（基础数学专业论文）两个非线性演化方程的显式解.pdf

摘要 本文研究两个非线性演化方程的显式解首先提出一个新的耦合的非线性s c l l r f j d i n g ” 型方程，导出了它的l “对借助谱问题之间的规范变换，获得这个非线性s c h r 6 d i n g e r 型方程的d a r b o u x 变换，由此给出它的不同形式的周期解和有理解而后考虑一个新的 ( 3 十1 ) 一维k d v 方程，通过引入对数变换，借助于双线性导数方法，得到了该方程的孤 子解和珊。o n s l 【i m l 解 关键词：耦合n l s 型方程； 谱问题；d a r b o u x 变换；双线性形式；显式解； w r o n s k i a n 解 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ee x p l i c i t8 0 1 u t i o n so ft w 0n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r eo b t 觚n e d f i r s t an e wc o u p l e dn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r 蚵p ee q u a t i o ni sp r o p o s e d ，a n dt h e ni t sl a xp a i ri sd e r i v e d b a s e do nt h eg a u g et r a n 8 f o r m a t i o nb e t w e e nt h es p e t r a lp r o b l e m s ，ad a r b o u xt 嘀n 8 f o r m 砒i o n i ss 七r u c t u r e d ，b yw h i c hs o m e 唧1 i c i t8 0 l u t i o n so ft h e u p l e dn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e rt y p ee q u a t i o na r eo b t 撕n e d ，i n c l u d i n gr a t i o n a la n dp e r i o d i cs o l u t i o n s s e c o n d ，a ( 3 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk d v e q u a t i o ni sc o l l 8 i d e r e d ，b yi n t r o d u c i n g1 0 9 a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o n ，a n d1 1 8 i n gb i l i n e 射d e r i 、m t i o n m e t h o d ，一s o h t o ns o l u t i o na n dw r o n s l 【i a n8 0 l u t i o no ft h ee q u a t i o nh a v eb e e no b t a i n e d k e yw o r d s ：c o u p l e dn l st y p ee q u a t i o n ； s p e c t r a lp m b l e m ； d a r b o u x a n s f b 咖a t i o n b i l i n e a rf o r m ；e x p l i c i ts o l u t i o n ；o n s l 【i a ns o l u t i o n 郑重声明 本人的学术论文是在导师的指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ，7 一廿 匀汤今 2 0 0 6 年4 月2 日 l 引言 非线性演化方程的求解是在理论和实际中都很重要的研究课题，显式解，特别是行波 解可以很好的描述各种物理现象，如振动，传播波等但由于非线性方程的复杂性，至今 仍有大量的重要方程无法求出显式解 随着近代物理学和数学的发展，早在1 8 3 4 年由英国科学家r m e u 发现的孤立波现 象近二三十年来引起了人们极大的关注，对这一现象的兴趣与日俱增这是因为，一方 面，孤立子具有非常独特的性质，它们在相互作用中保持稳定的波形，这种具有粒子和波 的许多性能的孤立子，在自然界中有一定的普遍性，至今从数值计算，理论分析和物理实 验等方面都已证实，许多科学领域，如流体力学，等离子体物理，非线性光学，凝聚态物 理，超导物理，经典场论和量子场论都存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要问 题利用孤立子理论已经成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能得到解答的现象， 在应用上，如利用孤立波来改进信号传输系统，提高其传输率等也取得了可喜的进展另 一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，为非线性偏微 分方程及非线性科学的研究注入新的活力，形成了比较完整的理论体系目前，在孤立子 理论中，已有一系列方法用来求非线性偏微分方程的显式解陋l9 j ，例如：把求解非线性偏 微分方程精确地化为求解若干个线性方程的散射反演法，即一定程度上的非线性问题的傅 立叶方法；利用多种变换和技巧求非线性偏微分方程特解的方法，诸如b a c k l u n d 变换和 d a r b o u x 变换，h i r o t a 双线性方法，齐次平衡法等；用李群，李代数和微分流形建立起来 的结构延拓法，李群法以及代数几何方法，非线性化方法等这些方法涉及到经典分析， 泛函分析，李群，李代数，无穷维代数，微分几何，代数几何，拓扑学，动力系统和计算 数学等多个数学分支它们的发现和使用，不但使得过去难以求解的非线性偏微分方程得 以成功求解，而且不断发现许多非线性方程的有重要意义的新解特别是近年来，随着计 算机的发展和符号运算如m 印l e 和m a t h e m a t i c s 的出现，使复杂冗长的代数运算可以在计 算机上完成，为孤立子方程的求解提供了更有力的工具 本文将分别运用d ”b c 变换方法和h i r o t a 双线性方法，研究两个新的非线性演化 方程的显式解 d a r b o u x 变换方法是构造非线性偏微方程显式解的最有效的方法之一 1 昏2 1 】通常从 一个平凡解出发，首次d ”b o u x 变换和连续作d ”b o l l ( 变换可分别得到方程的单孤子解和 多孤子解它最初来源于一个世纪以前d a r b o u x 所提供的处理二阶常微分方程( s c h r i ；d i n g e r 方程) 谱问题的一个方法 1 6 经过一个世纪的发展，d ”b o u x 变换已形成了较为完整的 理论它的基本思路是：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，借助于谱问题之间的 规范变换，得到d ”b o u x 变换，然后通过代数运算及微分运算来得出非线性方程的新解和 l a x 对相应的解 近年来，d “b “x 变换方法得到迅速发展，已成功地应用于求解一系列与特征值问题 相联系的非线性孤子方程的显式解【2 2 - 3 0 】_ 发展趋势由一维到多维，由单一的孤子演化方 程到耦合演化方程组d a r b o u x 变换的优点非常明显，只须作一次完全可积的线性方程组 的求解，然后就可只用代数运算来得到非线性孤子方程的新解它的关键是寻找一种保持 相应的l “对不变的规范变换 本文第二部分首先提出一个新的耦合非线性s c h r 6 d i n g e r 型方程 “z f = 札z 。+ t = | “ 2 札+ ( 一) ， 吨= 一芈錾争+ ( 1 + 卢) ， ( 1 1 ) w 。= 酱当乒+ ( 1 一卢) 并且导出了它的l a x 对，进而讨论了与其相联系的d “b o u x 变换，作为d ”b o u x 变换的 应用给出方程( 1 1 ) 的不同形式的周期解和有理解 在求解非线性演化方程的一孤子解的方法中，还有一种重要而直接的方法，这就是 由日本数学家h i r o t a 提出的双线性方法 2 ，3 2 这种方法目前已从求k d v 方程，m k d v 方 程，s i g o r d o n 方程，t o d a 晶格方程和b o u 鼹i n e s q 方程的一孤子解，发展成为求解非 线性演化方程较为一般的方法 2 h i r o t a 双线性方法的基本思路是；首先通过函数变换，诸如有理变换，对数变换，双 对数变换等将方程进行双线性化，将其转化为所谓的“双线性形式”，而后借助于d - 算子 的特殊性质，通过通常的微扰方法将扰动展开式截断成有限项，从而达到求解这些双线性 形式的目的，最后导出方程的一孤子解 h i r o t a 双线性方法的优点十分明显它不但应用范围广，可用于求解各种孤子方程，而 且不需要借助于高深的数学知识特别是近年来随着一些概念诸如“p 蛳a n s 恒等式”， “m a 舯图”，以及“w i o n s k i a i l 解”，“g r m m i a n 解”的引入，使得双线性方法的发展 步入了新的阶段，其求解过程以及求得的一孤子解的表达形式都更加简洁 本文第三部分对一个( 3 + 1 ) 一维的k d v 方程 3 t i 。一( 2 毗+ t 。一2 t i 。) 可+ 2 ( 训。霹1 札0 k = o ， ( 1 2 ) 作了深入研究 在文献【3 1 】中，通过运用l “对的非线性化，借助于( 1 + 1 ) 一维a k n s 方程将其分解 为一系列可解的常微分方程同时，通过引入a b e l _ j a c o b i 坐标，将方程的代数几何解以 r i e m a n nt h e t a 函数的形式给出 本文将运用两r o t a 双线性方法f 3 2 _ 4 0 】重新考虑方程( 1 2 ) ，首先引入了合适的对数变 换 = 一3 ( 1 n ，) 。 将其进行双线性化，而后采取微扰法，借助于d 一算子的性质，通过求解双线性形式得到 方程的一孤子解，最后，借助于w r o n 8 l c i a n 行列式以及代数知识将方程的一孤子耩成 功表示为十分简洁的w i o 8 k i a n 形式 文章的第四部分，对本文的主要结果进行了总结 3 2耦合非线性s c l l r 6 d i n g e r 型方程的d a r b o u x 变换及其显式解 1 l 对及其d a r b o u x 变换 本节研究一个新的耦合非线性s c h r 甜i n g e r 型方程 “耐= “。+ i = i 训2 u + “( 一) 仇= 一雩砦乒+ ( 1 十芦) ， ”t = 告警+ ( 1 一p ) ”。， 其中卢是一个实常数，且例l 首先考虑特征值问题 一倒冉瞄 设特征函数妒的时间演化方程为 呓 1 一鹄+ 。j ( 2 1 1 ( 2 2 ) b = ( 1 ：口，：卢) 也一i ( ：) ( 2 3 ) r 吨一文) = 菇羔骞羔i 羔簏：i ：嚣0 比较等式两端矩阵中的每一元素，并且应用 可以得到方程( 2 1 ) 设 ( | u 1 2 k = u ：”+ + 证毕 一卢珊一未面) 4 ) 考虑规范变换妒一： 其中e 是( 2 2 ) 矩阵 其中 可= e 妒+ 若( 妒1 ，妒2 ) t ，( 妒1 ，廿2 ) 丁是( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的两个基本解，令 为了方便，记 e = 一垂。西一1 圣乜1 ) 5 ( 2 5 ) f 2 6 ) ( 2 7 ) 、 曲 + z + m 址邯 一 ” + ； 嘴1 ，ff_l、 =m 一一瞄一未面 我们可以得到以下引理t 引理1 若e 和m 分别由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 所确定，则 e m m e = 8 t e 。e e e 南 证明从( 2 6 ) 和( 2 2 ) ，直接计算得到 毋 = 一壬衄圣一1 + 西$ 壬一1 圣$ 西一1 卢( b e e e l ) = p 圣蚪m 一1 西。垂一1 一卢垂。垂一1 圣。垂一1 = ( ，圣一a o 西) 垂一1 圣。圣一1 一西。垂一1 ( m 圣一知圣) 圣一1 = m 圣z 圣一l 一圣z 圣一1 m = e m m e 由( 2 2 ) 和( 2 5 ) ，若p o ，得到 证毕 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 。= ( 2 玩+ ；m 一；a ) + ( 玩。+ 芳m 一号a + ；尬) 妒 ( 2 1 0 ) 另一方面，从( 2 ，4 ) 和( 2 5 ) ，有 其中 玩。= ( ；丽一知州；砷；聊 ，= ( ：) 比较( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 中及妒的系数得， m = 2 p e 。+ m 6 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 。丽e = 8 e 。；+ e m + m 。 将( 2 1 2 ) 代入( 2 1 3 ) 应用( 2 9 ) 积分得到 其中a o 是一个常数 将( 2 6 ) 代入( 2 1 4 ) ，得 所以我们有下面的结论 定理2 设 ( 2 ，1 3 ) p e 。+ 肘= 卢e 2 + 知j ，( 2 1 4 ) 卢壬“+ 西= a o 西 垂乜) 是( 2 2 ) 和( 2 3 ) 当 = a o 时的一个基解矩阵，并且定义 其中 以及 孕= e 妒+ e = 一垂。圣，e 1 2 = 彤1 商= “十2 p i 1= “+ 2 卢既 西= ”+ 2 p 研- ；+ 罟岛”e 矗一罟铬u 4 e 2 t 一鲁岛l 玛，i 。 = ”+ 2 口e 1 1 。+ 器“e z 。一壬岛矿e b 妻岛1 e 1 2 i 2 丽= w + 2 口岛缸为“e ；l + 罟岛“+ 岛1 十篙l 易l f 2 = ”+ 2 声e 2 。一詈u 西。+ 手岛u + e ；2 + 鲁乌 e 2 1 2 f 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) f 2 1 7 1 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 则满足( 2 4 ) 若特征值问题的规范变换能将该谱问题变为同一形式的另一个谱问题，则称其为特征 值问题的d a r b o l l ) 【变换因此，( 2 1 6 ) 一( 2 1 9 ) ：( 仍“，”， ) 一( _ ，面，可，面) 通常称为特征值问 e ( 1 ：p 。：卢) 一i ( ：) = ( 1 ：口。：卢) e i ( ：) c 。， 埘( ： 。 、ifo 矿、l i 忍一ilf e ， ( 2 2 1 ) 1 _ 卢o ，j 卢 o l ，jiii_ll、 | | 、， 矿 0 锺 扣 旷 垂 吒 i、， 。 。 妒 。 1 1 0 u ， 声， 州 。 。 “ 。 lllllj r “ o 、 z ) z 、巧 州 肛 川 川 0 妒 ，。 啦 0 | | 一 已 艮= 一垂。西一1 + k 西一1 西。西一1 应用引理2 ，直接计算可得结果 由此，不难证明定理3 定理3 。设 垂= 证毕 是( 2 2 ) 和( 2 3 ) 当a = a o 时的一个基解矩阵，_ 1 面，可和面分别由( 2 1 6 ) 一( 2 1 9 ) 所定义，则 事满足 觋= 昂，尹= ( 诃，砌r f 1 + p o i 1 o 矿 b = ii 如一l i ol 一卢ji 面。 证明( 2 1 6 ) 关于t 偏导，并应用( 2 3 ) 得， i1 + 卢 0 玩= i i o l 一卢 0+ 乱0 i e 9 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 卜 妒 口、 十 0 ， 0 妒 h 。 。 聊 ，0 “ + e， 妒 十 ；、， z 一 十 ) 矿 o 、_ill，、i_ilt_i， d m 另一方面， = ( 1 ：p ，：p ) 忱。+ ( 1 ：卢。：p ) e 一t ( ：暑) 妒。+ ( 1j 卢。：) e 。妒一t ( ! ：) e 妒 玩= 印 ( 2 2 4 ) 证毕 由定理2 和定理3 ，可以看到d a r b o l l ) ( 变换( 2 1 6 ) ( 2 1 9 ) 将l a x 对( 2 2 ) 和( 2 3 ) 映射为 相同形式的l a x 对( 2 4 ) 和( 2 2 2 ) 并且两个l “对都可以导出方程( 2 1 ) 因此我们也称变 换( u ，口，) ，( 一，西，可，面) 是方程( 2 1 ) 的d a r b o l l ( 变换 综上所述，有以下定理成立 定理4 设( “，虬”) 是方程( 2 1 ) 一个解， ) 是( 2 2 ) 和( 2 3 ) 当 = o 时的一个基解矩阵，e 由( 2 6 ) 所定义，且毋2 = 磁1 则由 d a r b o u x 变换( 2 1 7 ) ( 2 1 9 ) 所确定的( 面，可，面) 是方程( 2 1 ) 的一个新解 2 耦合n l s 型方程( 2 1 ) 的显式解 下面，我们将应用方程( 2 1 ) 的d a r b o u x 变换给出它的一系列显式解 易见“= o ，”= w = ，其中e 是一个常数，是方程( 2 1 ) 的一个平凡解，将其代入l 缸 1 0 对( 2 2 ) 和( 2 3 ) 中，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 可以写成 一p ( ：) 帆船+ ( i ；) 一p = a 妒 舻 ( 2 2 5 ) o l ( 2 2 6 ) 1 一pj e x p 【_ 厣- ( 1 + 口) 厣 1 ( 2 2 7 ， e x p 【何z + ( 1 一廖) 何“j 答易得到 忙哪- 1 _ f 一厣c o t h 2 俘”圳厣s c h 2 汀”钏 手砌【2 ，亭( z + t ) 一厣c o t h 2 何( z + t ) 利用d a r b o u x 变换( 2 1 7 ) ( 2 1 9 ) ，得到( 2 1 ) 的一个显式解 西= 2 卢 5 专k c s d l 2 2 每生( z + ) 】， 豇一g + 等茅c s c i l 2 2 、宁p + t ) 】， 面= e + ! 年茅c s c h 2 【2 宁扛十t ) 垂：卜9 厣州) 厣卅e x p 一厣”仂孵”1 ( 2 3 。) i 唧卜厣z z 一( 1 卢) 厣 qe x p 【厣( 1 一口) 厚i q 厕归 国 p 卅 廿 雾 酬卅 峙 )、 镐 船 旧 、 e ：也一：f 一乎“础 2 宇如“) 】 宇础【2 、宇啦“) 】l ( 2 3 1 ) 卜 宇缅c h 2 宇i ( z + t ) 一、学h 【2 宇 ( z + t ) 利用d ”b o u x 变换( 2 1 ”一( 2 1 9 ) ，得到( 2 1 ) 的一个周期解 面= 2 p 3 铲8 e c 【2 鱼铲( z + t ) 】， 可= + 帮s e c 2 f 2 俨乒( z + t ) 】， ( 2 3 2 ) 丽= e 十掣s e c 2 【2 伊萨( z + t ) 】 圣= 旧雾：z 篇 e ：f 一汀c o t h l 2 厣( 蚪圳厣酬。厣( 蚪圳1 i 厣s c h 2 手( z + t ) 】一 手c o t h 2 月i ( z + t ) 】 利用d ”b o “变换，得到( 2 1 ) 的一个显式解 百= 2 肛 旁c s d l l 2 旁( z + t ) ， 可= 一等告c s d - 2 【2 、彳笋( z + t ) ， ( 2 3 3 ) 面= 一等c s c h 2 ( 2 汀( z + 驯 圣：_ e x p 活妇+ ( 1 删伽x p 一俘一( 1 删俘q1 e x p _ 捂n ( 1 一卢) 捂叫e x p 活( 1 一口) 佰 t | 垂伊 邯 仰 伊厣 叫 唧 e ：f 一舟t 衅仔( 州) l 雁招蝴何( 蚪纠l i 一俘跳【2 仔( 州) 】_ 厣t 肌h 【2 仔( 州) 】 利用d ”b o u x 变换，得到( 2 1 ) 的一个周期解 面= 2 卢活s e c 2 活( z + t ) 】， 可= 绺8 e c 2 【2 努扛+ t ) 】， 面= 骞8 e c 2 【2 智扛+ t ) 】- 圣：f 唧【仔”删归】e x p 卜仔- ( 1 邓) 何1 i 唧【仔一( 1 一p ) 归】“p 【伊+ ( 1 一卢) 徊 e ：f 一屈c o t h 2 谬( 蚪堋店c s 出【2 谬( 蚪圳1 i 如c l l 2 据( z + t ) 一c o t h ( 2 行( z + t ) 】 西= 2 肛 ；e s c h 【2 ； 十吼 豇= + 南c s c h 2 2 瓶( z + 吼 面= s + 南c s c h 2 【2 ；扛+ t ) 】 垂：f - 唧【厣州1 删后叫e x p _ 序一( 1 十口) 居她 i “p 一序z 一( 1 一声) 序i qe x p 污( 1 一卢) 停t q e ：f 一后i t a n h f 2 后啦州) j 序s e c h f 2 序( 蚪纠l i 一序s e c h 2 居t ( 川) 】_ 序t a n h 2 厣( 州) u ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 得到( 2 1 ) 的一个新的周期解 面= 卵居s e c 【2 居( z + 吼 可= s 一南s e c 2 【2 矛忙+ 吼 面= e 一南s e c 2 【2 、矛o + t ) 1 - 西= ( 石+ ：+ 卢) 亡z 十。：一卢，。) e = 一垂。圣一1 = 一i r 干j ；f ；l - 研z 。十z z c 十i l p 4 r 利用d a r b o u x 变换，得到( 2 1 ) 的一个有理解 z + ( 1 一p ) l i 1 2 觑 “。万i 游干矿孺 一l 1 l 茁十( 1 + 芦) t ( 2 3 6 ) 西= 丝篙篆筹铲两耵篙高，( 2 。z ) “一 陋2 + 2 z t + ( 1 一卢2 ) 2 】2( 1 + 廖) 印2 + 2 茁t + ( 1 一卢2 ) t 2 】2 、叫 2 2 + 4 卢( 1 + 卢) z t + 2 卢( 1 + p ) 2 24 伊 面22 酽i 甄筑f 李洒产一+ 可习硒珥亥再可j 巧砰 以上，我们通过应用d ”b o u x 变换得到了方程的几个显式解事实上，若将这些显示 解作为新的种子解，再次运用d a r b o u 变换( 2 1 7 ) ( 2 1 9 ) ，就可以获得新的显式解以此 类推，重复以上步骤就可以导出一系列的显式解 1 4 3( 3 + 1 ) 一维k d v 方程的一孤子解和w i o n s k i a n 解 1 ( 3 + 1 ) - 维k d v 方程的双线性化 考虑方程 作变换 3 ( 2 t j t + 叫。m $ 一2 缸k ) + 2 ( 叫。筇1 钍勺) 。= o ( 3 1 ) 将其代入( 3 1 ) ，方程化为 ( 3 2 ) 一9 ( 1 n ，) z 一+ 6 ( 1 n ，) z 耐+ 3 ( 1 n ，) 。黜搿+ 1 8 ( 1 n ，) 。( 1 n ，) 一 + 1 8 【( 1 n ，) 。( 1 n ，) 。v 】。= o ( 3 3 ) 对x 积分一次并取积分常数为零得 再次积分给出 9 ( 1 n ，) z ：+ 6 ( 1 n ，) 讲+ 3 ( 1 n ，) 一+ 1 8 ( 1 n ，) 。( 1 n ，) 。= o ( 3 5 ) 利用双线性导数可以写成 s 号掣一z 号掣一c 笔磐一s 等等型一等等掣邶e ， 其中算予d ：，矾作用在9 - ，上定义为 磁d 划舭) 州 ) = ( 一刍) “( 麦一南) 吲即) m ，z 川z ：z ，。：z ， 由( 36 ) 容易得到( 3 1 ) 的双线性形式 2 i d z d z d h d 0 + 。d z d 。d 釜 = n 1 3 7 、 下面，对方程( 3 1 ) 的讨论可以归结为双线性形式( 3 7 ) 2 一孤子解 利用双线性形式( 3 7 ) ，下面我们将给出方程( 3 1 ) 的多孤子解 设，( t ，z ，玑z ) 可按参数e 展开成级数 ，= 1 + ，( 1 ) + ，( 2 ) s 2 + ，( 3 ) e 3 + - 一， ( 3 8 ) 将展开式( 3 8 ) 代入( 3 7 ) ，并比较s 的同次幂系数，将得到一列线性微分方程 2 ( 砖：) 一矗；) + ( 以一砖臻。) = o ，( 3 9 ) 4 ( 砖! ) 一矗；) + 2 ( ，婴一也盐可) = 2 ( d d 一d 。d 。) ，( 1 ，1 十( d ”d ：一d 。d z ) ，1 ，( 3 1 0 ) 2 ( 氆) 一蠢；) + ( ，窭) 一疋翌v ) = 2 ( d 口d 一d 。d ：) ，1 - ，2 + ( d ”d ：一d 。i 九) ，1 ，2 3 1 1 ) 下面，我们利用扰动法得到( 3 1 ) 的一孤子解 i ) 单孤子解 由( 39 ) ，( 1 ) 有线性指数形式的解 ，( 1 ) = e 乱， 其中 1 嚣七 + 七1 z + 岛i 可+ 七 z + ? 将此，( 1 ) 代入( 3 1 0 ) ，根据双线性指数的性质得到 2 ( ，! ) 一露) + ( 砖：) 一砖翌，) = o 若取，( 2 ) = o ，则从( 3 1 1 ) 又有 2 ( 砖! ) 一矗；) + ( 砖! ) 一也翌，) 一o 1 6 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 1 取，( 3 ) = o ，继续这种推理可知，( 4 ) = ，( 5 ) = 一o ，当s = 1 时， ，1 = 1 + e 1 由( 3 2 ) 和( 3 1 5 ) ，得到方程( 3 1 ) 的单孤子解 i i ) 双孤子解 取 w = 一3 1 n ( 1 + e 自) 】。= 一；女，2 s e c 2 鲁 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ，( 1 ) ；e e l + e 缸，白= 砖t 十z 十b 可+ 留z + 背，( j = l ，2 ) ( 3 1 7 ) 将( 3 ，1 7 ) 代入( 3 1 0 ) 给出 因此取 其中 2 ( 砖挈一瑶) + ( 砖荸一，曼b ) = 3 h b ( k ，一) 2 e 1 + 缸 再将( 3 1 7 ) ，( 3 1 9 ) 代入( 3 h ) ，得到 若取 方程( 3 7 ) 的截断解为 ，( 2 ) = e 1 + 2 + 1 2 。缸：( 善 ) 2 、h + m 2 2 ( 鹰) 一；) + ( 矗! ) 一以翌，) = o ，( 3 ) = o ，( 4 ) = ，( 5 ) 一= o ，= 1 ，2 = 1 + e f l 十e 2 + e f l + 2 + 山2 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 方程( 3 1 ) 的双孤子解为 i i i ) 一孤子解 若取 = 一3 口n ( 1 + e f l + e 2 + e 1 + 2 + a 1 2 ) 黜 ( 3 2 2 ) ，( 1 ) 一e t + e + + e e r ，白= 磅t + q 嚣+ b 可+ 七；z + ? ，0 ；1 ，2 ，) ( 3 2 3 ) 通过复杂的计算可以得到 ( 3 2 4 ) 其中。1 是对p 1 = o ) 1 ，p 2 = o ，1 ，帅2o ，1 的所有可能组合的求和，1 囊f 是在条件“；o 1l ! ， j f 下，j ，z 取自 l ，2 ，) 中所有可能的求和 由( 3 2 4 ) 和( 3 2 ) 得至方程( 3 1 ) 的一孤子解 一 蜥白+ p j m 弘， = 一3 n n ( 旷1 琏“ ) m z ( 3 2 5 ) 3 w r o n s k i a n 解 从上面看到，由双线性导数法求出的( 3 + 1 ) 一维k d v 方程的一孤子解的形式非常 复杂，不利于代入方程验证，因此，现在我们讨论给出( 3 + 1 ) 维k d v 方程一孤子解的 w r o n s k i a n 形式 设函数咖= 九( t ，z ，。) d = 1 ，2 ，) 在t o ，一o 。 z 。，一。 9 o 。 o o 。 。具有任意阶的连续导数，且满足关系式 磅， 妒”z 2 j 咖 1 8 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) f 3 2 8 ) f 3 2 9 1 蒜 一 蜥 抓 屿 吨 加 以奶与其前n 一1 阶导数为元构造如下的w i o l l 8 l c i a n 行列式 ，= 彬( 庐1 ，如，如) 卯庐p 1 。1 ) 曲字毋。1 嘏1 咖譬咖_ ) 曲灶喾斯乩2 ，- 1 ) 下面我们证明，满足双线性导数方程( 3 7 ) ，即 或写为 2 l d 。d z d h d 心| n f n + t d 。d z d p d 警 n n = o ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 弛m j n 一n ，2 一b 硝| n 斗艄n 0 峨* z j n 一| n 一砜 蹴 一 n ? 。l n + n 口z 。| n 一3 l n g n i x t 3 | n l t t h | n 。a = o 为了简单，记 ，= f o ，1 ，一1 l = l 庐1 | ( 3 3 3 ) 现在我们考察w r d s k i a n 行列式，对z 的各阶导数，得到： ，。= f c 2 ，| ( 3 3 4 ) ，。= l 一3 ，一1 ，l + | 一2 ，+ 1 l ，( 3 3 5 ) ，口。= l 一4 ，2 ，一1 ，l + 2 i 一3 ，一1 ，v + 1 i + l 一2 ，+ 2 ( 3 3 6 ) 利用( 3 2 8 ) ，行列式，对的导数可以转化成对z 的导数，因此有 ，9 = ，。= l 一2 ，l ， ( 3 3 7 ) 1 9 ，= i 。扩二3 ，一1 ，i + i = 2 ，+ l l ， ( 3 3 8 ) ，。p ：仁4 ，一2 ，一1 ，j v i + 2 仁3 ，一1 ，+ 1 l + l c 2 ，+ 2 i ，( 3 - 3 9 ) ，m 2 i 庐5 ，一3 ，一2 ，一1 ，肛4 t 一2 ，一1 ，+ 1 i ( 3 4 0 ) + 2 l = 3 ，+ l i + 3 l 旷二3 ，一1 ，+ 2 i + i ：2 ，+ 3 | 利用关系式( 32 9 ) ，行列式，n 对z 的导数可转化成对z 的导数，因此有 ，# ：4 ( ：4 ，一2 ，一1 ，i i ：3 ，一1 ，+ 1 l + i = 2 ，十2 i ) ， ( 3 4 1 ) 如m = 4 “：5 ，一3 ，一2 ，一1 ，i i = 3 ，+ 1 l + i ：2 ，+ 3 1 ) ( 3 4 2 ) 利用关系式( 3 2 6 ) ，行列式，对t 的导数可转化成对。的导数，因此有 ，t ：4 ( i 旺4 ，一2 ，一1 ，l 1 旷二3 ，一l ，+ 1 l + i ：2 ，+ 2 1 ) ， ( 34 3 ) ，矿= 4 “：5 ，一3 ，一2 ，一1 ，i i ：3 ，+ 1 | + l = 2 ，+ 3 1 ) ( 3 “) 应用行列式的性质，容易证明以下引理： 引理1 设m 为( 一2 ) 矩阵，a j b ，c ，d 是一维列向量，则有 l 埘，o ，b | i m ，c ，d 卜i m ，n ，c | | ，6 ，d l + i m ，n ，d m ，b ，c i = o ( 3 4 5 ) 引理2 设吩0 = l ，2 ，) 是一维列向量，竹( j = l ，2 ，) 是个不为零的实常 数。则成立 其中 h 口- ，7 ，n ( 3 4 6 ) ，= 1 7 n j = ( 7 1 n 1 j ，1 2 0 2 j ，一， n _ v ，) t f 3 4 7 ) 应用引理2 ，由恒等式 s 雹等( 耋譬i 庐蝴 l 庐( 羹等l 庐2 ( 3 蜩) 2 0 o m 商 3 l = 1 i ( i l 庐5 ，一3 ，一2 ，一1 ，i i = 4 ，一2 ，一1 ，+ 1 i + 2 l ：3 ，十1 | 一i 。= 3 ，一1 ，+ 2 i + | = 2 ，+ 3 1 ) = 3 ( 1 ：3 ，一l ，l i = 2 ，+ 1 1 ) 2 将( 3 3 3 ) 一( 3 “) 代入( 3 3 2 ) 的左边，得到 3 | 旷= l i ( i 厂：5 ，一3 ，一2 ，一l ，i i = 4 ，一2 ，一1 ，+ 1 | 一2 f = 3 ，+ 1 l i ：3 ，一1 ，+ 2 i + i 二2 ，+ 3 i ) + 1 2 f = 2 ，= 3 ，一1 ，+ 1 1 3 “旷二3 ，一1 ，1 + 口2 ，+ 1 i ) 2 将( 3 4 9 ) 代入( 3 5 0 ) 并应用引理1 得到 ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) 1 2 ( i 庐3 ，一2 ，一1 | i 庐3 ，| j v ，+ 1 i i 庐3 ，一2 ，洲肛3 ，一1 ，+ 1 | ( 3 5 1 ) + l ，庐3 ，一1 ，l l ：3 ，一2 ，+ 1 1 ) = o 由此可见，w j o n s l 【i a n 行列式，满足方程( 33 2 ) 著取 幻( t ，z ，可，z ) = e 等十( 1 ) + 1 e 一等，白= 碍t + 幻z + b 可+ 碍z + 鳄，0 = 1 ，2 ，一，) ( 3 5 2 ) 利用( 3 2 ) ，( 3 3 0 ) 和( 3 5 2 ) ，我们就得到( 3 + 1 ) 一维k d v 方程的w i o n s k i 8 n 解 = 一3 ( h ，) 。 4结论 本文的主要结果是： 1 给出一个含有三个位势的耦合非线性s c h r 甜i n g ”型方程的l 一对； 2 导出耦合非线性s c h r c ；d i n g e r 型方程的d a r b o u x 变换； 3 得到耦合非线性s c h r j d i n g e r 型方程的周期解和有理解 4 得到( 3 + 1 ) 一维k d v 方程的一孤子解； 5 给出( 3 + 1 ) 一维k d v 方程的w r o n s k i a n 解 ( 3 5 3 ) 参考文献 1 1r u s 8 e njs1 8 6 9 勋s t e m o 托c 死c n i le 如新d n ，0 r 执e 日哪“她p e 叩 e ( d a y & s o n ，l o n d o n ) 2 】a b l 侧i t zmja n dc l a r l 【s o npa1 9 9 1 舶“t d 伽，n o 施n e 8 re o 轧 i o n 凹u 捌。竹s 口竹d 眈 e 佯e s t 把n 礼9 ( c 锄b r i d g eu n i v e r 8 i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ) | 3 ) a b l o w i t zm ja ds e g u rh1 9 8 1s o 兢亡。订sn n dt h eh 口e r s es c 矾t e 渤9n 嘶点加m ( s i a m ， p h i l a d e l p h i a ) 【4 n e w e l iac1 9 8 5s o “t o 札s 饥m 吐掘e m a c s dp 而驴 c s ( s i a m ，p h i l a d e l p h i a ) 5 1z a r h a r o vvea n ds h a b a tab1 9 7 2 舶钟p 矗扮佃卵3 46 2 【6 1 f 乜d d e e vld 龇dt 妇h t a j a nla1 9 8 7 而k m 协o n 诹nm e 掘。如协船t h e d 叫0 ，踟托t d n s ( s p r i n g e r ，b e r h n ) 7 】0 1 v e rpj1 9 8 6a p p “c o t i o 礼s0 ，厶t e9 m z 节t 。d i 扩j 他n t i o je g n i d n ( s p r i n g e r ，n e wy o r k ) 8 1b l u m a ngwa n dk u m e is1 9 8 9 勖m m e 硎e s 。n dd i 静r e n t i 口ze g n f z o s ( s p r i n g e r ，b e r l i n ) 9 1h uxb1 9 9 4 ，p 驴42 72 0 1 1 0 w a h l q u i s thda n de s 七a b r o o kfb1 9 7 6ja m 琥p 材s 1 71 2 9 3 1 1 z h a n gd g1 9 9 6p 幻s l e 托a2 2 34 3 6 1 2 1c a ocw a n dg e n gxg1 9 9 0 o 删他r 吼卿c 5 ，r e s e o 此 r 印d 慨讥m 鲈s c se dahg u e t 酬( s p r i n g e r ，b e r l i n ) 1 3 c a oc w l 9 9 0s c c 危i 竹。a3 35 2 8 1 4 1c a ocw a n dg e n gxg1 9 9 0 ，p 危掣s a ? 娩g e 凡2 34 1 1 7 1 5 】c a ocw a n dg e n gxg1 9 9 1 ， 扎t p 驴3 22 3 2 3 1 6 d a r b o u xg 1 8 8 2s 札r “佗ep r 刁p d s i i d 礼他f o t i eo “ze q o t i d 扎s 托礼e o 他s ( c r a c a d s c i ，p 日l r i s ) 【1 7 1m & t v e e vv ba i i ds a l l eam1 9 9 ld o 渤伽n 咖m 耐如作o n d 踟n s ( s p r i n g e r ，b e r l i n ) 1 8 】g uc h1 9 9 5s o j i 古d 礼孤e 州蚴dm a p p l 妇t i o n ( s p r i n g e r ，b e r l i n ) 1 9 】谷超豪等1 9 9 0 孤立予理论及其应用( 浙江科技出版社，杭州) 【2 0 】谷超豪，胡和生，周子翔1 9 9 9 孤立予中的d 盯6 d “z 变换及其几何应用( 上海科技出版 社，上海) 2 1 1l 锄bg l1 9 8 0 眈m e n t so ，s d 托t d 住吼w ( j o h nw i l e y s o ，n o wy 0 r k ) 2 2 】l iysa n dz h a n g je2 0 0 l ，p 矗驴三e 圮a2 8 42 5 3 z h o uz x l 9 9 8j a 扎玩鼬掣s 3 99 8 6 2 4 】l i ys ，m a w xa n dz h a n gj