（基础数学专业论文）一个3×3谱问题的达布变换及modified+boussinesq方程的精确解.pdf

摘要 一般说来，非线性偏微分方程的求解是非常困难的然而，对于许多孤子方程，我们 已经有许多的方法，可以求得其精确解比如反散射方法、双线性方法、达布变换方法以 及代数几何方法等等在这许多方法中，达布变换方法是一种非常有效的方法，它从孤子 方程的一个平凡解出发求得精确解 本文考虑m o d m e db o u s s i n e s q 方程： 及其l a x 对，即谱问题 以及辅助问题 矿西v = 咖。= u 西，咖= 玑= ( + 2 可。) 。， 缸= ( 一；纨+ ；可2 一) 。 2 0 ( ( ，= ( 可一z ) 其中，z 是关于z ，的函数，是一个常数利用方程 ( u 和驴除了将可、2 分别换 阵： 丁= 一2 f z 一+ 可2 一。2 一 如 ) 构造了具有多参数的达布 、 掣 o 。( 一 z 孑( 2 0 g o ( f 妇锄九 zp ” 广、如 2 3 + 静p 一严2 of 1 3 2 z一 揶o + z z + z 可 2 式、， 形 嵋 o 栅 吣嗡嘞 训 + + + 槲 西0 有 2 2 划 嘞嘞 ， 十 + + 外 0 吣西 ， 加 抛 啪 雪 + + f 成 心西( 以及达布变换： r i 雪= 一 + 3 z ) + 6 1 l 一 ( 6 2 2 + b 3 ) ， i 乏= 憎一。) 一j ( 6 2 z 一6 3 s ) 本文在已有的基础上，利用相应的谱问题和达布阵的方法，对m o d i f i e db o u s s i n e s q 方程构造了一个与以往不同的达布变换它有两大难点，第一是计算量非常大，第二是所 构造的达布阵含有多个参数在本文中，通过找出限定条件，给出了它的两种等价表现形 式，并与之巧妙地统一起来在此基础上，克服了计算上的高难度，进而求出了m o d 近e d b o u 8 s i n e s q 方程的精确解 关键词 m o d i l i e db o u s s i n e s q 方程， 达布变换，达布阵， 精确解。 a b s t r a c t g e n e r a u ys p e a k i n g ，i ti sv e r yd i 丘k u l tt og e tt h ee x p l i c i ts o l u t i o n s f o rn o n l i n e a rp a r t i m d i 任b r e n t i a le q u a t i o n s h o w e v e r ，i ti sw e uk n o w nt h a tt h e r ea 鹏m a n yw a y 8t oo b t a i ne x p l i c i t s o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n s ，s u c ha 8t h ei m r e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o m a t i o n ，t h eh i r o t a t e c h n i q u e ，t h ed a r b o u ) 【t r a n s f o r m a t i o n ，t h ea l g e b r a _ g e o l e t r i ci n e t h o d ，a n ds oo n a m o n gt h e v a r i o u s 印p r o a c h e s ，d a r b o l l ) ( t r a i l 8 f o r m a t i o ni sl 【n o w nt ob ep o w e r f u li nn n d i n gs o l u t i o n s o fs o l i t o ne q u a t i o n sf r o mat r i v i a ls e e d i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h em o d i f i e db o u s s i n e s qe q u 8 t i o n ： 玑= ( + 2 z ) 。， = ( 一；骓+ j ，2 一z 2 ) 。 = 庐，= ( i i ，u = ( 可三2 毒z 。；， t = 1 旷，y = ( 2 9 z + z z + ；i l z 2 j g 。z 。竺i ：；w ； l + t u = 【，t ( ua n d 驴h a s 七h es a m e f o r m ，e x c e p tc h a n g i n g 可、二i n t o 驴、三) ，伦d e r i v e d t h e d 跚b o u x m a t r i xw i t hm u l 饵p a r a m e t e r s ： ( + “2 o ( + b 2 2 c ( + 6 3 2 ；璺 l 一3 一沪 一 p 卅妒 “+ 一 一 z 掣 2 、 3 ； 3 m 脚 + 卜 + 西0 心 阢 加 + + 卜 西西0 ，jjttl、 = r a n dt h ei ) a r b o u xt r a l l s 如r m a t l o n ： l 口= 一；b + 3 z ) + 6 1 1 一；( 6 2 2 + 6 3 3 ) ， i2 = 一z ) 一 ( 幻。一6 3 3 ) t h e r e f o r e ，w i t ht h eh e l po fas p e c t r a lp r o b l e ma n d 地ed 跗b o u sm a t r i xm e t h o d ，a d a r b o u x t r 雠s f o r m a t i o nf o rm o d i 丘e db o u s s i n e s qe q u a t i o ni sd e r i v e d d i f r e r e n tf r o m o t h e r s ，i th a 8t 、舯 d i m c u i t i e s ，t h el a r g ec a l c u l a t i o na n d m u c hm o r ep a r a m e t e r si n t h ed a r b o u xm a t r 政- i nt h i s p a p e r 山ya p p i y i n gr e s t r a i n tc o n d j t i o n ，七w do t h e re q u i v a l e n t r e p r e s e n t a t i o n so ft h ed a 卜 b o u xt r a n s f o r m a t i o na r eg i v e n m o r eo v e r ，t h e yc a nb ev e r t i 矗e dt ob ec o n s i s t e n t b a s e d o nt h i s ，t h ed i 佑c u l t yi nc a l c u l a t i o ni s 、 r o r k e do u ta n dt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h em o d i f i e d b 0 1 l s s i n e 8 qe q u a t i o ni so b t 越n e d k e yw b r d s ： m o d i 且e db o u s s i n e s qe q u a t i o n ， d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ， d a r b o u x m a t r i x ，e ) ( 1 i c i ts o l u t i o n 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃抄袭等违反学 术道德学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果， 特此郑重声明 学位论文作者： 王a 畏辉 2 0 0 6 年4 月2 0 日 一引言 非线性科学中，孤子方程在很多领域中都有重要应用，比如在非线性光学、深水波理 论、等离子体物理学等对于许多孤子方程，我们已经有许多的方法，可以求得其精确解 比如反散射方法、双线性方法、达布变换方法以及代数几何方法等等【卜“并且已经发 现了许多有趣的精确解，其中非常著名的有纯孤子解、有限带势解以及极点展开解等等 f 5 在这许多方法中，达布变换方法在孤立子与可极系统的理论研究中，越来越为人们 所注意，并得以迅速发展f 8 一埘 1 8 8 2 年，达布研究了一个二阶线性常微分方程( 现称之为一维的薛定谔方程) 的特征 值问题； 一九。一“( z ) 咖= a ，( 1 1 ) 其中“( z ) 是给定的势函数，a 是常数，称为谱参数达布发现了下面的事实：设“( z ) 和 ( z ，a ) 是满足方程( 1 1 ) 的两个函数，对任意给定的常数知，令，( z ) = ( 。，抽) ，即，是 方程( 1 ，1 ) 当a = a o 时的一个解，则由 慨竺辣杈i 。， 1 ，( z ，a ) ：妒。( z ，a ) 一孚( z ，a ) 。l 2 所定义的函数u 7 ，咖7 满足和( 1 1 ) 同样形式的方程： 一妒：。一“7 西= a 咖( 1 3 ) 这样，这个借助于，( z ) = 妒( z ，入o ) 所作的变换( 1 2 ) 将满足方程( 1 1 ) 的一组函数( u ，庐) 变化为满足同一方程的另一组函数( “7 ，西7 ) ，这就是最原始的达布变换： ( u ，j ) ) 一( ，z ，咖飞( 1 4 ) 在，o 处它是有效的本世纪年代中，人们发现k d v 方程与上述薛定谔方程有着密 切的关系f 2 0 】具体说来，k d v 方程： u t + 6 “u z 十u 一= o f l5 1 是关于的线性方程组： 嘉羔兰砘舡 。， ( 称为k d v 方程的l a x 对) 的可积条件，这时u 、都应看成z 、的函数 进一步的研究发现达布变换( 1 2 ) 也适用于k d v 方程1 2 1 】，这个变换中的函数还依赖于 ，它不但保持( 1 6 ) 中第一式的形式不变，而且( u 7 ，) 还满足( 1 6 ) 中的第二式，因而， u 满足( 1 6 ) 的可积条件，即“7 也是k d v 方程的解。这就为求k d v 方程的新解提供了 要求解线性方程组( 1 6 ) 得出，然后通过显式运算( 1 2 ) 就可以得到k d v 方程的大量特 解不但如此，这个变换还可以继续下去，因为也已经具备，这时就不再需要求解线 性方程组( 1 6 ) ，而是由显式的算法可得出( u ”，咖”) 等等； ( “，纠一( 牡7 ，) 一( “”，”) 一( 1 7 ) 达布变换方法可以推广到其它许许多多的方程，如m k d v 方程、s i n e _ g o r d o n 方程等 等 本文所作的变换是达布变换的另一种形式规范变换，即对于带时间变量及一维空间 的相容性问题这里是z 、t 的n 维向量函数，u 、y 是n n 矩阵，其元素中包 含有谱参数a 及以。、t 为自变量的m 维向量函数“( z ，) 及其各阶导数为了使方程 ( 1 8 ) 有解，砂必须满足相容性条件。= 西。进而可得： 一k + u ，扩】= o ， c ，v = y v 矿 = ( ；玑+ ；，2 一) 。 z = u ，西= ( i i ，u = ( ”亨2 z 。；掣 也= v 啦y 2 2 9 = + + 篓一一；如z 户! ! i 罩；玑一。，。一：! 专：一j 啦 f 亏= 一j ( 可+ 3 。) + 6 1 l j ( 6 2 2 + 6 。3 ) ， 1 乏= ；( 一2 ) 一；( 如。一6 。) 的作用下，由m o d i f i e db o l l s s i n e s q 方程的一组解( 鲈，z ) 可以派生出它的一组新解( 雪，导) 其中，6 “0 = l ，2 ，3 ) 可以由方程组t i ( n ( + 6 1 1 ) + 西1 ( e + b 1 2 ) + 毋1 ( c e + 6 1 3 ) = o ， ( c ( + 幻1 ) + 弓1 ( o ( + 6 2 2 ) + 乎( ( + 6 2 3 ) = o ， l ( ( + 6 3 1 ) + 屯1 ( c ( + 如2 ) + 乎( o e + 6 3 3 ) = o 以及关系式： ib l l + ：b 2 3 + ：b 2 = 6 3 3 + b 1 2 + ：b 2 l ， i 如z + l + j 6 i 3 = b 3 + ；6 1 2 + ：比t 来确定 4 二谱问题的达布变换 本文中，考虑m o 出f l e db 0 u s 8 i n e 8 q 方程【2 3 1 ； j 仇= + 2 z ) 。， 1 施= ( 一；如+ 可。一z 。k 并考虑其相应的l 8 ) 【对，即谱问题【2 4 】： 毋。= u 毋，咖= ( i ； ，u = 和辅助问题1 2 日： a = 矿曲，矿= f2 z + 磊+ 篓一一；耽。护! ! i ： ( 2 1 ) ( 2 2 ) ；卜， ( 2 4 ) ( 2 ，5 ) 令矿= ( 瓦+ 丁) 丁- 。，为了让u 和驴除了将g 、。分别换成口、= 外，具有相同的形 式，下面我们来确定矩阵r 的形式 假设 o l l ( + 6 1 1 8 2 l + 6 2 1 篓蒌 a 2 2 e + 6 2 20 2 3 ( + 6 2 3l 0 3 2 e + 扫3 28 3 3 ( + 6 3 3j 5 ( 2 6 ) 、， 剪 0 e 一= g 2 o g o ( y 泸 动 一 p 舛妒 “+ 一 一 z 豺 一 孰 其中、幻( i j = 1 ，2 ，3 ) 是关于z 和t 的函数 有 以及 将表达式( 2 6 ) 代入式子护t = 正+ t u ，并分别比较一0 = 2 ，1 ，o ) 的系数，我们 0 1 l = 0 2 2 = 3 ，n 1 2 = 0 2 3 = n 3 l ，n 1 3 = 啦! = 3 2 n 儿( 雪+ 牙) + 6 2 1 = 0 1 l 。+ n l l + 彳) + 6 1 3 0 1 2 ( 雪+ 乏) + 6 2 2 = 1 2 。+ n 1 2 ( 一2 z ) + 6 儿 0 1 3 + 乏) + 6 2 3 = 0 1 乩+ 口1 3 ( z 可) + 6 1 2 n 2 l ( 一2 牙) + 6 3 l = 0 2 l z + d 2 l + z ) + 6 2 3 0 2 2 ( 一2 j ) + 6 3 2 = a 2 勖+ a 2 2 ( 一2 z ) + 1 n 2 3 ( 一2 牙) + 3 = n 船。+ n 2 3 ( 2 一剪) + 如2 。3 l ( 三萝) + 扫1 1 = n 3 1 。+ “3 l ( f + z ) 十 n 3 2 忙一雪) + 6 1 2 = 0 3 2 。+ n 3 2 ( 一2 z ) + 6 3 1 n 3 3 ( j 一可) 十6 1 3 = 0 3 3 。+ 3 3 一) + b 2 “1 ( 口+ 1 ) = 6 n 。+ “1 0 + 。) 6 1 2 ( 雪+ 导) = h 缸+ 6 1 2 ( 一2 。) 6 1 3 ( 雪+ 互) = 6 1 3 。+ 6 1 3 ( 三一可) b 2 1 ( 一2 互) = b 2 l 。+ 6 2 1 ( 可+ z ) 6 2 2 ( 2 1 ) = 6 2 2 。+ 6 2 2 ( 一2 2 ) 6 2 3 ( 一2 牙) = 扫2 3 。+ 6 2 3 ( z 一可) 6 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) f 2 1 0 1 ( 2 1 1 ) ( 2 ，1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 1 f 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) f 2 1 9 1 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 1 ( 2 2 2 ) 分别令 6 3 1 ( j 一雪) = 6 3 l ，+ 6 3 l 白+ g ) 6 3 2 ( 牙一雷) = 6 3 2 。+ 6 3 2 ( 一2 2 ) b 3 ( 牙一雪) = b 3 3 。+ 6 3 3 ( g 一) n “= 口2 2 = 0 3 3 = o ，n 1 2 芝n 2 3 = 口3 1 = 6 10 1 3 = 0 2 1 = 0 3 2 = c 并代入式子( 2 8 ) 一一( 2 1 6 ) 中，可得 并且有： n 。= k = = o 篆2 岫2 ) 恶装z 等二嚣 由方程组( 2 、2 6 ) 、( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 的相容性可得 令b = 1 ，( 2 2 7 ) 、( 2 2 9 ) 分别变为 1 ) f 蒙掣蕊尝低) 7 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 22 9 1 ( 2 3 0 ) b 一 如 一 0 ，幻 站 一 瓤 + 瓤 弘 + l 0 可 一 咄知 = = 一f z ，i，【l-il 抛 抛 l一lo + + 2 2 h h ，一c l c + + 3 3 如 抛 | f = 2 3 如 加 l n l n 卜r 3 1 k b i c 1 一c + + 1 2 h 1 一b 1 6 ，iif、【 可以证明有下面式子成立 3 d e t r = ( e 一白) j = l ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 西= ( 奏i 妻；戛； ( 三兰兰 弓1 ( 矸l 砂1 + 正2 妒2 + 五3 如) + 2 ( 五1 x 1 + 五2 x 2 + 五3 x 3 ) = o ， 一1 ( 正1 砂1 + 亚2 也+ 乃3 也) + 一2 ( 正lx l + 正2 x 2 + 噩3 x 3 ) = o ( 2 3 3 ) t 1 ( 疋1 砂1 + 死2 砂2 + 乃3 执) + 一2 ( 马】_ ) ( j + 玛2 _ ) ( 2 + x 。) ：o ， 进一步，方程组( 2 3 3 ) 可以写为 西1 正。+ 西2 正。= o 西1 疋。+ 毋正3 = o n ；1 死：+ n 笋五3 = o 8 f 23 4 1 b 也 l一1一d ll 2 2 魄 乩 l c 1 一c 十 + 3 3 如 如 | | l | 2 3 如 1 五 1 8 1 一b + + 够 m l c 1 一c + + l 2 机 妇 ，ill，、l + + + 忱 协 协噩咒五 + + + 2 2 2 妒 妒 铲 2 2 2乃疋乃 + + + 帆 慨 奶 i 1 ln 死n ，r_tj、_l_ji_、 + 十 十 五马瓦 ，ilj，、il 群 靴诎批 锄砉辜舳 其中， = 瓣硝= 瓣 江s s ， 适当选取常数弓“、巧2 和白( 白靠，r 拶，女j ，t = 1 ，2 ) ，使得方程组( 2 3 4 ) 的 系数行列式不等于零于是，b “可以由方程组( 2 3 4 ) 及限制条件( 2 3 1 ) 所确定 在规范变换( 2 4 ) 的作用下，谱问题( 2 2 ) 变成了谱问题( 2 5 ) 这表明( = 白d = l j2 ，3 ) 是矩阵驴的可去孤立奇点。因此，对于任意的( 我们可以用解析延拓的方法来定 义矩阵驴于是，有下面结论； 定理2 1 设满足谱问题( 2 2 ) ，则由规范变换( 2 4 ) 所定义的声满足与谱问题( 2 2 ) 形式相同的问题，即： 元= 驴西， 其中，矩阵驴与矩阵在形式上相同，除了将y 、z 分别替换成口、2 即 肚i ，z ( ( ) ，2 。( ( ) 厶。( ( ) ，。( ( ) ，2 3 ( ( ) 。( ( ) ( 2 3 6 ) 容易算出兀 ( ( ) ( s ，f = 1 ，2 ，3 ) 分别是关于( 的4 阶多项式或3 阶多项式。 当( = 白u = l ，2 ，3 ) 时，利用( 2 2 ) 、( 2 3 3 ) 和( 23 5 ) 可得： n 器= ( 一一3 z ) 弓1 + ( ( 毋) 一( ( 弓1 ) 2 ， ( 23 7 ) 9 樱= e 一2 谬一( ( 毋n 5 2 ) 正l = 一面1 正2 一n ；2 丑3 ，t = 1 ，2 ，3 ( 2 ，3 8 ) ( 2 3 9 ) 由( 2 3 7 ) 、( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) ，可以证明白o = 1 ，2 ，3 ) 是丸( e ) ( s ，l = 1 ，2 ，3 ) 的根并 且，通过直接计算已经知道gd = 1 ，2 ，3 ) 是d e z t 的根于是，我们有 ( 正+ r u ) 丁+ = ( d e t 丁) p ( ( ) 眯，屯譬p 引 e + r u = p ( ( ) r 比较方程( 2 4 1 ) 两边f 2 和( 的系数，我们有 瑞= l ，躜1 = 1 ，船= 1 6 1 1 2 ：= 硝? + 或6 2 2 + 。础+ c 艘 b 1 2 + c ( 。一可) = c 爿? + 科i 6 2 3 + 巧：+ n p 舞 d 。+ 。匆+ g ) = n 群? + 硝i 6 。+ c p f ；+ 爿： 6 。l 一2 n z = 砭? + 磁如2 + n 硝：+ c 馊 6 2 2 + z f = c 硝? + 麟6 3 3 + 础+ n p ；1 6 2 3 + c 扫+ ：) = n p ? + 磺6 3 l + c 躞+ 磁 1 0 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) f 2 4 3 ) f 2 4 4 1 f 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) f 2 4 7 ) f 2 4 8 1 b l 一2 c 2 = 蜡+ 巧；咭1 2 + o 螋+ c 磁 6 3 2 + 。0 一) ：c 砖? + 硝6 1 3 + f 当+ n f 掣 6 3 3 + ( 掣+ 石) = o 硝0 ) + 墙b 1 1 + c ，窑+ ，磐 将( 2 4 2 ) 分别代入( 2 4 3 ) 一一( 2 5 1 ) 中，结合方程组( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) ，可得 于是有 定理得证 只( ? = 一2 z + 6 1 1 6 2 2 = 口+ j ，蹬= o ，尸只= o 趔? = o ，磁= 一曼，+ z + 6 2 2 6 3 3 = 一2 j ，f 尝= o 硝? = o ，馊= o ，硝兽= 可+ z 6 1 1 + b 3 = j 一口 f 雪+ 牙 驴：p ( ( ) ：io l o o ( z 一 ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 三辅助问题的达布变换 设谱问题( 2 2 ) 的三个基解、奶和均也满足辅助问题( 2 3 ) 对规范变换$ = t 咖关于t 求导可得： 其中 也= y 曲 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 此时，我们有下面论断； 定理3 1 设满足辅助问题( 2 3 ) ，则由规范变换( 2 ，4 ) 所定义的乒满足与辅助问题 ( 2 2 ) 形式相同的问题( 3 1 ) ，其中，矩阵矿与矩阵y 在形式上相同，除了将g 、。分别 替换成雪、j ，即 2 雪= + 毛+ j 雪2 一手一；蟊 e ( 口一j ) e 2 2 瓦 其中，、。与口、j 同样满足方程组( 2 3 0 ) 证明：令t 一= ( d e t 丁) - 1 丁+ ，并设 们t ( e ) 9 1 2 ( ( ) 9 1 3 夕2 1 ( ( )9 2 2 ( ( )夕2 3 m l k ) 口3 2 ( ( ) 啦3 容易算出9 “( ( ) ( s ，l = 1 ，2 ，3 ) 分别是( 的5 阶多项式、4 阶多项式或3 阶多项式 当( = ( jd = l ，2 ，3 ) 时，由( 2 3 ) 、( 2 ，3 3 ) 、( 2 3 5 ) 和( 2 3 9 ) ，可得： ，( 33 ) 砖：= ( 2 + ( 3 2 2 一2 + 如一一2 z ) 砖”一( ( 可+ z ) 够一( f z ) ( n ；1 ) 2 一( 2 西1 毋( 3 4 ) n ；：= 2 。( + ( 2 n ；”一( 4 目。+ 2 施) o ：舶一 扫z ) 0 5 1 n 于一( 2 ( n 严) 2 ， ( 3 ，5 ) 1 2 一= 羹 手 刁 一 p 升护 “+ 一 一 一z 一 2 正，t = 一面：正。一西1 互z 。一正。一够五。， ( 3 6 ) 由( 3 4 ) 、( 3 5 ) 、( 3 6 ) ，可以证明00 = 1 ，2 ，3 ) 是乳z ( ( ) ( s ，f = 1 ，2 ，3 ) 的根，并且通 过直接计算我们已经知道白u = 1 ，2 ，3 ) 是d e 玎的根于是，我们有： 其中， ( 互+ t y ) t + = ( d e t t ) q ( ( ) f q 即g 跳+ 口l ! 7 ( ( ) = f 摇) ( 2 + 以i ( + 摆 攫) lq 5 j + 嘏q 兽e z + q 5 ( + 如 其中，也( 七，j = l ，2 ，3 ，f = o ，1 ，2 ) 与e 无关， 进一步，方程( 3 7 ) 又可以写作； 正+ 丁矿= q ( ) t 比较方程( 3 8 ) 左右两边( 3 及2 的系数，我们有 以及 q i = 1 ，d ；= l ，q 星：l 6 1 1 一( 可+ = ) 6 1 2 + 2 c z 五1 3 + 血( 一名) b 2 1 o ( + 名) 6 2 2 + 2 9 6 2 3 + c ( 可一。) g i ；+ 。q 曼+ o 口；p ， c q ：+ b ，q ；+ 叮 ， 以g i ；+ b 2 9 鬟+ c q ； c 建j + b 1 3 9 署+ 8 西： n 迸；+ 6 ，l 醴i + 醴j ， 如j + 6 1 ：d ：+ c 斑；， ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 1 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) f 3 1 5 ) 、， 3 g 十0( 西 0 ” + m程“嘏 + d 3p 建 砷3g b 1 一c ( y + 2 ) 6 啦+ 2 血z b 3 + ( 可一z ) 矗j 1 十幻。程+ 区， 8 文+ k 。捌+ c q 5 捌+ b 2 。摇+ o 趔 将( 3 ，9 ) 分别代入( 3 1 0 ) 一一( 3 1 8 ) 中，并结合方程组( 2 3 0 ) 及( 2 3 1 ) ，我们有： q 髫：一可一z + 6 l i 一6 3 3 = 啻一j ，q 掣= o 9 5 j = o ，建p = 2 z 6 1 1 + 6 2 2 = 一( 季+ j ) ， q 裂：口一。一吨+ 6 3 3 = 2 牙，蠢：= o 此外，比较方程( 3 8 ) 中左右两边( 的系数，我们有； 。1 + 2 b i 3 z ：n q 器+ 6 2 1 q 掣+ c q 婴+ 6 3 1 q 撑+ q 罂 2 + 6 1 1 ( f z ) ：g p + 6 2 2 玉+ a q ；孚+ b 2 9 臀+ c q 簿 其中 c 3 6 1 2 ( + z ) = c g ： c 1 + 2 b 蛳o o 2 + 6 2 l ( 一z ) 3 一扫2 2 ( y + 。) 1 + 2 b 3 弘 c 2 + b 1 ( 2 ) n 3 6 3 2 ( y + z ) + 6 2 3 9 + q 学+ 6 3 3 q + q 留 。嘏+ 6 u q 5 ：+ c 趔+ 6 3 t q 粤+ 摇 摆1 + b 。迸1 ) 十。捌+ b 。如 + c 醴字 。出+ b 。建j + 摆+ b 3 3 9 兽+ n q 罂 a q 磐+ 6 2 t q 5 + c q 罂+ b l l q + q 转 口磐+ b 2 如+ 。捌+ b 1 2 q 5 j + c q 嚣 c q 舞+ 6 2 3 玉+ 趔十6 ，3 玉j + 。搿 1 = 2 可g + 施+ 。= 2 9 2 一 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 1 ( 3 2 3 1 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) f 3 2 7 1 z 可 l 一3 一 叭 户o 一 + 2 2 可 可 l 一3 2 3 。= 一z 妒一+ ；y 2 一z 2 一； 由方程组( 2 2 6 ) 、( 2 2 8 ) 、( 2 3 0 ) 的相容性，对于方程( 3 1 9 ) 一一( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 一一( 3 2 4 ) 、 ( 3 2 5 ) 一一( 3 2 7 ) 分别求解 以方程( 3 1 9 ) 一一( 3 2 1 ) 为例： 首先将 代入方程( 3 。1 9 ) 一一( 3 2 1 ) ，由方程组( 2 2 6 ) 、( 2 3 0 ) 、( 2 2 8 ) 可分别得； 隆麓篡 隆罄掌塞譬一) ， 巨巍老：嚣善) ， ( 3 2 8 ) f 3 2 9 1 ( 3 3 0 ) 雪2 = 2 + 去( 2 6 1 3 6 2 1 6 3 2 ) 2 + ：( 2 6 1 3 6 2 1 6 3 2 ) ， j 2 = z 2 + 赤( 6 3 2 6 2 1 ) 2 + ：2 ( 6 3 2 一幻1 ) ， ( 3 3 1 ) 2 雪j = 2 9 z + ：可( 6 3 2 6 2 1 ) 十：z ( 2 6 1 3 6 2 l 6 3 2 ) + 去( 2 6 1 3 6 2 1 6 3 2 ) ( 6 3 2 一如1 ) 可2 = b + 3 2 ) 2 + i ( 2 6 1 1 如2 6 3 3 ) 2 一i ( ”+ 3 。) ( 2 6 1 1 6 2 2 一b 3 ) ， 导2 = ；( 掣z ) 2 + ( 6 3 3 6 2 2 ) 2 + ( 6 3 3 6 2 2 ) ( 可三) ， ( 3 3 2 ) 2 口j = 一 ( + 3 z ) 【( g z ) + ( 6 3 3 一b 2 2 ) + ；( 2 6 u b 2 2 一b 3 3 ) ( 一2 ) + ( b 3 一k 2 ) 】 口2 = ；( 3 。一) 2 + 击( 2 6 1 2 6 2 3 一b 1 ) 2 + 麦( 3 z g ) ( 2 6 。2 6 2 3 6 3 1 ) ， i 2 = j + z ) 2 + 去( 6 3 1 6 2 3 ) 2 一麦( 6 3 1 6 2 3 ) ( + z ) ， ( 3 3 3 ) 2 雪l = 一；( 3 z 一) 阿+ z 一( b 3 - b 。3 ) 】一去( 2 b ，。b 2 。一b 3 。) 阿+ ? 一；( b 3 1 一b 。3 ) 】 1 5 由方程( 2 1 7 ) 一一( 2 2 5 ) ，可分别得； b 1 1 。= b l l 恼十2 一白+ z ) 】， 扫1 2 。= 6 1 2 陌+ 牙+ 2 2 刁， 6 1 船= 6 1 3 眵+ j ) 一( z 一可) 】 b 2 1 。= b 2 l 【( 一2 三) 一( 可+ z ) 】 扫2 2 。= b 2 2 f ( 一2 牙) + 2 z ， 6 2 3 。= 6 2 3 ( 一2 手) 一( 一) 6 3 t 。= b 1 【( 1 一雪) 一 + 2 ) 】 扫3 缸= b 2 【( 牙一雪) + 2 名】， 6 3 3 。= 6 3 3 ( 牙一雪) 一( z 一掣) 】 ( 3 ，3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 将方程( 3 3 4 ) 一一( 3 4 2 ) 分别代入( 3 2 8 ) 、( 3 2 9 ) 、( 33 0 ) ，联立上面诸方程并结合方程 组( 2 3 1 ) ，经过较繁琐的计算，可得： q 留= 2 妒+ 磊+ ；雪2l 一知q 罂扎q 黔o 类似地，分别将 d j = o ，建：= 一匆+ j ) 和 嘏= 2 5 ，捌= o 代入方程( 32 2 ) 一一( 3 2 4 ) 和方程( 3 2 5 ) 一一( 3 2 7 ) 中，同样经过较繁琐的计算，分别可 得： 卿= 。，以! = 。扎；可2 + 甄a 黔o ， 以及 q 牡o ，a 婴：0 1 掣= 嘞= 一瓦+ ；雪2 。扭 1 6 定理得证 2 雷乏十磊+ 雪2 一护一；蟊 ( ( 雪一j ) 2 暑2 一i 雪2 + ；蟊 一( 悔+ j ) 1 7 p 甄 存，i弋 鞠 | | 粼 ， q 上 = 综 一矿 四m o d i f l e db o u s s i n e s q 方程的精确解 由定理2 1 和定理3 1 可知，在变换( 2 4 ) 和( 2 3 0 ) 的作用下，l a x 对( 2 2 ) 和( 2 3 ) 变 成了另一个有相同形式的l a x 对( 2 5 ) 和( 3 1 ) ，并且由这两组l a x 对的相容性，可得到同 一个方程( 2 1 ) ，即m o d i f i e db o u s s i n e 8 q 方程其中变换( 2 3 0 ) 称为m o d m e db o u s s i n e s q 方程的达布变换因此，我们有下面命题成立： 定理4 1 在达布变换( 2 3 0 ) 的作用下，由m o d i f i e db o u s s i n e s q 方程的一组解( 口，z ) 可以派生出它的一组新解( 矾j ) ，其中可由方程组( 2 3 4 ) 和方程组( 2 3 1 ) 来确定 注：变换( 2 5 ) 和( 2 3 0 ) ； ( ，可，z ) 一( 西，g ，i ) 也称为谱问题( 2 2 ) 的达布变换 下面我们将利用达布变换( 2 3 0 ) 来讨论m o d i 丘e db o u s s i n e s q 方程的精确解首先选 取m o d m e db o u s s j n e s q 方程的平凡解轳一z = o ，并分别代入谱问题( 2 2 ) 以及辅助问题 ( 2 3 ) ，然后选取三个基解妒( ( ) 、砂( ( ) 、) ( ( ( ) 分别为： 砂( ( ) ) ( ( ( ) 妒( ( ) e ( ( # + ( t ) p ( ( g 十( t ) p c 扛“f ) e 一如( 州。c o s ( 乎( ( z 洲 e 一 沁堋) c o s 乎( 扛一( ) + 警】 e j “计c o s 譬( ( z o ) 一警 e 一 似榔) s j n 乎( ( z 洲 e 一洳帕) s i n 乎( ( z 一 ) + 孥】 e 一知州s i n f 字( ( z 一f ) 一孥】 1 8 当( = 白0 = 1 ，2 ，3 ) ，由式子( 2 3 5 ) ，我们有： 。( ，) 一l + e 一 巧”c o s f 乎白p 一白# ) + 警】+ 2 s i n f 乎白( z 一白f ) + 警 ) 一i 了叼吒礤琢i 丽鬲甄面际i 丽矿 妒= 警鬻耘箸搿蒜辫卅固 1 1 十e 一 r ；”c o s 【乎白( z 一白) 】+ r ；2 ) s i n 【乎石( z 一白t ) 1 ) 一。 。 将( 4 1 ) 、( 4 2 ) 分别代入( 2 3 4 ) ，我们可以得到 6 1 2 = 咄= 6 2 3 = = 1 。1 1 ) n ；2 ) 1 0 1 1 jn 尹 1 。p 1n 乎 b 1 12 1 ( 一n o i 一c 。p ) ( 10 1 2 ) 1 ( 一。一。5 一c 凸字) 6 。5 2 ) 1 ( 一n n 一c n 乎1 ) ( 3 乎 ( 一c n n ；”一n ；2 ) ) ( 1 。；1 ) 。i 2 ( c n 0 5 一。铲) 白8 p 如乎 ( 一c 一。n 5 “一。乎) c 3n 5 1 ) n 乎 1 n ；1 ( 一c n n ；一“( 2 ) ( 1 1 血 ( 一c 一。擎一n 乎) ( 2 1 n p ( 一c n n 5 ”一n 孑) ( 3 ( 一n n ；一c n ( 2 ) ( 。 o i l lo ( 2 ( 一n n 一c n 字) ( 2n 9 n 字 ( 一。一o 一c 8 乎) ( 3o n 孑 幻2 = 1 。i 1 ( 。一。( 1 c 。；2 ) ( 1 1 n ( 一n a ? 一c n 乎) ( 2 1 n 5 1 ( 一n o ! “一c n 乎) ( 3 1 ( 一c 一。o i 一( 2 ) ( 1n 2 l ( 一c 一日以5 一以笋) 6 以字 l ( 一c o n 5 一n 孑) 6 孑 1 _ ”一n 。i 2 ) ( 1n i l ) 。；2 ) l c n 5 ”一n 毋) ( 2 “n 字 1 一c n 5 一n n 乎) 白n n 乎 1 ( 一1 一。口；一o 。( 2 ) ( 1o ( 2 1 ( 一1 一c o 一o o 字) ( 2n 孑 1 ( 一1 一c 。r 一o o 孑) 岛n 孑 进一步，令 b 3 = 1 0 1 1 ( 一1 一c n 1 1 一血o ( 2 ) a 1 f ( 一1 一c o ) 一。o 字) c 2 1 o r ( 一1 一c n 一n n 孑) ( 3 n 砖”一c 毋，马= 一c o 西“一弓射，q = 一1 一c 。；一。孝，j = 1 ，2 ，3 此时，我们可以得到 “= a ，( 。( ，口孑一n 乎n ) 一a 。( 2 ( o ；1 ) n 乎一n ( 2 o ) + a 3 岛( o ；1 ) o 乎一。i 2 o p ) ，( 4 3 ) 6 ，= ( a 。白一a ，1 ) ( 。乎一n ；2 ) 一( a 。( 3 一a 。( ，) ( n 乎一d 2 ) ，( 4 4 ) b ，。= ( a 3 6 一a 。白) ( 口一n i l ) 一( a 。一4 ，( 1 ) ( n 一。；1 ) ，( 4 5 ) b 2 ，= b ，( 1 ( 0 1 1 n 孑一n n ) 一b 2 e 2 ( 0 1 1 n 孑一n 铲n ) + b 。 “( n ；1 ) n 字一n f “) ，( 4 6 ) 6 2 。= ( b 2 ( 2 一b ，( ，) ( n 孑一n 2 ) 一( 岛( 3 一马6 ) ( 口乎一n i 2 ) k 。= ( 玩( 3 一b l ( 1 ) ( 。p 一n 1 ) 一( 毛( 2 一b 。( ，) ( n 一n 1 ) ，( 4 8 ) = g ，a ( n 5 1 。乎一。字n ? ) 一岛( 2 ( a ( 1 。孑一n i 2 c 。5 1 ) + c b 6 ( n i l ) n 字一。 2 ) n ? ) ，( 4 9 ) 妇= ( 巴( 2 一g ( 。) ( 乎一n ；2 ) 一( g ( 3 一g ( 。) ( n 字一“；2 ) b 。= ( 岛( 3 一g ，o ) ( n ，一n i l ) 一( 岛( 2 一q ( 1 ) ( 。r 一n i l ) 以及 ：( n 一o i l ) ( 乎