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硕士学位毕业论文 两类边值问题与一类捕食一食饵系统的研究 摘要 近年来，微分方程边值问题的研究引起了数学工作者的广泛关注本文主要研究了两类 微分方程边值问题和一类捕食一食饵系统全文共分为四章第一章，简单地介绍问题产生的 历史背景和本文的主要工作，并给出文中用到的基本定义及性质第二章，我们利用s c i t a c f e r 不动点定理研究了带周期边值条件的二阶非线性脉冲微分方程解的存在性第三章，我们应 用锥上的不动点定理，研究了测度链上二阶三点微分方程的正解，所得结果推广了近期文献 中的主要结果第四章，应用迭合度方法，主要讨论了测度链上时滞捕食一食饵系统周期解 的存在性 关键词：边值问题；捕食一食饵系统；测度链；不动点定理；迭合度理论。 a b s t r a c t r e c e n ty e a r 8 ，d i 伍e r 即t i a le q u a t i o n 8w i t hb o u n d a r yv i l l u ec o n d i t i o i l sh a eb e e ne ) 【t e 小 8 i v e l ys t u d i e db ym a n ya u t h o r 8 i nt l l i sp a p e r ，w em a i n l yi n v 瞄t i g a t et w oc l a s s e so fd i f k r e n l i 以 e q u a t i o l l sa n dac l a 鹪o fp r e d a t o r - p r e ys y 8 t 哪w i t hb o u n d 御yv 甜u ec o n d i t i o n 8 w e ( 1 i v i d e t l l i sa r t i c l ef o rf o u rc l l a p t e r 8 i nd l a p t e rl ，w ei n t r o d u c et i l el l i 8 o r i c a lb a c k g r o u i l do ft l e p r o b l e i 璐a n dn i a i nw o r k so ft h i 8p a p e r ，d e f i i l i t i o 瑚a n dp r o p e r t i e 8w en e e di nt l l i sp a p e r a r ea 1 8 0 矛w n c h a p t e r2i sd e v o t e dt os t u d y j n gt h ec ) 【i s t 衄c eo fs o l u t i o n sf o rs e c o n do r l e r n o n l i n e a ri m p u l s i v ed i 艉r c n t i a le q u a t i o n sw i t hp e r i o d i cb 0 1 l n d a r yv a l u oc o n d i t i o n 8b ym o a n 8 o fs c h a e f e r j s6 x e d - p o i n tt h e o r e mi nc h a p t e r3 ，印p l y i i l g6 x e d p o i n tt h e o r e mi nc o n e s ，w e s t u d yp o s i t i v es 【) l u t i 叫sf o rn o n l i n e a rt r i p l 争p o i n tp r o b l e n lo nt i m e8 c a l 鹤w bm a i n i yd i s c u 蹈 t h ee x i s t e n c eo fp e r i o ( 1 i cs o l u t i o n so fad e l a y e dp r e d a t o 卜p r e ys y s t e mo nt i m es c 列船b a 8 e d o nc o i n c i d e n c ed 噬芦e et h e o r 咖i nc h a p t e r4 k e yw o r d 8 ：b o u n d a r y v a j u ep r o b l 锄 p r e d a t o 卜p r e y 掣8 t e m t i m es c a l e s i i x e d p o i n t t h e o r e mc o i n c i d e n c ed e g r e e 2 第一章绪论 1 1 研究背景和主要工作 众所周知微分方程边值问题有着十分丰富的应用背景，其研究工作可上溯到一个世纪 以前随着科学技术的进步和发展，人们在研究物理，力学和工程问题( 如流体力学中的边 界层理论，热传导理论，空间技术，控制理论等) 时提出了大鼍的微分方程边值问题，成为推 动研究工作进展的动力，因此应用微分方程的边值问题描述实际问题的数学模型越来越广 泛一般而言，微分方程的边值问题要比初值问题复杂得多对于线性边值问题其理论已趋 于完善，而实际问题中经常遇到的非线性边值问题由于非线性问题本身固有的复杂性，理 论还不够完整，仍有诸多问题尚待研究解决非线性泛函分析的方法在当前国内外非线性边 值问题的研究中起着莆要的作用本文主要应用非线性方法研究三类问题类边值问题是 连续的情形，另外两类问题我们在测度链上研究 测度链理论是德国学者s t e f a n h i l g e r 于1 9 8 8 年在他的博士论文【1 i 中首次提出的，是为 了统一连续分析和离散分析理论而引入的一种新的分析理论这种新的分析理论主要有三 个目的：统一，推广和离散化十多年来，随着测度链理论的进一步发展，人们发现其在各种 模型中有着重要的应用例如，在生物学中，不同季节有活动期和休眠期的昆虫种群的数学 模型就可用测度链的动力系统来描述 由于测度链理论自身的不断发展和完善，测度链上微分方程的研究近年来一直受到人们 的高度重视陋8 1 在国际上，致力于这类问题的主要代表人物有r p a g a r w a l ，m b o h l l e r ， v l a k s h n l i k t h a h l ，a p e t e r 8 0 n ，d r a n d e r s o n ，l e r b e ，j h e n d e r s o n 等简略地说，主要工作 集中在以下几个方面：不等式理论，振动理论，稳定性理论和边值问题 在实际问题中不断涌现出大量的边值问题，亟待人们深入研究由于边值问题正解和解 的存在性在理论和应用上的重要性，因此，对常微分方程边值问题的研究引起了国内外许多 数学工作者的广泛关注根据测度链理论统一连续和离散分析的特性，自然地会研究测度链 上微分方程边值问题正解和解的存在性因此，如何应用拓扑度理论，不动点理论，迭合度理 论等非线性分析中强有力的理论工具来研究测度链上微分方程的边值问题，近年来，引起了 国内外很多学者的浓厚兴趣，也是这篇硕士学位论文感兴趣的问题 由于带脉冲的微分方程边值问题更能精确描述客观世界，在第二章中，我们将应用s c h a e - f e r 不动点理论研究带周期边值条件的二阶脉冲非线性微分方程： 1 硕士学位毕业论文 f “”( t ) = ，( ，u ( ) ，u ( ) ) ，【o ，7 1 ，l ， lu ( t ) = 札( t f ) + ，( u ( 1 ) ) ， l u ( ) = u ( f ) + ，( “( ) ) ， 【( o ) = u ( 丁) ，“( o ) = u ( 丁) ， 解的存在性，我们的结果是新的，推广了已有的结果 第三章，我们考虑了测度链上二阶三点微分方程： i u v ( ) + ( ) ，( ，( ) ) = o ，t 【o ，卅ct ， n “( o ) 一j 钆( o ) = 6 ( ) ， i7 u ( 丁) + 6 “6 ( r ) = ( f ) ， 的正解的存在性，主要工具是锥上的不动点理论，所得结果推广了前人已有的结果 到目前为止，应用迭合度理论研究测度链上捕食一食饵系统的文章较少，在第四章中我 们考虑如下测度链上时滞捕食一食饵系统： = p ( t ) = r ( t ) 一6 ( de x p p 。- ( t n ( t ) ) ) 一旦垒上里里旦兽i j 笔曩；笔曼j 俨 粕) = 刊叫t ) 唧t 刊啪) + 篇罴穗揣，t 吐 我们应有用迭合度理论得到了其周期解的存在性 1 2 预备知识 t 在本节中，我们将给出一些本文要用到的预备知识 我们称实数集r 的任意一个非空闭子集为一个测度链或时间标度，用面来表示，因此 r ，z ，n ，【o ，l 】u n ，【o ，l 】u 【2 ，3 】 即实数集，整数集，自然数集，非负整数集，闭区间的并以及c a n t o r 集等都是一个测度链的 例子，但有理数集，无理数集复数集，开区间( o ，1 ) 等都不是我们所定义的测度链我们假 设t 继承了实数集的拓扑结构， 2 硕士学位毕业论文 下面给出有关测度链的一些基本概念，更详细的内容可参考【1 ，2 ，3 ，9 ，1 0 】 测度链t 是实数集豫对t ，设i n f o ：= s u p t ，定义向前跳跃算子盯：t t 为 盯0 ) = 打1 ， 7 - t ：r t ； 对t ，设s u p 口：= i n f t ，定义向后跳跃算予p ：t t 为 p ( ) = s t 巾 r t ：_ r o 存在的邻域u ，使得 i r ( 口( ) ) 一，( s ) 一，( ) ( 口( ) 一8 ) i l 口( ) 一s i ，对于所有的8 矿 同样，对于t ( 假设不是右稀的，如果气s “p l r ) ，则，在的n o m o 一导数定义为数 ，v ( ) ( 假设它存在) 具有如下性质，对于任何e o 存在的邻域u ，使得 ，( p ( ) ) 一，( s ) 一，v ( ) ( p ( f ) 一s ) lsf “f ) 一s i ，对于所有的s u 函数，是左稠连续，如果，在t 的每个左稠点是连续的且它的右极限在t 的每个右稠点存 在众所周知，如果，是左稠连续的，则存在一个函数f ( ) 使得f v ( ) = ，( t ) 在这种情况 下，定义 一 ，( ) v = f ( 6 ) 一f ( n ) j d 以下，t 表示一个测度链，且0 ，? 冒我们记一个从 o ，丁】c 丌到ecr 的左稠连续集合 为a d ( 【o ，了1 】，e ) ，它是一个b a n a c l l 空间，最大范数为0 0 = m “* 【0 ，7 1l “( ) i 3 第二章带边值条件的脉冲二阶非线性微分方程解的存在性 2 1 问题的引人及预备知识 脉冲微分方程，起源于对物理人口动力学，经济学中现实问题的研究它为我们提供 了理解现实模型的一个重要数学工具【1 1 一1 5 】关于脉冲微分方程在不同领域的应用，可以参 看【1 6 - 2 5 1 近来，很多作者关注于脉冲微分方程和差分方程边值问题的研究 2 6 3 0 】 最近，c h e i lj ，t i s l c l lc c 和y h a nr 在1 3 l l 中研究了下面的一阶脉冲非线性周期边 值问题： i z ( ) = ，( ，z ) ，t f o ， 1 ，l ， z ( ) = z ( f ) + ，l ( z ( 1 ) ) ， iz ( o ) = z ( t ) ， 其中 o ，1 ( o ，) ，固定1 在( ，) ( 【o ，】 l ) 舻，：【o ，】舻一r ，是连 续的，且在= 。点的脉冲由连续函数，l ：舻一r “给出他们的主要工具是微分不等式和 s c h a e f e r 不动点定理在保证0 ，( ，p ) i i 在i 上是超线性增长的情况下，他们的结果补充并 拓展了f 3 2 ，3 3 1 的结果 受【3 1 ，3 4 ，3 5j 启发，在本章中，我们将应用s c h a e f e r 不动点理论研究带周期边值条件的 二阶脉冲非线性微分方程 f ”( ) = ，( t ，社0 ) ，u ( ) ) ，【0 ，”，t ， “螅一哆_ 世蛾 ( 2 1 1 ) iu ( t ) = 让( f ) + t ，( “( - ) ) ， 、。 【u ( o ) = ( 丁) ，“( o ) = “。( 丁) ， 其中t o ，1 ( o ，t ) ，l 固定在( ，z ，p ) ( 【o ，州 l ) 舻舻，：【o ，邪j 矿j p r “是连续的，并且在。点的脉冲由两个连续的函数，：j p f p 给出引入下列定义 “( i ) ：= l i m 。t _ “ ) ，u ( ) ：= l i m t “( ) ，u ( t ) 一l i m f 。t “( ) ，( i ) = l i m 。t iu ( ) 理论上，由于任意有限个脉冲与一个脉冲的差异很小，所以本文只考虑带一个脉冲边值 条件的情形 我们的结果将【3 5 】非脉冲情形扩展为带脉冲情形我们的方法基于【3 4 】和【3 5 】中的微 4 硕士学位毕业论文 分不等式另外，我们允许0 ，( ，p ，q ) j i 在j 和i 的超线性增长，因此，我们的新结果补 充并扩展了【3 6 - 3 8 】的结果 引理2 1 1 f 3 9 】，( s c h a e f e r ) 令刀是赋范线性空阔，日：刀一e 是紧算子如果集合 s ：= z f iz = a ，z ，对于某个a ( o ，1 ) 有界，则日至少有一个不动点， 首先，我们引入有关脉冲微分方程的一些概念，其中大多数概念摘自引文【3 8 】 假设 _ 厂( ，z ，f ) ：= l i l j ，( ，z ，) ，( i ，z ，) ：= l i m ，( ，z ，) _ “c _ 1 都存在，且，( i ，z ，f ) = ，( 1 ，z ，) 我们定义b a n a c h 空间p g ( 【o ，卅，舻) 如下： p c f ( o ，7 ；舻) = “g ( 【o ，卅 “ ，舻) ，“在扛l 是左连续的，又u ( ) 存在 0 u 0 p g = s u p1 1 1 正( t ) | l ， f f o ，卅 其中， 0 是通常的e u c l i d e a n 范数 我们定义b a n a c h 空间p g l ( ! o ，卅；，一) 如下： p e l ( 【o ，t 】；舻) = g 1 ( 【o ，7 1 f f l ) ，舻) ，“在= 是左连续的 ( ) 右极限存在，且u ( ) ，( i ) 极限存在， 并且以 0 u 0 p c ，：= m a x 9 “i l p c ，0 + 0 p g 为范数 对于每个f o ，即，脉冲边值问题( 2 1 1 ) 的一个解是一个函数u 尸g 1 ( 【o ，t 】，舻) n g 2 ( o ，刀 1 ) ，彤) 满足( 2 1 1 ) 当p o ，q 0 ，考虑测度链上脉冲边值问题 f u ”( ) 一p “( ) 一q u ( ) + 口( ) = o ，【o ，7 1 ，l ， “觋黑_ 7 嘴生 ( 2 1 2 ) l ( ) = ( f ) + ，( u ( 1 ) ) ， 、 【t 工( o ) = u ( t ) ，u ( o ) = ( t ) ， 5 硕士学位毕业论文 6 其中口p c ( 【o ，丁1 ，舻) 是给定的，并且，t ，：研一舻连续 方便起见，我们令 ：丛挚 o ，r 2 ：坚学 o ( 2 1 ，3 ) 引理2 1 2 对于 o ，1 】ct ，“尸c 1 ( 【o ，t 】 尼。) n e 2 ( 【o ，丁】 l ，f p ) 是但j ，矽的一个 解当且仅当“彤1 ( o ，明，舻) 是下面线性脉冲积分方程的一个解 n ( ) = g 0 ，s ) 盯( s ) s + g ( ，1 ) ( 一，( “( 1 ) ) ) + i 矿( ，1 ) ，( ( 1 ) ) ， ( 2 1 4 ) 其中 嘶，= 熹 罄露，蓦篡 仁， 且 咐，= 击 莩络，蓦篡协， 证明：若u p c l ( o ，明；舻) n c 2 ( 【o ，t 】 l ，舻) 是( 2 1 2 ) 的一个解，令 ( ) = “7 ( ) 一r 2 t ( ) ， ( 2 ，1 7 ) 则由( 2 1 2 ) 的第一个方程，我们有 ( 幻一n u ( ) = 一仃( ) ，1 ( 2 1 8 ) 将( 2 1 ，8 ) 式乘以e ”“，并且分别在【o ，1 ) ，( t l ，卅积分，我们有 e n “ ( f ) 一 ( o ) = 一 盯( s ) e 一九5 ( f s ， o 0 因此，我们有 由于 且 w ( ，s ) l 1 r l r 2 o s z o s 7 1 击 罄露，誊冀 r l g ( ，s ) n g i 毗s 卜知扩击 我们很容易得到 且 令 = 妄呻一= 击 g ( ，s ) is m ( ，s ) l 嬲+ 躜， 袋# + 呼孥， 锵+ 晋甓， 祭半+ 铲 = r l g ( ，s ) r l g l 1 f i 瓦1 鼍群+ 鼍铲， 土酱等竺+ 当管簪竺 sr ；g ( ，s ) r ；g 1 日：= m “ r l g l ，r ：g 1 ) ( 2 1 1 7 ) 0 5 丁 0 曼s l 0 s 丁 0 s t 0 s 丁 0 s 丁 o s o ； ( i i ) 妒( ) = j + ，y ( t 一) ，妒在【o ，卅是严格减，且在【o ，丁) 上，妒( ) o 证明：很容易验证结果，我们省略过程 令 d ：= 妒( ) 妒( ) 一妒( ) 妒( ) 兰o j + 卢7 + q ，y e 【o ，刀， ( 3 1 5 ) 且 m ：= d ( 厶砂悸) + c l p ( ) 一d ) = d 【6 p + 1 ( t 一 ) ) + c ( 卢+ q f ) 一d 】 ( 3 1 6 ) 为方便定理的证明，我们给出以下引理 硕士学位毕业论文 1 6 引理3 1 4 假设d = 0 6 + 卢，y + 口7 丁 o 且m o ( m 如( 3 1 6 ) ) ，则对于f a d ( o ，卅，r ) ， i t v ( ) + 掣( ) = o ，o o ，m o 减弱为【8 l 中的o 。 寺和o p o ，若存在e o ) 使得z a z + 知，则i ( a ，d k ) = o ( 3 ) 令u 是e 中的一个开集，使得可cd 若衍( 月，d ) = l 且( a ，魄) = o ，则月 在d 可k 存在一个不动点若珏，d 耳) = o ，且瓴( a ，巩f ) = 1 ，结果仍然成立 3 2 正解存在性 对于n ，| 定义一个算予 ：d ( i o ，7 j ，r ) 一“d ( 1 0 1 7 j ，r ) 翊f ： ， 爿“( ) 一，g ( s 如( s ) ( 毛“0 ) ) vs ：! 昙t 。c p + 。，+ 。c a + 1 c 丁一。，】z 7 g c 。，。，。c 。，c 。，u c 。，v 。 3 2 1 由引理3 1 5 ，我们知道“是( 3 1 2 ) 的一个解，当且仅当“是算子a 的一个不动点 令 = u a d ( o ，邳，r ) ：。雅岛札( ) 。o “i i ， 特田二r 1r h ，口11o 、士o ，日d 啦石g ( 8 知0 ) v 占，1 这里，口2 叽叻，m 1 由( 3 1 1 8 ) 定义，且吧2 讧蔷笔等荔豢鼍篆黼 0 ，我们定义k = t k ：0 0 r 进一步，我们定义集合如下： = “肛。喇 一r ) 同f 5 0 】中引理2 5 ，我们有 ( a ) n ，相对于是开的 ( 。) “a 坼当且仅当。翻岛u ( ) 2 乱 ( d ) 对于【o ，1 】，若“a 珥，则盯r “( ) r 为方便起见，我们引进如下记号令 名曲r c 弼掣叭，r 】) 1 靠一 鼢掣叭【0 ，r 】) ； 严姆s 印鼢掣； 口_ p蝇n j lu 丘= 溉1 m 。繇浮l 丛，：= o o o r0 + ) ； u 1 = ；r 一：1 ( d 口l m ) j ；：ig ( s ，s ) o ( s ) v s 一瓦刁面i 而 硕士学位毕业论文 2 1 其中q l ，q 2 如( 3 1 7 ) 式和( 3 1 8 ) 式 注解容易知道。 g ，g o ，m o ，若 矗 c 1 ， ( 3 2 3 ) 则l k ( a ，j 0 ) = 1 证明：对于u a 坼，【o ，卅，由( 3 2 1 ) 和( 3 2 3 ) ，我们有 州) 1 一昌鼢( c ( 卢州) + 6 ( j 州t _ f ) ) z 7 g h s ) n ，( s ，吣) ) vs 口岛， ( 3 2 6 ) 贝0i ( 月，q ，) = 0 证明：对【o ，卅，令e ( ) e1 ，则e a 1 我们称 u a u + a e ，让a n r ， a 0 事实上，如果不成立，存在“o a n ，和a o o 使得o = a 0 + e 则由( 3 2 6 ) 及引理 硕士学位毕业论文 3 2 1 ( d ) ，对于t 【o ，刀，我们有 咖( ) = 咖( ) + a o e ( ) 一吕( c ( 卢+ 删+ 6 ( j 州t _ ) ) z t 眯，咖( s ) m 州s ) ) v s + 知 一昙。嘲( c 十n ) + 6 p + 文丁一啪z 7 g ( ，s ) 。( s ) ，( s ，蜘( s ) ) vs + 如 一和一q z 7 g 咖v 蚪知 = 盯r + a o 这表明口r 盯r + a o ，矛盾进一步，由( 3 2 6 ) 容易验证“ u 对于“a q ，因此，由引 理3 1 8 ( 2 ) ，讯( ，2 ，) = 0 成立 由引理3 2 2 ，引理3 2 3 ，引理3 1 2 及引理3 1 8 ( 3 ) ，我们得到 定理3 2 2 假设( 1 ) ，( 2 ) 成立，且d o ，m 0 若 ( h 3 ) 存在r 1 ，r 2 ( o ，。) 且r l 口r 2 使得 口 伤口成立，或者 ( i i 4 ) 存在r 1 ，r 2 ( o ，o o ) 且r l g 口且疗 0 ，m o 若 ( h 5 ) o ，o c 1 且岛 厶o o 成立，或者 ( 1 1 6 ) o ，。 g l 且岛 ，o o o 成立， 则边值问题( 3 1 2 ) 存在唯一正解 若o = 7 = 1 ，p = d = o ，且6 ，c ，f 分别由p ，”替代，则我们由注解( 3 1 7 ) 和推论 3 23 ，我们有 推论3 2 4 假设( h 1 ) ，( 日2 ) 成立，且o n ；，o 卢 车署若 硕士学位毕业论文 ( h 7 ) o ，0 a 且q 厶，或者 ( h 8 ) 0 ，。 g 且岛 。 因为 ，0 ：烁s 印嚣躏掣= 躲南- 0 厶= ；n r 黜掣= 熙赤= 。， 即推论3 2 4 ( h ，1 成立所以问题f 3 3 1 ) 至少存在一个正解 第四章测度链上脉冲时滞捕食一食饵系统周期解的存在性 4 1 预备知识 最近，带各种函数的捕食一食饵系统在数学和生物学上引起了广泛兴趣【5 1 5 6 2 0 0 6 年，y i n gy u ，e t c 在【5 7 j 中，考虑了如下时滞系统，它的猎物数鼍满足g i l p i n 一型 z ：( ) = z 1 ( ) p ( ) 一6 ( ) 石2 ( 一 z ：( ) = z 2 ( ) 【_ d ( ) 一o ( ) z 。(，郇，：妻熬粼。：】 ， ( ) ) + 篇浆端】， h 1 。u 其中z - ( ) ，z ：( ) 分别表示在时间猎物和捕食动物数量的密度作者研究了系统( 4 1 1 ) 正 周期解的存在性 就我们所知，到目前为止，研究测度链上捕食食饵系统的文章较少在本章中我们考虑 如下测度链上时滞捕食一食饵系统： 若令z l ( ) = 唧 卸( ) ) ，。2 ( ) = 唧 勿( ) ) ，如果t = r ，那么，( 4 1 2 ) 即为( 4 1 1 ) 为方便起见，我们给出如下记号： 记号4 1 1 在本章中，t 表示一个测度链，假设它是u 一周期的，即t ，意味着+ u t 其中“， 0 我们记 k = m i n r + n 丌) 函数，：t r 叫做右稠连续的函数，如果它在t 中的右稠点是连续的并且它在左稠 点左极限存在我们记所有右稠连续函数，：t 一醒的集合为g d ( t ) 在本章中，对于( 4 1 2 ) ，我们总是假设： ( h ) o ( ) ，6 ( t ) ，n ( t ) ，卢( ) ，口( ) ，i ( ) ( i = 1 ，2 ，3 ) ：r 一【o ，+ ) 是右稠连续正的“，一周期函数， ( ) o ，卢( ) o ；r ( ) ，d ( t ) ：r r 是以u 一为周期的右稠的连续函数且c “d ( t ) o ， 蒸 硕士学位毕业论文 r “r ( ) o ；p 是一个正常数且p 1 ；m ，口是正常数 为了让系统( 4 1 2 ) 有实际应用性，我们考虑初值问题 ( s ) = 垂i ( 8 ) ，s 陋一丁，叫n 冒，中 ( k ) o ， 壬。( s ) c ；d ( k 一7 - ，圪】n t ，r + ) ，i = l ，2 ， 这里，r = m a 。蚓。，胡 n ( ) ，记( ) ，乃( ) ，口( t ) ， 为了得到( 4 1 ，2 ) 解的存在性，首先，我们给出有关迭合度理论的一些基本概念 5 8 】： 令x 和z 是两个b a n a c h 空间，l ：d d m l c x z 是一个连续映射若d i l e r l = c o d i m ，m l 。，t t 那么，r 三等b m a x 去，t 4 2主要结果 为方便起见，我1 门记 勾( 铀2 。嘲磊( ) ，五( 轨) 2 黼( ) ，忙1 ，2 ( 4 驯 定理4 2 1 假设( h ) 成立且 俪一。恃1 ) 初e x p ( 面+ _ ) 小。，毒揣一_ 。， 其中，也：；z 。( ! 堡三二! 竺竺堕立1 ；：；! ! 螋) 一( 屈+ r ) u ， r ( t ) = 三z “+ “r ( t ) c ，a ( t ) = 三z ? + 。l r ( t ) l t ， 盈，) = 三z “+ 。d ( t ) ，d ( ) = 三z “? 。i d ( ，) i ， 则系统( 4 1 2 ) 至少存在一个u 一周期解 证明：定义 x = z = ( 2 1 ，勿) t g ( t ，r 2 ) l z ( 十) = 盈( ) ，i = l ，2 ，t i i ( 钆。：) ，i i ：壹。k ( 驯，( 轧z 。) r x ( z ) 则x ，z 都是以1 1 i | 为范数的b a n a c l l 空间 舍 硕士学位毕业论文 l ：d d m l z 其中，d o 也= x ，且 且 ( ( 矧) r “= p ( 兰) = q ( 三) = 一裁絮 1 + l e x p p 翻( f ) ，、。、 、 h ”+ 篙等黼 2 7 其中( 铂，2 2 ) r x 则 k e r l = ( z l ，勿) r x i ( z l ，勿) r = ( l ，危2 ) r 豫，t ) ，m l = “z l ，勿) r z i r “z l ( ) ( ) = o ，j ：”勿( ) ( ) = o ，j ：“幻( ) ( ) = o ， ( 兰) = ( 芝：兰：姜：量乏：乏：三 三三：姜：) i ，：，m q x ， ( 芝) 一( 羔) = 、 乱施 互 ，1 l l = m 如 加 、 、jj o o 铆 勿 u + + k k z z 硕士学位毕业论文 、5 = 吣，裂郇黑鬻掣) ) ) 。力 1 翱= a ( 一d ( ) 一n ( ) 唧一删 + 篇嚣器尚) ， 。 其中，t 假设( z l ( ) ，勿( ) ) 7 1 是( 4 2 2 ) 的一个解将( 4 2 2 ) 积分，我们得到 z 蚓c h ) t + 厂掣煎高搿器严型扯胁， z “# 筹芸蓦等耥t z “。( t ) “p z 。( 一亿) ) t = 函，( a z 4 ) z + 。i z p ( 。l z 8 + 。i r ( i + z + 。【6 ( ) e x p 目z - ( 一7 1 ( ) ) ) + 业巡高篙舞拶1 + r n e x p t p o l ( ” 。 ，斥+ u，十u i 嚣( ) l | d ( ) i ，k ，k + 厂【篇篇券端俐唧似卜训m。止1 + m e x p p z l ( 一乃) 、“ ，k w 孔，e ) ( p 沈 已 ) n ( ) e x p 勿( 一下2 ) ) jk = z “。篇篙揣一函等，止l 十m e x p p z l ( 一乃( ”， 一m 。 硕士学位毕业论文 勿( 白) l i - 笔 ：= 如 因此 沈( ) 沈( 已) + f 毋( ) i l n 黑，+ ( d + m ：= 风 由( 4 2 1 ) 和( 4 2 3 ) ，我们有 f o 6 ( ) 唧 口z 1 0 一n ( ) ) ) 2b q p 口z 1 ( 1 ) ， 即z ( 6 ) 扣 ；) ：= 乩 。 因此 ，k 十， 。l ( ) 冬2 l ( f ) + i z f ( ) i ；l n ； + ( 元+ f ) “，：= ，t 由( 4 ，2 1 ) ，( 4 2 3 ) ，( 4 2 6 ) ，引理4 1 5 及定理4 2 1 的条件，我们有 ，k 十u & j e x p 口z l ( q j ) 6 ( ) e x p 日z i ( 叩1 ) j k = 鼬一厂，业芈高器蒜产剑 鼬一皇髦唧 ( d + 而u ) ，死一一 e x p 【d + d ) u ， 所以 训扣竺竺监器掣堕型) = = f l 我们可得 。l ( ) z 。( m ) 一l 。p ( ) l ( 4 2 5 ) ( 4 2 ，6 ) 硕士学位毕业论文 2 扣堕竺监焉型盟型) _ ( 屈卅一仍 ( 4 2 7 ) 由( 4 2 6 ) 和( 4 2 7 ) ，我们有 是鼢f 。t ( ) i i n “ i i i ，l 地i ：= 风， ( 4 2 8 ) 以下，我们估计勿( 啦) 由( 4 2 1 ) ，( 4 2 4 ) 及( 4 2 7 ) ，我们得到 ，c 十叫 乱，e x p 勿( 啦) n ( ) e x p 忍( 一2 ) jk = z 篇篇揣一函，。l + l e x p p 0 1 ( 一乃【”) ， 篇蔫也 所以 善篓燃一孑 z 2 ( 啦) l n 塑竺乒 ：= f 2 ， 我们有 勿( ) 2 ( 啦) 一 i 斧i g ! ! p i 些 一孑 l n 三竺坚翌笔贮) 一( d + 面u ：= 吼 ( 4 2 9 ) 由( 4 2 5 ) 和( 4 2 9 ) ，我们得到 置为i 勿( ) i “ | 风i ，i 风i ) ：= 风， 显然，风，风独立于a 的选择记风= 风+ 风+ 胁，其中 一取足够大，使得风 i z l i + i l l l + l f 2 i + i l 2 i 接下来，我们对于( 卸，纫) 7 r 2 ，p 【o ，1 】，考虑以下代数方程： 硕士学位毕业论文 3 1 ；罂料掣觜一o 。 1 丁j 戮一面“p 勿) 一j = 。， 、 类似于如上的讨论，我们很容易验证，限制于k e 儿上的( 4 2 1 0 ) 的任意解( 2 ：，荔) 7 1 满足 我们定义q = ( 幻( ) ，钝( f ) ) 7 1 z ：0 ( 魂，勿) 7 0 风 显然，q 满足引理4 1 1 中条件 ( a ) 当z a q nk e 儿，( z l ，勿) 7 在酞2 中是一个常向量，且0 ( 刁，沈) 7 8 = 风所以我们有 q z = ( 5 “p ；李圣蒸一7 ) ( 0 ) 吼。( 句，勿) = p q ( ：l ，勿) + ( 1 一p ) g ( z l ，勿) ，p ( o ，l 】， g ( 兰) = ( 黑纂兰小j ) 容易验证，o 叠仉( a n “l ，o ) ，当p ( o ，1 】另外，由引理4 ，1 4 ，我们有代数方程g ( z 1 ，勿) = d 叼 j q ，n n ，e r l ，o = d e 9 ( q ，q n k e r l ，o = d e 9 g ，q n k e r l ，o ) o 致谢 这篇学位论文是在导师柏传志教授的精心指导和鼓励下完成的论文写作的自始至终 得