（基础数学专业论文）环与半群的图结构与代数结构.pdf

，i 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 多。1 号亏、 日期：西。歹年占月厂日 一 ， i 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密0 ，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密囹 ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作者签名： 壶t 1 9 3 、 指导教师签名： 啉1 年6 月如 日期p 歹年 i i 扒闭铭 6 , 96 日 上海交通大学博士学位论文答辩决议书 所在学 姓名刘琼学号 0 0 6 0 7 1 9 0 0 3 基础数学 科 答辩日 答辩地 指导教师武同锁 2 0 0 9 0 6 一0 5 数学系中会议室 期点 论文题目环与半群的图结构与代数结构 ， 投票表决结果：j f ，l _ ( 同意票数实到委员数应到委员数)答辩结论：鼍猫过 口未通过 j o 评语和决议： 关于零因子图性质的研究是近年来颇受关注的一个研究课题。刘琼同学的博士学位论文 利用零因子图来研究交换半群及交换环的代数结构和代数性质，这是一个有意义的选题。论 文首先研究了由星图加细确定的幂零半群的结构性质，回答了最近提出的一个公开问题。然 后，通过对环的零因子图的图结构的讨论来研究相应的环的代数结构，特别是环的同构分类 问题，作者引入了c 一局部环的概念，给出了所有有限c 一局部环的结构定理和同构分类。最后， 作者给出了不包含四边形的零因子图的完全分类，并确定了所有这样的图( 除无限星图外) 所对应的交换环的结构与分类，从而回答了近期提出的一个公开问题。这些都是具有较重要 理论意义的研究成果。 c 刘琼同学的博士学位论文写作条理清楚，论证严谨，推理正确，工作量饱满。论文所 ：写i 结果具有较重要的理论意义，研究方法具有较强的创新性。论文表明作者具有较强的科研能 力，扎实而系统的专业基础知识。这是一篇优秀的博士学位论文，答辩委员会一致通过其悄 士学位论文答辩并建议授予刘琼同学理学博士学位。 卅年月，日 职务 姓名职称单位 签名 主席时俭益教授华东师范大学 俐硷多 答 委员吴泉水教授 复旦大学 罗滚乱 辩 委 委员王卿文教授 上海大学 缈 员 会委员章璞教授上海交通大学 寄也 成 摹谢湖 员 委员姜翠波教授上海交通大学 ， 签 一f 一 名 委员 i委员 ，j 秘书徐恒敏 副教授上海交通大学 淌瓮 上海交通大学博士学位论文 环与半群的图结构与代数结构 摘要 零因子图是近年来一个新的研究领域，主要研究环与半群的代数结构、性质 与其零因子图的图结构、图性质之间的关联关系本论文主要是利用零因子图来 研究交换半群及交换环的代数结构和代数性质，主要探讨星图加细，以及不包含 四边形的零因子图对应的交换半群、有限交换环的结构及其同构分类对于中心 为c 的星图加细g ，我们用g ：来表示由顶点集y ( g ) c 以及与c 相连的端点 生成的子图 全文共分以下几个部分，具体内容如下一 第零章是绪论，介绍了零因子图的产生背景和已有的研究成果，并简要介绍 了本文的主要结果 第一章主要讨论由星图加细确定的幂零半群的代数性质，并回答了我们曾在 文献【1 】1 中提出的一个公开问题t 什么样的图范畴0 具有如下的性质s 对于任意 的g o ，存在唯一的幂零半群s 满足r ( s ) 垒g ? 其中铲= o ，铲_ 1 【o ) 对于任意的有限正整数扎5 ，构造了一个唯一的幂零半群s 满足r ( s ) 是有唯 一中心的星图加细且r ( s ) t 的生成子图是k i ，n 一3 ，其中s “= 【o ，s 俨1 o ) ， t 是与中心相连的所有端点的集合 第二章和第三章主要研究有限局部环的同构分类局部环的同构分类一直是 代数学里一个重要的研究课题我们在这两章的研究运用的是一种与以往不同的 思路，即利用r ( r ) 的图论性质来确定环r 的结构，并进一步研究环的同构分类 问题d f a n d e r s o n 和p s l i v i n g s t o n z 证明了有限局部环的零因子图是星图 加细，并且有限真星图加细对应的交换环一定是有限局部环这是我们研究的出 发点对于中心为c 的真星图加细r ( r ) ，只有两种情况。即r ( r ) ：至少有两个连 通分支、或者r ( r ) ：是单连通当r ( r ) ：至少有两个连通分支时，第二章证明了 r z ( r ) 是由两个元素n 1 ，q 2 生成的，其中口1 ，q 2 分别包含在r ( 冗) ：的两个不同 的连通分支内( 定理2 3 3 ) 基于这一结论，证明了r 是有限局部环，并确定了环 冗的结构及其同构分类余下的问题是单连通的情况，我们引进c 局部环的概念 并证明了对于c - 局部环，当r ( r ) ：是单连通时，d i a m ( r ( r ) ；) = 2 ( 定理2 3 9 ) 中文摘要 进一步地，第三章证明了对于任意的有限c - 局部环r ，极大理想z ( r ) 一定有一 个极小生成元集具有c - 划分( 定理3 2 6 ) 借助于该结论，得到了有限c 局部环 的结构定理和同构分类 第四章回答了卢丹诚博士和武同锁教授提出的一个公开问题：如何刻画不 包含四边形的零因子图? 我们给出了不包含四边形的零因子图的完全分类，即不 包含四边形的零因子图为下述图之一：独点集、星图、双星图、三角形带礼个角 ( 礼= 0 ，1 ，2 ，3 ) 、风车图、中心带一个角的风车图( 定理4 2 2 ) 此外，还完全确 定了这些图( 无限星图除外) 对应的所有交换环 关键词：( 幂零) 半群，交换环，c 一局部环，多项式环，零因子图，星图 加细，四边形，三角形，角，连通分支，极小生成元集，c 一划分，结构 i i 上海交通大学博士学位论文 t h eg r a p h i cs t r u c t u r ea n da l g e b r a i cs t r u c t i 丁】re o fr i n g sa n ds e m i g r o u p s a b s t r a c t z e r o - d i v i s o rg r a p hi san e wa r e ao fr e s e a r c hd e v e l o p e di nr e c e i l ty e a r s w h i c h m a i n l ys t u d i e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e so fr i n g so rs e m i - g r o u p sa n dt h eg r a p h i cs t m c t u r e sa n dp r o p e r t i e so ft h e i rz e r o - d i v i s o rg r 印h 8 i n t h i sp a p e r ，w es t u d yt h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e so fc o m m u t a t i v er i n g s a n ds e m i g r o u p sb yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h e i rz e r o - d i v i s o rg x a p h s ，a n dw ea r em a i n l y i n t e r e s t e di nt h es t r u c t u r eo fn o n - i s o m o r p h i cc o m m u t a t i v es e m i g r o u p sa n dt i n g s w h o s ez e r o - d i v i s o rg r a p hi sar e f i n e m e n to fas t a rg r a p ho rag r a p hw h i c hc o i l - t a i n sn or e c t a n g l e s f o rar e f i n e m e n tgo fas t a rg r a p hw i t hc e n t e rc ，l e tg ：b et h e s u b g r a p ho fg i n d u c e do nt h ev e r t e xs e ty ( g ) ca n de n dv e r t i c e sa d j a c e n tt oc t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gp a r t s i nc h a p t e r0 ，w ei n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n d sa n dk n o w nr e s u l t s ，a n dg i v ea b r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h em a i nr e s u l t so fo u rw o r k i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h ea l g e b r a i cp r o p e r t i e so fn i l p o t e n ts e m i g r o u p sw h o s e z e r o - d i v i s o rg r a p hi sar e f i n e m e n to fas t a rg r a p h ，a n da l ! s w e raq u e s t i o nw h i c hw e h a v ep o s e di nr e f 1 】t h a tw h i c hc l a s soo fg r a p h sh a st h ep r o p e r t yt h a te a c hg o h a sau n i q u ess u c ht h a tr ( s ) 兰ga n d 伊= o ) ，伊- 1 o ) ? f o re a c hf i n i t e n 5 ，w ec o n s t r u c tan i l p o t e n ts e m i g r o u ps s u c ht h a tr ( s ) i sar e f i n e m e n to fa s t a rg r a p hw i t he x a c t l yo n ec e n t e ra n dr ( s ) ti sar e f m e m e n to fk 1 ，n 一3 ，w h e r e s n = o ) ，铲- 1 o ) a n dt c o n s i s t so fe n dv e r t i c e sa d j a c e n tt ot h ec e n t e r i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ei s o m o r p h i cc l a s s i f i c a t i o np r o b l e m o ff i n i t el o c a lt i n g sb yi n v e s t i g a t i n gt h e i rz e r o - d i v i s o rg y 印h 8 ，a n dt h i sm e t h o di s d i f f e r e n tf r o mt h ep a s t d f a n d e r s o na n dp s l i v i n g s t o nh a v ep r o v e di nr e f 2 】 t h a tt h ez e r o - d i v i s o rg r a p ho fa n yf i n i t el o c a lr i n gi sar e f i n e m e n to fas t a rg r a p h ， a n dt h ec o r r e s p o n d i n gr i n go fe v e r yf i n i t ep r o p e rr e f m e m e n to fs t a rg r 印h 8i sl o c a l w em a k eo u ri n v e s t i g a t i o n sb a s e do nt h i sr e s u l t f o rap r o p e rr e f m e m e n tr ( r ) i i i 一 a b s t r a c t o fas t a rg r a p hw i t hc e n t e rc ，t h e r ea r eo n l yt w op o s s i b l ec a s e s ，t h a ti s ，e i t h e r r ( 冗) ：h a sa tl e a s tt w oc o n n e c t e dc o m p o n e n t so rr ( r ) ：i sc o n n e c t e d w ep r o v e i nc h a p t e r2t h a ti fr ( 冗) ：h a sa tl e a s tt w oc o n n e c t e dc o m p o n e n t s ，t h e nt h ei d e a l z ( r ) i sg e n e r a t e db yt w oe l e m e n t s0 1 ，0 2 ，w h e r e0 1 ，0 1 2a r ei nd i s t i n c tc o m p o n e n t s o fr ( r ) ：( t h e o r e m2 3 3 ) b a s e do nt h i sr e s u l t ，i ti sp r o v e dt h a trm u s tb ef i n i t e a n dt h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e so fa l ls u c hr i n g sra r eo b t a i n e d i no r d e rt oc o n s i d e r t h ec a s et h a tr ( r ) ：i sc o n n e c t e d ，w ei n t r o d u c ean e wc o n c e p tc - l o c a lr i n g s ，a n d p r o v et h a tt h ed i a m e t e ro ft h ei n d u c e dg r a p hr ( r ) ：i st w oi fr ( r ) ：i sc o n n e c t e d a n dri sc - l o c a l ( t h e o r e m2 3 9 ) f u r t h e r m o r e ，i nc h a p t e r3 ，i ti sp r o v e dt h a t f 缸a l lf i n i t ec - l o c a lt i n g sr ，t h em a x i m a li d e a lz ( r ) h a sam i n i m a lg e n e r a t i n gs e t w h i c hh a sac - p a r t i t i o n ( t h e o r e m3 2 6 ) i nv i r t u eo ft h i sr e s u l t ，t h es t r u c t u r ea n d c l a s s i f i c a t i o nu pt oi s o m o r p h i s mo fa l lf i n i t ec - l o c a lr i n g sa r ed e t e r m i n e d c h a p t e r4a n s w e r saq u e s t i o no fl ud a n c h e n ga n dw ut o n g s u o ；s ：h o wc a n o n e c h a r a c t e r i z et h ez e r o - d i v i s o rg r a p h sw h i c hc o n t a i nn or e c t a n g l e s ? w ep r o v et h a t ag r a p hw h i c hc o n t a i n sn or e c t a n g l e si saz e r o - d i v i s o rg r a p ho fas e m i g r o u pw i t h 0i fa n do n l yi fi ti so n eo ft h ef o l l o w i n gg r a p h s ：a ni s o l a t e dv e r t e x ，as t a rg r a p h ， at w o - s t a rg r a p h ，at r i a n g l ew i t h 礼h o r n s ( n = 0 ，1 ，2 ，3 ) ，af a ng r a p h ，af a ng r a p h w i t hah o r na d j a c e n tt oi t sc e n t e r ( t h e o r e m4 2 2 ) i na d d i t i o n ，w ec o m p l e t e l y d e t e r m i n et h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nc o m m u t a t i v er i n g sa n dz e r o - d i v i s o rg r 印h s w h i c hc o n t a i nn or e c t a n g l e s ( e x c e p tt h ei n f i n i t es t a rg r a p h s ) k e yw o r d s ( n i l p o t e n t ) s e m i g r o u p ，c o m m u t a t i v er i n g s ，c - l o c a lr i n g s ， p o l y n o m i a lr i n g s ，z e r o - d i v i s o rg r a p h ，r e f i n e m e n t so fas t a rg r a p h ，r e c t a n g l e ，t r i - a n g l e ，h o r n ，c o n n e c t e dc o m p o n e n t ，m i n i m a lg e n e r a t i n gs e t ，c - p a r t i t i o n ，s t r u c t u r e i v 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 第零章绪论i 0 1 基本概念 1 0 2 背景和已有成果介绍 3 0 3 本文主要结果 1 3 第一章星图加细对应的幂零半群 1 9 1 1 预备知识 1 9 1 2 星图小加细对应的幂零半群。 2 0 1 3 幂零半群的构造3 4 第二章真星图加细对应的有限局部环 4 l 2 1 预备知识4 l 2 2 环r 满足r ( a ) 是完全图带一个角 4 3 2 3r z ( r ) 的极小生成元集4 7 第三章有限o - 局部环的结构 5 3 i 3 1 预备知识 5 3 3 2 极大理想m 的极小生成元集的c - 划分 5 4 3 3 结构定理和同构分类 5 8 第四章不包含四边形的零因子图 6 9 4 i 预备知识6 9 4 2 图对应的半群7 0 4 3 图对应的交换环7 3 参考文献80 附录一致谢8 8 v 目录 附录二作者攻读博士期间发表和录用论文情况 v i 一 i 第零章绪论 0 1 基本概念 我们在这一部分列出本文所涉及到的主要图论概念和相关符号的定义 本文所讨论的图都是简单图所谓简单图，就是指这个图中既没有环也没有 重边对于简单图g ，y ( g ) ，e ( g ) 分别表示g 的顶点集与边集如果v ( v ) 和 e ( g ) 都是有限集，则称g 是有限图取a ，b y ( g ) ，我们用a b 表示顶点a ，b 之间有一条边相连，并规定一条边的长度为1 对于任意给定的两个图g ，日，称日是g 的子图，若图日满足tv ( h ) y ( g ) ， e ( h ) e ( g ) ，并且对于每一条边a b e ( h ) ，顶点a ，b y ( 日) 若子图日还 满足v ( h ) = y ( g ) ，则称日是g 的生成子图，并且称g 是日的加细 对于任意给定的两个互不相交的图g ，日，图g u 日表示一个新的图，它的顶 点集v ( cuh ) = v ( c ) uy ( 日) ，边集e ( guh ) = h ( g ) u 日( 日) 图g + 日表 示在gu 日操作的基础上，增加图g 的每个顶点与图日的每个顶点相连得到的 边 如果图g 中任意两个顶点之间都存在一条道路，则称g 是连通图若g 不 是连通图，则称g 的极大连通子图为g 的个连通分支显然，连通图的连通分 支的个数是1 对于图g ，如果删除g 的某个顶点会增加g 的连通分支的个数， 那末这个被删除的顶点就称为g 的割点 接下来介绍一些符号的定义对于vz ，y y ( g ) ，记d ( x ，y ) 为z ，y 之间的距 离，即连接x ，y 的最短道路的长度如果z ，y 之间没有道路相连，则d ( x ，y ) = 同时，定义g 的直径为d i a m ( g ) = s u p d ( x ，) i x y ，v z ，y y ( g ) ) 如果g 是 独点集，则d i a m ( q ) = 0 用k ( g ) 表示g 中所有圈的并，g ( g ) 表示g 的围长， 即g 中最小的圈长如果g 是无圈图，则k ( g ) = 0 ，并且g ( a ) = 0 0 如果g 中 包含了圈，则k ( g ) o ，并且g ( c ) 2 d i a m ( g ) + 1 【4 ，命题1 3 2 】例如，在例 0 2 1 中图的直径分别是1 ，2 ，2 ，2 ，3 ，围长分别是0 0 ，o o ，3 ，4 ，3 对于图g 中的顶点a ，n ( a ) 表示图g 中与a 相连的所有顶点的集合，即 n ( a ) = z y ( g ) ix o ) 记n ( a ) = n ( a ) u n 定义a 的顶点度d e g ( a ) = i n ( a ) 1 显然，孤立点的顶点度是0 若d e g ( a ) = 1 ，则称a 为g 的端点若a 不 是端点，则用疋表示与a 相连的所有端点的集合对于图g 中的顶点z ，若z 不 1 上海交通大学博士学位论文 是端点且满足瓦谚，则由瓦u z 所生成的子图称为图g 的一个角如下图 示，图1 是带2 个角的图，其中u o v ，u ，v 是分别与顶点y ，z 相连的所 端点的集合我们称图1 为三角形带两个角 图1 下面介绍一些特殊类型图的定义每一对不同的顶点之问都有一条边相连的 简单图称为完全图在同构意义下，n 个顶点的完全图只有一个，记为玩团是指 一个图所包含的完全子图，而团数则是指它所包含的最大完全子图的顶点个数若 一个图的顶点可以分解成两个( 非空) 子集x 和y ，使得该图的每条边都有一个 端点在x 中，另一个端点在y 中，则称它为二部图；若x 中的每一个顶点都与y 中的每一个顶点相连，则称它为完全二部图，记为k l x l ，i y i ；若l x l = 1 ，则称这样 的完全二部图甄，i y l 为星图连接两个星图的中心所得到的图称为双星图例如， 例o 2 1 中的图分别是星图k 1 ，l ( 也可以称为完全图k 2 ) ，星图k 1 ，2 ，完全图蚝，完 全二部图恐 2 ，完全二部图j f 已，3 带一个角t ，其中l tj = 2 注4 3 9 的图2 1 是双 星图k 1 3 ok 1 1 其它未加说明的图论概念和术语请参见文献【4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，l o 】 本文所讨论的环均是带有单位元的交换环，半群s 均是带有o 元的乘法交换 半群，其中0 s = 0 ) 且s 中的所有元素都是s 的零因子我们称s 是图g 对应 的半群( 或者交换环) ，若g = r ( s ) 对于交换环r ，z ( r ) 表示r 的全体零因子 集合；u ( r ) 表示r 的所有可逆元的集合；j ( r ) 表示r 的j a c o b s o n 根；n ( r ) 表示冗的幂零根；c h a r ( r ) 表示r 的特征。本文所采用的关于半群及交换环的术 语均来自文献 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 】，其他未加说明的概念或术语请参见相关文献 2 矿一z 一 z i可 一 矿 设s 是带有0 元满足0 s = 0 】的乘法交换半群，z ( s ) 是s 的全体零因子 集合记r ( s ) 为s 的零因子图，它的顶点集是z ( s ) + ，其中任意两顶点z ，y 之间 有一条边相连当且仅当z y 且x y = 0 若s 中不包含非零的零因子，则r ( s ) 为空图这是由f r d e m e y e r ，t m c k e n z i e 和k s c h n e i d e r 均】定义的半群的零 因子图 因为交换环自身就是一个带有0 元的乘法交换半群，因此交换环上也有相应 的零因子图而事实上，零因子图的概念最早是由i b e c k 1 1 5 】在1 9 8 8 年针对交换 环引进的，主要研究零因子图的团数与染色数之间的关系，并讨论了环性质与图 性质之间的制约关系但是，当时i b e c k 规定o 也是图的顶点，因此0 与所有的 顶点都相连1 9 9 9 年，d f a n d e r s o n 和p s l i v i n g s t o n 碉重新定义了交换环的 零因子图，他们规定0 不再是图的顶点，即交换环r 的零因子图r ( r ) 的顶点集 是z ( 冗) 。，其中任意两顶点z ，之间有一条边相连当且仅当z y 且x y = 0 这种 新定义的图能更好地刻画环的代数结构，这也是目前数学研究者们所普遍采用的 定义这一节开始提到的概念就是由f r d e m e y e r ，t m c k e n z i e 和k s c h n e i d e r 在此定义的基础上进行的推广 例0 2 1 下面是一些相应环的零因子图同时，这些例子也说明了互不同构 的交换环可能具有相同的零因子图，即r ( r 1 ) 笺r ( 兄) 不能推出兄l 笺r 2 成立 图2 对应的交换环为 z 9 ，z 2 z 2 ，z 3 x l ( 护) 图4 对应的交换环为 z 2 k ，纠( z 2 ，x y ，z ，2 ) ，f 4 吲( 矿) 3 图3 对应的交换环为 z 6 ，z 8 ，z 2 x l ( 矿) 图5 对应的交换环为 z 3 z 3 上海交通大学博士学位论文 图6 对应的交换环为 z a z 4 ，z 3 z 2 扛】( z 2 ) 例0 2 2g 是半群的零因子图，但不是环的零因子图 b g 图7 c 我们来简单地证明一下令s = o ，a ，b ，c ，d ) ，其中0 s = s o = o ) ，并定义s 中 其他元素的乘法运算表如下： 表1 不难验证r ( s ) = g ，即s 是图g 对应的半群 接下来，反设g 有对应的交换环由( a + c ) b = 0 可知，a + c a n n ( b ) o ，a ，c ，耐显然a + c 0 ，a ，c 故a + c = b 且b 2 = 0 同时，由对称性可知 b - t - d = c 于是有( b - t - d ) b = c b ，故b d = 0 这是不可能的! 这个例子说明了，半 群的零因子图不一定是交换环的零因子图同时也说明了半群的零因子图的范围 更广 对于任意的半群或者交换环s ，集合z ( s ) 并不具备明显的代数结构关于半 群的零因子，在此之前都没有比较系统的研究b c o r b a s 1 7 ，n g a n e s a n 1 8 ，1 9 1 ， 4 r e z a 和l l u c a s 2 3 利 用纯代数的方法研究过关于环( 包括非交换环) 的零因子的代数结构零因子图概 念的引入为研究z ( s ) 的代数结构提供了一个新的思路，并能帮助我们更好地阐 述s 的结构例如，定义z ( s ) 中个二元关系一：对于z ，y z ( s ) ，若x y = 0 或者x = y ，则有z y 显然，一具有自反性、对称性，但是并不具备传递性 因此，它不是等价关系那末，一在什么条w f 是等价关系呢? 这一问题利用图 论的语言可以得到很好的阐释，即一是等价关系当且仅当r ( s ) 是完全图 零因子图从诞生至今，短短二十年的时间，取得了许多引人瞩目的研究成果 它逐渐形成一个新的研究领域，吸引着越来越多的数学工作者加入其中下面陈 述该领域的一些已有结论 结论1 若g 是半群s 的零因子图，则g 满足下述所有条件s ( 1 ) g 是连通图，且满足d i a m ( g ) 3 ( 2 ) 若g 中包含了圈，则k ( g ) 是g 中所有三角形与四边形之并；并且对于 g 中任意一点z ，若z 不包含在k ( g ) 中，则x 是端点 ( 3 ) 对于g 中任意长为2 的道路a z b ，若道路a x b 不包含在任何圈 中，则 0 ，z ) 塑s ( 4 ) 对于g 中任意互不相连的两顶点x ，y ，必定存在一个顶点名，使得 w ( x ) u n ( y ) ( 2 ) 特别地，若s 是幂零半群，则d i a m ( g ) 2 ，并且若k ( g ) d ，那末k ( g ) 中的任 意一条边都包含在三角形中 注0 2 3 结论1 中的( 1 ) 一( 3 ) ，以及幂零半群的情况，最初是证明针对交换环 进行证明的，请参见【2 ，定理2 3 ，定理2 4 】，【2 4 ，( 1 2 ) ，( 1 4 ) ，( 2 1 ) ( i ) ，( 2 4 ) ( i i ) 1 ， 【2 5 ，定理2 1 ，定理2 2 】，以及【2 6 ，引理1 2 】后来，f r d e m e y e r 等人把这些结 论相应地推广到了半群，请参见【1 5 ，引理1 1 ，定理1 2 ，定理1 5 】和【2 7 ，定理1 ， 定理5 1 d f a n d e r s o n 和s b m u l a y 还具体刻画了当d i a r n ( f ( r ) ) = l ，2 或者3 时， 以及夕( r ( 冗) ) = 3 ，4 或者时，环r 的代数结构、性质( 参见文献【2 8 ，2 9 ，3 0 1 ) t g l u c a s 3 1 1 ，m a x t e l l ，j c o y k e n d a l l 和j s t i c k l e s l 2 5 也研究过i ( 冗) 的直径， 5 ( 2 ) 完全二部图、或者完全二部图带一个角 ( 3 ) 完全卜部图带一个角，并且至少有一个部只包含一个顶点，其中r 3 ( 4 ) 星图加细 ( 5 ) 图g 至少带有一个端点，且满足d i a m ( g ) 2 ( 6 ) 双星图 注0 2 5 关于星图加细( 包括完全图) 、双星图与交换环之间的对应关系，我 们会在后面的结论中陆续介绍本文的注4 3 1 0 给出了完全二部图、完全二部图 带个角对应的交换环的结构性质 武同锁和程帆 3 4 】确定了完全图、完全图带有一个端点对应的所有零因子半 群的代数结构，并给出了计算互不同构半群个数的递推公式( 其中完全图k 3 带 有个端点对应2 0 个互不同构的零因子半群) 武同锁和卢丹诚证明了对于任意 的n 4 ，完全图j 乙带有两个端点只有唯一对应的零因子半群 3 2 ，定理2 1 】我 们在本文的定理4 2 2 的证明中给出了满足零因子图是完全图j 岛带有两个端点的 6 第零章：绪论 半群的代数结构文献 3 5 ，3 6 分别讨论了星图加细、双星图对应的零因子半群的 代数结构和代数性质，并确定了相应的半群的同构分类 结论2 只是判定半群的零因子图的充分条件，而非必要条件本文第四章的 定理4 2 2 给出了不是结论2 中所列图，但是半群的零因子图的例子 例0 2 6 【2 7 ，例3 】设g 是次中心为口，b 的双星图加细，如图9 所示显然， g 不是结论2 中的任意一种图然而，g 也不是半群的零因子图这是因为顶点 a ，不满足结论l 的条件( 4 ) ，即不存在这样的顶点g 满足( 口) uu ( f ) ( z ) ， 其中n ( a ) = 6 ，d ，e ) ，( ，) = 【6 ，c ，e ) 事实上，由a l a n n ( c ) n a n n ( d ) = o 也可知g 没有对应的半群 图9 判定半群的零因子图的充分必要条件目前还没有找到，本文的第四章给出了 不包含四边形的图是半群的零因子图的等价刻画 【1 5 ，定理1 3 】和【3 ，定理2 1 0 】 分别给出了判定无圈图、二部图是半群的零因子图的充分必要条件( 本文的第四章 会有具体介绍) 下面介绍两个比较重要的结论，由此可以得到关于半群的零因子 图的判定条件 结论3 2 7 】设g = r ( s ) ，并且令厶= z y ( g ) id e g ( x ) 七) o o ) 则( 厶) 是s 的一个理想降链 注0 2 7 若u ( c ) d ，则r ( h ) = k ( g ) 因此对于任意的图g ，若g ( a ) 不 是半群的零因子图，则g 也一定不是半群的零因子图 结论4 【3 7 】设s 是零因子半群，g = r ( s ) ，其中l y ( g ) i 2 取z y ( g ) 满 足疋o ，则下述结论成立t ( 1 ) 若g 不是星图，则s 疋是s 的子半群 ( 2 ) 若g 中包含了圈且护0 ，则正u o ) 是s 的子半群 7 换环进行分类从图的结构出发来研究相应的环的代数结构，并进一步确定环的 同构分类，这也是本文研究交换环的零因子图的主要思想记b e c k 定义的零因子 图为r o ( r ) 显然j 对于任意的交换环r ，都有x ( r ) c l i q u e ( r ) ，其中x ( r ) 是 r o ( r ) 的染色数，c l i q u e ( r ) 是r o ( r ) 的团数b e c k 证明了当x ( r ) 5 ，或者 d i q u e ( r ) 4 时，都有x ( r ) = c l i q u e ( r ) 并且这一结论对于r e d u c e d 环、主理想 环都成立因此，他提出猜想；对于任意的交换环r ，都有x ( r ) = c l i q u e ( r ) 但 是，这一猜想很快被d d a n d e r s o n 和m n a s e e r 否定了，并给出了反例【4 2 ，定 8 第零章：绪论 理2 1 将交换环按零因子图的染色数进行分类，下面列出所有满足x ( r ) 4 的 环r 的结构和同构分类： ( 详细证明请参见文献【1 6 ，4 2 】) 结论6 ( 1 ) 当x ( r ) = 1 时，r = o ) ( 2 ) 当x ( r ) = 2 时，r 同构于z 4 ，z 2 l z j ( z 2 ) 或者有限域k ( 3 ) 当x ( r ) = 3 时，r 同构于下列环之一 z 8 ，z 9 ，z 3 陋】( z 2 ) ，陋】( z 3 ) ，z , z l ( 2 z ，z 2 2 ) ， k 1xz 2 【z 】( z 2 ) ，k 1xz 4 ，k 1xj 岛， 其中k 是有限域( i = 1 ，2 ) ( 4 ) 当x ( r ) = 4 时，r 同构于下列环之一( 其中甄都是有限域) ： z 4xz 4 ，z 4 z 2 。】( z 2 ) ，z 2 【叫( z 2 ) xz 2 p 】( z 2 ) ，k 1xk 2x k ，3 ， k 1xj 龟xz 4 ，k 1x 2zz 2 【z 】( z 2 ) ，k 1xz 8 ，k 1 z 9 ， k 1 z 3 p 】( z 2 ) ，k 1zz 2 【z 】( z 3 ) ，k 1xz 4 x ( 2 x ，z 2 2 ) ， z 1 6 ，z 2 【z 】( z 4 ) ，z 4 k 】( 2 z ，护一2 ) ，z 4 陋】( z 2 2 ) ， z 4 f 翻( z 2 + 2 x + 2 ) ，g f ( 2 2 ) 【z 】( z 2 ) ，z 4 f z 】( z 2 + z + 1 ) ， z 2 【z ，y ( x ，y ) 2 ，z 4 【z 】( 2 ，z ) 2 ，z 2 7 ，z 3 z 】( z 3 ) ， z 9 f 叫( z 2 3 ，3 x ) ，z 9 【z 】( z 2 6 ，3 x ) ，z 2 x ，y ( x 2 , y 2 一x y ) ， z 2 x ，y 】( z 2 ，y 2 ) ，z 8 【z ( 2 z 一4 ，护) ，z 4 【z 】( z 2 ) ，z 4 k 】( 护一2 x ) ， z 4 i x ，圳( z 2 ，x y 一2 ，y 2 ，2 x ，2 y ) ，z 4 k ，引( z 2 ，x y 一2 ，y 2 一x y ，2 y ) 我们现在采用的零因子图的概念是由d f a n d e r s o n 和p s l i v i n g s t o n 2 1 重 新定义的当时，他们主要研究星图加细对应的交换环，以及交换环的零因子图的 自同构群主要有以下的结论t 结论7 若r ( r ) 不是空图，则r ( r ) 是有限图当且仅当r 是有限交换环且不 是域 注0 2 1 0 上述结论说明了有限非空图对应的交换环是有限环因为无限环的 代数结构比较复杂，所以本文主要讨论有限图与有限交换环之间的对应关系上述 9 上海交通大学博士学位论文 结论的充分性是显然的对于必要性，它有个纯代数的证明，即当2 i z ( r ) i ( 2 ) 对于任意的正整数n 2 ，在同构意义下存在唯一的幂零半群s 满足 r ( s ) = k i ，。且s s 1 0 定理1 2 2 ( 1 ) 设s 是幂零半群满足r ( s ) = ( k 1 ，1ut ) 十【c ) ，其中t 是与中 心c 相连的所有端点的集合满足i t i 0