（基础数学专业论文）关于纯正半群的强半格的讨论.pdf

摘要 柏i 本文巾，我们通过h j 逆、i ，材的某些性质与纯止、l ，群的某螳性质进行对比与类推，详细地研究 了纯i p i - 群的强、l ，格主要的研究如卜： 第一章给 1 1 引言及】i j ：| 备知识 第一：章，研究纯上l ：、卜群的强、卜格卜的r i 然偏序与同余第一节，我们讨论了纯jj i 群的强、卜格e 的白然偏序与再纯止、l ，群上的自然偏序之间的关系；第- 二节，我们通过纯正、i - 群- 上的最小群同余刻 l l ! l l 纯止、卜群的姓、i - ：p r ：的最小群刚余，1 ：识 剑了山这 i 的川余厉导的商、| ，群为 辱个纯i i 川j t _ f = f l j 向 、l ，群的强、l ，| 格的结论的证明：第节，我们通过纯j l 二群e 的最人幂等分离同余刻厕纯i l ：、i ，群的强 、卜格i ：的最人幂等分离州余 第二章，研究纯t l 二群的强、1 4 名- 上的强同余对第一节，我们给出了上l ：规强同余对族，标准强同 余对的概念；第二节，我f j 通过纯正、i ，群的强小格上的强同余对刻画了纯止、i ，群的强、 ，格上的强同 余，并讨论了纯正、l ，群的强、l ，格卜的强同余羽i 各纯正、l ，群上的强同余之f u j 的关系以及纯d 叫? 群的 强、l ，格上的强同余对和备纯止、i ，群 ：的强同余对之间的关系 笫四章。硼f 究纯止、| ，样的强、l ， 务的核止规系我仃j 讨沦了纯l l 、| ，群的强、i - 格的核止规系。j 各纯 止、l ，群的核止规系之间的关系 关键词：纯止半群，、卜群的强j 卜格，自然偏序，强同余对，核止规系 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yi nd e t a i lt h es t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o xs e m i g r o u p sb yc o m p a r i n ga n d a n a l o g i z i n gs o m ep r o p e r t i e so fi n v e r s es e m i g r o u pw i t hs o m ep r o p e r t i e so fo r t h o d o xs e m i g r o u p t h e m a i ns t u d yi si nt h ef o l l o w i n g ： i nc h a p t e ro n e ，t h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r yk n o w l e d g ea r eg i v e n i nc h a p t e rt w o ，t h en a t u r a lp a r t i a lo r d e ra n dt h ec o n g r u e n c eo nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o x s e m i g r o u p sa r es t u d i e d i ns e c t i o no n e ，w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h en a t u r a lp a r t i a lo r d e ro na s t r o n gs e r n i l a t t i c eo f o r t h o d o xs e m i g r o u p sa n dt h en a t u r a lp a r t i a lo r d e ro ne a c ho r t h o d o xs e m i g r o u p i n s e c t i o nt w o ，w ec h a r a c t e r i z e t h em i n i m u mg r o u pc o n g r u e n c eo nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o x s e m i g r o u p sb yt h em i n i m u mg r o u pc o n g r u e n c e so no r t h o d o xs e m i g r o u p s ，a n do b t a i n ap r o o fo f c o n c l u s i o nt h a tt h eq u o t i e n ts e m i g r o u pi n d u c e db yt h i sc o n g r u e n c ei sas t r o n gs e m i l a t t i c eo fq u o t i e n t s e m i g r o u p so f o r t h o d o xs e m i g r o u p s i ns e c t i o nt h r e e ，w ec h a r a c t e r i z et h em a x i m a li d e m p o t e n t s e p a r a t i - n gc o n g r u e n c eo nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o xs e m i g r o u p sb yt h em a x i m a li d e m p o t e n t s e p a r a t i n g c o n g r u e n c e so no n h o d o xs e m i g r o u p s i nc h a p t e rt h r e e ，t h es t r o n gc o n g r u e n c ep a i ro nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo n h o d o xs e m i g r o u p si s s t u d i e d i ns e c t i o no n e ，w ei n t r o d u c et h en o t i o n so fav a r i e t yo fn o r m a ls t r o n gc o n g m e n c ep a i r sa n da s t a n d a r ds t r o n gc o n g r u e n c ep a i r i ns e c t i o nt w o ，w ec h a r a c t e r i z et h es t r o n gc o n g r u e n c eo nas t r o n g s e m i l a t t i c eo fo r t h o d o xs e m i g r o u p sb yt h es t r o n gc o n g r u e n c ep a i ro nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o x s e m i g r o u p sa n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h es t r o n gc o n g r u e n c eo nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o x s e m i g r o u p sa n dt h es t r o n gc o n g r u e n c eo ne a c ho r t h o d o xs e m i g r o u p ，a sw e l la st h er e l a t i o nb e t w e e n t h es t r o n gc o n g r u e n c ep a i ro nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o xs e m i g r o u p sa n dt h es t r o n gc o n g r u e n c e p a i ro ne a c ho r t h o d o xs e m i g r o u p i nc h a p t e rf o u r ，k e m e ln o r m a ls y s t e m so fas t r o n gs e m i l a t t i c eo f o r t h o d o xs e m i g r o u p sa r es t u d i e d 。 w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nk e r n e ln o r m a ls y s t e m so fas t r o n gs e m i l a t t i c eo fo r t h o d o xs e m i g r o u p s a n dk e r n e ln o r m a ls y s t e m so fe a c ho r t h o d o xs e m i g r o u p k e y w o r d s ：a l lo r t h o d o xs e m i g r o u p ，as t r o n gs e m i l a t t i c eo f s e m i g r o u p s ，an a t u r a lp a r t i a lo r d e r , as t r o n g c o n g r u e n c ep a i r , k e r n e ln o r m a ls y s t e m s i l 独创性声明 彳i 人圳所声交的论文足我个人九：甘! j l | j 折导j 、逊m j ，j 研歹ij ：限及取似的研究成果。 尽我所知，除了文一i 特别加以标注利敛溯l f | ，j 地力外，沦义i l l 1 i 他龠j 0 他人已经发太或撰 写过的研究成果，也不包含为获得宁夏人学或 它教育机构的学何或i i l ! - ls i f f 电用过的材 料。与我一同 ：作的嗣志对本研究所做的f t f l l 炙献均已j f ：论文， i 作了l 纠确的 兑明并：表示 了谢意。 研究生签名： 起粕寺 u , t f h j ： 2 明年占月牛h 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。i 州意宁夏大学可以用不i n j 方，住不媒体上发表、1 冬播学位论义的 伞部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：起骺宁 时间： 铆年易月午同 导师签名：事乏 帅j ：卅，rf 月毕 i 二疆，j j f i ! j ! l 节f ? ，论芝第节，；i ，i 股项冬知识 曼! 曼! 曼曼曼! 曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼蔓曼曼量i iiii n i ! ! 曼舅苎! 蔓 第一章引言及预备知识 、| ，群是含有一个一：元运算且满足结合律的集合，是一种特殊的代数系统2 01 廿纪6 0 年代以 来，l ，群理论j f ：始得剑j 。泛的缈f 究文献【l 一5 】对、| ，群进 j ：j ，洋细f 内刨f 究随着、i i 群婵论的发腱，、| ，- 群 也以：被f ：断地细化逆、i ，群，纯止、i j 群，l l ：则、i ，材得剑了广泛的研究文献【6 7 】i 擎细介2 “了逆、l j 群 i 1 ，j 埋沦，文献【8 1 3 】介i “j 。1 1 则、l ? j ! l 的地论纯止、卜辑是类4 l 妹的止| l i i j 、l ，杆，它l ，j 幂等几集：f 力 其l 1 身的f 、| ，群，文献【1 4 - 2 6 】详细介纠了纯上e - 、i - 群的理论其中，j c m e a k i n 住文献【1 6 一1 7 】中 对纯i i 叫二群l ：的最人幂等分离同余，最小逆、l j 群同余，l l ：| i ! i j 核止规系，核止规系部进行了洋细的刎 画j a n e te m i l l s 住文献【l8 】中刻画j ，纯止n 群上的最人幂等分离同余，最小逆、l ，群i 叫余，最小“1 w j 余，最小带同余，最小、卜格川余，s g 同余及最小群同余，并给出j ，这些同余之问n 勺相互包含关系侯 l5 会台：文献【2 0 i | 1 引入井利川关系p 赫，p 盯琏、，p “，夕“1 刻画j ，纯l l ：、l ，群l ：。般刚余的逊类， 利h j 核- 迹方法给出了纯止j 卜群上儿类特殊蚓余的等价刻画，还研究了纯止、i ，群上的c l i f f o r d 同余 朱浸华住文献 2 2 2 3 】中利州纯止、卜群上的强同余对刻画了纯止半群上的强同余，并给山了纯止 半群上以某一正规同余为迹的最人强同余及最小强同余的详细刻画，从而进一步完善了纯止、卜群 的阔余理论如今，在信息科学希i 理论汁算机科学的推动卜，、卜群理论得剑了充分的发展，已经发展 成为代数。的独、z 分支，j 。泛心刖r 数学及其它科学领域 、| ，- 群的、i ，格分解，尤其是强、| ， 格分解是研究、卜群的一个很女，的方法，它利川结构同态把一族不 相交的、| ，群组合在一起m a r i op e t r i c h 在文献 2 】中刻画了、卜群的强、| ，格的结构，并给出了、| ，群的 坚强、l ，- 格的定义j m 。h o w i e 在文献( 3 】中给出了c l i f f o r d 半群是群的强、卜格及每个交换半群是阿 基米德、卜群的强半格的结论，并刻画了矩形群，左( 右) 零半群的强、 ，格结构，加深了读者对、卜群的强 t 格的认识半群的强、卜格理论的研究一直是一项很热的课题通过j “泛阅读资料我们知道，能进 行强j 二格分解的i 群歹i ：不多，而交换卜群，纯正、j ，群，逆、卜群就，f i 有强、f 7 格分解的性质文献【2 7 】时 交换半群的强、卜格进行了研究，文献 2 8 3 0 对逆? f 群的强? 仁格进行了详细的研究目前，有关纯止 仁群的强半格的研究还很少本文在前人研究的基础上，对逆半群的强誓格的理论进行推广，研究纯 止半群的强半格的理论 为了以卜| 各章节应用的方便，先给出下面的概念和引理 在文献【3 】中给出了如卜的定义和引理： 半群s 中的元素口称为止则元，如果3 x s ，使得a x a = a 所有元素均为正! l ! i j 冗的、l ，群称为 止则、t - 群 a 为、i ，群s 中的元素，若a 2 = 口，则称a 为s 的幂等元在本文中，s 的幂等元集合川e ( s ) 表 示对v 口y ，e 。表示s 。的幂等元集合 一个? | ，群称为纯止、l ，- 群如果它是止则的且它的幂等元集合为一个子j l ，群 若s 为上 则、l ，群，e ( s ) 为它的幂等元集合，则。f 列条什等价： ( 1 ) s 是纯止、i ，群； ( 2 ，对v e ，f e ( s ) ，尼s ( e ，f ) ； ( 3 ) 对v a ，b s ，v ( b ) v ( a ) v ( a b ) ； j 。砭人；! 顺i 。f ? r 论乏 第一节哼f ，。腹丽舞知识 ! i i 一 i = 1 1 1 i i 曼蔓曼苎置毫! 苎皇曼曼! 曼曼曼曼! 苎曼曼曼蔓 ( 4 ) 对v e e ( s ) ，v ( e ) e ( s ) ； ( 5 ) v a ，b s ，若v ( a ) nv ( b ) = ，则v ( a ) = v ( b ) a 为、i ，群s 中的元素，称“为a 的逆元，如果a c l a = a ，a “口= a 住本文中，的逆元的集合 刖v ( a ) 表示。 殴 s 。) 。，为一族、l ，群，k 氏移 n 。，& 若符合分量方式的乘法延算，则称为、j j 群 s 。) 。，的 直杉 矿为11 f 1 = 的| f 空类，若打卜列性质： ( 1 ) 若s v ，t 为s 的f 、i - 群，则t v ； ( 2 ) 若s v ，t 为s 的同态象，则7 矿； ( 3 ) 若s 。v ( a y ) ，则直移 n 。r s 。v 则称v 为、i ，群的簇 住文i i 畎 2 1 中给出j ，、| ，群的强、l ，格与! 怪强、l ，格的定义及相关2 论： 设】，为半格，v a y ，s 。为：t - - g # ，当口时，s 口ns 口= ，令s = u 。ys 。，且适合以卜条 件： ( 1 ) v c r ，y ，口，存在同态九：s 。哼s 卢； ( 2 ) 如果a y ，贝i j 九p 矽y = 九r ； ( 3 ) v 口y ，九。= l 墨， 对v 口s 。，b s 卢，定义a 幸b = 口九叩6 办筇，则( s ，木) 成为半群，称为? 卜群s 。的强、卜格，记作 s = y ；s 。，九 若所有的丸，都是单射，则称s 为& 的坚强、| ，格，记作s = 在下 面的讨论中，a 木b 简记为口6 设矿为一个包含半格的j 卜群簇，若对v 口y ，有s 。v ，则半群s 。的强半格 s = y ；s 口，九口】v 在文献 2 8 】中给出了纯正半群的强? 卜格的相关结论： 设s = 【y ；咒，九口】为纯正半群s 口似y ) 的强、f 格，对v d s ，若a s 。，则v ( a ) s 。 纯止? 仁群的强? 仁格为纯正半群 本文作者在杜兰老师的指导下，借助逆半群的强半格的理论，运用对比与类推的方法，即川逆、f 群的某些性质与纯i f ：t - 群的某些性质进行对比与类推，对纯正半群的强? | ，格作了详细的研究主要 的研究如卜： 1 讨论纯止半群的强、卜格上的臼然偏序与箨纯止j 仁群上的臼然偏序之间的关系 2 利用纯止i 卜群上的最小群同余与最人幂等分离同余刻画纯正t - 群的强、| ，格上的最小群同 余与最人幂等分离同余 3 。利川纯止半群的强? f ，格上的强同余对刻画纯止、i - 群的强、f ，格上的强同余，并讨论纯正、| ，群 的强半格上的强同余和各纯止、卜群上的强同余之间的关系以及纯止半群的强半格上的强同余对 和符纯正、卜群上的强同余对之间的关系 4 讨论纯上e 、卜群的强、卜格的核止规系与各纯止、l ，群的核止规系之间的关系 2 。jr 疆人学顺1 j f ? ，论乏 笫。市纠! f 、f 肝的强、 7 箨l 的【，| ：偏? 爻系j 同余 第二章纯正半群的强半格上的自然偏序与同余 t 群中有关自然偏序与同余的研究l 三经很充分文献【l ，11 1 3 】研究了止则、l ，群：的自然偏序， 义献 3 】研究丫逆、l ，群上的 j 然偏序，文献 3 0 】研究了逆、i ，群的、| ，格上的i 1 然偏序；文献【6 7 】研 究丫逆、l ，群上的同余，文献【9 1 0 】研究了止则、i ，群上的同余，文献 1 6 - 2 0 形f 究了纯j l 、l j 群上的同 氽，包j l 亡最小“余，主i 主人幂善分离1 j 余，最小卜格余，最小逆、l 群j u j 余，最小巾l u i , j - k ，s g - 杂等本 文在此基础上，研究纯止i ，群的强、l ，格上的自然偏序，最小群同余及最人幂等分离同余 2 1 纯正半群的强半格上的自然偏序 本1 ，j ：婴 寸论纯土l 叫i 群的强、| ，格上的白然偏序与箨纯止、i ，群上的f i 然偏序之叫的父系及一系 列相关问题 定义2 1 i 3 1 称集合x 上的舣边关系缈为一个白然偏序，如果它满足卜面的条件： ( 1 )v x x ，( 工，x ) 缈； ( 2 ) v 工，y x ，若( x ，y ) 缈，( y ，x ) 缈，贝i 石= y ； ( 3 ) v x ，y ，z x ，若( x ，y ) 缈，( y ，z ) 缈，! l l u ( x ，z ) 缈 注：通常我们把( x ，y ) 缈记成x y ，并称( x ，) 为一个偏序集 引理2 1 2 【1 1 在正则、| ，群s 上定义关系如下： 口，b s ，a bo r 3 e ，f e ( s ) ，使得a = e b = 矽 则是止则、l ，i 群s 上的白然偏序 由_ r 纯止、| ，群是一类特殊的止则、l ，群，则引理2 1 2 对纯止、l - f f l ：- 9 j 适j 娩 定理2 1 3 令s = y ；s 。，九，口】为纯正、卜群s 。( 口y ) 的强半格，则有卜列结论成立： ( 1 ) v 口s 。，b s 口，若a 6 ，则口； ( 2 ) 若口s 。，b e 口，a 6 ，则a 点二； ( 3 ) 若6 s 口，口，! l 03 a & ，使得口6 ； ( 4 ) 若b e 口，6 1 ，则3 a 色，使得a b 证明( 1 ) 若a 。，b s 口，asb ，则j e ，f e ( s ) ，使得 a = e b = 矽 设e e ，f e 占，_ | j 1 0 口= r , a = , a a 冈此，口 ( 2 ) 若口s 。，b e 口，a 6 ，则j p ，f e ( s ) ，使得 a = e b = 矽， 故 a 2 = ( e b ) ( b f ) = e b 2 f = e b f = a f = b f f = b f = a ， 3 与。呸，i ：埘! i ；： 一t 仑乏第：币乡n 1 1 、 ? 芹f n 7 谩r f f 的f j 终f l5r 孓友糸j fr 日j ： 曼曼曼! 曼璺曼! ! 曼曼曼曼! 皇曼曼! ! ! 曼曼鼍鼍l m i 一 i ii| 一一i i ! ! ! ! ! 曼曼曼曼曼曼鼍曼 所以 a e ( s ) ns 口= 乞 ( 3 ) 彳? 口，则了y y ，使得口= 办，这里i 5 1 6 s ，c s ，令 f = ( b c ) ( b c ) ，g = c ( b c ) b | l ! i j f b = b g ，f g e 8 y = e 。， 圾“= 扫= 匆g ，u j 僻“sb ( 4 ) 由( 2 ) 与( 3 ) 可推出 定理2 1 4 设s = 【y ；s 。，九口】为纯止、i ，群s 。( 口y ) 的强、i j 格，。为s 。( 口y ) ：的f i 然 偏j f 若n ，b s 口ras 口b ，则对v y ，s 口，有口九s p6 九 i i f 明转口，b s 。，a 。b ，则3 p ，f 点0 ，使得“= e b = 髟，对v y ， ；：口，则 甜九= ( p 6 ) 九步= ( 6 ) 九p ， 即 8 母，j b = e 币，。8 b 季，j b = b i ，9 加，。b ， 义e db ，细，3 eb 两j 汉c 牵，bsbb 巾，b 定理2 1 5 设s = 【y ；s 。，九疗 为纯j l ? 群s 。( 口y ) 的强、 ，格，。为s 。( a y ) 上的自然 偏j v 口，y ，劈，丸为单射，九p l e ：一易为满射，若以，b & 儿“丸p6 以，p ， 则a 。b 证明设日，b s 。，由已知对v y ，口，有口九卢p6 九卢，则j e ，厂，使得 a q i 。b = e b 币。b = b 妒。b f ， 由丁屯，声l ：乜_ 为满射，则3 9 ，h 易，使得 e = g 母。8 ，f = h 币n 。8 ， 故 a 妒q 。b = g 审。b b 币。i b = b q 6 a z h 妒。b ， 即 a 丸。芦= ( g b ) 丸，口= ( 搠) 九口， 义丸口为单射，所以 a = g b = b h 冈此，a 。b 定理2 1 6 设s = 【y ；s 。，丸，口】为纯止、| ，群s 。( 口y ) 的强、l ，格，。为s 。( 口y ) 上的自然 偏序，则s 上的自然偏序适合： v a ，b s ，设口s 。，b s 卢，则a be ，口，a 口6 声口 证明若口，a 。6 九。，则口= 筇= 触且j p ，f 乜，使得 a = e b 咖b 。，= b 母岫f ， 义 e b 咖3 n = e 母。? ，b 咖b ，= e 。? 邸b 牵b 。8 = e b ， b 耷，。f 曲l ，? ，舯，8 ：b l j ，绚，。，= b j ， 4 j ! 遐，j ，彻卜学f 论乏 销：帝纠! l f 半肝的强 ，懈l 的r 1 然偏宁冀系j 网余 l i i i i 皇! ! 曼曼! 曼! 曼! 曼曼曼曼皇皇曼蔓! 曼! ! 曼曼曼曼! 蔓曼曼皇曼曼! 曼曼曼! 曼! 曼曼曼曼曼曼! ! 蔓曼! 曼! 曼! ! ! 曼! ! ! 曼岂曼! 曼 故 a = e b = 6 厂 此a 6 若a 6 ，a s 。，b s 口，则由定理2 1 3 中( 1 ) 可矢i l 口且j p ，f ( s ) ，使得 a = e b = 6 厂， 故 即 w 此 a 。b o e e b = e 币y 扣母p 。唧= e 咖b 咖日， b j = b 6 。x 6 脚s 。强= b 由证釉8 。， a = e 审y j ，b e b 。，= b 币8 m 釉s 2 2 纯正半群的强半格上的最小群同余 本节i 要矽究纯l j 二群j 二的最小群同余1 j 纯i i 叫群的强、i ，格上的最小群h 余之问的关系，探 讨了由这样的同余诱导的商半群与每个纯正、i ，群的商、l ，群的关系 引理2 2 1 t 1 8 j 纯正半群s 上的最小群同余为 口，b s ，( a ，b ) 仃车今3 e e ( s ) ，使得e a e = e b e 定理2 2 2 设s = 【y ；s 。，九，卢】为纯正半群s 口 y ) 的强、卜格，若仃。为s 口上的最小群同余， 定义s 上的关系盯如卜： v a ，b s ，( 口，b ) 盯c 令j 口y ，a ，b s 。，使得( 口，b ) 盯。 则仃为s 上的最小群同余，且盯l & = o a 证明v a s ，设a s 。，由t - ( a ，4 ) 仃。，所以( 口，a ) 仃； 若( 口，b ) 仃，则3 a y ，使得口，b s 。，0 ，b ) 盯。，由丁仃。为s 。上的最小群同余，则 ( 6 ，a ) o - a 所以( b ，口) 仃； 若( 以，b ) 仃，( 6 ，c ) 仃，则了口，y ，使得 口，b s 。，( 口，b ) o r 。，6 ，c s ，( 6 ，c ) 仃， 则 b s 。f ls 口， 当口时，s 。ns 口= ，故口= 所以 口，b ，c s 。，( 口，b ) 盯。，( 6 ，c ) 盯口， 则 ( 口，c ) 盯口， 5 膨 i i 枷 i l 口 i 牲 幺 ， ， ep 殴 。r 眨j ：学帧l f _ 沦卫 第：亭刍u 一半钟的强、f 懈l ：的f l 然作4 f 天糸外u 宋 曼曼鼍i 一 ；i； 一i 曼曼! 笆蔓! 曼曼蔓曼曼曼曼曼蔓曼! 曼曼曼曼皇曼曼! 曼曼曼曼 敝 ( d ，c ) 仃 冈此，仃为等价关系 殴( “，b ) 盯，则j 口y ，使得口，b & ，b ) 口口，故3 e t ，使得e a e = e b e 对v c s ， 没c s 口，则 a c = n 母m g c 串b j 邓，b c = b 争。氇b c 零b 邸， 由p “p = e b eu j 得 ( p “口) 九筇= ( e b e ) 矽岔叩， 故 e q 6 a , a # a 季。够e 牵。够= e 母。螂b 咖。印e 事。印， 义p 。叩e 叩，! l ! i j ( “九筇，易九。够) 盯彬， 故 ( 口丸，a p c 痧b , a p , 6 九够c 办帮) c r a , 芦， 即 ( a c ，b c ) 仃椰， 所以 ( a c ，b c ) 莎， 同理可得 ( c a ，c b ) o r 冈此o r 为s 上的同余 对v a ，b s ，有 ( 口，b ) 盯亡了口y ，a ，b s 。，( 以，b ) 盯。 3 e 也e ( s ) ，e a e = e b e 因此，仃为s 上的最小群同余，且仃i 咒= 仃。 定理2 2 3 s = 为纯正? f 群s 。位y ) 的坚强半格对v 货，y ，当口 时，丸芦l 置。：e 一易为满射若盯为s 上的最小群同余，则万l s 。为s 。上的最小群同余 证明设仃为s 上的最小群同余，若( 以，6 ) 仃k ，则口，b & ，( 以，6 ) 盯，故j p e ( s ) ，使得 e a e = e b e 设p e 口，则 e 币口坤n 咖。国b e 币b 豳b = e 妒b 盛b b 咖。a p e 币b ? 。口， c at e 矽, ，印且九筇i 如：既寸为满射，则可玩，使得 e 由，邸= 鼬， 所以 即 义由y - 九卸为单射，则 伯q 邸q 由，。b 钟，邮= 绚，扣串。，伯，邸， ( 阿) 九筇= ( 阿) 九印 6 二三竺竺! ：! ：竺堡兰 一 笫：帚 争l 订i 、 计j 强、 ，懈i 的一然偏序父系t j 同氽 1 码：j b | 人l 此，仃i s ，为s 。上的最小群州余 定理2 2 4 殴s = ，；s 。，。声 为纯正、l ，群s 。( 口y ) 的强f 格，若仃。为s 。上的最小群同 余，定义s 上的关系仃如卜| ： v a ，6 s ，( 以，6 ) 盯车了口y ，口，b s 。，使得( 口，6 ) 仃。 一一 s = s o ，s a = s ， oq 型置苎一l 口望挚誓格若对v 口，y ，口 f l ，九声为单射且九j 巨。：匕一为满射，则j 趄 s 。的坚强、i - 格 “ 所以 证明由定理2 2 2 可知，矿为s 上的最小群蚓余v a s ，改口s 。，则由仃的定义u _ 知 a o a ac t ： ：f i ：b a o ，即( “，6 ) 口，由仃的定义ij f 失t lb a o a ，则 a c t a o a ， 图蜕，s = s b = u 硝s ， 6 ，= u 。囊s ， 对v 口，y ，若g ，定义映射 则 即 对口仃，b a ，s 口 由于p 九，易，所以 即 故 因此，矽。，一定义良好 对v 口，y ，若口 a o 2a o a 1 i 当口f l 于，s 。ns 矽= 争。8 ：s aj s 口，( a c r ，) ( 2 ，b = k ，j b 、) og ，若口仃0 = 6 口0 ，即( 口，6 ) o c r ，! f ! j p 点二，使得 e a e = e b e ， ( 鲫p ) 九，= ( p 6 e ) 丸 e 币。b a 币，。b e 币。；b = e 币，b b 币，3 e 币，。b ， 缸屯，声，6 丸，) o r 卢， ( 口九，p ) = ( 6 九卢) ， ( 口d 0 ) 口p = ( 6 d 0 ) 矽。，口 ，l ! l ! f f f ；v a o - 口，b c r 。s 。，有 ( a c t 。) ( b a r 口) 础= ( a b ) c r 。】痧邮= ( 口6 ) 丸】 冈此，矽。口为同态映射 对v 口】，确矽口，。= l i 。 = ( 口九。p 皇九，卢) 盯卢：( 口九。) 仃p ( 6 丸p ) = ( 口仃。) 矽。，( b e r 。) 矽。，口 7 j ：砭，：，顺i 学化论殳 贫：市纯下十肘的慢 ，栉 f i 的r 然偏f 天系订： 对v a , ，7 y ，若口7 ，贝l j ) b j - v a o - 。s a ，有 ( 口盯。) 矽a p 矽，= ( 口九) 口 矽，= ( a 九，) 仃，= 【口九，) 仃y2 ( 口仃盯) 。y w 此，咖叫l 毋b 。y = 咖哪 对v a r y 。s a ，b a r 口s p ，有 ( “仃。) ( 6 盯口) = ( a a ) ( b a ) = ( a b ) c r = i 、n 咖，a f t b 母87 叩) a 。b = ，。b ) o 邓妒b 叩1 a 郎 = ( a o r 。) 矽a a f l ( b a 芦) 矽卢a f t 冈此，s 是s 。的强、卜格，即s = 【y ；s a ，矽。口】 对v 口，y ，口，a o 口，b a 。s a ，若( a a 。) 矽。芦= ( b o 。) 矽。卢，则 ( “九) 仃= ( 6 丸) 仃， 敝 ( 以矽。卢，6 九) 仃， 则可e e ，使得 缸咖邶f = | f b 巾邶f ， 义九卢l f ：e 。一e 为满射，则j p e 。，使得 f = e c u ， 故 e 咖。b n 币。b e 牵。6 = e o 。p b q k , ，。8 e 牵。b ， 即 ( e a e ) o a 口= ( e b e ) o 。p 义丸，口为单射，故 e a e = e b e ， 则 ( a ，b ) o a ， 即 a o 。= b o 口 冈此，矽n 口为单射由以上证明可知，s 是s a 的坚强j | ，格，即s = 2 3 纯正半群的强半格上的最大幂等分离同余 本节主要研究纯正半群上的最人幂等分离同余与纯正半群的强? 卜格上的最人幂等分离同余 之间的关系 引理2 3 1 【1 6 】纯正、 ，群s 上的最人幂等分离同余定义如卜： 口，b s ，( 口，b ) c ，对v e e ( s ) ，3 a 矿【口) ，b 矿( 6 ) ，使得口e a = 6 e b ，a e a = b e b 定理2 3 2 设s = y ；s 。，九，口】为纯正? l ，群s 。( 口】，) 的强、l ，格，。为s 。上的最人幂等分 8 j ：丝人7 7 坝t ”产1 、? l 仑弼：千 争ui t - 、f ，计的慑f 懈l 晌【i 然州吁天糸。讣q 宋 曼曼! 曼! 曼曼曼! 曼蔓皇皇i i 。o 曼曼曼皇! 苎曼曼曼曼曼曼! 曼! ! 曼! ! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼! 皇曼曼! 皇曼曼! 曼! ! ! 曼曼曼曼曼曼! 曼! ! 曼曼曼蔓! 曼! 曼! 曼曼 离h 余，对v 口，y ，口，九l f ：艺 e 为满射，定义s 上的关系如卜： v a ，b s ，( 口，b ) 亡3 口y ，a ，b s 。，( 口，b ) 。 吸l l , u 为s 上的最人幂等分离同余 证明对v 口s ，设a s 。，由r ( t 2 , a ) 。，所以( 口，a ) ； 若( “，b ) t ，则了a y ，使得口，b s 。，( 口，b ) 。由j 二。为s 。上的最人幂等分离心余， 所以( 6 ，a ) 。，故( 6 ，口) ； 若( “，b ) ，( 6 ，c ) ，贝j jj a ，l ，使僻 口，b s 。，( 口，b ) 。，6 ，c s 声，( 6 ，c ) 卢， 则b s 。ns p ，故口= ，所以 口，b ，c s 口，( 口，b ) 口，( 6 ，c ) 。， 则 ( a ，c ) 。 冈此，为等价关系 对v a ，b s ，若( 以，b ) ，则j 口y ，使得口，b s 。，( 口，b ) 。由丁口为s 。上的最人 幂等分离同余，则对v e 反，3 a v ( a ) 砖，6 v ( b ) s 。，使得 a t e a = b e b a c ( 1 = b e b 对v c s ，殴c s 口，有 n c = 8 咖b c 争b 邸， b c = b 巾q 邸c 牵b j 邛， 由a t e a = b e b a e a = b e b 可得 ( 口鲫) 丸，筇= ( 幻) 丸，筇， ( a e a ) 丸，筇= ( b e b ) 屯，筇， 即 d 母。? 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抖同余对) 刻而 了纯【i 叫? 群1 ：的强同余( 逆、l ，群f j j 余) ，文献【3 0 】利h j 逆、i - - 群t 的同余对刻画了逆、卜群的、| ，格 ：的 同余对木文化此节础卜，千, j t lj f t u i l 肝的强| ，格卜的强同余对刻丽纯l i 群的强、l 格卜的伯二j 余 3 1 准备工作 定义3 1 1 【2 2 l 设s 为纯止、卜群，p 足s 上的同余，称p 为s 上的强同余，若商、l j 群酬p 足逆、i ， 群 引理3 1 2 【2 2 1 设s 为纯止、i ，- 群，p 是s 上的吲余，卜| 列条什两两等价： ( 1 ) p 是s 上的强同余； ( 2 ) v a ，b s ，若( “，b ) p ，! j 1 0 对v