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在时间标度上的一阶脉冲发展方程 解的存在性与唯一性 ( 详细摘要) 一、背景和问题的提出 在现实生活中，我们用数学方法来处理各种自然现象中的问题时，不仅碰到 连续的问题，而且碰到离散的问题。有时一个问题当中既有连续的成分，又有离 散的成分。或者此问题到底是连续问题还是离散问题，我们并不清楚。这给我们 的研究带来了不便。 为了统一离散分析和连续分析，s t e f a nh i l g e r 于1 9 8 8 年在他的博士论文中提 出了时间标度的概念。由于时间标度在物理学、化学技术、经济学、种群动态、 神经网络、社会科学上的应用，近年来受到广泛的关注。如生物学中，某一种昆 虫的数量在某一季节连续地增长，在冬季死亡。它们的虫卵就冬眠，在下一季节 孵化成虫。它们的繁殖时间是有间隔的，是不连续的。只有在时间标度上来进行 研究。 对于通常意义下的脉冲发展方程，在有限维空间中，一阶、二阶非线性的脉 冲发展方程已经研究过了( 见 5 】) 。在无限维空间中，从上世纪末开始n u a h m e d 等人研究了一阶半线性的脉冲发展方程( 见 1 5 ) ，包括我们也研究了半线性的 脉冲发展方程和强非线性的脉冲发展方程( 见 2 4 ， 2 3 】) 。 在本世纪，已经有一些人开始讨论在时间标度上的初边值问题解的存在性。 但只有两篇文章研究在时间标度上的脉冲发展方程。然而他们的假设条件太强 了，例如在 9 】中，作者用l e r a y s a h a u d e r 不动点理论研究解的存在性。由于方法 的限制，只能得到解的存在性，未得到解的唯一性。本论文继续对非线性脉冲发 展方程进行研究。在相当弱的条件下的得到解的存在性，并解决了唯一性问题。 本文包括两个主要结果： 1 在函数f ( t ，y ) 满足李普希兹条件时，用l e r a y s a h a u d e r 不动点理论解决了解的 存在性问题，并用时间标度上的g r o n w a l l 不等式解决了解的唯一性问题。 2 在函数f ( t ，y ) 满足局部李普希兹条件和线性增长条件时，用压缩映像原理同时 证明了解的存在性和唯一性。 二、主要内容 i 准备知识 由于时间标度是一个新的领域，为此收集了近百篇关于时f 刘标度方面的资料 ( 包括专著和论文) 。并对这些资料进行了分析、归类和整理，作为论文研究的基 础。 在第二章详细地介绍了在时间标度上的一些基本概念、基本定义、基本定理 和基本运算。 1 ) 时间标度的基本概念：时间标度、右移算子、谷函数、区间、左稠点、左发 散点、右稠点、右发散点、数学归纳法( 见2 1 节) 。 2 ) 微分和积分定义，以及基本运算和定理( 见2 2 和2 3 节) 。 3 ) 时间标度上的复合函数的求导法则、回归函数的定义和基本性质、多项式的 定义和基本性质、以及其它结果( 见2 4 至2 7 节) 。 4 ) 函数导数和积分的具体的例子( 见2 8 节) 。 在第三章介绍了在时间标度上的指数函数( 见3 1 节) 、在时间标度上的微分 方程的初边值问题( 见3 2 节) 、在时间标度上的g r o n w a l l 不等式( 见3 3 节) 。 i i 主要结果 本论文考虑在时间标度上如下的一阶脉冲发展方程： y 6 ( t ) + p ( t ) y 4 ( t ) = f ( t ，y ( t ) ) ，t t ：= a ，b 】，t l k ) ，k = l ，m ( 1 ) y ( t k ) 2 i k ( y ( t ：) ) ，k = l ，m ( 2 ) y ( a ) = r ，( 3 ) 1 f ( t ，y ) 满足李普希兹条件的情形 假设： ( h 1 ) 存在一个常数c ，使得i 叩f c 和i 厶( y ) i 0 ， 存在一个正数l ( p ) 使得 i f ( t ，y 1 ) - f ( t ，y 2 ) l l c o ) i y 】- y 2 ；其中t a ，b 】，i y l i 印，i y 2 i 印 此外f ( t ，y ) f l 匣从线性增长条件：l f ( t ，y ) f l ( 1 + ，v ( t ，y ) a , b x r 其中l 是一个大于0 的常数。 定理3 假设( h 1 ) 和( h 3 ) 成立，则在时间标度上的脉冲初值问题( 1 ) 一( 3 ) 有唯一解 三、特点和创新之处 1 ) 时间标度是新领域，选取时间标度意义下的脉冲非线性发展方程作为研究对 象，对完善时间标度意义下的微分方程理论有一定意义。进入一个新领域的 研究有助于提高我们的科研能力。 2 ) 我们的结果是在相当弱的条件下得到的( 特别是定理4 2 1 ) 。不仅得到解的 存在性，也得到解的唯一性。我们的结果与经典结果十分相似。 3 ) 方法上我们不仅用l e r a y s a h a u d e r 不动点定理，也用了压缩映像原理和 g r o n w a l l 不等式。特别在应用压缩映像原理时，我们克服了时间标度意义下 难于计算的问题。 关键词：脉冲微分方程；时间标度：可测链：导数；不动点：在时间标度上 的g r o n w a l l 不等式 e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n sf o rac l a s so f t h ef i r s t o r d e r i m p u l s i v ed y n a m i ce q u a t i o n s o nt i m es c a l e s 【a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h en o n l i n e a ri m p u l s i v ed y n a m i c s y s t e mo nt i m es c a l e s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o nf o ra c l a s so fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e si sp r o v e d t h er e s to ft h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r2a n d3 ，w e g i v es o m ea s s o c i a t e dn o t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e so nt i m es c a l e s t h em a i n r e s u l t so ne x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sa r eg i v e ni nc h a p t e r4 i ns e c t i o n4 1 ，t h en o n l i n e a rl e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mi s a p p l i e dt op r o v et h ee x i s t e n c eo ft h ei m p u l s i v ed y n a m i ce q u a t i o n sw i t h t h eg l o b a ll i p s c h i zc o n d i t i o n i ns e c t i o n4 2 ，t h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e mi sa p p l i e dt op r o v e t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ei m p u l s i v ed y n a m i ce q u a t i o n sw i t ht h e l o c a ll i p s c h i zc o n d i t i o n k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t i m es c a l e s ，m e a s u r ec h a i n s ， d e l t ad e r i v a t i v e ，f i x e dp o i n t ，g r o n w a l l si n e q u a l i t y c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n t h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp r o b l e mo nt i m es c a l e s y a ( ) + p ( t ) 7 ( t ) = f ( t ，( t ) ) ，t t ：= f a ，6 】，t t ，k = 1 ，2 ，7 n( 1 ) ( f 毒) = ( ( ) ) ，= l ，m( 2 ) v ( a ) = ， ( 3 ) w h e r eti sat i m es c a l ew h i c hh a sa tl e a s tf i n i t e l y m a n yr i g h t d e n s ep o i n t s ， a ，b 】c t ，pi sr e g r e s s i v ea n dr i g h t d e n s ec o n t i n u o u s ，厂：txr_r i sag i v e nf u n c t i o n s ， c ( n ，冗) ，t k t ，a = t o t i 0 ， ed e f i n e 矿 丁一r 时 o n ( f ) = o ( o ”1 ( ) ) d e f i n i t i o n2 1 ，5t h en o t a t i o n s | c ? d l | ：( = ，味a n ds oo n w i l ld e n o t et i m es c a l e s 讥 t e 1 w a l ss u c h0 8 c ，卅= t t ：c i d ) ，? b h e r ec ，d t ，w i t hc p ( d ) d e f t n i t i o n2 1 6 孙gp o i n tt ti sf 妒一d e n s e ，f 啪一s c a t t e r e d ，r i g h t d e n s e ，r i g h t s c a t t e r e d 矿p ( t ) = t ，p ( t ) t ，r e s p e c t i v e l y d e f i n i t i o n2 1 7 盯th a sar i g h t s c a t t e r e dm i n i m u m ，d e f i n e 瓦= t o t h r w i s e ，s e t 瓦= t 玎丁 o snf 妒一s c a t t e r e dm a x i m u m1 1 1 ，d e f i n et ：= t o t h e r w i 5 e s e f 丁k = 丁 枷) ，) t h e o r e m2 1 1a c c o r d i n gt ot h i sd e f i n i t i o n ，w e c a nm e e tt h eu p c o m i n g ，0 “re s s e n t i a l l yd i f f e r e n ts c e n a r i o s ： 3 c h a p t e r2 t h et i m es c a l e sc a l c u l u s joi sd e n s e 号p ( z ) = z = 盯( o ) 2 z 。5l d t d e n s ea n dr i g h t s c a t t e r e d = = 争p ( 。) = 。 o ( z ) 3 髫i sf 皇厅s c a t t e r e da n dr i g h t d e n s e = = 亭p ( z ) 。= 盯( z ) 彳zi s i s o l a t e d ：亭p ( x ) 0 p a r t i c u l a r l yu s e f u lf o rt h ed i s c r e t i z a t i o na s p e c ta r et i m es c a l e so ft h ef o r m t = t k l 七z ) ，w h e r e “r ，t k 0 ，a n dl e tlb eol - p e r i o d i ct i m es c a l e ：i no t h e r 。r d s 丁i son o n e m p t yc l o s e ds u b s e to frs u c ht h a tt + l ta n dp ( ) = p ( + l ) w h e n e v e r t t c h a p t e r2t h et i m es c a l e sc a l c u l u s5 d e f i n i t i o n2 1 1 0l e tfb ear e a l v a l u e d 知n c t i o nd e f i n e do na ni n t e r v a li ，w es a y t h a tfi si n c r e a s i n g ，d e c r e a s i n g ，n o n d e c r e a s i n g ，a n dn o n i n c r e a s i n go n ，矿t l ，t 2 i a n dt l 0 ，t h e nf ( o ( t 0 ) ) f ( t o ) ( 口( o ) ) f ( t o ) ( f ( t ) t o d e f i n i t i o n2 1 1 2w es a ya 知n c t i o nf ：t _ ra s s u m e s 泐l o c a lr i g h t m a x i m u m ( l o c a lr i g h t m i n i m u m ) a tt o t 。p r o v i d e dt h a t j i f a ( t o ) 0 ，t h e n ，何( o ) ) f ( t o ) ( ，( 口( ) f ( t o ) ) 兽矿o ( t o ) = 0 ，t h e nt h e r e i san e i g h b o r h o o duo ft os u c ht h a tf ( t ) f ( t o ) ( f ( t ) ，( t o ) ) ，d ra l l t u ，t t o 2 2d i f f e r e n t i a t i o n d e f i n i t i o n2 2 1f o rt t 。，l e tt h e d e r i v a t i v e0 ，fa tt ，d e n o t e df a ( f ) ，b et h e n u m b e r ( p r o v i d e di te x i s t s ) ，s u c ht h a tf 。1 1a l l 0t h e r ee x i s t san e i g h b o r h o o duo ft s u c ht h a t j l ，( ，( ) ) 一f ( s ) 一，( t ) p ( ) 一s l l e l l o ( t ) 一s l i ，d ra l fs u d e f i n i t i o n2 2 2f o rf ：t _ xa n dt t k 讹d e f i n et h en a b l ad e r i v a t i t ，eo f ( ) ， ，可( t ) t db et h en u m b e r ( w h e ni te x i s t s ) ，w i t ht h ep r o p e r t yt h a t 如ra n ye 0 t h e z i san e i g h b o r h o o dvo fts u c ht h a t 如ra l fs v ，( p ( t ) ) 一f ( s ) 一，9 ( f ) 陋( t ) 一s l e l l p ( t ) 一s d e f i n i t i o n2 2 3at i m es c a l ei sap a i 7 t ，a ) s u c ht h a t lti san o n e m p t ys u b s e to t h er e a ln u m b e r ss u c ht h a te v e r yc a u c h ys e q u e n c e 伽tc o n v e r g e st oap o i n t 。，tw i t ht h ep o s s i b l ee x c e p t i o no fc a u c h ys e q u e n c e s w h i c hc o n v e w et oaf i n i t ei n f i m u mo rf i n i t es u p r e m u mo f 丁? 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