（基础数学专业论文）半无界区间上kdvburgers方程初边值问题.pdf

摘要 本文研究了半无界区间上k d v b u r g e r s 方程初边值问题。通过半无界区间 上线性k d v - b u r g e r s 方程初边值问题解的积分表达式，利用调和分析技巧得到 线性k d v b u r g e r s 方程初边值问题解的各种时一空估计，证明线性初边值问题与 初值问题相类似能提高解的光滑性。作为所得光滑性估计的应用，利用不动点 定理证明了半无界区问上非线性k d v - b u r g e r s 方狴低正则解的局部存在性及解 的其它一些重要性质。 关键词：k d v - b u r g e r s 方程，边值问题，时一空估计，存在性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a l - b o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rt h ek d v b u r g e r se q u a t i o no nt h eh a l f - l i n e w ef i r s tg e tt h ei n t e g r a le x p r e s s i o nf o rt h e i n i t i a l b o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mo ft h el i n e a rk d v - b u r g e r se q u a t i o no nt h eh a l f - l i n eb yt h el a p a l c et r a n s f o r ma n dt h ef o u r i e rt r a n s f o r m ，a n dt h e ng e tav a r i e t y o fs p a c e - t i m ee s t i m a t e so fs o l u t i o n sf o rt h el i n e a rk d v - b u r g e r se q u a t i o n t h e s m o o t h i n gp r o p e r t i e s d os o l u t i o n so nt h ew h o l ep l a n eo ft h ep u r ei n i t i a lv a l u e p r o b l e ma r eg i v e n u s i n gt h e s es m o o t h i n ge s t i m a t e sa n dt h ef i x e d p o i n ta r g u - m e n tw ep r o v et h ei n i t i a l b o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mf o rt h en o n l i n e a rk d v - b u r g e r s e q u a t i o no nt h eh a l f - l i n ei sl o c a l l yw e l l - p o s e di ns o m es o b o l e vs p a c e s k e y w o r d s k d v b u r g e r se q u a t i o n ，i n i t i a l - v a l u ep r o b l e m ，t i m e - s p a c ee s t i m a t e e x i s t e n c e 第一章引言及主要结论 本文主要考虑如下形式的半无界区问上非线性k d v - b u r g e r s 方程初边值问 题： m 一“一+ “一z + ”“z 。o ，z ，2 0 ( 1 1 ) l ( z ，0 ) = 妒( z ) ，u ( o ，t ) = l i l ( f ) ，z ，t 0 、 上述方程可以用来描述不可压缩流体表面波的运动和其它一些物理现象，在实 际中有着重要作用，许多数学家和物理学家都对它进行过深入的研究。其背景、 边值问题、初值问题和行波解的相关结果可见参考文献。 文献【1 】及其它参考文献分别研究了方程( i 1 ) 的解的正确解法及方程解的 相关线性估计。在文献f 2 1 中b o n a 等考虑t k d v 方程初边值问题( 1 1 ) 在四分之 一平面上解的局部存在性，证明了当s 一i 1 时方程初边值问题的解的局部存在 性；在文献 2 l q b 给出t k d v - b u r g e r s 方程的一类显式精确解。 本文主要目的是研究半无界区间上非线性k d v - b u r g e r s 方程初边值问 题( 1 1 ) 取值在分数阶s o b o l e v 空间h 。( r + ) 中低正则解的局部适定性。我们首先 利用l a p l a c e 变换得到半无界区间上线性k d v - b u r g e r s 方程初边值问题( 齐次边 界条件) u t 一机一0 ，x , t 0( 1 2 ) i “( z ，0 ) = ) ，t ( o ，t ) = 0 ，t 0 、。 解的显式表达式乞( ( 具体参见定理2 1 ) ，以及线性k d v - b u r g e r s 方程初边值 问题( 非齐次边界条件) u t 一籼一2 0 ，x , t 0( 1 3 ) it ( z ，0 ) = 0 ，“( o ，t ) = _ i l ( ) ，z ，t 0 、 解的显式表达式w b ( t ) ( h ) ( 具体参见定理2 2 ) 利用所得到的二个解的显式表达式，结合调和分析技巧和函数空间理论， 我们得到线性k d v - b u r g e r s 方程初边值问题( 1 2 ) 和( 1 3 ) 解的各种时间一空间 估计和光滑性估计( 引理3 4 引理3 1 0 ) ，这些时一空估计说明线性k d v - b u r g e r s 方程 初边值问题与初值问题相类似有着提高解的光滑性的作用。作为所得光滑性估 2半无界区问上k d v b u r g e r s 方程初边值问题 计的应用，利用压缩映射原理本文证明了半无界区间上非线性k d v - b u r g e r s 方 程低正则解的局部存在性及解的其它一些重要性质。我们在本文取得的主要结 论是： 对于给定的t 0 & s 3 4 f 1 l ) l s 相容r 定义见第四章) 的函数对西 伊( 尺+ ) 和 h ( 1 + 。) 3 ( o ，t ) ，存在仅仅依赖于 i i i i h ，( r + ) + l i h l l h ( - + - ) ，( o n 的t r 其中o 0 第二章线性表达式 5 的三个特征根，它们满足r e7 l 0 ，r er 3 0 。由隐函数定理， g t r ea o 且a 刍时，r l ( a ) ，r 2 ( a ) ，r 3 ( a ) 为互不相同的解析函数a 由于勺( a ) 0 = 1 ，2 ，3 ) 在n ea o ( a 刍) 内解析且i g i 口南，i n n e r 于r 刍，方程( 2 1 ) 的解可以表示成 毗( ) 毋( ) 2 壶j ( 一be ”j o g ( ，a ) 咖( s ) 捌1 ( 2 5 ) 1，r 十t 这里z o r s 0 ，直接估计得 o ( 1 a w 丢i - ；) 其巾a 一刍 ，s ， 一。一；) 其巾a 一吾 因此a = 刍是可去奇点，故我们可以在( 2 5 ) 式巾令r 一荠得到 咄m 加上2 r r ij 厂刍争“z ”g m 帕拈4 拖 这里 4 = 去存e o ”g s ，狮揪， 8 = 去在e 舡f o 。g m 删 记 b ( ，a ) ：，。( r 2 - - r 3 ) e r - 扛一 曲代) d f b ( ，1 ) 2 上( 一扛 0 由特征方程a + r 3 一r 2 ：0 可以知道，三个特征根分j j i i 为 r ：2 - 丽丁一- 3 # i ，r ；- ：2 + 何丁+ 一1 2 - 3 # i ，r ：；+ 埘 因此4 可以表示成 4 = 葡1z ”塑- - f f ”y ( 5 ) 竺脚2 + 渺k 卅讹卅e 堆) 咖 这里+ ( p ) ，a + ( z ，p ) ，b + ( z ，p ) ，c + ( z ，p ) 是把( p ) ，a ( z ，肛) ，b ( x ，p ) ，c ( x ，p ) 中的a 替 换成嘉+ 矿+ p 所得到的，相应的r - ，r 2 ，r a i 己为r t ，t ，r 手。 同理，对于b ，令 。 a = 丢+ i j 3 + 扩1 = 刍- - i d 3 - - 缸p o 记特征方程a + r 3 一r 2 = 0 的三个根分别为r i ) ，巧( p ) ，r i 似) ，则 r f = r ( p ) ，百= r 手( p ) ，百= r ；( p ) 因此 8 = 点f 等妒s 旷一批卅卅刚中 其中 一( p ) = a + ( p ) ，a 一( p ) = a + ( p ) ， b 一( p ) = b + ( p ) ，c 一( p ) = c + ( p ) 第二章线性表达式 7 而丽= 嘉z 。絮等擀+ 妒眦 + 熹f 箐妒即2 一；) 曰( 训冲， 也就是 时( f ) 似) = 去生之i ：茅t ( - - 3 。3 - - j 1 ) b 川中 + 熹z ”半邶矿+ 扣眦 r ；= z ：z = 付( p ) ，_ i 正2o ，r f = ：z = r f ( p ) ，p o ， 这里r 手，r - 表示复平面中的有向曲线。n 1 表示咐，r i 与有向曲线z = p1 学 ps ；所围成的区域- 通过变量替换可以得到 熹z ”等t ( 即2 + ；矿( 训) 舡= 去z ，矸( 叫，z ) 出 这里 。 时( z ，t ，z ) = e ( 。? 一雪+ 0 ，z ) ( 一3 2 2 + 2 z ) 厶+ 0 ) 丘+ ( z ，z ) = ( 对( z ) 一对( z ) ) e q ( 。) ( f ( ) 必 j o 厶+ ( z ) = ( 对( z ) 一砑( z ) ) ( f ( 。) 一对( z ) ) ( 对( z ) 一对( z ) ) f ；l 三墨型，f 拊：生生雩兰型，对( ：) ：。 由于函数矸( z ) 在q l 上是解析的，在n l 的闭包上是连续的。又由于当z 一 时口( z ，t ，z ) 关于z ，t 一致趋向于o 。由柯西定理知道我们可以改变积分路线 熹厶矸( 州，州z = 去z i 矸( 州，z ) 出+ 熹z 学矸( 州，州z 其中矸( z ，z ) 在直线段z = p 学sp 上为实函数。在r - 上有 一z 3 + z 2 = 丢一矿 一；讥( 一3 2 2 + 2 z ) 如= 一( 舡2 i + ； ) 咖， 8半无界区间上k d v b u r g e r s 方程初边值问题 r t 【：j 2r 3 【，i l z j 2r 2 【川，啊【o j = r i 似j ， 厶+ ( z ) = ( 丐( p ) 一r i ( p ) ) ( 百( p ) 一r f ( 肛) ) ( 巧( p ) 一r f ( p ) ) = 一( 矿+ ；) 瓦i 丽， 盹扣f + 1 2 幽- w ) ( z - , o 她心 因此我们有 熹厶脚，啦膨 = 去oo 。小叫叫绯脚+ 熹学脚，“m 同理可以得到 土2 1 r i 驾a 茅昏班兰3 胤训) 中l一( p ) 、。” 。2 、“7 “” = 去z 。e 寺- 啦一 4 4z ”e ( 一) ( f 。矿代) d 舡 下证 丽1z 。雩茅! c 3 - 2 + 扣训脚 ： 一驾竽卜驴t a一扫训舻。 。 士一，一i ，一x j 一一、，j f 个- 、一儿= n 。2 7 r i ，一( p ) 、v 4 3 7 u 1 、山p 7 p 一。 令a = 寺一矿+ pp ；，由方程r 3 一r 2 + a = o 得三个特征根分别为 r：(p)=三二主竺!竽，r；(p)=t2-3#-i2 v 2 面- 1 2 ，r ；( p ) = ；+ p 令r = z = r ：) ：p ； ，q ；表示由r ：与时和有向曲线z = p ，0 ps 所围 成的开区域。记 跏，啦渺。a 。茅z ”钟吲砌删叫溅， 则我们有 熹z 。等邸矿+ ；) 阱( 训) 咖= 去z ，口( 州纠珐 第二章线性表达式 9 由十f ( z ，t ，z ) 在赋上是解们明，在喵上是惩! 实阴，且当z - o 。征蛾上趋同 于0 ，应用围道积分的相关知识可以得到 熹厶露( 州，z = 熹上：彤( 州纠d z + 熹r 口( 州，z 在h 上有关系式 z 2 一z 3 = 刍一p 3 + ；p ，( 一3 2 2 + 2 z ) 出= ( 一即2 + ；) 舡 f ( z ) = 呓( p ) ，簟z ) = 呓( p ) ，对( z ) = r ：( p ) ， 厶+ ( z ) = ( r ；( p ) 一r ；( p ) ) ( r ；( p ) 一r ：i p ) ) ( 嵋( p ) 一r ：( p ) ) = 、乞孑五j = _ i i ( p 2 一百1 ) ， 州z ) 一寸( z ) ：一罕i v 瓦2 - 1 2 因此我们可以得到 熹厶口( 州，z 膨= 去l ”e 务3 t + l m z 。出扛) 必中+ 土2 。ij ，0 卅2 k “m 又由于 絮茅t c - 3 # 2 - 扫那，咖 一去f e 傍峥”p 扣叫熊脚+ 去z ；眦 f i 舯 又因为在z = i t , 0 p 时时( 茁，z ) = 巧( z ，t ，z ) 故问题得到证明。 同样的道理可以得到 去f 寄妒舡2 一尹1 m 缸= 盼( f ) m ) 刍j ( 。尝筹撕2 吲1 砒眦= 啪m n 定理2 1 证毕 下面考虑边值问题 j 铆一z + _ 0 x , t o( 2 6 ) it ( z ，0 ) = 0t ( o ，t ) = ( t ) 1 0 半无界区间上k d v - b u r g e r s 方程初边值问题 定理2 2 对0 ，t 0 ，边值问题俾纠的解 w b ( t ) h ( x ) w m 表示为 w d t ) h l ( z ) = 【巩( ) 嘲( z ) + 耳i 了y 习百万， 其中 i v y ( 洲= 1 o 。e 侍舻脚舻( 驴+ ；) z 。e - ( 渺咖啦佩脚， u ( p ) ：2 - 2 x 厮了+ 1 2 - 3 一# i 证明：对方程( 2 6 ) 眄边关于时间t 做l a p l a c e 变换后可以得到 加- - 栌v z z x m - - v ) z ，z 2 巳乏 二0 够。一。 ( 2 i z ) 【 ( o ，a ) = ( a ) ， u ，t k a s z _ o 。 、7 这里t ， 表示t ， 关于时间t 作l a p l a c e 变换后所得到的函数。对于任意的满 足r e x 0 的a ，我们可以得到 v ( x ，a ) = 五( a ) e - ( 1 净， 其中7 l ( a ) 是待，仕万程a + 一一r 220 满足r l ( a ) o ) 的三个特 征根为 rt=t2-丽-3#i，也_三j丝!生竽，如=；+埘ooj 由上面的定理我们可以知道在( 2 8 ) 式中取7 = 寺得到 出，忙去存捣一坝+ 熹在矿m ) e r m a ( 2 。) 在( 荠，行2 + ) 上，令a = 吾+ p 3 + 讪p 0 此时r l ( a ) 取值为 叫炉生逝掣 第二章线性表达式 1 1 通过直接计算可以得到，对于z ，t 0 熹虎”e 一( ) 洲州z ) 去左沙砌矽l ( 峋a = 丽丽 定理2 ，2 证毕。 下面考虑非齐次方程初边值问题 撕一+ 一2 ，x , t o( 2 1 0 ) i “( z ，0 ) = 毋( z ) ，u ( o ，t ) = ( ) ， 、 其中西和h 满足相容性条件毋( 0 ) = ( 0 ) 。令u ( z ，t ) = z ( x ，t ) + e - z - t ( o ) ，易知如 果u 是方程( 2 1 0 ) 的解，则z ( z ，) 是方程 4 一+ 乙船= ，+ 2 e 一4 一 ( o ) ，x , t 2o(211) iz ( z ，0 ) = ( z ) 一e - z ( o ) ，z ( o ，t ) = ( ) 一e 一 ( o ) 7 的解。对z 进行如下形式的分解：o = w + 口+ y iw i 一虹k 。+ 叫。船= ，+ 2 e - * 一九( o ) ，z ，t 0 1w ( x ，0 ) ；0 ，w ( o ，t ) = 0 i 巩一+ 。= 0 ，z ，t 0 【 ( z ，0 ) = ( z ) 一e 一2 ( o ) ，v ( o ，t ) = 0 和 i 轨一。+ 。= 0 ，z ，t 20 【口( z ，0 ) = 0 ，( o ，t ) = h ( t ) 一e - - t ( o ) 由上面的分解再结合定理2 1 ，定理2 2 和达朗贝尔公式，我们可以得到方 程( 2 ，1 1 ) 1 拘解具有下列表达式 定理2 3 方程俚j j ，的解可表示为 u ( ，t ) = i 忆( ) ( 毋( z ) 一e 一2 咖( o ) ) + i 作( 一r ) ( ，( z ，r ) + 2 e 一。一7 ( o ) ) d r + 【p ( t ) ( ( ) 一e - t h ( o ) ) l ( x ) + e - z - - t ( o ) ( 2 1 2 ) 第三章线性估计 在这一章我们主要对算子w ：( ) 和名( ) 进行线性估计。首先我们给出r + 上 的分数阶的s 曲甜e 口空问的定义。对于s 0 ，记s = m + 0 ，其中m = 【s 1 ，0 0 口。r e t ( u 、 0 ，6 0 使得 i 。f ! 堡! 剑 6 a l u a 4 - 6 “一n 俐存在一个复数d + 印r 其中n o 是一个给定的数，对于任意的l 2 ( o ，口) ，记 g ，( z ) = e 缸净，( p ) d p ， j 0 这里( 肛) 是一个定义在区间【o ，司上的连续的实值函数，在区间( 0 ，口) 上是c 1 的， 并且满足以下条件： 仃j 对于任意的p ( 0 ，n ) ，f ( p ) 0 ， 俐存在一个常数g ，e 御c t o o ，存在一个常数g 使得对于任意的 日( r + ) 满足 ， s u p ( ( 以+ 1 e 一番。【计( ) 州( z ) ) 2 d ) ；sc l l e 一刍。 o h ! 铲( 。+ z e r + j o 证明：我们只需要证明0ss l 的情形，其余情况类似可以得到。考 察u b ( t ) h ，令t 7 = p 3 + 扣，则对p o 有q 20 。记p = 6 ( q ) 为方程目= i t s + 扣的一 个实解。当s = o 时， l 跏一刍。 u b ( t ) h l ( x ) l = i 去z 。e + 扣k 山气3 矿+ j 1 ) u ( p 厶r c , 。c - 一a i + 一k 一嘉哪f ) 武舡i = f 磊1 上o o e i 啦u ( d ( 目) ) ( 撕mf o 。e - i , g e - 击钮( ) 武却| 在上述表达式中关于时问应用p l a n c h e r e l 定理， z ”i j ：e 一砉【o ) 叫( z ) 1 2 d c z 。( 1 + q ) lf z e - - 务f ( ) 武1 2 却 = c 扩砌 1 6半无界区间上k d v - b u r g e r s 方程初边值问题 当0 s 0 pi d ：e - & m ( ) 忡) 陋) sciijoe 一锄l h 牛( 肘) t 邳 “3 t c t ， 证明：我们只需考虑仉( ) 即可。由引理33 可以知道 ( j ( 。s 。u ! 。p 。：e 一刍i 仉( ) 】( z ) 1 2 d z ) 5 g ( o t u ( p ) i “( 即2 + j 1 ) 2 。o o e 一3 + 扣e 哆 ( ) 武1 2 舡) ；1 g ( 。( 1 + q ) 掣i o oe 嘶 ( 弦刍武1 2 d y ) kc ll。一和hlljo j o h 牛州盯。 。j 这里q 2 矿+ 扣综上证明完毕 。 下面引入一个新的算子，对于砂l 2 ( r ) ，记 = 2 。_ 凡 o o e i 矿t + 扣钞2e e 咄绯脚， 刀w ( f ) 妒( z ) = 磊1 上o o p e 啦 p 。砂扛+ 一o o e 一槭妒( f ) 武咖 引理3 7 对任意的( 口，p ) 1 0 ，1 1 f o ，割和任意的r 0 ，存在一个常数c t ，使得 对于任意的妒l 2 ( r ) 有 ( o 口譬“( ) 妒0 0 ( r + ) d ) ：c t l l 妒1 1 l 。( 凡) ， j 0 ( 州= ( 志，而2 ) 1 8 半无界区间上k d v - b u r g e r s 方程初边值问题 让明：令 “( ) 砂= 甜+ ( t ) 妒+ “一( ) 妒， 其中 “邯) 妒( z ) = 磊1 上o oe 社+ 扣。f e 一懈妒( ) 武舡 “+ ( t ) 妒( z ) = j 1z 0 0 , 扣“。上：oe 一收妒( ) 武中 我们只需要证明“+ ( ) 砂即可，对“一( t ) 妒类似。令 “【t ) 4 p c x j = “l 【j 妒【z j + u 2c t ) 妒c x ) ， 这罩 “( ) 妒( 功= 寺z 2e l 矿争埘e 。“净z ”e 一“妒( 。d d p ， ( ( z ) = 2 。，f ：o oe i p 3 t + 扣。z 。e _ i 心妒( ) 必舡 对于( 渺( z ) ，我们有 i i v ”, u , ( c ) 砂l l 职( n + ) g f o 石志lz 。e 一雎妒( 。d i d p ：c ( z 2 石志埘( 0 2 f o 。e - l g 妒奸训 珂十地【f j 妒恤j 很话珂偶日可寺移r 任，我们只焉让明 oz。譬(”，(，)出ii肛(肿)c(。ii(0j o - ，驯i 二，d 。 j l ， 其中；+ 参= i i + = 1 由于 o j ( 。口( ) ”，州川强川 = 5 。，( ( 1 ，t , o ”i o 。丽历( ( 1 ，泓r ) 心打a t 其中 h ( g ( f ) 第二章线性估计 1 9 = f 0 0z ”护辄小睁蜘r e - 州l + 眦) 譬j o ”e 1 ) 厕。批砒 山) = 2 - v 瓦2 孚+ 1 2 - - 一3 # i 再次应用对偶性质可知 ，”，一 r o ，1 o j o ，( ( 2 ，7 ) 仃( ( 1 ，g , t , r ) d g l l 砭d r l i 口se ( i i f ( 。，t ) l l c p , a t ) j 0 0j 0 7 由于 旷丽) d ( 2 i = 扩厕c z 。舡tf 螳篙蒜高等妣l sg z 。兰防咖。z 。秒甜廿h 川一咖阳嘲，而池卜 记 a ( ，7 ) 5i i jc，(2，7)(i，g,t,r)dg1100 l ： 则 鲫i z ”毫f ( m 序0 0 嘭球h m 舢忙肿l ( ( 心们f ( ( 互, r ) d g l 1 1 4 0 。尚7 t 2 le 砒o 。砰e l t * ( t - l p r ) + i m ( t - v r ) - i m ( e - - c a y ) 砜心姚一 如果不等式 ii币而：13elt嵋(t-ysr)+j剐“一洲”们舡删皤。2 yj 0 c l t 一一i 一掣叭，r ) 吣 成立，则有 ， 蚧脚z 。毫卜州一o ( o 一+ t ) u ，i r h 刮i 半无界区间上k d v - b u r g e r s 方程初边值问题 以及 i i a ( z ，r ) d r l l l ； j 0 g z 。焉i i 小廿| _ 掣( 刊护忆咖 = e j ( 。高产啪( j ( ”( j ( ”肛r | - 掣盯( ，r 川z * d r 句 c z 。翌：! 若竽咖( z 。( i f ) o o d f ) c j ( 。未丽匆( 和( 圳咖) r ( o ，( ，圳咖 因此我们只要证明 ，o o o死了面”7“+籼“纠计中-出iicpij2 1 vj o 。 sc l t y a r i 一! 掣懈，7 ) 炒( 3 1 ) 为了得到不等式( 3 1 ) ，a i r 黼t f ( a ，卢) 【o ，1 2 】尺引进一个解析算子类 ， k + 徊( ) 曲= s 口椰( ，t ) ，毋2 上矿“矿k 订上8 一州”o 州日武舡 易知对于任意的z o , t 0 ，存在一个与t ，l ，口无关的常数c 使得 0 l 。口( ) 西0 胪( r + ) sc 0 咖l | 胪( r + l ， i + 阳( z ，) l c ( 1 + i p l ) t 一半 因此由插值定理得到，对于任意的a 【0 ，扎 1 i i a + 妒( t ) q l l l 。( r + ) c t 一2 争i l 西0 l ( r + ) 对于给定的 0 , t r ，毋日南，有 i i l , ( t ) l l , _ - 5 c t 一掣南 特别令o = 口，t = ( 一r ) ，t = t y a r ，毋= 厕，我们得到不等式( 3 1 ) 引理 证明完毕，综上问题得到证明。 第二章线性估计 对于r 20 定义 2 ) r e 一刍w b ( t ) h = d r e 一嘉u b ( t ) h + 口r e 一斋u b ( t ) h ， 其中 【z ，e 一寺( ) j ( z ) = 磊1 如f c o e i o l j s + 扣p 7e l ，。( 3 p 2 + ；) ze _ i o z a + m u ) e - 彖 ( ) 必咖 引理3 8 时于给定的s o ，存在一个常数c 依赖于s ，使得对任意的h 珩( r + ) 有， ( 厂s u 。p i + 1 ，4 e - 寺t w b ( t ) h l ( z ) m ) _ 0 ， 口r e 一番w b t h = 口7 e 一嘉u b ( t ) h + 口r e 一刍u b ( t ) h 其中 矿e 一嘉。( 啪) = 去z 。e 矿 # i t p r 2 ( 3 肛2 + ；) z c o e - ( 斋舻件扣日f ( f ) 武如 证明：记 “( ) ，( z ) = 【伊e 一寺观( t ) 翻( z ) = 磊1 凡f o oe i p 3 t + i e 。妒净，0 ) 舡， 其中函数，的傅立叶变换是 缸m ii 。( 3 d 2 + ；) fe 训心喙昧心 易知如果 瑞7 3 ( r + ) 则，l 2 ( r ) 。因此我们可以在引理3 7 中令日= l ，p = 可 以得到 ( c os t 叩l 口；t “( ) ，( z ) 1 4 d ) c u l l 肛( r ) c i i e 一寺t _ i l l i h ( r + ) j 0 综上问题证明完毕。 下面我们给出算子w ：( t ) 的相应估计对于定义在r + 上的函数毋，我们用西表 示西在r 上的延拓。上述方法定义的映射一矿可以看作是一个从h 。( r + ) 到h 5 ( 兄) 有界线性算子记 l l ，r ( t ) 砂( z ) = e ( w 3 一矿) 。e 口西( p ) 舡 半无界区间上k d v - b u r g e r s 方程初边值问题 贝u = u ( z ) = w r ( t ) o + ( z ) 是方程 u l 一”。+ 。= 0 ，v ( x ，0 ) = 咖( z ) 在区域茁r ，t 0 内的解。如果取g ( ) = v ( o ，) ，则= v g ( x ，t ) = w b ( t ) g 是非 齐次的边值问题 仇一u 。+ u 一= 0 ，v ( o ，t ) = h ( t ) = g ( t ) t 0 的解。因此我们可以知道对于z2o 方程u ( z ，t ) 一v g ( x ，) 是 u t 一“。+ = 0 ，u ( x ，0 ) = 西( z ) 的解。故对于给定的s 0 ，h 5 ( 兄+ ) ( 毋( 0 ) = 0 ) ，矿是毋在见上的延拓，则算 子毗( t ) q i _ - i 以写成 仉( ) = w n ( ) 一w b ( ) g ， 这里z t o , g = w n ( ) ( 0 ，) 引理3 9 对于给定的s20 存在一个常数c 依赖于s ，使得对于任意的妒 h 。( r ) 有 s 础u pi i w r ( ) 妒( 蛐一牛( 目e 1 1 妒1 1 - 1 1 t r ) ；r。t “j 证明：记 w r ( t ) o ( x ) = e ( 1 矿一矿) e 肛西似) d 肛= a + 8 ， 这里 ，r o a = e ( 矿一矿) 。e 啦西( p ) 咖，口= e ( 矿十) 。e 杠谚( p ) 舡 j 0j 一 由变量代换再令q = 矿可以得到 a = 严一。也扩15 仁e 咱k 绯m 关于时间t 应用p l a n c h e r e l 定理， o 一4 l l 备“+ - ) ，3 ( r ) s c 上 7 5 ( 1 + 目) 2 0 + ”7 3 i 西( 叩1 7 3 ) 1 2 d q sc ( 1 + p ) 2 。i 移( 肛) 1 2 d “= c 1 1 妒1 1 备( r ) 第二章线性估计 同理我们有 综上问题证明完毕。 i l n l l , , + - ) a c l l 妒l l h - ( 脚 引理3 1 0 对任意给定的s 【o ，7 2 1 ，存在一个常数e ，使得对于瑞( r + ) ( 0 8s1 ) ，或者毋h o * ( 疗) n h 。( r + ) ( s 1 ) ，有估计 s u p0 n ( ) 咖0 h ( 且+ ) c i l 曲( x ) 1 1 一( r + ) ， 0 三 3 4 时有 ( s u pi l 忆o ) 毋( z ) 1 2 如) 1 2sc ( i + t ) i i c 4 x ) i i h ( 凡+ ) j o t e l o 7 + 1 引理3 1 1 4 - oss 7 2 和t v 0 h h 5 ( r + ) 记，( z ，) = e 1 ( ) 以 及t ( z ，f ) = j ：w o ( t r ) ，( ，r ) d r 月 l + d - 一个常数c 使得 s u pl i e 一番“( ，t ) l l h ( r + ) + ( s u pi i 啦+ 1 e 一葬“( z ，) l | ： ( r + ) ) 1 2 o _ t o oz e r + + s u 叫噬e 吲2u j - k + 1 ) ，。 ：；z e r + “。” +(jc桫+l4e-寺tu(硎删hi4+(j(。潞r务u(x,t)lpco 2 出) 班 ，o o ，jc i i h i i l ： c r + ) 0 ss 2 一【c i i h l l h ( 一j a ( 肿) 2 ss 7 2 证明：令妒( z ) 表示e 一2 从胪到r 的延拓使得妒h 6 ( r ) ，u ( x ，) 可以表示成 r tf t t ( z ，t ) = 【w r ( t r ) 砂( ) ( r ) 】( z ) d r 一i w b ( t ) 9 ( t r ) 】( z ) d r j oj o 半无界区间上k d v - b u r g e r s 方程初边值问题 其中( t ) = w n ( t h b ( o ) h ( t ) 通过积分交还顺序得到u ( z ，t ) = u ( z ，) 一 w b ( t ) v l ( x ) 这里 吣 c ) = z 。( t 叫心) m ) d r l g ( ) = 坤，) f n 于w ( z ，t ) 是方程 ( 吨( z ，t ) 一“，。( z ，t ) + “k ( z ，t ) = 妒( z ) ( t )u ( z ，0 ) = 0 的解，由前面引理31 0 得到 1 1 9 ( t ) 1 1 q n + - ) = ( o ，t ) l l m t r + ) c i h t l l ：( r + ) 以及 怕( 圳伊( r + ) = ( 0 ，刚俨( r + ) c l l h l l , , - ( 且+ ) 应用插值定理，对于任意的0 s l ， i l g ( ) l i + ( r + ) = 0 u ( o ，t ) l l m + - ( r + ) c i i t l l , , ( r + ) 利用上式及有关算子名的相关估计既可得到所要证明的结果。 第四章局部解 本覃我们主要讨论方程 ”t 讪一+ 机- 0 ，x , t 芝0( 4 1 ) i “( z ，0 ) = 妒( z ) ，u ( o ，) = h ( t ) 、 初边值问题的解的局部存在性。 首先介绍一些概念。对于给定的s2o ，t 0 和任意的函数uiu ( z ，t ) ： r + x 【o ，r l r ，定义 ，( u ) = 。嚣刚u ( ) 怯( 一+ ) o 1 ) ， a t 。( 毗( t ) 曲) c i l l l h ( 肘) ； 对于任意的，l h o o + o 3 ( r + ) 有 a 己( ( t ) ) c l l h l l _ l ：r ( 一) ，s ( 凡十) 半无界区间上k d v - b u r g e r s 方程初边值问题 对于，l l ( o ，t ；瑞( 口) ) ( 8 1 ) 或者，l 1 ( o ，r ；础( 兄+ ) ) n h 。( r + ) ( s 1 ) ， 也( 厂职( t 下) m ，r ) d r ) s 0 1 l l f ( ，) i i c l l f ( r ) i h 邯+ ) d t d 0j 0 也( 职( t 一1 ) ，( 。，r ) d r ) s ， 邯+ 引理4 2 存在一个常数g ，使得对于任意的t o 和妒聪7 2 ( r + ) 有， a ：( 仰：( ) 妒) c 0 妒0 h x 。f r + ) ； 对于丘月：2 ( r + ) 有， a t ( w b ( t ) h ) c l l h l l t 一( o 即； 对于，l 1 ( 0 ，t ；。h o o t 2 ( r + ) ) 有， 瑚z w o ( 叫m ，巾邮g o t 叭，r 川h i 2 ( r + ) 打 引理4 3 对于任意的s 3 4 和t o ，存在一个常数c 依赖于s ，使得对于任意 的毋h