏兰竺堕：竺 6 ， 1 6 第三章f d