（应用数学专业论文）半线性泛函发展方程概周期解及概自守解的存在性.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个 人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 储弛乃磊 帆力。口矛。占- f3 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质 版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：乃劢 日期加话占1 ， 导师签名： 日期： 摘要 本文应用不动点定理及积分半群理论，分别研究了两类非稠密定义泛函发展方 程伪概周期解与渐近概自守解的存在性问题全丈共分三章 第一章为引言部分，简单介绍了研究背景及本文的工作，并给出了文中要用到 的关于积分半群的基本概念、记号和基本结论；在第二章中讨论了一类非稠定的中 立型泛函发展方程伪概周期解的存在性，并且提供一个实例来说明所得结论的应 用：第三章运用积分半群理论讨论了一类非稠定的中立型带非局部条件泛函发展方 程渐近概自守解的存在，陛，最后给出了相应例子 关键词伪概周期解；渐近概自守解；非稠定算子；积分半群； 非局部 l a b s t r a c t b yu s i n ga6 x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h e o 呵o fi n t e 擎a ls e m i g r o u p ，w eh a v e d i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fp s e u d oa l m o s tp e r i o d i ca n da s y m p t o t i c a l l ya l m o s t a u t o m o r p h i cs o l u t i o n sf b rt w oc l a s s e 8o fs e m i l i n e a rf u n c t i o n a le 、的l u t i o ne q u a t i o 璐t h ew h o l ed i s s e r t a t i o nc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s c h a p t e rl i st h ei n t r o d u c t i o ns e c t i o n ，w h e r e w r ei n t r o d u c e dt h er e s e a r c h b a c k g r o u n d ，o u rm a i nw o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o n ，a n dt h ef u n d a m e n t a ld 以n i t i o n s ，s i g n a l sa n db a s i ct h e o 巧a b o u ti n t e g r a ls e m i g r o u p ，w h i c hw i l lb eu s e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n i nc h 印t e r2 ，w es t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fd s e u d oa 1 m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rac l a s s0 fs e m i l i n e a rn e u t r a lf u n c t i o n a le v d l u t i o n e q u a t i o n sw i t ht h en o n - d e n s e l yd 西n e dd o m a i n ，a n da ne x a m p l e 职协sg i v e n t os h o wt h ea p p l i c a t i o no ft h eo b t a i n e dt h e o r e m i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s s e d t h ee x i s t e n c eo fa s 严p t o t i c a l l ya l m o s ta u 乞o m o r p h i cs o l u t i o n sf o rac l a s so f n o n d e n s e l yd e 丘n e dn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f i i e r e n t i a ls y s t e mw i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n s a n da ne x a m p l ew 8 u sa i s op r 州d e da tl a s t k e yw b r d s ： p s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ； a 鲫p t o t i c a l l ya l m o s ta u t o m o r p h i cs o l u t i o n ；n o n d e n s e l yd e 右n e do p e r a t o r ； i n t e 驴a t e ds e m i g r o u p s ； n o n l o c a lc o n d i t i o n 2 1 1 概述 第一章引言 抽象空间的泛函微分旁程作为泛函微分方程的一个新的分支，是近三十 年才发展起来的，它把泛撼微分方程与线性、非线性泛蕊分析有机结合起 来，运用诸知半群理论、增生算手理论、不动点理论、拓扑疫理论务雯分 方法等现代数学方法研究抽象空间中的泛函微分方程 雹黪上被广泛研究的赫象泛函微分方程主要是第二类鸫泛蕊徽分方程。 卵 z 一a 。( ) + ，o ，娩) ，亡【o ，邪， 或 z 一a ( 亡) z ( ) 十，( t ，z t ) ，t 0 ，明， 这里尹秀取经雩器勰勰h 室阕x 孛鞠连续交数，a 或a ( 瑚为线挂算子f 蹴 如为强连续算子牛群的无穷小生成冗) 或增生算子等非线性算予，这种类型 矮方程也常称徽半线蛙泛癌微分方程蠢为线性时 或泛函发展方程，这 是很具代表性的一类方程，许多类型的方程，如时滞反应扩散方程，波动方 程，双曲型或抛物型方程，s c h r o d i n g e r 方程，流体力学方程组，人口方程警 都可通过适当变影毒匕为这一类方程，相对而言，这一类方程翡研究扶嚣要 比一般形式的抽象泛函微分方程好得多，这童要要归功于算子半群理论等 线牲算予理论的深刻运用+ 七十年代以来，已有许多学者对这类方程做了 大量的研究工作，尤其在这类方程解( 弱解、强解、古典解、广义解) ，周期 解和概周期解的存在性，起性理论岛几何理论，以及在其它学料领域的应 躅等取得了丰硕酶赢暴，发表了大量论文莠盘叛了一些专著，如援，圈，润， f 14 ，【2 0 ，f 2 1 ，【2 3 ，【2 4 ，1 2 5 ，【3 2 非局部e a u c h y 问题是九十年代初期由b y s z e w 出i 等人提出并舞始姘究 酌正如文献网及英所附的参考文献串螽壶的那祥，许多情形下，非局部奈 件z ( o ) 十夕( z ) 一如比局部性条件z ( 0 ) = 更能精确地描述物体运动状 态。文献麓争 l 翻及冀参考文献孛，讨论了非局部备件在暴露顿域幸应阁 的重要性例如，在文f 13 中，为了描述在一个透明管中少量气体的扩散 3 现象方程的出现条件中引入了下述式子： g ( z ) 一白z ( 如) ， i = o 此处，c i ，( i = o ，1 ，曲是给定的常数且o 如 l o ， 分别讨论了它们的伪概周期及渐近概自守解的存在性 本文结构如下：在本章第三节中介绍关于积分半群的基本概念、记号和 基本结论；第二章研究系统( 1 ) 分别具有有限和无限时滞情况下伪概周期 解的存在性，且给出一个具体实例来说明对系统( 1 ) 所得结论的应用；第三 章讨论了算子a 是非稠定情况下带有非局部条件的系统( 2 ) 的渐近概自守 解的存在性，在最后给出一个应用实例 1 3 积分半群 为便于后面叙述，本节介绍本文所必备的关于积分半群的一些定义、记 号和基本理论 设e 是一个b a n a c h 空间 6 定义l 3 1 一个积分半群是e 上的一族有界线性算子 s ( t ) o 且有 下列性质： ( t )s ( o ) = o ； ( i i ) 亡_ s ( 亡) 是强连续的； ( 俐) s ( s ) s ( ) = 片( s ( + r ) 一s ( r ) ) 打，对所有，s o 成立 定义1 3 2 ( 参见【5 ) 算子a 称为一个积分半群的生成元，如果存在 u r ，使得( u ，+ 。) cj d ( a ) 且存在一个强连续指数有界的有界线性算 子族 s ( t ) o 使得s ( o ) = o 且( a a ) _ 1 = a 铲e 一知s ( 班托对所有满足 a u 的入成立 推论1 3 3 ( 参见【5 ) 设a 是一个积分半群 s ( ) 】。 o 的生成元，则对 所有o x 和t o ， s ( s ) z d s d ( a ) 且s ( t ) z = a s ( s ) z d s + t z ，0 ，0 定义1 3 4 ( 参见文 2 6 ) ( i ) 积分半群 s ( ) 垃。称为局部l i p s c h i t z 连续的，如果对所有7 - o ，存 在一个常数三 0 使得 s ( 亡) 一s ( s ) l lsl i t sj ， t ，s o ，7 ( i i ) 积分半群 s ( ) o 称为非退化的，如果对所有o ，s ( ) z = o 成立 蕴涵着z = 0 定义1 3 5 称线性算子4 满足h i l l e 、镜i d & 条件，如果存在m o 和u 尺，使得，o 。) cp ( a ) 且 s u p ( 入一u ) ”l ( a ，一a ) 一n i ：n ，a u 】m 定理1 3 6 ( 参考文【2 6 ) 下列结论等价： ( i ) a 是非退化，局部l i p s c h i t z 连续积分半群的生成元； ( i i ) a 满足h i l l e y o s i d a 条件 若a 是局部l i p s c h i t z 连续的积分半群( s ( ) t o 的生成元，则根 据【2 6 ，s ( ) z 是连续可微当且仅当z 西两且 死( t ) 。 o 是丽上 7 的岛半群此外，设凡是岛半群( 死( t ) k o 的生成元，则a o 是a 在万两上的部分，定义为 d ( a o ) = z d ( a ) ：a z d ( 4 ) ，a o z = a z 推论1 3 7 ( 参见【3 0 】) 设a ：d ( a ) cx _ x 是满足h i l l e y o s i d a 条件 的线性算子， s ( ) 芝。是由a 生成的积分半群，且，：【o ，卅一x ，丁 o ， 是一个b o c h n e r 可积泛函。则由下式定义的函数：【o ，t _ x 肺) = 胎h 小s ) d s 在【o ，卅上是连续可微的且对入 u 及t 【o ，刁满足 r ( a ，a ) k 7 ( 亡) = 死( 一s ) r ( a ，a ) ，( s ) d s 一t ，0 8 第二章一类泛函发展方程 伪概周期解的存在性 本章主要给出了以下方程伪概周期解存在的结论： 岳【u ( t ) + ，( t ，“t ) = a 【札( t ) + 厂( t ，) + 夕( t ，仇) ， 其中，x 是一个赋予范数”| i 的b a n a c h 空间；算子a ：d ( a ) cx x 是一个非稠定闭线性算子且生成一个积分半群( s ( ) t o ；，9 ：r c ( - r ，o 】，x ) 一x ( 或者兄b _ x ) 为给定函数 在给出本章主要结论之前，先回顾伪概周期函数定义及泛函微分方程的 一些基本知识 2 1 预备知识 本章约定：( 互i | | 1 z ) ，( x ，x ) 和( 彬1 w ) 都是b a n a c h 空间c ( r ，z ) 及口c ( r ，z ) 分别代表全体定义在r 上，取值于z 的连续与有界连续函数 全体组成的空间，并定义i l = s u p t ri i 仳( t ) l i 定义2 1 1 函数，c ( r ，z ) 称为概周期的，是指v c o ，都存在一 个r 上的相对稠子集日( e ，z ) ，( 即存在6 o 使得【o ，口+ 卅n 日( e ，厂，z ) 咖，r ) ，满足 i i ，( 亡+ 7 _ ) 一厂( 训z 0 ，都存在一个酞上相对紧子集 日( e ，f ) 满足 i l f ( t + 7 - ，z ) 一f ( t ，z ) i l o ，我们规定尸a r ( 互p ) 如下： 1，r p a 蜀( 互p ) = ( 札b c ( r ，z ) ：怒赤上，( 口器 】l i 珏( p ) i i ) 巩= o - 类似的，我们记： 1，r p a 局( z ，) = “b c ( r 互z ) ：，魄寺上，( i i u ( t ，z ) ) 班= o ) ， 1，r 尸a r ( 互彤p ) = 钍b c ( r 五z ) ：熙赤上，( p 器 】i i 札( 口，z ) ) 班= o ) ， 很明显，p a 昂( z ，p ) 和p a r ( z ，彬p ) 分别连续嵌入到p a 岛( z ) 与 p a r ( 互) 中更进一步地讨论可以得出，p a r ( 互p ) 与p a r ( z ，彬p ) 分别是p 4 r ( z ) 和p a 岛( 五彤) 的闭子空间于是， 引理2 1 4 【2 7 空间p a 岛( z ，p ) 和p a 岛( 互彬p ) 在赋以一致收敛拓 扑后都是b a n a c h 空间 定义2 1 5 函数厂b c ( r ，z ) 被称作伪概周期的，是指，= 夕+ 咖， 其中夕a p ( z ) ，而妒p a r ( z ) 用p a p ( z ) 表示这类函数全体 定义2 1 6 函数f 口c ( r z ，w ) 被称作伪概周期的，是指 f = g + 妒，其中g a p ( z ) ，而妒尸4 晶( 互w ) 用户a 尸( 互w ) 表示 这类函数全体 定义 2 1 7 函数f b c ( r ，z ) 被称为p 类伪概周期的，是指 f = g + ，其中g a p ( z ) ，而痧p a 岛( z ，p ) 用p a p ( 互p ) 表示这 类函数全体 定义2 1 8 函数f b c ( r 彬z ) 被称为p 类伪概周期的，是 指f = g + 矽，其中g a p ( r 彬z ) ，而砂p 4 r ( 互彬p ) 用 尸4 p ( 互彬p ) 表示上述函数全体 彳己： p a r ( z ，o 。) ：= n 尸a 岛( z ，p ) ， 1 0 p a 岛( z ，w 。) ：= f1p a r ( z ，彬p ) p o 很明显尸a r ( z ，。) 和p a r ( z ，彬o 。) 分别是p a p o ( z ，p ) 和p a r ( z ，彬p ) 的闭子空间，因而它们都是b a n a c h 空间 定义2 1 9 函数f j e 7 c ( r ，z ) 被称为无穷大伪概周期的，是指 f = g + 多，其中g a p ( z ) 而砂p a p o ( z ，。) 。 定义2 1 1 0 函数f 口c ( 酞彤z ) 被称为无穷伪概周期的，是指 f = g + 砂，其中g a 尸( r 彬z ) ，而尸a r ( 互彬o 。) 在讨论无穷时滞的泛函微分方程时，需要引入相空间b 接下来，再介绍相空间留的定义以及其上的一些公理( 参考【2 4 】) 留 是一个( 一。，0 _ x 的向量空间，并赋以半范数1 1 i f 留，使得以下公理成 立： ( a ) 若z ：( 一。，仃+ o ) _ x ，其中o o ，盯r 在【盯，盯+ o ) 上连续且 z 盯历，那么以下结论成立： ( i ) 钆历； ( i i ) 忪( 圳日恢怯； ( i i i ) i f z | i 劈( t 一盯) s u p i i z ( s ) l i ：口s ) + m ( t 一盯) | | z 矿| | 劈 对于任意t ( 一o 。，盯+ n ) 都成立其中日是一个非负常数；是某一连 续函数，m 是一个局部有界的函数，且日，m 与z 无关 ( a a ) 对满足条件( a ) 的z ，t _ z 。是连续的 ( b ) 相空间历是完备的 ( c ) 设( 妒) 。n 是c ( ( 一。，o ) ，x ) 上一个一致有界且有紧支集的序列， 且妒在开紧拓扑意叉下收敛于多，那么妒留，且i l 妒一圳b _ o ， 当纪一。时 彳己玩= ( 咖留：咖( o ) = o 定义2 1 。1 l 记( 亡) ：留一留是以下述方式定义半群 即) 卿) ：f 纵0 ) 【咖( t + 口) ， + 秒0 t + 护 o ( 见文献【2 6 ) 因而由定义2 1 1 5 给出的方程( 1 ) 的积分解可以改写为 让c t ，= ：；眵( 。) + ，( 0 让o ) 一， 地) + l i m a - + j ：死 一s ) b ( a 筌耋三。 若s _ 死( t s ) b ( a ) 9 ( s ，“。)在【o ，棚可积，其中b ( 入) = 入( 入j a 1 一 对于以上( 死( t ) ) o 本章假定以下条件成立： ( h 1 ) ( 蜀( t ) ) t o 生成一个指数有界的g 半群也就是指，存在两个正常 数，u ，使得l i 蜀( t ) i i e 2 对 耽o 都成立 注2 1 1 6 不难验证，若仳方程( 1 ) 的积分解，那么任意o ，口1 ， 有u ( ) d ( a ) 特别地，有( o ) d ( a ) 1 2 ( h 2 ) ：对方程( 1 ) 中函数，夕：r c ( 【- r ，o ，x ) _ x ( 或者r b x ) 都是伪概周期且满足 i i ，( t ，多1 ) 一，( ，也) i l l ，一痧2 ， i i 夕( ，妒1 ) 一夕( t ，也) l i l g ( t ) l l 砂1 一砂2 l i ， 对任意t r ，也c ( f - r ，o ，x ) ( 或者b ) 成立 这一条件是为了保证s _ 死( s t ) b ( 入) 夕( s ，u 。) 对任意t o 是可积的 定义2 1 1 7 函数u ( t ) b c ( r ，x ) 是方程( 1 ) 的伪概周期积分解， 如果s _ 丁( t s ) b ( 入) 夕( s ，让。) 在( 一。，) 上可积且 ，t “( t ) = 一，( t ，“t ) + j i m 死( 一s ) b ( a ) 夕( s ，乱。) d s ， r 2 2 一些引理 以下这些结论将在后文提及 引理2 2 1 【2 2 设f ( t ，名) p a p ( 互彬p ) 且九( ) p a p ( 彬p ) 又若 存在一个函数l f ：r _ 【o ，o 。) 满足以下式子成立： j i f ( t ，z 1 ) 一f ( t ，勿) 1 1 w l f ( t ) i i z l 一勿忆， r ，v z l ，勿z 其中 h m 竺寺上，( 。器卅l f ( 口) ) 出 0 有 刍 【口器0 。器。】 班 s 去饥剐m 驯归 s 去仁( p 驯m 钏呐+ 去仁( 口宣种班 宇南仁( 。器怕仁( 。器l j ) 巩， 这就说明矶p a r ( c ( 【一p ，o ，z ) ，p ) 这样就完成了证明 引理2 2 4 若，厶x ，那么 一，可推出i i 列sl i m 。i i 厶 引理2 2 5 若u ( t ) p a 岛( z ，p ) 设 那么 ( t ) = 熙蠢( 亡一s ) b ( a ) u ( s ) 如，r ， u ( ) p 4 r ( z ，p ) 证明： 计0 由引理2 2 4 去( 。器 】i m 驯 = 丢 器 i i 熙聊- s ) 脚( 5 ) 酬| ) d t 去( 。端州熙怖( 9 - s ) 踟川d s l i ) d t 等晶熙 厶础_ s ) 小川d 等仁器，厶聊训( s ) s ) 以 器】p e 叫汹) l 器，e 岬e 叫汹) | l 札( s ) i l d s ) 出 i 乱( s ) ij d s ) 出 半( e 刊细) i i 小) i | 蝴 冬半仁( e 叫汹) l l 小) l i d ! t ) d s + 半( 7 e 叫汹) i l 小) | l d t ) d 5 型瓮些仁e 嘶蚺警小( s ) 忪 j z 甲 j 一 二17 j r 于是 去器，川訾 + 掣筹j 懈) 2 r u ，一”“”川r 右端r _ 0 ，当r 一。o 证毕 对于p 4 尸( x ，。) ，我们得到类似结论 引理2 2 6 设u p 4 p ( x ，。) 而历是一致失去记忆的空间，那么 t _ u t p a p ( x ，o 。) 证明：设札= + 夕，其中九a p ( z ) 而夕p a r ( z ，o 。) 显然 妣= + 夕t 由引理2 1 2 和引理2 1 1 4 ，可知t 一是概周期的于是， 我们只要证明t _ 吼p a 岛( 互。) 即可设p o ， o ，由于留是一 个失去记忆的空间，由注2 1 1 2 知，存在丁e p ，使得对每个r ，都 1 5 丝r竺r丝2 丝2 一 一 有 彳( 7 ) s 由止匕 去【口器潮留出寺 口器0 脚) i i 酬舅州引。器矧) i i ) 出 鳓要晶怕慨， ( 其中c ，冗根据注2 1 1 2 给出) ，由于e 的任意性及夕尸a r ( z ，7 ) ，于 是结论成立 推论2 2 7 ( 参考【2 2 ) 设f p a p ( z ，彬。) 而九尸a p ( 彬。) 若 存在一个连续函数己f ：r 一 o ，。) 满足 i f f ( t ，z 1 ) 一f ( t ，沈) i l w l f ( t ) l i z l 一施l l z ，v t 瓞，比1 ，勿z 知 熙去( 。器州州删岫 o 那么函数亡_ f ( 芒，九( t ) ) p a p ( 彬。) 类似于定理2 2 5 ，我们有 引理2 2 8 设让p a r ( x ，o 。) 且定义 u ( t ) ：= j i m 死( s ) b ( 入) 珏( s ) d s ， r 。- ，一 那么 p 4 p o ( x ，。o ) 2 3 主要定理 本节分两部份，分别讨论了方程( 1 ) 对应有限时滞与无限时滞的情况： 2 3 1 有限时滞的情形 本节将给出以下方程伪概周期解存在性与惟一性的条件： 爰( 仳( t ) + ，( t ，u t ) ) = a 【仳( t ) + ，( ，t 正t ) + 夕( ，珏t ) ， ( 2 3 1 ) 其中a 非稠定义，而，夕：r c ( _ r ，o 】；x ) _ x 对函数u ，定义 ：( 一o 。，o _ x 记饥( s ) = u ( t + s ) ，s 一no 】 1 6 定理2 3 1 1 当( h o ) ，( h 1 ) 和( h 2 ) 成立时，且 ，t e = l ，+ 舰s u p e u ( 一8 ) 三夕( s ) d s 0 i i r ( + ) 一r u ( t ) j j ，| i i 一，( t + 九，饥+ l i | ) + ，( t ，饥) i i + i i 妲跫 ( t s ) 且( a ) b ( 5 + ，“卧l i | ) 一9 ( s ，) d sj j 。0 。t ，一 一“。1 三川“撕咄| i + i i 邢+ 九，“t ) 一m 删i + m 溜上e 叫h 岛( s ) d s 飞i l ， 上式_ 0 ，当九_ 0 又因为 ， l l r u ( t ) 恪恻l + 舰e 叫( 扣8 似s ) i u 。忪 ，z ( j j ，j j + 尬e u ( 扛8 j j 9 ( s ) j 如) j j 让j j 。 可以看到r u ( t ) 定义是合理且连续的而且由引理2 2 1 ，2 2 3 ，2 2 5 ， r ：p a p ( x ，) 一p 4 户( 五r ) 对于任意u ，秒p 4 p ( x ，r ) ，有 盯u ( t ) 一r 秒( 圳 ， i i 一，( ，札t ) + ，( t ，仇) | i + i i 是恐 死 一s ) b ( 入) b ( s ，u 。) 一夕( s ，) 如i i 。o 。- ，一 。 ” l ，毗一仇| i + m e u o 一8 ) 三9 ( s ) i l u 。一仉i l d s ， ( l ，+ 尬! u p e 一州一8 ) l g ( 5 ) d s ) l i u t ，j i rj 一 e i i u u l i o 。 所以r 是一个严格压缩的于是，应用b a n a c h 不动点定理，方程( 2 3 1 1 在p a 尸( x ，r ) 中有唯一解 1 7 2 3 2 无界时滞的结论 对于以下的无界时滞泛函微分方程 爱( 乱( ) + 厂( t ，珏t ) ) = a ( 札( ) + ，( t ，u t ) ) + 夕( ，u t ) ， ( 2 3 2 ) 其中4 的定义见2 3 1 节，夕：r 留_ x ， 记u f ：( 一。，o 一x ，札t ( s ) = u ( t + 5 ) 留 使用与定理2 3 1 1 类似的方法，可以得到： 定理2 3 2 1 在前提( h o ) ，( h 1 ) ，( h 2 ) 成立， 忆的空间，那么当 对于一个连续函数 并且留是一致失去记 e = c ( l ，+ 尬s u p e 一。( 卜8 ) g ( s ) d s ) 0 接下来给出积分解的定义： 定义3 2 1 函数u ( t ) b c ( r + ，x ) 被称为方程( 3 1 ) 的积分解，如果 函数s 一丁( t s ) b ( a ) 9 ( s ，u ( h 2 ( s ) ) 是在【o ，t 可积的，并满足 z ( 亡) = 死( t ) z o p ( z ) + 厂( o ，z ( 九- ( o ) ) ) 一，( t ，z ( 九1 ( t ) ) ) ，i t + 是巴上死( 亡一s ) b ( a ) 夕( s ，z ( ( s ) ) ) 如 设kcx 和丁c 兄，记g ( t x ，x ) 为所有函数，：t x _ x 满 足关于第一变量在k 上一致连续的集合( 即：垤 0 ，| 6 0 使得对一切 z 1 ，z 2 k 和忪l z 2 i l 硼 那么f a a a ( 冗+ ，x ) 证明：显然f 是连续的设，= + 矗，其中 a a a ( r + ，x ) ，尼一o 于是， 聊) = 熙聊- s ) 砌) ，1 ( s ) d s 一熙仁聊- s ) 砌) 肌) 如 + j i m 乃( t s ) b ( a ) 止( s ) 如 a 。o ，0 设 g ( t ) = j i m 死( t s ) 日( 入) ( s ) d s ，t r 。o 一 日( t ) = 一熙而( t s ) 口( a ) ( s ) 6 f s + 熙z 死( t s ) b ( a ) 止( s ) d s ，t 。 以下证明g a a ( r ，x ) 根据定义，对任意数列( s m ) ，存在子列( s n ) ， 满足( t ) = l i m 一。 ( t + s n ) 对一切从实数是有意义的，且 ( ) = 1 i m 。o 。( t s n ) 于是 ，t + s t，t g ( 。+ s n ) 2 熙上冗( 。+ 如一s ) b ( a ) ( s ) 幽2 熙上o o 冗( 。一s ) b ( a ) ( s + s n ) 幽 记m = 尬 由( 日1 ) 及。m e 一仙2 扣8 l l i i d s 篑| | i i ， 结合l e b e s g u e 控制收敛定理，得： l i mg ( t + s n ) = ，l i m 死( t s ) b ( a ) k ( s ) d s n 。o 。 。，一o 。 类似地，可得： 1 i m 且m 乃( t s 。一s ) b ( a ) k ( s ) 如= g ( t ) n 。o o 。o oj 一 接下来，说明日( t ) 一0 由厂2 的定义，垤 0 ，存在正常数丁 0 ，使得 | i ，2 ( s ) i i 丁成立，那么对一切s 2 丁，我们有 ，去 1 1 日( 圳i = i ij i m 死( t s ) b ( a ) 五( s ) d s 。，“ + 壁巴死( t s ) b ( a ) 尼( s ) d s 一登巴二乃( t 一5 ) b ( a ) ( s ) 幽 j ( 5 ，e 一叫2 一5 l i 如i i d s + 上2 彳e 一 2 ( 一8 ) d s + m e 叫：( 扣8 怕| | 如 筹l i 先忙一孚+ 筹g + 筹怕忙叫舭 因此 j i m 日( ) = o t - o 。 所以f a a a ( r + ，x ) 接下来是本章主要结果： 定理3 2 4 ：假设( h o ) ( h 1 ) ( h 2 ) ( h 3 ) ( h 4 ) 都成立且 川z o i i + i 旧( o ) | | + r 如+ r l ，+ i i ，( o ，o ) + 等【s u pi b ( s ，o ) | l + r l 9 + 7 _ l ，+ s u pi l ，( t ，o ) l | 7 ， l l ，2 r +t r + 那么方程( 3 1 ) 存在惟一的渐近概自守积分解证明：设e = f 乱 a a f 4 ( r + ，x ) ：i i 仳| i r 那么e 是空间a a a ( 肘，x ) 上的一个闭子集 在e 上定义算子： ( 妒z ) ( t ) = 蜀( t ) 【z o p ( z ) + ，( o ，z ( ，( o ) ) ) 一厂( ，z ( 九t ( t ) ) ) ， + j i m 而 一s ) 日( a ) 9 ( s ，z ( ( s ) ) ) d s “j o 以下分三步完成定理的证明 第一步，我们证明砂( a a a ( r + ，x ) ) ca a a ( 肘，x ) 任取z a a a ( 兄+ ，x ) ， 显然如是连续的再定义k = 面丽r 延r + ) ，于是，a a a ( r + xx ) n ( r + xx ) 于是由引理3 2 2 ，( ，z ( 2 ( ) ) ) ，夕( s ，z ( ( s ) ) ) 4 a a ( 冗+ ，x ) 再由引理3 2 3 ， ，t f ( t ) = j i m ( t s ) b ( a ) 夕( s ，z ( 九2 ( 5 ) ) ) d s a a a ( r + ，x ) 一， 又因为蜀( t ) 是指数稳定的，所以l i m a 。o o 兀( ) z o p ( z ) + ，( o ，z ( 1 ( o ) ) ) = 0 因此，咖z a a a ( r + ，x ) 一 第二步，任取z e ，以下证明妒z e 即| | 纰f | r 由于 i i ( 妒珏) ( t ) l i i l 蜀( t ) i z o 一囟( z ) 一p ( o ) 一p ( o ) + ，( o ，z ( 九- ( o ) ) ) i l + m e 一叫( 一8 b ( s ，o ) + i i 夕( 3 ，z ( 地( s ) ) 一9 ( s ，o ) + i i 一，( ，z ( 九l ( ) ) + 广( t ，o ) i i + i i ，( t ，o ) l i s 尬 i i z 。i i + 1 1 9 ( o ) l i + r 己p + i i ，( o ，o ) | | + r l ， + 竿【s u p1 1 9 ( s ，o ) l i + r l 9 + r 三，+ s u pi l ，( ，o ) j j 7 第三步，任取“，u e ， i i ( 加) ( s ) 一( 妒u ) ( t ) i | i | 死( ) i li i p ( t j ) 一p ( u ) + ，( o ，u ( 九l ( o ) ) ) 一，( o ，u ( 九l ( o ) ) ) | i + 1 1 厂( t ， ( h - ( 亡) ) ) 一，( t ，u ( 九1 ( t ) ) ) i | + i ij i m 蜀 一s ) 口( 入) 囟( s ，让( ( s ) ) ) 一9 ( s ，u ( ( s ) ) ) 幽i l ，、，n s ( 如i i 让一u | l + l ，j j 钍一秒j j ) + l 川“一u | j + m e 一忱( t 一8 f 如j j 钍一uj j 幽 ( 龟( 三g + ，) + 己，+ 警匕) i f 钍一 f f w 2 。， z ( o ) = 询+ p ( z ) ( 3 3 ) 其中七是一个正常数，取x = c o ，7 r ，并定义算子a ，= 一， d ( a ) = 厂( ) x ：，x ，( o ) = ，( 丌) = o 于是 p ( a ) = ( o ，+ 。) ，久l i ( a ，一a ) 一1 l fs1 ，v a o 这意味着a 在丽上生成紧强连续半群 若( h 2 ) ( h 3 ) ( h 4 ) 成立，且 尥z o i i + l i p ( o ) | i + r 0 + 7 l ，+ l i ，( o ，o ) 1 1 + 丝【s u pi i 夕( ，o ) | i + r l 9 + ，l ，+ s u pi l ，( t ，o ) i f n “，2 r + t r 十 那么由定理3 2 4 ，本节中的方程( 3 3 ) 有唯一的渐近概自守解 2 5 参考文献 【1 m a d i i r l ya n dk e z z i n b i ，ac l a s so fl i n e a rp 砒i a ln e u t r a lf u n c t i o n a l d i 仃b r e n t i a le p u 8 七i o n sw i t hn o n - d e n s ed o m a i